导数与定积分命题规律与备考策略
导数与定积分知识汇总
导数与定积分知识汇总导数和定积分是微积分的重要概念之一、导数描述了函数在其中一点上的变化率，而定积分则计算了函数在给定区间上的累积量。
本文将对导数和定积分的基本定义、性质和应用进行详细介绍。
一、导数的定义和性质1. 导数的定义：对于函数f(x)，在其中一点a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)。
导数表示了函数y=f(x)在x=a处的切线斜率。
2.导数的几何意义：导数表示了函数图像在其中一点上的切线斜率。
如果导数大于零，则函数在该点上递增；如果导数小于零，则函数在该点上递减；如果导数等于零，则函数在该点上取极值；如果导数不存在，则函数在该点上存在间断。
3.导数的计算方法：可以使用基本导数公式来计算导数，例如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
此外，还可以使用导数的四则运算法则，包括求和、差、积和商的导数。
4.高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
第n阶导数表示了函数的n次变化率，可以用f^(n)(x)表示。
例如，如果函数的二阶导数大于零，那么函数在该点上呈现凸的曲线形状。
二、定积分的定义和性质1. 定积分的定义：对于函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分定义为：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[f(x_k) Δx_k]，其中Σ表示求和，Δx_k是区间[a,b]上一个子区间的长度，x_k是该子区间内任意一点。
2.定积分的几何意义：定积分表示了函数f(x)在区间[a,b]上的曲线下面积。
如果函数在该区间上为正值，则积分值为正；如果函数在该区间上为负值，则积分值为负；如果函数在该区间上变号，则通过积分可以得到曲线上和曲线下的面积差。
3.定积分的计算方法：可以使用定积分的基本公式来计算定积分，如幂函数的定积分、三角函数的定积分等。
此外，还可以利用换元积分法、分部积分法等方法来计算更复杂的定积分。
4. 积分的性质：积分具有线性性质，即∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx；积分也具有保号性质，即如果在[a,b]上f(x) ≤ g(x)，那么∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx。
高等数学高考应试技巧导数应用的巧妙技巧
高等数学高考应试技巧导数应用的巧妙技巧在高考数学中，导数作为一个重要的工具，常常在解题中发挥着关键作用。
掌握导数应用的巧妙技巧，不仅能够提高解题的效率，还能增强我们在考试中的自信心。
接下来，让我们一起深入探讨导数在高考中的那些实用技巧。
一、利用导数求函数的单调性函数的单调性是导数应用中最为基础也是最为重要的一个方面。
对于给定的函数$f(x)＄，我们先对其求导，得到$f'（x)＄。
若$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上单调递增；若$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上单调递减。
例如，对于函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$，对其求导得到$f'（x) ＝3x^2 6x$。
令$f'（x) ＝ 0$，解得$x ＝ 0$或$x ＝ 2$。
当$x ＜ 0$时，＄f'（x) ＞ 0$，函数单调递增；当$0 ＜ x ＜ 2$时，＄f'（x) ＜ 0$，函数单调递减；当$x ＞ 2$时，＄f'（x) ＞ 0$，函数单调递增。
通过这种方法，我们可以清晰地确定函数的单调性区间，为后续的解题提供重要依据。
二、利用导数求函数的极值在求函数的极值时，导数同样发挥着重要作用。
首先求出导数$f'（x)＄，然后令$f'（x) ＝ 0$，求出可能的极值点。
接着，通过判断导数在极值点两侧的符号来确定是极大值还是极小值。
如果在极值点左侧导数为正，右侧为负，那么该点为极大值点；反之，如果左侧导数为负，右侧为正，那么该点为极小值点。
以函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$为例，已经求出其极值点为$x ＝0$和$x ＝ 2$。
在$x ＝ 0$左侧，＄f'（x) ＞ 0$，右侧$f'（x) ＜ 0$，所以$x ＝ 0$为极大值点，极大值为$f(0) ＝ 2$。
在$x ＝ 2$左侧，＄f'（x) ＜ 0$，右侧$f'（x) ＞ 0$，所以$x ＝ 2$为极小值点，极小值为$f(2) ＝－2$。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
函数导数定积分复习建议
方法概述：
⑴二次函数的表达式有三种形式，即一般式，顶点 式和交点式，不同形式的表达式，在推理和运算中 有着不同的作用，求函数值问题常用一般式；求最 大值最小值或值域问题常用顶点式；确定函数值符 号及方程的根有关的问题常用交点式。 ⑵二次函数在闭区间上必存在最大值和最小值，相 应的最值只能在区间端点或图象顶点处取得，具体 求最值时，要根据二次函数图象的开口方向和对称 轴与区间端点的相对位置关系这两个要素来确定， 必要时应分类讨论。 ⑶处理一元二次方程根的分布问题，一般利用根与 系数的关系，或转化为二次函数图象与轴的交点位 置关系利用数形结合来解决。有时也可利用根的定 义通过分离参数来转化。
函数、导数、定积分 复习建议
省扬中高级中学高三数学备课组
一、课标要求：
1、函数概念与基本初等函数I（指数函数、 对数函数、幂函数） 2、导数部分文理科选修内容的差异
二、考试说明---函数与导数内容要 求： 三、热点分析：
函数是高考数学的重点内容之一，函 数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的 全过程，包括解决几何问题。在近几年的 高考试卷中，选择题、填空题、解答题三 种题型中每年都有函数试题，而且常考常 新。以基本函数为背景的应用题和综合题 是高考命题的新趋势。
5、信息技术在教学中的使用与高考 中不使用计算器的矛盾及对策：
随着时代的发展，特别是数学的广泛应用和现代信息技术 的发展对社会各个领域的影响，课程标准重新审视了基础知 识、基本技能和能力的内涵，形成了符合时代要求的新的 “数学基础”，增加了算法的内容，加强了概率、统计的内 容，突出了数学的文化价值和实际应用等。例如，课程标准 提倡利用计算机、计算器处理数据、进行模拟活动来呈现以 往数学中难以呈现的课程内容，使学生将更多的精力投入到 有意义的探索性活动中去，实现信息技术与课程内容的有机 整合。 考试大纲中明确地指出2008年高考不允许使用计算器， 因此有些需要借助于计算器来实现的知识难以考察。下面就 这些问题展开研究。 考纲在“函数与基本初等函数”中指出“根据具体函数 的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解”。 这里应着重于通过理解二分法求函数零点近似值的步骤，体 会二分法的思想。
导数专题备考策略与建议
导数专题备考策略与复习建议沈阳市第二十中学何运亮一、知识网络总体说有四部分：（一）导数的基本概念，它包括导数的定义，导数的几何意义，导数的物理意义（二）常见导数与运算，它包括常见函数的导数，导数的加减乘除以及复合函数的导数运算（三）导数的应用，它包括求切线，求单调性，求极（最）值，证明不等式（四）积分，它包括微积分基本定理的一些简单计算与求图形的面积注：用五课时（一周）来复习，其中第三部分用两课时。
二、考纲解读及备考策略（一）了解导数概念的实际问题。
了解内容，近年来没有涉及。
（二）通过函数图象直观理解导数的几何意义。
该知识内容在近几年的高考中已成为一个热点，题型从选择题、填空题到解答题均有涉及。
选择题、填空题主要考查本章的基本公式和基本方法的应用，求函数的导数，切线的斜率，函数的单调区间、极值、最大（小）值。
如辽宁09年高考（理）第（7）题： 曲线=2xx -在点（1，-1）处的切线方程为 （A ）=-2 B =-32 C=2-3 D=-21； 辽宁10年高考（理）第10题： 已知点41xe +4π[,)42ππ3(,]24ππ3[,)4ππ)(x f R 2)1(=-f R ∈x 2)(>'x f 42)(+>x x f 1-1-∞∞-1-∞-∞21()(1)ln ,12f x x ax a x a =-+->()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212()()1f x f x x x ->--1ln )1()(2+++=ax x a x f I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a 如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围此题仍然是利用导数得到二次含参不等式，在定义域内讨论以及构造函数证明不等式。
辽宁11年高考（理）第21题：已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0，证明：f '（0）＜0此题仍然是利用导数得到二次含参不等式，在定义域内讨论以及构造函数证明不等式。
导数与定积分总结
C:其实质是从点x附近的平均变化率到点x的瞬时变化率; 还要注意函数值的变化要与自变量的变化一致
(1)设f（x）为可导函数，则
的为（ B ） A. f ( x0 ) B. 2 f ( x0 )
lim
h 0
f ( x 0 h) f ( x 0 h) h
D.0
C. -2 f ( x0 )
y f '( x) H
E 0 G A C B F
K
x
y f ( x)
y f '( x)
请你根据上面图象指出哪些是极点,极值;最值点,最值
突破2 利用导数研究函数的单调性问题
例 2 (2014· 大纲卷)函数 f(x)＝ax ＋3x ＋3x(a≠0)． (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)在区间(1，2)是增函数，求 a 的取值范围． 思路点拨：(1)首先求出函数的导数，然后求出 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 的解集即可． (2)分类讨论在区间(1，2)上使 f′(x)＞0 成立的条件，并求 出参数 a 的取值范围即可．
函数s s(t )在点t0处的导数s' (t0 ), 就是物体的运 动方程为s s(t )在t0时的瞬时速度 v,即v s' (t0 )
练习
（1）曲线y=x4的斜率等于4的切线的方程为 4x-y-3=0 . 1 ( （2）过曲线y=cosx上的点 3 , 2 ) 且与过这点的切线垂直的 1 2 3 y ( x ) 切线方程为 . 2 3 3 （3）一物体的运动方程是s=t2+3,则物体的初速度是 0 时间段（3,3+Δt）中，相应的平均是 加速度是 2 6+△t . 在t=3时的瞬时速度等于 6 .物体的 . .
高考数学冲刺复习定积分考点深度剖析
高考数学冲刺复习定积分考点深度剖析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是让众多考生倍感压力。
在高考数学中，定积分是一个重要的考点，它不仅在数学知识体系中具有重要地位，也是解决实际问题的有力工具。
在高考冲刺阶段，对定积分考点进行深度剖析，有助于考生更好地掌握这一知识点，提高解题能力，从而在高考中取得优异成绩。
一、定积分的概念定积分的概念是整个定积分知识体系的基础。
简单来说，定积分是一个数值，表示函数在某个区间上的累积效果。
我们可以通过分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤来理解定积分的定义。
想象一下，要计算一个不规则图形的面积，我们把这个图形所在的区间分割成很多小的部分，然后用小矩形去近似代替每个小部分，把这些小矩形的面积加起来，当分割越来越细时，这个和的极限就是定积分的值，也就是这个不规则图形的面积。
例如，对于函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分，表示为∫a,b f(x)dx ，它的几何意义可能是曲线 f(x) 与 x 轴在区间 a, b 之间所围成的面积（在 x 轴上方的部分为正，下方的部分为负）。
二、定积分的性质定积分具有许多重要的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
1、线性性质∫a,b k1f(x) ＋ k2g(x)dx ＝k1∫a,b f(x)dx ＋k2∫a,b g(x)dx ，其中 k1 和k2 是常数。
2、区间可加性∫a,c f(x)dx ＝∫a,b f(x)dx ＋∫b,c f(x)dx ，其中 a ＜ b ＜ c 。
3、保号性如果在区间 a, b 上f(x) ≥ 0 ，则∫a,b f(x)dx ≥ 0 ；如果f(x) ≤ 0 ，则∫a,b f(x)dx ≤ 0 。
三、定积分的计算计算定积分是高考中的重点和难点，通常需要运用微积分基本定理，也就是牛顿莱布尼茨公式。
如果 F'（x) ＝ f(x) ，那么∫a,b f(x)dx ＝ F(b) F(a) 。
高考必备公式、结论、方法、细节七：导数与定积分
□高考必备公式、结论、方法、细节七：导数与定积分一、必备公式1．导数公式(1)导数定义公式： f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)基本初等函数的导数公式①(c ) ′＝ 0 (c 为常数)； ②(x n ) ′＝nx n －1 ；③(sin x ) ′＝cos_x ； ④(cos x ) ′＝－sin_x ； ⑤(e x ) ′＝e x ； ⑥( a x ) ′＝a x ln_a (a >0，a ≠1) ； ⑦(ln x ) ′＝1x； ⑧(log a x ) ′＝1x ln a (a >0，a ≠1)； (3)导数运算法则：记函数f (x )=u ，g (x )=v ，则：①和差导数：(u ±v )′＝ u ′±v ′ ；②积的导数：(cu )′＝ cu ′ (c 为常数)； (uv )′＝ u ′v +uv ′ ；③商的导数：(u v )′＝ u ′v －uv ′v 2(u ≠0)； ④复合导数：f [g (x )]′＝ g (x ) ′·f (v )′ ． 2．定积分公式(1)定积分的性质公式：①ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x ； ②ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ； ③ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．(2)微积分基本定理(牛莱公式)：一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，则：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．二、必备结论1．函数最值结论：(1)连续函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上必有最大值和最小值，且最值一定处在端点处或极值点处；(2)当函数在某区间上只有唯一的极值点时，则相应的极小值必为函数的最小值，极大值也必为函数的最大值．2．函定积分求面积结论：某一区间上的定积分值有正负，而曲边梯形的面积一定是非负的，具体如下：(1)图甲： S ＝⎠⎛a b f (x )d x ； (2)图乙：S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ； (3)图丙：S ＝－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x .3．恒成立问题与存在成立问题结论： (1)恒成立三种类型：①对于∀x ∈D ：若f (x )＜M ，则f (x )max ＜M ；若f (x )＞M ，则f (x )min ＞M ；②对于∀x ∈D ：若f (x )＞g (x ) ，则[f (x )－g (x )]min ＞0；若f (x )＜g (x )，则[f (x )－g (x )]max ＜0；③对于∀x 1∈D 1，∀x 2∈D 2，若f (x 1)＞g (x 2)，则f (x )min ＞g (x )max ；(2)存在成立三种类型：①对于∃x 0∈D ：若f (x 0)＜M ，则f (x ) min ＜M ；若f (x 0)＞M ，则f (x ) max ＞M ； ②对于∃x 0∈D ：若f (x 0)＞g (x 0) ，则[f (x )－g (x )] max ＞0；若f (x 0)＜g (x 0)，则[f (x )－g (x )] min ＜0；③对于∃x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，若f (x 1)＞g (x 2)，则f (x ) max ＞g (x ) min ；(3)恒成立与存在混合：①对于∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)＞g (x 2)，则f (x )min ＞g (x )min ；②对于∃x 1∈D 1，∀x 2∈D 2，f (x 1)＞g (x 2)，则f (x ) max ＞g (x ) max ；三、必备方法1．导函数解题的两大意识：(1)导后三件事：①导后定义域；②导后通分(针对含分母的导函数)；③导后因式分解.(2)含参讨论逻辑：①讨论方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，讨论根是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个或更多，应讨论根的大小关系．2．曲线切线方程的三种类型及方法：(1)“在点”切线：即求y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线方程，步骤如下：①求导数f ′(x)；②求切线斜率：k切线＝f ′(x0)；③求切线方程：点斜式方程y－f(x0)＝f ′(x0) (x－x0) ；(2)“过点”切线：即求y＝f(x)过点P(x1，f(x1))的切线方程，步骤如下：①设切点坐标Q(x0，f(x0))；②利用“在点”切线求法，写出切线方程：y－f(x0)＝f ′(x0) (x－x0) ；③求切点坐标：把点P(x1，f(x1))代入切线方程，求x0；④把切点Q(x0，f(x0))代入②中方程即可.(3)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：①设切点：P(x0，y0)；②求切点：通过方程k＝f′(x0)解得x0；③写方程：再由点斜式写出方程．3．用导函数解决单调性问题：(1)求单调区间的步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式：令f′(x)>0的解集与定义域交集为单调递增区间；令f′(x)<0的解集与定义域交集为单调递减区间．注意：相同单调性的单调区间不可并.(2)已知函数f(x)在(a，b)的单调性，求参数的范围的方法：①子集关系法：即y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．②转化恒成立：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数单调递减，则f′(x)≤0恒成立”．注意：①转化恒成立时，不要忘记f′(x)可以等于0；②恒成立问题，分参法.4．导数与函数极值、最值：(1)求函数f(x)极值的步骤：①求定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0；④画极值分布表；⑤通过表格求极值.(2)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值步骤：①求f(x)极值；②求端点值f(a)，f(b)；③比较极值与端点值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．5．用导函数解决不等式有关问题：(1)证明不等式：以证明不等式f(x)<g(x)为例，常用如下三种方法：①作差构造：即构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，然后求F(x) max并证明F(x) max＜0；②最值比较：即分别求f(x) max、g(x)min，然后证明f(x) max＜g(x)min即可；③先整理，再证明：即通过去分母，移项合并等方式对不等式进行等价化简，然后用①或②方法证明；注意：根据经验，高考易考函数有f(x)＝x ln x和f(x)＝xe x，整理不等式的时候要注意.(2)含参不等式恒成立：分离参数，构造函数，把恒成立问题转化为函数的最值问题．以证f(x)－a＜0恒成立为例，具体步骤：①分参变形：a＞f(x)；②构造函数：h(x)＝f(x)；③求最值h(x) max；④确定范围：a＞h(x) max.6．用导函数解决函数零点问题：(1)判断零点个数：数形结合思想，即研究y＝f(x)的单调及极值，画出函数草图，判断图像与x轴交点个数；(2)含参零点讨论：分离参数+数形结合，即将函数F(x) ＝f(x)－a分参变形为a＝f(x)，研究f(x)的性质并画出草图，通过讨论参数a的范围，进而确定直线y＝a与f(x)图像交点个数，即确定零点个数.四、必备细节1．f (x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．求曲线切线时，要分清“在点P”处的切线与“过点P”的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别．4．对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的必要不充分条件．5．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．。
高考数学导数部分的命题规律
高考数学导数部分的命题规律高考数学中的导数题是一个非常重要的考点，因其数学思维要求很高，所以也是高中数学的难点，主要考察对导数的理解和应用能力。
本文根据历年的高考数学试卷，总结出导数题的一些命题规律和学习应对方法。
命题规律和学习重点一、基础概念和性质高考导数题通常首先检测的是对基础概念和性质的理解，如导数的定义、计算规则、导数与函数单调性和极值的关系等。
因此，学习和复习时，需要确保对基础知识有深入的理解和掌握。
实际教学实践中往往以导数应用来学习，效果会很好（导数可以用来干什么）。
二、应用问题导数在实际问题中的应用高考命题的常见的考法，如利用导数求最值、优化问题等。
这类问题通常需要理解问题的背景（语言理解能力，往往一大段话中摘出关键的信息），正确建立数学模型（构造函数求导或放缩是重要的建模方法之一），然后运用导数知识解决问题。
三、与其他知识点的结合导数常与其他知识点结合出题，如与函数、不等式、三角函数、数列等结合。
这类问题需要灵活运用所学知识，进行跨知识点的综合应用（知识点的迁移能力，见到A外壳，联想到B知识点的能力）。
四、难题设置为了增加试卷的难度和区分度，高考导数题中通常设置一些难题。
这些难题涉及复杂的计算、深入的理解或者巧妙的思路（将一个复杂问题通过逻辑思考分解成小问题，逐步解决的能力）。
对于这类题目，需要在平时的学习和复习中积累经验和技巧，提高解题能力。
五、创新题型为了考察创新能力和应变能力，高考导数题中有时会出现一些创新题型。
这些题目可能具有新颖的背景、独特的设问方式或者非常规的解题方法。
对于这类题目，需要在平时的学习和复习中拓宽视野，增强创新意识。
深入理解的核心概念和性质导数的定义：导数是函数在某一点的变化率，描述了函数值随自变量变化的快慢程度。
导数的计算规则：包括常见函数的导数公式、导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则等。
这些规则可以帮助我们计算复杂函数的导数。
导数与函数的单调性：如果一个函数在某区间内的导数大于0，则该函数在此区间内单调增加；如果导数小于0，则函数在此区间内单调减少。
高考导数备考策略
高考导数备考策略高考导数备考策略可以从以下几个方面进行：1. 理解导数的基本概念和性质：导数反映的是函数在某一点的切线斜率，是研究函数的重要工具。
要理解导数的定义、几何意义以及一些基本的导数性质。
2. 掌握导数的计算方法：对于常数函数、多项式函数、幂函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的导数，需要熟练掌握。
同时，要理解复合函数和反函数的求导法则，这是解题的关键。
3. 学会应用导数解决实际问题：导数在实际问题中有广泛的应用，例如求切线方程、求函数的极值和最值、分析函数的增减性和凹凸性等。
要学会将实际问题转化为数学问题，利用导数求解。
4. 大量练习提高解题能力：通过大量的练习题，可以加深对导数的理解，提高解题技巧。
可以选择不同难度的题目进行练习，包括基础题和综合性题目，培养数学思维和解题技巧。
5. 合理利用辅助工具：可以使用图形计算器或数学软件来绘制函数曲线和求解导数，这有助于更直观地观察和理解导数的性质。
6. 制定学习计划并坚持执行：制定详细的学习计划，合理分配时间，坚持每天学习一定时间量的导数知识。
同时，要根据自己的学习情况，确定学习的优先级和重点，把握适当的学习进度。
7. 多方面获取学习资源：除了课本，还可以利用参考教辅资料、网上视频教学、高中数学论坛和学习社群等资源，从不同角度和方法获取导数相关的知识和技巧。
8. 寻求帮助和互助：遇到问题时，可以向老师、同学或家长寻求帮助。
可以组建学习小组或通过线上平台与其他学生一起讨论和解决问题，相互促进和进步。
9. 增加学习兴趣：了解导数在数学和实际生活中的应用，激发自己对数学的兴趣和好奇心，这有助于提高学习效果。
10. 不断总结和复习：学习导数是累积性的过程，需要不断地巩固、总结和复习。
可以通过做笔记、整理思维导图、解析历年考题等方式，巩固对导数的理解和运用。
总之，高考导数备考需要全面理解和掌握导数的基本概念和性质，通过大量的练习提高解题能力，同时合理利用辅助工具、制定学习计划、多方面获取学习资源、寻求帮助、增加学习兴趣以及不断总结和复习都是有效的备考策略。
求函数的导数与积分的关系的方法总结
求函数的导数与积分的关系的方法总结函数的导数和积分是微积分中的两个重要概念，它们之间存在着一定的关系。
本文将总结求函数的导数与积分之间的关系的方法。
1. 法则总结1.1 导数的法则导数是函数在某点的变化率，常用法则包括：- 基本导数法则：如常数的导数为零、幂函数的导数为幂减一乘以幂次。
- 乘积法则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
- 商积法则：两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。
- 链式法则：对于复合函数，导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数。
1.2 积分的法则积分是函数与给定函数之间的面积关系，常用法则包括：- 基本积分法则：幂函数积分等于幂次加一除以幂次加一的常数乘以幂函数。
- 定积分法则：定积分是对函数在区间内的面积求解，可以通过定积分法则将复杂函数的积分问题转化为基本函数的积分。
- 分部积分法则：对于两个函数的乘积，分部积分法则将乘积的积分转化为其中一个函数和另一个函数的导数的乘积的积分。
2. 导数和积分的互逆关系导数和积分之间有着互逆的关系，即导数和积分可以相互转化。
2.1 基本关系若函数f(x)在区间[a, b]上可导，则在该区间上的定积分与函数f(x)的原函数F(x)之间有如下基本关系：∫[a, b]f(x)dx = F(x)∣[a, b] = F(b) - F(a)2.2 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是导数和积分互逆关系的具体表达式，对于函数f(x)在区间[a, b]上可导，则有：∫[a, b]f'(x)dx = f(x)∣[a, b] = f(b) - f(a)3. 应用实例3.1 几何意义导数和积分在几何上有着重要的应用，如导数可以表示曲线在某点的切线斜率，积分可以表示曲线与x轴围成的面积。
3.2 求解函数性质通过求导和积分可以求解函数的极值点、拐点、凹凸性等性质。
高考数学复习 专题02 函数与导数 定积分与微积分基本定理备考策略
定积分与微积分基本定理备考策略主标题：定积分与微积分基本定理备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：定积分，应用，备考策略 难度：4 重要程度：5内容考点一 定积分的计算例1.(1)⎰ex 11dxA. e 1－1B. 1－21e C. 1 D. e －1【答案】C【解析】利用微积分定理，⎰ex 11dx =1ln 1=λx ，选C;(2).12(2)xdx+⎰= .【答案】27【解析】利用微积分定理得：120(2)x dx +⎰=13017(2)32x x += 【备考策略】(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．考点二 利用定积分求平面图形的面积【例2】 (1)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．A.2π5B.43C.32D.π2(2)曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.审题路线 (1)先求二次函数f (x )的解析式，再利用定积分的几何意义求面积．(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积． 解析 (1)设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝＝2dxx ⎰121－x 2)d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪ 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎰k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 答案 (1)B (2)2【备考策略】 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．考点三 定积分在物理中的应用【例3】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )． A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎰4⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 答案 C【备考策略】 (1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误．。
高考数学复习专题02函数与导数定积分与微积分基本定理考点剖析
定积分与微积分基本定理主标题：定积分与微积分基本定理副标题：为学生详细的分析定积分与微积分基本定理的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：定积分，应用难度：4重要程度：5考点剖析：了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法.了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题.命题方向：定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：①依据定积分的基本运算求解简单的定积分；②根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积．关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解．各地考纲对定积分的要求不高．学习时以掌握基础题型为主．规律总结：1．求定积分常用的方法(1)利用微积分基本定理．(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积．2．定积分计算应注意的问题+(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数知 识 梳 理1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点01a x x =<< 1i i n x x x b -<<<<=将区间[,]a b 等分成个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,)i i n ξ=，当n →∞时，和式1()n i i b a f nξ=-∑无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做：()b a f x dx ⎰.记：()b a f x dx ⎰=lim n →∞1()ni i b a f n ξ=-∑，,a b 分别叫做积分下限和积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间.2.定积分几何意义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续且恒有()0f x ≥ ，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,,0x a xb y ===和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义. 3.定积分性质：(1)()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰ (2)()()(b b a akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数）1212(3)[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 4.微积分基本定理一般地，如果函数()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()b a f x dx F a F b =-⎰。
2023届高考数学---导数专题命题规律小结及备考策略
2023届高考数学---导数专题命题规律小结及备考策略1．规律小结纵观近几年高考对导数的考查，试题设计一般是包含一大一小（全国Ⅱ卷一般只有大题），理科对导数的几何意义以及切线考查的频率较高，用导数研究函数的单调性、极值、最值是引导教学的常规要求。
文科对切线、单调性和零点考查的频次较高，导数研究不等式的要求相对理科要低许多。
导数研究不等式、零点等则是导数综合运用的最好载体，从思想方法上看，函数与方程、数形结合、分类讨论是重点考查的内容，从关键能力上看，侧重对逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的考查，从学科素养上看，突出理性思维和数学探索。
命题基本上是强调导数的工具性作用，不涉及导数本身过多的理论。
2．考点频度高频考点：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调性、极值或最值；导数的几何意义，求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性。
中频考点：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求不等式的解；求参数的取值范围；函数模型的应用。
低频考点：反函数、定积分。
3．备考策略预计2022年的高考难度会有所降低，但变化不大，保持稳定是主基调，小题一般是基础题，大题突出综合性，作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应该引起足够的重视。
（1）2022年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度不定，题目可能为简单题，也可能为难题，题型为选择题、填空题或解答题。
（2）2022年高考在导数综合应用的命题方面，理科仍将以选择、填空压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题的能力。
文科仍将以解答题压轴题形式考查零点、极值、最值，简单不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证与不等式有关的问题，一般难度不会太高。
新高考的考查内容会与理科类似，难度可能会略低一些。
高中数学一轮复习导数与定积分：第1节 导数的概念
第1节 导数的概念【基础知识】1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数 称函数0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数． 【规律技巧】1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法：①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； ②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x y f x x ∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限. 2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数【典例讲解】例1、利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．【方法技巧】求函数f (x )的导数步骤：(1)求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)；(2)计算平均变化率Δf Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1； (3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →0Δf Δx . 【变式探究】 利用导数的定义，求：(1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数； (2)f (x )＝1x ＋2的导数．【解析】 (1)∵Δy Δx ＝(1)(1)f x f x+-＝11＋Δx －1Δx ＝1－1＋Δx Δx 1＋Δx＝(1)(11)x x x +++(1)(11)x x x +++ )(11)x x +++ ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx )(11)x x +++＝－12. (2)∵Δy Δx ＝00()()f x x f x x+- ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx ＝2(2)2)(2)x x x x x x x +-+++++（ ＝12)(2)x x x -+++（， ∴f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 12)(2)x x x -+++（＝－212)x -+（. 【针对训练】1、 求函数y =1x =处的导数. 【答案】12-2、一质点运动的方程为283s t =-.（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）【答案】（1）63x --∆；（2）6-.综合点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系.对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间t 的关系.根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，应按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求.【练习巩固】12，-2）及邻近一点（2x +∆，-2y +∆）作割线，则当0.5x ∆=时割线的斜率为（ ）A．1 D【答案】B 2、已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则0(1)(1)3lim x f x f x x →--+= A ．3 B ．23-C ．13D ．32- 【答案】B3、若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足 ()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ． 1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C4、函数)(x f y =的图象如下图所示，则导函数)('x f y =的图象的大致形状是（ ）【答案】D．。
导数与定积分
导数与定积分常考要点与核心问题导数是研究函数的工具. 所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于基本初等函数，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把有理函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商复合等都成为命题的对象. 试题往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题. 这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考的常考内容. 解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想.首先 导数的概念①了解定义：Δx 趋于零是平均变化率的极限 ②熟练掌握求导方法PS ：提高求导的正确率(1)熟练掌握求导相关公式；(2)求完导后立即检查 其次 导数的应用①单调性 导数是研究函数的强有力的工具，对于某一函数来说，它的导数在某一区间内恒正，这个函数便在此区间内单调递增; 导数若在某一区间内恒负，这个函数便在此区间内单调递减.于是我们便可以通过判断导函数的正负来判断原函数的单调性.PS ：在有些题目中，导函数的正负往往难以直接判断，这时，我们可以先求出特殊点导数的值，例如()0'f ，()1'f 等(我们往往会发现它们正好为零)然后再判断导函数的单调性(也可以再求一次导).②求导解决问题的一般方法：ⅰ求导数；ⅱ求方程()x f '＝0的根；ⅲ列表得极值 ③导数与极值，最值.注意：①在x 0处有()0'x f ＝0是函数f (x )在x 0处取极值的必要非充分条件.②单调性与最值(极值)的研究要注意列表注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域再求出导数为0及导数不存在的的点，然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小就为最小值.定积分是本章的另一个重要的概念，它可以看作是导数在某一区间上的逆运算. 它是新课标新增加的内容之一，在以后的高考试题中应该有所体现.基础篇 (10课标3)曲线2+=x xy 在点(－1，－1)处的切线方程为 A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 考点：导数的几何意义 解析：对其求导：()222'+=x y ，2'1==∴-=x y k ，所以点(－1，－1)处的切线方程为y ＝2x ＋1答案：A(10辽宁10)已知点P 在曲线14+=xe y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡4π,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2π,4πC ．⎥⎦⎤ ⎝⎛4π3,2πD ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡π,4π3 考点：导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识 解析：因为()12414'2-≥++-=+-=-xx xxee ee y （其中使用了均值不等式）即αtan ≥－1，所以π4π3≤≤α． 答案：D(08北京12)如图，函数()x f 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为()4,0，()0,2，()4,6，则()()=0f f ___________；()()=∆-∆+→∆xf x f x 11lim 0___________．(用数字作答)考点：导数的概念和几何意义解析：根据函数()x f 的图像可知f (0)＝4，f (4)＝2.因此f [f (0)]＝f (4)＝2因为()()=∆-∆+→∆xf x f x 11lim0()1'f 由导数的几何意义，()1'f 为函数f (x )图像在x ＝1处切线的斜率，即为直线AB 的斜率故()()=∆-∆+→∆xf x f x 11lim 0()1'f 2-= 答案：2，-2(10湖南5)⎰42d 1x x等于A ．2ln 2-B ．2ln 2C ．2ln -D ．2ln考点：微积分基本定理，对数函数的导数，属于容易题.本题为选修2－2第53页例1第一小题改编而来.原题为计算定积分⎰21d 1x x. 解析：因为()xx 1'ln =，所以⎰42d 1x x 2ln 2ln 4ln ln 42=-==x答案：D(10陕西13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为______________考点：几何概率，定积分的几何意义 解析：长方形区域的面积为3，阴影部分的面积为⎰=2121d 3x x ，所以点M 取自阴影部分的概率为31 答案：31(07海南、宁夏理10)曲线x y 21e=在点()2e 4,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A ．2e 29B ．2e 4C ．2e 2D ．2e 考点：导数的几何意义解析：x x y 2121e 21'e '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒，曲线在点()2e 4,处的切线斜率为2e 21，因此切线方程为()4e 21e 22-=-x y ，则切线与坐标轴交点为()0,2A ，()2e ,0-B 所以：=∆AOB S 212e -2⨯2e =．答案：D(08山东理14)设函数()c ax x f +=2()0≠a ，若()()01d x f x x f =⎰，100≤≤x，则0x 的值为______.考点：微积分基本定理，牛顿-莱布尼茨公式 解析：()()⎰⎰+=+=+=1101032331d d c acx ax x c ax x x f ． 而()c ax x f +=200，∴c ac ax +=+3200330=∴x 答案：033x =(10江西12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00=S t S ，则导函数()t S y '=的图像大致为考点：本题考查函数图像，导数图像，导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力.解析：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C ；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B ；考察A 、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A答案：A提高篇 (10安徽17)设a 为实数，函数()a x e x f x22+-=，∈x R ．(Ⅰ)求f (x )的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当12ln ->a 且0>x 时，122+->ax x e x .考点：导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力，综合分析和解决问题的能力解析：(Ｉ)解：由()a x e x f x22+-=，∈x R ，知()2'-=xe xf 令()x f '＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，()x f '，f (x )的变化情况如下表x()2ln ,∞-2ln()+∞,2ln()x f ' － 0 ＋ ()x f单调递减 ↘极小值 2(1＋ln2＋a )单调递增 ↗故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1＋ln2＋a ) (II )证：设g (x )＝e x －x 2＋2a x －1，x ∈R 于是()x g '＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 由(I )知当12ln ->a 时，()x g '最小值为()2ln 'g ＝2(1＋ln2＋a )＞0 于是对于任意x ∈R ，都有()x g '＞0，所以g (x )在R 内单调递增. 故当12ln ->a 时，对于任意x ∈(0，＋∞)都有g (x )＞g (0)＝0 故当0>x 时，122+->ax x e x. (10北京18)已知函数()()221ln x k x x x f +-+=()0≥k . (I )当2=k ，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程；(II )求()x f 的单调区间.考点：导数运算，利用导数研究函数规律方法：本题中还有参数k ，所以要对k 分类讨论，对函数进行讨论时注意定义域 解析：(I )当2=k 时，()()21ln x x x x f +-+=，()x xx f 2111'+-+=． 由于()()2ln 1=f ，()231'=f ，所以曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()1232ln -==x y ．即032ln 223=-+-y x (II )()()xk kx x x f +-+=11'，()+∞-∈,1x ． 当0=k 时，()x xx f +-=1'．因此在区间()0,1-上，()0'>x f ；在区间()+∞,0上，()0'<x f ； 所以()x f 的单调递增区间为()0,1-，单调递减区间为()+∞,0； 当10<<k 时，()()011'=+-+=x k kx x x f ，得01=x ，012>-=kkx ；因此，在区间()0,1-和⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1k k 上，()0'>x f ；在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k 1,0上，()0'<x f ；即函数()x f 的单调递增区间为()0,1-和⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1k k ，单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-k k 1,0； 当1=k 时，()xx x f +=1'2.()x f 的递增区间为()+∞-,1 当1>k 时，由()()011'=+-+=x k kx x x f ，得01=x ，kkx -=12()0,1-∈； 因此，在区间⎪⎭⎫⎝⎛--k k 1,1和()+∞,0上，()0'>x f ，在区间()0'>x f 上，()0'<x f ； 即函数()x f 的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛--k k 1,1和()+∞,0，单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-0,1k k . (10江西19)设函数()()ax x x x f +-+=2ln ln ()0>a (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间． (2)若()x f '在(0，1]上的最大值为21，求a 的值． 考点：考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识．解析：对函数求导得：()a xx x f +--=211'，定义域为(0，2) (1)单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成．当a ＝1时，令()0'=x f 得()022012112=-+-⇒=+--x x x x x 当()2,0∈x ，()0'>x f ，为增区间；当()2,2∈x ，()0'<x f 为减函数．(2)区间(]1,0上的最值问题，通过判断导数的正负得到单调性.()0211'>+--=a x x x f ，其中112x x--在（0，1）上恒正，a>0 f 在(0，1]单调递增.所以当x ＝1时f (x )取得最大值f (1)＝a ＝21。
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ｙ ＝ （ 一 ＿ １ ＿ ＿ ｓ ｉ 一） ＝ １ 一 ｃ 。
．
相 应的 函数 。因此对 等价转化 、数形结合 的数学思想 也有较
高的要求 ．正确求 出函数的导数 ．并灵活应 用导致 与单调性
（ ３ ） ｙ ， ： ［
解析 ： （ １ ） ｙ ＝ （ ｅ ） ｃ ｏ ｓ ｘ ＋ ｅ Ｃ Ｏ Ｓ ３ ｔ ； ） ＝ ｅ ｃ ｏ ｓ ／ ： 一 ｅ ｓ ｉ ｎ ｘ ．
（ ２ ） ‘ ・ ‘ ｙ ＿ ｓ ｉ ｎ 争 ｃ 。 ｓ 争 一 １ ｓ ｉ ｎ ｘ ，
＿ ． ．
不等式 的证 明或不等式 恒成立 问题为载体 ，考查导数 的综合
也会融人导 数的应用等 ．这类题 目通常难 度偏大 ，一 般作 为 选择题 或填 空题 的压轴题 出现． 对导数的考查通常 以函数 的单调性 、函数 的极值或最值 、
例 １ ． 分别求下列 函数的导数 ：
（ １ ） ｙ ＝ ｅ Ｘ ． ｃ ｏ ｓ ｘ ； （ ２ ） ｙ ＿ ｓ ｉ ｎ 争 ｃ 。 ｓ 争； （ ３ ） ｙ ：
］ ， ：
（ ２ ｘ ＋ ｌ １
ｌ ｌ ｎ （ ± １ ｊ ＿
＿ ｌ ｎ （
的关系是解题 的关键 ． 从这几年 的命 题规律来看 ，这一部分通
常出现在第 ２ ０题或 ２ １ 题 的位 置 ，题 型 比较稳定． 小题 中主要
一 一
）
一
２
一
２
考查基本初 等函数 、函数的性质 等 ，而解答 题 中主要 考查导
。
， ，
文科在 “ 函数导数 ”的考查 ：函数 的基本性质 主要考查 函数 的单调 性 、奇偶性 等 ，难度 通常 为中等 ，基本 初等 函数
考点 １ ：导 数 的 计 算
通常考查指 数函数与对 数函数 ，有时候会 与函数 的图像 、函 数与方程等 相结合 ，考 查数形结 合思想 的灵活应用 ，有时候
【 经典解析 】
Ｇ Ｊ ＡＮＧ Ｄ０ ＮＧ Ｊ Ｉ Ａ０ ＹＵ ＧＡ０ ＺＨ０ ＮＧ
必要 时可换元 处理 ．
考 点 ２：导数 的 几 何 意 义
（ 此 时导数 不存在 ） 时， 切 线方程 为 ＝ ‰； ３切 点坐标 不知道 时， － ＂ 应首先设 出切点 坐标 ， 再 求解．注意 ： １ ． 理 解导数 的概念 时 ， 要 注意ｆ （ ｏ ） ， （ 厂 （ ‰） ） 与ｆ （ ） 的区 别： ｆ ） 是函数 ｙ
数 学有 数
导数与定积分命题规律与备考 策略
■高慧 明 季 飞
本专题 全 国高 考客观题 主要考查 函数的基本性 质 、函数 图像及 变换 、函数 的零点 、导数 的几何 意义 、定 积分 （ 仅 限 理科 ）等为主 ，也有 可能与不 等式等知识 综合考查 ：解答题 主要是 以导数为工具解决 函数 、方程 、不等式等的应用问题． 理科在 “ 函数导数与积分 ”的考查 ：２ ０ １ １ 年 第 ９题利 用 定积 分求 面积 ，２ ０ １ ２ ～ ２ ０ １ ５年均 没 出现 过定积 分 的试 题 。另 外每年在第 ２ １ 题 都是利用导数研究 函数 的性质 ，以求 函数 的
— 一
ｊ－ ２ （ ２ ｘ ＋ １ ） ｌ ｎ （ ２ ｘ ＋ １ ）
（ ２ ｘ ＋ １ ） ‘
数在解决 函数问题 中的综合应用 ，且或 总会 出现其 一 ，小题
中有时候也会对 导数进行考查 ．
【 收获与点评】 （ １ ） 本题在解答过程中常见的错误有： ①商
的求导 中， 符号判定错误 ； ② 不能正确运 用求 导公 式和求 导法
题考查利用 导数研究 函数 的单调 性 ．填 空题考查基 本 的初 等
函 数 与 函 数 的性 质 ．
ｙ ＝ 、 ／ Ｉ ＇的导数 ； 能利 用基本初 等 函数 的导数 公式 和导数 的四则运算 法则 求简单 函数 的导 数 ．能求简 单复 合函数 ［ 仅 限于形如 ｙ ＝ ｆ （ ａ ｘ ＋ ｂ ） 的复合 函数 ］ 的导数 ．
单调性 、极值 、最值 为主 ，考查不等式 的相关问题．
函数 、导数部分 ２ ０ １ １ 年有两个选择题 ，一个是判断 函数 单调性与奇偶性 ，另一个定积分 求面积 ，２ ０ １ ２年有两个选择 导数的计算
题 ，一个是 由解析式 找图像 ，另 一个是利 用导数求切 线 、距
离 最 值 问题 ． ２ ０ １ ５年小 题 考 了 一 个 选 择 题 和 一 个 填 空 题 ．选 择
则， 在第（ ３ ） 小题 中， 忘记对 内层函数 ２ ｘ ＋ ｌ 进 行求导．
第一 单元
【 考点聚焦 】
数的计算．
变 化率 与导 数 、导数 的计 算
’
（ ２ ） 求 函数 的 导数 应 注 意 ：
本单元 内容主要包 括导数 的概念 、导 数的几何 意义 、导
①求导之前利 用代数或三角变换先进行化简， 减少运算量 ； ②根式形式 ，先化为分数指数幂 ，再求导． ③ 复合 函数求 导先确 定复 合关 系 ，由外 向内逐层 求导 ，
知识单元 导数的概念
基本考点 了解导数概念的实际背景 ．
命题重点
主要 考查 导 数 的 几 何 意 通过 函数图像 直观理 解导数 义和计 算 导数的几何意义 的几何意义
． ．
能根据导数 的定 义求函数 ＝ ｃ （ ｃ为 常数 ） ， ｙ ＝ ｘ ， ｙ ＝１ ， ｙ ＝
（ ） ） ＝ ０ ．
例２ ． （ １ ） 若 曲线 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｌ ｎ ｘ在点 （ １ ， ｋ ） 处 的 切线 平 行 于 轴， 则 —
线方 程 为
—
．
） 的导函数 ， ｆ （ Ｘ Ｏ ） 是， （ ） 在 ｏ 处的导
（ ２ ） 设， （ ｘ ） ＝ ｘ ｌ ｎ ｘ ＋ ｌ ， 若／ （ Ｘ Ｏ ） ＝ ２ ， 则 ） 在点（ ‰， ｙ ０ ） 处 的切