(完整)2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》

2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》

【题型归纳】

题型一 曲线的极坐标方程

例1 、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C 1，C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4

(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积. 【答案】（1）C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0；

（2）面积为12

. 【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，

C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π4

代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.

由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12

. 【易错点】互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x

(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2

＝x 2＋y 2，tan θ＝y x

(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧. ２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.

题型二 参数方程及其应用

例2、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.

【答案】（1）2x ＋y －6＝0；（2）最大值为2255，最小值为255.

【解析】(1)曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为

d ＝55

|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝

d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255

； 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255

. 【易错点】参数方程要变形使用.

【思维点拨】1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.

2. 在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.

题型三 极坐标与参数方程的综合应用

例3、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α

(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin )4(πθ+

＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；

(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.

【答案】（1）x ＋y －4＝0；（2）最小值为2，此时点P 的直角坐标为)21,23(

【解析】(1)C 1的普通方程为x 23

＋y 2＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值.

又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2

＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值， 最小值为2，此时点P 的直角坐标为)2

1,23(.

【思维点拨】1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的. 【巩固训练】

题型一 曲线的极坐标方程

1.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求直线C 1与曲线C 2交点的极坐标. 【答案】)4

,22(π

-. 【解析】联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π4，

解之得θ＝π4且ρ＝－2 2. 所以直线C 1与曲线C 3交点的极坐标为)4,

22(π-.

2.在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.

(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

(2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两点间的距离.

【答案】（1）x －3y －1＝0，表示一条直线，(x －1)2＋y 2＝1圆.

【解析】(1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，∴x －3y －1＝0，表示一条直线.

由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1，

∴C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆.

(2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此直线C 1过圆C 2的圆心.

∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径，因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.

3.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求圆C 2关于极点的对称圆的方程.

【答案】ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.

【解析】∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上， ∴(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，

故所求圆C 2关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.

题型二 参数方程及其应用

1.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )

A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2

B ．ρ＝1cos θ＋sin θ

，0≤θ≤π4 C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4

【答案】A 【解析】∵∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩