中考数学专题特训第二十三讲：圆的有关概念及性质(含详细参考答案)

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初中数学专题讲义-圆(含答案)

初中数学专题讲义-圆【考纲说明】【知识梳理】一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

（1）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。

（1）劣弧：小于半圆的弧。

（2）优弧：大于半圆的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质 1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：➢ 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

➢ 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，OP=d 。

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。

）8、直线与圆的位置关系。

d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；9、圆的切线判定。

（1）d=r 时，直线是圆的切线。

圆的有关概念和性质-2024年中考数学考点总复习(全国通用)(解析版)

【中考高分指南】数学（选择+填空）【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）圆的有关概念和性质一、圆的有关概念弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径经过圆心的弦叫做直径。

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

优弧大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧小于半圆的弧叫做劣弧。

常用公式：Lr r n S r n L 213601802===π，π扇形三角形扇形弓形S S S ±=三、垂径定理1．定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2．推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3．推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理1．弧、弦、圆心角的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等.2．圆心角:顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.3．圆周角定理定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论:①同弧或等弧所对的圆周角相等.②半圆(或直径)所对的圆周角是直径，90°的圆周角所对的弦是圆的直径.③圆内接四边形的对角互补.【考点1】圆的相关概念⏜上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，【例1】（2023·江苏）如图，在扇形AOB中，D为AB∠O=75°，则∠A的度数为( )A. 35°B. 52.5°C. 70°D. 72°【答案】C【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质．连接OD ，如图，设∠C 的度数为n ，由于CD =OA =OD ，根据等腰三角形的性质得到∠C =∠DOC =n ，则利用三角形外角性质得到∠ADO =2n ，所以∠A =2n ，然后利用三角形内角和定理得到75°+n +2n =180°，然后解方程求出n ，从而得到∠A 的度数．【解析】解：连接OD ，如图，设∠C 的度数为n ， ∵CD =OA =OD ， ∴∠C =∠DOC =n ，∴∠ADO =∠DOC +∠C =2n ， ∵OA =OD ， ∴∠A =∠ADO =2n ，∵∠AOC +∠C +∠A =180°，∠AOC =75°， ∴75°+n +2n =180°，解得n =35°， ∴∠A =2n =70°．故选：C ．【例2】（2024·全国模拟）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10.若以点C 为圆心，CA 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则⊙C 的半径为( ) A. 5√ 3 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D【解析】解：如图，连结CD ， ∵CD 是直角三角形斜边上的中线， ∴CD =12AB =12×10=5．故选：D ．连结CD ，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例3】（2024·江西模拟）一张直径为10cm 的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据(单位：cm)长度不合理的是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】解：A 、B 、C 图形中的三角形，满足三角形三边关系定理，且三角形三边长度合理，故A 、B 、C 不符合题意；D 、如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，∵AB =AC ，∴BH =12BC =12×10=5(cm)， ∴AH =√ AB 2−BH 2=√ 39， ∴AH >5， ∴A 在圆外，∴三角形三边长度不合理，故D 不符合题意．故选：D ．由三角形三边关系定理，点和圆的位置关系即可判断．本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系，关键是由等腰三角形的性质，勾股定理求出AH 的长．1.（2024·湖北模拟）以下命题：(1)等弧所对的弦相等；(2)相等的圆心角所对的弧相等；(3)三点确定一个圆；(4)圆的对称轴是直径；(5)在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等；(6)三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.其中正确的命题的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】A【分析】本题主要考查圆的相关概念和性质，深刻理解圆的相关性质是解题的关键．根据圆的相关概念和性质，对各个选项逐一分析判断即可得出答案．【解析】解：(1)等弧所对的弦相等；正确；(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故(2)错误；(3)不在同一直线上的三点确定一个圆；故(3)错误；(4)圆的对称轴是直径所在直线；故(4)错误；(5)在同圆或等圆中，同一条弦所对的弧有两条，每一条弧所对的圆心角不一定相等，则所对的圆周角也不一定相等；故(5)错误；(6)三角形三边的垂直平分线的交点即为其外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等.故(6)正确；综上所述，正确的有(1)(6)，故选A．2.（2024·江苏模拟）下列说法中，正确的是①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．( )A. ①④B. ②③C. ①③④D. ②③④【答案】A【解析】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；③、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；故选：A．根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可．本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键．3.（2023·全国模拟）下列说法中，不正确的是( )A. 直径是最长的弦B. 同圆中，所有的半径都相等C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形D. 长度相等的弧是等弧【答案】D【分析】本题主要考查了圆的基本概念，解答此题的关键是正确理解弦，弧的定义，解答此题根据圆的基本概念判断即可．【解析】解：A.直径是最长的弦，正确；B.同一个圆的半径相等，正确；C.圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；D.长度相等的弧不一定是等弧，同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，故该选项的说法错误．故选D．4.（2024·广东模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为( )A. 38°B. 52°C. 76°D. 104°【答案】C【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念．根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．【解析】解：∵OM=ON，∴∠M=∠N=52°，∴∠MON=180°−2×52°=76°．故选：C．【考点2】垂径定理【例1】（2023·四川）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2√ 3，则OC=( )A. 1B. 2C. 2√ 3D. 4【答案】B【解析】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：∵∠ADB=30°，∴∠AOB=60°，∵OA⊥BC，BC=2√ 3，BC=√ 3，∴BE=12，在Rt△BOE中，sin∠AOB=BEOB，∴sin60°=√ 3OB∴OB=2，∴OC=2；故选：B．连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB=30°，得∠AOB=60°，根据OA⊥BC，BC=2√ 3，得BE=1BC=√ 3，2故sin60°=√ 3，从而OC=OB=2．OB本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系．【例2】（2024·湖南模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连接OC，OD.若⊙O的半径为m，∠AOD=α，则下列结论一定成立的是A. OE=m·tanαB. CD=2m·sinαC. AE=m·cosαD. S△OCD=m2·sinα【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握垂径定理，解直角三角形等知识.根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断．【解析】解：A．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，CD，∴DE=12在Rt△EDO中，OD=m，∠AOD=∠α，∴tanα=DEOE，∴OE=DEtanα=CD2tanα，故选项A错误不符合题意；B.∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，∴CD=2DE，∵⊙O的半径为m，∠AOD=∠α，∴DE=OD⋅sinα=m⋅sinα，∴CD=2DE=2m⋅sinα，故选项B正确符合题意；C.∵cosα=OEOD，∴OE=OD⋅cosα=m⋅cosα，∵AO=DO=m，∴AE=AO−OE=m−m⋅cosα，故选项C错误不符合题意；D.∵CD=2m⋅sinα，OE=m⋅cosα，∴S△COD=12CD×OE=12×2m⋅sinα×m⋅cosα=m2sinα⋅cosα，故选项D错误不符合题意；故选B．【例3】（2024·全国模拟）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为．( )A. 3√ 3B. 32C. 3√ 32D. 3【答案】C【解析】连接OC、OD，如图所示，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD=60°．∵OC=OD，OG⊥CD，∴∠COG =30°． ∵⊙O 的周长等于6π，∴OC =3，∴CG =32，∴OG =3√ 32．故选C ．1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．根据垂径定理构造直角三角形，一般为过圆心作已知弦的弦心距，常用于求线段的长度.1.（2024·广东模拟）已知：如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB =70°，则∠ADC 的度数为( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°【答案】B【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出AB ⏜=AC ⏜，再由圆周角定理即可得出结论．【解析】解：如图，连接OC ．∵OA ⊥BC ， ∴AB⏜=AC ⏜， ∴∠AOC =∠AOB =70°，∴∠ADC =12∠AOC =35°．故选B ．2.（2024·江苏模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD =2√3.则BC ⌒的长为( ) A. π3B.2π3C. √3π3D.2√3π3【答案】B【解析】解：连接AC 、OC ， ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴CE =ED =12CD =√3，BC ⌒=BD ⌒，∴AB 是线段CD 的垂直平分线， ∴AC =AD ， ∵AD =CD ， ∴AC =AD =CD ， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠CAD =60∘， ∴∠COB =60∘，在Rt △COE 中，OC =CEsin∠COE =2， ∴BC ⌒的长=60π×2180=2π3，故选：B.连接AC 、OC ，根据垂径定理得到CE =ED =12CD =√3，BC ⌒=BD ⌒，根据线段垂直平分线的性质得到AC =AD ，根据等边三角形的性质求出∠CAD =60∘，根据正弦的定义求出OC ，根据弧长公式计算，得到答案．本题考查的是弧长的计算、垂径定理，掌握弧长公式：l =nπr180是解题的关键． 3.（2024·陕西模拟）如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，且∠ACD =22.5°，CD =4，则⊙O 的半径长为( ) A. 2 B. 2√ 2 C. 4 D. 10【答案】B【解析】解：连接OD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD =4，∴CE =DE =12CD =2，∵∠ACD =22.5°，∴∠AOD =2∠ACD =45°，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴OD =√ 2DE =2√ 2，即⊙O 的半径为2√ 2，故选：B ．连接OD ，由圆周角定理得出∠AOD =45°，根据垂径定理可得CE =DE =2，证出△DOE 为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4.（2023·江苏）如图，矩形内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆.若AB =4，BC =5，则阴影部分的面积是( )A. 414π−20B. 412π−20C. 20πD. 20【答案】D【解析】解：如图，连接BD ，则BD 过点O ，在Rt △ABD 中，AB =4，BC =5，∴BD 2=AB 2+AD 2=41，S 阴影部分=S 以AB 为直径的圆+S 以AD 为直径的圆+S 矩形ABCD −S 以BD 为直径的圆=π×(42)2+π×(52)2+4×5−π×(BD 2)2 =41π4+20−41π4=20，故选：D ．根据矩形的性质可求出BD ，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S 阴影部分=S 以AB 为直径的圆+S 以AD 为直径的圆+S 矩形ABCD −S 以BD 为直径的圆进行计算即可．本题考查勾股定理，矩形的性质以及圆形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及圆形面积的计算方法是正确解答的前提．5.（2023·内蒙古）如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC.垂足分别为D ，E ，F ，连接DE ，EF ，FD.若DE +DF =6.5，△ABC 的周长为21，则EF 的长为( )A. 8B. 4C. 3.5D. 3【答案】B【解析】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，∴AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，∴DE ，DF ，EF 是△ABC 的中位线，∴DE =12AC,DF =12BC,EF =12AB ，∴DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，∵DE +DF =6.5，∴EF =10.5−6.5=4，故选：B ．根据垂径定理得到AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，根据三角形的中位线定理得到DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，于是得到结论．本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【考点3】垂径定理的应用【例1】（2023·湖北）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⏜)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC ⏜上一点，OB ⊥AC 于D.若AC =300√ 3m ，BD =150m ，则AC⏜的长为( )A. 300πmB. 200πmC. 150πmD. 100√ 3πm【答案】B【解析】解：如图所示：∵OB ⊥AC ，∴AD =12AC =150√ 3m ，∠AOC =2∠AOB ，在Rt △AOD 中，∵AD 2+OD 2=OA 2，OA =OB ，∴AD 2+(OA −BD)2=OA 2，∴(150√ 3)2+(OA −150)2=OA 2解得：OA =300m ，∴sin∠AOB =AD OA =√ 32， ∴∠AOB =60°，∴∠AOC =120°，∴AC ⏜的长=120×300π180=200πm ．故选：B ．先根据垂径定理求出AD 的长，由题意得OD =OA −BD ，在Rt △AOD 中利用勾股定理即可求出OA 的值，然后再利用三角函数计算出AC⏜所对的圆心角的度数，由弧长公式求出AC ⏜的长即可．本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出AD 的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．【例2】（2024·山东模拟）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB 长8m ，轮子的吃水深度CD 为2m ，则该桨轮船的轮子直径为( )A. 10mB. 8mC. 6mD. 5m【答案】A【解析】解：设半径为r m ，则OA =OC =r m ，∴OD =(r −2)m ，∵AB =8m ，∴AD =4m ，在Rt △ODA 中，有：OA 2=OD 2+AD 2，即：r 2=(r −2)2+42，解得r =5m ，则该桨轮船的轮子直径为10m ．故选：A ．设半径为r ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道OC 垂直平分AB 这个隐藏的条件．垂径定理及其推论方法技巧：1.圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB ⊥CD ；②AE=EB ；③AD 过圆心O ；④⋂⋂=BC AC ；⑤⋂⋂=BD AD ；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

2024中考数学专题过关检测专题23 圆的基本性质的核心知识点精讲(讲义)(原卷版)

专题23圆的基本性质的核心知识点精讲1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

_2021年九年级中考数学一轮突破基础过关第23讲圆的有关概念和性质

第23讲圆的有关概念和性质课标要求(1)理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系．(2)探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．(3)探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．(4)知道三角形的内心和外心．注：考试中，不要求用(2)(3)证明其他命题.考情分析该内容主要是以选择题、填空题、综合解答题的形式来考查，分值为3～14分．主要考点为垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等．预测2021年中考，以上考点依然会出现，建议加强理解定义，掌握性质与定理，灵活运用方法，并加以练习巩固.一、圆的有关概念1. 圆的定义：平面上到________的距离等于________的所有点组成的图形叫做圆，其中________称为圆心，________称为半径．以O为圆心的圆记作________，读作“圆O”．圆也可以看作平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆．简单说成到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．2. 与圆有关的概念(1)弧：圆上任意________的部分叫做圆弧，简称弧．大于半圆的弧称为________弧，小于半圆的弧称为________弧．(2)弦：连接圆上任意两点的________叫做弦．经过圆心的弦叫做________．(3)圆心角：顶点在________上的角叫做圆心角．(4)圆周角：顶点在________上，且它的两边分别与圆________的角叫做圆周角．二、圆的轴对称性1. 圆是________对称图形，过________的任一条直线或________所在的直线是它的对称轴．2. 垂径定理(1)垂径定理：垂直于________的直径平分这条弦，并且平分弦所对的________．(2)逆定理：平分________(不是直径)的直径________于弦，并且平分弦所对的________．三、圆的中心对称性——旋转不变性1. 圆是以________为对称中心的________对称图形．2. 圆心角、弧、弦关系定理在______________中，如果两个____________、两条________、两条________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别________．四、圆周角定理1. 定理：一条弧所对的________等于它所对的________的一半．2. 推论1：在__________中，同弧或等弧所对的________相等．3. 推论2：直径所对的圆周角是________，________的圆周角所对的弦是直径．五、三角形的外接圆1. 确定圆的条件：不在____________上的三个点确定一个圆．2. 经过三角形________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的________．外心是三角形三边________的交点，外心到三角形各顶点距离________；锐角三角形外心一定在三角形________，钝角三角形外心在三角形________，直角三角形外心在________中点．六、圆内接多边形1. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．2. 圆内接四边形的对角________，并且每一个外角都等于它的内对角.圆心角、弧、弦的关系)(2014·贵港，第9小题，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°【思路点拨】由BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，可求得∠BOC ＝∠EOD ＝∠COD ＝34°，继而可求得∠AOE 的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO 的度数．如图，∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠EOD ＝∠COD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°.又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠EAO ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.(2015·南宁，第11小题，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是MB ︵的中点，P 是直径AB 上的一动点，若MN ＝1，则△PMN 周长的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7,圆周角定理(2020·柳州，第6小题，3分)如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BOC＝70°，则∠A 的度数为( )A ．35°B ．40°C．55° D．70°【思路点拨】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.小结解圆周角和圆心角的计算和证明问题时，要准确找出同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理．有时也需要连接半径，利用同圆的半径相等构造等腰三角形；出现直径时，通过作辅助线构造直角三角形来进行证明和计算.(2020·河池，第17小题，3分)如图，AB是⊙O的直径，点C，D ，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝________° .,垂径定理、勾股定理、勾股定理的逆定理等的综合运用(2020·梧州，第8小题，3分)如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，连接CF，∠C＝30°，CF＝23，则OG的长是()A．1 B.3C ．2D. 23【思路点拨】如解图，连接OF.∵CD 为⊙O 的直径且过弦EF 的中点G ，∴CD 垂直平分EF.又∵∠C ＝30°，CF ＝23，∴GF ＝3，CG ＝3.设半径为r ，在Rt △OGF 中，()3－r 2＋()32＝r 2，解得r ＝2，∴OG ＝1 .小结解有关弦的问题，通常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA ＝30°，OC ＝3 3cm ，则弦AB 的长为( )A ．9 cmB ．3 3 cm C.92 cm D.332 cm1. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2. 如图，在以AB 为直径的半圆O 中，C 是它的中点，若AC ＝2，则△ABC 的面积是( )A ．1.5B ．2C ．3D ．43. (2020·泰安)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 是直径，AD ＝8，则AC 的长为( B )A ．4B ．4 3 C.833 D ．23 ,第3题图) ,第4题图)4. 如图，A ，B 是⊙O 上两点，若四边形ACBO 是菱形，⊙O 的半径为r ，则点A 与点B 之间的距离为( )A.2rB.3r C ．r D ．2r5. 如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．AE>BE B.AD ︵＝BC ︵C ．∠D ＝12∠AEC D ．△ADE ∽△CBE,第5题图) ,第6题图)6. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，若∠ADE ＝110°，则∠AOC 的度数是( C )A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°7. (2020·青岛)如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝AD ︵，AC 交BD 于点G.若∠COD ＝126°，则∠AGB 的度数为( B )A ．99°B ．108°C ．110°D ．117°,第7题图),第8题图)8. 如图，已知点E是⊙O上的点，B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC ＝46°，则∠AED的度数为________°.9. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝________°.,第9题图),第10题图)10. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB ＝________°.11. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________°.,第11题图),第12题图)12. 如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC ＝________°.13. 在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．14. 如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到边BC的距离OD.15. 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°.(1)求∠BOC的度数；(2)求证：四边形AOBC是菱形．第23讲圆的有关概念和性质【基础梳理】一、1.定点定长定点定长⊙O 2.(1)两点之间优劣(2)线段直径(3)圆心(4)圆相交二、1.轴圆心圆心2．(1)弦两条弧 (2)弦垂直两条弧三、1.圆心中心 2.同圆或等圆圆心角弧弦相等四、1.圆周角圆心角 2.同圆或等圆圆周角 3．直角 90°五、1.同一直线 2.三个顶点外心垂直平分线相等内部外部斜边六、互补【重点突破】[例1]A [变式1]B [提示]作点N 关于AB 的对称点N′，证△OMN′是等边三角形．[例2]A [变式2]35 [例3]A [变式3]A【达标检测】1．B 2.B 3.B 4.B 5.D 6.C 7. B 8. 69 9. 22 10. 120 11. 60 12. 2513．解：连接BD.∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AD ，又∵CF ⊥AD ，∴BD ∥CF ， ∴∠BDC ＝∠C ，又∵∠BDC ＝12∠BOC ，∴∠C ＝12∠BOC.∵AB ⊥CD ，∴∠C ＝30°，∴∠ADC ＝60°.14．解：(1)∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°，∴在△ABC中，∠BCA＝60°，∴△ABC是等边三角形．(2)连接OB，△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴O为△ABC的外心，∴OB是∠ABC角平分线．∴∠OBD＝30°.∴OD＝12OB＝4.15．(1)解：∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，又∵OC⊥AB，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝60°. (2)证明：∵＝，∴AC＝BC.∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO＝CO，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形AOBC是菱形．。

中考复习讲义圆的基本概念与性质(含参考答案)

圆的基本概念与性质内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1．圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2．弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作»AB ，读作弧AB ．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

一与圆有关概念【例1】判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径( )中考说明自检自查必考点中考必做题（3）半圆是弧( )（4）弧是半圆( )（5）长度相等的两条弧是等弧( )（6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( )（8）半径相等的两个圆是等圆( )（9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【例2】如图，点A D G M、、、在半圆O上，四边形ABOC DEOF HMNO、、均为矩形，设BC a=，EF b=，NH c=则下列格式中正确的是( )A．a b c>>B．a b c==C．c a b>>D．b c a>>ONMHGFEDCB A【答案】B【例3】如图，直线12l l∥，点A在直线1l上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l、于B、C两点，连接AC BC、．若54ABC∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】如图，ABC∆内接于Oe，84AB AC D==，，是AB边上一点，P是优弧¼BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，PAD∆是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD=时，PAD∆是以AD为底边的等腰三角形．证明：∵P是优弧¼ABC的中点∴»»PBPC = ∴PB PC =在PBD ∆与PCA ∆中， ∵4PB PC PBD PCB BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴PBD PCA SAS ∆∆≌（）．∴PD PA =，即4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．【例5】如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ⇒⇒⇒⇒滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ⇒⇒⇒⇒滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为_________【答案】4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．二垂径定理及其应用【例6】如图，AB 是O e 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若82BC ED ==，，求O e 的半径．【答案】（1）不同类型的正确结论有：22290•ABC BE CE BD DC BED BOD A AC OD AC BC OE BE OB S BC OE BOD BOE BAC ==∠=︒∠=∠⊥+==⋯V P V V V ①；②弧弧；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨是等腰三角形；⑩∽（2）∵OD BC ⊥，∴12BE CE ==4BC =设O e 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-，在Rt OEB V中，由勾股定理得： 22222224OE BE OB R R +=-+=，即（），解得：5R = ，∴O e 的半径为5．【例7】如图，在O e 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______BAO【答案】23【例8】如图，D 内接于O e ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O e 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤»¼12AB ACB =，正确结论的个数是( )DCBAA ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】A【例9】如图，AB 为O e 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（）ODCAA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【答案】B【例10】如图，AB 是O e 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O e 的直径为（）EO BDCAA ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A【例11】如图，O e 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O e 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（） A ．1 B 3 C ．2 D ．23OCBA【答案】D【例12】小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A ．2B 5C ．22D ．3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD ==，由勾股定理得半径2222125OA AD OD +=+ODCBA【例13】如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）．（2）OE 22OD ED -2213125-=． ∴将水排干需：50.510÷=小时．【例14】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）OEC DABCDA ．5米B ． 8米C ．7米D ．53米【答案】B【例15】如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8OC CD ==,则AE =_______BEO DCA【答案】2【例16】一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（）OCBAA ．16B ．10C ．8D ．6 【答案】A【例17】已知，如图，1O e 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O e 的半径。

人教版九年级下册数学中考综合复习：第23讲《圆的基本性质》

第23讲《圆的基本性质》要点梳理知识点1：主要概念1.圆:平面上到____的距离等于____的所有点组成的图形叫做圆.____叫做圆心,____叫做半径,以O为圆心的圆记作⊙O.2.弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做___,连接圆上任意两点的线段叫做___,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的___.3.圆心角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆心角.4.圆周角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆周角.5.等弧:在__________中，能够完全____的弧叫做等弧．知识点2：圆的有关性质1.圆的对称性：①圆是______图形，其对称轴是________________．②圆是________图形，对称中心是_____．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．知识点3：垂径定理及推论1.垂径定理：垂直于弦的直径_______，并且____________________．2.垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径_________，并且_____________________；②弦的垂直平分线_______，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．知识点4：弦、弧、圆心角的关系定理及推论①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦______．②推论：在同圆或等圆中，如果两个______、______、_______、__________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点5：圆周角定理及推论1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________．2.圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧______．②半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____．知识点6：点和圆的位置关系①点P在圆上⇔_______；②点P在圆内⇔______；③点P在圆外⇔_______．知识点7：过三点的圆①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边___________的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．知识点8：圆内接四边形圆内接四边形的对角________常见的辅助线(1)有关弦的问题，如图1，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；(2)有关直径的问题，如图2，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．(3)有等弧或证弧相等时，如图3，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心)角．图1 图2 图3命题点1：垂径定理1.(泸州)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E。

中考复习讲义圆的基本概念与性质(含答案)

O
A
B
【答案】 3
2
【例 8】如图， D 内接于 O ， D 为线段 AB 的中点，延长 OD 交
结论① AB DE ,② AE BE ,③ OD DE ,④ AEO
数是 (
)
O 于点 E , 连接 AE , BE 则下列五个 1
C ,⑤ AB ACB ，正确结论的个 2
C
D
A
B
E
A． 2 【答案】 A
较高要求
能运用圆的性质解决有关问题
自检自查必考点
1．圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点 O 叫做圆心， OA 叫做半径．
2．弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
2
∴ PBD≌ PC（A SAS）． ∴ PD PA ，即 BD 4 时， PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形．
【例 5】如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按 A B C D A 滑动到 A 止，同时点 R 从点 B 出发，沿图中所示方向按 B C D A B 滑动到 B 止，在这个过程中，线段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为 _________
（ 1）请写出五个不同类型的正确结论；
（ 2）若 BC 8 ，ED 2 ，求 O 的半径．
【答案】（ 1）不同类型的正确结论有： ① BE CE； ②弧 BD 弧 DC； ③ BED 90 ； ④ BOD A； ⑤ AC OD； ⑥ AC BC； ⑦ OE 2 BE 2 OB 2； ⑧ S ABC BC ?OE； ⑨ BOD是等腰三角形； ⑩ BOE∽ BAC （ 2）∵ OD BC ， ∴ BE CE 1 2 BC 4

2023年中考数学必刷真题考点专题23圆的有关性质(共38题)【解析版】

专题23圆的有关性质（共38题）一．选择题（共17小题）1．（2022•包头）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（）A．22°B．32°C．34°D．44°2．（2022•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm4．（2022•台湾）如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC 的长度为何？（）A．3B．4C．D．5．（2022•山西）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．（2022•广元）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．65°7．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．130°8．（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（）A．44°B．45°C．54°D．67°9．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）A．115°B．118°C．120°D．125°10．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．2B．3C．2D．11．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°12．（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（）A．32°B．42°C．52°D．62°13．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC ＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1B．C．2D．414．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若P A＝4，PB＝6，则OP＝（）A．B．4C．D．515．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．120°16．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD 为（）A．70°B．65°C．50°D．45°17．（2022•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（A．B．C．D．二．填空题（共14小题）18．（2022•内江）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于．19．（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．20．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．21．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为．22．（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．23．（2022•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数为．24．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D ＝°．25．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．26．（2022•武威）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．27．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O 于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是．28．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．29．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD 为2厘米，则镜面半径为厘米．30．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．31．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：π≈3，sin28°≈，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为千米．三．解答题（共7小题）32．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．33．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE 的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．34．（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．35．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．36．（2022•威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．37．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE 交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．38．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．。

中考数学专题复习圆

第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

中考数学专题23 圆(知识点串讲)(解析版)

专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

2020年中考数学第一轮复习专题第23课圆的证明(含答案)

..第 23 课圆的证明本节内容主要考查点与圆、直线与圆的位置关系，特别是切线的性质与判定，一直都是热点。

广东省近 5 年试题规律：极少考查点与圆的位置关系，切线的性质与判定是必考内容，年年考，并且经常渗透到圆的综合题中，近几年这类试题难度加大，题型也有所变化。

知识清单知识点一位置关系点与圆的位置关系点在圆内点在圆上点在圆外数量关系 d ＜r 知识点二直线与圆的位置关系d ＝rd ＞r位置关系公共点个数公共点的名称数量关系知识点三圆的切线相离无d ＞r相切1切点d ＝r 相交2交点d ＜r切线的判定切线的性质切线长切线长定理知识点四(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(定义法)； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线.切线垂直于经过切点的半径 .过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 三角形与圆确定圆的条件不在同一直线的三个点确定一个圆.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的三角形的外心外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心到三角形三个顶点的距离相等.三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形三边的距离相等课前小测1．（点与圆的位置关系）已知⊙O 的半径为 5，若 PO =4，则点 P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点 P 在⊙O 内B ．点 P 在⊙O 上C ．点 P 在⊙O 外D ．无法判断2．（直线与圆的位置关系）已知⊙O 的半径为 3，圆心 O 到直线 L 的距离为 2，（ ⊙ （则直线 L 与⊙O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定3．（切线的性质）如图，AB 是⊙O 的切线，点 B 为切点，若∠ A =30°，则∠ AOB =．4．（切线长的性质）如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，且∠ APB =40°，下列说法不正确的是（）A ．PA =PBB ．∠ APO =20°C ．∠ OBP =70°D ．∠ AOP =70°5．切线的性质）如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A ， O 的半径为 2，若∠ OBA =30°，则 AB 的长为（）A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2经典回顾考点一圆的位置关系【例 1】 2018•湘西州）已知⊙O 的半径为 5cm ，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm ，则直线 l 与⊙O 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【点拨】直线和圆的位置关系：若 d ＜r ，则直线与圆相交；若 d =r ，则直线于圆相切；若 d ＞r ，则直线与圆相离．（考点二切线的性质与判定【例2】2019•雅安）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC 交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA 的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．【点拔】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．对应训练1．（2019•广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条2．（2019•阜新）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．（2019•哈尔滨）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）（A．60°B．75°C．70°D．65°4．（2019•河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．5．（2019•盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）若⊙O的半径为5，AC＝6，求BN的长；2（2）求证：NE与⊙O相切．中考冲刺夯实基础1．2019•无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（）（A．20°B．25°C．40°D．50°2．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B 的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．2019•福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB ＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°4．（2019•包头）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC 与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为．5．（2019•济宁）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝的面积是．，AC＝3．则图中阴影部分6．（2019•陕西）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AB＝BE；（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．7．（2019•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C 作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．能力提升8．（2019•烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B 分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝则AC的长为（），CE＝3，3B．3C．2D．A．233π3π233π9．（2019•贺州）如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是（）A．23B．2C．33D．43 10．（2019•齐齐哈尔）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．11．（2019•黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O 上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝2，求弦AC的长．第23课圆的证明课前小测1．A．2．A．3．60°．4．C．5．C．经典回顾考点一圆的位置关系【例1】B．考点二切线的性质与判定【例2】（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，OC ，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝CF∴CF＝43．对应训练1．C．2．D．3．D．4．76．5．解：（1）连接DN，ON∵⊙O的半径为5，2∴CD＝5∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10，∴BC＝10262＝8∵CD为直径∴∠CND＝90°，且BD＝CD∴BN＝NC＝4（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB＝1AB，2∴∠BCD＝∠B，∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为⊙O的切线．中考冲刺夯实基础1．B．10＝8，2．B．3．B．4．26．5．6．6．（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°．又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝8，∵BE＝AB＝BM，∴EM＝12，由（1）知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM∴∠C＝∠AME，EM＝AM，AC BC即12AM11∴»AD=CD=BC，∴»AD=CD=BC，＝△SCOD，360＝3．∴AM＝485又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD∴AD＝AM＝48．57．（1）证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，»»∴∠BOC＝∠A，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为⊙O的切线；（2）解：连接OD，OC，»»∴∠COD＝1×180°＝60°，3∵CD∥AB，∴△S ACD∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝60π⨯222π能力提升8．D．9．A．10．（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，12＝OA•AD＝1∴2×2×23＝23，2360＝3π，3π．∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝23，1△S OAD∵∠COA＝60°，∴S扇形COA＝60π⨯222∴S阴影＝△SOAD﹣S扇形COA＝23﹣211．解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，131=2，3，∴∠CAD+∠ABC＝90°，∵CE＝CB，∴∠CAE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAE，∴∠CAB＝∠BCD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∴∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB＝CF，又∵CB＝CE，∴CE＝CF；（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，∴△CBD∽△DCA，∴CD=AD=AC，BD CD BC∴2AD∴DA＝2，∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，设BC＝a，AC＝2a，由勾股定理可得：a2+(2a)2=12，解得：a＝3∴AC=6．31415。

中考复习讲义圆的基本概念与性质(含答案)

圆的基本概念与性质1．圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2．弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

一与圆有关概念【例1】判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( )中考说明自检自查必考点中考必做题（7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【例2】如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHGFE DC B A【答案】B【例3】如图，直线12l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】如图，ABC ∆内接于O ，84AB AC D ==，，是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．证明：∵P 是优弧ABC 的中点 ∴PB PC = ∴PB PC =在PBD ∆与PCA ∆中， ∵4PB PCPBD PCB BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴PBD PCA SAS ∆∆≌（）．∴PD PA =，即4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．【例5】如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ⇒⇒⇒⇒滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ⇒⇒⇒⇒滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为_________【答案】4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．二垂径定理及其应用【例6】如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若82BC ED ==，，求O 的半径．22ABCAC OD BC BE OB SBOD BOE BAC ⊥+==⋯；；⑨是等腰三角形；⑩∽2）∵OD BC ⊥，1BE CE ==设O 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-，在Rt OEB 中，由勾股定理得：22222224OE BE OB RR +=-+=，即（），解得：5R = ，∴O 的半径为5．【例7】如图，在O 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______【答案】23【例8】如图，D 内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤12AB ACB =，正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】A【例9】如图，AB 为O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（）AA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【答案】B【例10】如图，AB 是O 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O 的直径为（）BAA ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A【例11】如图，O 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（）A ．1B C ．2D ．【答案】D【例12】小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A ．2BC ．D ．3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD==，由勾股定理得半径OA =ODCBA【例13】如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）．（2）OE5． ∴将水排干需：50.510÷=小时．【例14】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）ABCDA ．5米B ． 8米C ．7米 D．米【答案】B【例15】如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8O C C D ==,则AE =_______OBA【答案】2【例16】一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（）A ．16B ．10C ．8D ．6 【答案】A【例17】已知，如图，1O 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O 的半径。

中考数学专题复习第23章与圆有关的计算(含解析)

第二十三章与圆有关的计算18. （山东泰安，18，3分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若ABC ∠=120°，OC=3，则»BC的长为（）A.πB.2π D.3π D.5π【解析】连接OB ，因为AB 是⊙O 的切线，所以OB ⊥AB ，∠ABO=90°，因为ABC ∠=120°，所以OBC ∠=30°.因为OB=OC ，所以∠C=∠B=30°，∠BOC=120°，所以»BC的长l »BC=12032180ππ=.【答案】B.【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式180n r l π=的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。

14.（2011山东省聊城，14，3分）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm. (结果保留π)解析：根据弧长公式ππ2180660=⨯=l . 答案：π2点评：注意弧长公式与扇形公式区别联系.14．( 重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π）解析：根据扇形的面积公式即可求出。

答案：3π点评：注意单位要统一，如果题目中没单位，答案也不带单位。

12．( 山东德州中考,12,4,)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．12．【解析】每段弧的长为180n Rl π=＝1×26π=3π，故三段弧总长为π．【答案】π【点评】此题主要考查圆的弧长公式180n Rl π=．此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆．8．（四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3【解析】如下图所示，取AB 与CD 的交点为E ，由垂径定理知CE而∠COB ＝2∠CDB ＝60°，所以OC ＝sin 60CEo＝2，OE ＝12OC ＝1，接下来发现OE ＝BE ，可证△OCE ≌△BED ，所以S 阴影＝S 扇形COB ＝16π·22＝2π3．B图2【答案】D【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．23.（贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C=45°，则（1）BD 的长是；（5分）（2）求阴影部分的面积. （5分）解析：（1）由CA 切⊙O 于A ，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD ，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB ×cos45°=2×cos45°=2；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD 的面积.解：（1）填2；（2）由（1）得，AD=BD.∴弓形BD 的面积=弓形AD 的面积，故阴影部分的面积=△ACD 的面积. ∵CD=AD=BD=2，∴S △ACD =21CD ×AD=21×2×2=1，即阴影部分的面积是1.点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.B图2第23题图AC13. ( 山东省临沂市，13，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（） A.1 B.23C. 3D. 32【解析】由图得，四边形ABED 是圆内接四边形，∴∠B=∠D=∠DEC=600，∴弓形BE 的面积等于弓形DE 的面积，又∵AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，∴BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=S △CDE,又△CDE ∽△ABC ，∴S △ABC=34, S △CDE=41S △ABC=.3【答案】选C 。

专题32 圆的有关概念和性质【考点精讲】(含答案解析)

由勾股定理可得： OM 2 MH 2 OH 2 ，即：132 MH 2 122 ，解之得： MH 5 ， ∴ MN 2MH 2 5 10 故答案为：10. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能熟练构造出直角三角形是解题的关键.
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6．D 【分析】先证明 AB CD, 再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
∵AE＝6cm，EB＝2cm，
∴AB＝8cm，
∴OC＝OB＝4cm，
∴OE＝4﹣2＝2cm，
∵∠CEA＝∠BED＝30°，
∴OM＝
1 2
OE＝
1 2
×2＝1
cm，
∴CM＝ OC2 OM 2 ＝ 42 12 ＝ 15 （cm），
∴CD＝2 15 cm．
【点睛】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、30°角的直角三角形，
﹣（3+x）2，则 42﹣x2=62﹣（3+x）2，然后解方程求出 x 即可得到 CD 的长．
【详解】（1）作 CH⊥CD 于 H，如图，∵OH⊥CD，∴CH=DH，AH=BH，∴AH﹣CH=BH
﹣DH，∴AC=BD；
（2）连接 OC，如图，设 CH=x．在 Rt△OCH 中，OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2．在 Rt△OAH 中，
考点 2：弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理 1．弧、弦、圆心角的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等. 推论:在同圆或等圆中，两个、两条弧、两条中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等. 2．圆心角:顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角. 圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角. 3．圆周角定理定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的. 推论: ①同弧或等弧所对的相等. ②半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是圆的. ③圆内接四边形的对角.

中考数学总复习提优讲义 423圆的有关概念及性质(pdf) 新人教版教案

２㊀空间与图形㊀㊀㊀㊀㊀㊀第２３课时㊀圆的有关概念及性质㊀㊀１．能解释圆㊁弧㊁弦㊁圆心角㊁圆周角等概念,能识别等圆㊁等弧．２．能证明垂径定理及其推论㊁圆周角定理及其推论;掌握圆周角与圆心角及其所对弧的关系;会用它们解决圆中角㊁弦的有关计算和证明问题．３．能说出三角形的内心和外心．１．圆的有关概念和性质(１)圆的有关概念①圆:平面上到㊀㊀㊀㊀的距离等于㊀㊀㊀㊀的所有点组成的图形叫做圆,其中定点为㊀㊀㊀㊀,定长为㊀㊀㊀㊀．②弧:圆上任意㊀㊀㊀㊀的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为㊀㊀㊀㊀,小于半圆的弧称为㊀㊀㊀㊀．③弦:连接圆上任意两点的㊀㊀㊀㊀叫做弦,经过圆心的弦叫做㊀㊀㊀㊀．(２)圆的有关性质①圆是轴对称图形;其对称轴是㊀㊀㊀㊀㊀的直线;圆是中心对称图形,对称中心为㊀㊀㊀㊀．②垂径定理:垂直于弦的㊀㊀㊀㊀平分这条弦,并且平分弦所对的㊀㊀㊀㊀．推论:平分弦(不是㊀㊀㊀㊀)的直径㊀㊀㊀㊀于弦,并且平分弦所对的弧．③弧㊁弦㊁圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条㊀㊀㊀㊀,两条㊀㊀㊀㊀中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角㊀㊀㊀㊀;直径所对的圆周角是㊀㊀㊀㊀;㊀㊀㊀㊀的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心确定圆的条件:㊀㊀㊀㊀的三个点确定一个圆．三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边的㊀㊀㊀㊀,叫做三角形的外心．三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形㊀㊀㊀㊀的交点,叫做三角形的内心．２．与圆有关的角(１)圆心角:顶点在㊀㊀㊀㊀的角叫圆心角．圆心角的度数等于它所对的㊀㊀㊀㊀的度数．(２)圆周角:顶点在㊀㊀㊀㊀,两边分别和圆相交的角,叫圆周角．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的㊀㊀㊀㊀．(３)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的㊀㊀㊀㊀等于它所对的圆心角的一半．考点１㊀垂径定理及其推论㊀(１)(２０１２湖北黄冈)如图,A B 为☉O 的直径,弦C D ʅA B 于点E ,已知C D ＝１２,B E ＝２,则☉O 的直径为(㊀㊀)．A．８B ．１０C ．１６D．２０(２)(２０１２陕西)如图,在半径为５的☉O 中,A B ㊁C D 是互相垂直的两条弦,垂足为P ,且A B ＝C D ＝８,则O P 的长为(㊀㊀)．㊀㊀A．３B ．４C ．３２D．４２ʌ解析ɔ(１)连接O C ,根据题意,C E ＝１２C D ＝６,B E ＝２．在R t әO E C 中,设O C ＝x ,则O E ＝x －２,故(x －２)２＋６２＝x ２．解得x ＝１０．即直径A B ＝２０．(２)作O M ʅA B 于点M ,O N ʅC D 于点N ,连接O P ㊁O B ㊁O D ,由垂径定理㊁勾股定理,得O M ＝O N ＝５２－４２＝３,因为弦A B ㊁C D 互相垂直,所以øD P B ＝９０ʎ,因为O M ʅA B 于点M ,O N ʅC D 于点N ,所以øO MP ＝øO N P ＝９０ʎ．所以四边形M O N P 是正方形,所以O P＝３２．ʌ全解ɔ(１)D㊀(２)Cʌ提醒ɔ本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用,解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形．本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解题的关键是正确地作出辅助线．㊀(２０１２吉林长春)如图,在同一平面内,有一组平行线l １,l ２,l ３,相邻两条平行线之间的距离均为８,点O 在直线l １上,☉O 与直线l ３的交点为A ㊁B ,A B ＝１２,求☉O 的半径．ʌ解析ɔ过点O 作O D ʅA B ,由垂径定理可知A D ＝１２A B ,再根据相邻两条平行线之间的距离均为４可知O D ＝８,在R t әA O D 中利用勾股定理即可求出O A 的长．ʌ全解ɔ过点O 作O D ʅA B 交A B 于点D ,ȵ㊀A B ＝１２,ʑ㊀A D ＝１２A B ＝１２ˑ１２＝６．ȵ㊀相邻两条平行线之间的距离均为４,ʑ㊀O D ＝８．在R t әA O D 中,ȵ㊀A D ＝６,O D ＝８,ʑ㊀O A ＝A D ２＋O D ２＝６２＋８２＝１０．故☉O 的半径为:１０．ʌ小结ɔ利用垂径定理进行证明或计算,通常利用半径㊁弦心距和弦的一半组成的直角三角形进行求解．由于圆中一条弦对应两条弧以及圆内的两条平行弦与原心的位置关系有两种情况,所以在没有提供图形时,利用垂径定理进行计算时不要漏解．考点２㊀垂径定理的应用㊀(２０１２山东东营)某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图(１)),若不计木条的厚度,其俯视图如图(２)所示,已知A D 垂直平分B C ,AD＝B C ＝４８c m ,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是㊀㊀㊀㊀c m ．㊀(１)㊀(２)ʌ解析ɔ连接O B ,如图,当☉O 为әA B C 的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大．ȵ㊀A D 垂直平分B C ,A D ＝B C ＝４８c m ,ʑ㊀点O 在A D 上,B D ＝２４c m ．在R t әO B D 中,设半径为r ,则O B ＝r ,O D ＝４８－r ,ʑ㊀r ２＝(４８－r )２＋２４２,解得r ＝３０．即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为３０c m ．ʌ全解ɔ３０ʌ提醒ɔ此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及垂径定理和勾股定理．考点３㊀圆周角定理及其推论㊀(１)(２０１２江苏南通)如图(１),在☉O 中,øA O B＝４６ʎ,则øA C B ＝㊀㊀㊀㊀．(１)㊀(２)(２)(２０１２山东青岛)如图(２),点A ㊁B ㊁C 在☉O 上,øA O C ＝６０ʎ,则øA B C 的度数是㊀㊀㊀㊀．ʌ解析ɔ(１)在☉O 中,øA O B ＝４６ʎ,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得øA C B ＝１２øA O B ＝１２ˑ４６ʎ＝２３ʎ．(２)优弧A B C 所对的圆心角是３６０ʎ－６０ʎ＝３００ʎ,由圆周角定理,即可求得øA B C 等于１２优弧AB C 所对的圆心角的度数,即１２ˑ３００ʎ＝１５０ʎ．ʌ全解ɔ(１)２３ʎ㊀(２)１５０ʎʌ提醒ɔ本题的两小题考查了圆周角定理．注意当圆周角是钝角时,它所对的圆心角是一个超过１８０ʎ的角,这一点要注意．㊀(２０１２湖北咸宁)如图,量角器的直径与直角三角板A B C 的斜边A B 重合,其中量角器０刻度线的端点N 与点A 重合,射线C P 从C A 处出发沿顺时针方向以每秒２ʎ的速度旋转,C P 与量角器的半圆弧交于点E ,第３５秒时,点E 在量角器上对应的读数是㊀㊀㊀㊀．ʌ解析ɔ首先连接O E ,由øA C B ＝９０ʎ,可得点C 在以A B 为直径的☉O 上,即得øA O E ＝２øE C A ,而øE C A ＝２ˑ３５ʎ＝７０ʎ,所以øA O E ＝２øE C A ＝２ˑ７０ʎ＝１４０ʎ．ʌ全解ɔ１４０ʎʌ提醒ɔ本题解题的关键是证得点C 在☉O 上,注意辅助线的作法．考点４㊀圆周角定理㊁垂径定理的综合㊀(２０１２辽宁沈阳)如图,☉O 是әA B C 的外接圆,A B 是☉O 的直径,D 为☉O 上一点,O D ʅA C ,垂足为E ,连接B D ．(１)求证:B D 平分øA B C ;(２)当øO D B ＝３０ʎ时,求证:B C ＝O D ．２㊀空间与图形㊀㊀㊀㊀㊀㊀ʌ解析ɔ(１)由O D ʅA C ,O D 为半径,根据垂径定理,即可得C D︵＝A D ︵,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得B D 平分øA B C ;(２)首先由O B ＝O D ,易求得øA O D 的度数,又由O D ʅA C 于点E ,可求得øA 的度数,然后由A B 是☉O 的直径,根据圆周角定理,可得øA C B ＝９０ʎ,继而可证得B C ＝O D ．ʌ全解ɔ(１)ȵ㊀O D ʅA C ,O D 为半径,ʑ㊀C D ︵＝A D ︵．ʑ㊀øC B D ＝øA B D ．ʑ㊀B D 平分øA B C ．(２)ȵ㊀O B ＝O D ,ʑ㊀øO B D ＝øO D B ＝３０ʎ．ʑ㊀øA O D ＝øO B D ＋øO D B ＝３０ʎ＋３０ʎ＝６０ʎ．又㊀O D ʅA C 于点E ,ʑ㊀øO E A ＝９０ʎ．ʑ㊀øA ＝１８０ʎ－øO E A －øA O D ＝１８０ʎ－９０ʎ－６０ʎ＝３０ʎ．又㊀A B 为☉O 的直径,ʑ㊀øA C B ＝９０ʎ．在R t әA C B 中,B C ＝１２A B ,ȵ㊀O D ＝１２A B ,ʑ㊀B C ＝O D ．ʌ小结ɔ有关圆的题目,圆周角与它所对的弧常互相转化,利用垂径定理得到弧相等,进而转化为它们所对的圆周角相等,这是一条重要的解题思路．１．(２０１２山东泰安)如图,A B 是☉O 的直径,弦C D ʅA B ,垂足为M ,下列结论不成立的是(㊀㊀)．A．C M ＝DMB ．C B ︵＝D B ︵C ．øA CD ＝øA D C D．O M ＝MD(第１题)㊀㊀(第２题)２．(２０１２云南)如图,A B ㊁C D 是☉O 的两条弦,连接A D ㊁B C ．若øB A D ＝６０ʎ,则øB C D 的度数为(㊀㊀)．A．４０ʎ㊀㊀㊀B ．５０ʎ㊀㊀㊀㊀C ．６０ʎ㊀㊀㊀D．７０ʎ３．(２０１２江苏泰州)如图,әA B C 内接于☉O ,O D ʅB C 于点D ,øA ＝５０ʎ,则øO C D 的度数是(㊀㊀)．A．４０ʎB ．４５ʎC ．５０ʎD．６０ʎ(第３题)㊀㊀(第４题)４．(２０１２广东湛江)如图,在半径为１３的☉O 中,O C 垂直弦A B 于点D ,交☉O 于点C ,A B ＝２４,则C D 的长是㊀㊀㊀㊀．５．(２０１２浙江台州)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知E F ＝C D ＝１６厘米,则球的半径为㊀㊀㊀㊀厘米．(第５题)㊀㊀(第６题)６．(２０１２浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是１０m m ,测得钢珠顶端离零件表面的距离为８m m ,如图所示,则这个小圆孔的宽口A B 的长度为㊀㊀㊀㊀m m ．７．(２０１２宁夏)在☉O 中,直径A B ʅC D 于点E ,连接C O 并延长交A D 于点F ,且C F ʅA D．求øD 的度数．(第７题)８．(２０１２湖南长沙)如图,A ㊁P ㊁B ㊁C 是半径为８的☉O 上的四点,且满足øB A C ＝øA P C ＝６０ʎ．(１)求证:әA B C 是等边三角形;(２)求圆心O 到B C 的距离O D．(第８题)ʌ基础达标ɔ１．(２０１２重庆)如图,已知O A ㊁O B 是☉O 的两条半径,且O A ʅO B ,点C 在☉O 上,则øA C B 的度数为(㊀㊀)．A．４５ʎB ．３５ʎC ．２５ʎD．２０ʎ(第１题)㊀(第２题)２．(２０１２江苏苏州)如图,已知B D 是☉O 的直径,点A ㊁C 在☉O 上,A B ︵＝B C ︵,øA O B ＝６０ʎ,则øB D C 的度数是(㊀㊀)．A．２０ʎB ．２５ʎC ．３０ʎD．４０ʎ３．(２０１２黑龙江哈尔滨)如图,☉O 是әA B C 的外接圆,øB ＝６０ʎ,O P ʅA C 于点P ,O P ＝２３,则☉O 的半径为(㊀㊀)．A．４３B ．６３C ．８D．１２(第３题)㊀(第４题)４．(２０１２四川广元)如图,A ㊁B 是☉O 上两点,若四边形A C B O 是菱形,☉O 的半径为r ,则点A 与点B 之间的距离为(㊀㊀)．A．２rB ．３rC ．rD．２r ５．(２０１２浙江嘉兴)如图,在☉O 中,直径A B ʅ弦C D 于点M ,AM ＝１８,B M ＝８,则C D 的长为㊀㊀㊀㊀．(第５题)㊀(第６题)６．(２０１２贵州遵义)如图,A B 是☉O 的弦,A B 长为８,P 是☉O 上一个动点(不与A ㊁B 重合),过点O 作O C ʅA P 于点C ,O D ʅP B 于点D ,则C D 的长为㊀㊀㊀㊀．７．(２０１２贵州六盘水)当宽为３c m 的刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位:c m ),那么该圆的半径为㊀㊀㊀㊀c m ．(第７题)８．(２０１２江苏南通)如图,☉O 的半径为１７c m ,弦A B ʊC D ,A B ＝３０c m ,C D ＝１６c m ,圆心O 位于A B ㊁C D 的上方,求A B 和C D 的距离．(第８题)ʌ综合拓展ɔ９．(２０１２黑龙江大庆)如图所示,已知әA C D 和әA B E 都内接于同一个圆,则øA D C ＋øA E B＋øB A C 等于(㊀㊀)．A．９０ʎB ．１８０ʎC ．２７０ʎD．３６０ʎ(第９题)㊀(第１０题)１０．(２０１２海南)如图,点A ㊁B ㊁O 是正方形网格上的三个格点,☉O 的半径是O A ,点P 是优弧A m B ︵上的一点,则t a n øA P B 的值是(㊀㊀)．A．１B ．２２C ．３３D．３１１．(２０１２广西玉林)如图,矩形O A B C 内接于扇形M O N ,当C N ＝C O 时,øNM B 的度数是㊀㊀㊀㊀．(第１１题)第２３课时㊀圆的有关概念及性质ʌ自主梳理ɔ１．(１)①定点㊀定长㊀圆心㊀半径㊀②两点间㊀优弧㊀劣弧㊀③线段㊀直径(２)①任意一条过圆心㊀圆心②直径㊀两条弧㊀直径㊀垂直③弧㊀弦㊀相等㊀直角㊀９０ʎ④不在同一直线上㊀垂直平分线的交点㊀三条角平分线２．(１)圆心㊀弧㊀(２)圆上㊀一半㊀(３)圆周角ʌ当堂过关ɔ１．D㊀２．C㊀３．A㊀４．８㊀５．１０㊀６．８７．连接B D ．(第７题)ȵ㊀A B是☉O的直径,ʑ㊀B DʅA D．又㊀C FʅA D,ʑ㊀B DʊC F．ʑ㊀øB D C＝øC．又㊀øB D C＝１２øB O C,ʑ㊀øC＝１２øB O C．ȵ㊀A BʅC D,ʑ㊀øC＝３０ʎ．ʑ㊀øA D C＝６０ʎ．８．(１)在әA B C中,ȵ㊀øB A C＝øA P C＝６０ʎ,又㊀øA P C＝øA B C,ʑ㊀øA B C＝６０ʎ．ʑ㊀øA C B＝１８０ʎ－øB A C－øA B C＝１８０ʎ－６０ʎ－６０ʎ＝６０ʎ．ʑ㊀әA B C是等边三角形．(第８题)(２)ȵ㊀әA B C为等边三角形,☉O为其外接圆,ʑ㊀O为әA B C的外心．ʑ㊀B O平分øA B C．ʑ㊀øO B D＝３０ʎ．ʑ㊀O D＝８ˑ１２＝４．ʌ课后精练ɔ１．A㊀２．C㊀３．A㊀４．B㊀５．２４㊀６．４㊀７．２５６８．过点O作弦A B的垂线,垂足为E,延长A E交C D 于点F,连接O A㊁O C,ȵ㊀A BʊC D,ʑ㊀O FʅC D．ȵ㊀A B＝３０c m,C D＝１６c m,ʑ㊀A E＝１２A B＝１２ˑ３０＝１５c m,C F＝１２C D＝１２ˑ１６＝８c m,在R tәA O E中,O E＝O A２－A E２＝１７２－１５２＝８c m,在R tәO C F中,O F＝O C２－C F２＝１７２－８２＝１５c m,ʑ㊀E F＝O F－O E＝１５－８＝７c m．故A B和C D的距离为７c m．９．B㊀１０．A㊀１１．３０ʎ。

2022-2023 数学浙教版新中考考点23圆的有关性质(解析版)

考点23圆的有关性质考点总结1.圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．以点O为圆心的圆，记做⊙O．(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦．(3)与圆有关的角：①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数．②圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．(4)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．外心也是三角形三边中垂线的交点．(5)圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．2．圆的有关性质：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．圆是中心对称图形，对称中心为圆心，圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合．(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．(4)圆心角与圆周角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．(5)确定圆的条件：①已知圆心、半径；②已知直径；③不在同一条直线上的三点．真题演练一、单选题1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（）A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π【答案】D【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可．【详解】解：2150615360S ππ⨯==．故选：D2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（）A B C D ．4【答案】A【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊥AC ，FM ⊥AB ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A ，D ，F ，E 四点共圆，⊥DFE =90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊥AC ，FM ⊥AB⊥在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，⊥AG =DG =EG又⊥AG =FG⊥点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径⊥⊥DFE =90°⊥在Rt ⊥ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，⊥CF =BF =122BC =，FN =FM =52 又⊥FN ⊥AC ，FM ⊥AB ，90BAC ∠=︒⊥四边形NAMF 是正方形⊥AN =AM =FN =52又⊥90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒⊥NFD MFE ∠=∠⊥⊥NFD ⊥⊥MFE⊥ME =DN =AN -AD =12⊥AE =AM +ME =3⊥在Rt ⊥DAE 中，DE故选：A ．3．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】 ABC 的外接圆如下图⊥⊥40A =︒⊥280BOC A ∠=∠=︒故选：C ．4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（）A ．πB ．π+CD ．2π【答案】B【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则⊥BQC =90°，⊥当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ，⊥C 、C 1关于PB 对称，⊥⊥EC 1C =⊥BQC =90°，⊥点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合，当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ⊥⊥PBC =30°，⊥⊥FBP =⊥PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，⊥⊥FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCF S CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCF S ππ⨯+= 故选：B ． 5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：⊥AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ⊥12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ⊥tan =DE OE α ⊥=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意；又sin DE OD α=⊥sin DE OD α=⊥22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意；又cos OE ODα= ⊥cos cos OE OD m αα==⊥AO DO m ==⊥cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；⊥2sin CD m α=，cos OE m α=⊥2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意；故选B ．6．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定⊥ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可．【详解】解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上，∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ，⊥AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，⊥AG =BM ，又⊥OG =OM ，OA =OB ，⊥⊥AOG ⊥⊥BOM ，⊥⊥CAB =⊥CBA ，⊥⊥ACB =90°，⊥⊥CAB =⊥CBA =45°，12OC AB ∴=， 2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+= 22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．7．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则P ∠的度数为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，⊥正方形ABCD 内接于O ，⊥90BOC ∠=° ⊥11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ．8．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：⊥⊥O 的半径为2cm ，线段OA =3cm ，线段OB =2cm ，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径， ⊥点A 在⊥O 外．点B 在⊥O 上，⊥直线AB 与⊥O 的位置关系为相交或相切，故选：D ．9．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为A （4，0），B （﹣6，0）．点C 是y 轴正半轴上的一点，且满足∠ACB ＝45°，圆圆得到了以下4个结论：∠∠ABC 的外接圆的圆心在OC 上；∠∠ABC ＝60°；∠∠ABC的外接圆的半径等于∠OC ＝12．其中正确的是（）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠【答案】C【分析】如图，作出ABC 的外接圆，以AB 为斜边在x 轴上方作等腰Rt ABE △，过点E 作ED x ⊥轴于D ，连接EC ，过点E 作EF y ⊥轴于F ，由圆心必然在弦的垂直平分线上可判断⊥；再证明E 为ABC 外接圆圆心，求出半径，可判断⊥；再在ECF △中由勾股定理求出CF ，可求得OC 和1tan 2OC ABC OB ∠==，即可判断⊥⊥．【详解】解：如图，作出ABC 的外接圆，以AB 为斜边在x 轴上方作等腰Rt ABE △，过点E 作ED x ⊥轴于D ，连接EC ，过点E 作EF y ⊥轴于F ，⊥ABC 的外接圆的圆心必在弦AB 的垂直平分线上，⊥圆心肯定不在OC 上，故⊥错误；⊥⊥ACB ＝45°，⊥由圆周角定理得：AB 所对的圆心角必为90°，⊥EB ＝EA ，⊥在弦AB 的垂直平分线上，⊥⊥AEB ＝90°，⊥E 必为圆心，即AE 、BE 为半径， ⊥AE =⊥正确；⊥BD ＝5，OB ＝6，⊥OD ＝1，⊥⊥EDO ＝⊥DOF ＝⊥OFE ＝90°，⊥OD ＝EF ＝1，ED ＝FO ＝5，⊥7CF ==，⊥OC ＝OF +FC ＝12，故⊥正确；⊥1 tan2OCABCOB∠==，⊥⊥ABC≠60°，故⊥错误；故选：C．10．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A的坐标为（﹣3，2），∠A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切∠A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P 的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0）【答案】D【分析】连接AQ、P A，如图，利用切线的性质得到⊥AQP=90°，再根据勾股定理得到PQ=AP⊥x轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标．【详解】解：连接AQ、P A，如图，⊥PQ切⊥A于点Q，⊥AQ⊥PQ，⊥⊥AQP＝90°，⊥PQ当AP的长度最小时，PQ的长度最小，⊥AP⊥x轴时，AP的长度最小，⊥AP⊥x轴时，PQ的长度最小，二、填空题11．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，已知O 的半径为1，点P 是O 外一点，且2OP =．若PT 是O 的切线，T 为切点，连接OT ，则PT =_____．【分析】根据圆的切线的性质，得90OTP ∠=︒，根据圆的性质，得1OT =，再通过勾股定理计算，即可得到答案．【详解】⊥PT 是O 的切线，T 为切点⊥90OTP ∠=︒⊥PT⊥O 的半径为1⊥1OT =⊥PT12．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB ＝12，则点B 经过的路径BC 长度为_____．（结果保留π）直接利用弧长公式即可求解．【详解】解：30122180BC l ππ⋅==，故答案为：2π．13．（2021·浙江温州·中考真题）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为______；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A '，B '，C '．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A '，B '，C '在圆内或圆上时，圆的最小面积为______．【答案】6- (16π-【分析】（1）先求出剪拼后大正方形的面积，得到其边长，再结合图2，求出图1中长方形的长边除去长为d 部分的线段后，剩下的线段长刚好为大正方形的边长，最后用图1中的长方形的长减去图2中大正方形的边长即可完成求解；（2）结合两图分别求出对应线段的长，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出O 点到'B 、'A 、'C 之间的距离即可确定最小圆的半径，即可完成求解．【详解】解：⊥图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，⊥每个小正方形边长为2，图1和图2中整个图形的面积为2612=⨯，所以图2中正方形的边长''M N =如下图3所示；分别连接'OB 、'OA 、'OC ，并分别过点'B 、'A 、'C 向大正方形的对边作垂线，得到如图所示辅助线，综合两图可知，'1LA =,LJ ='1MA =,O⊥'1JA =，1OJ =,⊥)'1OA ===综合两图可知：'1B E =,6'32B D d =-=,DF =⊥()''33B F DF B D =-==1OF =,⊥'OB =；继续综合两图可知：''1C H C G ==,⊥'1C I OI =,⊥'OC =⊥2816=-<-⊥'B 距离O 点最远，⊥⊥圆的面积为(16π-；故答案为：6-(16π-．14．（2021·浙江宁波·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，⊥,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，⊥90OCP ODP ∠=∠=︒，⊥120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，⊥60COD ∠=︒，⊥CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．15．（2021·浙江温州·中考真题）如图，O 与OAB 的边AB 相切，切点为B ．将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，使点O '落在O 上，边A B '交线段AO 于点C ．若25A '∠=︒，则OCB ∠=______度．【答案】85AB 相切，可求⊥CBO ==30°，利用三角形内角和公式即可求解．【详解】解：连结OO′，⊥将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，⊥BO′=BO =OO′，⊥⊥BOO′为等边三角形，⊥⊥OBO′=60°，⊥O 与OAB 的边AB 相切，⊥⊥OBA =⊥O′BA′=90°，⊥⊥CBO =90°-⊥OBO′=90°-60°=30°，⊥⊥A′=25°⊥⊥A′O′B =90°-⊥A′=90°-25°=65°⊥⊥AOB =⊥A′O′B =65°，⊥⊥OCB =180°-⊥COB -⊥OBC =180°-65°-30°=85°．故答案为85．三、解答题16．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在ABC 中，CA CB =，BC 与A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交A 于点F ，连结BF ．（1）求证：BF 是A 的切线．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接AD ，根据题意证明ABF ABD △△≌，即可证明BF 是A 的切线；（2）根据题意即（1）的结论可得BEF CEA △∽△，列比例求出FB 的长，根据勾股定理求EF 即可．【详解】（1）证明如图，连接AD ，CA CB =，CAB ABC ∴∠=∠，AE AC ⊥，90CAB EAB ∴∠+∠=︒又A 切BC 于点D ，=90ADB ∴∠︒，90ABD BAD ∴∠+∠=︒，BAE BAD ∴∠=∠．又AB AB ，AF AD =，()ABF ABD SAS ∴△△≌，90AFB ADB ∴∠=∠=︒，BF ∴是A 的切线．（2）由（1）得：90AFB FAC ∠=∠=︒，//BF AC ∴，BEF CEA ∴△∽△，BE BF CE CA∴=， 20CB CA ==，5BE =，∴=．EF317．（2021·浙江台州·中考真题）如图，BD是半径为3的∠O的一条弦，BD＝点A是∠O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．∠求证：平行四边形ABCD是菱形；∠求平行四边形ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且平行四边形ABCD有一边与∠O相切．∠求AB的长；∠直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．【答案】⊥证明见解析；⊥（2）⊥AB【分析】（1）⊥利用等弧所对的弦相等可得AD AB=，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；⊥连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得DE BE==用勾股定理求出OE的长，即可求解；（2）⊥分情况讨论当CD与O相切时、当BC与O相切时，利用垂径定理即可求解；⊥根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．【详解】解：（1）⊥⊥点A是劣弧BD的中点，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥平行四边形ABCD 是菱形；⊥连接AO ，交BD 于点E ，连接OD ，，⊥点A 是劣弧BD 的中点，OA 为半径，⊥OA BD ⊥，OA 平分BD ， ⊥DE BE ==⊥平行四边形ABCD 是菱形，⊥E 为两对角线的交点，在Rt ODE △中，1OE ,⊥2AE =，⊥122ABCD S BD AE =⋅⨯= （2）⊥如图，当CD 与O 相切时，连接DO 并延长，交AB 于点F ，⊥CD 与O 相切，⊥DF CD ⊥，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥//AB CD ，⊥DF AB ⊥，在Rt BDF △中，()2222323BF BD DF OF =-=-+，在Rt BOF △中，22229BF BO OF OF =-=-，⊥()223239OF OF -+=-，解得73OF =，⊥BF =⊥2AB BF = 如图，当BC 与O 相切时，连接BO 并延长，交AD 于点G ，同理可得AG DG =73OG =，所以AB综上所述，AB ⊥过点A 作AH BD ⊥，，由（2）得：7163,33BD AD BG ==+= 根据等面积法可得1122BD AH AD BG ⋅=⋅，解得329AH =，在在Rt ADH 中，DH ==⊥HI =⊥tan AH AIH HI ∠== 18．（2021·浙江金华·中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．∠求APO ∠'的度数．∠求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．【答案】（1）⊥60°；⊥6-（2）125π 【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求AP 的长，先连接'OO ，先在Rt OBQ △中，求出OQ ；再在Rt OPQ 中，求出OP 即可得到答案；（2）要求AB 的长，扇形的半径已知，就转化成求AOB ∠的度数，连接'OO ，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为180︒，建立等式求出AOB ∠，最后利用弧长的计算公式进行计算．【详解】解：（1）⊥如图1，'BO 为圆的切线'90OBO ∴∠=︒．由题意可得，'45O BP OBP ∠=∠=︒，'O PB OPB ∠=∠．180180754560OPB BOP OBP ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ '60O PB OPB ∴∠=∠=︒'60APO ∴∠=︒，⊥如图1，连结'OO ，交BP 于点Q ．则有'BP OO ⊥．在Rt OBQ △中，sin 45OQ OB =⨯︒=在Rt OPQ △中，sin 60OQ OP ==︒6AP OA OP ∴=-=-（2）如图2．连结OD ．设1a ∠=．⊥点D 为AB 的中点．BD AD ∴=21a ∴∠=∠=//PD OB321a ∴∠=∠=∠=．PD PO ∴=由题意可得，','PO PO O BOP =∠=∠．'PD PO ∴=''2PDO O BOP a ∴∠=∠=∠=又//,''2PD OB OBO PDO a ∴∠=∠=,4'2OB OD OBO a =∴∠=∠=43'180PDO ∠+∠+∠=︒，22180a a a ∴++=︒，解得36a =︒． 72AOB ∴∠=︒726121801805n R AB πππ⨯∴===．。

中考数学复习课件第23课圆的有关概念与性质

若 AB＝8，CD＝2，则 EC 的长为
()
A．2 15
B．8
C．2 10
D．2 13
【解析】连结 BE ，如解图 1. ∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8，
∴A C ＝12A B ＝4. 设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r－2.在 Rt△AOC 中， ∵A C ＝4，OC＝r－2，OA 2＝A C2＋OC2， ∴r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5，∴AE＝2r＝10. ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 中，∵AE＝10，AB＝8， ∴BE ＝ AE2－AB2＝6. 在 Rt△BCE 中，∵BE＝6，BC＝4， ∴CE ＝ BE2＋BC2＝ 62＋42＝2 13. 【答案】 D
点评：(1)本题主要考查圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，难度中等． (2)要注意题目中的隐含条件(半径相等)及分类讨论思想的应用．解析：(1)连结 OB，OF，如解图 2. ∵A，B，C，D，E，F 是⊙O 的六等分点， ∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°， ∴△AOB，△AOF 均是等边三角形． ∴AB ＝AF＝AO＝OD，∴AB＋AF＝AD. (2)当点 P 在B︵F上时，PB＋PF＝PD；
当点 P 在B︵D上时，PB＋PD＝PF；
当点 P 在D︵F上时，PD＋PF＝PB.
【预测演练 1－1】下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③一个圆中最长的弦是直径；
④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的命题有
A．4 个 C．2 个
B．3 个 D．1 个
()
解析：其中②应该是经过不在同一直线上的三个点才可以
2．用垂径定理进行计算或证明时，常需连结半径或作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用圆的半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来求解．

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