2017高考数学(理)一轮复习练习：第5章 平面向量 第4讲

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.已知点A (－2，0)，B (3，0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB

→＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

解析 P A →＝(－2－x ，－y )，PB

→＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB

→＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6. 答案 D

2.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC

→＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

解析 由(BC →＋BA →)·AC

→＝|AC →|2， 得AC

→·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0，

∴AC

→⊥BA →，∴A ＝90°. 又根据已知条件不能得到|AB

→|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形.

答案 C

3.(2016·延安调研)在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB

→·AC →＝( ) A.2 3 B.2 C.－2 3 D.－2 解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋22－（23）22×2×2

＝－12， 所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝2×2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＝－2，故选D. 答案 D

4.已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )

A.－π6

B.－π3

C.π3

D.2π3

解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，

∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.

答案 D

5.(2015·杭州质量检测)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心).若AO →＝13AB →＋13

AC →，则∠BAC 的度数等于( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

解析 取BC 的中点D ，连接AD ，则AB

→＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴AD 为BC 的中线且O 为重心.又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°，故选C.

答案 C

二、填空题

6.(2016·广州综合测试)在△ABC 中，若AB

→·AC →＝AB →·CB →＝2，则边AB 的长等于________. 解析 由题意知AB

→·AC →＋AB →·CB →＝4，即AB →·(AC →＋CB →)＝4，即AB →·AB →＝4，∴|AB →|＝2. 答案 2

7.(2016·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段

AB 上运动，则EC

→·EM →的最大值为________. 解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则C (1，1)，

M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，12，设E (x ，0)，x ∈[0，1]， 则EC →·EM →＝(1－x ，1)·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12， x ∈[0，1]时，(1－x )2

＋12单调递减，当x ＝0时，EC →·EM →取得最大值32. 答案 32

8.(2016·景德镇模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________.

解析 由题意可得a ·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝（2a －b ）2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－8cos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0，4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.

答案 4

三、解答题

9.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.

(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；

(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值.

(1)证明 由题意得|a －b |2＝2，

即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.

又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，

所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，

故a ⊥b .

(2)解 因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，

所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，

由此得，cos α＝cos(π－β).

由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.

代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12.

又α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.

10.(2015·襄阳测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC

→|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点.

(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC

→＋OD →|的最小值； (2)若x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m·n 的最小值及对应的x 值.

解 (1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)，

由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22

＋t ，22，