建模论文

数码相机定位系统的数学模型

摘要

数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。在双目定位中，数码相机的系统标定是关键的一步。本文就数码相机定位过程中系统标定的实现问题，根据小孔成像原理，考虑透镜径向一阶畸变影响，建立寻找靶标圆心像坐标的模型，并由该像坐标确定了相机间的相对位置。

在确定靶标上圆心在相机像平面上的坐标时，主要采用了解析计算的方法。先建立起靶标平面与像平面上的图形边界像素点之间的空间映射关系。再由靶标平面上的点满足的圆方程建立起像平面上各点的约束方程，寻找此超定方程组的最优解，从而确定出了圆心在像中的位置，最后加入畸变影响下的变换因子，对原有映射关系进行了修正，并由此确定了靶标圆心在像平面中的坐标值。靶标上A、B、C 3个圆的圆心共线，则在靶标图像坐标系中三个圆的圆心也共线，采用excel对三点进行描点连线，以折线的曲直程度检验模型的精度及稳定性。对于两部相机的相对位置及方向，利用模型1可求得两组坐标及坐标系的平移和旋转关系确定。运用Matlab的最小二乘法解超定方程组，得出两个相机在三个方向上的相互交角。

关键词：小孔成像，透镜径向一阶畸变，超定方程组，最小二乘法

一、问题的重述

数码相机定位在交通监管方面有广泛的应用。数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标。对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置是关键，这一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。实际上，无论在物平面或像平面上都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。因此我们采用的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），而它们的圆心就是几何的点。只是这些圆的像一般会变形，所以必须从靶标上圆的像中把圆心的像精确地找到，然后再进行标定。

因此我们需要解决的问题是：

1、由给定的靶标的像建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。

2、根据给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。

3、设计一种方法检验构造的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论。

4、建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

二、问题的分析

本问题需要依据问题重述的介绍，步步递进的求解。我们需要用matlab对靶标上圆的像进行处理，得到其外边的点的像素坐标，然后用某种算法得到圆点的坐标，再设计方法对已经构造出来的模型进行验证，并对方法的精度和稳定性进行讨论，最后建立两部相机相对位置的数学模型并求解。

首先将相机拍摄实物的过程近似为一个小孔成像的过程，以此建立像平面与靶标平面上对应点的空间映射关系，从而构建方程直接解出或是通过确定原像中的圆心寻找它在像中的位置。此问题的关键在于建立某种法则来确定出两平面之间满足的空间位置关系。由于靶平面上的边缘点满足圆的方程，于是可由两平面上点的映射关系推导出像平面上各点满足的方程，并建立起一个超定方程组，寻找一个对所有方程适应度最大的解，用最小二乘的原理，最优解应对各方程的解的平均偏移度最小。这样，通过解方程就得到圆心在像上的坐标值，另外，也可以利用映射回靶平面所得点集的几何中心到边缘各点的距离相等来寻找两平面间的最适位置关系，将靶上的圆心按此映射关系映射回像平面就得到圆心像坐标的最优解。进一步建立起径向一阶畸变下的映射关系式对理想模型做出修正。并由此确定了靶标圆心在像平面中的坐标值。由于靶标上A、B、C 3个圆的圆心共线，，则在靶标在图像坐标系中三个圆的圆心也共线，采用excel对三点进行描点连线，以折线的曲直程度检验模型的精度及稳定性。对于两部相机的相对位置及方向，利用模型1可求得两组坐标及坐标系的平移和旋转关系确定。运用Matlab的最小二乘法解超定方程组，得出两个相机在三个方向上的相互交角，从而得出两部相机的相对位置。

三、基本假设

1.假设靶标像的中心恰好在光轴上。

2.假设数码相机中图像平面与光轴垂直。

3.假设相机两个方向上焦距相等。

四、定义符号说明

ϕ

：物平面

β

：像平面

γ

：相机透镜平面

d：像平面与透镜平面的距离

i

S：非均衡度

S：总非均衡度

1

d：两个相机的间距

k：像平面与物平面之间的映射关系

A：3*3坐标旋转矩阵

R：坐标变换

δ

：两个相机在x轴方向上的交角

η

：两个相机在y轴方向上的交角

ζ

：两个相机在z轴方向上的交角

五、模型的建立

建立以相机透镜平面γ

为XOY平面，光学中心O为坐标原点，像平面

β平行于γ，

且相距为d的三维坐标系，此时将像平面上的边界点以一一映射方式投影到物平

面ϕ

上，得到物平面上圆的边界点，再将

β经过翻转后平移到z>0位置中，如

图1所示

（图1）

设物平面

ϕ的方程为0Ax By z D +++=，像平面β的方程为z=d ，物平面

上任一点（x ，y ，z ）在像平面上的所对应的点为()',','x y z ,根据图1得到ϕ与β

中对应点之间的连线通过原点。因此得到ϕ与β中外轮廓上对应像素点之间满

足的关系式

0Ax By z D +++=

'x d x z = （1）

'

y d y

z

=