黑龙江省海林市朝鲜族中学2018届高三上学期月考1数学试题

高三数学第月考试题（理科）一、选择题:1.设集合M={0,1,2},N={x|x 2-3x+2≤0},则M ∩N=( ). A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}解析:∵M={0,1,2}, N={x|x 2-3x+2≤0}={x|1≤x ≤2},∴M ∩N={0,1,2}∩{x|1≤x ≤2}={1,2}.故选D . 答案:D2.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ). A.B.-C.D.-解析:设数列{a n }的公比为q ,若q=1,则由a 5=9,得a 1=9,此时S 3=27,而a 2+10a 1=99,不满足题意,因此q ≠1.∵q ≠1时,S 3==a 1²q+10a 1,∴=q+10,整理得q 2=9.∵a 5=a 1²q 4=9,即81a 1=9,∴a 1=. 答案C 3.下面是关于复数z =21i-+的四个命题: p 1:|z |=2, p 2:z 2=2i, p 3:z 的共轭复数为1+i, p 4:z 的虚部为-1,其中的真命题为( ). A.p 2,p 3 B.p 1,p 2C.p 2,p 4D.p 3,p 4解析: C z =2(-1i)(-1i)(-1i)-+-=-1-i,故|z p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错误;p 4正确.4.设向量a ,b 满足|a +b |=,|a -b |=,则a ²b =( ).A.1B.2C.3D.5解析:∵|a +b |=,∴(a +b )2=10,即a 2+b 2+2a ²b =10.①∵|a -b |=,∴(a -b )2=6,即a 2+b 2-2a ²b =6.②由①②可得a ²b =1.故选A . 答案:A 5.钝角三角形ABC 的面积是,AB=1,BC=,则AC=( ).A.5B.C.2D.1解析:由题意知S △ABC =AB²BC²sin B,即³1³sin B,解得sin B=.∴B=45°或B=135°.当B=45°时,AC 2=AB 2+BC 2-2AB²BC²cos B=12+()2-2³1³=1.此时AC 2+AB 2=BC 2,△ABC 为直角三角形,不符合题意; 当B=135°时,AC 2=AB 2+BC 2-2AB²BC²cos B=12+()2-2³1³=5,得AC=.符合题意.故选B .6.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,且a 2=3,则a 7=( ) A.12B.13C.14D.15解析:由题意得S 5==5a 3=25,a 3=5,公差d=a 3-a 2=2,a 7=a 2+5d=3+5³2=13.答案:B7.若cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( )A.14B.78 C ．±14 D ．±78解析:C sin(x ＋π3)＝cos(π6－x )，由cos(π3－2x )＝－78，得2cos 2(π6－x )－1＝－78， 所以cos 2(π6－x )＝116，所以cos(π6－x )＝±14.8.设曲线y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ).A.0B.1C.2D.3解析:∵y=ax-ln (x+1),∴y'=a-. ∴y'|x=0=a-1=2,得a=3. 答案:D9.设x, y 满足约束条件则z=2x-y 的最大值为( ).A.10B.8C.3D.2解析:线性目标函数z=2x-y 满足的可行域如图所示.将直线l 0:y=2x 平行移动,当直线l 0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z 在y 轴上的截距最小,也就是z 取最大值,此时z max =2³5-2=8. 答案:B10.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图3­19­5所示，其中A >0，ω>0，|φ|<π2，则关于f (x )的说法正确的是( )A ．图像的对称轴方程是x ＝π3＋2k π(k ∈Z )B ．φ＝－π6C ．最小正周期为πD ．在区间(－3π2，－5π6 )上单调递减解析:D 易知A ＝1，5π6－（－π6 )＝π＝12³2πω，故ω＝1.又－π6＋φ＝2k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝π6，所以函数f (x )＝sin （x ＋π6 )，所以函数f (x )图像的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )．故选项A ，B ，C 都不正确．由2k π＋π2≤x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间是[2k π＋π3，2k π＋4π3] (k ∈Z )．令k ＝－1，得函数f (x )的一个单调递减区间为[－5π3，－2π3]，即[－10π6，－4π6]，由于(－3π2，－5π6 )，即(－9π6，－5π6)⊆[－10π6，－4π6]，所以函数f (x )在区间(－3π2，－5π6 )上单调递减．故选D.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2014等于( )A.40262015B.40282015C.20132014D.20142015解析:B 因为a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，所以a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ＝（n －1）（n ＋2）2，则a n ＝n （n ＋1）2， 则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2014＝2³1－12＋12－13＋…＋12014－12015＝2³20142015＝40282015.12.函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的x ∈R ，都有2f ′(x )>f (x )成立，则( ) A ．3f (2ln 2)>2f (2ln 3) B ．3f (2ln 2)<2f (2ln 3)C ．3f (2ln 2)＝2f (2ln 3)D ．3f (2ln 2)与2f (2ln 3)的大小不确定 解析:根据2f ′(x )>f (x )构造函数，然后用函数的单调性来解题；构造函数g (x )＝f （x ）e 12x ，则g ′(x )＝f ′（x ）e 12x －12f （x ）e 12x （e 12x ）2＝2f ′（x ）－f （x ）2e 12x >0， 所以函数g (x )在R 上单调递增，所以g (2ln 2)<g (2ln 3)，即f （2ln 2）e ln 2<f （2ln 3）e ln 3，即f （2ln 2）2<f （2ln 3）3，即3f (2ln 2)<2f (2ln 3)．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.函数f(x)=sin (x+2φ)-2sin φcos (x+φ)的最大值为 . 解析:∵f(x)=sin (x+2φ)-2sin φcos (x+φ)=sin [(x+φ)+φ]-2sin φcos (x+φ)=sin (x+φ)cos φ+cos (x+φ)sin φ-2sin φcos (x+φ)=sin (x+φ)cos φ-cos (x+φ)sin φ=sin [(x+φ)-φ]=sin x. ∴f(x)max =1. 答案:114．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，则实数λ=_________．因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．1/215.计算定积分(3x 2+sin x )d x= .解析:(3x 2+sin x )d x=(x 3-cos x )=2.答案:216.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x 的取值范围是 .解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).又f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴|x-1|<2,解得-2<x-1<2,即-1<x<3. 答案:(-1,3) 三、解答题:17.已知f (x )=4cos x ²cos-2.(1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求函数f (x )在区间上的最大值和最小值.解:(1)因为f (x )=4cos x cos-2=4cos x -2=sin2x+2cos 2x-2=sin2x+cos2x-1=2sin-1.所以f (x )的最小正周期是T==π.(2)因为-≤x ≤,所以-≤2x+.于是当2x+,即x=时,f (x )取得最大值1; 当2x+=-,即x=-时,f (x )取得最小值-2.18.△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a=3,cos A=,B=A+.(1)求b的值; (2)求△ABC的面积.解:(1)在△ABC中,由题意知sin A=,又因为B=A+,所以sin B=sin=cos A=.由正弦定理可得b==3.(2)由B=A+得cos B=cos=-sin A=-.由A+B+C=π,得C=π-(A+B),所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=.因此△ABC的面积S=ab sin C=³3³3.19.已知数列{a n}的各项均为正数,前n项和为S n,且满足2S n=+n-4.(1)求证:{a n}为等差数列; (2)求{a n}的通项公式.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).当n≥2时,有2S n-1=+n-5,又2S n=+n-4,两式相减得2a n=+1,即-2a n+1=,也即(a n-1)2=,因此a n-1=a n-1或a n-1=-a n-1.若a n-1=-a n-1,则a n+a n-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾,所以a n-1=a n-1,即a n-a n-1=1,因此{a n}为等差数列.(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{a n}的通项公式a n=3+(n-1)=n+2,即a n=n+2.20.已知向量p=(a n,2n),向量q=(2n+1,-a n+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=log2a n+1,求数列{a n²b n}的前n项和S n.解:(1)∵向量p与q垂直,∴2n+1a n-2n a n+1=0,即2n a n+1=2n+1a n.∴=2.∴{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴a n=2n-1.(2)∵b n=log2a n+1=n-1+1=n,∴a n²b n=n²2n-1.∴S n=1+2²2+3²22+4²23+…+n²2n-1.①∴2S n=1²2+2²22+3²23+…+(n-1)²2n-1+n²2n.②①- -②得,-S n =1+2+22+23+24+…+2n-1-n ²2n =-n ²2n =(1-n )2n -1,∴S n =1+(n-1)2n .21.已知函数f (x )=ln x ,函数g (x )=+af'(x ).(1)求函数y=g (x )的表达式;(2)若a>0,函数y=g (x )在(0,+∞)上的最小值是2,求a 的值. 解:(1)因为f (x )=ln x ,所以f'(x )=.所以函数y=g (x )=x+(x>0). (2)由(1)知,g (x )=x+(x>0).方法一:当a>0,x>0时,由基本不等式可知g (x )≥2,当且仅当x=时取等号.所以函数y=g (x )在(0,+∞)上的最小值是2.所以2=2,解得a=1. 方法二:∵g'(x )=1-(x>0), ∴令g'(x )=0,得x=.当0<x<时,g'(x )<0;当x>时,g'(x )>0.故x=是y=g (x )的极小值点,即y=g (x )在x=处取得极小值,也是最小值,故=2,得a=1.22．设函数2()mx f x e x mx =+-．（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）'()(1)2mx f x m e x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．。