【同步练习】2017年秋高一数学人教A版必修2课后导练：4.1.2圆的一般方程 Word版含解析
高中数学人教版必修2 4.1.2圆的一般方程 作业(系列四)
圆的一般方程A 组 基础巩固1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1,2) D ．(－12，－1) 解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为(－12，－1)． 答案：D2．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A ，B 两点坐标代入四个选项，只有A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ F ＝0，2D ＋F ＝－4，3E ＋F ＝－9，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－3，F ＝0，故方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB 所对的圆心角为90°，知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫1322，化为一般式得x 2＋y 2－2x －3y ＝0.答案：A4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆心为(2,2)，则圆心到直线距离为d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝3 2. ∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值为d －R ＝2 2.∴(d ＋R)－(d －R)＝82－22＝6 2.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C. 答案：C6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设点P 的坐标为(x ，y)，由|PA|＝2|PB|得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.答案：B7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为__________． 解析：本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1，所以k ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－29．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是__________． 解析：所给圆的半径长为r ＝1＋－2－2m 22＝12－＋2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是3π4. 答案：3π410．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解析：圆心C(－D 2，－E 2)， ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0即D ＞0.则⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.B 组 能力提升11．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a 的取值范围为A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：本题考查圆的性质．由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜02a ＞0|－a|＞2|2a|＞2，解得a ＞2，故选D.答案：D12．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异的两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝__________.解析：本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系．由题意知圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k 2＝－1，又直线PQ 与直线kx ＋2y －4＝0垂直，所以k PQ ＝1.答案：113．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设点P 的坐标为(x ，y)，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为AB的中点，所以x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62.于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6. ∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程：(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.∴(2x －8＋1)＋(2y －6)2＝4，整理得，(x －72)2＋(y －3)2＝1. ∴点P 的轨迹是以(72，3)为圆心，1为半径的圆． 14．已知以点C(t ，2t)(t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．求证：△OAB 的面积为定值．解析：由于圆C 过原点，故可设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.由于圆心为C(t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t. 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)．令x ＝0，得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B(0，4t)， ∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t|＝4(定值)．。
必修2——4.1.2圆的一般方程
2
2
２、当
D E 4F 0
2 2
时，
D E 方程表示一个点 ( , ) 2 2
3、当
D E 4F 0
2 2
时，
方程不表示任何图形．
概念
2
圆的一般方程
2
x y Dx Ey F 0
( D E 4F 0)
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
4.1.2 圆的一般方程
复习
1 圆的标准方程的形式是什么？
( x a ) ( y b) r
2 2
2
2 以（1，-2）为圆心,2为半径的圆的 标准方程是什么？
( x 1) ( y 2) 4
2 2
练习
１方程 x y 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
且点M是线段AB的中点，所以 x x 0 4 ，y y 0 3
2 2
解：设点M的坐标是（x, y） A的坐标是（x0, y 0） ,点 ,由于点B的坐标是（4， 3），
于是有：x 0 2 x 4, y 0 2 y 3
①
因为点A在圆（x 1 2 y 2 4上运动， ）
所以点A的坐标满足方程 ( x 1) 2 y 2 4,
即： 0 1) 2 y02 4 (x
3 2 3 2 整理，得( x ) ( y ) 1. 2 2
②
把①代入②，得(2 x 4 1) 2 (2 y 3) 2 4,
3 3 所以，点M的轨迹是以（ ， ）为圆心，半径长是1的圆. 2 2
2
2 2
2
y2 2x 4 y 5 0 表示什么图形？ 2 方程 x
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1(II)卷
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·西安期中) 圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（）A . r=1；（﹣2，1）B . r=2；（﹣2，1）C . r=1；（2，﹣1）D . r=2；（2，﹣1）2. （2分）要使与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有A . ,且F<0B . D<0,F>0C .D . F<0·3. （2分） (2016高二上·射洪期中) 过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A . x2+（y﹣1）2=2B . x2+（y﹣1）2=1C . （x﹣1）2+y2=4D . （x﹣1）2+y2=14. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 过点且与圆，相切的直线有几条（）A . 0条B . 1条C . 2 条D . 不确定5. （2分） (2018高二下·泸县期末) 的焦点到渐近线的距离为（）A .B . 2C . 1D .6. （2分）若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线l过点（﹣1，2）且与直线y=x垂直，则直线l的方程是（）A . 3x+2y﹣1=0B . 3x+2y+7=0C . 2x﹣3y+5=0D . 2x﹣3y+8=08. （2分）(2020·银川模拟) 已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018高二上·哈尔滨月考) 若点满足，点在圆上，则的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是（）A . 3x－y－5＝0B . 3x＋y－7＝0C . 3x－y－1＝0D . 3x＋y－5＝0二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的面积为________．12. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是________．13. （1分） (2016高二上·邗江期中) 过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为________14. （1分）(2020·随县模拟) 已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点 .若以为圆心、为半径的圆与抛物线相交于点，，则 ________.三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2016高二上·忻州期中) 已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y ﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．16. （10分） (2018高一上·深圳月考) 已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．17. （15分） (2019高二下·上海月考) 现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义，两点间的“直角距离”为： .（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点、的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）① ，，；② ，，；③ ，， .（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.①到，两点“直角距离”相等；②到，两点“直角距离”和最小.18. （5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上；若动点M满足：|MA|=2|MO|，且M的轨迹与圆C有公共点．求圆心C的横坐标a的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分) 15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、。
高一数学人教a版必修2课后导练：4.1.2圆的一般方程含解析
基础达标1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是（ ） A.13π B.132π C.13π D.26π解析：由圆方程知圆半径为r=13,∴周长为2πr=132π.答案：B2方程x 2+y 2-x+y+m=0表示一个圆,则（ ）A.m ≤2B.m<2C.m<21 D.m ≤21 解析：由D 2+E 2-4F>0,得1+1-4m>0.解得m<21. 答案：C3如果x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)表示的曲线关于直线y=x 对称，那么（ ）A.D=EB.D=FC.E=FD. D=E=F解析：由条件知y=x 过圆的圆心（2,2E D --），即D=E. 答案：A4圆心在点C （3，4），半径是5的圆的标准方程是（ ）A.(x-3)2+(y-4)2=5B.(x+3)2+(y+4)2=5C.(x-3)2+(y-4)2=5D.(x+3)2+(y+4)2=5解析：由圆的标准方程形式知(x-3)2+(y-4)2=55已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径过直线x-2y-3=0被圆截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（ ）A.2x+y-5=0B.x-2y=0C.2x+y-3=0D.x+2y=0解析：由圆的几何性质知，该直径与已知弦垂直，所以直径所在直线的斜率为k=-2，又知过点（2，-1），∴其方程为y+1=-2(x-2)，即2x+y-3=0. 答案：C6若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是____________.解析：如图，∵P 为弦AB 的中点，∴OP ⊥AB.又O （1，0），P （2，-1），∴k OP =11 =-1.∴k AB =1. 故直线AB 的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.答案：x-y-3=07若圆x 2+y 2-4x+2y+m=0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB=90°（其中C 为已知圆的圆心），则实数m 等于______________.解析：由（-4）2+22-4m>0,得m<5,∵△ACB 是以C 为直角顶点的直角三角形且C （2，-1），∴圆心C 到斜边AB 之距为2，则圆半径为22，即22441621=-+m , ∴m=-3.答案：-38圆x 2+y 2-2ax+2ay+3a 2-2a-1=0的面积最大值为_______________. 解析：当圆半径最大时，面积最大，圆半径为 r=48421)123(4)2()2(212222++-=---+-a a a a a a ； 2)1(1222+--=++-=a a a当a=1时，r 最大为2.∴面积最大值为πr 2=2π.答案：2π综合运用9求圆心在直线3x+2y=0上,并且与x 轴的交点分别为(-2,0),(6,0)的圆的方程. 解析：设圆方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,圆心为（2,2E D --）.由于圆心在3x+2y=0上并且圆过两点（-2，0），（6，0），则有：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-=-+-.12,6,4.0636,024,0)2(2)2(3F E D F D F D E D 解得 ∴圆方程为x 2+y 2-4x+6y-12=0.10已知圆的方程x 2+y 2+2(a-1)x+a 2-4a+1=0,若点（-1，-1）在圆外.求实数a 的取值范围.解析：方程x 2+y 2+2(a-1)x+a 2-4a+1=0配方得［x+(a-1)］2+y 2=2a,则方程表示圆的条件为2a>0,即a>0,又因为点（-1，-1）在圆外，则有（-1）2+（-1）2-2（a-1）+a 2-4a+1>0,即a 2-6a+5>0,解得a>5或a<1,由⎩⎨⎧<>>.1,5,0a a a 或得a>5或0<a<1.所以a 的取值范围为a>5或0<a<1. 11已知圆C ：(x-3)2+(y-4)2=1,点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上动点，求d=|PA|2+|PB|2的最大、最小值及对应的P 点坐标.解析：若设P （x 0,y 0）,则d=|PA|2+|PB|2=(x 0+1)2+y 02+(x 0-1)2+y 02=2(x 02+y 02)+2,欲求d 的最值，只需求ω=x 02+y 02的最值，即求圆C 上的点到原点距离平方的最值，故过原点O 与圆心C 的直线与圆的两个交点P 1，P 2即为所求. 设过O ，C 两点的直线交⊙C 于P 1、P 2两点，则ωmin =（|OC|-1）2=16=|OP 1|2，此时d min =2×16+2=34,P 1(516,512); ωmax =(|OC|+1)2=36=|OP 2|2,此时，d max =2×36+2=74,P 2(524,518). 拓展探究12已知矩形ABCD 中,C(4,4),点A 在x 2+y 2=9(x>0,y>0)上运动,AB,AD 分别平行于x 轴,y 轴,求当矩形ABCD 面积最小时A 点的坐标.分析：本题的实质是：A 在x 2+y 2=9(x>0,y>0)上何处时，矩形ABCD 的面积最小，即（4-x ）（4-y ）的值最小，进而利用换元法化成二次函数的最值问题. 解析：设A （x,y ），则矩形ABCD 的面积为S=（4-x ）(4-y)=16-4(x+y)+xy ① 令t=x+y ，则t>0且t 2=x 2+y 2+2xy=9+2xy.。
2017年秋高一数学人教A版必修2课后导练：4.1.1圆的标准方程 Word版含解析
课后导练基础达标1过点C （-1,1）和点D （1,3）且圆心在x 轴上的圆的方程是（ ）A.x 2+(y-2)2=10B.x 2+(y+2)2=10C.(x+2)2+y 2=10D.(x-2)2+y 2=10解析：设圆心为A （a,0），半径为r,则r=|AC|=|AD|. ∴9)1(1)1(22+-=++a a ,解得a=2,∴r=|AC|=1019=+,圆心（2，0）.答案：D2点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a 的取值范围是（ ）A.-1<a<1B.0<a<1C.a>-1或a>1D.a=±1解析：∵点（1，1）在圆心内部，∴（1-a ）2+(1+a)2<4,即a 2<1.∴-1<a<1.答案：A3在y 轴上的截距是2和8,且半径为5的圆的方程为（ ）A.(x-4)2+(y-5)2=25B.(x-4)2+(y+5)2=25或(x+4)2+(y-5)2=25C.(x+4)2+(y-5)2=25D.(x+4)2+(y-5)2=25或(x-4)2+(y-5)2=25解析：由条件知圆过点A （0，2），B （0，8），设圆心为（a,b ）,则⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.5,45,4.25)8(,25)2(2222b a b a b a b a 或解得 答案：D4圆(x-1)2+(y-3)2=1关于直线x-y-1=0对称的圆的方程为（ ）A.(x+1)2+(y+3)2=1B.(x-3)2+(y-1)2=1C.(x-4)2+y 2=1D.(x-3)2+y 2=1解析：由条件知两圆的半径相等，而圆心关于x-y-1=0对称，设所求圆的圆心为（a,b ），已知圆的圆心为(1,3)，则有⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+-=--.0,4.012321,113b a b a a b 解得∴圆心（4，0）.答案：C5点P （m,5）与圆x 2+y 2=25的位置关系（ ）A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.圆上或圆外解析：由m 2+52=m 2+25≥25知，点P 在圆上或圆外.答案：D6圆心在直线x=2上的圆C 与y 轴交于两点A （0，-4），B （0，-2），则圆C 的方程为_________. 解析：由圆的几何意义知圆心坐标（2，-3），半径r=5)23()02(22=+-+-,∴圆的方程为（x-2）2+(y+3)2=5.答案：（x-2）2+(y+3)2=57已知A （3，7）、B （3，-1）、C （9，-1），则△ABC 的外接圆方程为__________.解析：由条件知△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，∴所求圆的圆心为AC 中点，即（6,3），半径r=21|AC|=228621+=5. 答案：(x-6)2+(y-3)2=258过原点且在x,y 轴上的截距分别为p ，q(p,q 均不为0)的圆的方程为___________. 解析：∵由条件知圆过点O （0，0），A （p ，0），B （0，q ），∴圆心在OA 与OB 的中垂线上，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2q y p x 得圆心（2,2q p ）, 则半径r=22)2()2(qp+. ∴圆方程为（x-2p ）2+(y-2q )2=422q p +. 答案：（x-2p ）2+(y-2q )2=422q p + 综合运用9一个动点P 在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点Q(3,0)连线中点的轨迹方程是（ ）A.(x+3)2+y 2=4B.(x-3)2+y 2=1C.(2x-3)2+4y 2=1D.(x+23)2+y 2=21 解析：设点P （x 1,y 1），则x 12+y 12=1① 设中点坐标为（x,y ），由中点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.20,2311y y x x即⎩⎨⎧=-=.2,3211y y x x 代入①得(2x-3)2+4y 2=1.答案：C10圆x 2+y 2=16上的点到直线x-y-3=0的距离的最大值为（ ） A.223 B.2234- C.4+223 D.0 分析：圆上点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆半径之和.解析：圆心（0，0）到直线之距为22323= 又圆半径r=4，故最大值为4+223. 答案：C11已知△ABC 的三个顶点为A （-1，0），B （1，0），C 在圆（x-2）2+(y-2)2=1上运动，则△ABC 面积的最小值为______________.解析：∵|AB|=2,若△ABC 面积最小，只要顶点C 到AB 距离最小即可，由平面几何知识可知，C 到AB 距离的最小值为圆心到AB 之距减去圆半径，即2-1=1，∴S △ABC 最小值=21×2×1=1 答案：1拓展探究12求与坐标轴均相切，且过点P(-1,2)的圆的方程.解析：设圆心坐标为（a,b ），半径为r ，则由条件知⎩⎨⎧=-++==)2.()2()1()1(|,|||222r b a b a r 由①知a=b 或a=-b.当a=b 时，代入②得(a+1)2+(a-2)2=a 2.得a 2-2a+5=0,Δ=4-4×5<0,无解.当a=-b 时，代入②得（a+1）2+(a+2)2=a 2,即a 2+6a+5=0.∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=.5,51,1b a b a 或 ∴圆方程为(x+1)2+(y-1)2=1或(x+5)2+(y-5)2=25.。
高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.1知识点总结含同步练习及答案
3−1 (x − 2)，即 x + 3y + 1 = 0． 2+4
⎧ x = 7, { 2x + 3y − 6 = 0, 得 ⎨ ⎩y = − 8 . x + 3y + 1 = 0, 3 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 2 8 340 8 2 即圆心为 (7, − ) ，又半径为 r = √(7 − 3) + (− − 2) = √ ． 3 9 3
3a 2 3a2 2 a 2 − a + 1，由 − − a + 1 > 0 得 −2 < a < ． ) + ( y + a) 2 = − 4 4 3 2
2 ． 3
△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−1, 5) 、B(−2, −2)、C (5, 5) ，求其外接圆方程． 解：设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，由题设得方程组 ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩
1 B．a < 13
1 C．|a| < 5
1 D．|a| < 13
）
由题意得 (5a + 1 − 1)2 + (12a)2 < 1，所以 |a| <
1 ． 13
已知点 (1, 1) 在圆 (x − a)2 + (y + a)2 = 4 的外部，则 a 的取值范围为______． 解：(−∞, −1) ∪ (1, +∞)． 由题意知 (1 − a)2 + (1 + a)2 > 4，所以 a > 1 或 a < −1 ． 判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程． （1）x 2 + y 2 + 2x + 1 = 0； （2）x 2 + y 2 + 2ay − 1 = 0 ； （3）x 2 + y 2 + 20x + 121 = 0 ； （4）x 2 + y 2 + 2ax = 0． 解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 + y 2 = 0，它表示点 (−1, 0) ，不表示圆． − − − − − （2）原方程可化为 x 2 + (y + a)2 = a2 + 1，它表示圆心在 (0, −a)，半径为 √a2 + 1 的圆， − − − − − 标准方程为 x 2 + (y + a)2 = (√a2 + 1)2 ． （3）原方程可化为 (x + 10)2 + y 2 = −21 < 0 ，此方程不表示任何曲线，故不表示圆． （4）原方程可化为 (x + a)2 + y 2 = a2 ． ①当 a = 0 时，方程表示点 (0, 0)，不表示圆； ②当 a ≠ 0 时，方程表示以 (−a, 0) 为圆心，以 |a| 为半径的圆，标准方程为 ( x + a) 2 + y 2 = a2 ． 若方程 x 2 + y 2 + ax + 2ay + 2a2 + a − 1 = 0 表示圆，则 a 的取值范围为______． 解：−2 < a < 配方得 (x +
人教A版数学必修二第四章第二课时同步练习4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程一、选择题1. 若方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则有（ ）.A.2k ≤B. 2k < C ．2k > D ．2k ≥2. 下列方程中，表示圆的一般方程的是（ ）.A.2210x y +-=B.22220x y x y ++-+=C.22(1)(2)1x y -+-=D.2410x y x ++-=3．已知圆的一般方程222410Ax Bxy y x y ++-++=，则A,B 的值为（ ）A. A=2 ，B=1B. A=2 ，B=0 C ．A=1 ，B=1 D ．A=1 ，B=04. 圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为 （ ）.A ．(2,0),5B ．(2,0)-, 5C ．(2,0),D ．(2,0)- 5. 已知圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，1）半径为2，则D ，E ，F 分别是（ ）A ．-4、-2、1B ．-4、2、1C ．4、2、–1D ．4、-2、16. 已知圆的方程是x 2+y 2－2x+2y+1=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )A. 2x －y+1=0B. 2x+y+1=0C ．2x －y －1=0D ．2x+y －1=07. 如果方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（ ）A ．D=EB ．D=FC ．E=FD ．F=08. 已知圆x 2+y 2+kx+2y+k 2=0,当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是（ ）A ．(0,－1)B ．(1,－1)C ．(－1,0)D ．(－1,1)二、填空题9．已知圆的方程为22224430x y x y ++-+=，则其圆心坐标为 .10.已知圆22220x y x ky +---=过点（1，-1），则k 的值为 .11.已知方程x 2+y 2+kx-2y+2=0，当k 时，它表示圆.12.已知方程x 2+y 2+kx-2y+2=0，当k 时，它表示点.13.已知方程x 2+y 2+kx-2y+2=0，当k 时，它的轨迹不存在.14.方程02222=--+b ax y x 表示的图形是 .三、解答题15．已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），求 △ABC 外接圆的方程．16．已知圆22:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3 )Q ．（1）(,1) P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；（2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值；（3）若实数,m n 满足22-4-14450m n m n ++=,求-3=+2n K m 的最大值和最小值．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．D 4. C5. D 6．D 7．A 8. A二、填空题9. 答案为（1，-1）10. 答案为 211. 答案为：22k k ><-或12. 答案为：2k =±13. 答案为：22k -<<14. 答案为：点或圆。
【成才之路】高中数学人教A版必修2练习：4.1.2圆的一般方程(含答案解析)
第四章 4.1 4.1.2一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是导学号 92180935( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3) [答案] D[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)．2．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 分别为导学号 92180936( )A ．4,8，－4B ．－4,8,4C ．8，－4,16D ．4，－8,16 [答案] B[解析] 圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16，展开得x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0，比较系数知D 、E 、F 分别是－4、8、4.3．过三点A(－1,5)、B(5,5)、C(6，－2)的圆的方程是导学号 92180937( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0[答案] C[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0分别代入(－1,5)、(5,5)、(6，－2)得 ⎩⎪⎨⎪⎧ －D ＋5E ＋F ＝－265D ＋5E ＋F ＝－506D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4E ＝－2F ＝－20.所以圆的方程是x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是导学号 92180938( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定[答案] B[解析] 将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a －1)2，∵0<a<1，∴(a －1)2>0，∴原点在圆外．5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为导学号 92180939( )A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 [答案] C[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a|2＝22，∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是导学号 92180940( )A ．(x －1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝2C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4 [答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2，圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________.导学号 92180941[答案] x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是________.导学号 92180942[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0[解析] 设M(x ，y)，A(2，－1)，则P(2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.导学号 92180943[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m≠2时，D 2＋E 2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m)，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|. 解法二：原方程可化为(x －2m)2＋(y ＋m)2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m)，半径为r ＝5|m －2|.10．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程.导学号 92180944[解析] 解法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1，线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0，得圆心坐标为M(1，－1)， 半径r ＝|MA|＝5，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过导学号 92180945( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b)， 则a<0，b>0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为导学号 92180946( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2 [答案] B[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M(1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC|＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD|＝2|BM|2－|ME|2＝210－－2＋－2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC||BD|＝12×210×25＝10 2. 3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是导学号 92180947( )A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞) D ．(34，＋∞) [答案] D[解析] 化圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5a 2＋1，点(2a ，a －1)的圆的内部，则(2a)2＋(a－1－1)2＜5a 2＋1，解得a ＞34. 4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为导学号 92180948( )D ． 5 B ．5 C ．2 5D ．10 [答案] B[解析] 由题意，得直线l 过圆心M(－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.导学号 92180949[答案] －2[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a2＋2＝0，∴a＝－2.6．若实数x、y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是________.导学号92180950[答案]5＋3[解析]关键是搞清式子x2＋y2的意义．实数x，y满足方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，所以(x，y)为方程所表示的曲线上的动点.x2＋y2＝－2＋－2，表示动点(x，y)到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示以C(－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO交圆于点M，N，由圆的几何性质可知，MO的长即为所求的最大值．三、解答题7．判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程.导学号92180951(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0.[解析](1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1,0)，不表示圆．(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心为(0，－a)，半径为a2＋1的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝(a2＋1)2.(3)原方程可化为(x＋10)2＋y2＝－21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.8．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.导学号92180952(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径r的取值范围；(3)求圆心C的轨迹方程．[解析](1)要使方程表示圆，则4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0，即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0，整理得7m 2－6m －1＜0，解得－17＜m ＜1. (2)r ＝12＋2＋－4m 22－4＋＝－7m 2＋6m ＋1＝－－372＋167. ∴0＜r≤477. (3)设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1. 消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)． ∵－17＜m ＜1，∴207＜x ＜4. 故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。
人教A版必修2 4.1.2 圆的一般方程 课时作业
故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
答案：x2＋(y＋1)2＝1
13．求经过点A(1， )和B(2，－2 )，且圆心在x轴上的圆的方程．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
A．两个ห้องสมุดไป่ตู้B．四个点
C．两条直线D．四条直线
解析：方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0，
则 即
解得 或 或 或
所以方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(2,2)，(－2,2)，(2，－2)，(－2，－2)四个点．
答案：B
4．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()
y＝ ，
于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.
∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，
即x ＋y ＋4x0＝0，
∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1，
∴点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径长的圆．
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，
∴圆心为C(－1,0)．
又所求直线与直线x＋y＝0垂直，
∴所求直线的斜率为1，
故所求直线的方程为y＝x＋1，
即x－y＋1＝0.
答案：A
3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()
解析：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为 ，依题意有
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1A卷
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·浙江期中) 已知圆：的圆心坐标是，则半径为（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分） (2017高二上·汕头月考) 过 ,圆心在轴上的圆的方程为（）A .B .C .D .3. （2分）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·淮南期末) 已知直线：，圆：，圆：，则（）A . 必与圆相切，不可能与圆相交B . 必与圆相交，不可能与圆相离C . 必与圆相切，不可能与圆相切D . 必与圆相交，不可能与圆相切5. （2分）极点到极坐标方程的距离是（）A .B .C .D .6. （2分）若圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是（）A . x+y=0B . x﹣y=0C . x+y+2=0D . x﹣y+2=07. （2分）若直线l1:2x-5y+20=0和直线l2:mx+2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m 的值为（）A . 5B . -5C . 5D . 以上都不对8. （2分）已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是（）A . 30－10B . 5－C . 5D . 259. （2分）已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根，则点（）A . 必在圆内B . 必在圆上C . 必在圆外D . 以上三种情况都有可能10. （2分）(2018·鞍山模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的最大值为（）A .B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高二上·常熟期中) 已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，则它的圆心坐标为________．12. （1分） (2019高一下·南通月考) 在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围为________．13. （1分）若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________.14. （1分）若圆x2+y2+2x﹣4y+m=0（m＜3）的一条弦AB的中点为P（O，1），则垂直于AB的直径所在直线的方程为________三、解答题 (共4题；共35分)15. （10分） (2016高一下·沙市期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△O AB的面积；若不存在，请说明理由．16. （5分） m为何值时，方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．17. （10分） (2017高二上·佳木斯月考) 在直角坐标系中，一个动圆截直线和所得的弦长分别为8,4.（1）求动圆圆心的轨迹方程 ;（2）在轨迹上是否存在这样的点：它到点的距离等于到点的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.18. （10分）长为2 线段EF的两上端点E、F分别在坐标轴x轴、y轴上滑动，设线段中点为M，线段EF在滑动过程中，点M形成轨迹为C．（1）求C的方程；（2）过点P（0，1）直线l与轨迹C交于A、B两点．①写出的取值范围，可简要说明理由；②坐标平面内是否存在异于点P的定点Q，当l转动时，总有恒成立？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共35分) 15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、。
2017年秋高一数学人教A版必修2课后导练：4-2-1直线与圆的位置关系 含解析 精品
课后导练基础达标1直线(x+1)a+(y+1)b=0与圆x 2+y 2=2的位置关系是（ ）A.相切B.相离C.相切或相交D.相切或相离解析：无论a,b 取何实数,直线恒过点(-1,-1),又知点(-1,-1)在圆上,则直线恒过圆上一点,从而直线与圆相交或相切.答案：C2直线3x+y-32=0截圆x 2+y 2=4所得劣弧所对的圆心角为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：设直线与圆相交于A 、B 两点,圆心C 到AB 之距为d=33132=+,半径r=2,∴|AB|=342222-=-d r ,∴△ACB 为正三角形,∴∠ACB=60°.答案：C3若直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=a 相切,则a 为（ ）A.0或2B.2C.2D.无解解析：由已知,圆心(0,0),半径r=a ,则圆心到直线之距d=2a ,由2a =a ,得a =2. 答案：C4以M(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是（ ）A.0＜r ＜2 Ｂ.0＜r ＜5Ｃ.0＜r ＜52 Ｄ.0＜r ＜10解析：圆心M 到直线2x+y-5=0之距d=525|53)4(2|=-+-⨯,由0<r<d 知C 项正确. 答案：C5圆(x-1)2+(y-1)2=8上点到直线x+y-4=0的距离为2,则这样的点有（ ）A.1个 Ｂ.2个Ｃ.3个 Ｄ.4个解析：圆心(1,1)到直线x+y-4=0之距d=22=2,又知圆半径r=22,∴满足条件的点有3个.答案：C6x 2+y 2=4上到直线4x+3y-12=0距离最短的点的坐标是__________.解析：过圆心与直线4x+3y-12=0垂直的直线方程为y=4334x,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=-,56,5856,584,04322y x y x y x y x 或解得.由数形结合知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==56,58y x . 答案：(56,58) 7过圆(x-4)2+(y-2)2=9内一点P （3，1）作弦AB ，当|AB|最短时,AB 所在的直线方程为_________，最短弦长为_________.解析：设圆心C,则C(4,2),若|AB|最短,则P 为AB 中点,此时PC ⊥AB,∵k PC =1,∴k AB =-1,∴AB 方程为y-1=-(x-3)即x+y-4=0,此时|PC|=2,圆半径为3,∴|AB|=72.答案：x+y-4=0 728若点P （x,y ）在圆x 2+y 2=1上运动,则x-2y 的取值范围___________.解析：令x-2y=d,即x-2y-d=0,由条件知直线x-2y-d=0与圆x 2+y 2=1有公共点,即相切或相交,则5||d ≤1,∴5-≤d≤5. 答案：5-≤d≤5综合运用9若3(a 2+b 2)=4c 2，则直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=1相交所得弦长为（ ）A.c/2B.cC.2D.1解析：圆心(0,0)到直线ax+by+c=0之距d=23||22=+b a c 又圆半径为r=1,∴所得弦长为4312222-=-d r =1. 答案：D10由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B,∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为_______________.解析：设P(x,y),x 2+y 2=1的圆心为O.∵∠APB=60°,OP=2,∴x 2+y 2=4.∴应填x 2+y 2=4.答案：x 2+y 2=411圆(x-1)2+(y+2)2=16关于直线x-y+1=0对称的圆的方程为__________.解析：圆的半径不变,只要将圆心(1,-2)关于x-y+1=0对称即可,设对称圆的圆心为(a,b),则⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+-=-+.2,3,012221,112b a b a a b 得 ∴对称圆的方程为(x+3)2+(y-2)2=16.答案：(x+3)2+(y-2)2=16拓展探究12已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P,Q 两点,O 为坐标原点，问是否存在实数m,使OP ⊥OQ ，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.(注:本题在下节“变式提升3”还有另一种解法)解析：设点P 、Q 的坐标为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ =-1，即1211y y x y ∙=-1. x 1x 2+y 1y 2=0.①又(x 1,y 1),(x 2,y 2) 是方程组⎩⎨⎧=+-++=-+06,03222m y x y x y x 的实数解. 即x 1、x 2是方程5x 2+10x+4m-27=0的两个根.②∴x 1+x 2=-2,x 1x 2=5274-m .③ ∵P 、Q 在直线x+2y-3=0上，∴y 1y 2=21（3-x 1）·21（3-x 2）=41［9-3(x 1+x 2)+x 1x 2］. 将③代入，得y 1y 2=512+m . 将③④代入①，解得m=3,代入方程②，检验Δ>0成立，∴m=3.则存在m=3，使OP ⊥OQ.。
人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程【同步训练2】 答案和解析
人教A 版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程【同步训练2】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若2220x y x y k +-++= 是圆的方程，则实数k 的取值范围是（） A ．k<5B ．k<54C ．k<32D ．k>322．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 （ ） A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝03． 如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，那么D ，E ，F 满足( ) A ．D ≠0，E ≠0，F ＝0 B ．D ≠0，E ＝0，F ＝0 C ．D ＝0，E ≠0，F ＝0 D ．D ＝0，E ＝0，F ≠04．圆22:40C x y mx ++-=上存在两点关于直线30x y -+=对称，则实数m 的值为（ ） A ．6B ．－4C ．8D ．无法确定5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32C ．2或0D ．-2或06．圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2二、填空题7． 过圆x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0的圆心，且平行于直线x ＋2y ＋11＝0的直线的方程是________________________．8． 已知点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，则a 的取值范围是______________________．9． 若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a ＝________.10． 如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________．三、解答题11．求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．12．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△P AB的面积的最大值．13．求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程．14．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．参考答案1．B 【解析】2220x y x y k +-++=是圆的方程,则有225(2)140,4k k -+-><解得 故选B 2．C 【详解】圆2220x x y ++=的圆心C 为（-1，0）， 而直线与x+y=0垂直，所以待求直线的斜率为1， 设待求直线的方程为y=x+b ， 将点C 的坐标代入可得b 的值为b=1， 故待求的直线的方程为x-y+1=0． 故选 C 3．C 【解析】圆的标准方程为22224()()224D E D E Fx y +-+++=.∵圆与x 轴相切于原点，∴0222DE ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得000D E F =⎧⎪≠⎨⎪=⎩. 故D ，E ，F 满足的条件是0,0,0D E F =≠=。
人教版数学高一-人教A版必修2练习 4.1.2 圆的一般方程
4．1.2圆的一般方程基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形．3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系．已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示圆的方程？答案：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0练习2：圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0中的系数A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(4，－6)，r ＝16B ．(2，－3)，r ＝4C ．(－2，3)，r ＝4D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)，半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F 解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D 2，∴D ＝E.3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0．解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73，∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73，展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程．5．指出下列圆的圆心和半径：(1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |；(3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C )A ．两直线B ．圆C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)， 5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)．5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π.答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1， 所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1， 化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12， 所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12， 化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089， 故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆， 它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089. 巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上，∴有2x 0－3y 0＋5＝0.又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02， ∴⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3.代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0，化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D ，E ，F 的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。
人教版数学高一-A版必修2练习 4.1.2 圆的一般方程
[A 基础达标]1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 解析：选C.由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，得a ＝0或a ＝2.故选C. 2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <1C ．k ≥1D ．k ≤1解析：选B.由方程表示圆的条件得16＋4－20k >0.所以k <1.3．若圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选D.因为两圆的圆心坐标为O (0，0)和C (－2，2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.4．若方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 D.因为方程表示的图形是圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )>0，即－4<a <0.所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，在第四象限． 5．过P (5，4)作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －3＝0的切线，切点分别为A 、B ，则四边形PACB 的面积是( )A ．5B ． 10C ．15D ．20解析：选B.将圆C 的方程化为标准方程(x －1)2＋(y －1)2＝5，所以圆C 的圆心坐标为C (1，1)，半径为|CA |＝5，|CP |＝（5－1）2＋（4－1）2＝5，在Rt △ACP 中，|AP |＝|CP |2－|CA |2＝25－5＝25， 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12|CA |×|AP |＝10. 6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________．解析：由－D 2＝2，－E 2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得F ＝4. 答案：47．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F >0的条件．答案：－108．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．解析：由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，得⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当－34k 2＝0，即k ＝0时，圆的面积最大．此时圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)9．自A (4，0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解：法一：(直接法)设P (x ，y )，连接OP (图略)，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ×y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0.①当x ＝0时，P 点坐标(0，0)是方程①的解，所以BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．法二：(定义法)由法一知OP ⊥AP ，取OA 的中点M ，则M (2，0)，|PM |＝12|OA |＝2， 由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．10．若A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)三点的外接圆为⊙M ，若N (m ，3)在⊙M 上，求m 的值．解：设过A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，（－1）2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，（－3）2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0. 因为点N (m ，3)在⊙M 上，所以m 2＋32－4m －253×3－5＝0， 解得m ＝－3或m ＝7.[B 能力提升]1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5C ．2 5D ．10解析：选B.圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.故选B.2．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．一个半圆D ．两个半圆解析：选D.方程可化为(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，又|x |－1≥0，所以x ≥1或x ≤－1，若x ≤－1，方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1；若x ≥1，方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.所以方程表示两个半圆．3．在△ABC 中，|BC |＝4，|AB |＝3|AC |.(1)建立适当的直角坐标系，求A 的轨迹方程，并说明是何种曲线；(2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)以BC 所在的直线为x 轴， B 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．则B 、C 的坐标分别为B (0，0)，C (4，0)．设A 的坐标为(x ，y )，(y ≠0)．由|AB |＝3|AC |，得x 2＋y 2＝3（x －4）2＋y 2，化简得x 2＋y 2－9x ＋18＝0，即A 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －922＋y 2＝94(y ≠0)． 所以A 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫92，0为圆心，半径为32的圆(除去点(3，0)与(6，0))． (2)由(1)知，当点A 到BC 的距离的最大值为半径r ＝32时，△ABC 的面积最大，最大值为12|BC |·r ＝12×4×32＝3. 4．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )；令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ>0，解得b <1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)和(－2，1)．证明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0可化为x2＋y2＋2x－y＋b (1－y)＝0，因为过定点，则与b无关，即y＝1代入上式可得x＝0或x＝－2.所以圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．。
人教新课标版数学高一-人教A必修二习题 4.1.2圆的一般方程
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．圆2x 2＋2y 2－4ax ＋12ay ＋16a 2＝0(a ＜0)的周长等于( )A ．22πaB ．－22πaC ．2πa 2D ．－2πa解析： 由已知得，圆的标准方程为(x －a )2＋(y ＋3a )2＝2a 2，∵a ＜0，∴半径r ＝－2a ， ∴圆的周长为－22πa .答案： B2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析： 由已知D 2＋E 2－4F ＞0，可知方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线为圆．若圆关于y ＝x 对称，则知该圆的圆心在直线y ＝x 上，则必有D ＝E .答案： A3．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析： 由已知得圆心C (1，－3)，且圆心C 不在直线2x －y ＋1＝0,2x －y －1＝0,2x ＋y －1＝0上，而在直线2x ＋y ＋1＝0上，故该圆的一条直径所在直线的方程为2x ＋y ＋1＝0.答案： C4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析： 把圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则22＝|1－2＋a |2，解得a ＝2，或a ＝0.故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．若l 是经过点P (－1,0)和圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0的圆心的直线，则l 在y 轴上的截距是________．解析： 圆心C (－2,1)，则直线l 的斜率k ＝1－0－2＋1＝－1，所以直线l 的方程是y －0＝－(x ＋1)，即y ＝－x －1，所以l 在y 轴上的截距是－1.答案： －16．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.解析： 由已知－D 2＝2，－E 2＝－4， 所以D ＝－4，E ＝8，又因为半径为4，即12D 2＋E 2－4F ＝4， 1216＋64－4F ＝4，解之，得F ＝4.答案： 47．若方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是________． 解析： 由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，由D 2＋E 2－4F ＞0，得16m 2＋4m 2－80m ＋80＞0，即20(m －2)2＞0，所以m ≠2.答案： m ≠2三、解答题(每小题10分，共20分)8．求圆心在直线y ＝x 上，且经过点A (－1,1)，B (3，－1)的圆的一般方程．解析： 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心是⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋3D －E ＋F ＝0，解得D ＝E ＝－4，F ＝－2，即所求圆的一般方程是x 2＋y 2－4x －4y －2＝0.9．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 解析： 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14.所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14.。
高一数学人教A版必修2课后训练：4.1.2圆的一般方程 Word版含解析
4.1.2 圆的一般方程练习1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2化为一般方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＋3＝0C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 D．x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于()AπB．2πC．πD．4π3．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心的坐标为()A．(－1,2) B．(1，－1) C．1,1 2⎛⎫- ⎪⎝⎭D．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝05．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()A．B．5 C．D．106．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是__________．7．圆x2＋2x＋y2＝0关于y轴对称的圆的一般方程是__________．8．已知点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则m的取值范围是__________．9．判断下列方程表示什么图形．(1)x2＋y2＝0；(2)x2＋y2－2x－2y－3＝0；(3)x2＋y2＋2ax＋2by＝0.10．点P是圆C：x2＋y2－4x＋2y－11＝0上的任一点，PC的中点是M，试求动点M 的轨迹方程．参考答案1.答案：D2.答案：C3.答案：D4.答案：C5.答案：B6.答案：x－y＋1＝07.答案：x2＋y2－2x＝08.答案：(－∞，－13)9.解：(1)∵x2＋y2＝0，∴x＝0，且y＝0.即方程表示一个点(0,0)．(2)原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝5，即方程表示圆心为(1,1)，半径为5的圆．(3)原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，当a＝b＝0时，方程表示一个点(0,0)；当a2＋b2≠0时，方程表示圆心为(－a，－b)的圆．10. 解：设M(x，y)，由已知得圆心C(2，－1)，则P(2x－2,2y＋1)．又点P在圆C：x2＋y2－4x＋2y－11＝0上，所以动点M的轨迹方程为(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.。
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课后导练
基础达标
1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是（ ） A.13π B.132π C.13π D.26π
解析：由圆方程知圆半径为r=13,∴周长为2πr=132π.
答案：B
2方程x 2+y 2-x+y+m=0表示一个圆,则（ ）
A.m≤2
B.m<2
C.m<
21 D.m≤2
1 解析：由D 2+E 2-4F>0,得1+1-4m>0.解得m<21. 答案：C
3如果x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)表示的曲线关于直线y=x 对称，那么（ ）
A.D=E
B.D=F
C.E=F
D. D=E=F
解析：由条件知y=x 过圆的圆心（2
,2E D --
），即D=E. 答案：A
4圆心在点C （3，4），半径是5的圆的标准方程是（ ）
A.(x-3)2+(y-4)2=5
B.(x+3)2+(y+4)2=5
C.(x-3)2+(y-4)2=5
D.(x+3)2+(y+4)2=5
解析：由圆的标准方程形式知(x-3)2+(y-4)2=5
答案：A
5已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径过直线x-2y-3=0被圆截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（ ）
A.2x+y-5=0
B.x-2y=0
C.2x+y-3=0
D.x+2y=0
解析：由圆的几何性质知，该直径与已知弦垂直，所以直径所在直线的斜率为k=-2，又知过点（2，-1），∴其方程为y+1=-2(x-2)，即2x+y-3=0.
答案：C
6若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是____________. 解析：如图，
∵P 为弦AB 的中点，
∴OP ⊥AB.
又O （1，0），P （2，-1），
∴k OP =1
1-=-1.∴k AB =1. 故直线AB 的方程为y+1=x-2,
即x-y-3=0.
答案：x-y-3=0
7若圆x 2+y 2-4x+2y+m=0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB=90°（其中C 为已知圆的圆心），则实数m 等于______________.
解析：由（-4）2+22-4m>0,得m<5,
∵△ACB 是以C 为直角顶点的直角三角形且C （2，-1），
∴圆心C 到斜边AB 之距为2，则圆半径为22，即2244162
1=-+m , ∴m=-3.
答案：-3
8圆x 2+y 2-2ax+2ay+3a 2-2a-1=0的面积最大值为_______________.
解析：当圆半径最大时，面积最大，圆半径为 r=4842
1)123(4)2()2(212222++-=---+-a a a a a a ； 2)1(1222+--=++-=a a a
当a=1时，r 最大为2.
∴面积最大值为πr 2=2π.
答案：2π
综合运用
9求圆心在直线3x+2y=0上,并且与x 轴的交点分别为(-2,0),(6,0)的圆的方程.
解析：设圆方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,圆心为（2
,2E D --）.由于圆心在3x+2y=0上并且圆过两点（-2，0），（6，0），则有：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=+-=-+-.12,6,4.0636,
024,0)2(2)2(3F E D F D F D E D 解得 ∴圆方程为x 2+y 2-4x+6y-12=0.
10已知圆的方程x 2+y 2+2(a-1)x+a 2-4a+1=0,若点（-1，-1）在圆外.求实数a 的取值范围. 解析：方程x 2+y 2+2(a-1)x+a 2-4a+1=0配方得
［x+(a-1)］2+y 2=2a,则方程表示圆的条件为2a>0,即a>0,又因为点（-1，-1）在圆外，则有（-1）2+（-1）2-2（a-1）+a 2-4a+1>0,即a 2
-6a+5>0,解得a>5或a<1,由⎩⎨⎧<>>.1,5,0a a a 或得a>5或0<a<1.所以a 的取值范围为a>5或0<a<1.
11已知圆C ：(x-3)2+(y-4)2=1,点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上动点，求d=|PA|2+|PB|2
的最大、最小值及对应的P 点坐标.
解析：若设P （x 0,y 0）,则d=|PA|2+|PB|2=(x 0+1)2+y 02+(x 0-1)2+y 02=2(x 02+y 02)+2,欲求d 的最值，只需求ω=x 02+y 02的最值，即求圆C 上的点到原点距离平方的最值，故过原点O 与圆心C 的直线与圆的两个交点P 1，P 2即为所求.
设过O ，C 两点的直线交⊙C 于P 1、P 2两点，则ωmin =（|OC|-1）2=16=|OP 1|2，此时d min =2×16+2=34,P 1(5
16,512); ωmax =(|OC|+1)2=36=|OP 2|2,此时，d max =2×36+2=74,P 2(
524,518). 拓展探究
12已知矩形ABCD 中,C(4,4),点A 在x 2+y 2=9(x>0,y>0)上运动,AB,AD 分别平行于x 轴,y 轴,求当矩形ABCD 面积最小时A 点的坐标
.
分析：本题的实质是：A 在x 2+y 2=9(x>0,y>0)上何处时，矩形ABCD 的面积最小，即（4-x ）（4-y ）的值最小，进而利用换元法化成二次函数的最值问题.
解析：设A （x,y ），则矩形ABCD 的面积为S=（4-x ）(4-y)=16-4(x+y)+xy ①
令t=x+y ，则t>0且t 2=x 2+y 2+2xy=9+2xy.
∴①式化为S=16-4t+
21(t 2-9)=21(t-4)2+2
7, 当且仅当t=4时，S min =27. 此时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧==+.222,222222,222.27,4y x y x xy y x 或解得 即A （2-
22，2+22）或A （2+22，2-22）时，矩形面积最小.。