高中数学理科人教A版选修(2-2)2.2.1-2《直接证明--分析法》word学案

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高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.2 直接证明与间接证明2.2.1 pdf版含答案

2 ∴ a2＋b2≥ 2 (a＋b)成立．
当 a＋b>0 时，用分析法证明如下：
2 要证 a2＋b2≥ 2 (a＋b)，
[ ] 2
a＋b
只需证( a2＋b2)2≥ 2
2，
1
即证 a2＋b2≥2(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立，
2 ∴ a2＋b2≥ 2 (a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中
间结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证．
跟踪演练 3 设实数 a，b，c 成等比数列，非零实数 x，y 分别为 a 与 b，b 与 c 的等差中项，
要点一综合法的应用
例 1 在△ABC 中，三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，
a、b、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．
证明由 A、B、C 成等差数列，有 2B＝A＋C.
①
因为 A、B、C 为△ABC 的内角，所以 A＋B＋C＝π.
②
π
由①②，得 B＝3.
11 1 a＋b≥2 ab>0，
( )1 1 ＋ ∴(a＋b) a b ≥4.
11 又 a＋b＝1，∴a＋b≥4.
1 1 a＋b a＋b b a
ba
·
法三 a＋b＝ a ＋ b ＝1＋a＋b＋1≥2＋2 a b＝4.当且仅当 a＝b 时，取“＝”号．
要点二分析法的应用
2 例 2 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 2 (a＋b)．证明当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0，
规律方法用分析法证明不等式时应注意

人教A版高中数学选修2-2课件2.2.1综合法和分析法

精彩推荐典例展示
易错警示因忽略分类讨论而致误
例4
设
a＋b＞0，n
为偶数，求证ban－ n
1
＋
an－ bn
1≥1a＋1b.
【常见错误】当 n 为偶数时，an－bn 和 an－1－bn－1 不一定同号，忽略了在题设条件 a＋b＞0 的情况下，应分 a＞0 且 b＞0 和 a，b 有一个为负值两种情况加以讨论．
出所要证明的结论成立,
直至最后，把要证明的结论
归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、__定__理__、
这种证明方法叫做综合 _定__义___、__公__理___等)，这种
法
证明方法叫做分析法
综合法
分析法
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →
Q2⇒Q3
Q⇐P1 →
框图 →…→ Qn⇒Q
P1⇐P2 →
表示
(P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证
(2)①因为 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点，所以 EF∥BC， EF⊄平面 ABC，BC⊂平面 ABC.所以 EF∥平面 ABC. ②因为直三棱柱 ABC－A1B1C1，所以 BB1⊥平面 A1B1C1， BB1⊥A1D，又 A1D⊥B1C1，BB1∩B1C1＝B1，所以 A1D⊥ 平面 BB1C1C，又 A1D⊂平面 A1FD，所以平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.
∴1a＋1b＋a1b≥ 8.
a1b ＋ 4＝ 8.
(2) 连接 BD. ∵BD 是 Rt△ABC 斜边上的中线， ∴DA＝DB＝DC.又 PA＝PB＝PC，而 PD 为△PAD，△PBD， △PCD 的公共边，∴△PAD≌△PBD≌△PCD.于是∠PDA＝ ∠PDB＝∠PDC，而∠ PDA＝∠ PDC＝ 90°，∴∠ PDB＝ 90°. 可见 PD⊥AC，PD⊥BD. ∵AC∩BD＝D，

2019-2020学年高中数学选修2-2_人教A版_课件_习题_2.2 直接证明与间接证明 2.2-2.2.1综合法与分析法

轴为 x＝－2ba－1，所以只需证－2ba－1＝0，即证 b＝－2a.(4 分)
由已知，抛物线 f(x＋2)的对称轴 x＝－2ba－2 与 f(x) 的对称轴 x＝－2ba关于 y 轴对称，(8 分)
所以－2ba－2＝－－2ba，得 b＝－2a，(10 分) 所以 f(x＋1)为偶函数．(12 分)
所以ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac－3>6－3＝3，即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c>3.
归纳升华利用综合法证明问题的步骤
(1)分析条件，选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法；
整理得 2 n2xy＋n＋1≤n＋2，即证 4(n2xy＋n＋1)≤(n＋2)2，即证 4xy≤1. 因为 x>0，y>0，且 x＋y＝1，所以 xy≤x＋2 y＝12(当且仅当 x＝y 时取等号)，即 xy≤14，即 4xy≤1 成立，所以原不等式成立．
归纳升华用分析法证明不等式时应注意： (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思路是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证明”“只需证明”“即证明”等词语．
4．已知 x∈R，a＝x2＋1，b＝x，则 a，b 的大小关系是________．
解析：因为 a－b＝x2－x＋1＝x－122＋34≥34＞0，所以 a＞b. 答案：a＞b
5．已知函数 y＝x＋2xa在[3，＋∞)上是增函数，则 a 的取值范围是____________．

高中数学新课标人教A版选修2-2《2.2.1综合法和分析法》课件

课前探究学习
课堂讲练互第动十三页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
【变式 1】已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. 证明法一 ∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥4. 法二 ∵a，b 是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1a＋1b≥2 a1b>0， ∴(a＋b)1a＋1b≥4. 又 a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.
即证 a＋b－ ab≥ ab，
也就是要证 a＋b≥2 ab，
即( a－ b)2≥0.
该式显然成立，所以 a ＋ b ≥ ba
a＋
b.
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
题型三综合法和分析法的综合应用【例 3】已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0<x<1.
2．综合法 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
课前探究学习
课堂讲练互第动四页，编辑于星活期一页：规点十范九训分。练
课前探究学习
课堂讲练互第动八页，编辑于星活期一页：规点十范九训分。练
3．综合法与分析法的优点综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的知识．分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析，因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至交错使用．

沈阳市人教A版高中数学目录(理科)

必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程 3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修2-2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式。

人教A版高二数学选修2-2 第二章第二节 2.2.1直接证明--综合法与分析法(同步教案)

§2.2.1直接证明--综合法与分析法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

教学重点：分析法和综合法的思考过程；教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

(二)、探究新知，揭示概念探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例如：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明:因为222,0b c bc a +≥>，所以22()2a b c abc +≥。

因为222,0c a ac b +≥>，所以22()2b c a abc +≥。

因此 2222()()4a b c b c a abc +++≥。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P 1，为了证明P 1成立，再去寻求P 1成立的充分条件P 2，为了证明P 2成立，再去寻求P 2成立的充分条件P 3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例如：基本不等式ab b a ≥+2（a >0，b >0）的证明就用了上述方法。

人教A版高中数学选修2-2课件：第二章 2.2.1 直接证明与间接证明第1课时 (共63张PPT)

功之后我们才可以做喜欢做的事情。未经一番寒彻骨，哪得梅花扑鼻香。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上一段时间，以便让别一只脚能够再往上登。好好扮演自己的角色，做自己该做的事。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。勤学和知识是一对最美的情人。如果知识不是每天在增加，就会不断地减少。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。加紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。我们必须拿我们所有的，去换我们所没有的。人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。我们不能选择命运，但是我们能改变命运。绝大多数人，在绝大多数时候，都只能靠自己。有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。蝴蝶如要在百花园里得到飞舞的欢乐，那首先得忍受与蛹决裂的痛苦。生活若剥去了理想、梦想、幻想，那生命便只是一堆空架子。自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。

2020版高中数学人教A版选修2-2课件：2.2.1.2 分析法

(3)在实际解决问题中,先分析由条件能产生什么结论, 再分析要产生需要的结论需要什么条件,逐步探求两者之间的联系,寻找解答突破口,确定解题步骤,然后用综合法写出解题的过程.
【跟踪训练】
已知a,b,c表示△ABC的三边长,m>0,求证: a b ＞
am bm
c.
cm
【解题指南】根据在△ABC中任意两边之和大于第三边,
【解析】由于a>1,b>1,故要证明log lg c＋≥lg4clg c.又c>1,lg c>0,所以只要证
lg a lg b
明 1 ＋≥14,即 ≥lg4a. lg b
lg a lg b
lg aglg b
因为ab=10,所以lg a+lg b=1,故只要证明lg a1glg≥b 4,①
(4)应用技巧:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.
【跟踪训练】已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2) +c(a2+b2)>6abc.
【证明】因为a,b,c是正数,所以b2+c2≥2bc, 所以a(b2+c2)≥2abc.①; 同理,b(c2+a2)≥2abc,②;c(a2+b2)≥2abc.③; 因为a,b,c不全相等,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2 ≥2ab三式中不能同时取到“=”. 所以①②③式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6a
【方法总结】用分析法证明不等式的主要依据、方法和技巧 (1)解题依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.

人教A版高中数学选修1-2《二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_9

人教版高中数学选修1—22.2.1直接证明--综合法与分析法教案三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：会用综合法和分析法证明问题；了解综合法和分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、问题情境：如图，四边形ABCD 是平行四边形求证：AB=CD ，BC=DA证明：连接AC ，因为四边形ABCD 是平行形四边形，所以 DA BC CD AB ////，.4321∠=∠∠=∠，故CAAC =因为ABC CDA ∆≅∆所以故 AB=CD,BC=DA.二、讲授新课： 1 概念直接从原命题的条件逐步推得命题成立 2 直接证明的一般形式：本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫直接证明（学生活动）证法1 对于正数a,b, 有abba abb a ab b a b a ≥+⇒≥+⇒≥-+⇒≥-220202）（证法2 要证 2b a ab +≤只要证 ba ab +≤2只要证 b ab a +-≤20 只要证 2)(0b a -≤因为最后一个不等式成立，故结论成立。

讨论上述两种证法有什么异同？相同：都是直接证明不同：证法 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止综合法5(0,0)?2a b a b +≤>>思考：在《数学（必修）》中，我们如何证明证法 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止分析法综合法(顺推证法、由因导果法)利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。

高中数学人教A版选修2-2课件 2-2 直接证明与间接证明第17课时《分析法》

所以－4≤f(x)≤－1，故 a≥－1. 答案：[－1，＋∞)
5．当 a≥2 时，求证 a＋1－ a＜ a－1－ a－2.
证明：要证 a＋1－ a＜ a－1－ a－2，只需证 a＋1＋ a－2＜ a＋ a－1，只需证( a＋1＋ a－2)2＜( a＋ a－1)2，只需证 a＋1a－2＜ aa－1，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，只需证－2＜0，而－2＜0 显然成立，所以 a＋1－ a＜ a－1－ a－2成立.
只需证命题 p 为真，而已知 p 为真，故 q 必为真．
变式探究 2 如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，并且 PA， PB，PC 两两垂直．PH⊥平面 ABC 于 H.求证 H 是△ABC 的垂心．
证明：连接 AH，BH.要证 H 是△ABC 的垂心，只需证 AC⊥HB 且 BC⊥AH，只需证 BC⊥平面 PHA，AC⊥平面 PHB，只需证 BC⊥AP 且 BC⊥PH，AC⊥PB 且 AC⊥PH，只需证 AP⊥平面 PBC，PB⊥平面 PAC，也就是要证 AP⊥PB，AP⊥PC，PB⊥PA，PB⊥PC. 由条件知 PA，PB，PC 两两垂直，上式显然成立，所以结论成立，即 H 是△ABC 的垂心.
变式探究 3 已知 a，b，c 表示△ABC 的三边长，m＞0，求证： a＋a m＋b＋b m＞c＋c m.
证明：要证明a＋a m＋b＋b m＞c＋c m，只需证明a＋a m＋b＋b m－c＋c m＞0 即可，所以a＋a m＋b＋b m－c＋c m ＝ab＋mc＋m＋a＋bma＋ bm＋mc＋ cm＋－mca＋mb＋m.
所以不等式(*)成立，且要使(*)的等号成立必须ba＝ab且ac＝ac且bc＝ bc，
即当 a＝b＝c 时等号成立.