一道高考数学题的求解启示
基于一道高考数学题剖析引发的探究与思考
化
种 知识 的教 育 ， 考 查 的是 该 教 的 内容 是 否 教 了 ， 教
累， ３ 个 方 面同等 重要．
在学生 的思 维训 练方 面 ， 数学 主 要有 两大 明显 的
功用 ， 即锻 炼 学 生 的演 绎 推 理 能 力 和 归 纳 推 理 能 力 ． 随着 社会 的进 步 ， 显 而易见 的是 现在 的教 育 本 质 上是
一
查． 如： 在第 一 问 中， 要 求 考生 根 据 ａ 一 ≤／ ２ 。 （ 矗 ：１ ， ２ ， ３ ， …） 这 一信息 ， 通过 分类 讨 论 和演 绎 推 理 ， 计 算 出
（ １ ＋６ ｋ ） 一ｆ （ ２ ＋６ ｋ ） 一ｆ （ ３ ＋６ ｋ ） 一２ ，
＿ 厂 （ ４ ＋６ ｋ ） ＝ ＝ ＝ － 厂 （ ５ ＋６ ｋ ） ＝－ 厂 （ ６ ＋６ ｋ ） 一１
（ 是 一 １， ２， ３ ， …） ．
（ １ ）求 ａ １ ， ａ ３ ， ａ ５ ， ａ ７ ； （ ２ ）求数列 ｛ ｎ ） 的前 ２ ｎ项 和 Ｓ ；
1在数学教学中要注重数学学科本身的思想内涵和学科价值数学教学仅仅遵循传统的数学教学模式是远远不行的传统数学教学比较重视学生基础知识与基本技能的培养在新课标体系Байду номын сангаас数学教学必须改变以往的观念
件， 接 下来 对和式 中前 ７ 项 的偶 数 项 和 奇数 项 进行 分 类组 合 ， 产 生 一个 等 比数 列 与 一 个 等 差 数 列 ， 最 后 分
的放 缩．
■
，
例 已知 数 列 ｛ ａ ｝ 中 的相 邻 两项 ｎ ～ ， ａ 是 关
对一道高考数学题解法的探讨及感悟
．
（ 一２ ａ ＋３ ） ≥０ ． 所以ｎ ＝÷ ．
‘
一 Ⅱ（ ３ ２ 。 ＋ ） ＋ ＋
２ ｆ 一 ・ １ ≤０ （ ＊） 看 作 关 于 ａ的一 个 一 元 二 次 不 等 式 ．
当 ＞ ０， 由 △： （ ＋ 。） 一 ４ Ｘ （ ＋ 。 一＿ 丁一 １） 一
对 一追 道 高 局 考 数 学 题 解 法 的 探 讨 及 感 悟
■ 蒋 健
２ Ｏ １ ２年 浙 江 高 考数 学 （ 理） 第 １ ７题 ： 设 ｎ ∈Ｒ， 若 ＞ Ｏ ， 均
有 ｒ（ “ １） 一 １ ］（ 一“ 一 １ ） ≥ｏ ， 则 ｎ 一 ．
相对 于 基 础 一 般 的 学 生 来 说 比较 容 易 想 到 了 ， 入手 点 比 较低 ， 但 如 果 对 题 目 的理 解 不 够 透 彻 ， 容易造成“ 无解” 的 错 误
（ １ ） 求 （ ） 的单 凋 区间 ； （ ２ ） 求 所 有 的实 数 “ ， 使得 ｅ ｌ ≤
１
所以由÷
“ ｉ
一（ ｎ 一１ ） 一ｎ ， 得ｎ 一＿ 昙 Ｉ ．
Ｌ
厂 （ 丁 － ） ≤ｅ 对 ［ １ ， ｅ ］ 恒成立． 仅对本题第（ ２ ） 小 题 作 出解 答 ．
（ ． ２ ｆ 一 ２） （ 一３ ＋ ２ ）一 ０ ． 易 知 在 ＞ ０下 一 ３ ４ － ２＞ ０，
反思 ： 特殊 值 法 简 洁 合 理 快 捷 ， 是 解 决 选 择 题 和 填 空 题 行
之有 效 的一 种 好 方 法 ， 但 若 本题 不是 客 观题 ， 则 又 该 如 何 解
认识 ．
科学备考 减负增效——一道数学高考题的教学启示
义 结 合 几 何 图形 将 抛 物 线 上 的 点 到 焦 点 的 距 离 转 化 为 到 准 线 的
② 变背 景： 将抛物 线变为椭 圆 ， 直线 １ 过焦 点， 则不仅 可 以
用联立方程解方程组的思想， 利用定义结合几何法思想 ， 还可 以 利 用 定 义 结 合 余 弦 定 理来 解 决 ；
２ ０ １ ３年 高 考 福 建 理 科 数 学 第 １ ８题 ： 如 图在 正 方 形 Ｏ Ａ Ｂ Ｃ中
０ 为 坐 标 原 点 点 Ａ 的坐 标 为 （ １ ０ ， ０ ） ， 点 Ｃ 的坐 Leabharlann 为 （ Ｏ ， １ ０ ） 分 别
将 线段 Ｏ Ａ和 Ａ Ｂ十 等 分 分 点 分 别 记 为 Ａ 。 ， Ａ ２ ， …， Ａ 和Ｂ 。 ， Ｂ ， …， Ｂ ９ 连接 Ｏ Ｂ ， 过Ａ 作ｘ 轴 的垂线与 Ｏ Ｂ ， 交于 点 Ｐ ； （ ｉ ∈Ｎ ｝ ， １ ≤ｉ ≤
观 察 变 化 的现 象 ，把 握 变 化 的 本 质 ，以 达 到 以不 变 应 万 变 的 目 的， 切实提高学生的思维能力．
在笔者看来本题至少可以有以下三变：
①变位置： 将 点 Ｃ（ ０ ， ｌ ０ ） 变 为焦 点 Ｆ（ ０ ，
Ｚ
） ， 利 用 抛 物 线 定
这 是 一 道 以求 曲线 方 程 为 载 体 的 题 目．要 求 考 生运 用 直 观 感知 、 操 作 确 认 等 数 学 实 验 方 法 予 以解 决 ， 它 的 重 点 是 在 考 查 学 生 的 阅读 理 解 能力 、 抽象概括能力 、 推 理 论 证 能 力 以 及探 究 问题 的能 力 ， 突 出对 中 学 数 学 思想 方 法 的考 查 ， 注 重最基础 、 最 本 质
“四两”拔“千斤”——一道高考题的解题过程及启示
当＆ 一 ２时 ， （ ＆ ， ６ ） 有 ４种 情 况 ： （ ２ ， １ ） （ ２ ，
（ ２， ４） （ ２， ６ ）， 这个 重 任 ． 如 在 本 题 中， 借 助 第 一 问 中 的 ２）
厂 （ ６ ） 信息， 再 将题 设 逐 一分 离 并 逐 条逐 句 地
当“ 一 ３时 ， （ 口， ６ ） 有 ３种 情 况 ： （ ３ ， １ ） （ ３ ，
（ ２ ）确 定 了试 题 的 类 型—— 研 究 元 素
（ ａ ， ６ ） 的个 数 ．
３ ．研 究 关 键 问题 的解 法 ， 探 寻 解 题 规 律
基 于上 述 的分 析 ， 问题 解 决 的关 键 在 于
（ ３ ）确定研 究 的方 法—— 分类 ： ａ整 除 ｂ 研究 “ 厂 （ ６ ） ” ．
厂 （ ６ ） ． 一 般 的情况 下 ， 在求 出 ＿ 厂 （ ６ ） 之后 ， 再求 求 ． 不 可 否认 ， 这 种 方 法 可类 比到 － ， ’ （ ７ ） ， 厂 （ ７ ） ， ． 厂 （ ８ ） ， …， 然 后 再 根 据 这 些 值 的规 律 ， ＿ 厂 （ ８ ） ， … 的解 决． 但 随着 ”值 的变大 ， 厂 （ ） 也
“ 四两 ’ ’ 拔 “ 千斤’ ’
一
道 高考题 的解 题 过 程 及 启 示
朱 海 峰 李 宏 志
“ 四两拨 千斤” 之说 ， 最 早 见 于 王 宗 岳 力 考 查 ． 也 就是 说 ， 通 过 多 层 次 的设 问 ， 能 逐 《 太极 拳 论 》 ， 原文意指太 极拳技击 术， 是 一 步 “ 烘 热” 学生的大脑 ， 激活思维 ， 挖掘潜能 ， 种含 高 度 功 力 技 巧 ， 不 以拙 力 胜 人 的 功 夫 ． 满 足 高考选 拔 的 目的． 俗语 所 谓 “ 四两拨 千斤 ” ， 是 以小 力 胜 大 力
由一道高考试题的“失分”解法引起的教学思考
2020年高考数学江苏卷第18题属于中档题，主要考查的知识点是椭圆定义、向量数量积运算、点到直线的距离公式和直线与椭圆的位置关系，运用的思想方法是数形结合、转化与化归和坐标法.该题满分16分，但平均分只有10分左右，不少学生由于不能理解问题的本质，在第（2）小题中选择了烦琐或错误的途径导致“失分”.针对此类状况，教师应该深入反思平时的教学过程，及时作出调整与改进.一、试题再现及常见解法题目在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B .（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求 OP ·QP 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别是S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标.第（1）小题和第（3）小题解法略.对于第（2）小题有以下四种解法.解法1：椭圆E ：x 24+y23=1的右准线为x =4.设P ()x ，0，Q ()4，y ，则 OP =()x ，0，QP =()x -4，-y .所以 OP · QP =x ()x -4=()x -22-4.所以当x =2时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.解法2：椭圆E ：x 24+y 23=1的右准线为x =4.设点P ()t ，0.又因为A æèöø1，32，所以直线AP 的方程为y =32()1-t ()x -t .令x =4，得y Q =12-3t 2()1-t ，即Q æèçöø÷4，12-3t 2()1-t .所以 QP =æèçöø÷t -4，-12-3t 2()1-t .所以 OP ·QP =t ()t -4.所以当t =2时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.解法3：因为直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，点P 在x 轴上，A æèöø1，32，如下图所示.收稿日期：2020-12-17作者简介：王波凤（1978—），女，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究.由一道高考试题的“失分”解法引起的教学思考王波凤摘要：对2020年高考数学江苏卷第18题的几种解法进行比较，分析学生在考场上的“失分”原因，并给出应对策略及教学思考.关键词：高考试题；失分解法；应对策略；教学思考··70所以设直线AP 的方程为y =k ()x -1+32.令x =4，得y Q =3k +32，即Q æèöø4，3k +32.令y =0，得x p =1-32k ，即P æèöø1-32k ，0.则 OP =æèöø1-32k ，0，QP =æèöø-32k-3，-3k -32.则 OP · QP =æèöø32k +12-4.所以当k =-32时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.解法4：根据平面向量数量积的定义和几何意义，设椭圆右准线与x 轴的交点为R ，则 OP · QP =-|| OP |PR .而|| OP +|| PR =||OR =4，由基本不等式，得OP · QP =-|| OP |PR ≥-æèççöø÷÷|| OP +|| PR 22=-4.当且仅当|| OP =||PR =2时等号成立，即点P 的坐标为()2，0时， OP ·QP 取到最小值，最小值为-4.二、解法比较及“失分”原因1.解法比较解法1透过直线与椭圆这一载体，抓住向量数量积运算的本质，关注到OP 的纵坐标为0，直接设出点P 和点Q 的坐标，过程简洁明了.经抽样调查，考场上用解法1的学生占了四分之一左右.解法2比解法1绕了一步，先设出点P 的坐标，再用点P 的坐标表示出直线AP 的方程，然后与准线方程联立算出点Q 的坐标，从而得出所求数量积的目标函数表达式（与解法1的形式一样）.实际上，由于OP 的纵坐标为0， OP ·QP 的值与点Q 的纵坐标无关，所以这种解法联立直线方程求出点Q 的纵坐标实则多余.解法3把直线AP 的斜率k 作为参数，表示出直线AP 的方程，再用k 表示出点P 与点Q 的坐标，最后得出向量数量积的函数表达式.这种解法也没有关注到OP 的纵坐标为0，目标函数的表达式在形式上也比解法1和解法2的目标函数表达式复杂得多，既浪费了时间又容易算错.从运算的角度来看，没有解法1和解法2简便.解法4对平面向量数量积的概念有深刻的理解，利用向量数量积的几何意义，把向量数量积的运算转化为线段长的乘积的运算，最后利用基本不等式求解最值，解法巧妙，运算简单.虽然思维要求高，但运算量小，考场上用解法4的学生寥寥无几.正所谓“想得多而算得少，想得少而算得多”，那么解法4是如何想到的呢？其实只要回到数量积定义 OP · QP =|| OP | QP cos OP ，QP就能发现|| QP cos OP ， QP =-||PR ，即两个向量的数量积等于其中一个向量的模与其在另一个向量方向上的投影的乘积.2.“失分”原因学生答题时为什么会“失分”？其原因在哪里？第一个原因是审题时不加思考就动笔做，运算能力欠缺.用解法2或解法3的学生人数很多，即使运算过程全对，在考场上多用时间就是“隐性失分”.而且用解法3的学生在用斜率k 表示数量积的函数表达式时出错的很多，即使表达式正确，换元配方后求最值结果正确的也不多，还有部分学生用导数方法求最值（解法2和解法3相关分式的分母中有字母，还需要进一步分类讨论），做得麻烦又表述不清，相关步骤一分未得，真是令人痛心！第二个原因是对于数学概念理解不够深刻，没有掌握问题的本质.例如，本文高考题第（2）小题，点A是定点，影响 OP ·QP 的关键要素就是动点P 的位置，而且只与横坐标有关，抓住这一点就能够寻找到合理的解题途径.从本文高考题的多种解法中可以看出，选择解法2和解法3的学生被问题中的“直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ”蒙蔽了双眼，看到“直线”两字就马上设出直线方程联立方程组求解.事实上，无论以哪种图形为背景，向量数量积的坐标运算中有时往往只涉及某个坐标.解法4就是在深刻理解向量数量积的概念和几何意义的基础上抓住问题本质的好方法.··71三、应对策略1.教概念本质，重理解能力为什么多数学生想不到解法4？这与教师教学中“轻概念，重解题”有关.波利亚在《怎样解题》一书中指出，你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？你是怎样应用这些概念的？你用到它的意义、它的定义了吗？回到定义上去是一项重要的思维活动，教师在概念课的教学中要杜绝“一滑而过”的现象，千万不要重记忆、轻理解，不仅要让学生理解概念产生的必要性，还要让学生抓住概念的本质，深刻理解概念，灵活运用概念解题.2.重视解题方法的选择和归纳教学中，有时我们觉得学生就某一知识和方法应该掌握了，也就不再深入分析了，解题方法没有总结到位，学生虽然表面会了，但是一考就错.所以教师在平时的课堂教学中一定要重视解题方法的总结和归纳，指导学生解题前一定要有预判，要有选择和比较，这样就可减少不必要的运算，从而提高解题速度，避免“失分”.3.注重知识间的联系，创造性地改编练习题教材是试题之源，教学中要用好教材，重视教材中知识的联系.例如，本文高考题考查的是解析几何和向量的综合知识，教学中一味孤立地教某个知识和某个方法就僵化了学生的思维.虽然教材是按章节安排内容的，每章内容后的习题也是与相关知识对应的，但是教师在平时的教学中要创造性地改编练习题，综合各种背景知识灵活运用.例如，以下两道题就可以作为本文高考题的变式.变式1：在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上并满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆E 上的动点， F 1P ·F 2A的最大值是.该题可以用坐标法得出向量的数量积，与点P 的横坐标无关，由点P 的纵坐标的范围得出最大值.变式2：在直角梯形ABCD 中，AB =4，CD =2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则 AB ·()AC +AE的值为.该题可以通过建系用坐标法得出向量的数量积，与线段AD 的长度无关.学生在平时多练练类似的题目，到考场上就减少“失分”了.四、几点思考在平时的教学中，以下几点“功夫”教师必须做到位.1.培养学生的审题能力不少学生由于平时作业多、时间紧，往往省去了认真审题这一重要环节，养成了拿到题目就做的习惯，结果一做就错.想好了才做，是选择正确方法的前提.平时教学中要指导学生如何审题，布置作业时要精而少，这样学生才有时间养成良好的审题习惯.2.训练学生规范表达的能力培养学生会用数学语言准确、简洁、严谨地表达和书写，卷面字迹清楚，逻辑推理严密.例如，本文中高考题的解法，求点A 的坐标前要说明点A 的位置（第一象限），写直线方程时要交代斜率是否存在，等等.只有规范、严谨地表达，才能避免“会而不对”“对而不全”导致的失分.3.加强学生的运算能力为何选择同样方法的学生运算时所用时间和运算结果不一样？还是运算能力有差异.要提升运算素养，平时的作业练习尽量要求学生不用计算器，对遇到的烦琐的运算要细心、耐心和有信心.要让学生学会感受和比较不同的解法，在教学过程中教师要适时地介绍一些常规和简化的运算方法，培养学生的运算技能，让学生珍惜每一次运算机会.总之，教师应该做到“在埋头拉车的同时还要抬头看路”，多反思平时的教学，多了解学生的学习情况，把以上几点“功夫”做扎实了，学生在考场上就不会“无谓失分”了.参考文献：［1］徐永忠.重视基础查素质，关注创新考能力：2017年高考数学江苏卷评析及启示［J ］.中小学课堂教学研究，2017（10）：49-54.··72。
一道高考数学试题的解法探索与思考
两式 相 减 得 ％＋＋一 ．
＝２ ｌ ％＋，
即 ＋＋ —ａ＋ ％＋一 一 ＋ ｌ ｎ１ １ １ ．
即当 ≥ ２时， ＋一 ＝２ （ ７ ｏ 为常数 ） ４ ． 又当 ｋ＝３ ｎ≥ ４时 ，Ｓ ＋Ｓ一＝２ ｜ 且 Ｓ ＋Ｓ ＝ 且 ３ Ｓ ＋２３ ｓ
且 ｎ＞ｋ时 ，Ｓ ＋ 一＝２ ． ５， Ｓ ＋２
且 Ｓ ＋ ＋Ｓ 一 ＝２ ＋２ Ｓ Ｊ， ｓ
由题设知 ，当 ｋ＝３且 ｎ≥４时 …Ｓ ＋ ３ ＋２３ ３ Ｓ一＝２ Ｊ， ｓ
当ｋ ＝４且 ｎ≥ ５时 ，Ｓ ＋Ｓ ＝２ ２ Ｓ， Ｓ ＋２ ４ 两 式相 减 得 ％＋一 一＝２４ ４ ３ ａ，
解 法探 索一 ：
（ ） Ｍ＝｛ ，４ ，求数列 ｛ ｝ ２设 ３ ｝ 的通项公式．
本题 主要考查数列 的通项与前 ｎ项和 的关 系 、等差数列 的
基本性质等基础知识 ，考查学生分析探究及逻辑推理 的能力． 第
一
问较简单 ，方法也有 多种 ，在此略去 ；第二 问能力要求较高 ，
江苏省教育考试院给出的解法是 ： 由题设知 ，当 ｋ Ｍ：｛ ，４ ， ３ ｝
ｎ项 的 和 为 ，已知 对 任 意 整数 ｋＥＭ，当 ｎ ＞ｋ时 ，５ ＋Ｓ ＝ 一
解 嘞 ｄ从 啦 手，＝ ． 得 ＝ ， 而 ＝ ｄ ｄ
因此 ，数列｛ ｝ 为等差数列 ，
由 们 ＝１ ｄ：２ 知 ，所 以数 列 ｛ ｝ 项 公 式 为 ％＝２ ％ 的通 ｎ一１ ．
的办法，两类新数列 ，给人 眼前一亮 ，虽然解题过程 和前面 的
２ ＋ ） （ 都成立．
（ ） Ｍ ＝｛ ｝ １设 １ ，啦＝２ ，求 ａ 的值 ； ５
【 思考 】该解法前段 的赋值大 多还是能想到 的，这在数列题
一道浙江数学高考题引发的探究与教学启示
图1
&+y = m
+ 8kx + 4 - 4m二0,由韦达定理得xx + x2 =
FT乔g 滤 - 2%2,于是有I x2
丁,又由看=2岗得衍 1 + 4k
8丨 I 二
8
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1+4厂4山+缶
8 2
=2,当且仅当I k\ =*时等号成
处取得最大值4,即点B的横坐标的绝对值取得最大 值2.
点评：解法2主要由两点坐标间的关系代 入椭圆方程,通过“消元”思想把点B横坐标的平方 珂转化为关于参数m的一个二次函数，运用二次函 数性质快速求解出m以及丨靭丨的最大值，让人耳目
一新，瞬间觉得“山重水复疑无路，柳暗花明又一 村”.该解法有效地避免了分类讨论，巧妙地简化了 繁琐的代数运算，解法虽很优美，但难点是如何巧妙 “消元”、构造二次函数，基础一般的同学恐怕难以 想到这个思路.
3.换元法的视角（三角换元，快速突破） 解法3：由题意设点B坐标为（2 Jocose,
y/msinO）,于是由4P 二 2 PB 可得4（ - 40^cos&,3 2 v^sin^）,把力"两点坐标代入椭圆方程得
1.韦达定理模型的视角(韦达定理，凸显通法) 解法1：如图1分类讨论:①当直线的斜率不
2020年第2期
中学数学研究
・17・
存在时，由题知4（0, -伍）上（0,丽）,于是得TH =9 ,xB = 0.
②当直线AB的斜率存 在时，设AP方程为y =蠢+
方程组
1y = kx + 1, x*12 2 =（i 〃）/
解问题，使学生掌握一些合理设计算法形成简便运 算的方法,体会数学思想，培养核心素养.本教学片 段针对学生的运算困惑和解题思路给予了合理的指 导和点拨.
从一道高考题思考学生的数学核心素养
从一道高考题思考学生的数学核心素养2019年全国高考数学试题中有这样一道题：已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,4)，f(x)=2x^2+bx+2c的图象过点(2,6)，则b，c的值分别为（）A．3,2 B．4,3 C．-1,2 D.3,-1这是一道考查函数及对应关系的题目。
这道题可以让我们从学生的解题能力、问题分析能力和解决问题的思维方式等方面来思考学生的数学核心素养。
学生在解答这类问题时需要具备扎实的函数知识。
要正确解答这道题，学生首先需要通过已知条件列出方程组，然后求解方程组得到正确答案。
这就需要学生具备对函数及对应关系的理解和掌握，能够准确地运用函数的相关知识，灵活运用函数的性质和变换规律。
只有具备这样的数学知识基础，学生才能正确理解并解答这类问题。
学生在解答这类问题时需要具备良好的问题分析能力。
对于这道题目，学生需要从已知条件中找出关键信息，理清思路，分析问题的本质，抓住问题的关键点，找出正确的解题思路。
而这就需要学生具备良好的逻辑思维能力和分析问题的能力。
只有通过对问题的全面分析和理性思考，学生才能得出正确的结论。
学生在解答这类问题时需要具备解决问题的思维方式。
这类问题并不是简单的进行计算，而是需要学生在数学知识的基础上进行推理、归纳和推断，需要学生在解题的过程中形成合理的解题思路和解题方法。
只有学生具备探索和发现问题的能力，善于从多个角度思考问题，才能更好地解答这类问题。
而如何培养学生的数学核心素养呢？学校和老师们应该重视对数学基础知识的教学，注重培养学生的数学知识储备；老师们应该注重培养学生的问题分析能力，可以通过启发式教学法、案例分析等方式来引导学生发展问题分析的能力；老师们应该注重培养学生的解决问题的思维方式，可以通过拓展数学课外知识、加强实际问题的应用等方式来促进学生解决问题的能力。
数学核心素养是学生在学习数学过程中所需具备的基本能力和素质。
而通过深入思考一道高考数学题，我们可以清晰地看出学生所需具备的数学核心素养，同时也可以为教师提供一些建议，帮助他们更好地培养学生的数学核心素养。
明立意 提素养———由一道2022_年高考数学试题引发的思考
明立意㊀提素养由一道２０２２年高考数学试题引发的思考李㊀彦(江苏省姜堰中学ꎬ江苏泰州２２５５００)摘㊀要:高考承载着为高校选拔人才的重要任务ꎬ新课改背景下高考试题充分体现出考查学生核心素养的重要特征ꎬ高考试题的探究与分析是高中数学课程教学的重要任务之一.本文以２０２２年一道高考数学试题为探究载体ꎬ重点从试题分析㊁变式拓展㊁教学启示三个角度进行阐释.关键词:高中数学ꎻ高考试题ꎻ素养ꎻ能力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００４０－０３收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:李彦(１９７８.９－)ꎬ江苏姜堰人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教育教学研究.基金项目:泰州市教育学会十四五规划重点立项课题 新课程背景下高中数学高效课堂的建构研究 阶段性研究成果(项目编号:ＴＺ２０２２０１５)㊀㊀高考试题一直是高中教师关注的焦点ꎬ对高考试题形式和考查意图的探究是提升 备考 效率的重要途径.近年来ꎬ高考数学试题中导数问题一直是考查重点内容之一ꎬ多数以初等函数为载体ꎬ以压轴题的形式呈现ꎬ侧重于考查学生的数学学科核心素养.命题专家一直十分青睐导数问题的考查ꎬ给不少学生带来一些困难ꎬ对于高中数学高考复习教学而言ꎬ整体把握导数问题是提升学生解题能力的关键[１].１真题回顾ꎬ多元剖析题目㊀(２０２２年全国高考理科数学第１６题)已知ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２分别是函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)的极小值点和极大值点.若ｘ１<ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围[２]解法１㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ存在两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令函数ｇ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘꎬ当ａ>１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕ(不合题意ꎬ舍去).当０<ａ<１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕ(符合题意)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝２ａｘ(ｌｎａ)２－２ｅ.令ｇᶄ(ｘ０)＝０可得ｘ０＝ｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].由于函数ｇ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)内单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ＋ɕ)内单调递减ꎬ根据题意可令ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ(ｘ０)>０ꎬ即２ａｘ０ｌｎａ－２ｅｘ０>０.即２ａｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２] ｌｎａ>２ｅｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].即１ｌｎａ>ｌｏｇａｅｌｎ２ａ＝ｌｎ(ｅ/ｌｎ２ａ)ｌｎａ.由于ｌｎａ<０则ｌｎｅｌｎ２ａ>１.即１(ｌｎａ)２>１.即０<(ｌｎａ)２<１.则ａ的取值范围为１ｅ<ａ<１.解法２㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬ０４ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即２ａｘｌｎａ＝２ｅｘ.该方程有两个实数根分别为ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ令函数ｙ＝ａｘｌｎａ与函数ｙ＝ｅｘ图象在ｘ０处相切ꎬ可知ａｘ０ｌｎａ＝ｅｘ０ꎬ且ａｘ０(ｌｎａ)２＝ｅ.则ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０.则ａｘ０１ｘ０＝ｅｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅｘ２０.则(ｅ１ｘ０)ｘ０＝ｅｘ２０ꎬ即ｘ０＝ʃ１.(１)在ａ>１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝ｅꎬ若ａ减小ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图１所示).函数ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ的图象如图２所示ꎬ根据前面的分析可知ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去)图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２(２)在０<ａ<１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝１ｅꎬ若ａ变大ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图３所示)ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递减ң递增ң递减ꎬ且极小值ｘ１小于极大值ｘ２ꎬ则１ｅ<ａ<１.图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４解法３㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即ａｘｘ＝ｅｌｎａ.该方程有两个实根ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ如图４所示ꎬ在ａ>１的情况下ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去).在０<ａ<１的情况下ꎬ令ｈ(ｘ)＝ａｘｘꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ａｘ(ｘｌｎａ－１)ｘ２.令ｈᶄ(ｘ０)＝０ꎬ即ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ｌｎａ＝１ｘ０ꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅ.根据０<ａ<１ꎬｌｎａ<０ꎬ则ｘ０<０ꎬ显然函数ｈ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)上单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ０)上单调递减ꎬ则ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｘ０)＝ａｘ０ｘ０＝ｅｘ０.结合题意可得ꎬｅｘ０>ｅｌｎａ.即ｌｎａ>ｘ０.即１ｘ０>ｘ０.则ｘ０<－１.即１ｌｎａ<－１.即ｌｎａ>－１.则１ｅ<ａ<１.点评㊀解法１是直接从函数的性质视角进行探究ꎬ解题思路比较清晰但计算繁琐ꎬ需要学生具有一定的逻辑思维和数学运算能力ꎻ解法２是采取转化思想ꎬ借助于数形结合的方法进行求解ꎬ需要学生具备一定直观想象素养能力ꎻ解法３是采取分离函数㊁等价代换的手段进行求解ꎬ该方法过程简洁运算量不大ꎬ是多数学生优先选择的方法.２洞悉本质ꎬ变式拓展大量实践表明ꎬ机械刷题难以提升学生数学解题能力ꎬ直接影响数学素养的培养与提升.数学教师可以引导学生洞悉数学典型试题的内在本质规律ꎬ呈现多元变式ꎬ在师生共同探究中提升学生数学学１４科核心素养[３].变式１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２且ｘ２<ｘ１ꎬ试求ａ的取值范围?变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围?变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)无极值点ꎬ试求ａ的取值范围?点评㊀变式训练是提升学生数学解题能力的重要方式ꎬ上述三个变式拓展试题是从函数的内在本质出发ꎬ通过对函数的 极值点 进行探讨ꎬ关注学生数学转化思想在数学解题中的实际运用.三道变式试题随着题设条件的变化ꎬ问题由浅入深ꎬ重点考查学生分析数学综合问题的能力ꎬ有助于学生核心素养的提升.３教学启示ꎬ落实素养第一ꎬ重视数学基本知识与技能训练ꎬ灵活运用数学思想方法.函数是高中数学教学中的重点和难点ꎬ每年高考离不开数学函数的考查ꎬ以函数为背景的命题受到命题专家的特殊青睐.导数引入高中数学函数的探究ꎬ已经成为探究函数问题的重要工具.高中数学函数问题注重考查 函数与方程㊁数形结合㊁分类讨论㊁转化与化归㊁函数构造 等数学思想方法.对于高中数学中的导数问题ꎬ应该关注 分离㊁换元㊁构造 等方法.在高考备考复习教学中ꎬ数学教师可以引导学生从基本的解题方法出发ꎬ积极探究解决众多问题中共同的㊁基本的解题方法ꎬ让学生感受通性通法合理应用于解题的实用性ꎬ尽量较少进行特殊解题技巧和方法的熏陶.第二ꎬ重视一题多解的探究与分析ꎬ从变式训练中提升创新思维能力.数学解题教学是高中数学课程教学的重要内容之一ꎬ学生解题能力的提升离不开典型数学试题的剖析.大量实践表明ꎬ 一题多解 是从多个角度探讨同一问题ꎬ有效采取此教学思路有助于拓宽学生的解题思路ꎬ有助于培养学生的发散思维能力和解题能力.在高中数学教学实践中ꎬ学生的数学思维能力存在着一定的差异性ꎬ将 一题多解 和 变式训练 有机融合ꎬ能够有效激发不同层次学生数学探究的好奇心ꎬ引导学生从不同视角㊁不同维度探究问题ꎬ从多 变 的问题中探寻 不变 的性质与特征ꎬ不断强化学生的应变能力ꎬ发展学生的创新思维能力.第三ꎬ融合信息技术教学手段ꎬ充分呈现数学本质规律.数学图象是帮助学生理解和解决问题的重要手段ꎬ函数图象具有较高的直观性ꎬ有利于学生理解函数的内在本质规律.高中数学函数问题教学中ꎬ可以借助于ＧｅｏＧｅｂｒａ图象软件展示变化中的函数图象ꎬ特别是对函数单调性的增减问题ꎬ能够直观地显现出来ꎬ学生能够直接获得数学结论ꎬ激发学生深入探究的欲望ꎬ强化学生直观想象素养的形成与发展.作为高中数学教师ꎬ一定要给予学生动手操作实践的空间与时间ꎬ让学生在实践中体悟数学的本质魅力.高考试题是高中数学课程教学的重要资源与素材ꎬ对高考典型试题的探究是高考备考的必备动作.作为高中数学教师在平时的教学中ꎬ应该强化对高考试题的剖析与思考ꎬ充分挖掘高考试题中 不变 的本质规律ꎬ灵活运用数学思想方法进行教学方式的优化ꎬ不断促进学生创新思维能力的提升ꎬ尽可能实现高中数学核心素养的真正落地.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]杜斌.一道２０２２年联考导数题的多视角探究[Ｊ].中学数学教学ꎬ２０２２(０３):４２－４４.[３]季峰.低起点多层次高落差:２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷试卷点评[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(１５):３０－３１.[责任编辑:李㊀璟]２４。
一道高考题的解法探讨与教学启示——2010年高考数学福建卷文科第16题
ＣＳ ｓ ｔ Ｃ ．ＣＳ ｓ ＋ ＋ ｉｓ 口， Ｏ ｉ２ ？ｉ Ｏ ｉ ｎ ＇ ｏ ｎ … ｃ ． ｎ 根 ＋ ｍｉ
和 解 方程知识 可解 得 ，、Ｐ的值 ， 也应 该是考 生在 ｚ 这
考试 中解决该 题 的基本 方法 ．（ 解 略 ，可见 数学 详 通 讯 ２ １．１ １ ０ １１、 ２上半月 （ 生） 学 ）
６ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
福 建 中学数 学
２ １ 年 第 ３期 ０１
比较 困难 （ 文下 面将 展开论 述 ） 本 ，因此在 具体 解决 时应 从本 题 的结 构 入手 ，运 用合 情推 理 ，联 想 二项 式定 理 ，运 用二 项 式 系数 的赋 值 法 思想 ，结 合 数列
以及依 据 二项式 定理 （Ｏ ＋ ｓ ） Ｃ Ｓ ＋ ． Ｃ Ｓ ｉｉ ＝ Ｏ ｉ ｎ 。
试题 强 调 回归课 本 知识 ，对 双基 考 查 更深 入 ．在 不
确 ，给 予证 明，如果 不正确 ，举 例说 明 ． （ Ⅲ）是 否存 在 非零 实数 ，使 得 （ Ｉ）中 的
１
直 线 与 双 曲线 ÷ 一 １ 交 于 一 点 Ｐ ，且 法 以及 数 学 思想 方 法 的灵 活应 用 ，并显 现 出一 定 的 Ｙ＝ 相 ４
Ｃ Ｓ ａ＋１２ ｃ ｓ ａ＋１ Ｏ Ｏ １０ ｏ ７ Ｓ ａ＋ｐｃ ｓ ａ一１ 贝 ｍ一， Ｃ ｏ ， ｚ ＋Ｐ＝
识 分析 问题 与解 决 问题 的能力 ，考查 学 生发 现新 知 识 的能力 ， 课 标 》在推理 与证 明部 分设 计 了合 情推 理 的 内容 ，要 求学 生通 过 运 用合 情推 理 探索 与 发现 数 学 结论 和 思路 ，体会 合 情推 理 在 数学 发现 中 的作 用 ．而培 养学 生 的合情推 理能 力是 一项 长期 的工作 ， 它 不 可能 在 一天 、 几天 、甚至 几 个 月 内完 成 ，需 要 教 师 持之 以恒 、循 序渐 进 ，并在 所 有 的数 学教 学 活 动 中具 有培 养 学 生合情 推 理 能 力 的意识 ．因此 ，在 教 学活 动 中 ，应 当把 培 养学 生 的合 情 推理 能 力作 为 明确 的教 学 目标 ，同时 辅 助 以相应 的数 学素 材 和教 学 设计 ，使 这 个 目标 得 到落 实 ，让 合 情推 理 能 力 的 培 养贯 穿于 教 学 的始终 ，使 学 生 形成 一 种 良好 的合
一道高考试题解决中的数学思想简析
ｇ（） ｆ Ｘ ＝ ｘ一 （ 一 ＋）＋ ＝ ） ３ ２ ｋ １ ５；当 ｘ ０时有 ｋ ＞
ｇ Ｘ ＝ ） ２ ＋ ） ｇ Ｘ ＝ ｋ ｋ，因为 当ｋ ０ ＝ 时不合题意 ，
因此 ｋ≠０．
１ ．阅读理解题意下的等价转化 （ 化归）要求 首 先 条件 “ （） 区间 （ ，） 不 单 调 ” 能 直 ｐｘ 在 ０３上 不
要使方程在 区间 （，） ０ ３上有解 ，即是求当Ｘ 区 在
问 （，）时 对 应 ｋ的 取 值 范 围 ． 令 ｔ ｘ １，有 ０３ ＝２ ＋
要使ｇ ） ｇ ｘ 成立， ＝ １ （ ） 所以ｋ ５ ＝ 满足题意．
４ ．不同解法中的数形结合思想 对 （ ）的上述解决方法 ，我们可以通过数形结 Ｉ Ｉ 合 的辅 助来简 化解题 ．
对 任 意 给 定 的 非 零 实 数 Ｘ ，存 在 惟 一 的 非零 实 数 ．
３ ．分类函数解决 中的分类讨论思想 （ ）的解 决 中 ，由于 ｑｘ是 分段 函数 ，因此必 Ｉ Ｉ （）
须 对 Ｘ≥０ 和 Ｘ＜０ 分 类 讨 论 ， 当 ＜０ 时 有
（： Ｘ） Ｘ≠ ．，使得ｇｘ） ｇ ） 。＝ 。成立？若存在，求ｋ （ （
上有实 数解 、且 无重根 ． ２ ．简化 解题 的 函数方程 思 想 上 述 是 将 函 数 ｐｘ 区 间 （ ，） 的不 单 调转 化 （） ０３上
所以要使ｇ Ｘ） ｇ ） ＝ 成立，只能 ＜ 且Ａ Ｂ， （ ０
因此有 ｋ≥５；
（ｉ 当 ＜ 时， ） （ ， Ｏ 上单调递减， ｉ） ０ ｑ（ 在 ０ ＋０ ）
（ ， Ｏ 上单调递增，所以Ｘ 的值是唯一 的； ０ ＋０ ） ，
同理 。 ＜０，即存在 唯一 的非零 实数 （ ≠ １， Ｘ ）
一道高考数学试题的赏析与教学启示
一
（Ｉ 设 １ ≤ ６ ｃ 证 明 ：ｏ ￣ ＋ｌｇｃ ｏ ￣ Ｉ） ＜口 ≤ ， ｌｇｂ ｏ ｂ＋ｌｇ ａ
≤ ｌｇａ＋ ｌｇｂ ｌ ｇｃ ｏｂ ｏ ｃ＋ ｏ ． 。
一
＋ ≤ｘ －ｘ ｙ 甘 ｚ ｙ － ＋１ ＋ ＋ ≤
１ ＦＩ
ｚ
本 题 要证 的两个 不 等式 结 构 工整 ， 式 简 洁优 形 美， 右边 各项恰 好 是 左 边 各项 的倒 数 。并 且 证 明入
２１ ０ ２年 ５ 月 第 ３ Ｏ卷 第 ３期
合肥师范学院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｆｉ ｒ １Ｕｎｖ ｒｉｙ ｏ ｒ ａ ｆＨｅｅ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ
Ｍａ．２ １ ｙ ０２
Ｖｏ ． Ｏ Ｎｏ ３ １３ ．
一
道 高 考 数学 试题 的赏析 与教 学 启示
张 新 全
（ 合肥师范学院 数学系 ， 安徽 合肥 ２ ０ ６ ） ３ ０ １
３ 解法赏析
在 此 ， 们仅讨 论 （ 中不 等式 的证法 ， 我 工） 主要 有
以下六种 。
证 法 ５（ 分法 １ 构造 一元 函数 ） 微 ：
记 （一 ＋ ＋ｙｘｙ上（ １ 厂） 专 ｘ －－ｙｚ ） ｚ － ｘ ≥，
贝厂（） 一 Ｙ ＋ 一 ０ ｚ 一 壶＋ 一１ 去 （一 １卜 ） ） ， （
分 别 以一 １
、
一
（ 中的不等 式其实 源于 以下 简单 的等价 不等 工）
专 代Ｉ 的、即 （。 替 （） ， ３ 中 得）
１１ ５
［ 收稿 日期 ］２ １ 一Ｏ —２ Ｏ２ １ Ｏ ［ 作者简介］张新全 （９ ８ ， 安徽寿县人 ， １ ６ 一） 男， 合肥师范学院数学 系副教授 ， 研究方 向： 数学教育。
一道高考数学填空题的分析及其启示
由此 可知 ， （ ｘ ∈ ０ ，ｎ∈Ｚ，．任意 ∈（， ｆ２ ） 【 ， ＂ ． ０＋ 。 ，函数， 。 ） ）的值域为 ［，ｏ ，故②正确． ０＋ｏ ）
３ 启 示 ．
填空题不 同于选择题 ，选择题 的答案就在 四个选
我们 也可 以找到 一般化 方法 ，取 ｆ（ｍ 】则 ｉ ２， ， ２
两 项是对 的 ，本 题也 只有 两项正 确 ，结果 把对 的 改
错 ，其 实此类 问题什 么情况都可能 出现 ；四是填② 的 时候 ，后 面还带 了一笔 ，分不清是②还是⑧ ，给评卷 带来疑 问和困难 ；五是没有思路 ，思维僵化 ，随便填
答案 ．
【， ） ０２ ， 此时 ２ ｘ∈（ ，】 ｆ ４）２ （ｘ Ｅ【，） 此时 ４ ∈ ２ ４； （ｘ＝ｆ２ ） ０ ４ ， ｘ
（ ＝ ）
＿ ）＝ “ ． 厂 ２ ’ 解析式求 出来 了，下面 的问题就容易 了． 本题 的函数实 际上是一 个分 段 函数 （ 图） 如 ，即
过程 中 ，要注意研究性 学习和研究性 复习 ，提高我们 的研究 能力 ，比如 一题 多解 的研究 ，一 理 多用 的研
究 ，或者 多题 一解 的研究 ，对 问题 进行 一些 变式 拓
三是受平 时思维定势影 响 ，以为平 时类似 的问题 只有
ｍ∈ Ｚ，有 ．２）Ｏ 厂ｍ ． （ ＝ 事 实 上 ，我 们 也 可 以找 到 一 般 化 的方 法 ：
Ｉ２ （・ ）２ （ ： ２ 厂２＝ ， 厂 ２ ２ ＝ｆ２ …＝ ｌ ）０ 故①正确． （ ） （
对 ② ， １ 】 ， （ ＝ － ０１； ｆ２）２（） ∈（， 时 ｆｘ ２ ｘＥ［， 而 （ ＝ｆｘ ∈ ２ ） ） ｘ
高三数学课堂教学的实践追求——由一道高考题教学引起的思考
① 加强双 基教 学是高 考获 取成 功 的根 本要 素 ， 是
教 学 目标 的第 一要素 ；
② 除 了关 注 知识点 的落 实和深 化外 ， 加强 对数 学 思 想 和本 质 的揭示 也是教 学 目标设计 的 另一要 素． 笔者 在“ 析几 何与 向量 的 综合 ” 习课 时 ， 据 解 复 依
炼 的两 点． 这 一 系 列 的 求解 过 程 中 ， 解 题 技 巧 起 在 对 到很好 的巩 固作用 ， 而达到举 一反 三 的效果 ． 从 ２ 提 升高 三数学 复 习课堂教 学有效 性 的几个 关 注点
１ ）关 注教 学 目标 的设 定
ｇ ） 若 Ｐ ｚ 在 （ ， ） 不单 调 ， ｋ的取 值 范 围． （ ， （ ） ｏ３上 求 ”
（ ）若 ｐ ） （ ，） 不单调 ， ｋ的范 围． ２ （ 在 ｏ ３上 求 ”
通过 这样 的铺 垫 和改 编 ， 个 题 目就 不 是 很 难 ， 这
大部 分 学 生 可 以 解 出． 生 通 过 求 解 ２个 恒 成 立 问 学 题． 后 适 当 地 点 拨 ， 学 生 明 白 Ｐ （ 一 ３ 然 让 ｚ） ｘ ＋ ２ 忌 ） （ ＋５ 一０ 其 实 质 是 Ｐ （ ） ０在 （ ， ） （ 一１ ＋ 忌 ） ， ｚ 一 ０ ３ 上 有实数 解 ， 无 重 根． 样 学 生也 知 道 在 这 一 区 间 且 这
◇ 浙江 王 长 新
的分 布 问题求 解 ｋ的范 围 ， 可 以用 单 调 增 ， 调 减 也 单
的反面来 说 明不 单调 ， 而可 以看 出题 目的综 合 性 比 从
较 强．
１ 问题 的 提 出
高三 的数 学学 习 ， 是 学 生 对 自 己数 学 知识 、 就 方
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
高考数学卷压轴题往往是难度最大、思维最复杂的一道题目。
对于考生来说，这不仅是一件考验智商的事情，更是挑战思维和解题能力的机会。
在解答这种类型的题目时，要有耐心、细心、理智，思路清晰，方法得当。
首先，要认真阅读题干，明确问题。
在阅读中须注意数据和条件，梳理各种信息，尤其是一些重要的条件和限制，如区间、范围、等式、不等式以及与相关变量的关系等，对于解题过程中的把握和计算将起到至关重要的作用。
其次，要找到合适的方法和解决思路。
针对不同的题型，应该灵活运用代数、几何、统计、推理、概率等各种数学知识，找到最简单、最快捷的方法来求解问题。
如对于一些图形变换题目或者容斥原理等组合问题，我们可以运用几何知识去思考、解题；对于一些像余弦值或正切值之类的三角函数问题，我们可以通过代数和几何相结合想办法求出其近似值，并进一步搭配其他相关性函数来解决; 使用几何思想推导数学定理等都是一些灵活应用的例子。
最后，在解答过程中也要注意细节，严密把握每一步计算、推导。
不要心急，一定要认真检查，以防万一出错。
此外，要保持冷静，乐观态度，坚定信念，不要让不必要的紧张和焦虑影响到正常解题思路和效率。
总的来说，对于一道高考数学卷压轴题，解答的关键在于平时复习的基础和对综合运用各种解题思路的灵活性。
要不断摸索，积累经验并灵活运用，带着问题思考和解决问题的能力在高考时打出好成绩。
2023年高考数学1卷试题第21题解读
2023年高考数学1卷试题第21题解读一、题目背景2023年高考数学1卷试题第21题是一道关于函数与导数的问题，考查了利用导数研究函数的单调性、极值等知识点，同时要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。
二、题目分析本题主要考查了导数的应用，包括利用导数研究函数的单调性、极值等知识点。
同时，题目还要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。
首先，题目给出了一个函数式：$f(x) = x^{3} - 3x + 2$，并要求求出该函数的单调区间和极值。
然后，根据求导公式，我们可以求出该函数的导数：$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 3$。
接下来，我们需要根据导数判断函数的单调性。
当$f^{\prime}(x) > 0$时，函数单调递增；当$f^{\prime}(x) < 0$时，函数单调递减。
根据导数方程，我们可以得出函数的单调递增区间为$x > 1$或$x < - 1$，单调递减区间为$- 1 < x < 1$。
最后，我们需要求出函数的极值点。
根据极值的定义，当函数在某一点的导数为零且在这一点两侧的导数符号相反时，该点为函数的极值点。
根据导数方程，我们可以得出函数的极值点为$x = 1$，且为极小值点。
三、解题方法本题的解题方法主要是利用导数研究函数的单调性、极值等知识点。
同时，还需要根据实际问题的需要，利用函数图象的变化趋势进行分析。
具体来说，可以按照以下步骤进行解题：1. 求出函数的导数；2. 根据导数判断函数的单调性；3. 求出函数的极值点；4. 根据实际问题的需要，利用函数图象的变化趋势进行分析。
四、结论与启示本题是一道关于函数与导数的问题，考查了利用导数研究函数的单调性、极值等知识点，同时要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。
通过本题的解答，我们可以得出以下结论和启示：1. 利用导数研究函数的单调性和极值是一种有效的数学方法；2. 在解题过程中要善于利用导数方程进行分析和推理；3. 要注意导数在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为数学问题进行分析和解决；4. 在解题过程中要细心审题，注意细节的处理，避免因粗心而犯错；5. 要善于总结解题方法和思路，以便在以后的解题中能够更加高效地解决问题。
一道高考试题的赏析及教学启示
������３６������
中学教研( 数学)
２０１８ 年第 ９ 期
由角平分线定理可知
因此
｜ ＡＤ ｜ ｜ ＤＣ ｜
＝
ｃ ａ
ꎬ
｜ ＡＤ ｜ ２ ｜ ＤＣ ｜ ２
＝
ｃ２ ａ２
＋１ ＋１
－ －
ｃ ａ
＝
ｃ２ ａ２
ꎬ
化简可得 ( ａ － ｃ) ( ａ ＋ ｃ) ＝ ａｃ( ａ － ｃ) .
当 ａ ＝ ｃ 时ꎬ由 ｜ ＢＤ ｜ ＝ １ꎬ可得 ａ ＝ ｃ ＝ ２ꎬ此时
２０１８ 年第 ９ 期
中学教研( 数学)
������３５������
一 道 高 考 试 题 的 赏 析 及 教 学 启 示∗
●盖传敏 ( 砀山中学ꎬ安徽 砀山 ２３５３００)
摘 要: ２０１８ 年江苏省数学高考试题延续往年的“ 江苏模式” ꎬ整卷难度均衡ꎬ考查全面ꎬ设计新颖. 尤其是第 １３ 题很
时ꎬ４ａ
＋ｃ
取得
最小值 ９.
解法 ２ ( 利用余弦定理) 在△ＡＢＤ 中ꎬ由余弦
定理可得
｜ ＡＤ ｜ ２ ＝ ｃ２ ＋ １ － ｃꎬ
在△ＢＤＣ 中ꎬ同理可得 ｜ ＤＣ ｜ ２ ＝ ａ２ ＋ １ － ａꎬ
∗ 收文日期:２０１８￣０６￣１３ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０５ 基金项目:安徽省宿州市 ２０１７ 年度课题( ＪＫＹ１７０３６) 作者简介:盖传敏(１９８５ － ) ꎬ男ꎬ安徽砀山人ꎬ中学一级教师. 研究方向:数学教育.
好地体现了逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养ꎬ较好地实现了区分功能ꎬ对高中数学教学具有良好的导向作用. 关键词: 江苏卷ꎻ核心素养ꎻ教学启示 中图分类号:Ｏ１２３. １ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００３ － ６４０７(２０１８)０９￣００３５￣０２
一道高考数学试题的命题赏析与启示
作者：王永生
来源：《云南教育·中学教师》2017年第06期
一、试题解析
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值.
【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图2所示.
二、命题赏析
要设计一道好的解答题，一般要经历如下几个步骤：选材与立意；搭架与构题；加工与调整；审查与复核.本题作为解答题的第三题，难度适中，确实是近些年来立体几何解答题中难得一见的好题.其在考查学生基础知识、基本能力的同时，还考查了学生的个性品质，更重要的是体现了一定的创新性.
3.试题言简意赅，平实中领新潮
几乎任何一道数学题都要通过语言进行表述，可以是文字、符号，也可以是图象.考试时，考生通过阅读语言，理解题意，同时又利用语言进行非常重要.本题第（Ⅰ）问中，“在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）”，这样的表述十分简洁明了.为了避免与解答题的总要求“解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤”产生冲突，题目还特意进行了补充说明，从而使考生更清楚题目的要求.
1.试题立足基础，平和中见新奇
本题以长方体为载体，立足立体几何的基础知识，重点考查学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解等基本能力.试题难易适中，略显平和.纵观近几年新课标全国卷（2012年开始云南省使用）理科数学立体几何解答题的第（Ⅰ）问，其考查要求如下表所示：
不难看出，除2015年外，立体几何解答题的第（Ⅰ）问都直接考查学生的推理论证能力.但为了突出新课标在立体几何部分对学生提出的学习要求——直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，2015年该题的第（Ⅰ）问并未一如既往地直接考查线面平行与垂直，而是要求学生在图中画出正方形且不必说明画法和理由.事实上，在“操作确认”的过程中，学生还是要进行“思辨论证”的，只不过不必写出.这在一定程度上节省了学生的答题时间，体现了对学生的人文关怀.可见，试题立意较为深遠，立足基础，平和中见新奇.
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一道高考数学题的求解启示
现在的学生，经济条件稍好点的，平时练习都有手机帮助，找答案易如翻掌，拍个照，搜一搜作业帮，答案立刻出现，但是解题过程简洁，对于不同程度的学生来说，一是不一定理解解题的思路，二是不一定能找出自己解不出题的问题所在。
下列这道题就是在辅导孩子学习时候遇到的，我想加以展开分析一下：
1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆2222
1(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2
交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于
另一点C ，连结F 1C. （1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =
，求椭圆的方程；
（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。
下面是作业帮搜索到的题目的答案：
1、（1）∵BF 2 = ，
将点C （，）代入椭圆22221(0)y x a b a b +=>>，
∴22
1611(0)99a b a b +=>>，
且c²+b²=a²
∴a=，b=1, ∴椭圆方程为
2
21 2
x y
+=
（2）直线BA 方程为y=x+b,与椭圆
2
2
22
1(0)
y
x a b
a b
+=>>
联立得
x²x=0. ∴点A（，），∴点C（，）
F1（）
直线CF1 斜率k=，又∵F1C⊥AB ，∴·=
∴=1，∴e=
第1问比较简单，主要是第2问：
需要按直线和椭圆的方程式，联立方程求解，这里涉及到代数式通分，化简，很容易出错，特别是题目要求椭圆离心率e：
椭圆的离心率：e=c/a(0,1)（c,半焦距；a,长半轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ），需要根据
F1C⊥AB这个已知条件，把这两条直线的方程式表示出来，再根据他们斜率想乘的积= -1，列出新的式子，化简为包含c/a的一个多项式方程，并求解。
所以这道题不仅要对解析几何本身的知识理解并运用，还要有初中的代数式变换的扎实基础。
否则，往往在解题的过程中出现这样那样的错误，使得化简不能实现，卡在半道上。
再一个难点就是在从已知条件推导同时，要考虑到所求是一个c/a的比值，需要用已知条件构造出包含这个比值的多项式，这个思路清楚的话，在求解过程中，如果由于粗心大意出点小错，使得代数式变的繁杂，那么自己应该有所警觉，并重新计算。
这样在实际的考试当中可以节省时间，取得主动。
结合上述分析，再来看网上答案的步骤是比较精简的，对于基础比较差的学生来讲，还必须书写的更加详细，重而在分析该题目所考核知识点的同时，发现学生欠缺的能力在
哪里？
在此，还可以深入一步，要求学生理解解析几何的特点，对于解决实际问题，也就是解题来讲，什么时候用解析几何，什么时候用普通几何定理解决问题，需要根据实际情况来判定。
利用解析几何解题，坐标系的设定很关键。
这应该是属于扩展思考，举一反三的事情了。