概率论及数理统计习题解答

习题1.1答案

1． 例1.1中, 上抛的两枚硬币如果不分甲与乙, 则样本空间Ω=__________.

解：用“H ”表示“正面朝上”，用“T ”表示“反面朝上”

因不需区分甲、乙硬币,故{}><><><=ΩT T T H H H ,,,,,

2． 例1.2中,丢掷的两粒骰子如果不分”某一粒”与”另一粒”,只观察朝上的点数,则样本空间

Ω=__________.

解：用j i ,分别表示两骰子朝上的点子, 因不区分两粒骰子, 故

);5,3();4,3();3,3();6,2();5,2();4,2();3,2();2,2();6,1();5,1();4,1();3,1();2,1();1,1{(=Ω

)}6,6)(6,5();5,5();6,4();5,4();4,4();6,3(, 即：{}6,5,4,3,2,1,|),(=≤=j i j i j i 或Ω.

３．一批号的水稻做发芽试验，①观察发芽种子的粒数，②观察种子甲、乙、丙发芽或不发

芽，发芽记作F ，不发芽记作F ，试写出随机试验①与②的样本空间．

解：①{}3,2,1,0=Ω.

②Ω=}F F F ,F F F ,F F F ,F F F ,FF F ,F F F ,F FF ,FFF {,其中(F 表示发芽,F 表示不发芽). 注：区分甲,乙,丙.

4． 袋中装有三粒弹子，一红一绿一白，① 从中任取一粒放在桌上，再任取一粒；② 从中任取一粒，看过顏色后，将它放回袋中，再任取一粒。试根据取出的两粒弹子的颜色，不考虑先后，写出随机试验①与②的样本空间．

解：① 不考虑先后且取后不放回∴Ω={1红1绿，1红1白；1绿1白}

② 不考虑先后且取后放回∴Ω={2红，2绿，2白，1红1绿，1红1白；1绿1白}

5．某棉麦连作地区，因受气候条件影响，棉花、小麦都可能减产，如果记A ={棉花减产}，B ={小麦减产},试用B A ,表示事件:①棉花、小麦都减产；②棉花减产,小麦不减产；③棉花、小麦至少有一样减产；④棉花、小麦至少有一样不减产．

解：①AB ；②B A ；③B A ⋃；④B A ⋃．

6．调查甲 乙 丙收看某电视剧的情况，如果记A ={甲收看}，B ={乙收看}，C ={丙收看}，试用C B A ,,表示事件：①甲收看，乙收看，病未收看；②甲 乙 丙之中有一人收看； ③甲 乙 丙之中有两人未收看；④甲 乙 丙至少有一人未收看．

解：①C AB ；②BC A +C B A +C AB ；③C B A +C B A +C B A ；④C B A ⋃⋃．

7. 试说明下列事件两两之间是否有包含、 相容、 不相容或对立关系；

①C B A ⋃⋃；②ABC ；③C B A ；④ABC ．

解： ①C B A ⋃⋃表示C B A 、、至少有一个发生，②ABC 表示C B A 、、三个都发生 ③C B A 表示C B A 、、三个都不发生，④ABC 表示C B A 、、三个不都发生．

所以①⊃②；①与③对立；①与④相容；②与③不相容；②与④对立；③⊂④.

8. 在电炉上安装了四个温控器，所显示的温度误差是随机的。在使用的过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就要断电。若事件E ={电炉断电}，而1234T T T T ≥≥≥为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 与][C 等价． （A ）{01t T ≥};（B ）{02t T ≥};（C ）{03t T ≥}；（D ）{04t T ≥}．

解： 因E ={两个温控显示温度不低于临界温度0t },而当03t T ≥时034t T T ≥≥

故E ={03t T ≥ }.

9.在某系的学生中任选一人,设A ={他是男学生},B ={他是一年级学生},C ={他是田径运动员}，试说明：①事件C AB 的意义;②事件A B C 的意义;③事件C B A 的意义;④事件C ABC =的意义.

解：①C AB ={他是男生，他是一年级学生，但不是田径运动员}; ②ABC ={他至少具备:不是男生,不是一年级学生,不是田径运动员三条件之一}; ③C B A ={他不是男生,不是一年级学生，不是田径运动员};

④若C AB C ABC ⊇⇒=,即C ={他是田径运动员}⊂{他是一年级男生},

即田径运动员都是一年级的男生（方法：可画韦氏图或可用运算性质）．

10. 已知事件A 与B ，试用较为简单的方式表示下列事件： ①B A AB +；②B A +B A B A +；③)(B A B A ⋃⋃）（;④))((B A B A -⋃．

解：①B B A A B A AB =+=+)(； ②B A +B A B A +=)(B B A B A ++= B A +A =A B A ⋃⋂)(=A B A B A A ⋃=⋃⋂⋂)()(； ③)(B A B A ⋃⋃）（=B B B A A =⋃Φ=⋃⋂)(；

④B A B A B A B A B A =⋃=-⋃))(())(( （)(B A A B A ⋃⊂⊂ ）．

习题1.2解答

1．上抛一枚硬币来决定乒乓球比赛的先发球权，方法是选手分别猜{正面朝上}或{反面朝上}，根据上抛硬币的结果猜中的选手先发球，试说明此方法的公平性．

解：∵P {正面朝上}=P {反面朝上}=0.5 ∴此方法公平．

2．上抛两枚硬币若A ={有两枚正面朝上}，B ={有一枚正面朝上}，C ={至少有一枚正面朝上}，则=)(A P _________，=)(B P ________，=)(C P _________．

解：（区分两硬币） ∵422n )},T ,T (),H ,T (),T ,H )(H ,H {(=⨯==Ω,而1)(=A r ,2)((=B r , 3)(=C r ， ∴n A r A P )()(==0.25, n )B (r )B (P ==0.5, n

C r C P )()(==0.75. 3. 丢掷两粒骰子,若A ={朝上的点数之和是6}，B ={朝上的点数之和是6并且有一粒的点数超过3}，C ={已知朝上的点数之和是6，

在此条件下有一粒点数超过3}，试求)(A P ， )(B P 与)(C P .注意：求)(A P ，)(B P 与)(C P 时，基本事件的总数应该有所不同.

解：（区分两粒骰子）①66⨯=n

A

={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)},∴5)(=A r ,∴365)(=A P ; B ={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)}, ∴4)((=B r r,∴=)(B P 4/36;

②5=n ，A /C ={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)},∴4)/(=A C r , ∴=)(C P 4/5.

4. 袋中装有4个红球3个白球，①从中任取一球，计算取得红球的概率；②从中任取两球，计算取得两个红球的概率．

解：①P {从中任取一球,取得红球}=7

41714=C C ； ②P {从中任取两球,取得两红球}=7

22724=C C ． 5. 袋中装有4个红球3个白球，如果用取后放回的方法，每次取一个球，共取两次，试计算：①第二次取出红球的概率；②两次都取出红球的概率．

解：（取后放回） （ 基本事件个数：77⨯=n ）

① P {第二次取得红球}=747747=⨯⨯； ②P {两次都取得红球}=49

167744=⨯⨯． 6．从52张扑克牌中任取4张，试计算：①4张中有1张A 的概率；②4张中有2张A 的概率；③4张中有3张A 的概率；④4张都是4张A 的概率．

解：基本空间 Ω={从52张扑克牌中任取4张的所有取法}, =n C 452

①P {4张中有1张A }=452C 348C 14C ； ②P{4张中有2张A }=452C 248C 24C ；

③P {4张中有3张A }=452C 148C 34C ；P {4张都是4张A }=45204844C C C =452C 1.

7. 设k y x ,<为任意一实数，①若A ={k x x <|}，}|{k y y B <=，试比较)(A P 与)(B P 的大小；