高中数学必修2：直线与圆中的动点问题专题练习
必修二直线与圆练习题
必修二直线与圆练习题直线与圆是数学中的基础概念和重要内容之一。
在必修二的学习中，我们需要多做一些练习题来加强对直线和圆的理解和应用能力。
下面我将给出一些关于直线与圆的练习题，帮助你更好地掌握这一知识点。
1. 设直线 l 过点 O(2,3)，斜率为 3/4。
求直线 l 的方程并画出直线 l。
解析：由题意可得直线 l 的方程为 y-3=(3/4)(x-2)，即 4y-12=3x-6，整理得 3x-4y=-6。
2. 已知圆心为 O(-1,2)，过点 A(3,-4) 的直径为 AB。
求圆的方程并画出圆。
解析：由圆的定义可知，圆的方程满足 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b) 为圆心坐标，r 为半径。
根据题意，圆心坐标可知 a=-1，b=2。
半径 r=AB 的长度的一半，即 r=sqrt[(3-(-1))^2+(-4-2)^2]=sqrt[16+36]=sqrt(52)=2sqrt(13)。
所以圆的方程为 (x+1)^2+(y-2)^2=52，并画出该圆。
3. 直线 l1 过点 A(1,2)，斜率为 2/3；直线 l2 过点 B(-3,4)，斜率为 -1/2。
求直线 l1 和直线 l2 的交点坐标。
解析：根据直线的斜率公式可得直线 l1 的方程为 y-2=(2/3)(x-1)，即 3y-6=2x-2，整理得 2x-3y=4。
直线 l2 的方程为 y-4=(-1/2)(x+3)，即2y-8=-x-3，整理得 x+2y=5。
将方程组 2x-3y=4 和 x+2y=5 联立解方程组，得交点坐标为 x=2，y=1，即交点为 (2,1)。
4. 设直线 l 过点 A(3,5)，与圆 C：(x-2)^2+(y-1)^2=25 相切。
求直线l 的方程。
解析：直线与圆相切时，直线的斜率等于圆心到直线的距离除以该点处切线的斜率的相反数。
我们可以先求出圆心到直线的距离，然后再求直线的斜率，最后得出直线的方程。
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案(可编辑修改word版)
5一、 选择题（每题 3 分，共 54 分）1、在直角坐标系中，直线 x +3y - 3 = 0 的倾斜角是（）5 2 A ．B ．C ．D ．6 3632、若圆 C 与圆(x + 2)2+ ( y - 1)2 = 1 关于原点对称，则圆 C 的方程是（）A ． (x - 2)2+ ( y + 1)2 = 1 B ． (x - 2)2+ ( y - 1)2 = 1C ． (x - 1)2+ ( y + 2)2 = 1D ． (x + 1)2+ ( y - 2)2 = 13、直线 ax + by + c = 0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a 、b 、c 应满足（ ）A ． ab > 0, b c < 0B ． ab > 0, b c < 0C ． ab > 0, b c > 0D ． ab < 0, b c < 04、已知直线l 1 : y = 1 x + 2 ，直线l 2 21 过点 P (-2,1) ，且l 1 3到l 2的夹角为 45 ，则直线l 2的方程是（ ） A. y = x - 1 B. y = x + 3 5C ． y = -3x + 7D ． y = 3x + 75、不等式 2x - y - 6 > 0 表示的平面区域在直线 2x - y - 6 = 0 的（ ）A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．左下方6、直线3x - 4 y - 9 = 0 与圆 x 2+ y 2= 4 的位置关系是（）A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7、已知直线 ax + by + c = 0(abc ≠ 0) 与圆 x 2+ y 2= 1相切，则三条边长分别为 a 、b 、c 的三角形（）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8、过两点(-1,1)和(3,9) 的直线在 x 轴上的截距是() A.- 32B.- 2 32 C.D ．259、点(0,5) 到直线 y = 2x 的距离为()5 3 A ．B ．C ．D ．22210、下列命题中，正确的是()A ．点(0,0) 在区域 x + y ≥ 0 内B ．点(0,0) 在区域 x + y + 1 < 0 内C ．点(1,0) 在区域 y > 2x 内D ．点(0,1) 在区域 x - y + 1 < 0 内二、填空题（每题 3 分，共 15 分）19、以点 (1,3)和(5,-1) 为端点的线段的中垂线的方程是5⎧b + 3 =a + 3b 4 20、过点 (3,4)且与直线3x - y + 2 = 0 平行的直线的方程是21、直线3x - 2 y + 6 = 0在x 、y 轴上的截距分别为k 22、三点（2，- 3），(4,3)及(5, ) 在同一条直线上，则 k 的值等于223、若方程 x 2+ y 2- 2x + 4 y + 1 + a = 0 表示的曲线是一个圆，则 a 的取值范围是三、解答题（第 24、25 两题每题 7 分，第 26 题 8 分，第 27 题 9 分，共 31 分） 24、若圆经过点 A (2,0), B (4,0), C (0,2) ，求这个圆的方程。
高一必修二直线与圆大题练习
20. 已知圆??：??2+(??-2)2=1，??是??轴上的动点，????,????分别切圆??于??,??两点.（1）若|????|=4√23，求|????|及直线????的方程；（2）求证：直线????恒过定点.【答案】（Ⅰ）|????|=3,直线????的方程为：2??+√5??-2√5=0或2??-√5??+2√5=0;（Ⅱ）证明过程见解析.【解析】（Ⅰ）设直线????∩????=??，则|????|=2√23,又|????|=1，????⊥????,????⊥????，...∴|????|=√1-(2√23)2=13，|????|2=|????||????|，∴|????|=3，设??(??,0)，而点??(0,2)，由√??2+22=3得??=±√5，则??(√5,0)或(-√5,0)，从而直线????的方程为：2??+√5??-2√5=0或2??-√5??+2√5=0. （Ⅱ）证明：设点??(??,0)，由几何性质可以知道，??,??在以????为直径的圆上，此圆的方程为??2+??2-????-2??=0，????为两圆的公共弦，两圆方程相减得????-2??+3=0即????:??=??2??+32过定点(0，32). 考点：直线与圆；直线方程18. 已知点??(2,-1).（1）求过点??且与原点距离为2的直线方程；（2）求过点??且与原点距离最大的直线方程.【答案】（Ⅰ）直线方程为??=2或3??-4??-10=0;（Ⅱ）直线方程为2??-??-5=0. 【解析】（Ⅰ）当直线斜率不存在时，方程??=2适合题意．当直线斜率存在时，设直线方程为??+1=??(??-2)，即????-??-2??-1=0，则|2??+1|√??2+1=2，解得??=34．∴直线方程为3??-4??-10=0．∴所求直线方程为??=2或3??-4??-10=0．（Ⅱ）过点??且与原点距离最大的直线方程应为过点??且与????垂直的直线，??????=-12，则所求直线的斜率为2，...∴直线方程为2??-??-5=0．考点：直线方程；点到直线的距离；两直线垂直17．如图，在平行四边形OABC中，过点C（1，3）做CD⊥AB，垂足为点D，试求CD所在直线的一般式方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】根据原点坐标和已知的C点坐标，求出直线OC的斜率；根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答】解：因为点O（0，0），点C（1，3），所以OC所在直线的斜率为．，在平行四边形OABC中，AB∥OC，因为CD⊥AB，所以CD⊥OC．所以CD所在直线的斜率为．所以CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．17．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）（△）求BC边的中线AD所在的直线方程；（△）求AC边的高BH所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的两点式方程．【专题】直线与圆．【分析】（△）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；（△）求出AC的斜率，由垂直关系求得BH的斜率，再由直线方程的点斜式求得AC边的高BH所在的直线方程．【解答】解：（△）BC中点D的坐标为（2，0），△直线AD方程为：，3x+y﹣6=0；（△）△，BH△AC，△，△直线BH方程为：，即x+2y﹣7=0．【点评】本题考查了直线方程的求法，考查了中点坐标公式的应用，是基础题．。
高中数学必修二直线与圆的综合问题精选
直线与圆一．解答题（共10小题）1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆C的方程；（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．3．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：•=6||（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．4．已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，求△QMN面积的最大值．5．已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．7．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．8．已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．9．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（1）求线段OQ的长；（2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．直线与圆参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用截得的弦长为2求得半径的值，可得圆C的方程；（2）设动点M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣9=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，即可得出结论．【解答】解：（1）圆心C到直线l的距离为=，∵截得的弦长为2，∴半径为2，∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4；（2）设动点M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣21=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，∴k=1，直线的方程为x+y﹣4=0．【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题．2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆C的方程；（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆C的方程；（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合△CDE的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l与圆C交于A，B两点．∵直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦长等于该圆的半径，∴△CAB为正三角形，∴三角形的高等于边长的，∴圆心C到直线l的距离等于边长的．∵直线方程为x﹣y+2=0，圆心的坐标为（3，2），∴圆心到直线的距离d==，∴r=，∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=6．（2）设圆心C到直线m的距离为h，H为DE的中点，连结CD，CH，CE．在△CDE中，∵DE=，∴=∴，当且仅当h2=6﹣h2，即h2=3，解得h=时，△CDE的面积最大．∵CH=，∴|n+1|=，∴n=，∴存在n的值，使得△CDE的面积最大值为3，此时直线m的方程为y=x．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键．3．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：•=6||（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点P的轨迹方程；（Ⅱ）分类讨论，利用=λ1，=λ2，结合韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则=（﹣3，0），=（x﹣4，y），=（1﹣x，﹣y）．∵•=6||，∴﹣3×（x﹣4）+0×y=6，化简得=1为所求点P的轨迹方程.4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1（m≠0），则H（0，﹣）．从而=（x1，y1+），=（1﹣x1，﹣y1），由=λ1得（x1，y1+）=λ1（1﹣x1，﹣y1），∴﹣λ1=1+同理由得﹣λ2=1+，∴﹣（λ1+λ2）=2+由直线与椭圆方程联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣代入得∴（λ1+λ2）=2+=，∴λ1+λ2=﹣②当直线l与x轴重合时，A（﹣2，0），B（2，0），H（0，0），λ1=﹣．λ2=﹣2，∴λ1+λ2=﹣11分综上，λ1+λ2为定值﹣.12分．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．4．已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，求△QMN面积的最大值．【分析】（I）由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6，从而得到圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程．（II）由MN∥OQ，知△QMN的面积=△OMN的面积，由此能求出△QMN的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设圆P的半径为R，圆心P的坐标为（x，y），由于动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，所以动圆P与圆F1只能内切．…（1分）所以|PF1|+|PF2|=7﹣R+R﹣1=6＞|F1F2|=4．…（3分）所以圆心圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，b2=a2﹣c2=5．所以曲线C的方程为=1．…（4分）（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线MN的方程为x=my+2，由可得：（5m2+9）y2+20my﹣25=0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣．…（5分）所以|MN|==…（7分）因为MN∥OQ，∴△QMN的面积=△OMN的面积，∵O到直线MN：x=my+2的距离d=．…（9分）所以△QMN的面积．…（10分）令=t，则m2=t2﹣1（t≥0），S==．设，则．因为t≥1，所以．所以，在[1，+∞）上单调递增．所以当t=1时，f（t）取得最小值，其值为9．…（11分）所以△QMN的面积的最大值为．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．5．已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可知丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2，则P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，则a=4，c=，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公式，当且仅当，解得t=±2，代入即可求得，定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，由N：及，知点M在圆N 内，则有，从而丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2，∴P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C的方程为：（a＞b＞0），则2a=4，a=4，c=，b2=a2﹣c2=1故曲线C的轨迹方程为；（Ⅱ）依题意可设直线AB的方程为x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2）．，由，整理得：（4+m2）y2+6my+5=0，则△=36m2﹣4×5×（4+m2）＞0，即m2＞4，解得：m＞2或m＜﹣2，由y1+y2=﹣，y1y2=，x1+x2=m（y1+y2）+6=，x1x2=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+m（y1+y2）+9=，假设存在定点Q（t，0），使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数，则（x1﹣t）（x2﹣t）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2=﹣t×+t2=，∴k AQ•k BQ=•==，要使k AQ•k BQ为非零常数，当且仅当，解得t=±2，当t=2时，常数为=，当t=﹣2时，常数为=，∴存在两个定点Q1（2，0）和Q2（﹣2，0），使直线AQ，BQ的斜率之积为常数，当定点为Q1（2，0）时，常数为；当定点为Q2（﹣2，0）时，常数为．【点评】本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．6．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）确定点C轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，即可求曲线Γ的方程；（Ⅱ）可设直线，进而表示面积，即可求△OEF面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得AB=2，BD=1，设动圆M与边AC的延长线相切于T1，与边BC相切于T2，则AD=AT1，BD=BT2，CT1=CT2所以AD+BD=AT1+BT2=AC+CT1+BT2=AC+CT1+CT2=AC+BC=AB+2BD=4＞AB=2…（2分）所以点C轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点．则曲线Γ的方程为．…（4分）（Ⅱ）由于曲线Γ要挖去长轴两个顶点，所以直线OE，OF斜率存在且不为0，所以可设直线…（5分）由得，，同理可得：，；所以，又OE⊥OF，所以…（8分）令t=k2+1，则t＞1且k2=t﹣1，所以=…（10分）又，所以，所以，所以，所以，所以△OEF面积的取值范围为．…（12分）【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx﹣2，与抛物线方程联立，求出斜率，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y）（y≠0），因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B（﹣x，0），由|AB|=|AC|，得（x+1）2=（x﹣1）2+y2，化简得y2=4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y2=4x（y≠0）．（Ⅱ）直线l的斜率显然存在且不为0，设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），由得ky2﹣4y﹣8=0，所以，，，同理，，所以Q（1，2）与M，N两点连线的斜率之积为定值4．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）利用圆与圆的位置关系，得出曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，即可求曲线E 的方程；（2）联立方程组得（1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，利用韦达定理，结合k1k2=4，得出直线BC过定点（3，0），表示出面积，即可求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：x2+y2+2y﹣7=0的圆心为M（0，﹣1），半径为点N（0，1）在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则﹣r=|PM|．因为动圆P经过点N，所以r=|PN|，＞|MN|，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆．由，得b2=2﹣1=1，所以曲线E的方程为…（4分）（Ⅱ）直线BC斜率为0时，不合题意设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：x=ty+m，联立方程组得（1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，又k1k2=4，知y1y2=4（x1﹣1）（x2﹣1）=4（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1）=．代入得又m≠1，化简得（m+1）（1﹣4t2）=2（﹣4mt2）+2（m﹣1）（1+2t2），解得m=3，故直线BC过定点（3，0）…（8分）由△＞0，解得t2＞4，=（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为…（12分）【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题．9．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）设出直线方程，利用直线与圆的位置关系，列出不等式求解即可．（2）设出M，N的坐标，利用直线与圆的方程联立，通过韦达定理，结合向量的数量积，求出直线的斜率，然后判断直线与圆的位置关系求解|MN|即可．【解答】解：（1）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由＜1，解得：＜k＜所以k的取值范围为得（，）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=kx+1代入方程：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，整理得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0．所以x1+x2=，x1x2=，•=x1x2+y1y2=（1+k2）（x1x2）+k（x1+x2）+1==12，解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力，是中档题．10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（1）求线段OQ的长；（2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．【分析】（1）先求出p的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N的坐标即可求线段OQ的长；（2）联立直线和抛物线方程进行消元，转化为关于y的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，得2+=，∴n=2，抛物线C的方程为y2=2x，P（2，2）．…（2分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=，则y′=，故C在点P处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2=（x﹣2），令y=0得x=﹣2，所以点Q的坐标为（﹣2，0）．故线段OQ的长为2．…（5分）（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x=﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0．由l2：x=my+b，令x=﹣2，得y=﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b=0则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b …（7分）直线PA的斜率为，同理直线PB的斜率为，直线PE的斜率为．因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，所以+=2×…（10分）整理得：=，因为l2不经过点Q，所以b≠﹣2，所以2m﹣b+2=2m，即b=2．故l2的方程为x=my+2，即l2恒过定点（2，0）．…（12分）【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，结合韦达定理，利用设而不求的思想是解决本题的关键．。
考点练习(必修二)：与圆有关的轨迹问题(附答案)
与圆有关的轨迹问题1. 动点P 与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则点P 的轨迹为（ ）A.221x y +=B. ()2211x y x +=≠±C. ()2211x y x +=≠ D. ()2210x y x +=≠2. 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝13. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝24. 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|P A|＝2|P B|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．5. 自A(4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．6. 已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段A M 的中点，试求点N 的轨迹．7. 已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________．8. 点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A. （x﹣2）2+（y+1）2=1B.（x﹣2）2+（y+1）2=4C. （x+4）2+（y﹣2）2=1D.（x+2）2+（y﹣1）2=19. 已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．11. 已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.(1)求证：a取不为1的实数时，圆过定点；(2)求圆心的轨迹方程．12. 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.13. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．14. 已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上运动，端点A的坐标为(4，0)，线段AB的中点为M.(1)试求M点的轨迹C2的方程；(2)若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长.15. 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.参考答案 与圆有关的轨迹问题1. 【答案】B2. 解析：选A 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3. 解析：选D 设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵P A 是圆的切线，且|P A |＝1，∴|PC |＝2，即(x －1)2＋y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4. 【解析】设点P (x ，y )，由题意知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4. 可知圆的面积为4π.5. 【解析】设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．6. 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，B(8,0)，|M A|＝12|M B|，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]． 化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16. (2)设点N 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，N 为线段A M 的中点，∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4. ∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．7. 【解析】 设M 点坐标为(x ，y )，A 点坐标为(x 0,0)，B 点坐标为(0，y 0)．∵点M 是线段AB 的中点，∴000202x x y y +⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨+⎪⎪=⎪⎪⎩⎭，即0022.x xy y =⎧⎨=⎩∴A(2x,0)，B(0,2y )．又∵|AB|＝4， ∴()()222002x y -+-＝4，即x 2＋y 2＝4.8. 【解析】设圆上任意一点为（x 1，y 1），中点为（x ，y ），则 得:，代入x 2+y 2=4得（2x ﹣4）2+（2y +2）2=4，化简得（x ﹣2）2+（y +1）2=1．故选A ． 9. 【解析】以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如右图)，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x ，y )，BC 中点D(x 0，y 0)．故x 0＝2x a+，y 0＝2y .①∵|AD|＝m ，∴(x 0＋a )2＋y 20＝m 2.② 将①代入②，整理得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m 为半径的圆，除去(－3a ＋2m,0)和(－3a －2m,0)两点．10. 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.11. 【解析】(1)证明：将方程x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，整理得x 2＋y 2－4y ＋2－a (2x －2y )＝0(a ≠1，且a ∈R)．令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＋2＝0，2x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以a 取不为1的实数时，圆过定点(1,1)． (2)由题意知圆心坐标为(a,2－a )，且a ≠1，又设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2－a ，消去参数a ，得x ＋y －2＝0(x ≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．12. 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况).13. [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.14. 解 (1)设M (x ，y )，B (x ′，y ′)，则由题意可得⎩⎨⎧x ＝x ′＋42，y ＝y ′2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ，∵点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上，∴(2x －4)2＋(2y －4)2＝16，即(x －2)2＋(y －2)2＝4. ∴M 点的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋（y －2）2＝4，x 2＋（y －4）2＝16，得直线CD 的方程为x －y －1＝0，圆C 1的圆心C 1(0，4)到直线CD 的距离d ＝|－4－1|2＝522，又圆C 1的半径为4， ∴线段CD 的长为242－⎝⎛⎭⎫5222＝14.15. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ). 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.。
高一必修二直线与圆的位置关系练习题
直线与圆的位置关系（1）【知识在线】1．（2001全国高考）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）A ．（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B ．（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C ．（x －1）2＋（y －1）2＝4D ．（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝42．（2002全国春季高考）圆2x 2＋2y 2＝1与直线xsin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．x 2＋y 2＋4kx －2y －k ＝0所表示的曲线是圆的充要条件是（ ）A ．14 ＜k ＜1B ．k ＜14 或k>1C ．k ＝14或k ＝1 D ．k ∈R 4．若两直线y ＝x ＋2a 和y ＝2x ＋a ＋1的交点为P ，P 在圆x 2＋y 2＝4的内部，则a 的取值范围是 ．5．（2000上海春季高考）集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2=4｝，B ＝｛（x ，y ）|（x －3）2＋（y －4）2=r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是 ．【训练反馈】1． 圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2 的点有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个2． 方程｜x ｜－1＝1－(y －1)2 所表示的曲线是 ( )A ． 一个圆B ． 两个圆C ． 半个圆D ． 两个半圆3． 设直线2x －y － 3 ＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆（x ＋1）2＋y 2＝25的直径分为两段，则其长度之比为（ ）A ． 73 或37B ． 74 或47C ． 75 或57D ． 76 或674．一束光线从点A （－1，1）出发经x 轴反射到圆C ：（x －2）2＋（y －3）2＝1的最短路程是 ．5．已知三角形三边所在直线的方程为y ＝0，x ＝2，x ＋y －4－ 2 ＝0，则这个三角形内切圆的方程为 ．直线与圆的位置关系（2）1．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是（ ）A ．6B ．4C ．5D ．12．已知圆16)1()2(22=++-y x 的一条直径通过直线032=+-y x 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（ ）A ．052=-+y xB ．02=-y xC ．032=-+y xD ．042=+-y x3．曲线)2|(|412≤-+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ）A ．]43,125(B ．),125(+∞C ．)43,31( D ．)125,0( 4．若实数y x ,满足04222=+-+y x y x ，则y x 2-的最大值为 ．5．（2002·北京高考）已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为 ．【训练反馈】1．如果)3,6(),33,5(),1,4(),,2(Q P N m M +四点共圆，则m 的值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．72．若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234=-y x 的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A ．（4，6）B ．)6,4[C ．]6,4(D ．[4，6]3．如果实数y x ,满足等式3)1(22=+-y x ，那么x y 的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ． 23 D ．3 4．已知圆222R y x =+，则被此圆内一点),(b a A （b a ,不同时为0）平分的弦所在的直线方程为 ．5．已知直线032=-+y x 交圆0622=+-++F y x y x 于点Q P ,，O 为坐标原点，且OQ OP ⊥，则F 的值为 ．直线、圆测试1．直线L 沿y 轴正方向平移m 个单位（m ≠0，m ≠1），再沿x 轴负方向平移m －1个单位得直线L ′，若L 与L ′重合，则直线L 的斜率为（ ）A ．m m -1B ．m m 1-C ．m m -1D ．1-m m 2．两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．重合D ．与m 有关3．已知两直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的交点是)3,2(P ，则过两点),(111b a Q 、),(222b a Q 的直线方程是（ ）A ．023=-y xB ．0532=+-y xC ．0132=++y xD ．0123=++y x4．曲线0),(:=y x f C 关于直线02=--y x 对称的曲线C ′的方程为（ ）A ．0),2(=+x y fB ．0),2(=-y x fC ．0),2(=+y y fD ．0)2,2(=+-x y f5．把直线x y 33=绕原点逆时针方向旋转，使它与圆0323222=+-++y x y x 相切，则直线转动的最小正角是（ ）A ．3πB ． 2π C ．π32 D ．π65 6．倾斜角为60o ，且过原点的直线被圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 截得的弦长恰等于圆的半径，则r b a 、、满足的条件是（ ）A ．)3(|3|3a b b a r ≠-=B ．)3(|3|23a b b a r ≠-= C ． )3(|3|3a b b a r ≠+= D ． )3(|3|23a b b a r ≠+=7．设点（00,y x ）在圆222r y x =+的外部，则直线200r y y x x =+与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ． 相离D ．不确定8．给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）①角α一定是直线b x y +=αtan 的倾斜角；②点),(b a 关于直线1=y 的对称点的坐标是)2,(b a -；③与坐标轴距离相等的点的轨迹方程是0=+y x ；④直线0=+By Ax 与圆022=+++By Ax y x 相切．A ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（1）、（3）D ．（2）、（4）9．直线y=2x ＋m 和圆122=+y x 交于A 、B 两点，以ox 轴为始边，OA 、OB 为终边的角为α、β，则sin(βα+)为（ ）A ．关于m 的一次函数B ．54C ．关于m 的二次函数D ．－54 10．以点)724,715()3,0()0,3(C B A 、、--为顶点的三角形与圆)0(222>=+R R y x 没有公共点，则圆半径R 的取值范围是（ ）A ．),7893()10103,0(+∞⋃B ． )7893,10103(C ． ),3()322,0(+∞⋃D ． )3,322( 11．过圆422=+y x 外一点)1,4(-M 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．044=--y xB ．044=-+y xC ．044=++y xD ．044=+-y x12．已知圆1661222=+++y x y x ，圆161)1()sin (22=-+-y x α，其中︒≤≤︒900α，则两圆的位置关系为（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相交或外切13．若点),(b a P 与点)1,1(-+a b Q 关于直线l 对称，则直线l 的方程是 ．14．若∈=--=y x x y y x A ,,213|),{(R }， ∈=+=y x ay x y x B ,,164|),{(R }，若 A ∩ B=ф ，则实数a 值为 ． 15． 设),(y x P 是圆0166822=+--+y x y x 上一点，则x y 的最大值是 ． 16． 已知两圆0101022=--+y x y x 和0402622=--++y x y x ，则它们的公共弦长为 ．。
高中数学必修二直线和圆的位置关系课后练习一(含解析)新人教A版必修2
题2 答案： C．
详解：∵圆 x2+y2 =r 2 的圆心 O（ 0， 0）到直线 l ： 2x+3y+1=0 的距离 m= 13 ， 13
又直线 l ：2x+3y+1=0 被圆 C：x2 +y2 =r 2 所截得的弦长为 d，
∴弦心距 13 ，弦长之半 d 与圆半径 r 组成的直角三角形，
13
2
即 r 2 ( d )2 ( 13 )2 ，∵圆心 O（ 0， 0）到直线 2x+4y-1=0 的距离
-2 ，
题3
11
1
答案：最大值为 5 ，最小值为 5．
详解：圆心 C( － 2,0) 到直线 3x＋ 4y＋12＝ 0 的距离为
|3 × ( －2) ＋4×0＋ 12| 6
d＝
32＋ 42
＝5．
6
11
∴P 点到直线 3x＋ 4y＋ 12＝ 0 的距离的最大值为 d＋ r ＝ 5＋ 1＝ 5 ，
6
1
最小值为 d－ r ＝ 5－1＝ 5．
题4
求与圆
x
2
+（
y-2
）
2
=
4
相切且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
题5
从直线 x- y+3=0 上的点向圆（ x+2） 2 +（ y+2） 2 =1 引切线，则切线长的最小值是
．
题6 若⊙ O： x2＋ y2＝5 与⊙ O1： ( x－m) 2＋ y2＝ 20( m∈ R) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 线互相垂直，则线段 AB的长度是 __________ ．
当△＞ 0 时， ( m+1) 2-5 ＜0，∴ 1 5 <m< 1 5 ;
高中数学必修二直线和圆的方程复习练习试题及答案
1、已知圆2522=+y x ，求：（1）过点A （4，-3）的切线方程（2）过点B （-5，2）的切线方程。
2、求直线01543=-+y x 被圆2522=+y x 所截得的弦长。
3、实数y x ,满足)0(422≥=+y y x ，试求y x m +=3的取值范围。
4、已知实数y x ,满足01422=+-+x y x（1）求xy的最大值和最小值；（2）求x y -的最大值和最小值； （3）求22y x +的最大值和最小值。
1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（）A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π2、若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y x D ．1)2()1(22=-++y x3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab 5、不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ）A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．左下方6、直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（） A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7、已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为cb a 、、的三角形（）A ．是锐角三角形 B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8、过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是() A ．23-B ．32-C ．52 D ．29、点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A ．25 B ．5C ．23D ．2511、由点)3,1(P 引圆922=+y x的切线的长是 ()A ．2B ．19 C ．1 D ．412、三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113、已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为60，则k 的值是 ()A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14、如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．31-C ．32-D ．2-16、由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是( )A ．4πB ．πC ．43πD ．23π17、动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是( )A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y x D ．21)23(22=++y x19、以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 20、过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是 21、直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为22、三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于23、若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 25、求到两个定点)0,1(),0,2(B A -的距离之比等于2的点的轨迹方程。
高中数学【直线与圆】专题练习
高中数学【直线与圆】专题练习1.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A.1B. 2C. 3D.2答案 B解析设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，知当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为 2.2.已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A.2x－y－1＝0B.2x＋y－1＝0C.2x－y＋1＝0D.2x＋y＋1＝0答案 D解析由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为M(1，1)，半径为2.如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为12|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为|AM |＝2，所以只需|PA |最小. 又|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以只需直线2x ＋y ＋2＝0上的动点P 到M 的距离最小，其最小值为|2＋1＋2|5＝5，此时PM ⊥l ，易求出直线PM 的方程为x －2y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以P (－1，0). 易知P 、A 、M 、B 四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即x 2＋y 2－y －1＝0②， 由①②得，直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0，故选D.3.(多选)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4，0)，B (0，2)，则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时，|PB |＝3 2 D.当∠PBA 最大时，|PB |＝3 2 答案 ACD解析 设圆(x －5)2＋(y －5)2＝16的圆心为M (5，5)，半径为4. 由题意知直线AB 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0， 则圆心M 到直线AB 的距离d ＝|5＋2×5－4|5＝115>4， 所以直线AB 与圆M 相离，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为4＋d ＝4＋115， 又4＋115<5＋1255＝10，故A 正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，又115－4<1255－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋（5－2）2－42＝32；当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确.综上，选ACD.4.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切.(1)求抛物线C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.解(1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，则根据抛物线的对称性，得∠POF＝∠QOF＝45°，所以P(1，1)，Q(1，－1).设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，则1＝2p，得p＝1 2，所以抛物线C的方程为y2＝x.由题意，圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.(2)直线A 2A 3与⊙M 相切，理由如下： 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，A 3(x 3，y 3)，当A 1，A 2，A 3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切，此时直线A 2A 3与⊙M 相切.当x 1≠x 2≠x 3时，直线A 1A 2的方程为x －(y 1＋y 2)y ＋y 1y 2＝0， 则|2＋y 1y 2|（y 1＋y 2）2＋1＝1，即(y 21－1)y 22＋2y 1y 2＋3－y 21＝0， 同理可得(y 21－1)y 23＋2y 1y 3＋3－y 21＝0，所以y 2，y 3是方程(y 21－1)y 2＋2y 1y ＋3－y 21＝0的两个根，则y 2＋y 3＝－2y 1y 21－1，y 2y 3＝3－y 21y 21－1.直线A 2A 3的方程为x －(y 2＋y 3)y ＋y 2y 3＝0. 设点M 到直线A 2A 3的距离为d (d ＞0)，则d 2＝（2＋y 2y 3）21＋（y 2＋y 3）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3－y 21y 21－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y 1y 21－12＝1，从而d ＝r ＝1，所以直线A 2A 3与⊙M 相切. 综上可得，直线A 2A 3与⊙M 相切.1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.热点一 直线的方程【例1】 (1)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3D.833(2)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( ) A.2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C.2x －3y ＋12＝0 D.2x －3y －12＝0答案 (1)B (2)B解析 (1)由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6， 解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋（－1）2＝823.(2)由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3，1).设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为 2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)， 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去). ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.(1)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.【训练1】 (1)(多选)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y ＝kx ＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪些点( ) A.(14，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98 C.(13，2)D.(13，1)(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________. 答案 (1)BD (2)252解析 (1)因为直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＝－1.设点(2，4)关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －4m －2＝1，n ＋42＝－m ＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝－1，所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为y ＝0－（－1）5－（－3）(x－5)，即y＝18(x－5)，当x＝13时，y＝1；当x＝14时，y＝98.故选BD.(2)由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)，注意到直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，点M又是两条直线的交点，则有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.故|MA|·|MB|≤252(当且仅当|MA|＝|MB|＝522时取“＝”).热点二圆的方程【例2】(1)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上，若点A 在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C的标准方程为()A.(x－2)2＋(y＋4)2＝4B.(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C.(x－2)2＋(y－4)2＝4D.(x－2)2＋(y－4)2＝16(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A.2 3B.4 3C.3 6D.4 6答案(1)D(2)B解析(1)∵圆C的圆心在直线y＝2x上，∴可设圆心C的坐标为(a，2a).∵圆C与x轴正半轴相切于点A，∴a>0，且圆C的半径r＝2a，A(a，0).∵点A到直线x－y－4＝0的距离d＝2，|a－0－4|＝2，解得a＝6或a＝2，∴d＝1＋1∴A(2，0)或A(6，0).∵点A在直线x－y－4＝0的左上方，∴A(2，0)，∴C(2，4)，r＝4，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.(2)以甲、乙两地所在直线为x轴，甲、乙两地所连线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则（x＋2）2＋y2＝3·（x－2）2＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝12(y≠0)，可知丙地所在的圆的半径为r＝2 3.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为12×4×23＝4 3.探究提高 1.求圆的方程主要方法有两种：(1)几何法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程.2.第(2)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.温馨提醒解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4 B.5 C.6D.7(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3，4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________. 答案 (1)A (2)x 2＋(y －3)2＝10解析 (1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.(2)∵P (3，4)为C 上一点，∴9m －162＝1， 解得m ＝1，则B (1，0)，A (－1，0)， ∴k PB ＝4－03－1＝2，BP 的中点为(2，2)，PB 的垂直平分线方程为l 1：y ＝－12(x －2)＋2， AB 的垂直平分线方程为l 2：x ＝0，则圆心是l 1与l 2的交点M ，联立l 1与l 2方程， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，则M (0，3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10，∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 热点三 直线(圆)与圆的位置关系 考向1 圆的切线问题【例3】 (1)已知直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝__________，b ＝________.(2)若斜率为3的直线与y 轴交于点A ，与圆x 2＋(y －1)2＝1相切于点B ，则|AB |＝________.(3)直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝4的切线，且直线l 过点A (3，－1)，点Q 是直线l 上的动点，过点Q 作圆M ：x 2＋43x ＋y 2＝0的切线QT ，T 为切点，则线段QT 的长度的最小值为________.答案 (1)33 －233 (2)3 (3)13解析 (1)由题意知，直线kx －y ＋b ＝0(k ＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|b |k 2＋1＝1，①|4k ＋b |k 2＋1＝1，②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.(2)设直线AB 的方程为y ＝3x ＋b ，则点A (0，b ).由于直线AB 与圆x 2＋(y －1)2＝1相切，且圆心为C (0，1)，半径为1， 则|b －1|（3）2＋（－1）2＝1，解得b ＝－1或b ＝3，所以|AC |＝2.因为|BC |＝1，故|AB |＝|AC |2－|BC |2＝ 3.(3)因为A (3，－1)的坐标满足圆O 的方程，所以点A 在圆O 上.连接OA ，易知l ⊥OA ，k OA ＝－13，所以k l ＝3，所以过点A 的切线l 的方程为3x －y －4＝0. 由x 2＋43x ＋y 2＝0，得(x ＋23)2＋y 2＝12， 易知圆M 的圆心为(－23，0)，半径为2 3.连接MT ，MQ ，在Rt △MQT 中， |QT |＝|MQ |2－|MT |2＝|MQ |2－12.因为|MQ |的最小值是点M 到直线l 的距离d ， d ＝|3×（－23）－0－4|（3）2＋（－1）2＝5，所以线段QT 的长度的最小值为|QT |min ＝52－12＝13.探究提高 1.过一点求圆的切线，要考虑此点是在圆上还是在圆外.若点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，此时过圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上一点(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)上一点(x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；若点(x 0，y 0)在圆外，则切线有两条.2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，但一定要注意斜率不存在的情形.【训练3】 (1)过点D (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A.2y －1＝0 B.2y ＋1＝0 C.x ＋2y －1＝0D.x －2y ＋1＝0(2)(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的值可以是( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)AB解析 (1)由圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的方程可知其圆心为C (1，0)，半径为1. 连接CD ，以线段CD 为直径的圆的方程为(x －1)(x －1)＋(y ＋2)(y －0)＝0， 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.将两圆的方程相减，可得公共弦AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0.(2)由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2.过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，则四边形PACB 为正方形，所以|PC |＝2r ＝22，则圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，所以实数k 的取值可以是1，2.故选AB. 考向2 直线与圆的弦长问题【例4】 在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练4】 (1)已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝9，过点M (1，1)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则弦长|AB |最短时直线l 的方程为( ) A.2x －y －1＝0 B.x ＋2y －8＝0 C.2x －y ＋1＝0D.x ＋2y －3＝0(2)(多选)关于圆C ：x 2＋y 2－kx ＋2y ＋14k 2－k ＋1＝0，下列说法正确的是( ) A.k 的取值范围是k >0B.若k ＝4，过M (3，4)的直线l 与圆C 相交所得弦长为23，则l 的方程为12x －5y －16＝0C.若k ＝4，则圆C 与圆x 2＋y 2＝1相交D.若k ＝4，m >0，n >0，直线mx －ny －1＝0恒过圆C 的圆心，则1m ＋2n ≥8恒成立答案 (1)D (2)ACD解析 (1)根据题意，圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝9的圆心C 为(2，3)，半径r ＝3， 当CM 与AB 垂直时，即M 为AB 的中点时，弦长|AB |最短， 此时k CM ＝3－12－1＝2，则k AB ＝－12，此时直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，变形可得x ＋2y －3＝0. (2)对于A ，由(－k )2＋22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2－k ＋1＝4k >0，得k >0，故A 正确；对于B ，当k ＝4时，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(2，－1)，半径r ＝2，M 在圆外，因此过M (3，4)与圆相交所得弦长为23的直线有两条，故B 错误；对于C ，由B 知，圆C 的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2.因为(2，－1)与(0，0)间的距离为5，2－1<5<2＋1，所以两圆相交，故C 正确；对于D ，由直线mx －ny －1＝0过圆心，得2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8，当且仅当n ＝2m ＝12时等号成立，故D 正确.故选ACD.一、选择题1.设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行， 则⎩⎪⎨⎪⎧2λ（1－λ）＝6（λ－1），2λ×（－4）≠6×（－1），解得λ＝－3或λ＝1. 又“λ＝－3”是“λ＝－3或λ＝1”的充分不必要条件，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件.2.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 答案 A解析 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点A ，B 分别为(－a ，0)，(a ，0)(a >0)，点C 为(x ，y )， 则AC→＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )， 所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋1. 因此点C 的轨迹为圆.故选A.3.(多选)已知直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 可能的取值为( ) A. 2 B.3 2 C.－3 2 D.－ 2答案 AD解析 直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.由圆的半径为2，又圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于1，则|a |2＝1，a ＝±2.故选AD.4.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.455答案 B解析 因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上， 所以可设圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)， 则(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，解之得a ＝1或a ＝5. 所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255或d ＝|2×5－5－3|5＝255.5.已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4，0)，则|PA →＋PB→|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C.226＋4 D.226＋2答案 C解析 取AB 中点D (2，－3)，则PA→＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|＝2|PD →|， 又由题意知，圆C 的圆心C (1，2)，半径为2，|PD →|的最大值为圆心C (1，2)到D (2，－3)的距离d 与半径r 的和， 又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2，∴2|PD→|的最大值为226＋4， 即|PA→＋PB →|的最大值为226＋4. 6.(多选)已知直线l ：ax ＋by －r 2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2，点A (a ，b )，则下列说法正确的是( )A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 答案 ABD解析 圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b2.若点A (a ，b )在圆C 上，则a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2＝|r |，则直线l 与圆C相切，故A 正确；若点A (a ，b )在圆C 内，则a 2＋b 2<r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2>|r |，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点A (a ，b )在圆C 外，则a 2＋b 2>r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2<|r |，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点A (a ，b )在直线l 上，则a 2＋b 2－r 2＝0即a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2＝|r |，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选ABD.7.若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1 D.y ＝12x ＋12答案 D解析 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①. 设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)， 则y ′|x ＝x 0＝12x －12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③.由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x －12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去).所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12. 二、填空题8.已知△ABC 的顶点坐标分别为A (3，4)，B (6，0)，C (－5， －2)，则内角A 的平分线所在直线的方程为________.答案 7x －y －17＝0解析 法一 由题意，得|AC |＝10，|AB |＝5.设内角A 的平分线交BC 于点D ，则由角平分线定理得|CD ||DB |＝|AC ||AB |＝2，即CD →＝23CB →，可求得D⎝ ⎛⎭⎪⎫73，－23，从而k AD ＝7，所以直线AD 的方程为7x －y －17＝0. 法二 AB→＝(3，－4)，AC →＝(－8，－6)，所以△ABC 的内角A 的平分线所在直线的方向向量为AP →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝15(3，－4)＋110(－8，－6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－75，所以所求直线的斜率为7，所以所求直线的方程为y －4＝7(x －3)，即7x －y －17＝0. 9.已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为________________. 答案 x ＋y －3＝0解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， ∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线l 与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短. 因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.10.已知曲线y ＝－x 2＋4x －3与直线kx －y ＋k －1＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34解析 曲线y ＝－x 2＋4x －3整理得(x －2)2＋y 2＝1(y ≥0)，则该曲线表示圆心为(2，0)，半径为1的圆的上半部分，直线kx －y ＋k －1＝0过定点A (－1，－1). 如图，当k ∈[k 1，k 2)时，曲线与直线有两个不同的交点，易得k 1＝12，k 2＝34，所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34.11.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，设点P (t ，4)为直线y ＝4上一点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 所过定点的坐标为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).因为M 是切点，在圆上，所以以点M 为切点的切线方程为x 1x ＋y 1y ＝1， 因为P (t ，4)在切线PM 上，所以tx 1＋4y 1＝1， 所以切点M (x 1，y 1)在直线tx ＋4y ＝1上， 同理，切点N (x 2，y 2)也在直线tx ＋4y ＝1上， 所以直线MN 的方程为tx ＋4y ＝1， 故直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.三、解答题12.已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线m ：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点. (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程.解 (1)易知点A (－1，2)到直线x ＋2y ＋7＝0的距离为圆A 的半径r ，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)记MN的中点为Q，则∠MQA＝90°，且|MQ|＝19，在Rt△AMQ中，|AQ|＝|AM|2－|MQ|2＝1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，显然x＝－2符合题意，当直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y＝k(x＋2)，由点A(－1，2)到l的距离为1，得|－k－2＋2k|k2＋1＝1，解得k＝34.∴所求l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝－2.13.(多选)已知点A是直线l：x＋y－2＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是()A.(0，2)B.(1，2－1)C.(2，0)D.(2－1，1)答案AC解析如图所示，坐标原点O到直线l：x＋y－2＝0的距离d＝212＋12＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值.连接OP，OQ，OA，当∠PAQ＝90°时，又∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝2|OP|＝2.设A(t，2－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝t2＋（2－t）2＝2，整理得2t2－22t＝0，解得t＝0或t＝2，因此，点A的坐标为(0，2)或(2，0).故选AC.14.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由.解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.又已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，OM，由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.。
必修二直线与圆练习题
必修二直线与圆练习题直线与圆是几何学中的基础概念，对于学习几何学的同学来说，掌握这些知识点是非常重要的。
在必修二的课程中，直线与圆的练习题是必不可少的一部分，通过练习题的训练，可以帮助学生巩固知识，提高解题能力。
下面我将给大家分享一些直线与圆的练习题。
1. 已知直线AB与直线CD相交于点O，且AO=BO=CO=DO，证明四边形ABCD是菱形。
解析：首先，根据已知条件可得AO=BO，所以AO与BO的长度相等，即∠AOB=∠BOA。
同理，可得∠COD=∠DOA。
又因为直线AB与直线CD相交于点O，所以∠AOB+∠BOC=180°，∠COD+∠DOA=180°。
将上述等式代入，得到∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°。
而四边形ABCD的内角和为360°，所以四边形ABCD是菱形。
2. 在平面直角坐标系中，圆O的半径为r，圆心坐标为(a, b)，点P在圆上，且P的坐标为(x, y)。
若P到直线x=0的距离等于P到直线y=0的距离，求证OP的长度为r。
解析：首先，根据题意可得P到直线x=0的距离为x，P到直线y=0的距离为y。
又因为P在圆上，所以P到圆心O的距离为r。
根据勾股定理可得(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
将P到直线x=0的距离等于P到直线y=0的距离代入，得到x^2+y^2=r^2。
而P到圆心O的距离也为r，所以OP的长度为r。
3. 已知圆O的半径为r，点A在圆上，点B在圆内且与点A不重合。
若直线AB与圆O相交于点C，求证AC的长度大于BC。
解析：首先，根据题意可得点A在圆上，所以OA的长度为r。
又因为点B在圆内且与点A不重合，所以OB的长度小于r。
根据三角形不等式可得AC的长度大于OB的长度，即AC>OB。
又因为OA的长度为r，所以AC>OB可以推导出AC>BC。
通过以上的练习题，我们可以看到直线与圆的知识点在几何学中的应用非常广泛。
高中数学必修二直线和圆练习含答案
高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )A.2条B.3条C.4条D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )A.1、-1B.2、-2C.1D.-18.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22-C.12-D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3.与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A-并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
2023-2024学年高二数学单元速记——直线与圆的方程(压轴题专练)(解析版)
第二章直线与圆的方程（压轴题专练）一、选择题1．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（）A ．A 点的坐标为()2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为5【答案】D【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.【详解】因为1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=，故直线恒过定点A ()2,1，故A 选项正确；又因为2l ：240mx y m ++-=即()42y m x -=-+恒过定点B ()2,4-，由1:20l x my m -+-=和2:420l mx y m +-+=,满足()110m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,故B 选项正确；所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,故C 选项正确;因为PA PB ⊥,设,PAB ∠θθ=为锐角,则5cos ,5sin PA PB θθ==,所以()()252cos sin 5PA PB θθθϕ+=+=+,所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB +取最大值,故选项D 错误.故选：D.2．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．6【答案】D【分析】根据动直线方程求出定点,A B 的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得22||||18PA PB +=，最后由基本不等式222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】解：由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=，因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以6P A PB +≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选：D.3．在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by c ax by c δ++=++，下面四个命题中的假命题为（）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交；【答案】A【分析】根据题意对δ一一分析，逐一验证．【详解】解：对于A ，1122ax by c ax by cδ++=++化为：112222()0(0)ax by c ax by c ax by c δ++-++=++≠，即点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此A 不正确．对于B ，1δ=，则1212()()0a x x b y y -+-=，即过M ，N 两点的直线与直线l 的斜率相等，又点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此两条直线平行，故B 正确；对于C ，1δ=-，则1122()0ax by c ax by c +++++=，化为1212022x x y y a b c ++++=，因此直线l 经过线段MN 的中点，故C 正确；对于D ，1δ>，则2112222()()()0ax by c ax by c ax by c δ++⨯++=++>，则点M ，N 在直线l 的同侧，故D 正确；故选A【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事转化为点(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ⊥）A ．2B ．2C D ．5【答案】D【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点()11,M x y 到点()0,4A 的距离与点()22,N x y 到点()5,0B 的距离和，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，证明AM CN =，由CN NB CB +≥求目标函数最小值.表示点()11,M x y 到点()0,4A 的距离，表示点()22,N x y 到点()5,0B 的距离，MA NB +=+，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，因为直线1l 的方程为20x y -+=，()0,4A ，所以AC ==又直线1:2l y x =+与直线2:l y x =平行，1MN l ⊥，所以MN =所以//,MN AC MN AC =，所以四边形AMNC 为平行四边形，所以AM CN =，CN NB +=+，又CN NB CB +≥，当且仅当,,C N B 三点共线时等号成立，所以当点N 为线段CB 与直线2l 的交点时，CB ，因为过点()0,4A 与直线1l 垂直的直线的方程为4y x =-+，联立42y x y x =-+⎧⎨=+⎩，可得13x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()1,3，所以CB =，5，故选：D.将问题转化为两点之间的距离问题.5．已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D【答案】A【分析】由题设可知圆C ：22(4)16x y -+=，在坐标系中找到(4,0)D -，应用三角线相似将2PA 转化到||PD ，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.【详解】由题设，知：(4,0)C 且||8MN ==，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24OD AC CP OC ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △PCD ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD ==故选：A【点睛】关键点点睛：首先求出圆C 方程，找到定点D 使AC PC CP DC =，进而将2PA 转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式的最值.6．过点()8,4A -作抛物线28y x =的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 与y 轴分别交于点B ，C ，则ABC ∆的外接圆方程为（）A ．2264160x y x y ++--=B ．226160x y x ++-=C ．2256120x y x y ++--=D ．224160x y y +--=【答案】A【解析】设切线方程为l ：()84x t y +=-，与抛物线联立，表示线段AB 的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.【详解】设过点()8,4A -的抛物线2:8E y x =的切线方程为l ：()84x t y +=-，即84x ty t =--（*），代入28y x =得288(48)0y ty t -++=，由0∆=得2240t t --=，（1）所以方程（1）有两个不相等的实数根1t ，2t ，且122t t +=，124t t =-，在（*）中令0x =得180,4B t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，280,4C t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，设ABC ∆的外接圆圆心为点()100,O x y ，则()0122B C y y y =+=，下求0x ：线段AB 中点横标04x '=-，纵标0144y t '=+，线段AB 的中垂线方程为1144(4)y t x t --=-+，令2y =得211021424t t x t -++=，由（1）知21124t t +=，故03x =-，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则229R =，所以ABC ∆的外接圆方程为22(3)(2)29x y ++-=，即2264160x y x y ++--=.故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPA λ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O，0,2Q ⎛ ⎝⎭，直线1:230l kx y k -++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（）A ．B．6-C．9-D．3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，可得)332PQ y =+≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PQ PA =，结合AQ =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥，进而求解.【详解】由已知1:230l kx y k -++=过定点()2,3C -，2:320l x ky k +++=过定点()2,3D --，因为1l k k =，21l k k=-，所以121l l k k ⋅=-，即12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为()2,0-，半径为3，则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，易知O 、Q 在该圆内，又32PO =即)332PO y ==≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PO PA =，又2AQ =，所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以32PO PQ +的最小值为故选：A.8．已知点P 为直线l ：20x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．3310x y ++=B ．3310x y +-=C ．2210x y ++=D ．2210x y +-=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆，AB CP ⊥，从而将PC AB ⋅转化为2PA ，进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值，再求得以PC 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C ：2220x x y ++=可化为()2211x y ++=，所以圆心()1,0C -，半径为1r =，因为PA ，PB 是圆C 的两条切线，则,PA AC PB BC ⊥⊥，由圆的知识可知，,,,A P B C 四点共圆，且AB CP ⊥，PA PB =，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⨯= ，又PA =所以当PC 最小，即PC l ⊥时，PC AB ⋅取得最小值，此时PC 的方程为1y x =+，联立120y x x y =+⎧⎨+-=⎩，解得13,22x y ==，即13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，221031222x x y y +-+=-，又圆22:20C x x y ++=，两圆的方程相减即为直线AB 的方程：3310x y ++=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ，从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.9．（多选）已知O 为坐标原点，()3,1A ，P 为x 轴上一动点，Q 为直线l ：y x =上一动点，则（）A ．APQ △周长的最小值为B ．AP AQ +的最小值为1C ．AP PQ +的最小值为D OP +的最小值为4【答案】BCD【分析】设A 关于直线l ：y x =的对称点为()11,3A ，A 关于x 轴的对称点为()23,1A -，对于A ：根据对称性可得1212PQ QA PA PQ QA PA A A ++=++≥，进而可得结果；对于B ：根据点到直线的距离分析判断；对于C ：因为2AP PQ A P PQ +=+，结合点到直线的距离分析判断；对于D ：根据题意分析可得)2OP A P CP+=+，结合点到直线的距离分析判断.【详解】设()3,1A关于直线l：y x=的对称点为()11,3A，()3,1A关于x轴的对称点为()23,1A-，可知12,QA QA PA PA==，对于选项A：可得APQ△周长1212PQ QA PA PQ QA PA A A++=++≥=当且仅当12,,,A P Q A四点共线时，等号成立，所以APQ△周长的最小值为A错误；对于选项B：设()3,1A到x轴，直线l：0x y-=的距离分别为12,d d，则121,d d==，可得121AP AQ d d+≥+=，所以AP AQ+的最小值为1B正确；对于选项C：因为2AP PQ A P PQ+=+，设()23,1A-到直线l：0x y-=的距离为3d=可得23A P PQ d +≥=所以AP PQ +的最小值为C 正确；对于选项D ：作PC l ⊥，垂足为C ，因为直线l 的斜率1k =，则45COP ∠=︒，可得CP =，则23AP CP A P CP d +=+≥=，)2234OP A P OP A P CP d ⎫++=⎪⎪⎭，OP +的最小值为4，故D 正确；故选：BCD.二、填空题10．设R m ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值．【答案】9【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；【详解】由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以22222||||||(12)(03)18PA PB AB +==--+-=，因为2218||2PA PB PA PB =+≥⋅，所以9PA PB ⋅≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号．【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.11．若恰有三组不全为0的实数对(a ,)b满足关系式|1||431|a b a b t ++=-+=t 的所有可能的值为．【答案】52或75t ==，然后对t 进行分类讨论即可求解.【详解】由已知得0t >t ==，看成有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，又5AB ==，（1）当||522AB t ==，此时易得符合题意的直线l 为线段AB 的垂直平分线68230x y --=以及与直线AB 平行的两条直线86110x y ++=和86390x y +-=；（2）当||522AB t <=时，有4条直线l 会使得点(1,1)A 和(4,3)B -到它们的距离相等，注意到l 不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．设点A 到l 的距离为d ，①作为增根被舍去的直线l ，过原点和A ，B 的中点5(,1)2M -，其方程为250x y +=，此时52t d ==，符合；②作为增根被舍去的直线l ，过原点且与AB 平行，其方程为430x y +=，此时7552t d ==<，符合；综上，满足题意的实数t 为52或75故答案为：52或75t ==，将问题转化为有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，然后分类讨论即得.12．已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为.【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=，如图，则直线l 的方程为：4y x =-+，将()4,0B 沿着直线l B '点，有()3,1B '，连接AB '交直线1l 于点P ，过P 作2⊥PQ l 于Q ，连接BQ ，有//,||||BB PQ BB PQ ''=，即四边形BB PQ '为平行四边形，则||||PB BQ '=，即有||AP QB AP PB AB ''+=+=，显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值，因此AP QB +的最小值，即AP PB '+的最小值AB '，而AB '==，所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '+【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.13．在平面直角坐标互中，给定()()1,2,3,4M N 两点，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠最大值时，点P 的横坐标为【答案】3【分析】根据条件结合圆的性质，转化为求圆的半径最小，利用数形结合，即可求解.【详解】过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上，其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，MPN ∠最大，设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点为(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-，整理得2250a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去），所以点P 的横坐标的为3.故答案为：3.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:2C x a y a -+-+=，点(0,2)A ，若圆C 上的点M 均满足2210MA MO +>，则实数a 的取值范围是．【答案】a<0或3a >【分析】将条件2210MA MO +>坐标化，先转化为22(1)4x y +->恒成立，即圆C 上所有动点到定点(0,1)B 距离的最小值大于2，再转化为(0,1)B 与圆心C 距离的不等关系求解可得.【详解】设(,)M x y ，由点(0,2)A ，2210MA MO +> 222222(2)2(22)10x y x y x y y ∴+-++=+-+>即点M 满足22(1)4x y +->2，设点(0,1)B ，即2MB >恒成立则min 2MB >，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值大于2，又圆(,2)C a a -，半径为1，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值即为：1BC -.12BC ∴->.即3BC =，化简得230a a ->，解得a<0或3a >.故答案为：a<0或3a >.15．已知P 为直线60x y ++=上一动点，过点P 作圆22:66140C x y x y +--+=的切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 面积最小时，直线AB 的方程为．【答案】6=0x y +【分析】求得四边形PACB 面积最小时P 点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线AB 的方程.【详解】圆22:66140C x y x y +--+=，即()()22233=2x y -+-，所以圆心为()3,3C ，半径2r =，1=2=22PACB S PA r PA ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭所以当CP 最小，也即CP 垂直60x y ++=时，四边形PACB 面积最小，直线60x y ++=的斜率为1-，则此时直线CP 的斜率为1，则直线CP 的方程为y x =，由60y xx y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得3x y ==-即(3P --，对应PC ，=PA PB以P 为圆心，半径为((2233=12x y -++-+，即()()226622x y x y ++++-，由()()2222661406622x y x yx y x y ⎧+--+=⎪⎨++++-⎪⎩，两式相减并化简得26=0x y ++-，也即直线AB 的方程为26=0x y ++-.故答案为：26=0x y ++-【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据表达式来求最值.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为.【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0x ＋y －2＝0【详解】(1)①当直线l 经过坐标原点时，可得a ＋2＝0，解得a ＝－2．所以直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；②当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由条件得221a a a +=++，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．综上可得直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．(2)在(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0（a >－1）中，令0x =，得2y a =+；令0y =，得21a x a +=+．所以2(,0),(0,2)1a M N a a +++．由于1a >-，得210a a +>+>．所以22121(2)1(1)2(1)1(2)212121OMNa a a a S a a a a ∆++++++=⋅⋅+=⋅=⋅+++111[(1)2][22]2212a a =+++≥=+．当且仅当111a a +=+，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．答案：(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0【点睛】用基本不等式求最值时，首先要判断是否满足了使用基本不等式的条件，若满足则可直接利用基本不等式求出最值；若不满足，则需要对代数式进行适当的变形，此时要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等变形的技巧，通过变形使得代数式满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．三、解答题17．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记()015011,,5n n n n T a a a x y a a a T=+++==+++ ，作函数()y f x =，使其图像为逐点依次连接点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线．(1)求(0)f 和(1)f 的值；(2)设1n n P P -的斜率为(1,2,3,4,5)n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系；(3)证明：当(0,1)x ∈时，()f x x <；(4)求由函数y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积．（用12345,,,,a a a a a 表示）【答案】(1)(0)0f =，(1)1f =(2)12345k k k k k <<<<(3)见解析(4)124512345225()a a a a a a a a a --++++++【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可；（3）要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，根据已知定义，结合放缩法进行证明即可.（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积，求出1S ，再由112S S =-求解即可.【详解】（1）0015(0)0a f a a a ==+++ ，015015(1)1a a a f a a a +++==+++ ；（2）[]01011111()()5155n n n n n n n n a a a a a a y y T k a n n x x T ---+++-+++-===--- (1,2,,5)n = ，因为12345a a a a a <<<<，所以12345k k k k k <<<<；（3）由于()f x 的图像是连接各点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=事实上，当1(,)n n x x x -∈时，1111()()()()()n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=-+-11111111()()n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x f x f x x x xx x x x x x x x ------------=+<+=----下面证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=对任何n (1,2,3,4)n =，15()n a a ++ 1[(5)]()n n n a a =+-++ 11()(5)()n n n a a n a a =+++-++ 1()(5)n n n a a n na ≤+++- []1()(5)n n n a a n a =+++-< 115()n n n a a a a nT++++++= 所以1()5n n n a a nf x x T ++=<= ，综上，(),(1,2,3,4)n n f x x n <=（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积则1011012212332111()()()()()()222S y y x x y y x x y y x x =+-++-++-3443455411()()()()22y y x x y y x x ++-++-123451(2222)10y y y y y =++++[]112123123411()()()510a a a a a a a a a a T =++++++++++123411(432)105a a a a T=++++直线y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积为1245112345221.25()a a a a S S a a a a a --++=-=++++【点睛】关键点睛：在证明()f x x <，(0,1)x ∈时，关键在于将其转化为证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，结合题设定义进行证明.18．已知曲线():,0T F x y =，对坐标平面上任意一点(),P x y ,定义[](),=F P F x y ,若两点P ,Q ，满足[][]0F P F Q ⋅>，称点P ,Q 在曲线T 同侧；[][]0F P F Q ⋅<，称点P ,Q 在曲线T 两侧.(1)直线l 过原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中()1,1A -，()2,3B ,求直线l 的倾斜角的取值范围；(2)已知曲线()(,3450F x y x y =+-=，O 为坐标原点，求点集[][]{}0S P F P F O =⋅>的面积；(3)记到点()0,1与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线()22:,0=+--=T F x y x y y a ，若曲线C 上总存在两点M ,N 在曲线T 两侧,求曲线C 的方程与实数a 的取值范围.【答案】(1)33[0,arctan (,)24ππ ；(2)83S π=（3）()()222480:24120y x x C y x x ⎧=-≥⎪⎨=+<⎪⎩，52⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）由题意设出直线方程为y kx =，通过新定义，得到[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，求出斜率范围，进而可求出倾斜角范围；（2）先由题意得到点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，求出23AOB π∠=，进而可求出结果；（3）先设曲线C 上的动点为(,)x y5=y ，化简整理，即可得出轨迹方程；再由新定义，将[][]0⋅<F M F N 化为(6)(24)0--<a a ，进而可得出结果.【详解】（1）由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y kx =，则(),0=-=F x y kx y ，因为()1,1A -，()2,3B ，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，则[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，解得312-<<k ；故倾斜角的范围是33[0,arctan (,)24ππ ；（2）因为[]0<F O ，所以[](345)0=+-F P x y ，故2234504x y x y +-<⎧⎨+<⎩，点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，则O 到AB 的距离为1，故23AOB π∠=，因此，所求面积为：2214182223223ππ=⋅⋅+⋅=S（3）设曲线C 上的动点为(,)x y 5=y ，化简得曲线C 的方程为：228(3),0312(2),20x y y x y y ⎧=-≤≤⎨=+-≤≤⎩，其轨迹为两段抛物线弧；当03≤≤y 时，[]2(,)9246,24=-+-∈--F x y y y a a a ；当20-≤≤y 时，[]2(,)11246,24=++-∈--F x y y y a a a ，故若有[][]0⋅<F M F N ，则(6)(24)0--<a a ，解得624<<a .【点睛】本题主要考查新定义下直线与圆的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线斜率与倾斜角的概念等即可，属于常考题型.19．如图，已知A ，(0,0)B，(12,0)C ，直线:(20l k x y k --=．(1)证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；(3)若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．【答案】(1)证明见解析，定点坐标为(2,；170y +-=；(3)2100x +-=．【分析】（1）整理得到(2))0k x y -+-=，从而得到方程组，求出定点坐标；（2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S = 得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到123P P k =，由对称性得3PK k =-，写成直线方程.【详解】（1）直线:(20l k x y k --=可化为(2))0k x y -+-=，令200xy -=⎧⎪-=，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩l 经过的定点坐标为(2,；（2）因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12AB AC BC ===，由题意得直线AB 方程为y =，故直线l 经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM =，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =⨯⨯，所以3||||94AD AC ==，设00(,)D x y ，所以34AD AC =，即003(6,(6,4x y --=-，所以0212x =，0y =21(2D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =所以直线l170y +-=；（3）设P 关于BC的对称点1(2,P -，关于AC 的对称点2(,)P m n ，直线AC12612x -=-，即)12y x =-，直线AC的方程为12)y x =-，所以(1221222n m n m ⎧-⋅=-⎪-⎪⎨++⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩，解得14,m n ==2P ，由题意得12,,,P K I P四点共线，123P P k =，由对称性得3PK k =-，所以入射光线PK的直线方程为2)y x ---，即2100x -=．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上．(1)设直线l ：43y x =+与圆M 交于C ，D 两点，且OC OD =，求圆M 的方程；(2)设直线y =与（1）中所求圆M 交于E ，F 两点，点P 为直线5x =上的动点，直线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线EF 两侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)22(1)(4x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）由||||OC OD =，知OM l ⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，解方程可得t ，讨论t 的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，求得E ，F 的坐标，PE 和PF 的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，3PE PF k k =．设PE k m =，则3PF k m =．设直线GH 的方程为y kx b =+，代入圆的方程，运用韦达定理，可得k ，b 的关系，即可得到所求定点．（1）圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上，设M t ⎛ ⎝⎭由||||OC OD =，知OM l ⊥.所以2OM k t =1t =±.当1t =时，圆心M 到直线:4l y =+的距离1)d =小于半径，符合题意；当1t =-时，圆心(1,M -到直线:4l y =+的距离1)d =大于半径，不符合题意.所以，所求圆M 的方程为22(1)(4x y -+-=.（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，又知(E -，F ，所以06PE y k =，02PF y k =．显然3PE PF k k =，设PE k m =，则3PF k m =．从而直线PE 方程为：(1)y m x +，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(1)(22)30m x m x m ++-+-=，所以212311m x m --⨯=+，即21231m x m -=+；同理直线PF 方程为：3(3)y m x -，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(19)(542)8130m x m x m +-++-=，所以222813319m x m -⨯=+，即22227119m x m -=+．所以22212224232713221199101m m m x x m m m m --+=+=+++++；222122242327111231199101m m m x x m m m m --=⋅=-+++⋅++．消去参数m 整理得121227()200x x x x -++=．①设直线GH 的方程为y kx b =+，代入22(1)(4x y -+=，整理得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=．所以122221kb x x k --+=-+，21221b x x k -⋅=+．代入①式，并整理得22(71030b k b k +-+-+=，即(250b k b k ++-=，解得2b k =或5b k -．当2b k =时，直线GH 的方程为(2)y k x =-；当5b k =时，直线GH 的方程为(5)y k x =-，过定点第二种情况不合题意（因为G ，H 在直径EF 的异侧），舍去．所以，直线GH 过定点．21．如图所示，已知圆222:()0O x y r r +=>上点(1,)a 处切线的斜率为圆O 与y 轴的交点分别为A B 、，与x 轴正半轴的交点为D ，P 为圆O 的第一象限内的任意一点，直线BD 与AP 相交于点M ，直线DP 与y 轴相交于点N ．（1）求圆O 的方程；（2）试问：直线MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）(2,2).【分析】(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率，解得a,再代入圆方程得r,即得结果，(2)先设直线AP 方程，分别解得P 坐标，M 坐标,以及N 坐标，再求出直线MN 方程，最后根据方程求定点.【详解】（1）由题意得2211413a a r ⋅=-∴==+=∴22:4O x y += （2）设:2(10)AP y kx k =+-<<()222221404y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩222422,11k k P k k ⎛⎫-+⇒- ⎪++⎝⎭()()0,2,2,0B D - ∴直线:2BD y x =-2422,211y x k M y kx k k =-⎧---⎛⎫⇒⎨ ⎪=+--⎝⎭⎩由,,D P N 三点共线得：2222222002222140221121N N k y k k k y k k k k k -+---+-++=⇒==--+++-+∴21MN kk k =+直线MN 为：22211k k y x k k -+=+++即：()()2220y x k y -++-=由2022202y x y x y -==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴直线MN 过定点()2,2.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．已知圆C 经过()0,1A ，()()4,0B a a >两点．(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M 和N ，当圆C 的面积最小时，试求BM BN ⋅的最小值.【答案】(1)证明见解析，定点为()4,1(2)min 8BM BN ⋅=【分析】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得0AP BP ⋅= ，从而可求出圆C 的方程，即可得出结论；（2）根据题意可得点C 在直线3y x =-上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以AA '为直径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得B 点的坐标，设出直线l 的方程，分别求出,M N 的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解．【详解】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，因为AB 是圆C 的直径，所以0AP BP ⋅= ，即()()()()(),14,410x y x y a x x y y a -⋅--=-+--=，所以圆C 的方程为：()()()410x x y y a -+--=，则4x =，1y =时等式恒成立，故定点为()4,1，所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为()4,1；（2）因点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，所以点C 在直线3y x =-上，又圆C 的面积最小，所以圆C 是以AA '直径的圆，设过点A 与直线3y x =-垂直的直线方程为1y x =-+，由方程组31y x y x =-⎧⎨=-+⎩得()2,1C -，则AC =所以圆C 的方程为()()22218x y -++=，当4x =时，1a =或3a =-，又0a >，所以1a =，即()4,1B ，由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()14y k x -=-，当0x =时14y k =-，当0y =，时14x k =-，所以||||448BM BN ⋅=，（当且仅当221k k =，即1k =±时取等号）则当1k =±时，min 8BM BN ⋅=。
第二章 直线和圆的方程【压轴题专项训练】(解析版)
第二章直线和圆的方程【压轴题专项训练】一、单选题1．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP△面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A 【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．2．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．34k ≥或4k ≤-B ．344k -≤≤C ．15k <-D ．344k -≤≤【答案】A 【详解】()()110m x y -+-=，所以直线l 过定点()1,1P ，所以34PB k =，4PA k =-，直线在PB 到PA 之间，所以34k ≥或4k ≤-，故选A ．3．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为A ．1B ．3C ．19D ．49【答案】A 【详解】试题分析：由题意得两圆22()4x a y ++=与22(2)1x y b y +-=相外切，即222149a b =+⇒+=，所以22222222221111(4)141()[5][5]1999a b a b a b a b b a ++=+=++≥+=，当且仅当22224=a b b a 时取等号，所以选A.考点：两圆位置关系，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.4．过圆22:1O x y +=内一点11,42⎛⎫⎪⎝⎭作直线交圆O 于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆的切线交于点P ，则点P 的坐标满足方程（）A ．240x y +-=B ．240x y -+=C ．240x y --=D ．240x y ++=【答案】A 【分析】设出P 点坐标，求解出以OP 为直径的圆M 的方程，将圆M 的方程与圆O 的方程作差可得公共弦AB 的方程，结合点11,42⎛⎫⎪⎝⎭在AB 上可得点P 的坐标满足的方程.【详解】设()00,P x y ，则以OP 为直径的圆()()00:0M x x x y y y -+-=，即22000x y x x y y +--=①因为,PA PB 是圆O 的切线，所以,OA PA OB PB ⊥⊥，所以A ，B 在圆M 上，所以AB 是圆O 与圆M 的公共弦，又因为圆22:1O x y +=②，所以由①-②得直线AB 的方程为：0010x x y y +-=，又点11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足直线AB 方程，所以00111042x y +-=，即240x y +-=.故选：A.5．在平面直角坐标系中，已知点(),P a b 满足1a b +=，记d 为点P 到直线20x my --=的距离.当,,a b m 变化时，d 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据直线:20l x my --=过定点A 确定出对于给定的一点P ，d 取最大值时PA l ⊥且max d PA =，然后根据点P 为正方形上任意一点求解出max PA ，由此可知max d .【详解】直线:20l x my --=过定点()2,0A ，对于任意确定的点P ，当PA l ⊥时，此时d PA =，当PA 不垂直l 时，过点P 作PB l ⊥，此时d PB =，如图所示：因为PB AB ⊥，所以PA PB >，所以max d PA =，由上可知：当P 确定时，max d 即为PA ，且此时PA l ⊥；又因为P 在如图所示的正方形上运动，所以max max d PA =，当PA 取最大值时，P 点与()1,0M -重合，此时()213PA =--=，所以max 3d =，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析d 取最大值时PA 与直线l 的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.6．若实数,x y 满足x -=x 最大值是（）A ．4B ．18C ．20D ．24【答案】C 【分析】当0x =时，解得0y =；当0x >，令t =22x t -+=，设()22x f t t =-+，()g t =()f t 和()g t 有公共点，观察图形可求解.【详解】当0x =时，解得0y =，符合题意；当0x >时，令t =0t ≥，又0x y -≥，则t ≤，即t ⎡∈⎣，则原方程可化为22xt -+=，设()22xf t t =-+，()g t =t ⎡∈⎣，则()f t 表示斜率为2-的直线，()g t则问题等价于()f t 和()g t有公共点，观察图形可知，=20x =，当直线过点(时，2x=4x =，因此，要使直线与圆有公共点，[]4,20x ∈，综上，[]{}4,200x ∈⋃，故x 的最大值为20.故选：C.【点睛】关键点睛：解题得关键是令t =()22xf t t =-+与圆有公共点.7．已知圆222:()(21)2C x m y m m -+-+=，有下列四个命题：①一定存在与所有圆都相切的直线；②有无数条直线与所有的圆都相交；③存在与所有圆都没有公共点的直线；④所有的圆都不过原点.其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】①可先设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径建立等式求解.②③根据直线与两条切线的相对位置，可找出与圆相交和相离的直线④假设过原点，有解【详解】由圆222:()(21)2C x m y m m -+-+=知圆心坐标为(),21m m -，半径|r m =，圆心在直线21y x =-上，①假设存在直线与所有圆均相切，设为y kx b =+则(),21m m -到y kx b =+的距离为|r m =可得|r m ==直线与所有圆均相切，故切线应与m 无关，可取1b =-=解得2k =-±即(21y x -±=-所以，存在与所有圆均相切的直线，故①正确；过点()0,1-介于两相切直线之间的直线，均与所有圆相交，故②正确；过点()0,1-在两相切直线之外部区域的直线，与所有圆均没有交点，故③正确；假设过原点，则222()(21)2m m m -+-+=，得1m =或13m =，故④错误.故选：C 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8．已知,x y R ∈）AB ．3C．D ．6【答案】C 【分析】将问题转化为“点()0,y 到点()2,1的距离加上点(),0x 到点()2,1的距离加上点(),0x 到点()0,y 的距离之和的最小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值.【详解】()0,y 到点()2,1(),0x 到点()2,1的距离，表示点(),0x 到点()0,y 的距离，设()()()2,1,,0,0,A B x C y ，表示AB BC AC ++的长度和，显然当点(),0x 与点()0,y 在,x y 轴的非负半轴上，对应原式的结果更小，当()(),0,0,x y 均不在坐标原点，如下图所示：考虑到求解最小值，所以2,1x y ≤≤，设,B A 关于原点的对称点为,B A ''，所以AB BC AC AC B C A B AB A B AA '''''''++=++≥+>==当()(),0,0,x y 其中一个在坐标原点，如下图所示：此时分别有2AC BC AB AC AC AC ++>+==2AC BC AB AB AB AB ++>+==，所以AC BC AB ++>当()(),0,0,x y 都在坐标原点时，AB AC BC ++==的最小值为故选：C.【点睛】（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．直线21y ax a =-+必过定点（2，1）B ．直线3240x y -+=在y 轴上的截距为－2C10y ++=的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23-【答案】ACD 【分析】代入点的坐标判断A ，求出纵截距判断B ，求出斜率得倾斜角，判断C ，写出平移直线后的方程，与原方程一致，由此求得ba-，判断D ．【详解】2211z a -+=，所以点(2,1)在直线上，A 正确；对3240x y -+=，令0x =，得2y =，直线3240x y -+=在y 轴上截距为2，B 错误；10y ++=的斜率为120︒，C 正确；设直线l 方程为0ax by c ++=，沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后得(3)(2)0a x b y c ++-+=，即320ax by c a b +++-=它就是0ax by c ++=，所以320a b -=，所以23a kb =-=-，D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程，利用直线方程研究直线的性质是解析几何的基本方法．掌握直线的概念与特征是解题关键．10．已知点P 是直线3450x y -+=上的动点，定点()1,1Q ，则下列说法正确的是（）A ．线段PQ 的长度的最小值为45B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是23【答案】AC 【分析】当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，即可判断A 、D ，设出P 坐标，根据最短使PQ 与直线垂直求解P 坐标，即可判断C ，由两点式求出直线方程，即可判断B ．【详解】解：当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，Q 到直线的距离为223454534-+=+，故A 正确；故PQ 的长度范围为4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，2435<，故D 错误；设35,4m P m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3514413PQ m k m +-==--，解得1325m =，故P 为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；此时直线PQ 的方程是114113112525y x --=--，即4370x y +-=，故B 错误，故选：AC ．11．（2021•佛山模拟）已知圆2221:C x y r +=，圆2222:()()C x a y b r -+-=，(0r >，且a ，b 不同时为0)交于不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，下列结论正确的是A ．221122ax by a b +=+B ．1212()()0a x x b y y -+-=C ．12x x a +=，12y y b+=D ．M ，N 为圆2C 上的两动点，且||3MN r =，则||OM ON +的最大值为22a b r ++【答案】ABC【解析】根据题意，圆2221:C x y r +=和圆2222:(?)(?)(0)C x a y b r r +=>交于不同的两点A ，B ，∴两圆方程相减可得直线AB 的方程为：22220a b ax by +--=，即22220ax by a b +--=，分别把点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点坐标代入22220ax by a b +--=得：221122??0ax by a b +=，222222??0ax by a b +=，所以选项A 正确，上面两式相减得：12122()2()0a x x b y y -+-=，即1212()()0a x x b y y -+-=，所以选项B 正确，两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段AB 与线段12C C 互相平分，则有120222x x a a++==，12022y y bb ++==，变形可得12x x a +=，12y y b +=，C 正确；M ，N 为圆2C 上的两动点，且||3MN r =，设MN 的中点为D ，则2C D MN ⊥，所以22231()22C D r r r =-=，所以MN 的中点D 的轨迹为以2(,)C a b 为圆心，12r 为半径的圆，所以MN 的中点D 的轨迹方程为2221()()4x a y b r -+-=，又||2||OM ON OD +=，所以||OM ON +的最大值为222212()22a b r a b r +=+，故D 错误．故选ABC ．三、填空题12．已知C 为圆：()2211x y -+=上一动点，点B 坐标为(3，点A 坐标为()4,0，则3AC BC +的最小值为_________．【答案】27【分析】设圆心为M ，由圆的方程得到圆心和半径，取4,03D ⎛⎫⎪⎝⎭，可证得CMDAMC ，得到3AC CD =，可知()333AC BC CD BC BD +=+≥，利用两点间距离公式可求得最小值.【详解】设圆：()2211x y -+=的圆心为M ，则()1,0M ，半径1MC =，取4,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13MD MC MCMA==，CMD CMA ∠=∠，CMD AMC ∴，3AC CD ∴=，()333AC BC CD BC BD ∴+=+≥（当且仅当,,B C D 三点共线且C 在线段BD 上时取等号），BD =，3AC BC ∴+≥即3AC BC +的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆部分的最值问题的求解，解题关键是能够利用三角形相似将问题转化为三角形两边之和大于第三边的问题，由此确定三点共线时取得最小值.13．已知函数()f x ax b =--，其中a ，b R ∈，()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为___________.【答案】12【分析】数形结合分析可知(,)M a b 的最小值为()[]0,1g x x =∈与()h x ax b x =+=-纵向距离，从而可以求出结果.【详解】函数()(),f x ax b M a b =-≤，即四分之一圆[]0,1y x =∈上的点到直线1x y +=上的最大距离为12-，此时圆上的点记为P ，如图：只有过PN 的中点且平行于直线1x y +=的直线才满足条件，所以当211,2a b =-=时，(,)M a b 的最小值为()[]0,1g x x =∈与()212h x ax b x +=+=-的纵向距离，即(,)M a b 的最小值为1⎛- ⎝⎭故答案为：212.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．14．已知直线()()()11410a x a y a -++-+=（其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数1y x x=+的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是___________．【答案】[3)-+∞，【分析】把直线方程整理成a 的多项式，根据恒等式的知识求出定点P 的坐标，【详解】由()()()11410a x a y a -++-+=得(4)40x y a x y -+-++-=∴4040x y x y -+-=⎧⎨+-=⎩，解得0,4x y =⎧⎨=⎩，∴(0,4)P 。
新课标人教A版高中数学必修二《直线和圆》专题经典题型练习
直线和圆专题1.圆的方程和常见考点2.直线和圆的位置关系3.与直线和圆有关的最值问题4.高考专题：直线与圆（培优）圆的方程考点1、圆的标准方程例1．迅速而又准确的写出满足下列各条件的圆的标准方程：（1）圆心坐标为(1,2)A-，半径为2的圆的标准方程为（2）圆心坐标为(2,3)R-的圆的标准方程为p-，且经过点(1,1)（3）求以(1,2)A-，(5,6)B-为直径两端点的圆的标准方程为（4）圆心坐标为(1,2)A-，且圆与x轴相切，则圆的标准方程为（5）圆心坐标为(1,2)A-，且圆与y轴相切，则圆的标准方程为（6）求过点(5,2)y x=-上的圆的标准方程为B，且圆心在直线23A，(3,2)考点2、圆的一般方程例1．方程22-++=是圆的方程，圆心坐标是，半径是，(3)(4)10x y化为一般方程是例2．若方程224250x y mx y m++-+=表示的曲线是圆，则m的范围是____________考点3、点与圆的位置关系例1．过点(1,)A a-作圆224+=的切线，恒能作出两条切线，则a的取值范围是__________x y例2．圆22(1)4x y -+=上的点到(2,3)p -的最近距离是__________，最远距离是__________考点4、直线与圆的位置关系例1．直线20x y --=与圆222210x y x y +--+=的位置关系是_______，直线到圆的最近距离是___________，最远距离是___________。
例2．对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222230x y x y +---=的位置关系是________例3．圆222430x y x y +++-=到直线10x y ++=________个。
考点5、圆与圆的位置关系例1．两圆222x y x my m++-+-=2230+-++-=，2222450x y mx y m讨论m的取值情况使得两圆分别：（1）相离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含。
苏教版高中数学必修2：直线与圆中的动点问题专题练习
直线与圆中的动点控制1.已知直线0m y mx 与圆2:22y x O 交于不同的两点B A,，O 是坐标原点，OM OB OA ，若点M 也在圆O 上，那么实数m 的值是. 2.已知直线0m y x 与圆2:22y x O 交于不同的两点B A,，O 是坐标原点，AB OB OA ,那么实数m 的取值范围是. 3.过点)2,11(A 作圆016442:22y x y x O 的弦，其中弦长为整数的共有条4.设圆3:22y x C ，直线06-3:y x l ，点l y x P ）（00,，若存在点C Q ，使060OPQ （O 为圆点），则0x 的取值范围是. 5.已知BD AC,为圆4:22y xO 的两条互相垂直的弦，垂足为21，M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为.6.圆42-:22y x C ，圆R y x M ,1sin 5cos 52:22，若圆上M 任意一点P 作圆C 的两条切线PF PE,，切点分别为F E,，则PF PE 的最小值是. 7.已知直线09:y x l 和圆0188-22:22y x y x M ，点A 在直线l 上，C B ，为圆M 上两点，在ABC 中，045BAC ，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围是. 8.已知点2,0A 是圆0022-:22a ay ax y x M 外的一点，圆M 上存在点T 使得045MAT ，则实数a 的取值范围是.9.在平面直角坐标系xoy 中，过点1,0A 向直线02:m ymx l 作垂线，垂足为M ，则点M到点32，N 的距离的最大值为.10.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆上422y x 有且仅有四个点到直线05-12c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围是. 11.在平面直角坐标系xoy 中，圆0158-:22x y x C ，若直线2kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是. 12.已知圆1:22y xC ，点）（00,y x P 是直线0423:y x l 上的动点，若圆C 上总存在不同的两点B A,，使得OP OBOA ，则0x 的取值范围是. 13.已知圆12-:22y x C ，直线01y x 上存在点P 使得经过P 的直线l 与圆C 交于B A,两点，且点A 为PB 中点，则点P 的横坐标0x 的取值范围是.14.在平面直角坐标系xoy 中，圆256-1:221y x C ，圆222230-17-:r y x C ，若圆2C 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点B A,，满足AB PA2，则半径r 的取值范围是.15.在平面直角坐标系xoy 中，若与点2,2A 的距离为1且与点0,m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是.16.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为91-1-:22y x C ，直线3:kx y l 与圆C 相交于B A,两点，M 为弦AB 上的一动点，以M 为圆圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k的取值范围. 17.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x-a)2+(y+a-3)2=1(a>0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为. 18.在平面直角坐标系xoy 中，圆21-:221y x C ，圆2222-:m m y m x C ，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线PB PA,，切点为B A,，ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是.19.已知B A,是圆04:22xy x C 上两个动点，且32AB ，点P 在直线02:y x l 上，则PB PA 的最小值是.。
【名师同步】高中数学 必修2 直线与圆的位置关系 同步练习+应用练习题(含答案详解)
高中数学必修2 直线与圆的位置关系同步练习+应用练习题直线与圆的位置关系同步练习一、选择题：1.直线3x＋4y＋12=0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2=9的位置关系是( )A.相交并且过圆心B.相交不过圆心C.相切D.相离2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与y轴切于原点，那么( )A.D=0，E=0，F≠0B.D=0，E≠0，F=0C.D≠0，E=0，F=0D.D≠0，E≠0，F=03.圆x2＋y2－4x＋4y＋6=0截直线x－y－5=0所得弦长等于( )A.6B.225C.1D.54.圆x2＋y2＋2x＋4y－3=0上到直线l：x＋y＋1=0的距离为2的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知直线ax＋by＋c=0(abc≠0)与圆x2＋y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在6.与圆x2＋y2－4x＋2=0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2=r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＋r2=0，则( )A.l∥g且与圆相离B.l⊥g且与圆相切C.l∥g且与圆相交D.l⊥g且与圆相离二、填空题:8.已知P={(x，y)|x＋y=2}，Q={(x，y)|x2＋y2=2}，那么P∩Q为________.9.圆x2＋y2－4x=0在点P(1，3)处的切线方程为______________.10.P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12=0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是______________.三、解答题：11.求过点P(－1,5)的圆(x－1)2＋(y－2)2=4的切线方程.12.直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2=25相交，截得的弦长为45，求l的方程.13.已知直线x＋2y－3=0与圆x2＋y2＋x－2cy＋c=0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值.直线与圆的方程的应用一、选择题1.实数x ，y 满足方程x ＋y －4=0，则x 2＋y 2的最小值为( )A.4B.6C.8D.122.若直线ax ＋by=1与圆x 2＋y 2=1相交，则点P(a ，b)的位置是( )A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.都有可能3.如果实数满足(x ＋2)2＋y 2=3，则xy 的最大值为( ) A.3 B.－3 C.33 D.－33 4.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.4米B.3.0米C.3.6米D.4.5米5.已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x=0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A.3－2B.3＋2C.3－22 D.223 6.已知集合M={(x ，y)|y=9－x 2，y≠0}，N={(x ，y)|y=x ＋b}，若M∩N≠∅，则实数b 的取值范围是( )A.[－32，32]B.[－3,3]C.(－3,32]D.[－32，3)二、填空题:7.由直线y=x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2=1引切线，则切线长的最小值为________.8.在平面直角坐标系中，已知圆x 2＋y 2=4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是________.9.如图所示，A ，B 是直线l 上的两点，且AB=2.两个半径相等的动圆分别与l 相切于A ，B 点，C 是两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是________.三、解答题:10.如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4.过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 为切点)，使得|PM|=2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程.11.自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y ＋7=0相切，求光线l所在直线的方程.12.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4=0，是否存在斜率为1的直线l，使得l被C截得的弦AB为直径的圆经过原点.若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.13.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？1.答案为：D ；2.答案为：C ；3.答案为：A ；4.答案为：C ；5.答案为：B ；|c|=a 2＋b 2⇒c 2=a 2＋b 2，故为直角三角形.6.答案为：C ；7.答案为：A ；解析：8.答案为：{(1,1)}；9．答案为：x －3y ＋2=0；10.答案为：x ＋y －3=0；解析：过P 点最短的弦，应为与PC 垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为x ＋y －3=0.11.解：①当斜率k 存在时，设切线方程为y －5=k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＋5=0.由圆心到切线的距离等于半径得2，解得k=－125，∴切线方程为5x ＋12y －55=0. ②当斜率k 不存在时，切线方程为x=－1，此时与圆正好相切.综上，所求圆的切线方程为x=－1或5x ＋12y －55=0.12.解：13.解：1.答案为：C ；解析：令t=x 2＋y 2，则t 表示直线上的点到原点距离的平方，当过原点的直线与l ：x ＋y －4=0垂直时，可得最小距离为22，则t min =8.]2.答案为：B ；3.答案为：A ；4.答案为：C ；可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得：OD=3.6(米).5.答案为：A ；6.答案为：C ；7.答案为：7；解析：设P(x 0，y 0)为直线y=x ＋1上一点，圆心C(3,0)到P 点的距离为d ，切线长为l ，则l=d 2－1，当d 最小时l 最小，当PC 垂直直线y=x ＋1时，d 最小，此时d=22，∴l min =7.8.答案为：(－13,13)；解析：由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d<1.∴0≤|c|<13，即c ∈(－13,13).9.答案为：（0,2-2]; 解析:如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S 取得最大值，此时ABO 2O 1为矩形，且S max =2×1－12·π2·12×2=2－π2.10.解:以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0).由已知|PM|=2|PN|，∴|PM|2=2|PN|2.又∵两圆的半径均为1，所以|PO 1|2－1=2(|PO 2|2－1)，设P(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2－1=2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2=33.∴所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2=33.11.解:12.解:13.。
高中数学 直线、圆位置关系对点演练卷 新人教A版必修2
直线、圆的位置关系（30分钟）一、填空题1、已知P 是圆x2+y2=1上的动点，则P 点到直线l ：x+y −22＝0的距离的最小值为 ． 【解析】本题考查动点到直线的距离，根据题意结合图像可知当过圆心垂直于直线l 的直线1l 与圆相交于两点，当P 点在圆心与直线之间的交点时到直线l 的距离最小，当P 点在另一个交点时到直线l 的距离最大.【答案】由于圆心O （0，0）到直线l ：x+y −22＝0的距离22|0022|211d --==+，且圆的半径等于1，故圆上的点P 到直线的最小距离为 d-r=2-1=1．故最小值为1.2、求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程 ． 【解析】本题考查直线与圆相切的位置关系求直线方程，注意直线斜率不存在时直线是否存在的讨论，点斜式设直线方程的形式，再由圆心到直线的距离等于半径，解得斜率的值，当斜率不存在时验证是否符合题意，最后下结论.【答案】设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，∴()2221k =+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=，当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
所以，所求的直线l 的方程是34130x y +-=或3x =． 答案：34130x y +-=或3x =3、从直线x-y+3=0上的点向圆（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是 ．【解析】本题考查直线与圆相切的位置关系,由图像可知当圆心到直线x-y+3=0的距离最小时，切线长最小，首先求出圆心到直线的距离，然后根据勾股定理可求出最小的切线长. 【答案】如图设从直线x-y+3=0上的点P 向圆C ：（x+2）2+（y+2）2=1引切线PD ，切点为D ，则|CD|=1，在Rt △PDC 中，要使切线长PD 最小，只需圆心C 到直线上点P 的距离最小，∵点C （-2，-2）到直线x-y+3=0的距离CP′最小为22|223|32211d -++==+，∴切线长PD 的最小值为214129'22=-=-CD C p ．故切线长的最小值是214．4、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 【解析】本题考查弦长、弦心距、半径之间的关系.通过图像构造三角形，半径、弦心距、弦长的一半满足勾股定理求出弦长，从而求出劣弧所对一半的圆心角，最后求出劣弧所对的圆心角.【答案】依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围 ．.【解析】本题考查直线与曲线相切或相交的位置关系，数形结合分情况讨论的思想.利用数形结合动态的考虑直线与曲线的位置关系，找出只有一个公共点时，求出m 的取值范围. 曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ,当直线m x y +=与半圆相切时，求得m 的值；当直线m x y +=过点()2,0-时，求得m 的值；当直线m x y +=过点()2,0时，求得m 的值，数形结合可得m 的取值范围.【答案】∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，当直线m x y +=与半圆相切时，由0022m-+=2m =22m =-舍)；当直线m x y +=过点()2,0-时，把点()2,0-代入直线m x y +=，解得2m =；当直线m x y +=过点()2,0时，把点()2,0代入直线m x y +=，解得2m =-；利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .6、若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .【解析】本题考查圆与圆相切的位置关系.两圆相切分为内切和外切，2121r r O O +=或1221r r O O -=列出等式求出m 的值.【答案】∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O 半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25-=m ，∴实数m 的取值集合是}2,0,25,512{--. 答案：}2,0,25,512{--二、解答题7、(1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求yx 2-的最大、最小值．【解析】(1)本题考查点与圆的位置关系.圆上的点到圆心的距离最大值等于圆心到原点的距离加上半径，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径；(2) 本题考查点与圆的位置关系.由图像可知当直线与圆相切时两条切线的斜率分别是最大、最小值，令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值.【答案】(1)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'1d 减去半径1．所以6143221=++=d ． 4143222=-+=d ．所以36max =d ．16min =d ．(2)设k x y =--12，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．由11222=++--=k k k d ，得433±=k ．所以12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．由152=--=m d ，得52±-=m ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．。
(完整word版)必修二数学圆的方程及直线与圆的位置关系练习题
新课程高中数学训练题组（数学 2 必修）第四章圆与方程[ 基础训练 A 组]一、选择题１．圆 (x 2) 2 y2 5 对于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为( )A ．(x 2)2 y2 5 B．x2 ( y 2)2 5C．(x 2)2 ( y 2) 2 5 D．x2 ( y 2)2 52．若P(2, 1) 为圆 ( x 1)2 y 2 25 的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A. x y 3 0 B. 2x y 3 0C. x y 1 0D. 2x y 5 03．圆x2 y 2 2x 2 y 1 0上的点到直线 x y 2 的距离最大值是（）A ．2 B． 1 2 C．12D．122 24．将直线2x y 0 ，沿 x 轴向左平移个单位，所得直线与1圆 x2 y2 2 x 4 y 0 相切，则实数的值为（）A．3或7 B．2或8 C ．0或10 D．1或115．在座标平面内，与点A(1, 2) 距离为1 ，且与点B(3,1)距离为 2 的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．圆x2 y 2 4 x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为（）A ．x 3 y 2 0 B．x 3y 4 0 C．x 3y 4 0 D．x 3y 2 0二、填空题1．若经过点P ( 1,0) 的直线与圆 x2 y 2 4x 2 y 3 0 相切，则此直线在y 轴上的截距是__________________.2．由动点P向圆x2 y2 1 引两条切线PA, PB，切点分别为A, B, APB 600，则动点P 的轨迹方程为。
3．圆心在直线 2 x y 7 0 上的圆C与y轴交于两点 A(0, 4), B(0, 2) ,则圆C的方程为.４．已知圆 x 3 2 y2 4 和过原点的直线 y kx 的交点为P,Q则 OP OQ 的值为________________。
5．已知P是直线3x 4 y 8 0 上的动点，PA, PB 是圆 x2 y 2 2x 2 y 1 0 的切线， A, B 是切点，C是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________。
高二直线和圆练习题
高二直线和圆练习题1. 已知直线L1: 2x - y = 4 和直线L2: x + y = 2。
(a) 求直线L1和直线L2的交点坐标。
(b) 求过点(2, -1)同时与直线L1和直线L2平行的直线方程。
解答：(a) 首先，为了求出直线L1和直线L2的交点坐标，我们可以通过联立方程组的方法来解决。
将直线L1和直线L2的方程联立： 2x - y = 4 (1)x + y = 2 (2)可以通过消元法来求解方程组。
将方程(2)乘以2得到2(x + y) = 4，然后与方程(1)进行相减，可消除y的项，得到：2x - y - 2x - 2y = 4 - 4-3y = -4将上式变形可得：y = 4/3将y的解代入方程(2)中，可得：x + 4/3 = 2x = 2 - 4/3x = 2/3因此，直线L1和直线L2的交点坐标为(2/3, 4/3)。
(b) 接下来，我们需要求过点(2, -1)并且与直线L1和直线L2平行的直线方程。
两条直线平行意味着它们具有相同的斜率。
我们可以通过计算直线L1和直线L2的斜率来求得我们所需的直线方程。
直线L1的斜率为：k1 = 2直线L2的斜率为：k2 = -1由于这两条直线的斜率不相等，所以无法通过它们的斜率来确定平行直线方程。
我们需要利用点斜式来构建平行直线方程。
过点(2, -1)的直线方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)将点(2, -1)代入，并将斜率k设为k1，得到：y + 1 = 2(x - 2)y = 2x - 5因此，过点(2, -1)并且与直线L1和直线L2平行的直线方程为y =2x - 5。
2. 已知圆O的圆心坐标为(2, 3)，半径为4。
(a) 求圆的方程。
(b) 设点P的坐标为(5, 2)，判断点P是否在圆内。
解答：(a) 圆的方程可以表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的取值范围是 .
19.已知 A, B 是圆 C : x2 y2 4x 0 上两个动点，且 AB 2 3 ，点 P 在直线 l : x y 2 0 上，则 PA PB 的 最小值是 .
20.已知点 A, B 在圆 C : x2
y2
2
1上，点 P 在圆 M : x 3
2
y 4 1上，若 PA
PB ，则
实数 的取值范围是 .源自.8.已 知 点 A 0,2 是 圆 M : x2 y 2 - 2ax 2ay 0 a 0 外 的 一 点 ， 圆 M 上 存 在 点 T 使 得
MAT 450 ，则实数 a 的取值范围是
.
9.在平面直角坐标系 xoy 中，过点 A 0,1 向直线 l : mx y m 2 0 作垂线，垂足为 M ，则点
14.在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C1 : x 1 2 y - 6 2 25 ，圆 C2 : x -17 2 y - 30 2 r 2 ，若 圆 C2 上存在点 P ，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A, B ，满足 PA 2 AB ，则半径 r 的取值范围是 .
15.在平面直角坐 标系 xoy 中，若与点 A 2,2 的距离为 1且与点 B m,0 的距离为 3的直线恰有两条， 则实数 m 的取值范围是 .
直线与圆中的动点控制
1.已 知 直 线 mx y m 0 与 圆 O : x2 y2 2 交 于 不 同 的 两 点 A, B ， O 是 坐 标 原 点 ，
OA OB OM ，若点 M 也在圆 O 上，那么实数 m 的值是
.
2.已 知 直 线 x y m 0 与 圆 O : x2 y2 2 交 于 不 同 的 两 点 A, B ， O 是 坐 标 原 点 ，
M 到点 N 2，3 的距离的最大值为
.
10.在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆上 x2 y 2 4有且仅有四个点到直线 12 x - 5 y c 0 的距离
为 1，则实数 c 的取值范围是
.
11.在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C : x2 y2 - 8x 15 0 ，若直线 y kx 2 上至少存在一点，使
OPQ 600 （ O 为圆点），则 x0 的取值范围是
.
5.已知 AC, BD 为圆 O : x 2 y2 4 的两条互相垂直的弦，垂足为
面积的最大值为
.
M 1， 2 ， 则四 边形 ABCD 的
6.圆 C : x - 2 2 y 2 4 ，圆 M : x 2 5 cos 2
2
y 5 sin 1,
16.在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C 的方程为 C : x - 1 2 y -1 2 9 ，直线 l : y kx 3 与圆 C 相 交于 A, B 两点， M 为弦 AB 上的一动点，以 M 为圆圆心， 2为半径的圆与圆 C 总有公共点，则实 数 k 的取值范围 .
17.在平面直角坐标系 xOy中，圆 M ： (x-a)2+ (y+a- 3)2= 1(a> 0)，点 N为圆 M 上任意一点 .若以 N为圆心， ON为半径的圆与圆 M至 多有一个公共点，则 a的最小值为 .
得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是
.
12.已知圆 C : x2 y2 1，点 P（x0, y0）是直线 l : 3x 2 y 4 0 上的动点，若圆 C 上总存在不同
的两点 A, B ，使得 OA OB OP ，则 x0 的取值 范围是
.
13.已知圆 C : x - 2 2 y2 1，直线 x y 1 0 上存在点 P 使得经过 P 的直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，且点 A 为 PB 中点，则点 P 的横坐标 x0 的取值范围是 .
OA OB AB ,那么实数 m 的取值范围是
.
3.过点 A(11,2) 作圆 O : x2 y 2 2x 4 y 164 0 的弦，其中弦长为整数的共有
条
4.设 圆 C : x2 y2 3 ， 直 线 l : x 3y - 6 0 ， 点 P（ x0 , y0） l ， 若 存 在 点 Q C ， 使
R ，若圆上 M 任意一
点 P 作圆 C 的两条切线 PE , PF ，切点分别为 E, F ，则 PE PF 的最小值是
.
7.已知直线 l : x y 9 0 和圆 M : 2x2 2 y 2 -8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 l 上， B， C 为 圆 M
上两点，在 ABC 中， BAC 450 ， AB 过圆心 M ，则点 A 的横坐标 的取值范围是