《线性代数》期末试卷

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12-13-1《线性代数试卷A》第一学期期末考试试卷

河南理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《线性代数》试卷（A 卷）１．设()()()，，，，，，，，t 3,1321111321===βββ若321βββ,,线性相关，则t =．２．矩阵()nn ija ⨯=A 的全体特征值的和等于 , 全体特征值的积等于．３．设A 为4阶方阵，2-=A ，则A 3-= ．４．()234321,,B ,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则=AB．５．设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120350002A ，则A 的逆矩阵1-A =．６．设3阶方阵A 按列分块为()321ααα,,A =，且Ad e t =5，又设()231215432ααααα,,B ++=，则B =．7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221xA ，x 为某常数，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则x = ． 8．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21ηη,是它的两个解向量．且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42232121ηη,该方程组的通解为．1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中成立的为（）．(A) det(AB ) = 0，则0A =或0B =； (B) det(AB ) = 0，则det A = 0或det B = 0； (C) AB = 0，则0A =或0B =； (D) AB ≠ 0，则det A ≠ 0或det B ≠ 0．2. 设n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，则( ).(A) 2-=n *A A ; (B) 1+=n *A A ; (C) 1-=n *AA ;(D) 2+=n *AA ．3. 已知A 、B 均为3阶方阵，且A 与B 相似，若A 的特征值为1，2，3，则()12-B 的特征值为（）(A) 2312,,; (B) 614121,,; (C) 321,,;(D) 3212,,．４. 向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有．(A)1β可由324,,βββ线性表示; (B)3β可由42ββ,线性表示 ;(C)2β可由43ββ,线性表示;(D)4β可由32ββ,线性表示 .三、计算题1．（7分）计算行列式211112111121=n D ．一、填空题,每小题4分二、选择题，每小题5分2．（7分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=121011332A ，求1-A ．3．（7分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A 的列向量组的一个最大线性无关组．4．（12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ,,（１）有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多个解？5．（15分）已知二次型()322221321434x x x x x ,x ,x f ++=，求一个正交变换Py x =，把二次型()321x ,x ,x f 化为标准型．。

中国海洋大学《线性代数》试卷-2021-2022学年第一学期期末试卷B卷

中国海洋大学2021年秋季学期《线性代数》课程试卷试卷 B 考试方式闭卷考试时间（120分钟）一.填空题1.已知T T T )1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα是一组基,则Tu )0,0,2(=在这组基下的坐标为解:.)1,1,1(T- 设 332211a k a k a k u ++=解对应方程组即得.2.设n n A ,2,101020101≥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为正整数,则=--12n n A A解: 0.00)2(2221=⋅=-=----n n n n A E A A A A A3.设n A T T ,,)1,0,1(ααα=-=为正整数,则=-||nA aE 解:).2(2na a - 计算得,101000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A,2020002022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A设n=k 时, ,2020002021111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----k k k k k A 则n=k+1时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=----+11111202000202k k k k k A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--101000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k kk k 202000202,所以,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----1111202000202n n n n n A .=-||n A aE =-=--------1111112001020202010202n n n n n n a aa a a ).2(2n a a -4.设,),31211(,321αββα==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 则nA = .解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-123332123121131n n A.123332123121133)())(())(())((111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛====---n n n n n A αβββαβαβαααβαβαβαβ个个5. 已知,A B AB =-其中,20012021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B 则A = .解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20001210211A由A B AB =-得,)(1--=E B B A 计算得 =-=-1)(E B B A .2000121021110000210210200012021⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6.设B A ,分别为n m ,阶方阵, |A |a =,|B |b =,C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛00B A ,则|C |= 解:.)1(ab mn- 依次交换矩阵的第一列与第n+1列, 第二列与第n+2列,…,可将C 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00,共计进行了mn 次交换,所以, .)1(||ab C mn-=二.计算题1. 已知3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,101,111321ααα和,343,432,121321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββ 求由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵P . 解: P 应满足 =),,(321βββP ),,(321ααα所以1321),,(-=αααP ),,(321βββ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-3414323211110011111.1010104323414323212112121021010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2.设,2)(45=⨯B r TT T )9,8,1,5(,)1,4,1,1(,)3,2,1,1(321--=--==ααα是方程组0=BX 的解.求0=BX 解空间的一组标准正交基.解: 方程组0=BX 的一个基础解系就是0=BX 解空间的一组基. 以下只需求0=BX 的一个基础解系,再将其标准正交化. 基础解系包含向量个数为4-2=2.验证可见21,αα线性无关. 所以, 21,αα为一个基础解系. 下面将21,αα正交化:,11αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=2310323432111551411),(),(1111222ββββααβ标准化:.)3,5,1,2(391||||,)3,2,1,1(151||||2212111TT --====ββηββη21,ηη即为一组标准正交基.3.设C B AX =+,其中XC B A 求,545,113,101111010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=.解:由题意得)(1B C A X -=-,构造矩阵)|(B C A -= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---61131112010,初等行变换得)|(B C A -->⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--25100201027001,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=25227X 4.设,200120031204312100110001100011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=C B ，矩阵A 满足A E CBC E A T T 求,)(1=--.解:11111][})]({[])[(------=-=-=T T T T B C B C E C C B C E A ）（其中,12340123001200011000210032104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-TTB C ）（利用分块矩阵逆矩阵求解得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A5.设,)2(,100210002101021,10021003210232111--=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=C A B C E C B T 求A .解: 由11)2(--=-C A B C E T 得111111)2()]2([)2(-------=-=-=B C B C E C C B C E A T ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1002100321043212B C ,所以111234012300120001]2[--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=T B C A ）（⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001四.证明1.已知n 阶方阵A 满足)(2E A A -=3A , 求1)(--A E . 解:由)(2E A A -=3A 得02223=+-A A A ,将其改写为E E A A A =++-2223,即E E A A A E =+--))((2, 所以,E A A A E +-=--21)(. 2.设A 是n 阶非零矩阵,当TA A =*时,证明0||≠A .证明: 由T A A =*知 ),,,2,1,(n j i a A ij ij ==其中ij A 为元素ij a对应的代数余子式.因为A 是n 阶非零矩阵,所以不妨设,0≠ij a 由行列式的展开定理得||2222212211≠+++++=+++++=in ij i i inin ij ij i i i i a a a a A a A a A a A a A得证.3. 已知n 阶方阵A 满足k A k (0=为正整数).证明A E -可逆,求.)(1--A E 证明: 由0=kA 得))((12-++++-=-=k k A A A E A E A E E 所以, A E -可逆,且=--1)(A E .12-++++k A A A E。

线性代数期末试卷及详细答案

线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。

2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。

中国海洋大学《线性代数》2019-2020学年第二学期期末试卷A卷

一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |= 12, A ∗是 A 的伴随矩阵,则 |4AA ∗|=2.已知 A =PΛQ ，其中 P =(2312),Λ=(100−1),Q =(2−3−12),QP =I( I 是2阶单位矩阵)，则 A 8= 3.设矩阵 A =(1a aa1a aa1)，且 r (A )=2，则 a = 4. 设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解向量，系数矩阵 A 的秩为 3，η1+η2=(3,4,5,6)T , η3=(1,2,3,4)T ，则该方程组的一般解为 5.若 3 阶方阵 A 与 B 相似，I 为 3 阶单位矩阵，A 的特征值为 12,1 3,1 4，则行列式 |B −1−I |=6. 已知 A =(20131a 405) 可对角化,则 a = .二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题不正确的是( ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (AB)−1=B −1A −1 D. |kAB |=k n |A ||B |2.设 A 是 3×4 矩阵，B 是 4×3 矩阵，则下列结论正确的是( ). A. ABx =0必有非零解 B. ABx =0只有零解 C. BAx =0必有非零解 D. BAx =0只有零解3.设 A ,B 均为 3 阶可逆方阵,若交换 A 的第一行与第三行得方阵 B , 则下列叙述正确的是( ).中国海洋大学《线性代数》2019-2020学年第二学期期末试卷A卷A.交换A −1的第一行与第三行得 B −1B.交换A −1的第一列与第三列得 B −1C.交换A −1的第一行与第三行得−B −1D.交换A −1的第一列与第三列得−B −1 4.设 A =(111111111),B =(40000000),则 A 与 B ( ). A.合同且相似 B.合同但是不相似 C.不合同但相似 D.不合同不相似5.已知向量组α1,α2,α3是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1,α1+α2,α1+α2+α3 D. α1−α2,α2−α3,α1−α36.设二次型 f (x 1,x 2,x 3)在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中 P =(α1,α2,α3)，若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3)在 x =Qy 下的标准型为( ).A. 2y 12−y 22+y 32B. 2y 12+y 22−y 32C. 2y 12−y 22−y 32D. 2y 12+y 22+y 32三、计算题(共 4 题，共 28 分) 1.(6分) 计算 n +1阶行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| 2.(8分)设向量组 α1=(−1,1,2,4)T ，α2=(−1,−1,1,5)T ，α3=(0,2,1,−1)T ， α4=(−2,4,5,7)T ，α5=(1,1,−1,−5)T ，求此向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其极大线性无关组线性表示.3.(8分)设矩阵 A=(112011−1−10)，矩阵 X 满足 A∗X=A−1+2X，其中 A∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X.4.(6分)已知 R2的两组基α1=(1,−1)T，α2=(1,0)T； β1=(1,2)T，β2=(3,5)T.(1)求从基 α1,α2到基 β1,β2的过渡矩阵 A；(2)已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 (1,−1)T，求 γ 在基 β1,β2下的坐标.四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,⋯,αp是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 β 满足 Aβ≠0，证明：向量组 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.五、解方程组（共1题，14分）讨论 a 取何值时，线性方程组 {x1+x2+ax3=1 x1+ax2+x3=1ax1+x2+x3=−2无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时求出方程组的一般解.六、二次型（共1题，14分）设二次型 f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32+2x1x2+4x1x3−4x2x3，已知它对应矩阵的所有特征值之和为 12，(1)求 c 的值；(2)正交变换法将此二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵Q；(3)写出它的规范型；(4)分析此二次型是否是正定二次型.一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |= 12, A ∗是 A 的伴随矩阵,则 |4AA ∗|=解：AA ∗=|A |I ，则 |4AA ∗|=|4|A |I |=|2I |=23=8；2.已知 A =PΛQ ，其中 P =(2312),Λ=(100−1),Q =(2−3−12),QP =I( I 是2阶单位矩阵)，则 A 8= 解：A 8=AA ⋯A ⏟ 8个=(PΛQ)(PΛQ)⋯(PΛQ)(PΛQ)⏟8个=P Λ(QP)Λ(Q ⋯P)Λ(QP)Λ⏟ Q 8个Λ，已知 QP =I=PΛ8Q =(2312)(1800(−1)8)(2−3−12) =(2312)(2−3−12)=(1001)=I .3.设矩阵 A =(1a aa1a aa1)，且 r (A )=2，则 a = 解：r (A )=2⟹{a ≠0且 a ≠1|A |=|1a a a 1a a a 1|=0⟹a =− 12.4. 设 η1,η2,η3 为4元非齐次线性方程组 Ax =b 的三个解向量，系数矩阵 A 的秩为 3，η1+η2=(3,4,5,6)T , η3=(1,2,3,4)T ，则该方程组的一般解为解： r (A )=3⟹Ax =0 的基础解系含有 4−r (A )=1 个向量. Ax =b 的一般解 x =x 0+kξ：① x 0 可取 η3=(1,2,3,4)T ；②取 ξ=(η1−η3)+(η2−η3)=η1+η2−2η3=(1,0,−1,−2)T ；于是，Ax =b 的一般解 x =(1,2,3,4)T +k(1,0,−1,−2)T .答案5.若 3 阶方阵 A 与 B 相似，I 为 3 阶单位矩阵，A 的特征值为 1 2,1 3,1 4，则行列式 |B −1−I |=解：A ~ B ⟹B 的特征值也为 1 2, 1 3, 14 ⟹B −1 的特征值为 2,3,4；B −1−I 的特征值为2−1，3−1，4−1，即1，2，3；则 |B −1−I |=1∙2∙3=6. 6. 已知 A =(20131a 405) 可对角化,则 a = . 解：矩阵 A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−20−1−3λ−1−a −40λ−5|=(λ−1)2(λ−6),则 A 的特征值为 λ1=λ2=1, λ3=6；A 可对角化，则对特征值 λ1=λ2=1，齐次线性方程组 (I −A)x =0 的基础解系包含的向量个数为 2=3−r (I −A )⟹r (I −A )=1；特征矩阵 (I −A )=(−10−1−30−a −40−4)，则方法1：特征矩阵(I −A )初等行变换⇒ (101003−a 000)从而 3−a =0⟹a =3；方法2：(I −A ) 的任一2阶子式为 0⟹|−1−1−3−a|=0⟹a =3. 二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题不正确的是( A ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (AB)−1=B −1A −1 D. |kAB |=k n |A ||B |2.设 A 是 3×4 矩阵，B 是 4×3 矩阵，则下列结论正确的是( C ). A. ABx =0必有非零解 B. ABx =0只有零解 C. BAx =0必有非零解 D. BAx =0只有零解解：AB 是 3×3 矩阵，BA 是 4×4 矩阵，r (BA )≤r (A )≤3<4，则 BAx =0 必有非零解.3.设 A ,B 均为 3 阶可逆方阵,若交换 A 的第一行与第三行得方阵 B , 则下列叙述正确的是( B ).A.交换A −1的第一行与第三行得 B −1B.交换A −1的第一列与第三列得 B −1C.交换A −1的第一行与第三行得−B −1D.交换A −1的第一列与第三列得−B −1 解：A r 1↔r 2⇒ B ，则 B =E 13A ，于是 B −1=(E 13A)−1=A −1E 13−1=A −1E 13. 4.设 A =(111111111),B =(40000000),则 A 与 B ( B ). A.合同且相似 B.合同但是不相似 C.不合同但相似 D.不合同不相似解：{A 是3阶实对称矩阵 r (A )=1⟹|A |=0⟹0是 A 的2重特征值，即 λ1=λ2=0；A 的各行元素之和是3，则 3是 A 的特征值，即 λ3=3；则 A 与B 有相同的正惯性指数1，相同的负惯性指数0；则 A 与 B 合同，但是不相似，因为相似矩阵的特征值相同. 5.已知向量组α1,α2,α3是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( D ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1,α1+α2,α1+α2+α3 D. α1−α2,α2−α3,α1−α3解：(α1−α2)+(α2−α3)−(α1−α3)=0.6.设二次型 f (x 1,x 2,x 3)在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中 P =(α1,α2,α3)，若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3)在 x =Qy 下的标准型为( A ).A. 2y 12−y 22+y 32B. 2y 12+y 22−y 32C. 2y 12−y 22−y 32D. 2y 12+y 22+y 32解：P T AP =P −1AP =(21−1)，P =(α1,α2,α3)则有 {Aα1=2α1 Aα2=1α2 Aα3=−α3⟹A(−α3)=(−1)(−α3)；又 Q =(α1,−α3,α2)，于是 Q T AQ = Q −1AQ =(2−11)，则 f (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x =Qy 下的标准形为 2y 12−y 22+y 32. 三、计算题(共 4 题，共 28 分) 1.(6分) 计算 n +1阶行列式的值：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| 解：|−a 1a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n 111⋯11| c 1+c 2+⋯+c n+1|0a 10⋯000−a 2a 2⋯00⋮⋮⋮ ⋮⋮000⋯−a n a n n +111⋯11|=(n +1)∙(−1)n+1+1|a 10⋯00−a 2a 2⋯00⋮⋮ ⋮⋮00⋯−a n a n|=(−1)n (n +1)a 1a 2⋯a n . 2.(8分)设向量组 α1=(−1,1,2,4)T ，α2=(−1,−1,1,5)T ，α3=(0,2,1,−1)T ， α4=(−2,4,5,7)T ，α5=(1,1,−1,−5)T ，求此向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用其极大线性无关组线性表示.解：记矩阵 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=(−1−10−211−12412115−145−17−5)r 4−2r 3r 3−2r 2⇒ r 2+r 1(−1−10−210−222203−3−3−303−3−3−3) r 4−r 3 ⇒ r 2+r 3(−1−10−2101−1−1−103−3−3−300000)r 3−3r 2 ⇒ r 1+r 2(−10−1−3001−1−1−10000000000)r 1∙(−1)⇒ (101301−1−1−10000000000)，①秩{α1,α2,α3,α4,α5}=2；②α1,α2 是 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组； ③对向量 α3,α4,α5，有{α3=α1−α2α4=3α1−α2α5=−α2.3.(8分)设矩阵 A =(112011−1−10)，矩阵 X 满足 A ∗X =A −1+2X ，其中 A ∗是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X .解：A ∗X =A −1+2X ⟹(A ∗−2I )X =A −1⟹A (A ∗−2I )X =AA −1=I ⟹(|A |I −2A )X =I ⟹X =(|A |I −2A)−1；又 |A |=2，则 |A |I −2A =(0−2−400−2222)=2(0−1−200−1111)=2B ，这里 B =(0−1−200−1111)；从而 X =(2B)−1= 1 2B −1由 (B,I )=(0−1−200−1111 1000 1 0001) 初等行变换⇒ (1000 10001 1−11−1 200−10)=(I,B −1)，得 B −1=(1−11−1 200−10)；于是 X = 12(1−11−1 200−10).4.(6分)已知 R 2的两组基α1=(1,−1)T ，α2=(1,0)T ； β1=(1,2)T ，β2=(3,5)T . (1)求从基 α1,α2到基 β1,β2的过渡矩阵 A ；(2)已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 (1,−1)T ，求 γ 在基 β1,β2下的坐标. 解：(1)记矩阵 B 1=(α1,α2)=(1−1 10)，B 2=(β1,β2)=(12 35)，因为 (β1,β2)=(α1,α2)A ，即 B 1A =B 2，解此矩阵方程(B 1,B 2)=(1−1 10 12 35)初等行变换⇒ (10 01 −23 −58)=(I,A)则从基 α1,α2到基 β1, β2的过渡矩阵 A =(−23 −58)(2)两种方法：已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 γB 1=(1,−1)T ，设 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2，方法1：因为 γ=B 1γB 1=(1−1 10)(1−1)=(0−1)；又有 γ=B 2γB 2，则求解该方程组(B2,γ)=(1235|0−1)初等行变换⇒(11|−31),则 γ 在基 B2下的坐标向量 γB2=(−31)；方法2：因为AγB2=γB1，求解该非齐次线性方程组(A,γB1)=(−23−58|1−1)初等行变换⇒(11|−31)=(I,γB2)则 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB2=(−31).四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,⋯,αp是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 β 满足 Aβ≠0，证明：向量组 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.证：设 kβ+k1( β+α1)+k2(β+α2)+⋯+k p(β+αp)=0，整理得 (k+k1+⋯+k p)β+k1α1+k2α2+⋯+k pαp=0，(*)等式两边左乘矩阵 A 得：(k+k1+⋯+k p)Aβ+k1Aα1+k2Aα2+⋯+k p Aαp=0，已知 Aαi=0，i=1,⋯,p，则有 (k+k1+⋯+k p)Aβ=0，而 Aβ≠0，所以有 k+k1+⋯+k p=0，则(*)式变为 k1α1+k2α2+⋯+k pαp=0，因为 α1,α2,⋯,αp是基础解系，则 α1,α2,⋯,αp线性无关，于是 k1=k2=⋯=k p=0，从而 k=0；即 β,β+α1,β+α2,⋯,β+αp线性无关.五、解方程组（共1题，14分）讨论 a 取何值时，线性方程组 {x1+x2+ax3=1 x1+ax2+x3=1ax1+x2+x3=−2无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时求出方程组的一般解.解：系数矩阵 A =(11a 1a 1a 11)，b =(11−2)；又 |A |=|11a1a 1a 11|=−(a −1)2(a +2)(1)当 |A |≠0，即当 a ≠1 且 a ≠−2 时，方程组有唯一解；(2)当 a =1 时，增广矩阵(A,b )=(111111111|11−2)初等行变换⇒ (111000000|10−3)方程组出现矛盾方程，则原方程组无解；(3)当 a =−2 时，增广矩阵(A,b )=(11−21−21−211|11−2)初等行变换⇒ (10−101−1000|100)=(U,d)取 x 3 为自由未知量，①令 x 3=0，代入 Ux =d ，得原方程组的一个特解 x 0=(1,0,0)T ； ②令 x 3=1，代入 Ux =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(1,1,1)T ；则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(100)+k (111)，k 任意；综上，{当 a ≠1 且 a ≠−2 时，方程组有唯一解；当 a =1 时，方程组无解；当 a =−2 时，方程组有无穷多解.六、二次型（共1题，14分）设二次型 f (x 1,x 2,x 3)=5x 12+5x 22+cx 32+2x 1x 2+4x 1x 3−4x 2x 3，已知它对应矩阵的所有特征值之和为 12，(1)求 c 的值；(2)正交变换法将此二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵Q ；(3)写出它的规范型；(4)分析此二次型是否是正定二次型.解：二次型对应的矩阵为 A =(51215−22−2c)， (1)A 的所有特征值之和为 12，即 5+5+c =12，得 c =2；从而 A =(51215−22−22).(2)A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−5−1−2−1λ−52−22λ−2|=λ(λ−6)2，则 A 的特征值为 λ1=λ2=6，λ3=0；①对于 λ1=λ2=6，由(λ1I −A)x =0，即 (1−1−2−112−224)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(1,1,0)Tξ2=(2,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1=(1,−1,1)T ， 2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(1√2,1√2,0)T ； η2=1‖β2‖β2=(1√3,−1√31√3)T； ②对于特征值 λ3=0，由(λ3I −A)x =0⟺Ax =0，即 (51215−22−22)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(−1,1,2)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(−1√6,1√6,2√6)T；③记矩阵 Q=(η1,η2,η3)=(√2√3√6√2√3√6√3√6)，则 Q 为正交阵，且使得 Q T AQ=Q−1AQ=Λ=(66)④令 x=(x1,x2,x3)T，y=(y1,y2,y3)T，做正交变换 x=Qy，原二次型就化成标准形 x T Ax=y T(Q T AQ)y=6y12+6y22.(3)二次型的正惯性指数为2，负惯性指数为0；则二次型的规范形为：z12+z22.(4)二次型 f(x1,x2,x3)的正惯性指数为2，不是正定二次型.。

中南大学《线性代数》2021-2022学年第一学期期末试卷

中南大学期末考试试卷2021-2022-1《线性代数》课程32学时2学分考试形式：闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）⎛-10⎫⎪1、设f(x)=x-3，矩阵A=4⎪，则f(A)= .3⎝⎭22、设A,B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P，使成立，则称A与B相似．3、n元非齐次线性方程组Am⨯nx=b有唯一解的充分必要条件是.22 +3x3-2x1x2+6x1x3-6x2x3，4、已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x2则二次型f对应的矩阵A=.5、设4阶方阵A满足：A<0,3E+A=0,AA T=2E(其中E是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵A*必有一个特征值为 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A的伴随矩阵为A*，且A的行列式A=3，则A*=（）.（A）81.（B）27.（C）12.（D）9.2、设A、B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，并且A、B都有n个线性无关的特征向量，则（）。

（A）A与B相似.（B）A=B.（C）A≠B，但|A-B|=0.（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|.3、设n阶方阵A为正定矩阵，下面结论不正确的是（（A）A可逆.（C）|A|>0.）.（B）A-1也是正定矩阵.（D）A的所有元素全为正.4、若n阶实方阵A=A2，E为n阶单位阵，则（）.（A）R(A)+R(A-E)>n.（B）R(A)+R(A-E)<n.（C）R(A)+R(A-E)=n.（D）无法比较R(A)+R(A-E)与n的大小.⎛0⎫⎛0⎫⎛1⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪5、设α1= 0⎪，α2= 1⎪，α3= -1⎪，α4= 1⎪，其中c 1,c 2,c 3,c 4为任意常数， c ⎪ c ⎪ c ⎪ c ⎪⎝1⎭⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭则下列向量组线性相关的为（（A ）α1，α2，α3.（C ）α1，α3，α4.三（本题满分10分））.（B ）α1，α2，α4.（D ）α2，α3，α4.x计算n （n ≥2）阶行列式D n =a x aa a x，D n的主对角线上的元素都为a ax ，其余位置元素都为a ，且x ≠a .四（本题满分10分）设3阶矩阵A ,B 满足关系：A -1BA =6A +BA ,⎛12 且A = 00⎝0140⎫0⎪⎪0⎪,求矩阵B .⎪⎪1⎪⎪7⎭五（本题满分10分）设方阵A 满足A 2-A -2E =0(其中E 是单位矩阵)，求A -1,(A +2E )-1.六（本题满分12分）⎛1⎫⎛2⎫⎛1⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪4-1-5-6已知向量组A ：α1= ⎪，α2= ⎪，α3= ⎪，α4= ⎪，1⎪ -3⎪ -4⎪ -7⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪21-1⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝0⎭（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）⎡1α设矩阵A =⎢⎢α1⎢⎣1β1⎤⎡000⎤⎢010⎥相似，β⎥B =与矩阵⎥⎢⎥⎢1⎥⎦⎣002⎥⎦（1）求α,β；（2）求正交矩阵P ,使P -1AP =B .八（本题满分14分）设有线性方程组为⎧x 1+a 1x 2+a 12x 3=a 13⎪23⎪x 1+a 2x 2+a 2x 3=a 2⎨23x +a x +a x =a 3⎪1323323⎪⎩x 1+a 4x 2+a 4x 3=a 4（1）证明：若a 1，a 2，a 3，a 4两两不等，则此方程组无解.（2）设a 1=a 3=k ，a 2=a 4=-k （k ≠0），且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β1=(-1, 1, 1)T ，β2=(1, 1,-1)T ，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）⎛5-13⎫⎛-2 0⎫4 ⎪-1-15-31、；2、；3、；4、；5、P AP =B R (A )=R (A ,b )=n ⎪ ⎪38 6⎝⎭ 3-33⎪⎝⎭二、选择题（每小题3分，共15分） BADCC 三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）x +(n -1)a 解：后面n -1列都加到第1列，得D n=a xa a xx +(n -1)ax +(n -1)a a1c 1÷[x +(n -1)a ]a x a 0a a x=(x -a )n -1[x +(n -1)a ].===[x +(n -1)a ]11 1[x +(n -1)a ]c ====+(-a )cc n +(-a )c n32c 2+(-a )c 11 1x -ax -a四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）-1-1⎡⎛2⎫⎛1⎫⎤⎛1⎫⎛6⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪.解：B =6(A -1-E )-1=6⎢ 4-1=63=2⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢7⎭⎝1⎭⎥6⎭1⎪⎝⎝⎭⎣⎝⎦五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）A -E A -E解：A 2-A -2E =0⇒A .=E ⇒A -1=22(A -E )23E -AA -A -2E =0⇒A +2E =A ⇒(A +2E )=(A )=(A ）=或4422-12-1-12六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）3⎫⎛121⎪4-1-5-6⎪→解：1-3-4-7⎪ ⎪⎝21-10⎭⎛1 0→ 0 ⎝00-1-1⎫⎪112⎪，⎪000⎪000⎭R (A )=2,α1,α2为所求的一个最大线性无关组，且α3=-α1+α2,α4=-α1+2α2.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由A ,B 相似知，A ,B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，⎧0⋅E -A =0⎪故得A 的特征值为λ1=0,λ2=1,λ3=2，从而有⎨，1⋅E -A =0⎪⎩由此解得α=0，β=0.⎛1⎫-⎪⎛-1⎫2⎪ ⎪（2）对于λ1=0，解(0⋅E -A )X =0，得特征向量 0⎪，单位化得：p 1= 0⎪；1⎪ 1⎪⎝⎭ ⎪2⎝⎭⎛0⎫⎪对于λ2=1，解(E -A )X =0，得特征向量为p 1= 1⎪；0⎪⎝⎭⎛ ⎛1⎫⎪0λ=2对于3，解(2E -A )X =0，得特征向量为 ⎪，单位化得：p 1=1⎪⎝⎭⎝⎛1 -2令P =(p 1,p 2,p 3)= 01 ⎝20101⎫⎪2⎪0⎪，则P 为正交阵，且使P -1AP =B .1⎪⎪2⎭1⎫⎪2⎪0⎪1⎪⎪2⎭八、（本题满分14分，见教材P87例3.13）解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：11|B |=11a 1a 2a 3a4a 122a 22a 32a 4a 133a 2=∏(a j -a i )3a 31≤i <j ≤43a 4由于a 1，知|B |≠0，从而R (B )=4，但系数矩阵A 的秩R (A )≤3，a 2，a 3，a 4两两不等，故R (A )≠R (B )，因此方程组无解.（2）a 1=a 3=k ，a 2=a 4=-k （k ≠0）时，方程组变为⎧x 1+kx 2+k 2x 3=k 3⎪23⎧x 1+kx 2+k 2x 3=k 3⎪x 1-kx 2+k x 3=-k 即⎨⎨2323x +kx +k x =k x -kx +k x =-k 23⎩123⎪123⎪⎩x 1-kx 2+k x 3=-k 因为1k=-2k ≠0，故R (A )=R (B )=2，所以方程组有解，且对应的齐次方1-k程组的基础解系含3-2=1个解向量，又β1，β2是原非齐次方程组的两个解，故ξ=β2-β1=(2, 0,-2)T 是对应齐次方程组的解；由于ξ≠0，故ξ是它的基础解系。

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案

西南财经大学200 － 200 学年第学期专业科级（年级学期）学号评定成绩（分）学生姓名担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述一 — 四题全作计100分，两小时完卷）考试日期：试题全文：一、填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。

3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。

4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。

5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。

二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（）（A)、有无穷解（B)、有唯一解（C)、无解（D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（）（A)、个数唯一（B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（）。

(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（）。

（A)、有唯一解（B ）、有无穷解 (C)、有解（D)、可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。

（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（）。

（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（）（A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵（D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零（D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （）（A)、正定（B)、半正定（C ）、负定（D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。

线性代数考试题及答案3

2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明:1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。

2、闭卷考试。

评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。

(每小题3分,共24分) 【】1.行列式 (A ） (B ） (C ） (D) 【】2.设为阶方阵，数,，则（A) （B ） (C) (D) 【】3.已知为阶方阵，则下列式子一定正确的是（A ）（B) （C ）（D) 【】4。

设为阶方阵， ,则（A ）（B) （C ） (D) 【】5。

设矩阵与等价，则有 (A ） (B) (C ）（D ）不能确定和的大小【】6。

设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（A ） (B ）（C ） (D ）【】7。

向量组线性相关的充分必要条件是 (A ）中至少有一个零向量 (B）中至少有两个向量成比例（C) 中每个向量都能由其余个向量线性表示 (D ）中至少有一个向量可由其余个向量线性表示【】8. 阶方阵与对角阵相似的充分必要条件是（A) (B)有个互不相同的特征值（C ）有个线性无关的特征向量 (D)一定是对称阵二、填空题。

（每小题3分，共15分) 1。

已知阶行列式的第行元素分别为，它们的余子式分别为,则。

2.设矩阵方程，则 .__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………(密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………3.设是非齐次线性方程组的一个特解，为对应齐次线性方程组的基础解系，则非齐次线性方程组的通解为 .4。

设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的最大无关组的秩 .5.设是方阵的特征值，则是的特征值三、计算题（每小题8分,共40分). 1．计算行列式. 2.已知矩阵，求其逆矩阵。

《线性代数》2019-2020学年第二学期期末考试B卷

河海大学2019–2020学年第二学期期末考试《线性代数》试题（B）卷考核方式：闭卷课程性质：必修课适用对象：2018级、2019级相关专业题号一二三四总分复核人满分102016得分一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1、设1D =3512，2D =345510200，则D =12D D O O=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题2分，共20分）1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（）（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2；2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（）（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=（）54100（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（）（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（）（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，mα线性无关；（B ）向量组1,α2α，，mα若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案线性代数期末考试试题及答案线性代数是一门重要的数学课程，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。

期末考试是对学生对于线性代数知识的综合考察，下面将给出一些线性代数期末考试试题及答案，供大家参考。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A是一个3×3矩阵，若A的行列式值为0，则A的秩为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 设A是一个3×3矩阵，若A的特征值为1，2，3，则A的特征向量个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D3. 设A是一个3×3矩阵，若A的秩为2，则A的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性无关，则A的列向量组是否线性无关？A. 是B. 否答案：A5. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性相关，则A的列向量组是否线性相关？A. 是B. 否答案：A6. 设A是一个3×3矩阵，若A的秩为2，则A的行空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C7. 设A是一个2×2矩阵，若A的特征值为1，2，则A的特征向量个数为：A. 0B. 1C. 2答案：C8. 设A是一个2×2矩阵，若A的特征值为1，1，则A的特征向量个数为：A. 0B. 1C. 2答案：B9. 设A是一个2×2矩阵，若A的秩为1，则A的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2答案：B10. 设A是一个2×2矩阵，若A的秩为2，则A的行空间的维数为：A. 0B. 1C. 2答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性无关，则A的秩为____。

答案：32. 设A是一个3×3矩阵，若A的列向量组线性无关，则A的秩为____。

答案：33. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性相关，则A的秩为____。

线性代数期末考试试卷合集(共十一套)

线性代数期末考试试卷合集（共十一套）目录线性代数期末试卷及参考答案（第一套） .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案（第二套） .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷（第一套） ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷（第二套） ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷（第三套） ........................................................................................ 30 线性代数期末试卷（A 卷） .................................................................................................. 36 线性代数期末试卷（B 卷） .................................................................................................. 41 线性代数期末试卷（C 卷） .................................................................................................. 46 线性代数期末试卷（D 卷） .................................................................................................. 51 线性代数期末试卷（E 卷） .................................................................................................. 57 线性代数期末试卷（F 卷） (62)线性代数期末试卷及参考答案（第一套）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =，则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ； (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11； (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ； (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .（21k k ,为任意常数） 2、设n 阶方阵A ，B 满足E AB =，则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ； (B )E B A =+ ； (C )1=A 或1=B ； (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2； (B ) 3； (C ) 4； (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示，则正确的是 ( )(A )当s r >时，向量组A 必线性相关； (B ) 当s r <时，向量组A 必线性相关； (C )当s r >时，向量组B 必线性相关； (D ) 当s r <时，向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵，0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解，则b x A =有唯一解；(B ) 若b x A =有无穷多解，则0=x A 有非零解；(C ) 若n m =，则b x A=有唯一解；(D ) 若A 的秩m A R <)(，则b x A=有无穷多解.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ，当c b a ,,满足时，A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3，则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵，且秩2=)(A R ，则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1，则行列式1117110111------z y x = ． 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关，则常数x＝ .三、计算题（本题共6小题，共50分）1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、（8分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、（8分）设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、（10分）设向量组A ：.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x ，问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设矩阵B A ,为3阶方阵，且42==B A ,，则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，且O A ≠，则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解，则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862，证明：(1)E A 3+是可逆矩阵，并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵．2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解，且,)(3-=n A R证明：030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系．参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠；2.91； 3. 3； 4. 23- ； 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分)，由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=--0201b a ， ⎩⎨⎧=-=∴21b a ，一个最高阶非零子式3221-． 2．解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E －2A ) -1 A |A |=12(|A |E －2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101， B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解：aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+＝)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ，此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ，此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962，即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆，且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知，E A E A E A TT T 333+=+=+)()(，故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(，所以E A 3+是正交矩阵．2．证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解，030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解；又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个；下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案（第二套）一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ，则当k ＝时，.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322，则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ，则 =x ． 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ，多项式x x x f 2)(2+=，则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关，则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A ，B 是任意n 阶方阵(2≥n )，则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+； (B ) 22B A B A B A -=-⋅+； (C ) B A B A ⋅=； (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中，①A 可逆； ②A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数）； ③A 的列向量组线性无关； ④ O A ≠ ；可使推理“ 若O AB =，则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个； (B ) 2个； (C ) 3个； (D ) 4个.3、向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ ，，，21线性表示，则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ，，，21线性无关；(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性相关；(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性无关；(D ) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ ，，，21等价. 4、设A ，B 均为3阶方阵, 3)(=A R ，2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1； (B ) 2； (C ) 3； (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵，r A R =)(，则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解； (B ) 当n m r == 时有唯一解；(C ) 当n m = 时有唯一解； (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题（本题共6小题，共54分）1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、（9分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、（8分）设3阶方阵C B A ，，满足方程 A B A C =-)2(，试求矩阵A ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、（10分）设向量组A ：.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、（12分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202，问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1、若向量321,,ααα线性无关，求证 2132αα +，324αα +，135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量，证明：(1) A A =2； (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-； 2. E A +2； 3. 3±； 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ； 5. 6 ； 6. n b A R A R <=),()(； 7. -1 ，-3 ，0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分)，由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=-03039λλ，3=∴λ (2分)，一个最高阶非零子式5221 ．2．解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系：,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系：,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ； ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 （初等变换步骤不一，请酌情给分）所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解：)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234＝xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a ， (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R ，此时方程组有唯一解； (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ，此时方程组无解；(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=，022 可逆，又321,,ααα线性无关，所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR ，即 2132αα +，324αα +，135αα+ 也线性无关．2．证明: (1) η为单位向量，1=∴ηηT ，A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知，A A =2，即 O E A A =-)(，3)()(≤-+∴E A R A R ，η为单位向量，O E A T ≠-=-∴ηη ， 1)(≥-E A R ，从而32)(<≤A R ，所以0=A ，故A 不可逆.另一证法： 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ，的非零解，为线性方程组0=∴ηηA所以0=A ，故A 不可逆.南京工程学院期末试卷（第一套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷（第二套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院期末试卷（第三套）共6 页第1页课程所属部门：数理部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科线性代数期末试卷（A 卷）一、（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设B A ,均为n 阶方阵，则下面各式正确的是----------------------------------（ C ） (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) 若02=A ，则0=A (B) 若A A =2，则0=A 或E A = (C) 若E A =，则E A n = (D) 若E A =2，则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号，则--------------------------------------------------（ D ） (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321，则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------（ B ） (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零，则该方程组------------------------------（ D ） (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6．已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的，则t =-----（ B ）(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵，则下列说法中正确的是--------------------------------------（ B ） (A) 若A 可对角化，则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵，则A 可对角化 (C) 若A 可对角化，则A 必可逆 (D) 若A 可逆，则A 可对角化二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。

中国政法大学《线性代数》2021-2022学年第1学期期末试卷A卷

中国政法大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1.若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1.若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3.向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（）5.若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1.设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （）。

①n2②12-n ③12+n ④42.n 维向量组s ααα，，， 21（3≤s ≤n）线性无关的充要条件是（）。

①s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关②s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④s ααα，，， 21中不含零向量3.下列命题中正确的是()。

①任意n 个1+n 维向量线性相关②任意n 个1+n 维向量线性无关③任意1+n 个n 维向量线性相关④任意1+n 个n 维向量线性无关4.设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是()。

江西应用科技学院《线性代数》2023-2024第一学期期末试卷(3)

江西应用科技学院2023-2024《线性代数》第一学期期末试卷一、选择题 (每题2分，共30分)1. 设 A 为 n × n 矩阵，则下列哪一项关于 A 的描述是正确的？A. A 的特征值都为 1B. A 的逆矩阵存在当且仅当 A 是对角矩阵C. A 可逆当且仅当其行列式不为零D. A 的转置矩阵不影响其行列式2. 对于 3 × 3 矩阵 A，如果 rank(A) = 2，则下列哪一项是正确的？A. det(A) = 0B. det(A) 为非零常数C. A 是满秩矩阵D. A 必定是对称矩阵3. 设 A 为 2 × 2 矩阵，若 A = [[1, 2], [3, 4]]，则 tr(A) 是：A. 3B. 7C. 5D. 84. 对于 n × n 矩阵 A，如果 A 是对称矩阵，则：A. A 的特征值必定是实数B. A 的特征值必定是虚数C. A 的特征向量必定是线性无关的D. A 的行列式必定不为零5. 设 v = [1, 2] 和 w = [3, 4]，则 v · w 的值为：A. 11B. 10C. 7D. 146. 设 v = [x, y] 和 w = [2, 3]，若 v · w = 0，则下列哪个条件是正确的？A. x = 2 和 y = 3B. x = -3 和 y = 2C. x 和 y 的任意值D. x = 3 和 y = -27. 对于 m × n 矩阵 A，若 m = 4 和 n = 5，则：A. A 的秩最多为 5B. A 的秩最多为 4C. A 的秩最小为 5D. A 的秩最小为 48. 对于一个 3 × 3 矩阵 A，若 tr(A) = 0，则：A. A 是零矩阵B. A 是奇异矩阵C. A 的行列式为零D. A 的特征值之和为零9. 设 A = [[0, 1], [1, 0]]，则 A^2 为：A. [[0, 1], [1, 0]]B. [[1, 0], [0, 1]]C. [[1, 1], [1, 1]]D. [[0, 0], [0, 0]]10. 对于 n × n 矩阵 A，如果 A 的秩是 n，则：A. A 一定是对称矩阵B. A 一定是可逆矩阵C. A 的特征值必定为零D. A 的逆矩阵不一定存在11. 对于任意的 2 × 2 矩阵 A，其行列式可以通过下列哪种方式计算？A. det(A) = a11*a22 - a12*a21B. det(A) = a11*a12 + a21*a22C. det(A) = a11 + a22D. det(A) = a12 - a2112. 对于 m × n 矩阵 A，其转置矩阵 A^T 的秩：A. 与 A 的秩相同B. 是 A 秩的两倍C. 是 A 秩的一半D. 与 A 的行列数相关13. 设 A 为 3 × 3 对角矩阵，若对角元素分别为 1, 2, 3，则其行列式为：A. 6B. 1C. 0D. 314. 设 v = [4, -1]，其模长为：A. 5B. 4C. 3D. 715. 设 A 为 2 × 2 矩阵，若 A = [[2, 1], [1, 2]]，则 A 的特征值为：A. 1 和 3B. 2 和 1C. 3 和 1D. 4 和 -1二、填空题 (每题2分，共10分)1. 设 A 为 3 × 3 矩阵，则rank(A) ≤ ____。

常州大学《线性代数》2021-2022第一学期期末试卷

常州大学《线性代数》2021-2022第一学期期末试卷A考生姓名：学号：专业：班级：一、填空题（每小题3分，共15分）1、设D 为5阶行式，5ij D a =，则其展开式中项1251442335a a a a a 的符号为___ _____。

2、二次型21231213233(,,)4223f x x x x x x x x x x =--+的正惯性指数为_________。

3、 222221x y xy +-=在3R 中表示的图形是____ __。

4、齐次方程组12452345453022030x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+++=⎨⎪+=⎩的解空间的维数为__________________。

5、设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是________________。

二、选择题（每小题3分，共15分）1、设A ，B 为同阶可逆矩阵，则［］成立。

（A ）AB BA = （B ）存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -= （C ）存在可逆矩阵C ，使T C AC B = （D ）存在可逆矩阵P ，Q ，使PAQ B = 2、设n 阶矩阵0111110111110111110111110A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则A =[ ].(A) (1)(1)nn -- （B ）1(1)(1)n n --- （C ）1(1)n n -- （D ）1n -3、设有直线126158:,:23121x y x y z l l y z -=⎧--+==⎨+=-⎩，则1l 与2l 的夹角为［］。

（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π4、设A ，B 均为n 阶矩阵，齐次线性方程组0Ax =与0Bx =有相同的基础解系12,,,n r ααα-，在下列齐次线性方程组中，基础解系为12,,,n r ααα-的方程组是［］。

（A ）()0A B x += （B ）()0AB x = （C ）()0BA x = （D ）0A x B ⎛⎫=⎪⎝⎭5、与矩阵111-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭合同的矩阵是［］。