量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
量子力学2.6一维无限深势阱
2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
2008.5
Quantum Mechanics
令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
2008.5
(8)
2008.5
Quantum Mechanics
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
2008.5
Quantum Mechanics
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
2008.5
Quantum Mechanics
一维无限深势阱
6.ξ一维无限深势阱考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内：0,,x x a U x a⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩ 如右图这种势叫一维无限深势阱因x U 不含 t ，属于定态问题。
体系所满足的定态薛定谔方程是：()2222d E x a dx ψψμ-=<① ()22022d U E x a dx ψψψμ-+=≥② ②中，0U →∞由波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，②式才能成立，所以，有：ψ=0，x a ≥现求解①式，改写为：2221222222020sin cos ,d E dxE d x a dx A x B x x aψψμψμααψψαα+=⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭=+<令：则：，其解为： （本身上方说的解可表为如下振荡函数形式：sin x α，cos ,i x x e αα±，但因现在势阱具有空间反射不变性，()()x x U U -=能量本征函数必定有确定的宇称曾书——P49——所以，只能取sin x α，或cos x α的形式。
根据ψ的连续性，因②式得ψ=0，x a ≥，于是：,sin cos 0sin cos 0sin 0cos 0x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。
（物理问题对ψ的要求）所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2)n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2)n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回1222E μα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得体系的能量本征值为：2222,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。
量子力学第三章
当 x a 或x 0，方程中含有 x 项
因 (x) 及 E 有限
( x) 0
（3）
从物理考虑，粒 子不能透过无穷 高的势壁
13
一维无限深势阱 方程（1）
当 0 xa
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
束缚态：0<E<V0
0, V ( x) V0
d 2 k 2 0 dx 2 2mE k
General Solution
V(x)
x a/2 x a/2
I
V 定理3：设 V x 具有空间反演不变性， x V x 。
4
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
宇称
空间反射：空间矢量反向的操作。
r r
(r , t ) (r , t )
归一化条件
A 2
a
17
一维无限深势阱
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
推导:
| n x | dx
2
a 2
0
| n | dx | n | dx | n | dx
2 2 2 0 a
ˆ 定义：空间反射算符，又称宇称算符 P ：
ˆ (r , t ) (r , t ) P
5
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
量子力学中的无限深势阱问题
量子力学中的无限深势阱问题量子力学是描述微观世界的物理学理论，它在解释和预测微观粒子行为方面具有重要的作用。
其中，无限深势阱问题是量子力学中的一个经典问题，它帮助我们理解波函数的性质以及粒子在势场中的行为。
无限深势阱问题是指一个粒子被限制在一个势能在某个区域内为无限大，在区域外为零的势场中运动。
这个问题可以用一维的情况来描述，假设势阱的宽度为L，那么势阱内的势能函数可以表示为：V(x) = 0, 0 < x < LV(x) = ∞, x < 0 或者 x > L在经典力学中，粒子在势场中的运动是由牛顿第二定律描述的，而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。
波函数是量子力学中的基本概念，它是一个复数函数，可以用来描述粒子的位置和动量。
对于无限深势阱问题，我们可以使用定态薛定谔方程来求解。
定态薛定谔方程可以表示为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ψ(x)是粒子的波函数。
在势阱内部，势能V(x)为零，因此定态薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² = Eψ(x)这是一个简化的定态薛定谔方程，可以通过求解这个方程来得到粒子在势阱内部的波函数。
根据边界条件，当x=0或者x=L时，势能V(x)为无穷大，因此波函数必须为零。
这意味着在势阱的两个边界处，波函数的值为零。
根据上述条件，我们可以得到波函数的一般形式为：ψ(x) = A * sin(kx)其中A是归一化常数，k是波数，可以通过边界条件来确定。
当x=0时，波函数为零，因此有sin(0) = 0，这意味着kx = 0，即k = 0。
当x=L时，波函数为零，因此有sin(kL) = 0，这意味着kL = nπ，其中n是一个整数。
通过边界条件，我们可以得到k的取值为：k = nπ/L由于波函数必须是归一化的，我们可以通过归一化条件来确定归一化常数A。
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
量子力学专题三(一维势场中的粒子)
量子力学专题三：一维势场中的粒子一、一维薛定谔方程边界条件和处理办法（熟练掌握）1、边界条件：A、束缚态边界条件：在无穷远处，找到粒子的概率为零，相应的波函数的值应该趋近于零；B、连续性边条件：a、波函数连续；b、波函数的一阶偏导数连续。
（注意：不一定同时成立！！）C、周期性边界条件：在求解角动量l分量的本征函数时，利用周期性边界条件可以确z定本征函数的归一化常数；在求解转子的能量本征函数时，亦可以利用周期性边界条件来确定其归一化常数。
2、处理方法：A、列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解；B、根据束缚态边条件，选择适合的解；C、根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；D、写出本征函数和对应的能量本征值。
二、一维方势阱：1、一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论（熟练掌握） A 、非对称势阱： a 、解题步骤：（1）写出各个区间的能量本行方程； （2）根据写出的微分方程，求出其通解；（3）根据连续性边界条件，确定其相位及其能量本征值的取值； （4）根据概率诠释，对波函数进行归一化处理，确定待定常数； （5）写出能量本征方程和对应的能量本征值。
b 、具体过程：)0(),0(0)(a x a x x x V <<><⎩⎨⎧∞=（1）列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解； 在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ在ax <<0区间，能量本征方程为：)()(2222x E x dxdm ψψ=-对其变形，得2=+''ψψk其中，mE k2=（0>E ）。
解得： )sin()(δψ+=kx A x（2）根据束缚态边条件，选择适合的解；此处的束缚态边条件，即粒子在无穷远处出现的概率为零，在求解本征方程——在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ——时已经应用了！（3）根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；在0=x 处，波函数连续，有0sin )0(==δψA ，则有0=δ。
薛定谔方程
经典力学与量子力学的比较 经典力学
量子力学
研究对象
宏观物体，在一 具有波粒二象性 定条件下可看成 的微观粒子 质点
运动状态描写 坐标（x,y,z） 动量（p）
波函数ψ(x,y,z,t) |ψ(x,y,z,t)|2代表 时刻t在空间某 处的几率。
运动方程即状态 随时间变化规律
牛顿方程
薛定谔方程
三、一维无限深势阱
图3.2.1 无限深势阱
(3.2.3)
(3.2.4)
式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界条 件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能透过势阱，要求在 阱壁及阱外波函数为零，即
即
上式舍去了n=0和n为负值的情况
(3.2.5)
这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。 又由归一化条件
二、定态薛定谔方程
在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种 分离变数的方法求其特解，令特解表为
代入下式，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边：
令这常数为E，有
（10）
于是波函数ψ(r,t)可 以写成
与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量， 具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几 率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2与时间无关。另一方面， (10) 式右边也等于E，故有
把(1)对t取一阶偏微商 如果自由粒子的速度较光速 小得多，它的能量公式是 p2/2m=E，两边乘以ψ，即得
（2） （3）
（4） （5）
把(3)和(4)代入(5)
得到一个自由粒子的薛定谔方程。 对于一个处在力场中的非 自由粒子，它的总能量等于 动能加势能
两边乘以ψ
自由粒子的薛定 谔方程可以按此式 推广成
定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
一维无限深势阱薛定谔方程求解
一维无限深势阱薛定谔方程求解一维无限深势阱是量子力学中最经典的问题之一，其求解对于理解基本的量子力学原理以及波函数的性质具有重要的意义。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的行为的基本方程，通过求解薛定谔方程，我们可以获得系统的波函数及其相应的能级。
让我们来考虑一个无限深势阱，这个系统可以简单地用一个势能函数来描述。
在这个系统中，粒子只能在一个有限的空间区域内运动，而且势能在这个区域内是常数为零的。
首先，我们需要写出薛定谔方程。
对于一维情况，薛定谔方程可以写成：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx²+ V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，ψ(x)是系统的波函数，V(x)是势能函数，E是波函数对应的能量。
对于无限深势阱，势能函数在阱内为零，在阱外为无穷大。
因此，V(x)在阱外的值可以视为一个很大的正数。
接下来，我们需要考虑边界条件。
在无限深势阱中，粒子是被约束在一个有限空间内的。
因此，在边界处，粒子的波函数必须为零。
对于一个无限深势阱，边界条件可以写为ψ(0)=ψ(a)=0，其中，a是阱的宽度。
现在，让我们尝试求解薛定谔方程。
由于系统的势能在阱内为零，薛定谔方程可以简化为：-d²ψ(x)/dx² = k²ψ(x)，其中，k=√(2mE/ħ²)。
这是一个常微分方程，我们可以通过分离变量和积分来求解。
假设ψ(x)可以分解为两个函数的乘积：ψ(x) = X(x)Y(y)。
将这个假设代入方程中，并整理得：1/X(x) * d²X(x)/dx² = -1/Y(y) * dY(y)/dy = -k²。
我们可以分别对X(x)和Y(y)进行求解，然后将两个解再组合起来得到系统的波函数。
针对常微分方程1/X(x) * d²X(x)/dx² = -k²，我们可以得到其解为X(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)，其中，A和B是常数。
量子力学讲义及资料第三章： 一维定态问题
第三章： 一维定态问题[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明2a x = ）（）（22226112πn a x x -=-并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数：()axn a x n πsin2=ψ （1） 先计算坐标平均值：xdx axn a xdx a x n a xdx x a aa）（⎰⎰⎰-==ψ=02022cos 11sin 2ππ利用公式：2sin cos sin ppxp px x pxdx x +-=⎰ （2） 得2cos sin cos ppxp px x pxdx x +-=⎰ （3） 22cos 22sin 221022aa x n n a a x n x n a x a x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ 计算均方根值用()x x x x x ，）（222-=-以知，可计算2xdx ax n x a dx a x n x a dx x x a a）（⎰⎰⎰-==ψ=022222022cos 11sin 2ππ利用公式px ppx x p px x p pxdx x sin 1cos 2sin 1cos 3222-+=⎰ （5） aa x n x n a a x n n a x n a x a x 0222222cos222sin 22311πππππ⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222223πn a a -= ()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n a a x x x x π）（2222212πn a a -=（6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a1=ω。
210a xdx a xdx x aa ===⎰⎰ω 312202a dx x a x a==⎰()22222222223⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-a n a a x x x x π）（故当∞→n 时二者相一致。
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒【VIP专享】
C2 l / 2, l 为整数，但奇偶性与n相反 . 11
所以
(x)
C1
cos(n
a
x
l ).
2
归一化：
a/2 | (x) |2
a/ 2
dx
1 2
aC12
1
C1 2 / a .
波函数： (x) 2 cos( n x l ) ,
a a2
几率密度： (x) 2 2 cos2 (n x l ) ,
微粒在体积元 dV内出现的概率为：
dW | (x, y, z,t) |2 dV
2
波函数的归一化条件：
(x, y, z,t) 2 dV 1
波函数的标准条件：单值、有限、连续。 坐标和动量的不确定度关系
x Px / 2
能量和时间的不确定度关系
E t / 2
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程
来源：基本假定之一，不可证明，只可检验。
地位：低速运动微观粒子的基本规律，地位同牛顿 定律。
成功解释氢原子能级和电（磁）场中氢原子光谱线 的分裂， 分享1933年Nobel物理奖。
6
2、定态薛定谔方程
定态：粒子于力场中运动时，势能与时间无关， 总能量不随时间变化的状态。
定态波函数：用于描述处于定态的粒子的波函数。
量子物理第3讲 ——薛定谔方程 定态薛定谔方程
一维无限深势阱 一维有限高势垒
主要内容
六、薛定谔方程
1
德布罗意公式
v E mc2 , h h .
hh
P m
自由粒子物质波的波函数
(r ,
t
)
0e
i(
Et
Pr)
在某处发现一个微粒的概率正比于描述该微粒的 波函数振幅的平方。
15.5.1薛定谔方程一维无限深势阱 - 薛定谔方程一维无限深势阱
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数
2
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
2Ψ x 2
4π2 p h2
2
Ψ
Ψ i2π EΨ t h
自由粒子 (v c) E Ek p2 2mEk
一维运动自由粒子的含时薛定谔方程
h2 8π2m
aa
波动方程
d2
dx2
8π2 mE
h2
0
14
波函数
Ep
(x)
0, (x 0, x a) 2 sin nπ x, (0 x a) aa
o ax
概率密度 (x) 2 2 sin2 nπ x
aa
能量
En
n2
h2 8ma2
15
讨论： 1 粒子能量量子化
Ep
t)
e i 2 π ( Et
0
px) / h
e e i2πpx/ h i2πEt / h 0
(x)(t)
(x) ei2πpx / h 0
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d 2
dx 2
8π 2 m h2
(E
Ep
)
(x)
0
5
三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学,并建立了 量子力学的近似方法 .
1933年与狄拉克获诺贝尔 物理学奖.
1
一 薛定谔方程
1 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程
自由粒子 的波函数
(r,
t)
i
0e
( EtPr )
,
可以看出：
E (r,t) i (r,t),
t
P
x
(r,
t
)
i
x
(r,
t
),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
y
(r,
t
)
i
y
(r,
t
),
2 2m
2
V
(r)
(r,
t)
i
t
(r,
t)
分离变量法：设 (r,t) (r) f (t)
i
则：
f (t)
df (t) dt
1 (r)
2 2m
2
V
(r)
(r)
7
i f (t)
df (t) dt
1 (r )
电子，当 E 1eV , V 0 2eV ,
o
a 2 A时 , T 0.51;
o
a 5A时 , T 0.006
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现 16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏” 17
例：质量为 m的粒子处于一维
对称势场
V (x)
0 , 0 x L;
V
(
x)
V0
,
x 0, x
近代物理量子3-薛定谔方程,无限深势阱 (2)
h
P
所以自由粒子的物质波为平面简谐波
类比经典波的复数表达式
沿+x方向运动的自由粒子波函数
i2π( t x )
Ψ (x,t) Ψ0e
将德布罗意波关系 E h 代入
h
P
得
Ψ e i2π( E t x )
Ψ (x,t) Ψ 0e h h/ p
i
1
(
Et
Px)
0
h 2π
在三维空间中运动的自由粒子的波函数
由波函数标准条件和边界条件定特解
由波函数在x=-a/2和x=a/2处连续，得：
Asin(ka / 2 ) 0
ka / 2 l1
Asin(ka / 2 ) 0 2 (l1 l2 ) l
ka / 2 l2
l
2
l为整数
l 0 o(x) Asinkx
l 1 e(x) Acoskx
i
t
2 2m
2 ( x2
2 y 2
2 z2 )
U (x.y.z.t)
引入拉普拉斯算符
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
三维含时薛定谔方程：
i 2 2 U (x.y.z.t) t 2m
3.定态薛定谔方程（重点）
若粒子在恒定势场中运动，(含常数势场U
即
U U(r)
与时间 t 无关
=
U0
)
定态波函数性质
1.一维有势场U(x,t) 中的粒子
•经典关系式
E Ek U (x,t)
•替换后关系式
E Px2 U (x,t) 2m
• 令其作用于波函数
(x,t)
i
t
(x,
t)
量子力学-无限深势井
当粒子在势场U(x,y,z) 中运动时，其定态Schrö dinger 方程为：
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
一维运动就是指在某 一方向上的运动。
4
第二章
（二）一维无限深势阱
0, U ( x) | x | a | x | a
n 1,2,3,
（1）n = 1, 基态，
2 2 E1 8a
与经典粒子不同，粒子的最低能量不为零，这个最低能 量称为 “零点能”，这是量子效应，微观粒子具有波动 性的表现。从波的角度是可以理解的，因为“静止的波” 没有意义。
13
第二章 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。
1 A , a
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类 推。 11
第二章
（三）宇称
（1）空间反射：空间矢量反向的操作。 r r (r , t ) ( r , t ) ( r , t ) (r , t ) （2）此时如果有： ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； ( r , t ) (r , t ) （3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。
2 d 2 [ U 1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 dx2 2 d 2 [ U 2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 dy2 [ d U 3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 dz2
波函数薛定谔方程一维无限深势阱
En
En1
En
(2n 1)
h2 8ma 2
En En
2n 1 n2
n
En 0 En
能量可认为是连续的。经典物理可以看成是量子物
理在量子数n时的极限。
*五、一维方势垒 隧道效应
设想一维方势垒如图。一粒子处于 x < 0 的区域内，其
能量小于势垒高度Ep0。
经典物理：粒子不可能越过势垒进入 x>0 的区域。
15-8波函数 薛定锷方程一维无限深势阱
仙女座
背景 二十世纪20~30年代，经过德布罗意、薛定
谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立 了描述微观粒子运动规律的量子力学。
德布罗意
海森伯
狄拉克
波恩
一、物质波波函数
微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述 其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。 波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示!
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
Ψ(x,y, z, t) Aei A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
y(
x,
t
)
Acos(2t x2xt
00
)
也可用复数形式来表示：
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
现的概率为：dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx ③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)2dv 1 （归一化条件） 对于一维： Ψ(x,y, z, t) 2 dx 1
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t
r 的任意性，
i df (t ) A f (t ) dt i
其解为 即
f (t ) Ce
At
,
i At
( r , t ) ( r )e
对照自由粒子的波函数可知，常量 的总能量： A E.
A
就是粒子
8
那么，定态波函数
其中不含时间部分 (r ) (通常也称定态波函数)
令
2 2
其通解：
( x) C1 cos( Kx C 2) .
a Ka 连续性： ( ) C1 cos( C 2) 0, 2 2 a Ka ( ) C1 cos( C 2) 0, 2 2
另外，
C1
一定不能为零。 ???
Ka n , n 1,2,3,... 为何不为负??? C 2 l / 2, l 为整数， 但奇偶性与n相反 .
2
2 V (r , t ) (r , t ) i (r , t ) 2m t
来源：基本假定之一，不可证明，只可检验。 地位： 低速运动微观粒子的基本规律，地位同牛顿 定律。 成功解释氢原子能级和电（磁）场中氢原子光谱 线的分裂，分享1933年Nobel物理奖。 6
2
其通解为
其中
( x) A cos( kx ).
2
k 2mE / ; 当 x 0 及 x L 时， V ( x) V 0 , 方程变形为 2 d ( x ) 2m 2 (V 0 E ) ( x) 2 ( x) 2 dx
其通解为
其中
( x) Be
非相对论极限下，自由粒子能量 – 动量关系：
2 P E . 2m
进行替换、并作用于波函数，得
2 (r , t ) i (r , t ) . 2m t
2
5
在外力场中：
2 P E V (r , t ) 2m
薛定谔方程(1926)：
进行替换、作用于波函数
下 ,其总能量E满足的关系式， 并由此说明能量是否连续。 解： 一维定态薛定谔方程： 2 2
V0
E m,
O
L
X
d [ V ( x)] ( x) E ( x). 2m dx 2 当 0 x L 时， ( x) 0, 方程变形为 V
18
d ( x) 2mE 2 2 ( x ) k ( x) 2 dx
C1 2 / a .
12
粒子的动量：
n K . Pn 2mE n a
h Pn
粒子的德布罗意波长：
n
2a / n 2 / K .
粒子的能量、动量、德布罗意波长 ( 及频率 ) 均是量子化的。 其中最小能量和最小动量皆不为零， 正是不确定度关系的反映。
7
2 2m V (r ) (r , t ) i t (r , t )
2
根据时间 的任意性、空间坐标 上式两端必为常量，令为 A ,则
i df (t ) 1 2 2 V (r ) (r ) f (t ) dt (r ) 2m
x
Ce .
x
2m(V 0 E ) / . 当 x 0时 B 0, 当 x L 时 C 0.
2
19
(x) A cos(kx ) , 0 x L ;
Be
利用连续性：
Ce
x
, x 0;
x
, x L.
2 2
k 2mE / , 2m(V 0 E ) / .
在某处发现一个微粒的概率正比于描述该微粒 的波函数振幅的平方。
2
称为概率密度。
2
微粒在体积元 dV 内出现的概率为：
dW | ( x, y, z, t ) | dV
2
波函数的归一化条件：
( x, y, z, t ) dV 1
2
波函数的标准条件：单值、有限、连续。
坐标和动量的不确定度关系
满足定态薛定谔方程：
( r , t ) ( r )e
i Et
.
2m (r ) 2 ( E V ) (r ) 0
2
9
3、一维无限深势阱
质量为 m的粒子作一维 运动，在力场中的势设为
V (x)
0 , a / 2 x a / 2 ； V ( x) , x a / 2, x a / 2 .
x Px / 2
能量和时间的不确定度关系
E t / 2
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程 i ( Et Pr ) 自由粒子 E (r , t ) i (r , t ), t P x (r , t ) i x (r , t ),
P y (r , t ) i (r , t ),
y
P z (r , t ) i (r , t ).
z
4
与能量 E 、动量 P 间有对应的等价关系： E i , P i t
j k ) 即算符 i 、 i ( i t x y z
电子，当 E
1eV , V 0 2eV ,
a 2 A 时 , T 0.51;
a 5 A 时 , T 0.006
o
o
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现
16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏”
17
例： 质量为
对称势场
m的粒子处于一维
V (x)
0 , 0 x L; V ( x) V0 , x 0 , x L 中，推导粒子在 E V 0的情况
20
、20.19 、20.20 作 业 题： 习题20.18
预习内容： 20.8 复习内容：本讲
21
量子物理第3讲 —— 薛定谔方程
方程 势垒 一维无限深势阱
主要内容
六、薛定谔方程
定态薛定谔 一维有限高
1
德布罗意公式
E mc h h v , . h h P m
自由粒子物质波的波函数
2
(r , t ) 0 e
0 即 | |
2
i ( Et Pr )
一维无限深势阱.exe
13
4、一维有限高势垒
V (x)
V0 0 , x 0, x a ; V ( x) E V0 , 0 x a. 具有能量 E ( E V 0 ) 的粒子沿
X 正向射向势垒。 经典力学：粒子没有能力穿过势垒，百分之百地 被弹回。 量子力学：粒子有一定的机会通过势垒。 定义透射系数：
11
n l x ). 所以 ( x) C1 cos( a 2 a/2 1 2 2 归一化： a / 2 | ( x) | dx aC1 1 2
2 n l cos( x ), 波函数： ( x) a a 2 2 l 2 2 n x ), 几率密度： ( x) cos ( a a 2 2 2 2 n 2 . n 1,2,3,... K 2mE E n / 能量量子化： n / a , 2 2ma
2、定态薛定谔方程
定态：粒子于力场中运动时，势能与时间无关， 总能量不随时间变化的状态。 定态波函数： 用于描述处于定态的粒子的波函数。 Schrö dinger方程：
分离变量法： (r , t ) (r ) f (t ) 设 2 i df (t ) 1 2 V (r ) (r ) 则： f (t ) dt ( r ) 2m
O
X
透射波函数振幅 T 入射波函数振幅
2
14
解薛定谔方程表明：
2 4k k T 2 . 2 2 2 2 2 2 (k k ) sh k a 4k k ch k a
2
k 2m(V0 E ) / 2 其中 k 2mE / ,
2
隧道效应： 粒子能够穿透比它的能量还高的势垒 的现象。 已经实验证实并得到实际应用。
x 0 处，A cos C, kAsin C ,
x L 处， A cos(kL ) Be , L kAsin( kL ) Be .
解出
L
L 2mE 2 E (V 0 E ) tan . E 不连续！ V 0 2E
a a ( ) 0 , ( ) 0. 2 2
a/2 0 a/2 X
势壁无限高，阱内的粒子不可越出阱外：
阱内
(a / 2 x a / 2) , 定态薛定谔方程： 2 d ( x ) 2m 2 E ( x) 0 . 2
dx
10
K 2mE / , d 2 2 K . 则 2 dx