《线代》期末练习卷(新)
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分,共 25 分)1 3 1 1.若0 5 x 0,则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。
x1x2x303.已知矩阵A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4.已知矩阵A为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。
5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。
二、选择题(每小题 5 分,共 25 分)6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?()A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值()0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是()A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为()1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 .已知矩阵 A, 其特征值为()51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题(每小题 10 分,共 50 分)1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E,求。
a1 12212. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关?111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时,线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解,无解和有无穷多解?当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线代期末试题及答案解析
线代期末试题及答案解析一、选择题1. 下列哪个矩阵是零阵?A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}2 & -2 \\ -3 & 3\end{bmatrix}$答案:B解析:零阵是所有元素都为0的方阵,选项B满足此条件。
2. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=I$,其中$I$为单位矩阵,则矩阵$B$是矩阵$A$的:A. 逆矩阵B. 转置矩阵C. 相反矩阵D. 对角矩阵答案:A解析:若矩阵$A$的逆矩阵存在,则$A$的逆矩阵为$B$。
3. 下列哪个矩阵是对称矩阵?A. $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$答案:D解析:对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的矩阵,选项D满足此条件。
4. 若矩阵$A$、$B$满足$AB=BA$,则矩阵$A$和$B$是:A. 可逆矩阵B. 特征矩阵C. 对角矩阵D. 可交换矩阵答案:D解析:可交换矩阵是指满足$AB=BA$的矩阵,选项D满足此条件。
5. 若行矩阵$\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$满足$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}$,其中$\mathbf{0}$为零向量,则下列哪个说法是正确的?A. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定不相等B. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$一定相等C. $\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$可能相等也可能不相等D. 不能确定$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是否相等答案:C解析:行向量的内积为零意味着两个向量正交,不一定相等,所以选项C是正确的。
线性代数-期末测试题及其答案
线性代数期末考试题、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题5分,共25分)1 -3 11.若0 5 X =°,则;t = 。
-1 2 -2| f x2 . X3 = 02. ___________________________________________________________________ 若齐次线性方程组+^X2 +x3=0只有零解,则人应满足_____________________________________ 。
x1 +x2 +x3 = 03. 已知矩阵A, B, C =(q )s n,满足AC二CB,则A与B分别是 _____________ 阶矩阵。
4•已知矩阵A为3 3的矩阵,且|A| = 3,则|2A| = ___________ 。
5. n阶方阵A满足A2 -3A - E = 0,则A A=。
二、选择题(每小题5分,共25分)6•已知二次型f • X;• 5x2 2tX i X2 -2^X3 - 4X2X3 ,当t取何值时,该二次型为正定?()4 - 4 4 4 4 1A. —— <t W0B. ——<t < —C. 0<t< —D. —一c t< 一一5 5 5 5 5 2q 4 2''1 2 3"7.已知矩阵A =0 -3 4 B = 0X6 ,且A ~ B,求x的值()<0 4<0 0 5」3」A.3B.-2C.5D.-58 •设A为n阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是()A. A^OB. A,HOC. r(A) = nD. A的行向量组线性相关9 •过点(0, 2, 4)且与两平面x 2z =1和y -3z =2的交线平行的直线方程为()A.xy-2 z -4B.x y —2 z-4-2 _ 3-1 2_ 3 -2 C.xy 2 z 4 D.x y 2 z 4-2312 32.已知矩阵'3 1、 10 A =,其特征值为()-1A.初=2,為 =4B.人二=_2,九2C.=4D. Z_1 :=2丄2 =-4 三、解答题(每小题10分,共50分)15.证明:若A 是n 阶方阵,且 从丁=|,A = —1,证明 A+I =0。
大学线代期末试题及答案
大学线代期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 设A为3阶方阵,且|A|=2,则|2A|等于多少?A. 4B. 8C. 16D. 32答案:B2. 若矩阵A可逆,则下列说法正确的是:A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是唯一的答案:B3. 向量组α1, α2, α3线性无关,则下列说法正确的是:A. 这三个向量可以构成一个平面B. 这三个向量可以构成一个空间C. 这三个向量可以构成一个直线D. 这三个向量可以构成一个点答案:B4. 设A是n阶方阵,如果A的特征值为λ,则下列说法正确的是:A. λ是A的最小特征值B. λ是A的最大特征值C. λ是A的特征值D. λ不是A的特征值答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 若矩阵A的秩为2,则矩阵A的行列式|A|等于______。
答案:02. 设向量组α1, α2, α3线性相关,则至少存在不全为零的实数k1, k2, k3使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = ______。
答案:03. 若A是3阶方阵,且A的迹等于6,则A的特征值之和等于______。
答案:64. 设向量空间V中有两个子空间U和W,若U与W的交集只包含零向量,则称U和W为______。
答案:互补子空间三、解答题(每题15分,共40分)1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\],求A的逆矩阵。
答案:首先计算A的行列式,|A| = 1*4 - 2*3 = -2。
然后计算A的伴随矩阵,即\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{pmatrix}\]。
最后,A的逆矩阵为\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\] / (-2) = \[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\]。
线性代数期末试题
线性代数试题(附答案)一、填空题(每题2分,共20分)1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解,且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵,且ο=+-E A A 232,则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基,且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=,若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ,则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵,则λ的取值范围是 。
二、单项选择(每小题2分,共12分)1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 ( )A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+( )A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(( ) A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002( ) A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题(每小题9分,共63分)1.计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2.当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解?在方程组有解时,用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)
《线性代数》期终试卷1( 2学时)本试卷共七大题一、填空题(本大题共7个小题,满分25分):1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是, 则的属于的两个线性无关的特征向量是();2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随矩阵, 则的行列式();3.(4分)设, , 则();4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim();5.(3分)二次型经过正交变换可化为标准型,则();6.(3分)行列式中的系数是();7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个解向量, 其中, , 则该方程组的通解是()。
二、计算行列式:(满分10分)三、设, , 求。
(满分10分)四、取何值时, 线性方程组无解或有解?有解时求出所有解(用向量形式表示)。
(满分15分)五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组, , 也线性无关。
(满分10分)六、已知二次型,(1)写出二次型的矩阵表达式;(2)求一个正交变换,把化为标准形, 并写该标准型;(3)是什么类型的二次曲面?(满分15分)七、证明题(本大题共2个小题,满分15分):1.(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。
2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组必有非零解。
《线性代数》期终试卷2( 2学时)本试卷共八大题一、是非题(判别下列命题是否正确,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×;每小题2 分,满分20 分):1. 若阶方阵的秩,则其伴随阵。
()2.若矩阵和矩阵满足,则。
()3.实对称阵与对角阵相似:,这里必须是正交阵。
()4.初等矩阵都是可逆阵,并且其逆阵都是它们本身。
()5.若阶方阵满足,则对任意维列向量,均有。
()6.若矩阵和等价,则的行向量组与的行向量组等价。
()7.若向量线性无关,向量线性无关,则也线性无关。
线性代数期末试题及答案
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于()A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于()A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于()A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中()A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有()A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则()A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为()A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数期末考试考核试卷
4.以下哪个向量组构成一个基?
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.(根据实际题目内容填写答案)
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.(根据实际题目内容填写答案)
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.(根据实际题目内容填写答案)
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题(参考)
1.向量组线性无关,可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合,例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\),其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
(答题括号:________)
5.在求解线性方程组时,以下哪些情况下可以使用高斯消元法?
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
(答题括号:________)
(以下题目类似,省略以节约空间)
6. ...
A.若A为m×n矩阵,则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵,则A的转置为m×n矩阵
大一线性代数期末考试试题
大一线性代数期末考试试题一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列矩阵中,哪一个是可逆矩阵?A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]2. 如果向量v = (3, -2)和向量w = (1, λ)平行,那么λ的值是多少?A. 3B. -2C. λD. 不能确定3. 对于n阶矩阵A,其行列式的值为0,这意味着:A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A的所有特征值都是14. 线性变换T: R^3 → R^3,由矩阵[1, 2, 0; 0, 1, 2; 1, 1, 1]表示,该变换的特征向量对应的特征值是:A. 0B. 1C. 2D. 35. 对于向量空间V中的一组基B = {v1, v2, v3},向量v = 2v1 +3v2 - v3在基B下的坐标表示为:A. (2, 3, -1)B. (2, 3, 1)C. (2, 3, 0)D. (-1, 3, 2)二、填空题(每题3分,共15分)6. 矩阵A = [4, -1; 2, 3]的迹为______。
7. 如果线性方程组的系数矩阵为[1, 2; 3, 4],增广矩阵为[1, 2, 1; 3, 4, 0],则该方程组的解为______。
8. 对于向量空间W = {v ∈ R^4 | Av = 0},其中A = [1, 2, 3, 0; 0, 1, 2, 3],则W的维数为______。
9. 已知向量v = (1, 2, 3)和向量u = (4, -1, 2),则v·u(向量v和向量u的点积)等于______。
10. 若矩阵B可由矩阵A通过初等行变换得到,且A = [1, 2; 3, 4],则|B| = |A| = ______。
三、解答题(共75分)11. (15分)证明矩阵A和它的转置矩阵A^T具有相同的行列式值。
12. (20分)给定一个线性变换T: R^n → R^m,其中T由矩阵C表示,证明T的特征向量和矩阵C的特征向量在相同的特征值下是共线的。
线性代数期末试题及答案
8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题(每小题2分,共20分)1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ,则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ,则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ,*A 是A 的伴随矩阵,则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵,则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ,且秩(A )=2,则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系,则=)(A r .二、选择题(每小题2分,共20分)1.已知101yxy x aA =,则A 中元素a 的代数余子式11A 等于( ).A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-,它们的余子式的值分别为1,1,2,3-,则=A ( ).A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵,且2222)(BAB AB A ++=+,则必有( ).A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵,满足O AB =,则必有( ).A.0=+B A B .))B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ,),,(2γβα=B ,其中γβαα,,,21均为3维列向量,若2=A ,1-=B ,则=+B A ( ).A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组,,)(r A r =下列命题中正确的是( ).A .当n m =时,B AX =有唯一解 B .当n r =时,B AX =有唯一解C .当m r =时,B AX =有解D .当n r <时,B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ( ).A .1或2B .1或-2C .-1或2D .-1或-28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中( ).A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α,则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 ( ).A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解,21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系,21,k k 为任意常数,则方程组b AX =的通解可表成( ).A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题(每小题2分,共20分)1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题(每小题2分,共20分)1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、(8分)解:3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、(10分)解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=,得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、(12分)解:将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵:22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以,⑴ 当1k≠-且4k ≠时,()()3r r ==A A ,此时线性方程组有唯一解.⑵ 当1k =-时,()2=A r ,()3=A r ,此时线性方程组无解.⑶ 当4k=时,()()2==A A r r ,此时线性方程组有无穷多组解.此时,原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此,原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、(10分)解:记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为:123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、(12分)解:(1).⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。
线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 若022150131=---x ,则=χ__________。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。
3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。
4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。
( )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( )3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
( )4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ,则A A =-1。
( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。
① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,,, 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。
线性代数期末考试试卷及答案
一、 填空题(每空3分,共15分)1、设A 为n 阶方阵,且3A =,则|3A |= 。
2、设矩阵5678A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则A *= 。
(其中A *是A 的伴随矩阵) 3、已知n 阶矩阵A 满足2A A =,则A 的特征值为 。
4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。
5、二次型22212312133428f x x x x x x x =-+-+的实对称矩阵为 。
二、选择题(每小题3分,共15分)1、12021k k +≠+的充要条件是( )(A )1k ≠ (B )3k ≠-(C )1k ≠且3k ≠- (D )1k ≠或3k ≠-2、若111221226a a a a =,则121122212020021a a a a --的值为( ) ()A 12 ()B -12 ()C 18 ()D 03、设,A B 都是n 阶方阵,且0AB =,则下列一定成立的是( )()A 0A =或0B = (),B A B 都不可逆 (),C A B 中至少有一个不可逆 ()0D A B += 4、向量组()12,,,2s s ααα≥ 线性相关的充分必要条件是( )()A 12,,,s ααα 中含有零向量。
()B 12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例。
()C 12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示。
()D 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示。
5、当ad ≠bc 时,1a b c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=( ) (A )d c b a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(B )1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦(C )1d b c a bc ad ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦(D )1d c b a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦三、(8分)计算行列式411102*********23D -=-四、(11分)求向量组()()()()12342,1,1,1,1,1,7,10,3,1,1,2,8,5,9,11αααα==-=--=的一个最大无关组,并将其余向量用此最大无关组线性表示。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 设矩阵A为3阶方阵,且|A|=2,则矩阵A的逆矩阵的行列式为:A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案:B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6),则向量α和向量β的点积为:A. 32B. 22C. 14D. 0答案:A3. 设A为3×3矩阵,且A的秩为2,则A的行向量线性相关,下列说法正确的是:A. 正确B. 错误答案:A4. 若A为n阶方阵,且A^2=0,则A的秩为:A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案:C5. 设A为3阶方阵,且A的特征值为1,2,3,则矩阵A的迹为:A. 6B. 1C. 2D. 3答案:A二、填空题(每题5分,共30分)1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\],则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。
答案:\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3),向量β=(4,6),则向量α和向量β共线,其比例系数为2。
答案:23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\],则矩阵A的行列式为2。
答案:24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\],则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。
答案:\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\],则矩阵C的特征值为1和2。
线代期末考试试题
线代期末考试试题### 线性代数期末考试试题#### 一、选择题(每题2分,共20分)1. 矩阵A的行列式为0,那么矩阵A是:- A. 可逆的- B. 不可逆的- C. 单位矩阵- D. 零矩阵2. 若向量\( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \),求\( \mathbf{v} \)的模长:- A. 1- B. 2- C. 3- D. 63. 以下哪个矩阵是对称矩阵?- A. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)- B. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)- C. \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)- D. \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)4. 线性变换\( T \)将向量\( \mathbf{v} \)映射到\( \mathbf{v} \)本身,那么\( \mathbf{v} \)是:- A. 零向量- B. 特征向量- C. 单位向量- D. 任意向量5. 矩阵的特征值是:- A. 矩阵的对角线元素- B. 矩阵的行列式- C. 矩阵的迹- D. 满足\( Av = \lambda v \)的\( \lambda \)...(此处省略其他选择题)#### 二、填空题(每空2分,共20分)1. 矩阵\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)的特征多项式是\( \lambda^2 - \_ \_ \_ \)。
2. 若向量\( \mathbf{u} = (4, -1) \)和\( \mathbf{v} = (2, 3) \),则\( \mathbf{u} \)和\( \mathbf{v} \)的点积是\( 4 \times 2 + (-1) \times 3 = \_ \_ \)。
《线代》期末练习卷(答案)aaaaaa
新增题目答案8.矩阵,A B 分别为2阶与3阶可逆矩阵,且11234A -⎛⎫= ⎪⎝⎭,11012B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A O O B ⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为解:A O O B ⎛⎫⎪⎝⎭:分块对角矩阵的逆矩阵是111200340000100012A O OB --⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭9. 已知矩阵211421211A a ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭,且()1r A =,则a = 1解:()1301r A A a =<⇒=⇒=10. 计算范德蒙行列式1111123414916182764= 12解:范德蒙行列式:书P29 例6三、计算题(本大题共5小题,共54分)5. (12分) 设向量组123,,ααα线性无关,证明:向量组122331,,αααααα+++线性无关.解:P130 例5请大家注意:P160 习题 13 证明线性无关,思路一样:具体如下:设向量组123,,ααα线性无关,证明:向量组112123,,αααααα+++线性无关证明:方法一:(反证)假设向量组112123,,αααααα+++线性相关,即有一组不全为0的数:123,,k k k 使得 ()()1121231230k k k αααααα+++++= 整理成:()()1231232330k k k k k k ααα+++++=而123,,ααα线性无关,故123233000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ (1)因为11101110001=≠,故方程组(1)只有零解,即1230k k k ===,与假设矛盾,所以向量组112123,,αααααα+++线性无关。
线性代数期末测试卷
一、填空题(3分×5=15分)1. 若方程组121230220x x x x λ+=⎧⎨+=⎩有非零解,则λ=_____.2. 若A 与B 均为四阶方阵,2,2,A B ==-则12AB -=_____.3. 设=(100)T α,,,=(001)T β,,,=(3 0 4 )T γ-,,,则γ由,αβ线性表示的表达式_____.4. 设一排列为67345218,则其逆序数为 _____.5. 设3阶方阵A 的特征值分别为-2,1 ,2 ,则22A A +=_____.二、单项选择题(3分×5=15分)1. 设,A B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵()m n ≠,则_____的运算结果不是n 阶方阵.A. BAB.ABC. ()T BAD. T T A B2. 设A 为3阶方阵,且2A =,2A *=_____.A. 4B. 8C. 16D. 323. 设=(21)t β-,,可由1=(143)α,,, 2=(231)α-,,线性表示,则t =_____. A. 1 B. -2C. 3D. -34. 设A 为43⨯的矩阵,B 为四阶可逆矩阵,且()3R A =,则矩阵AB 的秩为_____.A. 1B. 2C. 3D. 45. 设()1R A n =-,n 元线性方程组(0)Ax b b =≠有三个互不相同的解,αβ和γ,则导出组基础解系为_____.A. ,,αβγB.α-βC. α+βD. ,αβ三、计算题(10分×6=60分)1. 计算行列式2345345245235234 .2. 已知矩阵=(121)A ,,和=(112)B ,,,求()T n A B (n 为正整数). 3. 求1=(1 11 ,1 )T α--,,,,2=(0 21 , 1 )T α,,,-,3=(1 11 , 1 )T α-,,,-,4=(0 01 ,2 )T α,,,,5=(20 0 ,0 )T α,,,的一个最大线性无关组,并用最大线性无关组表示其余向量.4. 求矩阵X ,使其满足AX B =,其中100210321A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,110110B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.5. 求方程组12341234123421422221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解.6. 求矩阵123213336A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.四、证明题(5分×2=10分)1. 设方阵A 满足270A A E +-=,求证:A 及3A E +,并求1A -及()13A E +-.2. 设123,,ααα线性无关,证明向量组112123123,,b b b =α=α+α=α+α+α也线性无关.。
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福建师范大学协和学院 11 - 12学年第 1 学期
10 级 《线性代数》 期末模拟练习
一、 单项选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
1. 在下面的排列中,为奇排列的是( )
A. 34125
B. 34152
C. 24153
D. 31452 2. 1
1
1
1101
2
λλ
-=的充分必要条件为( ) A. 12λλ=-=且 B.12λλ≠-≠或 C. 12λλ=-=或 D.12λλ≠-≠且 3. 设A B 、均为n 阶矩阵,且A B O =,则( ) A. A O B O ==或 B. A B O += C. 00A B ==或 D. 0A B += 4.矩阵1113
1521
3A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
的秩()r A =( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.设A B 、均为n 阶可逆矩阵,则下列公式正确的是( ) A. 111()A B A B ---+=+ B. 1
1
1
()(0)A A λλλ
--=
≠
C.1
*
A
A A -= D.111()A
B A B ---=
6. 设n 元未知量的线性方程组A x b =有无穷多解,则( )
A. ()r A n =
B. ()r A n ≤
C. ()r A n <
D. ()r A n > 7. 向量组12,,,s ααα (2s ≥)线性相关的充要条件是( )
A. 12,,,s ααα 中至少有两个向量成比例
B. 12,,,s ααα 中至少有一个零向量
C. 12,,,s ααα 的秩为s
D. 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 8.下列命题错误的是( )
A. 12,ξξ是齐次线性方程组0A x =的解,则1235ξξ+也是0A x =的解
B.若向量组12,n βββ ,,
线性相关,则向量组12,,n a βββ ,,也线性相关
C.矩阵m n A ⨯的秩()min{,}R A m n ≤
D. 若矩阵A 中有某个t 阶子式为零,则()R A t <
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1. 已知四阶矩阵A 的笫三行元素分别是-1,2,0,1,与它们相应的余子式分别是5,0,-7,4,则
行列式=A _________.
2.11
1213
21
222331
32
33
0a a a a a a M a a a =≠,则1121
1222
1323
21222331
32
33
444222a a a a a a a a a a a a +++=
3.设矩阵1234,1
11
1A B ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
,则23A B A B -+= . 4. 设A 是四阶方阵,且12
A =, 则1*(3)2A A --=________(*A 是A 的伴随矩阵).
5.3阶方阵A 的行列式A =2,则2A -=
6. 若线性方程组123123123000
x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩只有零解,则常数λ满足 .
7.向量1131α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2012α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,341k α⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
线性相关,则常数k = .
8.矩阵,A B 分别为2阶与3阶可逆矩阵,且1
1234A -⎛⎫= ⎪⎝⎭,1
1012B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A
O O B ⎛⎫
⎪⎝⎭
的逆矩阵为 9. 已知矩阵2
114
2121
1A a ⎛⎫
⎪
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭
,且()1r A =,则a = 1
10. 计算范德蒙行列式1111
1234
14916
182764
= 12
三、计算题(本大题共5小题,共54分)
1.(8分)计算四阶行列式.
1222
2122
2212
2221
D=
2.(10分)已知矩阵
301
110
014
A
⎛⎫
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
,且AB A B
=+,求B.
3. (12分)已知向量组
11 1 2
α
⎛⎫
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
,
2
2
3
5
α
⎛⎫
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
,
3
1
2
5
α
⎛⎫
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
,
4
3
2
7
α
⎛⎫
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
,求一个极大无关组,并把
其余向量用该极大无关组线性表示。
4. (12分)用基础解系表示如下线性方程组的全部解.
1234123412341
23423026413287162
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
+-+=-⎪⎨+-+=-⎪
⎪---=-⎩
5. (12分) 设向量组123,,ααα线性无关,证明:向量组122331,,αααααα+++线性无关.。