福州大学概率统计试卷20130702A

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福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ；（9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

福州大学概率论与数理统计200806和201006答案

福州大学《概率论与数理统计》期末考试试卷(200806理)一．选择题（每小题2分，共20分）．1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.B 8.A 9.D 10.A二、填空题（每小题2分，共20分）1. 1/82. 3/43. 1/54. 15. 27/326. 37. 68. 1.89. 05.02u nσ10. nS X T /0μ-=三、计算题（每小题7分，共14分）1. A=(甲中)，B=（乙中）（1）==)()()(B P A P AB P 0.6×0.8=0.48（2）=-+=⋃)()()()(AB P B P A P B A P 0.6+0.8-0.48=0.92（3）)()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=⋃=0.4×0.8+0.6×0.2=0.442. 1/325()0x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它⎰⎰+∞===>3533/23/1)()3(dx dx x f X P假设Y 为三次独立观测忠观测值大于3的次数，Y~B(3,2/3)2720)32(31)32()2(333223=+=≥C C Y P四．计算题（每小题8分，共16分）．1. .解:设A={合格品},B={出厂品},则:()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+获得出厂的合格品的概率P(A|B)为:()()(|)0.960.95(|)0.9978()()0.960.950.040.05P AB P A P B A P A B P B P B ⨯====⨯+⨯ 未获得出厂的废品的概率(|)P A B 为:()()(|)0.040.95(|)0.4421()1(0.960.950.040.05)()P AB P A P B A P A B P B P B ⨯====--⨯+⨯21(1)1(),11(2)1()01<1,()()arcsin 12x f x dx c c x F x x F x f t dt x x F x πππ+∞--∞-∞===<-=-≤==+≥⎰⎰时，；，时，()=1五、计算题（第一小题10分，第二小题8分，共18分）1.（1）⎪⎩⎪⎨⎧∈--=其它0),())((1),(D y x c d a b y x f()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--==⎰⎰∞+∞-其它同理可得：其它其它）（,0,1,0,10,))((1),(2d y c cd y f b x a a b b x a dy c d a b dy y x f x f Y dcX)()(),(3y f x f y x f Y X =）（，故Y X ,相互独立。

福州大学数理与概率统计五

大数定律与中心极限定理下面我们先介绍大数定律
第3页/共31页
大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币正面出现频率
生产过程中的字母使用频率废品率
……
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作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.
定理一（切比雪夫大数定律的特殊情况）
设X1,X2, …是独立的随机变量
第23页/共31页
解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为0.6，共进行200次试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数，
依题意， X~B(200,0.6), 设需N台车床工作，现在的问题是：
求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦， N台工作所需电力即N千瓦.）
第24页/共31页
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np np(1 p)
近似N(0,1),
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
( N 120) ( 120)
48
48
( N 120) 48
这里 np=120, np(1-p)=48
由3σ准则，此项为0。
第25页/共31页
由 ( N 120)≥0.999，查正态分布函数表得
第29页/共31页
用切比雪夫不等式的估计比较粗略，而用中心极限定理则能得到更为精确的估计。
第30页/共31页
这一讲我们介绍了中心极限定理中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实. 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.

福州大学历届概率试卷与答案

福州大学概率统计(54学时)试卷（080116）一、单项选择(共21分,每小题3分)1. 设A 、B 是任意两个事件，则P (A - B )= （） A. ()()P A P AB - B. ()()()P A P B P AB -+ C. ()()()P A P B P A B +-U D. ()()()P A P B P AB +-2. 对于随机变量X ,Y ，若E (XY )=E (X )E (Y )，则（）A. DY DX XY D ⋅=)(B.DY DX Y X D +=+)(C. X 与Y 独立D. X 与Y 不独立3．任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( )。

A 、1)(0≤≤x ϕ B 、在定义域内单调不减 C 、1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ D 、1)(>x ϕ4． n X X X ,,,21Λ为总体X 的简单随机样本，是指（）。

A 、n X X X ,,,21Λ相互独立；B 、n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同；C 、n X X X ,,,21Λ相互独立且n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同；D 、n X X X ,,,21Λ相互独立或n X X X ,,,21Λ中任一i X 与X 分布相同。

5．设21,X X 为取自总体)1,(~μN X 的简单随机样本，其中μ为未知参数，下面四个关于μ的估计量中为无偏估计的是（）。

A 、213432X X + B 、214241X X + C 、214143X X - D 、215352X X +6．如果（Y X ,）的密度函数,21),(22)1(2)1(-+--=y x e y x f π则X 与Y （）。

A 、均服从N (0,1) B 、一定相互独立 C 、不一定相互独立 D 、一定不相互独立 7．设)2,0(~N X ，)(~2n Y χ，且X 与Y 独立，则统计量nY X /2服从（）。

福州大学 2009～2010学年第一学期《统计学》考试A卷

福州大学 2009～2010 学年第一学期考试 A 卷
课程名称
《统计学》考试日期
2010 年 1 月 15 日
考生姓名
学号
专业或类别
题号一
二
三
四
五
六
七
八总分累分人
题分 20
15
10
10
45
—
—
— 100 签名
得分
—
—
—
考生注意事项：1、本试卷共 14 页，请查看试卷中是否有缺页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
（）：
。
9、数据显示世界各国平均每人拥有电视机数 X 与居民的预期寿命 Y 之间存在
很强的正相关，所以电视机很多的国家，居民的预期寿命比较长。
（）：
。

10、最小平方法的计算原理是实际值与趋势值的离差平方之和为零以及实际
值与趋势值的离差之和为最小。
（）：
。
第 6 页共 14 页
四、辨析题（每小题 5 分，共 10 分。）
B、农作物收获量与施肥量之间的关系
C、圆的面积与圆的半径之间的关系 D、身高与体重之间的关系
E、年龄与血压之间的关系 10、设单位产品成本（元）对产量（千件）的一元线性回归方程为 Y=85-5.6x,这
意味着（
）
A、单位成本与产量之间存在着负相关 B、单位成本与产量之间是正相关
C、产量为 1000 件时单位成本为 79.4 元
为（）
A、1600 万吨
B、400 万吨
C、16 万吨
D、2000 万吨
7、已知某企业生产三种产品，在掌握其基期、报告期生产费用和个体产量指数时，

福州大学《概率论与数理统计》试卷A及答案

福州大学《概率论与数理统计》试卷A附表： (Φ 2.5)=0.9937, (Φ3)=0.9987，09.2)19(025.0=t一、单项选择(共18分,每小题3分)1．设随机变量X 的分布函数为()F x ，则以下说法错误的是( ) （A ）()()F x P X x =≤ （B ）当12x x <时，12()()F x F x < （C ）()1,()0F F +∞=-∞= （D ）()F x 是一个右连续的函数 2.设,A B 独立，则下面错误的是( )(A) B A ,独立 (B) B A ,独立 (C) )()()(B P A P B A P = (D)φ=AB 3. 设X 与Y 相互独立，且31)0()0(=≥=≥Y P X P ，则=≥)0},(max{Y X P ( ) （A ）91 （B ）95 （C ）98 （D ）314. 设128,,,X X X 和1210,,,Y Y Y 分别是来自正态总体()21,2N -和()2,5N 的样本，且相互独立，21S 和22S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是( )（A ）222152S S （B ） 212254S S （C ）222125S S （D ）222145S S5. 随机变量)5.0,1000(~B X ，由切比雪夫不等式估计≥<<)600400(X P ( ) (A)0.975 (B)0.025 (C)0.5 (D) 0.256.设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为X 的一组样本， X 为样本均值，2s 为样本方差，则下列统计量中服从)(2n χ分布的是（）.(A) 1--n s X μ (B) 22)1(σs n - (C) n s X μ- (D)∑=-ni iX122)(1μσ学院专业级班姓名学号二．填空题（每空3分，共30分）1.某互联网站有10000个相互独立的用户，若每个用户在平时任一时刻访问网站的概率为0.2，则用中心极限定理求在任一时刻有1900-2100个用户访问该网站的概率为 .2. 已知c B A P b b B P a A p =≠==)(),1()(,)( ，则=)(B A P ，)(B A P = .3. 在区间)1,0(上随机取两点Y X ,，则Y X Z -=的概率密度为 . 4．设随机变量]2,1[~U X ，则23+=X Y 的概率密度()Y f y = .5．当均值μ未知时，正态总体方差2σ的置信度为α-1的置信区间是6.设随机变量 n X X X ,,,21相互独立且同分布，它的期望为μ，方差为2σ，令∑==n i i n X n Z 11，则对任意正数ε，有{}=≥-∞→εμn n Z P lim .7. 设)1(~P X （泊松分布），则==))((2X E X P .8. 设921,,,X X X 是来自总体]1,3[~N X 的样本，则样本均值X 在区间]3,2[取值的概率为 9. 设随机变量X 的分布为()()1,2,k P X k p k λ===，则λ= .三、计算题(每小题8分,共16分)1.城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从剩下的8台任购一台，求（1）该顾客购到正品的概率.（2）若已知顾客购到的是正品，则已出售的两台都是次品的概率是多少？2．设顾客在银行的窗口等待服务的时间X (单位：min)服从参数为0.2的指数分布.假设某顾客在窗口等待时间超过10min 就离开.又知他一周要到银行3次，以Y 表示一周内未等到服务而离开窗口的次数，求).1(≥Y P四、计算题(每小题8分,共24分)1. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为,),(22-===n qp n Y m X P ;,2,1 =m;,2,1 ++=m m n ,10<<p 1=+q p ，求关于X 与Y 的边缘分布律.2．设随机变量),(Y X 满足,1)0(==XY P 且X 与Y 边缘分布为,41)1(=±=X P ,21)0(==X P ,21)1()0(====Y P Y P XY Y X ρ相关系数求,,并判别X 与Y 是否相互独立?3. 设二维随机变量),(Y X 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由2,0=+=-y x y x 与0=y 所围成的三角形区域，求条件概率密度)(y x f Y X .五、计算题(每小题6分,共12分)1.总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它,010,1)()1(x x x f θθθ，其中为未知参数0>θ，nX X X ,,,21 为总体X 的简单随机样本，求（1）θ的极大似然估计量θˆ. （2）证明θˆ是θ的无偏估计.2.设某厂生产的电灯泡的寿命X 服从正态分布),(2σμN ，现测试了20只灯泡的寿命，算得样本均值1832=X （小时），样本方差4972=S （小时），问2000=μ（小时）这个结论是否成立（)05.0=α?概率统计试题A 参考答案一．选择题1.B2.D3.B4.D5.A6.D 二．填空题1、0.9874 2.b bc b c ---1,3.⎩⎨⎧<<-=-=其他010)1(2)(z z z f Y X Z 4.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他08531)(y y f Y 5.))1()1(,)1()1((2212222-----n s n n s n ααχχ6.07.e218.0.4987 9.p p -1三．计算题1. 解：设B={顾客买到的是正品}，=i A {售出的两台有i 台次品}，2,1,0=i,157)(210270==C C A P ,157)(21017131==C C C A P 151)(2=A P⑴107871518615785157)()()(2=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ⑵12110787151)()()(22=⨯==B P B A P B A P2．.解：(1) 0.2102(15|5)(10)P X X P X e e -⨯->>=>==(2) 因为0.2102(10)P X ee -⨯->==假设Y 表示三次等待不到服务而离开窗口的次数，由题意得2~(3,)Y B e - 23(1)1(0)1(1)P Y P Y e -≥=-==--四．计算题1. 2211(),1,2,n m n m P X m p q pq m +∞--=+====∑122221()(1),2,3,n n n m P Y n p q n p q n ---====-=∑2. ．由题可得(0)0P XY ≠=，因此联合分布律容易得出显然由 (1,1)0(1)(1)1/8P X Y P X P X =-==≠=-==,所以,X Y 不独立。

大学概率论和数理统计试题(卷)库与答案解析a

<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。

试用 A 、B 、C 分别表示事件1）A 、B 、C 至少有一个发生2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。

则P(B)A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥=12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。

2009-2010-1福州大学《统计学》期末试卷(A)参考答案

Z = x − μ0 = 71.15 − 73 = −1.7619 σ / n 14.85 / 200
Z = −1.7619 > Zα / 2 = −1.96
⑤落入接受区域，不能拒绝原假设 H0 即今年英语四级考试成绩与往年相比处在同一水平。
（2）提出假设 H0：≥ 73 H1：μ＜73（左侧）总体方差已知，大样本，故应采用 Z 检验统计量已知α=5% , F (Z α ) = 1 − 2α = 90% , Zα = ±1.645
15 × 4000 − 2252 15 × 600 − 25) 2
= 0.719（5 1分）
说明商品销售额与商业利润之间存在着中度的正相关。（1分）
3
（2）b = nn∑∑xxy2−−∑(∑x∑x)2y（2分）
= 1155××840000−02−2252×5225（2分） = 0.6（8 1分）
a = y − bx = 25 /15 − 0.68× 225 /15 = −8.533（3 2分）
90——100
4
合计ห้องสมุดไป่ตู้
40
职工人数比重（%） 7.50 20.00 32.50 30.00 10.00 100.00
(2) 计算样本均值和方差
x=
∑ xf ∑f
= 55 × 3 + 65 × 8 + 75 ×13 + 85 ×12 + 95 × 4 3 + 8 + 13 + 12 + 4
= 76.5(分)
(1 分)
⑤Z= -2.5< Zα / 2 = −1.96 落入拒绝区域，拒绝 H0。即在这种情况下工商管
理部门将认为该厂的酱油分量不足。

2012-2013第二学期概率论与数理统计试卷参考答案

重庆大学概率论与数理统计课程试卷2012 ~2013 学年第二学期开课学院：数统学院课程号：10029830 考试日期：考试方式：考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =一、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ⋃= 0.25 。

2.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。

3.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。

4.一个有5个选项的考题，其中只有一个选择是正确的。

假定应考人知道正确答案的概率为p 。

如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。

5.重复抛一颗骰子5次得到点数为6 的次数记为X ，则(3)P X >= 13/3888 。

6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。

7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的面积Y 的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩。

8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X Y X Y N Z -=+ 且，则Z 的密度函数21()36z Z f --（z ）。

9.设总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n = 的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453nii P X X n σσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。

10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)X N σ 的样本，则Y =服从 t(8) 。

福州大学概率论与数理统计第一章

福州大学概率论与数理统计第一章习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ??= ;（B ）B A A B A B B = ;（C ）AB A B A B B φ== ;（D ）AB B A φ=?? 不一定能推出A B B = （除非A B =）所以选（D ）2 （A ）A B C ??：至少有一个发生;（B ）AB AC BC ??：至少有两个不发生;（C ）A B C ??：至少有一件不发生（即发生的事件不多于两个）;（D ）AB AC BC ??：至少有两个发生所以选（C ） 3. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++()()()P A P B P A B =+-所以选（C ） 4. ()()(|)()()()P AB P A A B P A B P A P B P B ??==≥ 所以选（B ）5. ()()()()()0()1P A P AB P A P B P A P B ==?==或所以选（B ）6. 由定理1.5.1即和（A ）（B ）（C ）都对，所以选（D ）. 事实上若φ≠AB ，不一定能推出)()()(B P A P AB P =.7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以选（C ）二、填空题 8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((=C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()(所以 C B = 9. ()()AB AB AB AB AB AB AB AB B B ==?=Ω 10. 共有44?种基本事件，向后两个邮筒投信有22?种基本事件，故所求概率为414422=?? 11. 设事件A 表示两数之和大于21，则样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=??-==ΩS S P A 12. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P13. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P14. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P 15. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719= 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω17.（1）C B A ；（2）)(C B A ；（3）C B A C B A C B A ；（4）AC BC AB ；（5）C B A ；（6）C B A ；（7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109?C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0??C19. 所求概率为：5345341010543213214321110987654321210A A A A ==????????? 20. 所求概率为：()()4441341352524!13!52!A A A = 21. 所求概率为：()()4441341352524!13!52!A A A = 22. 所求概率为：n N n A N23. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。

2012-2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北京交通大学2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参考答案某些标准正态分布的数值其中()x Φ是标准正态分布的分布函数．一．（本题满分5分）口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率．解：设=A “取出4个球，最小号码是5”．10个球取出4个球，有取法410C 种．………….2分若最小号码是5，有取法35C 种，因此()2112101041035===C C A P ．………….3分二．（本题满分5分）一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率．解：设=A “5位同学至少有两位的生日在同一月份”．5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有512种可能．………….2分考虑A 的逆事件A ，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的．则 ()()6181.012115512=-=-=P A P A P ．………….3分三．（本题满分8分），已知男人中%5的是色盲患者，女人中色盲患者占%25.0，今从男女比例为21:22的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设=A “任选一人为男性”，=B “任选一人是色盲患者”．所求概率为()B A P ．由Bayes 公式，得 ()()()()()()()A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=………….3分9544.00025.0432105.0432205.04322=⨯+⨯⨯=．………….5分四．（本题满分8分）在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是9.0，8.0和85.0，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率．（4分）解：设{}甲机床需要维修=A ，{}乙机床需要维修=B ，{}丙机床需要维修=C ．则 ⑴ {}()()C B A P C B A P P ⋃⋃-=⋃⋃=1维修至少有一台机床不需要…….2分 ()()()388.085.08.09.011=⨯⨯-=-=C P B P A P ．………….2分⑵ {}()C B A C B A C B A C B A P P ⋃⋃⋃=修至多有一台机床需要维………….2分 ()()()()C B A P C B A P C B A P C B A P +++=()()()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++=059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.015.02.01.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．…….2分五．（本题满分8分）试确定常数a ，b ，c ，d 的值，使得函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤++<=e x d e x d cx x bx x ax F 1ln 1为一连续型随机变量的分布函数．解：因为连续型随机变量的分布函数()x F 是连续函数，因此函数()x F 在分段点1=x 及e x =处连续，所以有()()()10101F F F =+=-，即有d c a +=．………….2分 ()()()e F e F e F =+=-00，即有d d ce be =++．………….2分又分布函数()x F 必须满足：()0lim =-∞→x F x ，()1lim =+∞→x F x ．因而有()0lim ==-∞→x F a x ，()1lim ==+∞→x F d x ．………….2分由此得方程组 ⎩⎨⎧=++=+1101ce be c ，解此方程组，得1,1,1,0=-===d c b a ．………….2分六．（本题满分8分）某地区成年男子的体重X （以kg 计）服从正态分布()2,σμN ．若已知()5.070=≤X P ，()25.060=≤X P ，⑴ 求μ与σ的值；⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过kg 65的概率．解：⑴ 由已知()5.0707070=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ，()25.0606060=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ………….2分得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ75.025.016015.070σμσμ ．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ75.0605.070σμσμ ，查正态分布表，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-675.060070σμσμ，解方程组，得70=μ，81.14=σ．………….2分⑵ 设=A “从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过kg 65”．则()()⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>3376.081.1470181.14706581.1470165165X P X P X P X P ()()6631.03376.03376.01=Φ=-Φ-=．………….2分设X ：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg 65的人数．则 ()6631.0,5~B X ．设=B “5人中至少有两人的体重超过kg 65．则 ()()()()()101112===-=≤-=≥=X P X P X P X P B P9530.03369.06631.03369.06631.0141155005=⨯⨯-⨯⨯-C C ．（已知()75.0675.0=Φ，()6631.034.0=Φ）………….2分七．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧-<<+=其它01045,22x y y x y x f求：随机变量Y 的边缘密度函数()y f Y ．解：当10<<y 时， ()()()()⎰⎰⎰----+∞∞-+=+==yyyY dx y xdx y x dx y x f y f 1021122545,………….3分()()()6211511312531252123103y y y y y xy x yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=-=．…….3分所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=其它01062115y y y y f Y ．………….2分八．（本题满分10分）设n X X X ,,,21 是n 个独立同分布的随机变量，1X 服从参数为λ的指数分布．令{}n X X X T ,,,m in 21 =，求随机变量T 的密度函数．解：对于任意的实数x ，随机变量T 的分布函数为 ()(){}()x X X X P x T P x F n T ≤=≤=,,,m in 21{}()x X X X P n >-=,,,m in 121()x X x X x X P n >>>-=,,,121 …………………….2分()()()x X P x X P x X P n >>>-= 211()()()()()()()()nX n x F x X P x X P x X P --=≤-≤-≤--=11111121 ．………….3分所以，随机变量T 的密度函数为()()()()()x f x F n x F x f X n X T T 11--='=． ………….2分如果1X 服从参数为λ的指数分布，则1X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e x f xX λλ ．分布函数为()()⎩⎨⎧≤>-==-∞-⎰0001x x e dt t f x F xxX X λ ．………….1分因此此时{}n X X X T ,,,m in 21 =的密度函数为()()()()()x n x n xX n X T e n e e n x f x F n x f λλλλλ-----=⋅⋅=-=111，()0>x ．………….2分九．（本题满分8分）设随机向量()321,,X X X 间的相关系数分别为312312,,ρρρ，且，()()()0321===X E X E X E ，()()()02321>===σX D X D X D ．令：211X X Y +=，322X X Y +=,133X X Y +=．证明：321,,Y Y Y 两两不相关的充要条件为1312312-=++ρρρ．证明：充分性：如果1312312-=++ρρρ，则有01312312=+++ρρρ．而 ()()322121,cov ,cov X X X X Y Y ++= ()()()()32223121,cov ,cov ,cov ,cov X X X X X X X X +++=()()()()()()()3223231132112var X D X D X X D X D X D X D ⋅++⋅+⋅=ρρρ ()0121323122232213212=+++=+++=σρρρσρσσρσρ………….3分这说明随机变量1Y 与2Y 不相关．同理可得 ()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y ，这就证明了随机变量321,,Y Y Y 两两不相关． ………….1分必要性：如果随机变量321,,Y Y Y 两两不相关，则有()0,cov 21=Y Y ，()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y而由上面的计算，得()()01,cov 213231221=+++=σρρρY Y ， ………….3分由于02>σ，所以1132312+++ρρρ，即1132312-=++ρρρ． ………….1分十．（本题满分8分）设总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<-=其它若011x x x f()5021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，X 与2S 分别表示样本均值与样本方差．求()X E ，()X D ，()2S E ．解：因为 ()()011=⋅==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E ，()()2121311222==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x dx x xdx x f x X E ，所以，()()()()2122=-=X E X E X D ．所以，()()0==X E X E ，………….2分()()10015021===n X D X D ，………….3分 ()()212==X D S E ．………….3分十一．（本题满分8分）设总体()4,0~N X ，()921,,,X X X 是取自该总体中的一个样本．求系数a 、b 、c ，使得统计量()()()298762543221X X X X c X X X b X X a T ++++++++=服从2χ分布，并求出自由度．解：因为()921,,,X X X 是取自总体()4,0N 中的简单随机样本，所以()4,0~N X i ，()9,,2,1 =i而且921,,,X X X 相互独立．所以()8,0~21N X X +，()12,0~543N X X X ++，()16,0~9876N X X X X +++．…….2分所以，()1,0~821N X X +，()1,0~12543N X X X ++，()1,0~169876N X X X X +++．…….2分因此，()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X ++++++++．…….2分因此，当161,121,81===c b a 时，统计量()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X T ++++++++=，自由度为3．………….2分十二．（本题满分8分）一家有500间客房的旅馆的每间客房装有一台kW 2（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为%80．求需要多少电力，才能有%99的可能性保证有足够的电力使用空调机．解：设X ：该旅馆开房数目，则()8.0,500~B X ．………….2分a ：向该旅馆供应的电力．则若电力足够使用空调机，当且仅当a X ≤2．因此()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤2.08.05008.050022.08.05008.050022.08.05008.050022a a X P a X P a X P ．由题设，99.02.08.05008.05002≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φa ，………….3分查表，得33.22.08.05008.05002≥⨯⨯⨯-a，………….1分所以有 ()68.8412.08.050033.28.05002=⨯⨯⨯+⨯⨯≥a ．即至少向该旅馆供电842千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用．………….2分十三．（本题满分8分）设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ．其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量．解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i ni i x x x c x c x f L ………….2分所以，()()∑=+-+=ni i x c n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．………….2分令：()0ln =θθL d d，即0ln ln 1=-+∑=ni i x c n n θ，………….2分得到似然函数的唯一驻点cn x nni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cn Xnni iln ln ˆ1-=∑=θ．………….2分。

(完整版)大学概率统计试题及答案.docx

__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯注意：以下是本次考试可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值：⋯t0.025(15)t 0.05 (15)t0. 025 (24)t0.05 (24)(2)(0.8)(1)⋯⋯ 2.1315 1.7531 2.0639 1.71090.97720.78810.8413⋯⋯⋯一、选择填空题（共 80 分 , 其中第 1-25 小题每题 2 分 ,第 26-35⋯小题每题 3 分）得分:⋯业⋯ 1. A 、B 是两个随机事件， P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且 A 与 B 相互独立，则专⋯P( AU B) = B;级⋯年⋯(A) 0.7(B) 0.58(C) 0.82(D) 0.12⋯⋯⋯ 2. A 、B 是两个随机事件， P( A ) = 0.3 ，P( B ) = 0.4 ，且 A 与 B 互不相容 ,则⋯P( A U B)D;⋯⋯⋯(A) 0(B)0.42(C)0.88(D)1⋯:⋯ 3.已知 B,C 是两个随机事件 ,P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4,则 P( C ) = C ;别)⋯系封(A) 0.4(B)0.5(C)0.8(D)0.9⋯答⋯ 4.袋中有 6 只白球 ,4 只红球 ,从中抽取两只 ,如果作不放回抽样 ,则抽得的两个球不⋯颜色不同的概率为 : A;内⋯⋯⋯84126封⋯(A) 15(B)15(C)25(D)25密⋯(⋯⋯ 5. 袋中有 6 只白球 ,4 只红球 ,从中抽取两只 ,如果作放回抽样 ,则抽得的两个球颜:⋯色不同的概率为 :C;⋯号⋯学84126⋯(C)(D)⋯(A)(B)15152525⋯⋯1⋯的概率为C;则这两个数之和小于密6.在区间 [0,1] 上任取两个数 ,2⋯:⋯(A) 1/ 2(B) 1/ 4(C)1/ 8(D)1/16⋯名⋯姓7.在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生.⋯⋯假设矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/2，通过第二个通道逃生成功的⋯⋯可能性为 1/3，通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃⋯生的可能性是C.(A) 1(B) 1/ 2(C) 1/ 3(D) 1/ 68.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。

福州大学《概率统计》期末试卷A及答案

福州大学《概率统计》期末试卷A一、单项选择(共15分,每小题3分) 1. 设()0,(|)1P B P A B >=，则必有。

(A )()()P A B P A ⋃> (B )()()P A B P B ⋃> (C )()()P A B P A ⋃=(D )()()P A B P B ⋃=2. 设随机变量X 的方差为16，根据契比雪夫不等式有{}10)(<-X E X P 。

(A )16.0≤ (B )16.0≥ (C )84.0≤ (D )84.0≥3. 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-< 则必有。

(A )12σσ< (B )12σσ>(C )12μμ<(D )12μμ>4．设~(1,4)X N ，2~(1)Y n χ-，X 与Y 独立，（）.(A) 自由度为1-n 的t 分布 (B) 自由度为n 的2χ分布 (C) 自由度为n 的t 分布 (D) 自由度为1-n 的2χ分布5．设0,1,0,1,1为来自两点分布总体(1,)B p 的样本观察值，则p 的矩估计值（） (A) 4/5； (B)3/5； (C)2/5； (D)1/5.二．填空题（每空3分，共30分）1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)(=A B P ，则)(B A P 为____2. . 设随机变量)1.0,3(~B X ，则12-=X Y 的数学期望为 .3. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则()P X Y ==.4. 设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，乘客在5分钟内任一时间到达汽车站是等可能的，求在汽车站候车的5个乘客中有3个乘客等待时间超过4分钟的概率为____5．设n X X X ,...2,1是来自正态分布),(2σμN 的样本，且2σ未知，X 是样本均值，则检验假设0100:;:μμμμ≠=H H 所用统计量是，它服从分布。