高中数学人教A版选修1-1课时作业：2.3.2 抛物线的简单

课时作业19

一、选择题

1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )

A. (6，＋∞)

B. [6，＋∞)

C. (3，＋∞)

D. [3，＋∞)

解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p

2

＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p

2

，

∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)． 答案：D

2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )

A ．有且仅有一条

B ．有且仅有两条

C ．有无穷多条

D ．不存在 解析：由定义|AB |＝5＋2＝7， ∵|AB |min ＝4，

∴这样的直线有且仅有两条． 答案：B

3．[2014·安徽省合肥六中月考]已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )

A. 22

B. 4

C. 2

D.

32

2

＋1 解析：本题主要考查抛物线的性质的应用．将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为P 到焦点F (1,0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为

|1＋0＋3|

12＋12＝22，故选A. 答案：A

4．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →

＝－4，则点A 的坐标是( )

A ．(2，±22)

B ．(1，±2)

C ．(1,2)

D ．(2,22)

解析：F (1,0)，设A (y 20

4

，y 0)，

则OA →＝(y 2

04，y 0)，AF →＝(1－y 20

4

，－y 0)，

由OA →·AF →

＝－4得到y 0＝±2.∴A (1，±2)． 答案：B 二、填空题

5．抛物线顶点在坐标原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为______________．

解析：∵过焦点且与对称轴y 轴垂直的弦长等于p 的2倍． ∴所求抛物线的方程为x 2＝±16y . 答案：x 2＝±16y

6．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 解析：把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.

答案：(1,1)

7．[2013·江西高考]抛物线x 2

＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23

＝1相交于

A ，

B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.

解析：如图，

在正三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33p ，∴B 点坐标为(33p ，－p

2

)．又点B 在双曲线上，故13p 23－p 24

3

＝1，解得p ＝6.

答案：6 三、解答题

8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程及准线方程．

解：设所求抛物线的标准方程为 x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，M (0，－p

2)，

∵|AF |＝3，∴y 0＋p

2

＝3，

∵|AM |＝17，∴x 20＋(y 0

＋p 2

)2

＝17， ∴x 20＝8代入方程x 20＝2py 0得，

8＝2p (3－p

2

)，解得p ＝2或p ＝4.

∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 准线方程为y ＝－1或y ＝－2.

9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；

(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于

5

5

.若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ， 得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2，

故所求的抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝ －1.

(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2

＝4x ，

y ＝－2x ＋t ，

得y 2＋2y －2t

＝0，因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－1

2.另一方面，由直线

OA 与直线l 的距离等于

55可得|t |5＝5

5

，∴t ＝±1，由于－1∉⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，1∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为y ＝－2x ＋1.