离散傅立叶变换的性质
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
离散傅里叶变换性质
X [m] X [ N m]
实序列 实部周期偶对称，虚部 周期奇对称
当x[k]是实序列周期偶对称时：X [m] X [ N m]
实序列，周期偶对称 实序列，周期偶对称
当x[k]是实序列周期奇对称时： X [m] X [ N m]
实序列，周期奇对称 纯虚序列，周期奇对称
第2章 离散傅里叶变换(DFT)
问题的提出
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
2. 循环位移
3. 对称性 4. 序列的循环卷积 5. 序列DFT与z变换的关系
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
X1[m] DFTx1[k ]
k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x[(k 2) 5 ]R N [k ]
k
0 1 2 3 4
DFT时域循环位移特性
mn ~ ~ DFS {x[k n]} WN X [m]
DFTx[( k n) N ]RN [k ]
mn WN X [m]
时域的循环位移对应频域的相移
DFT{ x [k ]} X [(m)N ]RN [m] X [ N m]
时域共轭 频域周期共轭 ~ DFT{x [(k ) N ]RN [k ]} X [m] 时域周期共轭 频域共轭
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
当x[k]是实序列时：
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
序列的循环卷积步骤： （1）补零
（2）周期延拓
离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 基本概念
1. 序列的圆周移位 序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：
y(n) x((n m))N RN (n) circshift(a,[0,-1])
循环移位过程：
x(n) 周期延拓 x(n) x((n))N 左移m位
x(n), n 0,1, , N 1
N 1
X (z) ZT [x(n)] x(n)zn
n0 N 1
, X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
比较上面二式可得关系式:
0 k N-1
X (k ) X ( z) , j2 k ze N
0 k N-1
(3.1.3)
序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样
(4) 周期为N 的离散周期信号
DFS
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
k ~ n ~
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
m0
yc (n) y(n qN )RN (n)
q
序列的N点圆周卷积是序列线性卷积(以N为周期)周
期延拓序列的主值序列。故，当N≥[N1+N2-1]时，线性 卷积与圆周卷积相同。
圆周卷积 是针对DFT引出的一种表示方法
两序列长度必须等，不等时按要求补零
1离散傅里叶变换的定义及物理意义2离散傅里叶变换的基本
的主值序列。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数 X (k ) 确定，因此： X(k) 实质上是 x(n) 的周期延拓序列 x((n)) N 的频谱特性 观察 DFT[R4(n)]4= 4δ(k)。 根据DFT第二种物理解释可知，DFT[R4(n)]4 表示 R4(n)以4为周期的周期延拓序列R4((n))4的频谱特性，因 为R4 ((n))4是一个直流序列，只有直流成分（即零频率 成分），所以， DFT[R4(n)]4 = 4δ(k) 。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
|X(ejω)| (a)R4(n)的幅频特性图
4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
|X(k)|
(b)4点DFT的幅频特性图
5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
|X(k)|
ω/π
ω/π
图3.1.3 例3.1.2程序运行结果
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
3.2
3.2.1 线性性质
若x1(n)、x2(n)是两个有限长序列，长度为N1、N2，且
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
a、b为常数，取N=max[N1, N2]，则 y(n) 的 N 点DFT为
Y(k) = DFT[y(n)]N = aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1 其中 X1(k) 和 X2(k) 分别为 x1(n) 和 x2(n) 的N点DFT
x(n) x((n)) N
（3）最后取 x(n m) 的主值序列 x((n+m)) NRN(n) 得到有限长序列 x(n) 的循环移位序列 y(n)。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
离散傅里叶变换及其性质
离散傅⾥叶变换及其性质1 ⼀维与⼆维离散傅⾥叶变换以周期对函数 f(t) 采样可表⽰为，对采样函数进⾏傅⾥叶变换得，整理得。
由于对函数 f(t) 的采样周期为，采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期为，同样的，也是采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期，只是这个周期不是以原点对称的。
在区间中取 M 个点，则第 m 个点的频率为，带⼊公式得，其中，为连续函数 f(t) 对应的 M 个离散值，为取样函数的傅⾥叶变换对应的 M 个离散值，整理公式得（由于函数仅在 [0,M-1] 上有⾮零值，故真实求和区间为 [0,M-1]）。
因此，⼀维离散傅⾥叶变换对为，。
类似的，⼆维离散傅⾥叶变换对为，。
2 傅⾥叶变换的性质1）傅⾥叶变换平移特性，⽤指数项乘以 f(t) 使得傅⾥叶变换后原点移动到处，使⽤负指数乘以使得反傅⾥叶变换后原点移动到处，证明如下：，使⽤替换得，因此有，类似推导可得。
将平移特性扩展到⼆维离散变量上有。
2）离散傅⾥叶变换⼀定具有周期特性，因为离散傅⾥叶变换的频率取值在区间内，有限频率导致必然具有周期性，连续傅⾥叶变换频率取值为⽆穷⼤，所以连续傅⾥叶变换⼀般不具有周期性（但也有所有频率都⼀样的函数）。
离散傅⾥叶变换周期性可表⽰为。
观察公式 或，发现频率取值在之间，⽽⼀个完整的频率应该在之间，如下图：如果直接应⽤公式进⾏傅⾥叶变换，得到的频率为 [0,M-1]区间，这是两个半周期组成的⼀个周期。
在图像中则表现为低频信号分布在4个⾓落，这显然不便于观察频率信息。
结合傅⾥叶变换的平移特性，可以将原函数乘以⼀个正指数项，使得平移后傅⾥叶变换再 [0,M-1]区间正好是⼀个完整的周期。
将原函数平移 M/2 可以实现该⽬标，具体分析如下： 原函数平移 M/2 得 ，由于 x 为⾮负整数，,最终得到。
对于⼆维离散变量有相似结论 。
3）原函数（⼆维及以上）旋转⼀定⾓度，其傅⾥叶变换也旋转对应⾓度。
令 为原函数变量的列向量， 为傅⾥叶变换函数变量的列向量，对的傅⾥叶变换可表⽰为，对 旋转⼀定⾓度可表⽰为，其中 R 为旋转矩阵，对 的傅⾥叶变换可表⽰为 ，由 得 ，并将其带⼊上式得，由于，因此 ，使得傅⾥叶变换旋转相应⾓度。
离散傅里叶变换的基本性质
x(5 )
A(6 )
W
0 N
x(3 )
A(7 )
x(7 )
W
0 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
W
0 N
A(3 )
W
2 N
A(4 )
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
A(0 ) X(0 ) X(1 ) X(2 ) X(3 ) X(4 ) X(5 ) X(6 )
A(7 ) X(7 )
m N
WN 2
WNm
2. 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：
时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT,简称DITFFT)和频域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简 称DIF―FFT)。下面先介绍DIF―FFT算法。
设序列x(n)的长度为N，且满足
N 2M , M 为自然数
第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法，简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分
开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，叫旋转因子．
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
数字信号处理中的离散傅里叶变换
数字信号处理中的离散傅里叶变换数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是在数字计算机或数字信号处理器上对信号进行处理和分析的一种技术。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）作为DSP中的重要方法之一，在信号处理的各个领域都发挥着重要的作用。
一、离散傅里叶变换的定义和原理离散傅里叶变换是将离散的时间域信号转换为频域信号的一种方法，它可以将信号从时域转换到频域进行分析。
DFT的定义如下：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$其中，$x[n]$为离散时间域信号，$X[k]$为离散频域信号，$N$为信号的长度，$k$为频域的索引。
离散傅里叶变换可以看作是对信号进行一系列的乘法和求和操作，它使用复指数函数作为基函数来表示信号。
通过将信号与不同频率的正弦波进行内积操作，可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息，从而实现频谱的分析。
二、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质对于信号处理和频域分析非常有用。
以下是几个常见的性质：1. 线性性质：DFT是线性变换，即对两个信号的和进行DFT等于分别对这两个信号进行DFT后再求和。
2. 周期性：若信号的长度为$N$，则DFT系数$X[k]$具有周期性，周期为$N$。
3. 对称性：若信号的长度为$N$，则当$k$取$N-k$时，$X[k]$与$X[N-k]$相等。
4. 移位性质：对于一个时域序列$x[n]$，将其向右移动$m$个位置得到新的序列$x[n-m]$，则对应的DFT系数$X[k]$只需将原始的$X[k]$循环右移$m$个位置得到。
三、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，以下列举几个典型的应用场景：1. 信号分析：通过DFT可以将信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率上的能量分布情况。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
离散傅里叶变换的特点
离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种数学变换技术，用于将时域离散信号转换为频域离散信号。
它是傅里叶变换在离散时间序列上的推广和离散信号处理中最重要的工具之一。
离散傅里叶变换具有以下几个特点：1. 离散性：离散傅里叶变换适用于离散时间序列的信号处理，它将连续时间信号转换为离散频率信号。
与连续傅里叶变换不同，离散傅里叶变换对信号进行采样和离散化处理，适用于数字信号处理领域。
2. 周期性：离散傅里叶变换是一种周期性变换，其输入信号在时域上必须是周期性的。
这是因为离散傅里叶变换假设信号是周期重复的，频域上的离散频率点也是周期性重复的。
3. 线性性：离散傅里叶变换具有线性性质，即对于输入信号的线性组合，其离散傅里叶变换等于各个信号的离散傅里叶变换的线性组合。
这使得离散傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用。
4. 对称性：离散傅里叶变换具有对称性质，即输入信号的离散傅里叶变换结果的实部和虚部具有对称性。
这个性质在信号处理中常常用于简化计算和减少存储空间。
5. 傅里叶变换和逆变换：离散傅里叶变换和逆变换是互逆的，即对一个信号进行离散傅里叶变换后再进行逆变换，可以恢复原始信号。
这使得离散傅里叶变换在信号压缩、滤波和频谱分析等方面具有重要应用。
离散傅里叶变换的特点使其在数字信号处理、通信系统、图像处理、音频处理等领域得到广泛应用。
在数字信号处理中，离散傅里叶变换可以用于信号的频谱分析和滤波。
通过计算信号的离散傅里叶变换，可以将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱信息。
频谱分析可以帮助我们了解信号的频率成分和能量分布，从而对信号进行特征提取、模式识别和信号分类等任务。
同时，通过对信号的频域信息进行滤波，可以实现信号的去噪、陷波和增强等处理。
在通信系统中，离散傅里叶变换可以用于信号的调制和解调。
调制是将基带信号转换为带通信号，而解调是将带通信号转换为基带信号。
10第十讲 离散傅里叶变换的性质
第3章 离散傅里叶变换
复序列x(n) = e
j
2π n N
是圆周共轭对称序列,因x (−n) = [e
*
−j
2π n * N
] =e
j
2π n N
= x ( n)
2π 2π 2π n)是偶对称序列,因xr (−n) = cos(− n) = cos( n) = xr (n) N N N 2π 2π 2π 其虚部xi (n) = sin( n)是奇对称序列,因xi (−n) = sin(− n) = − sin( n) = − xi (n) N N N 其实部xr (n) = cos( 复序列x(n) = je
第3章 离散傅里叶变换
是圆周共轭对称序列
−j 2π n * N N
因x* ((−n)) N RN (n) = [e 其实部xr (n) = cos(
] RN ( n ) = [ e
j
2π n N
] N RN ( n ) = x ( n )
2π n)是圆周偶对称序列 N 2π 因xr ((−n)) N RN (n) = cos((− n)) N RN (n) N 2π = cos(( n)) RN (n) = xr ((n)) N RN (n) = xr (n) N ⇒ xr (n) = xr ((− n)) N RN (n) 2π n)是圆周奇对称序列 N 2π 因xi ((−n)) N RN (n) = sin((− n)) N RN (n) N 2π = − sin(( n)) N RN (n) = − xi ((n)) N RN (n) = − xi (n) N ⇒ xi (n) = − xi ((−n)) N RN (n) 其虚部xi (n) = sin(
离散傅里叶变换及其性质
kn
N 1
f
(k )W
kn (0
n
N
1)
2N-1 k
k 0
k 0
f (k) IDFT[ F(n)]
1
N 1
j2 kn
F(n) e N
1
N 1
F(n)W kn (0 k N 1)
N n0
N n0
若将f(k)，F(n)分别理解为fN(k)，FN(n)的主值序列，那 么，DFT变换对与DFS变换对的表达式完全相同。
|F(n) |2
k 0
N n0
表明，在一个频域带限之内，功率谱之和与信号的能 量成比例。
▲
■
第 10 页
证明 ▲
■
第5页
4. 频移特性（调制）
若 f(k)←→ F(n)
则
W–l kf (k) ←→ F((n –l))NGN(n)
▲
■
第6页
5. 时域循环卷积（圆卷积）定理
• 线卷积： 有限长序列f1(k)和f2(k)的长度分别为N和M，则两 序列的卷积和f(k)(称为线卷积)仍为有限长序列序 列，长度为N+M –1。
▲
■
第4页
3. 时移特性
•圆周位移（循环位移）： 将有限长序列f(k)周期拓展成周期序列fN(k)，
再右移m位，得到时移序列fN(k –m)，最后取其主 值而得到的序列称为f(k)的圆周位移序列，记为
f ((k –m))NGN(k)
•时移特性 若 f(k)←→ F(n) 则 f ((k –m))NGN(k) ←→ WmnF(n)
■
第1页
一．离散傅里叶变换(DFT)
借助周期序列DFS的概念导出有限长序列的DFT。
离散傅里叶矩阵
离散傅里叶矩阵离散傅里叶矩阵（Discrete Fourier Transform Matrix）是一种重要的数学工具，用于分析数字信号和数字图像。
它以一种复数方程形式表示信号或图像，并将其转换为频域或时域表示。
在信号处理和图像处理中，离散傅里叶矩阵十分常见，因其强大的谱分析和滤波能力，以及快速傅里叶变换算法的存在，进一步推动了其使用。
以下是对离散傅里叶矩阵的简单介绍。
1.离散傅里叶变换离散傅里叶变换是指对离散时间序列进行傅里叶变换。
一个长度为N 的实序列x[n]的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）定义为：X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},k=0,1,2,...,N-1其中，k表示频率，n表示时间，X[k]表示变换后的值，x[n]表示变换前的值。
2.离散傅里叶矩阵将离散傅里叶变换的公式写成矩阵形式：X=Fx其中，X和x分别表示离散傅里叶变换前后的信号。
F是离散傅里叶变换矩阵，是一个N阶方阵，可以通过以下公式进行计算：F_{nk} = e^{-j2\pi nk/N}, k,n=0,1,\ldots,N-1离散傅里叶变换矩阵具有以下性质：（1）方阵：因为是对一个长度为N的序列进行变换，所以离散傅里叶变换矩阵是一个N阶方阵。
（2）正交矩阵：离散傅里叶变换矩阵的逆矩阵是其共轭转置，即F^{-1}=\frac{1}{N}\bar{F}^T，也就是说离散傅里叶变换矩阵是一个正交矩阵。
（3）单位ary矩阵：单位ary矩阵是指矩阵的每一列都是单位向量，而且所有列之间的内积相等。
离散傅里叶变换矩阵是一个单位ary矩阵。
3.应用离散傅里叶变换和矩阵在信号处理和图像处理中都有广泛应用。
在信号处理中，通常采用快速傅里叶变换算法，用来分析和处理时间序列信号；在图像处理中，离散傅里叶变换被广泛用于图像压缩和频域滤波。
除了离散傅里叶变换，还有其他类型的变换，如二维离散傅里叶变换和小波变换等，在现实中的应用也很广泛。
离散傅里叶变换
c) 频域循环移位定理 若
则
21
3.2.3 循环卷积定理
长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)的N点DFT
分别为： （ N=max［ N1, N2 ］）。
X1(k)=DFT［x1(n)]
X2(k)=DFT［x2(n)］ 如果 则 X(k)=X1(k)· X2(k)
x n IDFT X k x1 m x2 n m N RN n
10
定义： 的主值区间：周期序列 中从n=0到N-1的范围 的主值序列：主值区间上的序列 为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
x n N 表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。
11
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x 7 x 7 7 x 0 x 8 x 8 7 x 1
类似
Note：对实序列有 X k X N k
DFT x N n X k , 0 k N 1
28
3.2.5 DFT的共轭对称性
1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
分别用xep(n)和xop(n) 表示有限长共轭对称序列和共轭反对称
由此对长度为N的序列x(n)，且 x n x n N ，则
X k x n W
n 0 N 1 kn N
的DFS为
x n N W
n 0
N 1
kn N
kn x n WN n 0
N 1
1 N 1 1 N 1 kn kn x n X k WN X k WN N n 0 N n 0
离散傅里叶变换系数
离散傅里叶变换系数离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是傅里叶变换在离散域上的一种形式。
它广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
离散傅里叶变换系数是对原始信号在频域上的表示，常用于分析信号的频谱特性、提取信号中的特征等。
离散傅里叶变换系数的计算可以通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法来高效地实现。
下面将介绍离散傅里叶变换系数的相关参考内容。
1. 基本定义：离散傅里叶变换系数可以用复数表示。
设原始信号为长度为N 的离散序列x(n)，其离散傅里叶变换系数为X(k)，则离散傅里叶变换的定义为：X(k) = ∑ [x(n) * e^(-j2πnk/N)]， n=0,1,2,...,N-1, k=0,1,2,...,N-1。
2. 离散傅里叶变换系数的物理意义：离散傅里叶变换系数表示了原始信号在不同频率分量上的能量分布。
离散傅里叶变换系数的模表示信号在该频率上的幅度，相位表示信号在该频率上的相位差。
3. FFT算法：离散傅里叶变换系数的计算可以通过FFT算法来高效地实现。
FFT算法将离散傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
FFT算法的基本思想是将信号分解成序列长度为2的幂次的子序列，然后利用蝶形结构的计算流程递归计算离散傅里叶变换。
4. 离散傅里叶变换系数的性质：离散傅里叶变换系数具有多种性质，包括线性性质、频率平移性质、频率抽样性质、能量守恒性质等。
这些性质可以用于信号处理的分析和计算。
5. 应用领域：离散傅里叶变换系数广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
在信号处理中，可以通过计算离散傅里叶变换系数来分析信号的频谱特性，如频率成分、频率间隔等。
在图像处理中，可以通过计算图像的二维离散傅里叶变换系数来进行图像压缩、图像滤波等操作。
在通信中，离散傅里叶变换系数可以用于信号的调制、解调、信道估计等。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换
离散数学是数学中的一个分支，其研究对象是离散的数学结构和离散的数学对象。
离散数学在计算机科学、电子工程和通信工程等领域中有着广泛的应用。
在离散数学中，离散变换和傅里叶变换是两个重要的概念。
离散变换是一种将离散的数据序列转化为另一种形式的方法。
在离散数学中，我们常常需要对一组数进行处理和分析，离散变换可以帮助我们更好地理解和处理这些数。
离散变换的一个重要应用是图像处理。
在图像处理中，我们经常需要对图像进行分析和处理，离散变换可以将图像的像素转化为频域上的表示，从而更好地理解图像的特征和结构。
在离散变换中，傅里叶变换是一种重要的变换方法。
傅里叶变换是将一个连续函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的方法。
在离散数学中，我们常常需要对离散的数据进行傅里叶变换。
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用。
离散傅里叶变换有很多重要的性质和定理。
其中一个重要的定理是离散傅里叶变换的逆变换定理。
根据逆变换定理，离散傅里叶变换的逆变换可以表示为原始离散序列的线性组合。
这个定理在恢复原始信号时是非常有用的。
除了离散傅里叶变换，还有许多其他的离散变换方法。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散余弦变换在图像和视频压缩中有着广泛的应用。
另外，离散小波变换（DWT）是一种将离散序列转化为时域上的多尺度表示的方法。
离散小波变换在图像和信号处理中也有着广泛的应用。
总的来说，离散变换和傅里叶变换是离散数学中重要的概念和方法。
离散变换可以帮助我们更好地理解和处理离散数据，傅里叶变换则可以将离散序列转化为频域上的表示。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用，而离散余弦变换和离散小波变换则在图像和视频处理中起着重要的作用。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换是我们在处理和分析离散数据时常用的工具。
通过学习离散变换和傅里叶变换，我们可以更好地理解和处理数据，同时也可以为实际应用提供有力支持。
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X (0) 1 1 1 1 x(0)
X
(1)
1
X (2) 1
X
(3)
1
W41 W42 W43
W42 1 W46
W43
x(1)
W46 W49
x(2) x(3)
W (mNN 2) N
1
X (0) 1 1
X (0) x(0)W40 x(1)W40 x(2)W40 x(3)W40 X (1) x(0)W40 x(1)W41 x(2)W42 x(3)W43 X (2) x(0)W40 x(1)W42 x(2)W44 x(3)W46 X (3) x(0)W40 x(1)W43 x(2)W46 x(3)W49
N 2 1
N 2 1
x(2r )WN2rk
x(2r 1)WN(2r 1)k
r 0
r 0
N 2 1
N 2 1
x(2r )WNrk 2
WNk
x(2r 1)WNrk 2
r 0
r 0
G(k ) WNk H (k )
k
0,1,2.
.
.
N 2
1
N/2点的DFT
X X
(0)
(1)
WW4400
W40 W41
W40 W42
W40 W43
x(0)
x(1)
X (2)
X
(3)
WW4400
W42 W43
W44 W46
W46 W49
x(2) x(3)
8
WN0 1 WNmN 1
1
GN (n)
时移特性
• 若 DFT [x(n)] X (k) • 则 y(n) x((n m)) N GN (n)
DFT [ y(n)] W mk X (k)
• 时域序列的圆周位移的DFT 为原来的
DFT 乘以一个因子 W mk
2
频移特性
• 若 DFT [x(n)] X (k) Y (k) X ((k l)) N GN (n)
x(0) x(2)
N/2 点
的DFT
(n 为偶 数）
N点的
x(1) x (3)
N/2 点
的DFT
(n 为奇 数）
j
2 N
kn
WN
e
j
2 N
N 1
x(n)W nk DFT[x(n)] X (k)
n0
X (z) z
e
j
2 N
k
X (k)
2
N
x(n)的Z变换在 单位圆上均匀抽样
即为它的DFT
Z平面6
§9.6 快速傅立叶变换（FFT）
• W r 因子的周期性和半周期性
WN0 1, WNN WN0 1, WNmN 1
X (2) 1 1
1 1 x(0)
1
W41
x(1)
1 1 x(2)
X
(3)
1 W41
1
W41
x(3)
第二行和第 三行互换 第二列和第 三列互换 x(1)和x(2)
互换 矩阵等式不变
只和x(0), x(2) 有关
X (0) 1 1 1 1 x(0)
•则
IDFT [Y (k)] x(n)W ln
• 在Z域的频移 l，则IDFT在时域x(n)乘以
一个 W ln
3
时域圆周卷积定理
• 若 Y(k) X (k)H(k)
• 则 y(n) x(n) h(n)
N 1
x(n) h(n) x(m)h((n m))N GN (n)
W rmN N
WNr
WNr [W N r ]*
WN 2 N
e
j
2 N
N 2
e j
1,
W (mNN 2) N
1
Wr
N 2
N
WNr
7
基-2算法的FFT的基本思路
•
以N
22
4 为例的DFT
41
X (k) x(n)W4kn
n0
k 0 k 1 k 2 k 3
m0
定义为 圆周卷积
N 1
x(n) h(n) h(m)x((n m)) N GN (n)
m0
x(n)和h(n)都 需是N点
x(n) N h(n)
N点的 圆周卷积 4
频域圆周卷积定理 • 若 y(n) x(n)h(n)
• 则 Y (k) DFT[ y(n)]
1 N
圆周位移的概念
• 有限长序列
x(n)
x(n) 0 n N 1
n
• 周期延拓
x((n)) N
x((n)) N
n
• 线性位移
x((n m)) N
x((n m)) N
• 加窗 • 得到圆周位移序列
m
n
x((n m)) N GN (n)
x((n m)) N GN (n)
0 m N 1 n
N 1 l 0
X (l)H ((k
l))N
GN
(k)
1 N
N 1
H (l) X
l 0
((k
l))N
GN
(k)
5
§9.5 DFT与Z变换的关系
有限长序列的Z变换的抽样
X (z) x(n)z x(n)e z
e
j
2 N
k
N 1 n0
n
z
e
j
2 N
k
N 1 n0
X
(1)
1
W41
X (2) 1 1
X
(3)
1 W43
1 1 x(0)
1
W43
x(1)
1 1x(2)
1
W49
x(3)
9
W (rN2) N
WNr
X (0) 1
X
(1)
1
1 W41
X
(1)
1
1
W41
W41
x(2)
X (2) 1 1 1 1 x(1)
X
(3)
1
1
W41
W41
x(3)
只和 x(1), x(3) 有关 10
• N点的DFT是否可以分成两组N/2点的DFT?
N 1
X (k ) DFT[ xN (n)] x(n)WNnk n0
N/2点的DFT
主值周期只有N/2点11X(k)
G(k N ) G(k) 2
H (k N ) H (k) 2
W(
k
N 2
)
n
N
W2 N
WNk
WNk
X
(k
N 2
)
G(k)
WNK
H
(k)
(k
0,1,2...
N 2
1)
另外主值周期还有N/2点的X(k)
12
N=4为例DFT分组