随机过程第二章random process 1
随机过程第二章
§2.1 基本概念
一、实际背景
在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特 定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不 断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过 程. Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察, 记录得 { X ( t ), a t b},
当T=(1,2, … ,n,…),
时间序列
随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的
一般化,是随机变量X(t), t T 的集合. 用 E表示随机过程X T X t , t T 的值域,称E为 过程的状态空间. Ex.5 设(Ω,F, P)是对应于抛均匀硬币的概
率空间: Ω ω1 ,ω2 ,
Байду номын сангаас
tn ) P X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,
X (t n ) xn ，
称为随机变量 X (t ), t T 的n维分布函数
FX ( x1 , x2 ,
tn ) ti T 称为 X (t ), t T 的n维分布函数族
xn ; t1 , t2 , tn ), n 1, 2, ti T
T ( t ,ω) 是一个 2)当固定ω Ω ,作为 t T 的函数，
定义在T上的普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3)
t1
t2
tn
定义 对每一固定ω Ω，称 X t ω是随机过程 { X ( t , ), t T } 的一个样本函数. 也称轨道, 路径,现实.
互相关函数
互协方差函数
如果二维随机过程 X (t ), Y (t ) 对任意的t1 , t2 T , 恒有CXY (t1 , t2 ) 0, 称X (t )和Y (t )是不相关的。
随机过程-第二章 随机过程
同样地， k 维随机过程的
n 维联合分布函数具有对称性和相容性。
i 1 i
k
例 2.1 设随机变量 X b(n, p) ，求 X 的特征函数
解：当 n 1 时， X 服从 0-1 分布，
P( X k ) p k (1 p)1k , k 0,1
所以
(t ) eitk P( X k ) peit (1 p)
自协方差函数与自相关函数之间的关系：
CX (s, t ) RX (s, t ) X (s) X (t )
注：自相关函数与自协方差函数均具有对称性和非负定性的性质。
2.3.2 二维随机过程
两个随机过程 X (t ), t T 和 Y (t ), t T 的互协方差函数
n
Ft1 ,,tm ,tm1 ,,tn ( x1 ,, xm , ,, ) Ft1 ,,tm ( x1 ,, xm )
对应具有有限分布族的随机过程 X (t ), t T 的特征函数
t ,,t (u1 ,, un ) E (ei (u X (t )u X (t )) ) ei (u X (t )u X (t )) dFt ,,t ( x1 ,, xn )
解：先求 Y
X
的特征函数。因为 Y N (0,1) ，所以
2 2
Y (t ) e
由于 ixe
itx x2 2
itx
x itx 1 x2 1 2 e dx e dx 2 2
x2 2
xe
，且
2
xe
x2 2
dx ห้องสมุดไป่ตู้ ，所以
文档：随机过程(雷斯尼克,英文)-Chapter1-2作业题提示
Adventures in Stochastic ProcessesChapter 1 Preliminaries1.1. (a) Let X be the outcome of tossing a fair die. What is the gf of X? Use the gf to find EX.(b) Toss a die repeatedly. Let n μ be the number of ways to throw die until the sum of the faces is n. (So 11μ= (first throw equals 1), 22μ= (either the first throw equals 2 or the first 2 throws give 1 each), and so on. Find the generating function of{,1n 6}n μ≤≤ .解：(a) X 的概率分布为 1[],1,2,3,4,5,66P X k k ===,X 的生成函数为 66611111()[]66kk kk k k P s P X k s s s ======⋅=∑∑∑，X 的期望为 6611111117()||662k s s k k EX P s k s k -===='==⋅==∑∑.(b) n μ:点数之和为(1)n n ≥的投掷方法数，则 点数之和为1的投掷方法：第一次投掷点数为1，即0112μ==,点数之和为2的投掷方法： 情形1，第一次投掷点数为2， 情形2，前两次投掷点数均为1，即1222μ==,点数之和为3的投掷方法： 情形1，第一次投掷点数为3，情形2，前两次投掷点数为（1,2），（2,1）， 情形3，前三次投掷点数均为1，即012232222C C Cμ=++=,点数之和为6的投掷方法： 情形1，第一次投掷点数为6,情形2，前两次投掷点数为下列组合之一：1和5，2和4，3和3，情形3，前三次投掷点数为下列组合之一：1,1和4，1,2和3，2,2和2， 情形4，前四次投掷点数为下列组合之一：1,1,1和3，1,1,2和2， 情形5，前五次投掷点数为下列组合之一：1,1,1,1和2， 情形6，前六次投掷点数均为1，即015565552C C C μ=+++=,于是，n μ(6)n ≤的生成函数为66111()2nn n n n n P s s s μ-===⋅=⋅∑∑1.2. Let {},1n X n ≥ be iid Bernoulli random variables with 11[1]1[0]P X p P X ===-=and let 1nn i i S X ==∑ be the number of successes in n trials. Show n S has a binomial distribution by the following method: (1) Prove for 0,11n k n ≥≤≤+1[][][1 ] n n n P S k pP S k qP S k +===-+=.(2) Solve the recursion using generating functions. 解：(1) 由全概率公式，得1111111[][1][|1][0][|0]n n n n n n n P S k P X P S k X P X P S k X +++++++=====+===[1][]n n pP S k qP S k ==-+=(2) 1110()[]n k n n k P s P S k s +++===∑10([1][])n k n n k pP S k qP S k s +===-+=∑1110[1][]n nk kn n k k ps P S k sq P S k s +-====-+=∑∑11[][]n nlkn n l k ps P S l s q P S k s ====+=∑∑211()()()()()n n n ps q P s ps q P s ps q +-=+=+=+所以 1~(;1,)n S b k n p ++1.3 Let {,1}n X n ≥ be iid non-negative integer valued random variables independent of the non-negative integer valued random variable N and suppose()()11(), Var , , Var E X X EN N <∞<∞<∞<∞.Set 1nn i i S X ==∑. Use generating functions to check211Var()Var()()Var()N S EN X EX N =+ 证明：由1()(())N S N X P s P P s =所以 11111()()|(())()|()()N N S s N X X s E S P s P Ps P s E N E X =='''===，1111211()|[(())(())(())()]|N S s N X X N X X s P s P Ps P s P P s P s ==''''''''=+ 11112((1))((1))((1))(1)NX X N X X P P P P P P ''''''=+ （1(1)1X P =） 222111()()()()EN EN EX E N EX EX =-+- 22111Var()()EN X EN EX ENEX =+-又 2211()|()()N S s N N N P s E S ES E S ENEX =''=-=- 所以 22211()Var()()N E S EN X EN EX =+ 因此 22Var()()()N N N S E S ES =-2222111Var()()-()()EN X EN EX EN EX =+211Var()()Var()EN X EX N =+.1.4. What are the range and index set for the following stochastic processes ： (a) Let i X be the quantity of beer ordered by the th i customer at Happy Harry's and let ()N t be the number of customers to arrive by time t . The process is(){}()10,N t i i X t X t ==≥∑ where ()X t is the quantity ordered by time t .(b) Thirty-six points are chosen randomly in Alaska according to some probability distribution. A circle of random radius is drawn about each point yielding a random set S . Let ()X A be the value of the oil in the ground under region A S ⋂. The process is () {,}X B B Alaska ⊂.(c) Sleeping Beauty sleeps in one of three positions: (1) On her back looking radiant. (2) Curled up in the fetal position.(3) In the fetal position, sucking her thumb and looking radiant only to an orthodontist.Let ()X t be Sleeping Beauty's position at time t. The process is (){} ,0X t t ≥. (d) For 0,1,n =, let n X be the value in dollars of property damage to West PalmBeach, Florida and Charleston, South Carolina by the th n hurricane to hit the coast of the United States.解：(a) The range is {0,1,2,,}S =∞，the index is {|0}T t t =≥；(b) The range is [0,)S =∞，the index is {1,2,,36}T =；(c) The range is {1,2,3}S =，the index is {|0}T t t =≥； (d) The range is [0,)S =∞，the index is {0,1,2,}T =.1.5. If X is a non-negative integer valued random variable with~{},()X k X p P s Es =express the generating functions if possible, in terms of () P s , of (a) []P X n ≤, (b)[]P X n <, (c) []P X n ≥. 解：0()[]k k P s P X k s ∞===∑1000()[]k kki k k i P s P X k s p s ∞∞===⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭∑∑∑001i k i i i k i i s s p p s ∞∞∞===⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑∑∑ 011()11i i i s p P s s s ∞===--∑; 12000()[]k kki k k i P s P X k s p s ∞∞-===⎛⎫=<= ⎪⎝⎭∑∑∑10101i k i i i k i i s s p p s +∞∞∞==+=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑∑∑0()11i i i s ss p P s s s∞===--∑; 300()[]kki k k i k P s P X k s p s ∞∞∞===⎛⎫=≥= ⎪⎝⎭∑∑∑100011i i k i i i k i s s p p s +∞∞===-⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑∑∑ 0011()111ii ii i s sP s p p s s s s ∞∞==-=-=---∑∑. 1.8 In a branching process 2()P s as bs c =++, where 0,0,0,(1)1a b c P >>>=. Compuct π. Give a condition for sure extinction. 解：由(1)1P a b c =++=，可得 1()b a c -=-+，2()s P s as bs c ==++ 2(1)0as b s c +-+=2(+)0as a c s c -+=,1cs s a== (1)21m P a b '==+≤.1.10. Harry lets his health habits slip during a depressed period and discovers spots growing between his toes according to a branching process with generating function23456()0.150 .050.030.070.40.250.05P s s s s s s s =++++++Will the spots survive? With what probability?解:由 2345()0 .050.060.21 1.6 1.250.3P s s s s s s '=+++++， 可得 (1)0 .050.060.21 1.6 1.250.3 3.471m P '==+++++=>， 又由 23456()0.150 .050.030.070.40.250.05s P s s s s s s s ==++++++， 依据1π<，可得=0.16π.1.23. For a branching process with offspring distribution,0,1,01,n n p pq n p q p =≥+=<<解: ()1pP s qs=- ()1ps P s qs==- 210qs s q -+-=1s = 或 p s q=1(1)1k k qm P p kq p∞='===≤∑， 112p p p -≤⇒≥.Chapter 2 Markov Chains2.1. Consider a Markov chain on states {0, 1, 2} with transition matrix0.30.30.4=0.20.70.10.20.30.5P ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.Compute 20[2|0]P X X == and 210[2,2|0]P X X X ===.解：由题意得 20.230.420.350.220.580.20.220.420.36P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,(2)202[2|0]0.35P X X p ====, 120[2,2|0]P X X X === 2110[2|2][2|0]P X X P X X =====(1)(1)22020.50.40.2p p =⋅=⨯=2.8. Consider a Markov chain on {1, 2, 3} with transition matrix1001112631313515P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. Find ()3n i f for 1,2,3,n =.解：当1i =时，对任意1n ≥，()1313[(1)]0n f P n τ===；当2i =时，对于1n ≥，()112323222311[(1)]()63n n n f P n p p τ--====⋅； 当3i =时，对于1n =，(1)3333331[(1)1]15f P p τ====， 对于2n ≥，()222333332222331111[(1)]()()56356n n n n f P n p p p τ---===⋅⋅=⋅⋅=⋅. Exercise. Consider a Markov chain on states {1,2,3,4,5} with transition matrix1000001000120012000120120120120P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,(1) What are the equivalence classes ?(2) Which states are transient and which states are recurrent ?(3) What are the periods of each state? (详细过程自己完成！)解：(1) 分为三类：{1},{2}和{3,4,5}.(2) 1,2为正常返状态，3,4,5为瞬过状态.(3) 状态1,2的周期为1，状态3,4,5的周期为2.。
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
随机过程 第2章
随机变量 随机变量族
e → x(e) (e, t) → xt(e)=x(e, t)
x=xt(ei)
x
e1 e2 e3
e
概率空间和随机对象
样本空间
概率空间
随机变量
随机向量
随机过程
2.1 随机过程的基本概念
定义：设(Ω, ö,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t ∈T ，有随机变量X(t, e)与之 对应，则称随机变量族{X(t, e)， t ∈T } 是(Ω, ö,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t ∈T }或{Xt，t ∈T }。 ★ X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空 间或相空间，记为I。
由此可将随机过程分为以下四类：
a. 离散参数离散型随机过程； b. 离散参数连续型随机过程； c. 连续参数离散型随机过程； d. 连续参数连续型随机过程。
2. 以随机过程的统计特征或概率特 征分类：
a. 独立增量过程； b. Markov过程； c. d. e. f. g. 二阶矩过程； 平稳过程； 鞅； 更新过程； Poission过程；
称之为随机过程X(t) 的二维概率密度。
2.3 随机过程的分布律
随机过程的二维分布函数比一维分布函数包含了随 机过程变化规律更多的信息，但它仍不能完整地反 映出随机过程的全部特性及变化规律。用同样的方 法，我们可以引入随机过程 X(t) 的 n 维分布函数和 n 维概率密度。
FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , tn )
• 又如移动某基站每天的通话次数，X 显然不 能确定，即为随机变量，进一步分析知这 个 X 还和时间 t 有关，即 X(t)，所以 X(t) 也构成一个过程，即随机过程；类似地， 气温、气压、商店每天的顾客流量等都构 成一个随机过程。
随机过程的基本概念ppt课件
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
随机过程第二章
例2.8利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程 2.8
cosπt,出现正面 X (t) = 2t, 出现反面
0 ≤ t < +∞
已知出现正面与反面的概率相等. ⑴ 求X(t)的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x). F(1/2; ),F(1; ). ⑵ 求X(t) 的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
A, 例2.5 设 S.P.X (t) = A+ Bt，其中 B 相互独 S 立同服从正态分布 (0,1) ，求.P.X (t) 的一 N 维和二维分布．
例2.6 设 其中
S.P.X (t) = Acos t, t ∈ R ，
A是 r.v. ， 而且具有概率分布
A P 1 1/3 2 1/3 3 1/3
由于初位相的随机性， 由于初位相的随机性，在某时刻t = t0 , X (t0 )是一 个随机变量． 个随机变量． 若要观察任一时刻 描述. 变量 X (t ) 描述
t
的波形， 的波形，则需要用一族随机
为随机过程． 则称 { X (t ), t ∈ [0, +∞)}为随机过程．
例2 .4样本曲线与状态 样本曲线与状态 X(t) = Acos(ωt + Φ)
2.1： 热噪声电压） 例2.1：（热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒子
（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 时刻的值是随机变量， 它在任一确定 t 时刻的值是随机变量，记为 V (t ) ． 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间， 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间，譬如 [0, +∞)上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量．在无 上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量． 线电通讯技术中，接收机在接收信号时， 线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（假设没有 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（ 其它干扰因素）， ），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 其它干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 为此， 程.为此，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进
第二章随机过程基本概念.
第二章随机过程基本概念.2随机过程的基本概念§2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量 .对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 .其研究对象是随机现象,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 .一随机过程的定义1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量,(2对每一个e ∈ S , X(e,t为t 的函数,那么称随机变量族{X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为{X(e,t, t∈ T}或 X(t。
((((({}{}[](为随机序列。
时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。
通常有三种形式:参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。
随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。
为即若用映射来表示注意:t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。
则令掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则(1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..},且对于不同的 t, 是不同的随机变量 .(2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 .(即:在多长时间内来 n 个人 ?所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 .相位正弦波。
随机过程PPT课件
§2.1 随机过程的概念及其统计特性
1、 随机过程的概念 例子：热噪声电压。（有电子元器件内部微观粒子 （如电子）的随机热运动所引起的端电压。用一 台高灵敏无线电接收机，观测“热噪声电压” （无信号输入），n次观测结果分别 为，X 1 ( t ) ，X 2 ( t ) ，….，X n ( t ) 。 如图所示。可以看出，每次观测到热噪声电压都是 不同的，且在观测之前是不可预测的，即每次的 观测结果是随机的。
只取V0(或t ) 12两个值。
• 3 0 连续型随机序列
• 时间是离散的，状态是连续的。在任一离散 时刻的状态是连续型随机变量。对连续型随
机过程进行等时间间隔采样，即设到连续随 机序列。
• { ， ……， }。 X(nt) X (t) X (2t)
X (nt)
• 4 0 离散随机序列
• 状态和时间均是离散的。
• 将连续型随机信号经过数模转换等间隔采 样后，即为离散随机序列。简称为随机序 列或随机数字信号。
• 若采样间隔为 t ：X (t) ，X (2t) ……，X (nt)。或记 为： ， X (1 ) X ( 2 ) ……，X ( n ) 。
• 以为时间按间隔增长，故常称离散随机序 列为时间序列。这类随机信号是本课程讨 论的主要对象。
• 按随机过程的分布函数（或概率密度）的 不同特性分：
• （1）平稳随机过程； • （2）马儿可夫（Markov）过程； • （3）独立增量过程； • （4）独立随机过程； • 等等
随机过程随机过程的基本概念ppt课件
6
2.1 随机过程的定义
例2.1.2 电子元件或器件由于内部微观粒子 （电子）的随机热噪声引起的端电压称为热 噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变 量，记为V(t). 如果t 从0变到+∞，t 时刻的热 噪声电压需要用一族随机变量{V(t), t ∈[0, +∞]}来表示，则该随机变量就是一个随机过 程. 对某种装置做一次试验，便可得到一个 “电压—时间函数”v(t) . 这个“电压—时间 函数”是不可能预先确知的，只有通过测量才 能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一 次测量，则得到的记录是不同的.
; 取V=0,则
x(t)=0;取V3=1，则x(3t)=cosωt. 这些都是 t 的
确定函数，即随机过程的样本函数.
12
2.1 随机过程的定义
(2) 当t=0时，X(0)=V，故X(0)的概率密度函 数就是V的概率密度函数，即
1,0 x 1 fX (0) (x) 0,其他
当 故
1,0 v 1 fV (v) 0,其他
(1) 画出{X(t) ,﹣∞<t<+∞}的几条样本曲线；
(率2)密求度t 函 0数, 4;
,
3 4
,
时随机变量X(t)的概
(3)求
t
2
时X(t)的分布函数
11
2.1 随机过程的定义
解
(1) 取 V 2 则x(t) 2 cost
定义2.1.3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，则 当ω ∈ Ω固定时， X(t)是定义在上T不具有 随机性的普通函数，记为x(t), 称为随机过 程的一个样本函数. 其图像成为随机过程 的一条样本曲线（轨道或实现）.
第二章随机过程
第⼆章随机过程第 2 章随机过程2.1 引⾔确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。
?通信中⼲扰是随机信号，通信中的有⽤信号也是随机信号。
描述随机信号的数学⼯具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推⼴到时间函数。
2.2 随机过程的统计特性⼀.随机过程的数学定义：设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t)是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到⼀个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成⼀随机过程，记作)(t g 。
随机过程举例：⼆.随机过程基本特征其⼀，它是⼀个时间函数；其⼆，在固定的某⼀观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
●随机过程)(t g 在任⼀时刻都是随机变量；●随机过程)(t g 是⼤量样本函数的集合。
三.随机过程的统计描述设)(t g 表⽰随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是⼀个⼀维随机变量。
1.⼀维分布函数：随机变量)(t g ⼩于或等于某⼀数值x 的概率，即})({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.12.⼀维概率密度函数:⼀维概率分布函数对x 的导数.xt x P t x p ??=);(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的⼆维分布})(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.34.⼆维分布密度定义为212121221212),;,(),;,(x x t t x x P t t x x p = 2.2.4 四.随机过程的⼀维数字特征设随机过程)(t g 的⼀维概率密度函数为),(1t x p .1.数学期望(Expectation)dx t x xp t g E t g );()]([)(1?∞∞-==µ 2.2.5 2.⽅差(Variance)dx t x p t x t t g E t g Var t g g g ),()]([]))()([()]([)(1222µµσ-=-==?∞∞- 2.2.6五.随机过程的⼆维数字特征1.⾃协⽅差函数(Covariance)21212122211221121),;,())())((())]()())(()([(),(dx dx t t x x p t x t x t t g t t g E t t C g g g g g µµµµ--=--=??∞∞-∞∞- 2.2.72. ⾃相关函数(Autocorrelation)2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t g t g E t t R g ∞∞-∞∞-== 2.2.83.⾃相关函数和⾃协⽅差函数的关系)]([)]([),(),(212121t g E t g E t t R t t C g g ?-= 2.2.94.设两个随机过程分别为)(),(t h t g ,在时刻1t 和2t ,对)(),(t h t g 抽样,两个随机过程的互相关函数(Cross-correlation)定义为)]()([),(2121t h t g E t t R gh = 2.2.105.两个随机过程的互协⽅差函数(Cross-covariance)定义为)]()())(()([(),(221121t t h t t g E t t C h g gh µµ--= 2.2.112.3 平稳随机过程⼀.狭义平稳的随机过程(严平稳的随机过程)对于任意的正整数n 和实数τ,若随机过程)(t g 的n 维概率密度函数满⾜ ),,;,,(),,;,,,(21212121n n n n n n t t t x x x p t t t x x x p=+???++???τττ 2.3.1 则称)(t g 为狭义平稳的随机过程.统计特性不随时间的推移⽽变化的随机过程称为平稳随机过程。
随机过程第二章
f (t ) = λe − λ t
X1 follows an exponential distribution with parameter λ
6
2.2 Properties of Poisson processes
For any s>0 and t>0, {X2>t|X1=s} ⇔{0 event in (s, s+t]|X1=s} P{X2>t|X1=s} = P{0 event in (s, s+t]|X1=s} = P{0 event in (s, s+t]} (independent-increment) = P{0 event in (0, t]} (stationary-increment) = P{N(t)=0}= e-λt P{ X2≤ t|X1= s} = 1- e-λt
12
2.2 Properties of Poisson processes
λh1e − λh ...λhn e − λh e − λ (t − h −...h ) = e − λt (λ t ) n
1 n1 1 n
(According to Eq.2-1-1)
n! = (Depends on the total number of subscribers and their arriving time)
Let N(t) denote the number of subscribers, and Si denote the arrival time of the ith customer. The revenue generated by this customer in (0,t] is t-Si. Adding the revenues generated by all arrivals in (0,t] N (t ) ⎡ N (t ) ⎤ ∑ (t − Si ) , E ⎢ ∑ (t − S i )⎥ ⎣ i =1 ⎦ i =1
随机过程第二章
对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为
⎧1 − e − λ t , t ≥ 0 FTn (t ) = P{Tn ≤ t} = ⎨ t<0 ⎩0,
其概率密度为
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱTn
⎧λ e −λt , (t ) = ⎨ ⎩0,
t ≥ 0 t < 0
等待时间的分布
等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布
或
n≥0
[ m X (t )] n P{ X (t ) = n} = exp{ − m X (t )}, n!
例题3.8
1 (1 + cos ω t ) 的非齐次泊 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度 λ ( t ) = 2 松过程（ω≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。
例题3.9 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增 加，8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时 到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘 客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人 来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
P{ X (t + h) − X (t ) ≥ 2} = o(h)
非齐次泊松过程的均值函数为
m
X
(t ) =
∫
t 0
λ ( s ) ds
定理： 设{X(t),t≥0}为具有均值函数 m 则有
X
(t ) =
∫
t 0
λ ( s ) ds
非齐次泊松过程，
P{ X (t + s ) − X (t ) = n} [ m X (t + s ) − m X (t )] n = exp{−[ m X (t + s ) − m X (t )]}, n!
第2章 随机过程
第2章
随机过程
随机信号分析
3 随机过程的定义：
定义1：设随机试验E的样本空间 S { } ，若对于 每个元素 S ，总有一个确知的时间函数 X (t , ) 与它对应，这样，对于所有的 S，就可以得 到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的 每一个函数称为样本函数。 定义2：若对于每个特定的时间 ti (i 1,2,) X (ti , ) ， 都是随机变量，则称 X (t , ) 为随机过程.X (ti , ) 称为随机过程 X (t ) 在t t i 时刻的状态。
第2章 随机过程
随机信号分析
2 二维概率分布 二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分布函数FX(x1,x2;t1,t2)为
FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}
若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，则
2 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2
为随机过程X(t)的二维概率密度
第2章 随机过程
随机信号分析
3 n维概率分布 随机过程 X (t )在任意n个时刻 t1 , t2 ,, tn 的取值 X (t1 ), X (t2 ),, X (tn ) 构成n维随机变量 [ X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )], 定义随机过程X (t ) 的n维分布函数和n维概率密 度函数为
n重
4 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )dx1dx2 dxn 1
5
n－m重
第二章 随机过程
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
随机过程
对于某个特定的时刻 t ， X (t) 是一个随机变量，设 x 为任意实数，我们定义
FX (x,t) = P{X (t) ≤ x} 为 X (t) 的一维分布。
(2.2.1)
很显然，由于对不同的时刻 t ，随机变量 X (t) 是不同的，因而相应地也有不同的分布函数，因
此，随机过程的一维分布不仅是实数 x 的函数，而且也是时间 t 的函数。
设一质点在 x 轴上随机游动，质点在 t=0 时刻处于 x 轴的原点，在 t=1,2,3…质点向正向(概
率为 p)或反向移动(概率为 q=1-p)一个距离单元，设 X(n)示质点在 t=n 时刻与原点的距离，如果
X(n-1)=k，那么，
X
(n)
=
⎧k ⎨⎩k
+1 −1
质点正向移动一个距离单元 质点反向移动一个距离单元
定义 1: 设随机试验 E 的样本空间为 S = {e} ，对其每一个元素 ei (i = 1,2,...) 都以某种法则确 定一个样本函数 x(t, ei ) ,由全部元素{e} 所确定的一族样本函数 X (t, e) 称为随机过程，简记为 X (t) 。在电子系统中，我们通常把随机过程叫做随机信号，在本书中，随机信号和随机过程代表
50
60
70
80
0
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
图2.1 随机相位信 例 2.2 接收机的噪声 我们用示波器来观察记录某个接收机输出的噪声电压波形，假定在接收机输入端没有信号，但 由于接收机内部元件如电阻、晶体管等会发热产生热噪声，经过放大后，在输出端会有电压输出，
假定在第一次观测中示波器观测记录到的一条波形为 x1 (t) ，而在第二次观测中记录到的是 x2 (t) ， 第三次观测中记录的是 x3 (t) ，┄，每次观测记录到的波形都是不相同的，而在某次观测中究竟会 记录到一条什么样的波形，事先不能预知，由所有可能的结果 x1 (t) , x2 (t) , x3 (t) ,…构成了 X (t) 。
第2章 随机过程
2、随机过程的基本特征（属性） 、随机过程的基本特征（属性） （1）随机过程是一个时间函数； ）随机过程是一个时间函数； （2）在给定的任一时刻t1，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是 ）在给定的任一时刻 全体样本在 时刻的取值 是 一个不含t变化的随机变量 一个不含 变化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成 变化的随机变量 依赖时间参数的一族随机变量。
(2.1 - 12) (2.1 - 11)
作 业
思考题（自作）： 思考题（自作）： P61 习 题 ： P61 3-1，3-2 ， 3-2
2.2
平稳随机过程
★ 平稳随机过程的定义 ★ 各态历经性（遍历性） 各态历经性（遍历性） ★ 平稳过程的自相关函数 ★ 平稳过程的功率谱密度
一、平稳随机过程的定义
(2.1 数的关系 ） 协方差函数和（ B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2)
若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2＞t1，并令t2=t1+τ，则R(t1, t2)可表示为R(t1, t1+τ)。这说 明，相关函数依赖于起始时刻 1及t2与t1之间的时间间隔 即相关 相关函数依赖于起始时刻t 之间的时间间隔τ,即相关 相关函数依赖于起始时刻 函数是t 的函数。 函数是 1和τ的函数。 的函数 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因此， 它们又常分别称为自协方差函数 自相关函数 自协方差函数和自相关函数 自协方差函数 自相关函数。
二、随机过程的统计特性
1、一维分布函数 一维分布函数 表示一个随机过程， 设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻 1∈T， 其取 表示一个随机过程 在任意给定的时刻t ， 值 ξ(t1)是一个一维随机变量， 把随机变量ξ(t1)小于或等于某一 是一个一维随机变量， 把随机变量 小于或等于某一 是一个一维随机变量 数值x 的概率称为随机过程ξ(t)的一维分布函数 数值 1 的概率称为随机过程 的 一维分布函数，简记为F1(x1, t1)， 即 F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］ 2、一维概率密度函数 一维概率密度函数 如果一维分布函数F 如果一维分布函数 1(x1, t1)对x1的偏导数存在，则称 1(x1, 对 的偏导数存在，则称f t1)为ξ(t)的一维概率密度函数 为 的一维概率密度函数。即有 ∂F1 ( x1 , t1 ) (2.1 - 1)
随机过程第二章课件
0.7 0.3 设 0.7, 0.4 ，则一步转移概率矩阵为 P 0.4 0.6
于是，两步转移概率矩阵和四步转移概率矩阵分别为
p00 P p 10
p01 p11
1 1
2.1 马尔可夫过程的定义
【二】马尔可夫链定义:
【性质】对于马尔可夫链，它的联合概率具有如下性质：
PX n in X 0 i0 , X 1 i1,, X n1 in1PX 0 i0 , X 1 i1,, X n1 in1 PX n in X n1 in1PX 0 i0 , X 1 i1,, X n1 in1
f tm , xm t1 , t2 ,, tm1; x1 , x2 ,, xm1 f t1 , t2 ,, tm1; x1 , x2 ,, xm1 f tm , xm tm1 , xm1 f t1 , t2 ,, tm1; x1 , x2 ,, xm1 f xm xm1 f xm1 xm2 f x2 x1 f x1
0.61 0.39 P 2 P P 0.52 0.48
0.5749 P 4 P 2 P 2 0.5668
0.4251 0.4332
由此可知，今日有雨且第四日仍有雨的概率为
4 p00 0.5749
2.1 马尔可夫过程的定义
【三】转移概率:
【定义二】高步转移概率： 设X n , n 0 为一马尔可夫链，对任意的 整数 0, n 0 ，及状态 j I ，记 i, m
pijm n PX n m j X n i
称为 m 步转移概率。它表示在时刻 n 时， X n 的状态为 i 的条件 m 下，经过 m 步转移到状态 j 的概率。 pij n 具有如下性质：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有限维分布函数的性质
对称性
对于t1,t2,,tn的任意排列：{ti1 ,ti2 ,,tin }，有 Fnx1, x2,, xn;t1,t2,,tn F（n xi1 , xi2 ,, xin ;ti1 ,ti2 ,,tin）;
相容性 当m n时
Fm x1, x2,, xm;t1 , t2,, tm
为过程X t和Y t的互协方差函数
称
RXY t1,t2 EX t1 Y t2
为过程X t 与Y t 的互相关函数
计算可得：
BXY t1, t2 RXY t1, t2 mX t1 mY t2
X t 与Y t 不相关 BXY t1,t2 0
RXY t1,t2 mX t1 mY t2
二、有限维联合分布数函数族
若同时定义两个随机过程X t及Y t， 描述它们的
统计特征， 除了它们各自的有限维分布函数外，
还需要反映它们联合统计特征，即联合分布函数族。 n m维联合分布函数
Fn,m x1,, xn;t1,,tn; y1,, yn;t1,,tm PX (t1) x1,, X (tn ) xn;Y (t1) y1,,Y (tm ) ym
数字特征，协方差函数
方差 BX (t1,t2 )
函数
2 X
(t
)
都可以由它们确定。
例 设随机过程X t eAt ,t 0, A ~ U 0,1
求X t的数字特征.
解：m
X t EX t E eAt
e f xt
A
x dx
1extdx 1 1 et
0
t
RX t1,t2 E eAt1 eAt2 E eAt1t2
相互独立的随机变量， 且EY EZ 0, DY DZ 2
求X t的均值函数和协方差函数。
解：E X t EY cost Z sint
costEY sintEZ 0
注： 上式表面如果X， Y不相关，且各自的均值 函数为0，则它们的互相关函数也为0。
若RXY t1,t2 0,称X t 与Y t 相互正交
例：设X t为信号过程，Y t为噪声过程，
令：W t X t Y t，
求W(t)的均值函数和相关函数。
mW t mX t mY t
RW t1,t2 EX t1 Y t1X t2 Y t2 EX t1X t2 EX t1Y t2 EY t1X t2 EY t1Y t2
f1x;t
F x; t
x
为随机过程X t的一维分布密度
对所有不同的t T， 得一族概率密度函数
f1x;t ,t T，称为一维概率密度函数族。
一维分布函数族只能描述随机过程X (t)在某一时刻 的统计特性，为了描述随机过程在不同时刻的相互 关系，一般需用n个不同时刻t1,t2,,tn T所对应的 n个随机变量X (t1), X (t2 ),, X (tn )的联合分布函数。
Fnx1, x2,, xm ,, ;t1, t2,, tm , tm1,, tn
可见， 由高维分布可推出低维分布， 反之不一定。
有限维分布函数族
对称性 相容性
Kolmogorov存在定理
设已给参数集T及满足对称性和相容性条件 的分布函数族F，则必存在概率空间（Ω,F,P） 及定义在其上的随机过程{X(t),t∈T}，它的有限 维分布函数族是F。
RX t1,t2 RXY t1,t2 RYX t1,t2 RY t1,t2
表明， 两个过程之和的相关函 数可以表示为各随机
过程的相关函数与它们 的互相关函数之和。
特别当两个过程互不相关且均值函数为零时,有
RW t1,t2 RX t1,t2 RY t1,t2
例：设X t Y cost Z sint,t 0，其中Y , Z是
1 1 et1t2
t1 t2
当t1
t2
t时,得
2 X
t
EX
2
t
RX
t , t
1 2t
1
e2t
DX
t
2 X
t
m2 X
t
1 2t
1
e2t
1 t2
1
et
2
四、互相关函数
两个随机过程之间的关系
互协方差函数 互相关函数
设X t,t TY t,t T,是两个二阶矩过程
则称：
BXY t1,t2 EX t1 mX t1Y t2 mY t2 , t1,t2 T
随机变量X e
随机向量X1e, X2e,, Xne 随机序列Xne,n 1,2
随机过程X t,e,t T
随机变量在每次试验的结果中，以一定的概率 取某个事先未知，但为确定的数值。 在实际应用中，我们经常要涉及到在试验过程中 随时间t而改变的随机变量。
例如： 生物群体的增长问题，Xt 记t时刻群体的个数； 电话交换机在一定时间段内的呼叫次数； 一定时期内的天气预报等等。
即：
X (t)
2 X
(t)
D[X (t)]
（三）自相关函数
均值和方差刻划了随机过程在各个时刻 的统计特性，但不能描述过程在不同时刻的相 关关系，这点可从下图所示的两个随机过程
X (t) 和 Y (t) 来说明，从直观上看，它们具 有大致相同的均值和方差，但两者的内部结构 却有非常明显的差别
具有相同均值函数和方差函数的两个不同的随机过程
设{X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T，
E[X(t)]存在，则称函数
m
X
t
E
X
t
xdF1x;
t
,
t
T
为X(t)的均值函数，
反映随机过程在时刻t的平均值。
X (t)
mX (t) X (t)
mX (t)
mX (t) X (t)
显然mX t是一个平均函数， 它表示随机过程X t 的波动中心， 样本曲线绕mX t曲线上下波动， 注意mX t是一条固定的曲线，这里mX t是随机 过程X t的所有样本函数在时刻t的函数值的平均，
例. X t a cost , a,为常数 ~ U 0,2 ,
t 0,
对每个i 0,2 数.
X (t )
x1(t),1 0
x2 (t ), 2
3
2
x3 (t), 3
对固定的时刻ti T，X ti costi 是一个
Fn x1, x2,, xn;t1,t2,,tn PX (t1) x1, X (t2 ) x2,, X (tn ) xn
当t1,t2,,tn取遍参数集T时， 便得一族n维分布函数，
这些分布函数的全体：
F Fn x1, x2,, xn;t1,t2,,tn ，t1,t2,,tn T , n 1
我们把随机过程 X 在t 任意两个不同时刻
t1,t2 T 的随机变量 X 与(t1) 的混X (合t2 )原点矩（若 存在）
E[ X (t1) X (t2 )]
x1x2dF 2(x1, x2;t1,t2 )
称为随机过程X(t)的自相关函数，简称相关函数，
记作 RX (t1 ,t2 )
若取 t1 t2 t， 则有
二、随机过程的定义
定义2.1 设, F, P是概率空间，T 是给定的参数集， 若对每一个t T， 有一个随机变量X t,e与之对应， 则称依赖于参数t的随机变量族X t,e,t T是定义 在, F, P上的随机过程。
简记X t,t T，T称为参数集，
（指标集， 通常指时间）
X t通常表示在时刻t系统的状态
第二章 随机过程的概念与基本类型
❖ 随机过程的定义和统计描述 ❖ 随机过程分布和数字特征 ❖ 复随机过程 ❖ 随机过程基本类型
一、随机过程是随机变量的推广
概率论主要研究的对象是随机变量，即随 机试验的结果，可用一个或有限个随机变量描 述的随机现象。而有些随机现象仅用一个或有 限个随机变量描述是不够的，必须用无穷多个 随机变量来描述。
通常称这种平均为统计平均又称集平均。
（二）均方值函数与方差
我们把随机变量 X (（t) 随机过程对应于某个
固定t值）的二阶原点矩
记作
2 X
(t)
E[
X
2
(t )]
x 2 dF1 ( x; t )
称为随机过程 X (t)的均方值函数。
而把 X (t)的二阶中心矩，
2 X
(t)
D[ X
(t)]
E{[ X
X (t)
Y (t)
mX (t)
mY (t)
其中 X (随t)时间变化缓慢，这个过程在两个不同 时刻的状态之间有较强的相关性; 而 Y的(样t) 本函数变化激烈，波动性大，其不同时刻 的状态之间的联系不明显，且时刻间隔越大，联系越
弱.
因此，必须引入描述随机过程在不同时刻 之间相关程度的数字特征。
自相关函数（简称相关函数）就是用来描 述随机过程两个不同时刻，状态之间内在联 系的重要数字特征。
称为样本函数空间；
3).当t,e都固定，X t,e为一个数， 即在t时刻系统所
处的某一个状态。
对接收机的输出噪声电压，作一次“长 时间的观察”，测量获得的噪声电压Xt是一 个样本函数
e 1, x1(t) e 2, x2 (t) e 3, x3(t) e k, xk (t)
e n, xn (t)
X t的所有值域可能状态称为状态空间
注： 从数学的观点来看， 随机过程
X t,e,t T是定义在T 上的二元函数
1.对固定的t，X (t,e)是, F, P上的一个随机变量；
2.对固定的e, X (t,e)是定义在T上的一个普通函数，
称为样本函数，对应于e的一个样本轨道或实现，
变动e ，则得到一族样本函数， 样本函数的全体