L7-自由电子气2

m − ax
∫0 f ( E ) Q′ ( E ) dE ≈ Q ( E ) + 6 ( k T )
F B
∞
π2
2
Q′′ ( EF )
三、Sommerfeld展开式的应用 展开式的应用 1. EF的确定
N = ∫ f ( E ) N ( E ) dE
0
∞
Q′ ( E ) = N ( E )
2
=∫
=∫
= U0 +
U0 = ∫
0 EF
π
2
4
⋅N
( k BT )
0 EF
2
0
EN ( E ) dE —— T=0时自由电子系统的总能量 时自由电子系统的总能量
2
∞
0
(e
x 2 e − x dx
−x
+ 1)
2
利用Taylor展开式：
(1 + ξ )
−n
= 1 + ( −n ) ξ +
2
( −n )( −n − 1)
2!
∞ 0
ξ2 +
( −n )( −n − 1)( −n − 2 )
3!
ξ 3 + ⋅⋅⋅
∴ I 2 = ( k BT ) Q′′ ( EF ) ∫ x 2 e − x 1 − 2e − x + 3e −2 x − 4e −3 x + ⋅⋅⋅ dx
∞
df I 0 = ∫ Q ( EF ) − dE = Q ( EF ) −∞ dE
∞
df I1 = ∫ Q ′ ( EF )( E − EF ) − dE −∞ dE
∞
E − EF x= k BT
奇函数
xdx = Q ′ ( EF ) ∫ ( k BT ) ⋅ x =0 −x −∞ ( e + 1)( e + 1)
二、Sommerfeld展开式 展开式 设函数Q(E)在（-∞，+∞）上连续可微，Q(0)＝0 ，并且 在 ∞ 设函数 ∞ 上连续可微， ＝ 其中α为大于 的常数。 为大于0的常数 满足条件 lim e−α EQ ( E ) = 0 ，其中 为大于 的常数。在
E →∞
kBT << EF的情况下，有 的情况下，
B
π
2
2
0 N ( EF ) 0 EF
π 2 k T 2 π 2 T 2 0 0 ∴ EF = EF 1 − B 0 = EF 1 − 12 EF 12 TF
略低于E 对于金属，由于 对于金属，由于TF >> T，所以 F ≈ EF0 ，略低于 F0。 ，所以E
2. Pauli顺磁 顺磁 考虑T →0的极端情况 考虑 的极端情况 B=0时，M=0 时 B ≠ 0时，自旋磁矩在磁场 时 中的取向能： 中的取向能：
N(E)/2 -µB EF
E B=0
0
µB
0
N(E)/2
平行于B： µB平行于 ：
－µBB
反平行于B： µB反平行于 ： ＋ µBB 玻尔磁子， µB：玻尔磁子， µB＝9.27×10－24J/T ×
I = ∫ f ( E ) Q ′ ( E ) dE ≈ Q ( EF ) +
0
∞
π2
6
( kBT )
2
Q ′′ ( EF )
其中
1 f (E) = E − EF exp k BT
+1
为F－D分布函数 － 分布函数
证明： 证明： 考察： 考察：
I =∫
∞
0
∞ df ′ ( E ) dE = ∫ Q ( E ) − dE f ( E )Q 0 dE
= ( k BT )
=
2
1 1 1 Q ′′ ( EF ) 2! 1 − 2 + 2 − 2 + ⋅⋅⋅ 2 3 4
2
π2
6
( k BT )
Q′′ ( EF )
1 1 1 π2 1 − 2 + 2 − 2 + ⋅⋅⋅ = 2 3 4 12
∫
∞
0
Γ ( m + 1) m! x e dx = = m+1 m+1 a a
B
－µB
B
－µB
E
µB
E EF0
µB
µBB
N )/2 (E
µBB
N )/2 N )/2 (E (E
－µBB
－µBB
N )/2 (E
自旋磁矩改变方向的电子数： 自旋磁矩改变方向的电子数：
1 0 N ′ ≈ N ( EF ) ( µ B B ) 2
每个电子的自旋磁矩从－ 变为＋ 改变了2 每个电子的自旋磁矩从－µB变为＋ µB改变了 µB 所以， 所以，产生的总磁矩为
1 ∞ Q′′ ( E )( E − E )2 − df dE I2 = ∫ F F 2 −∞ dE
= 1 Q ′′ ( EF ) ∫ ( k BT ) −∞ 2
∞
2
∞
x 2 dx ⋅ x ( e + 1)( e− x + 1)
偶函数
I 2 = ( k BT ) Q ′′ ( EF ) ∫
ky
ε
∆k eε 1 eε 1 = τF ⋅ = τF ⋅ k F ℏ k F m VF
这部分电子对电流的贡献为
0 Ⅱ Ⅰ
kx
eε 1 ne 2τ F j = n τ F ⋅ eVF = ⋅ε m m VF
ne2τ F ∴σ = m
2 3
3/ 2
3
− k + ∆k球壳内的状态数目 4πk ∆k /[( 2π ) /V]
E − E + ∆E球壳内的能态数目
4. Fermi-Dirac分布： f ( E ) = 分布： 分布
1
V ( 2m ) 1/ 2 E 2 3 2π ℏ
B
e( E −µ )/ k T + 1
Fermi能，Fermi面，Fermi波矢，电子气的热容 能 波矢， 面 波矢
上一讲回顾
1. 周期性边界条件： ψ k ( r ) = ψ k ( r + N α a α ) ， α＝1, 2, 3 周期性边界条件：
h1 h2 h3 b1 + b2 + b3 2. 波矢： ∴ k = 波矢： N1 N2 N3
3. 态密度： 一个波矢的体积 态密度：
波数 k
( 2π ) / V
改为− 将积分的下限由0改为−∞，而并不会影响积分值。 分的下限由 改为 ，而并不会影响积分值。
df ∴I = ∫ Q (E) − dE −∞ dE
∞
附近展开成Taylor级数： 级数： 将Q(E)在E=EF附近展开成 在 级数
2 Q ( E ) = Q ( EF ) + Q ′ ( EF )( E − EF ) + 1 Q ′′ ( EF )( E − EF ) + ⋅⋅⋅ 2!
0 2 M = N ′ ⋅ 2µ B = N ( EF ) µ B B
B = µ0 H
0 2 = N ( EF ) µ0 µ B ⋅ H = χ 0 H
M 0 2 ∴ χ0 = = N ( EF ) µ0 µB H
2 3N µ0 µ B χ0 = 0 2 EF
3N N (E ) = 0 2 EF
0 F
1 df − =kT⋅ dE B
E − EF exp k BT + 1
2
E − EF exp k BT
=
1 ⋅ k BT E − EF exp k BT
1 E − EF + 1 exp − k BT
严格理论计算结果支持了后一种说法。 严格理论计算结果支持了后一种说法。这主要是 由于Pauli不相容原理的结果。能量比EF低得多的电子， 不相容原理的结果。能量比 低得多的电子， 由于 不相容原理的结果 其附近的状态仍被其他电子所占据， 其附近的状态仍被其他电子所占据，没有空状态来接 纳它。因此， 纳它。因此，这些电子不能吸收电场的能量而跃迁到 较高的能态，对电导作出贡献， 较高的能态，对电导作出贡献，能被电场激发而对电 导有贡献的只是在费米面附近的一小部分电子。 导有贡献的只是在费米面附近的一小部分电子。
由于µ 所以，对电子Pauli顺磁有贡献的 由于µBB << EF0，所以，对电子 顺磁有贡献的 并不是金属所有的自由电子，而只是在费米面附近的一 并不是金属所有的自由电子， 小部分电子。 小部分电子。 3. 导电率 当ε＝0时，系统的总电流为 时 系统的总电流为0 当ε ≠ 0时，电子的定向运动可看成两个过程： 时 电子的定向运动可看成两个过程： 电子在电场ε的 作用下作加速运动 电子由于碰撞而失去定向运动
+ 1
f(E)
-df/dE
1.0
0
EF
E
df 数− dE
：
(-df/dE)是（E－EF）的偶函数； 是 的偶函数； － (-df/dE)的值集中在 E－EF ∼ kBT的一小范围内， 的值集中在 － 的一小范围内， 的一小范围内 当 E－EF > 几个 kBT时，函数的值迅速趋于 ，具 － 时 函数的值迅速趋于0， 有类似于δ函数的性质。 有类似于δ函数的性质。
dk eτ ∆k = ⋅τ = − ε dt ℏ
电子的定向漂移速度为
τ：平均自由时间
ne 2τ ⋅ε = σ ⋅ε 电流密度： 电流密度： j = − neV d = m ne2τ ∴σ = m