【配套K12】2017届高三数学二轮复习1.5.2点直线平面之间的位置关系课时巩固过关练理新人教版

课时巩固过关练十三点、直线、平面之间的位置关系(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共15分)1.(2016·资阳三模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是( )A.若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nB.若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC.若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥βD.若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β【解析】选C.在长方体ABCD-A′B′C′D′中，(1)令平面ABCD为平面α，平面A′B′C′D′为平面β，A′B′为直线m，BC为直线n，显然α∥β，m∥α，n∥β，但m与n不平行.故A错误.(2)令平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，直线BB′为直线m，直线CC′为直线n，显然α⊥β，m⊥α，n∥β，m∥n.故B错误.(3)令平面ABCD为平面α，平面A′B′C′D′为平面β，直线BB′为直线m，直线B′C′为直线n，显然m⊥α，n⊂β，m⊥n，但α∥β.故D错误.2.(2016·石家庄二模)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①若n∥α，则α内的直线m可能与n平行，也可能与n异面，故①错误；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，若m⊥α，则m⊥γ，故②正确；③若m⊂α，显然结论错误；④以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故④错误.3.(2016·南昌二模)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2)，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直【解题导引】对于原图：由于AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，可得AD⊥BC.在四面体ABCD中，由于AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=D，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCD，进而得到AD⊥BC.利用异面直线的定义即可判断：AD与BC是异面直线.【解析】选C.在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面且垂直.对于原图：因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，所以AD⊥BC.在四面体ABCD中，因为AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=D，所以AD⊥平面BCD.所以AD⊥BC.又AD与BC是异面直线，综上可知，在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面且垂直.二、填空题(每小题5分，共10分)4.空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行于四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是__________.【解析】如图，由题意知，EFGH为平行四边形，设EH=x(0<x≤2)，EF=y(0<y≤8)，xy=S(S为所求面积)，由EH∥BD，可得==，==，两式相加，得：=1=+，化简，得8=4x+y，可得：8=4x+y≥2，(当且仅当2x=y时等号成立)，解得：xy≤4，解得：S=xy≤4.答案：45.(2016·湛江二模)设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号是________.①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线；⑤x，y为平面，z为直线.【解析】①x⊥平面z，平面y⊥平面z，所以x∥平面y或x⊂平面y.又因为x⊄平面y，故x∥平面y，①成立；②x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立；③x⊥平面z，y⊥平面z，x，y为不同直线，故x∥y，③成立；④x，y，z均为直线，则x与y可平行，可异面，也可相交，故④不成立；⑤z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面，所以x∥y，⑤成立.答案：①③⑤【加固训练】(2016·兰州二模)α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.【解析】①因为AC⊥β，且EF⊂β，所以AC⊥EF.又AB⊥α且EF⊂α，所以EF⊥AB.因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD.因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF.所以①可以成为增加的条件.②AC与α，β所成的角相等，AC与EF位置关系不确定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不一定垂直，所以就推不出EF与BD垂直.所以②不可以成为增加的条件.③AC与CD在β内的射影在同一条直线上，因为CD⊥α且EF⊂α，所以EF⊥CD.所以EF与CD在β内的射影垂直，若AC与CD在β内的射影在同一条直线上.所以EF⊥AC，因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF.所以③可以成为增加的条件.④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF，所以④不可以成为增加的条件. 答案：①③三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)6.(2016·安庆二模)如图，在圆柱O-O1中，AB为下底面圆O的直径，CD为上底面圆O1的直径，AB∥CD，点E，F在圆O上，且AB∥EF，且AB=2，AD=1.(1)求证：平面ADF⊥平面CBF.(2)若DF与底面所成角为，求几何体EF-ABCD的体积.【解析】(1)由已知，AF⊥BF，AD⊥BF，且AF∩AD=A，故BF⊥平面ADF，又因为BF⊂平面CBF，所以平面ADF⊥平面CBF.(2)因为AD垂直于底面，若DF与底面所成角为，则∠AFD=，故AF=1，则四棱锥F-ABCD的高为，又S四边形ABCD=2，V F-ABCD=××2=，三棱锥C-BEF的高为1，而△BEF中，BE=BF=1，∠BEF=120°，所以S△BEF=，则V C-BEF=×1×=，所以几何体EF-ABCD的体积为V F-ABCD+V C-BEF=+=.7.(2016·吉林二模)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F 为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2).(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由.【解析】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC，又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩CD=D.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，DP，QE，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.ABCD -A1B1C1D1是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”.质点的运动规则如下：运动第i段与第i+2段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).问质点从A点出发又回到起点A走完的段数是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.不妨设质点运动路线为AB1→B1C→CD1→D1A，即走过4段后又回到起点A.可以看作以4为周期，所以段数是4.【加固训练】下列关于空间的直线和平面的叙述，正确的是( )A.平行于同一平面的两直线平行B.垂直于同一平面的两平面平行C.如果两条互相垂直的直线都分别平行于两个不同的平面，那么这两个平面平行D.如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直【解析】选C.对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故A 错误.对于B，垂直于同一个平面的两个平面可能相交，如直三棱柱的两个侧面都与底面垂直，故B错误.对于C，设a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，a⊥b，过空间一点P分别作a，b的平行线m，n，则m∩n=P.设m，n所确定的平面为γ，过P作平面γ的垂线l，则l⊥m，l⊥n.因为a∥α，b∥α，所以存在直线a′⊂α，b′⊂α，使得a∥a′，b∥b′，且a′与b′为相交直线.所以l⊥a′，l⊥b′，所以l⊥α，同理l⊥β，所以α∥β.故C正确.对于D，在长方体ABCD-EFGH中，AB⊂平面ABCD，FG⊂平面EFGH，AB⊥FG，显然平面ABCD ∥平面EFGH，故D错误.2.已知α，β为两个平面，l为直线，若α⊥β，α∩β=l，则( )A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直【解析】选 D.由α⊥β，α∩β=l，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面与l的关系有l在平面内或l与平面平行或相交，故C不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确. 【加固训练】已知异面直线a与b所成角为锐角，下列结论不正确的是( )A.不存在一个平面α使得a⊂α，b⊂αB.存在一个平面α使得a∥α，b∥αC.不存在一个平面α使得a⊥α，b⊥αD.存在一个平面α使得a∥α，b⊥α【解析】选D.在A中，因为异面直线a与b，所以不存在一个平面α使得a⊂α，b⊂α，故A正确；在B中，在空间中找一点A，A∉a且A∉b，过点A分别作直线a与b的平行线a′，b′，则a′，b′确定一个平面α使得a∥α，b∥α，故B正确；在C中，若存在一个平面α使得a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a∥b，这与已知异面直线a与b相矛盾，故不存在一个平面α使得a⊥α，b⊥α，故C正确；在D中，若存在一个平面α使得a∥α，b⊥α，则a⊥b，这与已知异面直线a与b所成角为锐角矛盾，故D错误.3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β.正确的命题有( )A.②④B.①②④C.①④D.①③【解析】选C.由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：①若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；③若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥α，n∥β，故④正确.4.如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，则下列命题正确的是( )A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°B.四边形AECF是正方形C.点A到平面BCE的距离为1D.以上都不对【解析】选B.因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，所以在四棱锥E-ABCD 中，相邻两条侧棱所成的角为60°，而AE与CE所成的角为90°，故A错；因为AE=CE=1，AC=，满足勾股定理的逆定理，所以AE⊥CE，同理AF⊥CF，AE⊥AF，所以四边形AECF是正方形，故B正确；设点A到平面BCE的距离为h，由V E-ABCD=2V A-BCE，所以×1×1×=2××h，解得h=，所以点A到平面BCE的距离为，故C错误.二、填空题(每小题5分，共10分)5.在三棱锥C-ABD中(如图)，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=.其中真命题是________(填序号).【解析】对于①，因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以CO⊥BD，AO⊥BD，AO∩OC=O，所以BD⊥平面AOC，所以AC⊥BD，因此①正确；对于②，假设CO⊥AD，又CO⊥BD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，这与已知二面角A-BD-C为60°矛盾，因此不正确；对于③，由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以OC=OA，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°，所以△AOC为正三角形，因此③正确；对于④，AB=4，由①可得：AC=OA=2，AD=CD=4，所以cos∠ADC==≠，因此不正确；综上可得：只有①③正确.答案：①③6.如图已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.给出下列结论：①CD∥平面PAF；②DF⊥平面PAF；③CF∥平面PAB：④DF∥平面PAB.其中正确结论的个数为________.【解析】因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形.所以AF∥CD，由线面平行的判定定理，得CD∥平面PAF，故①正确；由正六边形的特点易知DF⊥AF，因为PA⊥平面ABCD，所以DF ⊥PA，由线面垂直的判定定理，得DF⊥平面PAF，故②正确；CF∥AB，由线面平行的判定定理，得CF∥平面PAB，故③正确；连接AC，由正六边形的特点易知DF∥AC，又AC∩平面PAB=A，故DF与平面PAB相交，故④不正确，故正确结论的个数是3.答案：3【加固训练】下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).【解析】对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB 平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP 相交.综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.答案：①③三、解答题(7题12分，8题13分，共25分)7.如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.(1)求证：DM∥平面APC.(2)求证：平面ABC⊥平面APC.(3)若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积.【解析】(1)由已知得，MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP，因为MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，所以MD∥平面APC.(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB，所以AP⊥PB.又因为AP⊥PC，PB∩PC=P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又因为BC⊥AC，AC∩AP=A，所以BC⊥平面APC，因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意可知，三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB 为正三角形.MD⊥平面PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5，PB=10，PC==2.MD是三棱锥D-BCM的高，S△BCD=×4×2×=2.所以V D-BCM=V M -DBC=S△BCD·MD=×2×5=10.8.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB.(1)求直线EC与平面ABE所成角的余弦值.(2)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出，并加以证明；若不存在，请说明理由.【解题导引】(1)由已知可得BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=a，可求CE=a，直角三角形CBE中，即可求得sin∠CEB=的值，进而可求直线EC与平面ABE所成角的余弦值.(2)连接AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连接MF，BF，DF，证明FM∥EC，即可证明EC∥平面FBD，从而可得点F满足=时，有EC∥平面FBD.【解析】(1)因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE.则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角.设BC=a，则AB=2a，BE=a，所以CE=a，在直角三角形CBE中，sin∠CEB==.可得：cos∠CEB==.即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为.(2)存在点F，且=时，有EC∥平面FBD.证明如下：连接AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连接MF，BF，DF，因为AB∥CD，AB=2CD，所以==，所以=，因为=，所以FM∥EC，EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD.即点F满足=时，有EC∥平面FBD.【加固训练】如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD=.(1)求三棱锥A-PCD的体积.(2)问：棱PB上是否存在点E，使得PD∥平面ACE？若存在，求出的值，并加以证明；若不存在，请说明理由.【解析】(1)取CD的中点G，连接AG，因为CD=2AB，AB∥CD，所以AB∥GC，AB=GC，所以四边形AGCB为平行四边形，所以∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，在Rt△AGD中，因为AG=BC=1，DG=CD=1，所以AD==，所以PD2=3=PA2+AD2，所以∠PAD=90°，即PA⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PA⊥平面ABCD，因为S△ACD=CD·AG=1，所以V A-PCD=V P-ACD=S△ACD·PA=×1×1=.(2)棱PB上存在点E，当=时，PD∥平面ACE.证明如下：连接BD交AC于点O，连接OE.因为AB∥CD，CD=2AB，所以==，所以=，又=，所以=，所以OE∥DP，又OE⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，所以PD∥平面ACE.。