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完整word版学习二次函数的技巧和方法word文档良心出品

二次函数专项知识分析知识能力目标：1、经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。

2、能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，提高有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。

3、会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。

4、能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

5、理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

考点一二次函数的图象和性质2+bx+c(a≠0，其中a、b1、二次函数的定义和知识点：形如y=ax、c是常数)的函数为二次函数。

（1）、a决定抛物线的开口方向和形状大小，当a＞0时，开口向上，当a＜0时开口向下；︱a ︱的值越大，开口就越小；当b=0时，抛物线的轴对称是Y轴；当c=0时，抛物线经过原点；当b和c同时为0时，其顶点就是原点。

2??b?b4ac2，???对称轴方程是直（a≠0）的顶点坐标是，y=ax（2）、抛物线+bx+c??aa42??b?，注意：对称轴是由a和b决定的，与c 无关，线x=a和b同号时，对称轴在Y2a轴的左边，a和b异号时，对称轴在Y轴的右边，简称“同左异右”。

2+bx+c（a≠0）与Y轴的交点坐标为（y=ax0，c）；求与X轴的两个交点3（）、抛物线2+bx+c=0的方程，得出的x的解就是与xax坐标的方法是令y=0，然后解关于轴的交点的横坐标。

这两个交点关于抛物线的对称轴对称。

2、二次函数的图象和性质。

2+bx+c（a≠0y=ax二次函数）的图象是一条抛物线，a决定抛物线的开口方向。

b?时，y随＞＞0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；函数有最小值；且x x当a2ab?时， y随x的增大而减小；当a＜0时，当的增大而增大；x＜抛物线的开口向下，2abb??时，x＜＞x时，y随的增大而减小；当图象有最高点，函数有最大值，且x2a2a y随x的增大而增大。

(word完整版)九年级上册数学二次函数知识点汇总,文档

新人教版九年级上二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义1．二次函数的定义：一般地，形如 y ax2bx c 〔 a ，b ，c 是常数，a 0〕的函数，叫做二次函数．其中 a 是二次项系数， b 是一次项系数，c是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：张口、对称轴、极点2. 二次函数y a x h 2k 的图象与性质〔1〕二次函数根本形式 y ax2的图象与性质： a 的绝对值越大，抛物线的张口越小〔2〕 y ax2 c 的图象与性质：上加下减2〔3〕 y a x h的图象与性质：左加右减〔4〕二次函数 y a x h2k 的图象与性质3. 二次函数 yax 2 bx c 的图像与性质〔 1〕当 a 0 时，抛物线张口向上，对称轴为xb，极点坐标为b ，4ac b 2 ．2a2a 4a当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；当 xb 时， y 随 x 的增大而增大；当xb 时，2a2 a2ay 有最小值4 ac b 2．4a〔 2〕当 a 0 时，抛物线张口向下，对称轴为xb，极点坐标为b ，4ac b 2 ．2 a2a 4a当 xb 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时， y 随 x 的增大而减小；当xb 时，2a2 a2a2y 有最大值 4 ac b．4a4. 二次函数常有方法指导（ 1〕二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法①画精确图五点画图法〔列表 -描点 -连线〕利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为极点式 y a(x h) 2 k ，确定其张口方向、对称轴及极点坐标，尔后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图抓住以下几点：张口方向，对称轴，与 y 轴的交点，极点 .（ 2〕二次函数图象的平移平移步骤：① 将抛物线解析式转变为极点式y a x h2h ，k ；k ，确定其极点坐标 ② 可以由抛物线 ax 2 经过合适的平移获取详尽平移方法以下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |个单位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 ( h<0)】向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a(x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减〞．〔 3〕用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：. 图象上三点或三对、的值，平时选择一般式 .②极点式：. 图象的极点或对称轴，平时选择极点式.③交点式：. 图象与轴的交点坐标、，平时选择交点式 .〔 4〕求抛物线的极点、对称轴的方法24ac b2b 4ac b2①公式法：2bx c a xby ax2a，∴极点是〔2a，〕，对称轴4a4a是直线 xb.2a②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a xh 2k 的形式，获取极点为( h , k ) ，对称轴是直线x h .③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，因此对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点.〔 5〕抛物线y ax2bx c 中， a,b, c 的作用① a 决定张口方向及张口大小，这与y ax 2中的a完满相同.② b和 a 共同决定抛物线对称轴的地址由于抛物线 y ax 2bx c 的对称轴是直线x b，故2a若是 b0 时，对称轴为y 轴；若是b0 〔即a、b同号〕时，对称轴在y 轴左侧；a若是b0 〔即a、b异号〕时，对称轴在y 轴右侧. a③ c 的大小决定抛物线y ax 2bx c 与y轴交点的地址当 x0 时， y c ，因此抛物线y ax 2bx c 与y轴有且只有一个交点〔0，c〕，故若是 c0 ，抛物线经过原点；若是 c0 ,与 y 轴交于正半轴；若是 c0 ,与 y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数 y ax 2bx c ，当 y 0 时，获取一元二次方程ax2bx c 0 ，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 .(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，那么方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，那么方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，那么方程没有实根 .经过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象方程有两个相等实数解方程有两个不等实数解方程没有实数解的解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识〔1〕y轴与抛物线y ax 2bx c 得交点为 (0, c) .〔 2 〕与y轴平行的直线x h 与抛物线y ax 2 bx c 有且只有一个交点( h , ah2bh c ).〔 3〕抛物线与x 轴的交点二次函数 y ax 2bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1、 x2，是对应一元二次方程 ax 2bx c0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的鉴识式判断：①有两个交点0抛物线与 x 轴订交；②有一个交点〔极点在 x 轴上〕0 抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x 轴相离.〔 4〕平行于x轴的直线与抛物线的交点同〔 3〕相同可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，那么横坐标是ax2bx c k 的两个实数根.〔 5〕一次函数y kx n k 0的图像 l 与二次函数y ax 2bx c a 0 的图像G的y kx n 交点，由方程组ax2的解的数目来确定：y bx c②方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时l 与 G 没有交点.〔 6 〕抛物线与x 轴两交点之间的距离：假设抛物线y ax 2bx c 与 x 轴两交点为A x ，，B x ，，由于x1、 x2是方程 ax 2bx c0 的两个根，故1 020x1x2b, x1 x2ca ab2b24acAB x1 x2x12x1 x224x1 x24cx2a a a a知识点四：利用二次函数解决实责问题7.利用二次函数解决实责问题，要建立数学模型，即把实责问题转变为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题 . 在研究实责问题时要注意自变量的取值范围应拥有实质意义.利用二次函数解决实责问题的一般步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)把实责问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去解析问题、解决问题.。

(完整word版)九年级数学上册二次函数讲义

初三数学二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

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课题：二次函数教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．（一）主要知识：1.二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．2.二次函数的图象及性质；3.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．（二）主要方法：1.讨论二次函数()02≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题：①注意对称轴abx 2-=与区间[]q p ,的相对位置； ②函数()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性.2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．二次函数是高考考查的永恒主题（三）典例分析：问题1．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=--，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为 22，求()f x 的解析式问题2．已知223()222m f x x mx m =++--，当()0,x ∈+∞时，()0f x >，求实数m 的取值范围.问题3．函数2()44f x x x =--在闭区间[],1t t +（t R ∈）上的最小值记为()g t ，()1试写出()g t 的函数表达式；()2作出()g t 的图像并求出()g t 的最小值问题4． ()1方程2240x ax -+=的两根均大于1，求实数a 的取值范围()2方程2240x ax -+=的一根大于1，一根小于1，求实数a 的取值范围 ()3方程2240x ax -+=的根在()0,1内，另一根在()6,8，求实数a 的取值范围问题5．已知二次函数 2()f x ax bx =+（,a b 为常数，且0a ≠）满足条件： (5)(3)f x f x -+=-，且方程()f x x =有等根.()1求()f x 的解析式；()2是否存在实数m 、n （m n <），使()f x 的定义域和值域分别是[],m n 和[]3,3m n . 如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，请说明理由.问题6．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠， ()1当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；()2对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；★问题7．已知二次函数2()1f x ax bx =++（a 、b R ∈，0a >），设方程()f x x = 的两个实根为1x 、2x .()1如果1224x x <<<，设函数()f x 的对称轴为0x x =，求证：01x >-；()2如果12x <，212x x -=，求b 的取值范围.（四）巩固练习：1.已知二次函数的对称轴为2x =-，截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．2.（04江苏）二次函数c bx ax y ++=2（x R ∈）的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4 －6 －6 －46则不等式c bx ax ++20>的解集是3.函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 .A 0b ≥ .B 0b ≤ .C 0b > .D 0b <4.函数2()45f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则(1)f 的取值范围是.A (1)f ≥25 .B (1)25f = .C (1)f ≤25 .D (1)25f >5.已知,0,)(2≠⋅+=b a bx ax x f 且,2006)()(21==x f x f则=+)(21x x f （五）课后作业：1.（03上海）若函数2(2)3y x a x =+++（[,]x a b ∈）的图象关于1x =对称，则b =2.若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（）.A 0 .B 2-.C 52-.D 3-3.已知2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时()f x ≥0恒成立，则a 的范围是4.（04云南二检）已知实数0a >，0a b c -+<，其中a 、b 、c R ∈，则一定有 .A 240b ac -> .B 24b ac -≤0 .C 240b ac -< .D 24b ac -≥05.设a 、b 、c R ∈，且440a b c -+>，20a b c ++<，则下列结论中正确的是 .A 2b ≤ac .B 2b ac > .C 2b ac >且0a > .D 2b ac >且0a <6.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的范围．7.关于x 的方程()94340x x a ++⋅+=有实数解，则实数a 的范围是8.m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．9.二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．10.已知函数2y x bx c =++且)()1(x f x f -=+，则下列不等式中成立的是.A )2()0()2(f f f <<- .B )2()2()0(f f f <-< .C )2()2()0(-<<f f f .D )2()0()2(-<<f f f11.不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的范围是 12.已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)21(-f 的值. 13.设函数2()22f x x x =-+（[],1x t t ∈+）的最小值为()g t ，求()g t 的解析式 14.设函数12)(2++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。

九年级上册数学二次函数(篇)(Word版含解析)

九年级上册数学二次函数（篇）（Word版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．【详解】解：（1）对于直线y＝12x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，则点C是RQ的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝OCOB＝12＝tan∠ROC＝RCBC，则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22(2)x x5＝BQ，在△QRB中，S△RQB＝12×QR•BC＝12BR•QK，即122x•2x＝125，解得：KQ5∴sin∠RBQ＝KQBQ55x＝45，则tanRBH＝43，在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×43＝163，则点H （0，﹣163），由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝43（x ﹣4）②，联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53，当x ＝53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929）；综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线L 的对称轴．（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M，M′的坐标即可解决问题．（3）分OD是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线L：y＝ax2﹣4ax(a＞0)，∴抛物线的对称轴x＝﹣42aa＝2．（2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A(4，0)，∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M((2，﹣2)，M′(2，2)把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a＝12，∴抛物线L′的解析式为y＝﹣12(x﹣2)2+2＝﹣12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD 为平行四边形的边时，PQ ＝OD ＝2，设P (m ，12m 2﹣2m )，则Q [m ﹣2，﹣12(m ﹣2)2+2(m ﹣2)]或[m +2，﹣12(m +2)2+2(m +2)]， ∵PQ ∥OD ， ∴12m 2﹣2m ＝﹣12(m ﹣2)2+2(m ﹣2)或12m 2﹣2m ＝﹣12(m +2)2+2(m +2)，解得m ＝33，∴P 33或(333或(133和33，当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣32)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为33或(333或(133)和33)或(1，﹣32)．【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题3．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣b ＜0．【解析】【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a 是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围．【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，令x ＝2x 2﹣x ﹣4，化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）由题意可得，点A 和点B 在直线y ＝x 上，设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣b a，∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a-）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，∴点（2b a -，2ba -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2ba -＝21221b a a ++∴﹣b ＝222122a a a ≤+＝2，（当a ＝22时取等号） ∴0＜﹣b ≤24， ∴﹣2≤b ＜0，即b 的取值范围是﹣24≤b ＜0．【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32MN AN =时，求点M 的坐标；（3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（2）点M 的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）点P的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）根据题意直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，-2）、（4，0），即可求解；（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN ＝32时，则NHON＝32，即4343mmm---＝32，进行分析即可求解；（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）设点M（m，12m2﹣32m﹣2）、点A（0，﹣2），将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN＝32时，则NHON＝32，即：4343mmm---＝32，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；②当∠PAB＝∠OAB时，当点P在AB上方时，无解；当点P在AB下方时，将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，则sin∠H＝BO OAHB HA'=，即：2444x x=++，解得：x＝83，则点H（﹣83，0），．则直线AH的表达式为：y＝﹣34x﹣2③，联立①③并解得：x＝32，故点P（32，﹣258）；③当∠PAB＝∠OBA时，当点P在AB上方时，则AH＝BH，设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，故（4﹣a ）2＝a 2+4，解得：a ＝32，故点H （32，0），则直线AH 的表达式为：y ＝43x ﹣2④，联立①④并解得：x ＝0或173（舍去0），故点P （173，509）；当点P 在AB 下方时，同理可得：点P （3，﹣2）；综上，点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．5．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式；()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为()0,3或113113++⎝⎭【解析】【分析】（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.（2）首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解；（3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标．【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-=则点()3,0B ．设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)，将点,B C 的坐标代入，可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()3∵PD y 轴，45PDM ∠=︒第一种情况：令DM y x b =+,33D(22，）解得：b=0∴223y x y x x =⎧⎨=-++⎩解得：113x =∴113113M 22++（，）第二种情况：令DM y x b =-+,33D(22，）解得：b=3∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得：x=0或x=3（舍去）∴M 03（，）满足条件的点M 的坐标为()0,3或113113,22⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.6．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+2 (2)存在，P 1（，4），P 2（，），P 3（，﹣）(3)当点E 运动到（2，1）时，四边形CDBF 的面积最大，S 四边形CDBF 的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值7．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣15【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t-，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=1541515-+-(舍)或y=1541515+，∴t=32﹣12×1y，∴t=9﹣215，∴P(0，9﹣215)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．8．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=23S△ABD?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.【答案】（1）213222y x x=-++（2）存在，D（1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10【解析】【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++；（2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=，设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=，解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=，解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-，解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC ==BC ==∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =， ∴OC AC FM AF =，即2535FM = 解得：6FM =，∴点F 为（2，6），且B 为（4，0），设直线BE 解析式为y=kx+m ，则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得312k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；联立直线BE 和抛物线解析式可得：231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得：40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩， ∴点E 坐标为：(5,3)-， ∴22(54)(3)10BE =-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-，故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①，则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）；（Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）；（Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN =AN =，解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）；故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35，则直线AD 的表达式为：y=3342x -，设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -），则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<，故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y 轴，∴25CH DC DH OC AC OA ===． ∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH 为等腰直角三角形，∴26355CH DH ==⨯=． ∴64255BH BC CH =-=-=． ∴tan ∠DBC=32DH BH =. （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，∵∠BAC=∠FAC ，∴∠OAB=∠OFA ．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.。

(完整word版)人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.|a|越大,则二次函数图像的开口越小.1、决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0 ）,对称轴在y轴右.事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.2、决定二次函数图像与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点.二次函数图像与y轴交于（0，c)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

Array 2. 2=+的性质：上加下减。

y ax c3. ()2=-的性质：左加右减。

y a x h Array 4. ()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：2-32y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是 2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y 0 0 -1 x D1、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数教案Microsoft Word 文档 (2)

27.1 二次函数学习目标：1．使学生理解二次函数的概念．2．使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围，简单的用待定系数法确定二次函数解析式学习过程：一、创设情境，导入新课1．什么叫函数？它有几种表示方法？2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k ≠0的条件？ k 值对函数性质有什么影响？二、合作学习，探索新知1.正方形的边长是a ，面积s 与边长a 之间的函数关系如何表示？2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．归纳定义：做一做1、下列函数中，哪些是二次函数？(1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -=2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -= 3、若函数mmx m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为。

三、例题示范，了解规律例1．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．例2．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式．例3．如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。

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【最新整理，下载后即可编辑】《二次函数》复习提纲一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数，)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y = 当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=2 0=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，)例：（2012泰安）二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限二、二次函数的解析式（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax 2（a 是常数，且a ≠0），x 取任意实数。

②二次二项式型：形如y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0），x 取任意实数。

③二次二项式型：形如y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0），x 取任意实数。

④二次三项式型：形如y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0），x 取任意实数。

（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a ≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。

（3）二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）交点式：12()()y a x x x x =--（a ≠0）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=（a ≠0）。

(word完整版)九年级上册数学二次函数知识点汇总,推荐文档

点新人教版九年级上二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a ，， b c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数．其中 a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒ 2. 二次函数 y = a (x - h )2+ k 的图象与性质（1）二次函数基本形式 y = ax 2 的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小（2） y = ax 2 + c 的图象与性质：上加下减抛物线的三要素：开口、对称轴、顶（3）y =a (x -h)2 的图象与性质：左加右减⎝⎭ ⎝ ⎭（4）二次函数 y = a (x - h )2+ k 的图象与性质3. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与性质b⎛ b 4ac - b 2 ⎪⎫ ．（1）当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a， 4a当 x < - b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b时，2a 2a 2a4ac - b 2y 有最小值．4ab⎛ b 4ac - b 2 ⎪⎫．（2）当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a， 4a当 x < - b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > - b时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - b 时，2a 2a2a 4ac - b 2y 有最大值．4ab4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，与 y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ， ② 可以由抛物线 ax 2 经过适当的平移得到具体平移方法如下：k )；【【(k >0)【【【【(k <0)【【【 |k |【【【【【( h >0)【【【( h <0【【【 |k|【【【【【( h >0)【【【( h <0) 【【 |k|【【【【【( k >0)【【【( k <0)【【【 |k |【【【【【( h >0)【【【( h <0)【【【 |k|【【【y=a (x-h )2【【(k >0)【【【(k <0)【【【 |k |【【【平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）用待定系数法求二次函数的解析式y=a (x-h )2+k①一般式： .已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法： y = ax 2 + bx + c = ⎛ +b⎫2 4ac - b 2 b 4ac - b 2a x⎪ + ，∴顶点是（- ，），对称轴是直线 x = - .2a⎝ 2a ⎭4a 2a 4a ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y = a (x - h )2+ k 的形式，得到顶点为( h ,k )，对称轴是直线 x = h .y=ax 2y=ax 2+k③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.（5）抛物线y =ax 2 +bx +c 中，a, b, c 的作用① a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2 中的a 完全一样.② b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线y =ax 2 +bx +c 的对称轴是直线x =-b，故2a如果b = 0 时，对称轴为y 轴；b如果> 0 （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；a b如果< 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.a③ c 的大小决定抛物线y =ax 2 +bx +c 与y 轴交点的位置当x=0时，y =c ，所以抛物线y =ax 2+bx +c 与y轴有且只有一个交点（0，c ），故如果c = 0 ，抛物线经过原点；如果c > 0 ,与y 轴交于正半轴；如果c < 0 ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数y =ax 2 +bx +c ，当y = 0 时，得到一元二次方程ax2 +bx +c = 0 ，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：⎩的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解6. 拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1） y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ) .（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h ,ah 2 + bh + c ).（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是对应一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔ ∆ > 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） ⇔ ∆ = 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点⇔ ∆ < 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相离. （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 + bx + c = k 的两个实数根.（5）一次函数 y = kx + n (k ≠ 0)的图像l 与二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)的图像⎧ y = kx + nG 的交点，由方程组⎨ y = ax 2+ bx + c的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔ l 与G 有两个交点;( x + x ) - 4x x 21 2 1 2⎛ - ⎪ - b ⎫24c ⎝ a ⎭ ab 2 - 4ac a ( x - x )21 2 ②方程组只有一组解时⇔ l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔ l 与G 没有交点.（6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴两交点为A (x ，0)，B (x ，0)，由于 x 、 x 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根，故1212x + x = - b , x ⋅ x = c 1 2a 1 2 aAB = x 1 - x 2 == = = =知识点四：利用二次函数解决实际问题7. 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1) 建立适当的平面直角坐标系；(2) 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.∆a“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

二次函数Word 文档

教学后记
(10)y=2x (x－3)(11)y=x (x+1)－x2
2、已知正方形边长是6，若边长增加x，则面积增加y,则y与x的函数关系
3、半径是1cm的圆的半径增加xcm时，圆的面积增加ycm2，y与x之间的关系式
4、当m为何值时，函数是x的二次函数。
5、已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=—1时，y=1．求a、b、c，
3、已知一个直角三角形的两直角边的和是10cm。若设其中一条直角边长为xcm。，则另一条直角边长为，若这个直角三角形的面积s与x的函数关系式是，
当x=5时，直角三角形的面积为。
4、n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛场次数m与球队数n之间的关系式.
5、用总长为60cm的铁丝围成矩形场地，矩形面积s(平方厘米)与矩形的一边长x(cm)之间的关系：
6、y＝(m＋3) ＋(m＋2)x＋3，当m为何值时，y是x的二次函数。
7、已知二次函数y=4x2＋5x＋1，（1）其中a=______,b=_______,c=_______,
（2）求当y=0时的x的值。
附：作业布置：
〔必做题〕：1、.课本p14第1. 2题.
〔选做题〕2、篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
四、巩固检测：（约8分钟）（A.B.C层完成）
P3练习1.2题
五、小结（约2分钟）
我的收获：
我的困惑：
六、课后升华（约3分钟）：（A.B.层完成，鼓励C层完成）
1、某机械公司第一月销售50台，第三月销售y台与月平均增长率x之间的关系式：
2、把一个长4cm宽3cm的矩形的长和宽都增加xcm所得的新矩形的面积y(cm2)用x表示为。

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初三数学---二次函数复习编稿：梁威审稿：龚剑钧责编：张晓新知识要点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向中考要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系.例题分析：1．已知二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点（A 点在B点左侧），与y轴交于点C，直线经过点B、C，且B点坐标为（3，0）．求二次函数解析式；解：∵交x轴于B（3，0）∴b=3二次过点B（3，0）∴2．已知抛物线与x轴交于不同的两点和，与y轴交于点C，且是方程的两个根．求抛物线的解析式；解：∵，∴3．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交轴于点C．求过A、B、C三点的抛物线；解：由直线得A（8，0），B（0，6）∴C（3，0）设过点（0,6）则∴4．在平面直角坐标中，抛物线（m是常数）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且A、B两点在原点两侧．（1）求A、B两点的坐标（可用含m的代数式表示）；（2）若，求抛物线的解析式；解：（1）∵∴，，（2）C（0，m）,∴∵∴，（舍）∴5．已知二次函数的图象是．（1）求关于点R（1，0）中心对称的图象的函数解析式；（2）在（1）的条件下，设抛物线、与y轴的交点分别为A、B，当AB=18时，求的值．解：（1）抛物线的顶点（-2，-1），关于R（1，0）的对称点（4，1）是设抛物线的顶点.∴设设抛物线为：（2）∵抛物线、与y轴的交点分别为A、B，∴A(0,4a-1)、B(0,-16a+1)或或6．如图，点A在x轴的负半轴上，OA=4，．将△ABO绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到，再继续旋转90°，得到．抛物线经过B、B1两点．（1）求抛物线的解析式．（2）点B2是否在此抛物线上?请说明理由．解：（1）过点B作BE⊥OA于点E，第6题答案图∵AB＝OB，．又OB＝，．∴B(－2，1)．∴B1(1，－2)，B2(2，－1)．∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过B、B1两点，解得∴抛物线的解析式为．（2）∵当x＝2时，，∴点B2(2，－1)不在此抛物线上．7．在平面直角坐标系中，将直线沿轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线沿x轴平移，得到一条新抛物线与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．（1）求直线AB的解析式；（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；解：（1）设直线AB的解析式为．将直线与x轴、y轴交点分别为（－2，0），（0，），沿x轴翻折，则直线、直线AB与x轴交于同一点（－2,0），∴A（－2,0）．与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称,∴B（0，），∴解得，．∴直线AB的解析式为．（2）设平移后的抛物线的顶点为P（h，0），则抛物线解析式为：=．∴D（0，）．∵DF∥x轴，∴点F（2h，），又点F在直线AB上，∴．解得，．∴抛物线的解析式为或．8．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB=30°，OE为的中线，过B、E两点的抛物线与轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．求抛物线的解析式；解：过E作EG⊥OD于G，∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，∴△BOD∽△EGD，∵点B（0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，；∵E为BD中点，∴∴EG=1，∴∴点E的坐标为.∵抛物线经过B（0，2）、两点，∴，可得；∴抛物线的解析式为.9．如图，△AOC在平面直角坐标系中，∠AOC=90°，且O为坐标原点，点A、C分别在坐标轴上，AO=4，OC=3，将△AOC绕点C按逆时针方向旋转，旋转后的三角形记为．当CA边落在y轴上（其中旋转角为锐角）时，一条抛物线经过A、C两点且与直线相交于轴下方一点D，如果，求这条抛物线的解析式；解：由题意得，设D(x,y)，则∵D在轴下方一点∴∴D()设所求抛物线的解析式为：过、D()∴∴10．二次函数的图像与轴交于A、B两点（A在B点的左侧）（1）求A、B两点的坐标；（2）若这个二次函数的图像与反比例函数的图像交于点C，且∠BAC的正弦值为，求这个二次函数的解析式。

(完整word)九年级数学二次函数全章(基础)全章专题复习讲义无答案

二次函数)0(2≠=a ax y 与)0(2≠+=a c ax y 的图象与性质【要点梳理】要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c (a ≠0，a , b , c 为常数)的函数是二次函数. 若b =0，则y =ax 2+c ；若c =0，则y =ax 2+bx ；若b =c =0，则y =ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y =ax 2+bx +c (a ≠0)是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①)0(2≠=a ax y ；②)0(2≠+=a k ax y ；③)0()(2≠-=a h x a y ；④)0()(2≠+-=a k h x a y ，其中a b h 2-=，ab ac k 442-=；⑤)0(2≠++=a c bx ax y .要点诠释：如果y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a =0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，0a ≠)；2. 顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，0a ≠)；3. 两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标)(或称交点式). 要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象及性质 1.二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。

完整word版二次函数复习全部讲义

. WORD格式整理. .二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。

这些内容是中考二次函数重点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。

一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标123?x?5)y??(），下列说法正确的是（、对于抛物线例13(53)，3)(5， BA．开口向下，顶点坐标．开口向上，顶点坐标(?5，(?5，3)3)．开口向下，顶点坐标D．开口向上，顶点坐标C 二、求抛物线的对称轴2??xy?x32。

的图象的对称轴是直线、二次函数例2三、求二次函数的最值2mx?）（mx?y?(m?1)mx?y则函数,若一次函数例3、的图像过第一、三、四象限mmmm??有最小值 C.有最小值 D. B.A.有最大值有最大值4444四、根据图象判断系数的符号2c??bxy?ax）例4、已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ccaa0 ＜0，＞0，＜＞0 B． A．caac0＞C．0＜0，，＞0D．＜五、比较函数值的大小1135CB）（），）为，（A y,?y?,y,（、若例51234442y,y,y5?x?4x?y ( ) 的大小关系是的图象上的三点，则二次函数231y??y?y?yyy?yy?yy?y?y． DC． B．．A231331222311六、二次函数的平移2x??y个单位，则平移后抛物线3向左平移1个单位，然后向上平移、把抛物线6例）的解析式为（2231)?3y??(x??y??(x1)? B. A.2231)x??3y??(x?1)?y??( D. C.2x3?y个单位，1绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移将抛物线例7 此时该抛物线的解析式为（）. . 专业知识分享. .. WORD格式整理. .221??1)y??3(xy??x??1)13( B. A.221?3(x?1)?y??x?y??13()1 D.C.B(3,0). 且过例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4);求该二次函数解析式(1)并直接写出平移后所得,(2)将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点. 轴的另一个交点的坐标图象与x33922?k?h)y?a(x y?x??x?的形式．代成）把二次函数1（4429332?y??x?x的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形）写出抛物线（2 4422ax?y的抛物线经过怎样的变换得到的？如3392x?x?y??x0≤x≤3，请画出图象，并试中，的取值范围是）如果抛物线（3424着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．七、求代数式的值221x?y?x?2008m?m?x0)，(m，轴的一个交点为则代数式的与已知抛物线9例、值为（）A．2006 B．2007 C．2008 D．2009八、求与坐标轴的交点坐标?ax?y?x y2(1)轴交点2+x-y=x．y轴的交点坐标为、抛物线 4与例102轴右侧与图像的一部分，该图在如图是二次函数11、例。

word完整版二次函数图像以及性质完整归纳,文档

适用标准文档二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax 2的性质：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质0，0 x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值0．x 的增大而减小；a0，0 x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下 y 轴x0时，y 有最大值0．x 的增大而增大；的绝对值越大，抛物线的张口越小。

yax 2c 的性质：上加下减。

a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a0，c x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值c ．x 的增大而减小；a 00，c x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下y 轴x0时，y 有最大值c ．x 的增大而增大；3.yax 2h 的性质：左加右减。

a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 向上 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而增大； xh 时，y随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值0．a 0 向下 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小； xh 时，y随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值0．4.yax 2hk 的性质：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a0h，k xh时，y随x的增大而增大；xh时，y向上X=hx h时，y有最小值k．随x的增大而减小；a0h，k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y向下X=hx h时，y有最大值k．随x的增大而增大；文案大全适用标准文档二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线分析式转变为极点式yaxh 2h ，k ；k ，确立其极点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0) 【或左(h<0) 】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴y ax 2 bx c 沿y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变为yax 2 bx c m （或y ax 2 bx cm ）⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2 bx c 变为ya(x m)2 b(x m) c （或y a(x m)2 b(x m) c ）三、二次函数yax h 2k 与y2bx c 的比较ax从分析式上看， y a x 2k 与y ax 2 bxc 是两种不一样的表达形式，后者经过配hb 24ac b 2b，k4ac b 2方能够获得前者，即y a x，此中h ．2a4a2a4a四、二次函数yax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为极点式y a(x h)2k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c 、以及 0，c 对于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x 1，0 ，x 2，0（若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与 x 轴的交点，与y 轴的交点.文案大全五、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．2a2a4a当x b时，y随x的增大而减小；当x b时，y随x的增大而增大；当x b 2a2a2a 2时，y有最小值4acb．4a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．当2a2a4ax b时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当x b时，y 2a2a2a 2有最大值4ac b．4a六、二次函数分析式的表示方法1.一般式：y ax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：y a(x h)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：y a(x x1)(x x2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0．⑴当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；⑵当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大．总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定张口方向，a的大小决定张口的大小．一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右边．2a文案大全⑵在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左边．2a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点．ab的符号的判断：对称轴xb0，在y轴左边则ab0，在y轴的右边则ab2a归纳的说就是“左同右异”总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点．总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称y ax2bx c对于x轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2yax h2 k对于x轴对称后，获得的分析式是k；对于y轴对称y ax2bx c对于y轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2y ax h2 k对于y轴对称后，获得的分析式是k；文案大全适用标准文档对于原点对称y ax2bx c对于原点对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y ax h 2y a x h2k；k对于原点对称后，获得的分析式是4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）y ax2bx c对于极点对称后，获得的分析式是y ax2bx c b2；2ay ax h 2y a x h2k．k对于极点对称后，获得的分析式是5.对于点m，n对称y ax h 2y a x h22nk k对于点m，n对称后，获得的分析式是2m依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必定不会发生变化，所以a永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依照题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及张口方向，而后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参照：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x2y=2x2y=2(x-4)2x2十y=2y=2(x-4)2-3一、y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y=-2x2文案大全适用标准文档【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y1x24x6的图象1x221(x2【解】y4x68x12)22 1[(x24)2-4]1(x24)2-222以x4为中间值，取x的一些值，列表以下：x-7-6-5-4-3-2-1y 53-2352222【例2】求作函数y x24x3的图象。

二次函数基础总复习Microsoft Office Word 97-2003 文档

九年级§2.1 二次函数所描述的关系1. 函数y=（m ＋2）x22 m ＋2x －1是二次函数，则m= ．2．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．3．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数4．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（）A ．S=2π（x ＋3）2B ．S=9π＋xC ．S=4πx 2＋12x ＋9D ．S=4πx 2＋12x ＋9π 5. 下列函数中是二次函数的有（）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. (1)正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式． (2)已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式． (3)已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式． (4)已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．7.如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式． 8.某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 9．已知：一等腰直角三角形的面积为S ，请写出S 与其斜边长a 的关系表达式，并分别求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积．10． ⑴已知：如图菱形ABCD 中，∠A=60°，边长为a ，求其面积S 与边长a 的函数表达式．⑵菱形ABCD ，若两对角线长a ：b=1：3，请你用含a 的代数式表示其面积S ． ⑶菱形ABCD ，∠A=60°，对角线BD=a ，求其面积S 与a 的函数表达式．2．2 结识抛物线1．函数y=x 2的顶点坐标为．若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是． 2．若点A （3，m ）是抛物线y=－x 2上一点，则m= ．3．函数y=x 2与y=－x 2的图象关于对称，也可以认为y=－x 2，是函数y=x 2的图象绕旋转得到．4．若二次函数y=ax 2（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为． 5．函数y=x 2的图象的对称轴为，与对称轴的交点为，是函数的顶点．6．点A （21，b ）是抛物线y=x 2上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B 是，它在函数上；点A 关于原点的对称点C 是，它在函数上．7．若a ＞1，点（－a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，判断y 1、y 2、y 3的大小关系？ 8．如图，A 、B 分别为y=x 2上两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB=6，则直线AB 的表达式为（）A ．y=3B ．y=6C ．y=9D ．y=36 9求出函数y=x ＋2与函数y=x 2的图象的交点坐标． 11．分别说出抛物线y=4x 2与y ＝-41 x 2的开口方向，对称轴与顶点坐标． 12.已知函数y=m ·x m2+m ． m 取何值时，它的图象开口向上．当x 取何值时，y 随x 的增大而增大．当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．§2.3 刹车距离与二次函数【例1】已知抛物线y=（m ＋1）x mm +2开口向下，求m 的值．【例2】k 为何值时，y=（k ＋2）x622--k k 是关于x 的二次函数？【例3】已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．（1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小；（4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．【例4】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为k 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．五、课后练习1．抛物线y=－4x 2－4的开口向，当x= 时，y 有最值，y= ．2．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）xmm +2＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y 随x 的增大而；在对称轴右侧，y 随x 的增大而．5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（）A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（）A ．y=41x 2 B ．y=4x 2 C ．y=－2x 2 D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（） A ．两条抛物线关于x 轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（）11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（） A ．4B ．2C ．21D ．41 12．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．13．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．14．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ．水位上升3m ，就达到警戒线CD ，这时，水面宽度为10m ．（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？2.4二次函数所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数一、填空：1、写出一个开口向下，顶点坐标是（0，2）的二次函数的表达式：______2．有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长宽上分别剪去宽为x cm （x<6）的纸条（如图1），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y=______，其中_____是自变量，_____是因变量．图12 图3．下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22＋x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______（其中x、t为自变量）．4．函数y=226a aax--是二次函数，当a=_____时，其图象开口向上；当a=_____时，其图象开口向下．5．如图2，根据图形写出一个符合图象的二次函数表达式：．如图3根据图形写出符合图象的二次函数表达式：6.已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).①m<n<0 ②m>0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>07．抛物线y=ax2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.函数y=2x2的图象对称轴是______，顶点坐标是______．8 抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2向_____平移______个单位得到的.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1,则m= n=9．直线y=x＋2与抛物线y=x2的交点坐标是______．.二、选择1．下列各关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（）A ．y =218xB ．y =C ．21y x=D ．y =a 2x2．下列函数不属二次函数的是（）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2 C.y=2(x+3)2－2x 2 D.y=1－3x 23．函数y =ax 2（a ≠0）的图象与a 的符号有关的是（）A ．顶点坐标B ．开口方向C ．开口大小D ．对称轴4．函数y =ax 2（a ≠0）的图象经过点（a ，8），则a 的值为（）A ．±2B ．－2C ．2D ．35．如图3平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是（）A ．232y x =B ．223y x =C ．243y x =D 234y x =6．自由落体公式212h gt =（g 为常量），h 与t 之间的关系是（） A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对7.下列函数中，具有过原点，且当x>0时，y 随x 增大而减小，这两个特征的有（） ①y=－ax 2(a >0) ②y=(a －1)x 2(a <1) ③y=－2x+a 2(a ≠0) ④y=51x －a A.1个 B.2个 C.3个 D.48．在图中，函数y =－ax 2与y =ax ＋b 的图象可能是（）三、考查你的基本功（共16分）1．（8分）已知函数y =（m 2－m ）x 2＋（m －1）x ＋m ＋1．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？ 2、求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式:(1)通过点(-3,2); (2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4. 四、生活中的数学1．如图5，一块草地是长80 m、宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．2、如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽,水位上升3米达到警戒线MN位置时,水面宽,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?3．已知一次函数y=ax＋b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=13x2的图象经过A、B两点．（1）请求出一次函数的表达式；（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．2.5 二次函数y=ax2+bx+c的图象同步练习一、填空题:1.二次函数y=3x2-2x+1的图象是开口方向_______,顶点是________, 对称轴是__________.2.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=_____,c=_____.3.二次函数y=ax2+bx+c中,a>0,b<0,c=0,则其图象的顶点是在第_____象限.4.如果函数y=(k-3)232k kx-++kx+1是二次函数,则k的值一定是_______.5.二次函数y=12x2+3x+52的图象是由函数y=12x2的图象先向_____平移____个单位,再_____平移_____个单位得到的.6.已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1的图象有最低点,且最低点的纵坐标是零,则m=_______.7.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3的图象与函数y=-x2+6x的图象交于y 轴一点则m=_______.8.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象, 试确定下列各式的符号:a____0,b____0,c_____0;a+b+c_____0,a-b+c_____0.9.函数y=(x+1)(x-2)的图象的对称轴是______,顶点为________.二、解答题:10.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h= -5t2+150t+10表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点?最高点的高度是多少?11.抛物线y=x2x+a 2的顶点在直线y=2上,求a 的值.12.如图所示,公园要造圆形的喷水池, 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面距离最大,高度2.25m. 若不计其他因素, 那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外?13.某农场种植一种蔬菜,销售员根据往年的销售情况,对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测,预测情况如图,图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系,观察图象,你能得到关于这种蔬菜的哪些信息?2.6用三种方式表示二次函数练习基础过关1．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为．2．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为．3．抛物线y =ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x =时，y =3；（3）根据图象回答：当x时，y ＞0．4．已知抛物线y =－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．5．两个数的和为8，若设其中一个数为x ，积为y ，则y 与x 的函数表达式为，这两个数的积最大可以为． 6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为，它有最值，即当x =时，y =．7．抛物线y =x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为．8．已知抛物线y =x 2＋x ＋b 2经过点（a ，14）和（－a ，y 1），则y 1的值是． 3题图 11题图 12题图9．若抛物线y =ax 2＋b 不经过第三、四象限，则抛物线y =ax 2＋bx ＋c （）A ．开口向上，对称轴是y 轴B ．开口向下，对称轴是y 轴C ．开口向上，对称轴平行于y 轴D ．开口向下，对称轴平行于y 轴 10．二次函数y =－x 2＋bx ＋c 图象的最高点是（－1，－3），则b 、c 的值是（） A ．b =2，c =4B ．b =2，c =4C ．b =－2，c =4D ．b =－2，c =－4．11．已知函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则下列关系式中成立的是（）A ．0＜－a b2＜1B ．0＜－a b2＜2C ．1＜－ab2＜2D ．－ab 2=112．二次函数y = ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c ＜0；②b ＞0；③4a ＋2b ＋c ＞0；④（a ＋c ）2＜b 2．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．有一个函数图像经过下列各点：（－2，3），（－1，0），（0，－1），（1，0），（2，3）．（1）请你描述该函数图像．（2）写出两个变量间的函数关系式．（3）你能通过表格的形式，列出两个变量的对应值，使两个变量间的关系满足（2）中的关系式吗? 14．一个三角形的底边和这边上的高的和为10，这个三角形的面积最大可以达到多少? 15．正方形的周长为L ，面积为S ，用L 表示出函数S 的关系式 16．某二次函数用表格表示如下：（1）根据表格，说明该函数图像的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）说明x 为何值时，y 随x 的增大而增大．（3）你能用表达式表示这个函数关系吗? 聚沙成塔20．它们的位置有什么关系？①抛物线2112y x =--是由抛物线212y x =-怎样移动得到的？ ②抛物线21(1)2y x =-+是由抛物线212y x =-怎样移动得到的？③抛物线21(1)12y x =-+-是由抛物线2112y x =--怎样移动得到的？④抛物线21(1)12y x =-+-是由抛物线21(1)2y x =-+怎样移动得到的？⑤抛物线21(1)12y x =-+-是由抛物线212y x =-怎样移动得到的？2.7 何时获得最大利润同步练习1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x( 元/件)的一次函数. (1)试求y 与x 之间的函数关系式;(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).2.某旅社有客房120间,每间房的日租金为50元时,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?3.某商场以80元/件的价格购进西服1000件,已知每件售价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,问如何定价可使获利最大?(总利润=总收入-总成本).4.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前七个月的利润总和与t 之间的关系)为s=12t 2-2t. (1)第几个月末时,公司亏损最多?为什么? (2)第几个月末时,公司累积利润可达30万元? (3)求第8个月公司所获利润是多少万元?5.启明公司生产某种产品,每件成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x( 万元)时,产品的年销售量是原销售量的y 倍,且y=277101010x x -++. 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费:(1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大?最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元, 问有几种符合要求的方式?写出每种投资方式所选的项目.6.某市近年来经济发展迅速很快,根据统计,该市国内生产总值1990年为8.6 亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005 年该市国内生产总值将达到多少?2.8二次函数与一元二次方程练习题1.抛物线2283y x x =--与x 轴有个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为．2. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为．3. 二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为．4. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为。

初三二次函数总结版(K12教育文档)

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授课时间： 5月26日授课地点：东岗路年级：初三课型：一对一上课人数：1课题:二次函数概念、性质、对称、平移、图像教学目标：1。

掌握二次函数的概念及其考察方式2.掌握二次函数的性质及其与各系数的关系3.掌握二次函数的对称和平移,会用平移解化计算4.掌握二次函数图像的相关题型解题原理教学过程：一、二次函数概念的考查（二次项系数不能为零）例1：函数f （x ）与x 轴有且只有一个焦点，求未知量的取值范围；(先通过例题引入）二、二次函数三个系数的作用（简单分析）三、二次函数解析式的确定思路---———先介绍三种方法(一）三点式。

例：已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3,0），B （32，0）,C(0,-3)三点，求抛物线的解析式。

(二）顶点式.例：已知抛物线y= x 2-2ax+ a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式.（三)交点式。

例:已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0）,（1，0）求抛物线y=21a(x —2a)(x-b)的解析式.（四）定点式。

例:在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q ，求抛物线的解析式.（五）平移式.例：将抛物线32-+-=x x y 向上平移，使平移后的抛物线经过点C （0,2),求平移后抛物线的解析式.（六）距离式。

二次函数 Microsoft Word 97 - 2003 文档 (2)

官渡口镇初中数学技能竞赛课教案制作人王斌课题：二次函数y=a x2+bx +c的图像和性质。

教学目标知识与技能1掌握用描点法画出二次函数y=a x2+bx +c的图像.2掌握用图像或配方确定二次函数y=a x2+bx +c的图像开口方向和顶点坐标。

3经历探索二次函数y=y=a x2+bx +c的开口方向、对称轴和顶点坐标的过程，理解二次函数图像的性质。

过程与方法通过图像和配方描述二次函数y=a x2+bx +c的性质，体会数形结合的思想。

情感态度与价值观在探索图像性质的过程中，体验探究的乐趣。

重点通过图像和配方描述二次函数y=a x2+bx +c的性质难点理解二次函数y=a x2+bx +cx2+bx +c的配方的过程，弄清二次函数y=a x2+bx +c与y=a(x-h)2+k的内在联系。

教学设计活动1，提出问题，导入新课1你能从抛物线y=a x2+bx +c中知道什么?这种形式有什么好处？2你能用配方法解一元二次方程-x2+2x+1=0吗？是说出具体步骤。

我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质，那么能否利用这些知识来讨论二次函数y=a x2+bx +c的图像和性质呢？下面以y=½x2-6x+21为例来说明。

活动2 探究y=½x2-6x+21的图像和性质。

提问1，以前我们会探究哪种形式的二次函数的图像和性质？提问2.你打算如何探究y=½x2-6x+21的图像和性质。

关注学生能否想到转化为y=a(x-h)2+k的形式。

提问3如何将y=½x2-6x+21转化为y=a(x-h)2+k的形式？师生活动：教师引导学生观察，这两个等式的右边各自有什么特点，之前用什么方法达到转化的目的？师生一起配方变形，教师展示配方过程》。

提问4，你能画出y=½x2-6x+21的图像吗？关注学生能否从平移y=1/2x2的角度来解决此问题，将y=1/2x2的图像向上平移6个单位，向右平移3个单位学生动手画图，学生间交流，教师巡视。

《二次函数的综合》word版

课题：二次函数的综合（2）主备：田静课型：复习审核：陈志英班级姓名学号【学习目标】利用二次函数的性质与图像解决相关问题；二次函数与其他数学模型的内在联系。

【重点难点】二次函数性质的有关运用；数形结合、分类讨论等数学思想方法的运用。

【基础练习】1、如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（）2、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过)0,2(-A 、)0,0(O 、),3(1y B -、),3(2y C 四点，则1y 与2y 的大小关系是（） A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则abc ，ac b 42-，c b a ++这3个式子中，值为正数的有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 4、已知双曲线xk y =与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积.一批日期 3、二批日期 3、教师评价优良合格不合格家长签字C A E FBDDO42 4 O4 24O 42 4O42 4yxB【例题教学】例1、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.例2、已知关于x 的方程2(3)40x m x m --+-=. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.例3、抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>；（2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ．① 判断mn 的符号；② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），请说明116x <，2112x <<．【课堂检测】1、在同一直角坐标系中，二次函数22y x =+与一次函数2y x =的图象大致是（）2、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（） A ．m =2 B ．m >2 C ．m ≥2 D ．m ≤23、如图，曲线C 是函数x y 6=在第一象限内的图象，抛物线是函数422+--=x x y 的图象．点),(y x P n （12n =，，）在曲线C 上，且x y ，都是整数．（1）求出所有的点()n P x y ，；（2）在n P 中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．【课后巩固】1、在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )A ．y ＝2(x + 2)2－2B ．y ＝2(x －2)2 + 2C ．y ＝2(x －2)2－2D ．y ＝2(x + 2)2+ 2 2、给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线。