高中数学全程学习方略配套课件：3.3.2.1简单的线性规划问题(人教A版必修5)

标函数z=2x-3y取得最小值. ………………………………4分
由图可见，当直线z=2x-3y经过可行域上的点A时，截距最大，
即z最小.
解方程组
x x
y y
1 5
得A的坐标为（2，3），
∴zmin=2x-3y=2×2-3×3=-5. ……………………………7分
当直线z=2x-3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.
解方程组
2x y y 3
2
0
得M的坐标为（
1 2
,
3）,
解方程组
ax y y 3
a
0
得P的坐标为(
3 a
+1,3)
又OM=
9 1＜ 4
34.∴点P（
3 a
+1,3）到原点距离最大
∴（3 +1）2+9=34，又a＞0，故解得a= 3 .
a
4
简单线性规划整数解问题 【名师指津】整点坐标的求法 求不等式组表示的平面区域内的整点坐标,常有两种方法: (1)先确定区域内横坐标的取值范围,确定x的所有整数值; 通过x的值再确定相应y的整数值; (2)画出网格求整点,关键是作图要准确.
y 0，
【解析】画出可行域，找出最优解，求出最大值，当直线
2x-10y=t（t为参数）过原点（0，0）时，zmax=2×010×0=0. 答案：0
x y 2，
6.已知变量x,y满足约束条件 x y 2，若目标函数z=y-ax
0 y 3，
仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围为____.
解方程组
x x
y y
3 1
得B的坐标为（2，-1）.
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
2x y 1 0
1.z=x-y在 x 2y 1 0 的线性约束条件下，取得最大值的
x y 1
可行解为（ ）
（A）（0，1）
（B）（-1，-1）
（C）（1，0）
（D）（ 1，1）
22
联立
2x y x 2y
40，得 50，
x y
10， 20，
∴A（10,20）.
∴z=3x+2y的最大值为zmax=3×10+2×20=70.故选C.
求非线性目标函数的最值
【名师指津】非线性目标函数的最值的求法
（1）对于形如z=（x-a）2+（y-b）2型的目标函数均可化
为求可行域内的点（x,y）与点（a,b）间的距离的平方的
即zmax=600×70+300×90=69 000.
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（D）［1,+∞)
【解析】选C.实数x,y满足
x y x＞0
1
0
的相关区域如图所示的阴影部分， y 表
x
示阴影部分内的任意一点与坐标原点
（0，0）连线的斜率，由图可知，y
x
的范围为（1，+∞）,故选C.
x y 0，
5.若x,y满足
x x
5y 0，
5，则z=2x-10y的最大值等于_____.
显然，点A满足上述条件，
解
x y 3 2x 3y
3
得点A（12，3 ），
55
∴zmin= 12 2 3 18 .
5 55
1（1）2 2 2
MN2=（3 2 ）2 9，故z的最小值为 9 .
2
2
2
（2）z
2
y
（
1 2
）表示可行域内点（x,y）与定点Q（-1，
x （1）
1）连线斜率的2倍，
2
∵KQA= 7 , KQB= 3 ,
4
8
∴z的范围是［ 3，7］.
42
已知目标函数的最值求参数 【名师指津】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问 题.
1 x y 5 1 x y 3
所表示
的平面区域（如图）即为可行域. ……………………2分
设z=2x-3y，变形得 y 2 x 1 z,
33
则得到斜率为 2，且随z变化的一组平行直线.
3
1 z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最
3
小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目
（1）z=x2+y2-10y+25的最小值；
（2）z= 2y 1的范围.
x 1
【审题指导】审题时，要把z=x2+y2-10y+25化为z=x2+
（y-5）2;把z=
2y
1
化为z=2·
y
（
1 2
）
，联系其几何意义，
x 1
x （1）
思路就清晰了.
【规范解答】作出可行域，如图所示.
A（1，3），B（3，1），C（7，9）. （1）z=x2+（y-5）2表示可行域内任一点（x,y）到点 M（0,5）的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC 上，故MN= ｜0 5 2｜ 3 3 2 .
≠0）型的目标函数，可先变形为
cx d
z=
a·
y
（
b a
）
的形式，将问题转化为可行域内的点
c x （ d ）
c
（x,y）与点（ d , b ）连线斜率的
ca
a c
倍的范围、最值等.
x y 2 0
【例2】已知 x y 4 0 ，求：
2x y 5 0
【解析】选C.可以验证这四个点均是可行解，当x=0,y=1
时，z=-1;当x=-1,y=-1时，z=0;当x=1,y=0时，z=1;当 x= 1 , y= 1 时，z=0，排除选项A，B，D，故选C.
22
2x y 4，
3.设x,y满足 x y 1，则z=x+y（ ）
x 2y 2，
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
【审题指导】由题目可获得以下主要信息：①可行域已知；
②目标函数已知.
【规范解答】选C.由题意，满足二元一次不等式组的解的 可行域，如图所示.
由z=3x+2y得y= 3 x z , 要求z的最大值，可求 z 的最大
22
2
值，即求斜率为 3 的直线在可行域内在y轴上截距的最大
2
值，如图，显然直线过A点时，在y轴上截距最大.
解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解.同时 要搞清目标函数的几何意义. 【特别提醒】解题时要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.
其中直线ax-y-a=0的位置不确定，但它经过定点A（1，0）， 斜率为a. 又由于x2+y2= ( x2 y2 )2. 且x2+y2的最大值等于34，所以可行 域中的点与原点距离的最大值等于 34.
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【典例】（12分）已知1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3，求2x-3y的 取值范围. 【审题指导】本题考查线性规划应用问题.把1≤x+y≤5, -1≤x-y≤3看作变量x,y满足的线性约束条件，把求2x-3y 的取值范围看作求z=2x-3y的取值范围，就成了一个线性规 划问题.
【规范解答】作出二元一次不等式组
由方程组
3x y x 2y
300 252
得
x y
69 3 5
911 5
,
∴C点坐标为（69 3 ,911 ）.
55
因为题设要求整点（x，y）使z=600x+300y取得最大值，
又整点（69,91）,（70,90）都在可行域内，
将两点坐标代入z=600x+300y可知当
x y
70 90
时，z取得最大值.
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【思考】
【点拨】
③求：解方程组求出最优解； ④答：写出目标函数的最值. 【特别提醒】最优解一般在可行域的边界上取得，但有时 在区域内取得，尤其是整点为最优解时.
2x y 40
【例1】若变量x,y满足
x x
2y 0
50
,
y 0
则z=3x+2y的最大值是 （
）
（A）90 （B）80 （C）70 （D）40
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最大值，也无最小值
【解析】选B.作出可行域如图所示，
作直线l0:x+y=0,平移l0,当l0过点 A（2，0）时，z有最小值2，无最大
值，故选B.
4.若实数x,y满足
x y x＞0
1
0，则
y x
的取值范围是（
）
（A）（0，1）
（B）（0，1］
（C）（1，+∞）
3x y 300
【例】设z=600x+300y，变量x,y满足约束条件
x 2y 252 x 0
y 0
且x,y为整数，求z的最大值.