高考数学基础题强化训练

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备考2025届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用极化恒等式

极化恒等式例6 （1）[2024北京高考]在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ D ） A.[－5， 3]B.[－3，5]C.[－6，4]D.[－4，6]解析解法一（极化恒等式）设AB 的中点为M ，CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，由极化恒等式得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝（CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－254＝CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＋CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ cos θ－254＝254＋1－5cos θ－254＝1－5cos θ，因为cos θ∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. 解法二以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），设P （x ，y ），则x 2＋y 2＝1，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－x ，－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－x ，4－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 2－3x ＋y 2－4y ＝（x －32）2＋（y －2）2－254，又（x －32）2＋（y －2）2表示圆x 2＋y 2＝1上一点到点（32，2）距离的平方，圆心（0，0）到点（32，2）的距离为52，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[（52－1）2－254，（52＋1）2－254]，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]，故选D. 解法三以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），因为PC ＝1，所以P 在以（0，0）为圆心，1为半径的圆上，所以设点P 坐标为（cos α，sin α），则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－cos α，－sin α）·（－cos α，4－sin α）＝1－3cos α－4sin α＝1－5sin （α＋φ）（其中tan φ＝34）.因为sin （α＋φ）∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. （2）[全国卷Ⅱ]已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）的最小值是（ B ） A.－2B.－32C.－43D.－1解析解法一如图，取BC 的中点D ，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .在△PAD 中，取AD 的中点O ，则2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－12｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝2｜PO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－32. 由于点P 在平面内是随意的，因此当且仅当点P ，O 重合时，｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜取得最小值，即2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值－32.故选B. 解法二如图，以等边三角形ABC 的底边BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，√3），B （－1，0），C （1，0）.设P （x ，y ），则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－x ，√3－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－1－x ，－y ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1－x ，－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝（－x ，√3－y ）·（－2x ，－2y ）＝2x 2＋2（y －√32）2－32，易知当x ＝0，y ＝√32时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）取得最小值，最小值为－32.故选B.方法技巧极化恒等式：a ·b ＝14[（a ＋b ）2－（a －b ）2].几何意义：向量a ，b 的数量积等于以这组向量所对应的线段为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的14.应用：（1）在▱ABCD 中，O 为AC ，BD 的交点，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14（4｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－4｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2）＝｜AO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2. （2）如图，在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 训练4 [2024山东青岛二中5月模拟]如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－32，则实数λ的值为 16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且｜MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 132.解析依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·cos ∠BAD ＝－32｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝－32，得｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，因此λ＝｜AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝16.取MN 的中点E ，连接DE ，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14[（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2]＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14.留意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin B ＝3√32，因此DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14的最小值为（3√32）2－14＝132，即DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为132.思维帮·提升思维快速解题三角形“四心”的向量表示与运用角度1 垂心的向量表示与运用例7 [2024山西朔州模拟]已知H 为△ABC 的垂心，若AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin ∠BAC ＝ √63.解析如图，连接BH ，CH ，因为AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .由H 为△ABC 的垂心，得BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（－23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知25｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝23｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝3｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜5｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜ ①，同理有CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知13｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝35｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝5｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜9｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜②，①×②得cos 2∠BAC ＝13，得sin 2∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－13＝23，又sin ∠BAC ＞0，所以sin ∠BAC ＝√63. 方法技巧1.垂心的定义：三角形三条高的交点称为该三角形的垂心.2.垂心的性质：设O 是△ABC 的垂心，P 为△ABC 所在平面内随意一点，则有（1）OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2；（3）动点P 满意AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ）或OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ），λ∈R 时，动点P 的轨迹经过△ABC 的垂心.角度2 重心的向量表示与运用例8 [2024广州一中诊断]如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy x ＋y＝ 13 .解析由M ，G ，N 三点共线得，存在实数λ使得AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋（1－λ）AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y （1－λ）AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且0＜λ＜1. 因为G 是△ABC 的重心，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），所以{xλ＝13，y （1－λ）＝13，则{x ＝13λ，y ＝13（1－λ），故xy ＝19λ（1－λ），x ＋y ＝13λ（1－λ），则xy x ＋y ＝19λ（1－λ）×3λ（1－λ）＝13.方法技巧1.重心的定义：三角形三条中线的交点称为该三角形的重心.2.重心的性质：设O 是△ABC 的重心，P 为平面内随意一点，则有（1）OA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0；（2）PO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）；（3）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋ λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的重心. 角度3 外心的向量表示与运用例9 [2024湖北荆门模拟]已知点O 为△ABC 所在平面内一点，在△ABC 中，满意2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，则点O 为该三角形的（ B ） A.内心B.外心C.垂心D.重心解析因为2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，所以｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝ 12｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，则向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜的一半，所以点O 在边AB 的中垂线上，同理，点O 在边AC 的中垂线上，所以点O 为该三角形的外心，故选B. 方法技巧1.外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点称为该三角形的外心.2.外心的性质：若O 是△ABC 的外心，则有（1）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜；（2）（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0. 角度4 内心的向量表示与运用例10 [2024四川南充阶段测试]已知O 是△ABC 所在平面内一点，且点O 满意OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－CB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，则点O 为△ABC 的（ C ） A.外心 B.重心C.内心D.垂心解析解法一AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜分别是与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量，可令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接ED ，则△ADE 为腰长是1的等腰三角形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以AO 为∠CAB 的平分线，同理BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心.故选C. 解法二 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，即｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos （π－∠OAB ）＝｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜·cos （π－∠OAC ），所以∠OAB ＝∠OAC ，即AO 是∠BAC 的平分线，同理可得BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心. 方法技巧1.内心的定义：三角形三条内角平分线的交点称为该三角形的内心.2.内心的性质：若O 是△ABC 的内心，P 为平面内随意一点，则有（1）a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0（a ，b ，c 分别是△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的长）；（2）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的内心.训练5 （1）[2024长春模拟]点O 是平面α上确定点，点P 是平面α上一动点，A ，B ，C 是平面α上△ABC 的三个顶点（点O ，P ，A ，B ，C 均不重合），以下命题正确的是 ①②③④ .①动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中； ②动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），则△ABC 的内心确定在满意条件的P 点的集合中；③动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中；④动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ）（λ∈R ），则△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中.解析对于①，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，移项得－OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，则点P 是△ABC 的重心，故①正确. 对于②，因为动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），移项得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与∠BAC 的平分线对应的向量共线，所以P 在∠BAC 的平分线上，所以△ABC 的内心在满意条件的P 点的集合中，②正确. 对于③，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ），过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin B ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin C ＝AD ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAD（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），设M 为BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2λAD AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在BC 的中线上，所以△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中，③正确. 对于④，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ）（λ∈R ），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC）＝λ（－｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在边BC 上的高所在的直线上，所以△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中，④正确.故正确的命题是①②③④.（2）[多选/2024安徽淮北师大附中模拟]数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线就是三角形的欧拉线.在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，则下列四个选项中正确的是（ ABD ） A.GH ＝2OG B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0 C.AH ＝ODD.S △ABG ＝S △BCG ＝S △ACG解析依据题意画出图形，如图所示.对于B ，连接GD ，由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又D 为BC 的中点，所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，故B 正确.对于A ，C ，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，所以△AHG ∽△DOG ，所以GHOG ＝AHOD ＝AGDG ＝2，即GH ＝2OG ，AH ＝2OD ，故A 正确，C 不正确.对于D，延长AH交BC于N，过点G作GE⊥BC，垂足为E，则△DEG∽△DNA，所以GEAN＝DGDA ＝13，所以S△BGC＝12×BC×GE＝12×BC×13×AN＝13S△ABC，同理，S△AGC＝S△AGB＝13S△ABC，所以S△ABG＝S△BCG＝S△ACG，故D正确.故选ABD.。

2023高考数学基础强化专题训练(二)

2023高考数学基础强化专题训练（二）解析几何直线与圆1．若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线y＝有两个交点，则实数b 的取值范围是（） A ．{b |－2 ＜b ＜2 } B ．{b |2＜b ＜2 } C ．{b |2≤b ＜2 } D ．{b |b ＝±2}2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （－3，0）在圆C ：x 2＋y 2＋2mx －4y ＋m 2－12＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（）A ．（3－2 ，1]∪[5，3＋2 ）B ．[1，5]C ．（3－2 ，3＋2 ）D ．（－∞，3－2 ）∪（3＋2 ，＋∞）3．（多选题）下列说法中，正确的有（） A ．直线y ＝ax ＋2a ＋3（a ∈R ）必过定点（2，3） B ．直线y ＝2x －1在y 轴上的截距为－1 C ．直线 x －y ＋2＝0的倾斜角为60°D ．点（1，3）到直线y －2＝0的距离为14．（多选题）已知圆M ：（x ＋2）2＋y 2＝2，直线l ：x ＋y －2＝0，点P 在直线l 上运动，直线P A ，PB 分别于圆M 切于点A ，B ．则下列说法正确的是（） A ．四边形PAMB 的面积最小值为 B ．|P A |最短时，弦ABC ．|P A |最短时，弦AB 直线方程为x ＋y －1＝0D ．直线AB 过定点（，） 5. 在直线l ：2x －y ＋1＝0上一点P 到点A （－3，0），B （1，4）两点距离之和最小，则点P 的坐标为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，点A （－2，2），B （－1，1），若直线x ＋y －2m ＝0上存在点P 使得P A ＝ PB ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．7.已知直线:1l ax by +=是圆22220x y x y +--=的一条对称轴，则ab 的最大值为______．222224x -333333323-2128.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为．9.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为____________．10.11.已知直线l ：kx －y ＋2＋k ＝0(k ∈R )．（1）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值和此时直线l 的方程．12.已知⊙C 的圆心在直线3x －y －3＝0上，点C 在y 轴右侧且到y 轴的距离为1，⊙C 被直线l ：x －y ＋3＝0截得的弦长为2．（1）求⊙C 的方程；（2）设点D 在⊙C 上运动，且点T 满足→DT =2→TO ，(O 为原点)记点T 的轨迹为Γ． ①求Γ的方程；②过点M （1，0）的直线与Γ交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．圆锥曲线1.2.3.4.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于34-．（1）求动点P 的轨迹方程，并注明x 的范围;（2）设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于M ，N ，问是否存在点P 使得PAB △与PMN △面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2＝30°，(1，32)在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ 的值． 6.7.已知双曲线)0,(1:2222>=-Γb a by a x ，经过双曲线Γ上的点)1,2(A 作互相垂直的直线AN AM 、分别交双曲线Γ于N M 、两点．设线段AN AM 、的中点分别为C B 、，直线OC OB 、O (为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.41-(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点A 作D MN AD (⊥为垂足），请问：是否存在定点E ，使得||DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．（1）求p 的值；（2）是否存在定点T ，使得TA →·TB →为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．函数与导数1.若直线4y x m =+是曲线313y x nx =-+与曲线22ln y x x =+的公切线, 则n m -=A. 11B. 12C. -8D. -72.已知3151log 2,log 10,sin 2a b c ===, 则A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【类题训练】1.若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a 2.3.设1.1ln =a ，11.0-=eb ，1.0tan =c ，π4.0=d ，则A ．d c b a <<<B ．d b c a <<<C ．c d b a <<<D ．b d c a <<<4.（多选题）已知0＜x ＜y ＜π，e y sin x ＝e x sin y ，则( )A ．sin x ＜sin yB ．cos x ＞－cos yC ． sin x ＞cos yD ．cos x ＞sin y 5.2022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例文/刘蒋巍第1类出题背景1变形得：x xx e x e<+<+11)0(>x注：该不等式也可运用“移项，构造函数”的高中方法证明。

高考数学强化复习训练精选题及答案

高三数学强化训练（1）1. 若集合M=｛y | y =x -3｝，P=｛y | y =33-x ｝，则M∩P=A ｛y | y >1｝B ｛y | y ≥1｝C ｛y | y >0｝D ｛y | y ≥0｝2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 3. 设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4. 函数f(x)=⎩⎨⎧∈-∈,,,,M x x P x x 其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x ∈P}，f(M)={y|y=f(x),x ∈M}.给出下列四个判断：①若P∩M=∅，则f(P)∩f(M)=∅； ②若P∩M≠∅，则f(P)∩f(M) ≠∅；③若P ∪M=R ，则f(P)∪f(M)=R ； ④若P ∪M≠R ，则f(P) ∪f(M)≠R.其中正确判断有A 0个B 1个C 2个D 4个5. 已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U ___. 6. 设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若)()(21x f x f =（其中21x x ≠），则)2(21x x f +等于 _____. 022>++bx ax 的解集为)31,21(-，求b a +的值8. 已知集合A {}0652=+-=x x x ，B {}01=+mx x ，且A B A =⋃，求实数m 的值组成的集合。

参考答案(一)CBBB. {}5,3,1, ab ac 442- 7. 由题意知方程022=++bx ax 的两根为31,2121=-=x x ，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a x x a b x x 22121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-aa b 231213121，解得⎩⎨⎧-=-=212b a ， 14-=+∴b a 8.{}{}A B A B A x x x A ⊆∴=⋃==+-=,,3,20652 ① A B B m ⊆Φ==,,0时；② 0≠m 时，由mx mx 1,01-==+得。

2023新教材高考数学二轮专题复习强化训练3排列组合二项式定理

强化训练3 排列、组合、二项式定理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东泰安模拟](x －1x)22展开式中的常数项为( )A ．C 1122 B ．－C 1122 C ．C 1222D ．－C 12222．3名男生2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有( )A ．72种B ．64种C ．48种D ．36种3．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有( )A ．15种B ．90种C ．540种D ．720种4．[2022·湖南益阳一模]为迎接新年到来，某中学2022年“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行．校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为( )A ．36B ．45C ．72D ．905．[2022·山东德州二模]已知a >0，二项式(x ＋ax2)6的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为( )A ．36B ．30C ．15D ．106．[2022·山东淄博一模]若(1－x )8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，则a 6＝( )A ．－448B ．－112C ．112D ．4487．[2022·河北沧州二模](x －2x－1)5的展开式中的常数项为( )A ．－81B ．－80C ．80D ．1618．[2022·湖北十堰三模]甲、乙、丙、丁共4名学生报名参加夏季运动会，每人报名1个项目，目前有100米短跑、3 000米长跑、跳高、跳远、铅球这5个项目可供选择，其中100米短跑只剩下一个参赛名额，若最后这4人共选择了3个项目，则不同的报名情况共有( )A．224种B．288种C．314种D．248种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·河北唐山二模]已知(x－2x2)n的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则( )A．n＝9B．n＝11C．常数项是672D．展开式中所有项的系数和是－110．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )A．若任意选科，选法总数为C24B．若化学必选，选法总数为C12 C13C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C12 C12C13D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C12 C12＋111．[2022·广东·华南师大附中三模]已知(a＋2b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )A．7 B．8C．9 D．1012．[2022·湖北荆州三模]已知二项式(2x－1x)n的展开式中共有8项，则下列说法正确的有( )A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为1C．第4项和第5项的二项式系数最大D ．有理项共3项三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东烟台三模]若(1－ax )8展开式中第6项的系数为1792，则实数a 的值为________．14．[2022·辽宁辽阳二模]某话剧社计划在今年7月1日演出一部红色话剧，导演已经选好了该话剧的9个角色的演员，还有4个角色的演员待定，导演要从8名男话剧演员中选3名，从5名女话剧演员中选1名，则导演的不同选择共有________种．15．[2022·浙江卷]已知多项式(x ＋2)(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 2＝______，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝______．16．[2022·河北保定一模]2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有________种．强化训练3 排列、组合、二项式定理1．解析：（x －1x）22展开式中的常数项为C 1122 （－1）11＝－C 1122 .答案：B2．解析：将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有A 22 种站法，又2名女生都不站在最左端，故有A 13 种站法，剩下3个位置，站3名男生有A 33 种站法，故不同的站法共有A 22 A 13 A 33 ＝36种．答案：D3．解析：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有C 26 ＝15种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 24 ＝6种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 22 ＝1种方法．由分步乘法原理得共有15×6×1＝90种方法．答案：B4．解析：采用插空法即可：第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法；第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法，故共有9×10＝90种排法．答案：D5．解析：令x ＝1，则可得所有项的系数和为（1＋a ）6＝64且a >0，解得a ＝1， ∵（x ＋1x 2）6的展开式中的通项T k ＋1＝C k 6 x 6－k（1x2）k ＝C k 6 x 6－3k ，k ＝0，1， (6)∴当k ＝2时，展开式中的常数项为C 26 ＝15. 答案：C6．解析：（1－x ）8＝（x －1）8＝[（1＋x ）－2]8＝a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋…＋a 8（1＋x ）8，a 6＝C 28 ·（－2）2＝112.答案：C7．解析：（x －2x －1）5＝（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x－1），所以展开式中的常数项为（－1）5＋C 15 C 14 ×（－2）×（－1）3＋C 25 C 23 ×（－2）2×（－1）＝－81.答案：A8．解析：分两种情况讨论：①不选100米短跑，四名学生分成2名、1名、1名三组，参加除100米短跑的四个项目中的三个，有C 24 A 34 ＝144种；②1人选100米短跑，剩下三名学生分成2名、1名两组，参加剩下四个项目中的两个，有C 14 C 23 A 24 ＝144种．故他们报名的情况总共有144＋144＝288种．答案：B9．解析：由C 2n ＝C 7n ，可得n ＝9，则选项A 判断正确；选项B 判断错误；（x －2x2）n 的展开式的通项公式为C k 9 x 9－k （－2）k x －2k ＝（－2）k C k 9 x 9－3k，令9－3k ＝0，则k ＝3，则展开式的常数项是（－2）3C 39 ＝－672.选项C 判断错误；展开式中所有项的系数和是（1－212）9＝－1.判断正确．答案：AD10．解析：若任意选科，选法总数为C 12 C 24 ，A 错误；若化学必选，选法总数为C 12 C 13 ，B 正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C 12 （C 12 C 12 ＋1），C 错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C 12 C 12 ＋1，D 正确．答案：BD11．解析：当（a ＋2b ）n的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，n ＝7；当（a ＋2b ）n的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，n ＝9；当（a ＋2b ）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，n ＝8. 答案：ABC12．解析：由题设n ＝7，则T k ＋1＝C k 7 （2x ）7－k（－1x）k ＝（－1）k 27－k C k7 x7－3k2，A ．所有项的二项式系数和为27＝128，正确； B ．当x ＝1，所有项的系数和为（2－1）7＝1，正确；C ．对于二项式系数C k 7 ，显然第四、五项对应二项式系数C 37 ＝C 47 最大，正确； D ．有理项为7－3k2∈Z ，即k ＝0，2，4，6共四项，错误．答案：ABC13．解析：因为T 6＝T 5＋1＝C 58 （－ax ）5＝C 58 （－a ）5x 5＝C 38 （－a ）5x 5，所以有：C 38 （－a ）5＝－56a 5＝1 792，所以a 5＝－32, 解得a ＝－2. 答案：－214．解析：依题意，可得导演的不同选择的种数为C 38 ·C 15 ＝280. 答案：28015．解析：因为（x ＋2）（x －1）4展开式中x 2的系数为a 2，所以a 2＝C 34 （－1）3＋2C 24 （－1）2＝8.在多项式（x ＋2）（x －1）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5中，令x ＝0，得a 0＝2；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－a 0＝－2.答案：8 －216．解析：根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2，4，4或3，3，4，所以不同的安排方法共有C 210 C 48 C 44 A 22 A 33 ＋C 410 C 36 C 33 A 22 A 33 ＝22 050. 答案：22 050。

2023高考数学专题强化训练(一)

专题强化训练(一)一、单项选择题1.(2022·山东济南二模)函数f(x)=√16-x 2x的定义域是( A )A.[-4,0)∪(0,4]B.[-4,4]C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.[-4,0)∪[4,+∞)解析:由{16-x 2≥0,x ≠0,得-4≤x ≤4,且x ≠0,所以函数y=√16-x 2x 的定义域是[-4,0)∪(0,4].故选A.2.(2022·四川绵阳三模)已知函数f(x)=x x -1,则( D )A.f(x)为奇函数B.f(f(2))=1C.f(x)在(1,+∞)上单调递增D.f(x)的图象关于点(1,1)对称解析:由解析式知函数f(x)的定义域为{x|x ≠1},显然不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,A 错误;f(2)=2,则f(f(2))=f(2)=2,B 错误; 由f(x)=1+1x -1,可知f(x)在(1,+∞)上单调递减且图象关于点(1,1)对称,故C 错误,D 正确.故选D.3.(2022·陕西西安二模)设f(x)={2x+1-1,x ≤3,log 2(x 2-1),x >3,若f(x)=3,则x的值为( B )A.3B.1C.-3D.1或3解析:当x ≤3时,令2x+1-1=3,解得x=1,当x>3时,令log 2(x 2-1)=3,解得x=±3,这与x>3矛盾,所以x=1.故选B. 4.(2022·河北石家庄一模)函数f(x)=x 32x +2-x的部分图象大致是( A )解析:函数f(x)=x 32x +2-x的定义域为R,f(-x)=-f(x),故为奇函数,图象关于原点对称,据此排除B,D 选项;易知当x →+∞时,f(x)=x 32x +2-x>0,2x →+∞,2-x →0,x 3→+∞,因为指数函数y=2x 比幂函数y=x 3增长的速率要快,故f(x)→0,即f(x)在x →+∞时,图象往x 轴无限靠近且在x 轴上方,故A 选项符合.故选A.5.(2022·北京丰台区二模)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.若f(lg x)>f(1),则x 的取值范围是( C ) A.(110,1) B.(0,110)∪(1,+∞)C.(110,10) D.(0,110)∪(10,+∞)解析:因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,则f(lg x)>f(1)等价于|lg x|<1,即-1<lg x<1,即lg 110<lg x<lg 10,解得110<x<10,即原不等式的解集为(110,10).故选C.6.(2022·天津河东区一模)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,则( B ) A.f(log 314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(2-32)>f(2-23)>f(log 314)C.f(log 314)>f(2-23)>f(2-32)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log 314)解析:因为f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又log 34>1,0<2-32<2-23<1,所以f(2-32)>f(2-23)>f(log 34),即f(2-32)>f(2-23)>f(log 314).故选B.7.(2022·江苏苏州二模)已知f(x)是定义域为R 的偶函数, f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=( D ) A.-3 B.-2 C.2 D.3解析:g(x+1)为偶函数,则g(x)的图象关于直线x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,又f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),所以f(x-4)=f[(x-2)-2]=-f(x-2)=- [-f(x)]=f(x),即f(x-4)=f(x),所以f(x)的周期为4,所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2,所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=3.故选D.8.(2022·天津市第四十七中学模拟预测)已知函数f (x )= {-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0,若f(2-a 2)>f(-|a|),则实数a 的取值范围是( A ) A.(-2,-√10-23)∪(√10-23,2) B.(-2,-1)∪(1,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-1,0)∪(0,1)解析:作出函数f(x)={-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0的图象如图,因为-|a|≤0,若2-a 2<0,由f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2-a 2)>f(-|a|),则2-a 2>-|a|,解得√2<|a|<2; 若2-a 2≥0,则-12(2-a 2)>-2|a|-a 2,解得√10-23<|a|≤√2. 综上,√10-23<|a|<2,解得-2<a<-√10-23或√10-23<a<2.所以实数a 的取值范围是(-2,-√10-23)∪(√10-23,2).故选A.二、多项选择题9.(2022·山东济南一中模拟预测)设函数f(x)={log 2(x -1),x >2,2x -3,x ≤2,则以下结论正确的为( BC ) A.f(x)为R 上的增函数B.f(x)有唯一的零点x 0,且1<x 0<2C.若f(m)=5,则m=33D.f(x)的值域为R解析:作出f(x)的图象如图所示.对于A,取特殊值:f(2)=1,f(3)=1,故A 错误;对于B,由图象可知,f(x)有唯一的零点x 0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,故B 正确;对于C,当x ≤2时,2x -3≤1,故log 2(m-1)=5,解得m=33,故C 正确; 对于D,f(x)的值域为(0,+∞)∪(-3,1]=(-3,+∞),故D 错误.故选BC. 10.(2022·重庆模拟预测)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x -y 1-xy),且当x ∈(-1,0)时,f(x)<0,则有( ABC )A.f(x)为奇函数B.存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12)C.f(x)为增函数D.f(12)+f(13)>f(56)解析:令x=0,y=0,得f(0)-f(0)=f(0),所以f(0)=0;令x=0,y=x,得f(0)-f(x)=f(-x),故-f(x)=f(-x),所以f(x)为奇函数,A 正确;任取-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2),因为x 1-x 21-x 1x 2+1=x 1-x 2+1-x 1x 21-x 1x 2=(1+x 1)(1-x 2)1-x 1x 2>0,故-1<x 1-x 21-x 1x 2<0,f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)<0,f(x 1)<f(x 2),故f(x)为增函数,C 正确; f(12)+f(13)=f(12)-f(-13)=f(12+131+12×13)=f(57)<f(56),D 错误;若f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)=f(a+b1+ab )=f(12),则a+b1+ab=12,则2a+2b=1+ab,a=1-2b2-b =2+3b-2,当b∈(-1,1)时,a∈(-1,1),所以存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12),B正确.故选ABC.11.若函数f(x)满足:对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f(x1+x22),则称函数f(x)具有H性质.则下列函数中具有H性质的是( ACD )A.f(x)=(12)xB.f(x)=ln xC.f(x)=x2(x≥0)D.f(x)=tan x(0≤x<π2)解析:若对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f (x1+x22),则点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的中点在点(x1+x22,f(x1+x22))的上方,如图(其中a=f(x1+x22),b=f(x1)+f(x2)2).根据函数f(x)=(12)x,f(x)=ln x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)的图象可知,函数f(x)=(12)x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)具有H性质,函数f(x)=ln x不具有H性质.故选ACD.12.(2022·福建福州模拟预测)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x ∈(-1,1)时,f(x)=-x 2+1,则下列结论正确的是( ABD ) A.f(72)=-34B.f(x+7)为奇函数C.f(x)在(6,8)上单调递减D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解解析:因为f(x+1)为偶函数,故f(x+1)=f(-x+1),令x=52得f(72)=f(-52+1)=f(-32),因为f(x-1)为奇函数,故f(x-1)=-f(-x-1),令x=-12得f(-32)=-f(12-1)=-f(-12),其中f(-12)=-14+1=34,所以f(72)=f(-32)=-f(-12)=-34,A 正确;因为f(x-1)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,又f(x+1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的周期为4×2=8,故f(x+7)=f(x-1),所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)= -f(x-1+8)=-f(x+7),从而f(x+7)为奇函数,B 正确;f(x)=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增,又f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(x)在(-2,0)上单调递增,且f(x)的周期为8,故f(x)在(6,8)上单调递增,C 错误;根据题目条件画出函数f(x)与y=-lg x 的图象,如图所示,其中y=-lg x 单调递减且-lg 12<-1,所以两函数图象有6个交点,故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解,D 正确.故选ABD.三、填空题13.(2022·广东深圳二模)已知函数f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则k= .解析:由题意知f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则x ∈R,f(-x)=f(x), 即ln(e -x +1)-k(-x)=ln(e x +1)-kx, 即ln(e x +1)-x+kx=ln(e x +1)-kx, 即(k-1)x=-kx,解得k=12.答案:1214.(2022·山东烟台一模)已知f(x)为R 上的奇函数,且f(x)+ f(2-x)=0,当-1<x<0时,f(x)=2x ,则f(2+log 25)的值为 . 解析:由题设,f(2-x)=-f(x)=f(-x),故f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(2+log 25)=f(2×2+log 254)=f(log 254)=-f(log 245),且-1<log 245<0,所以f(2+log 25)=-2log 245=-45.答案:-4515.(2022·湖南湘潭三模)已知a >0,且a ≠1,函数f (x )= {log a (2x 2+1),x ≥0,a x,x <0,若f(f(-1))=2,则a= ,f(x)≤4的解集为 .解析:①由题可知,f(f(-1))=f(a -1)=log a (2a -2+1)=2,则a 2=2a -2+1,即a 4-a 2-2=0,解得a 2=2,故a=√2.②当x ≥0时,f(x)=log √2(2x 2+1)≤4,解得0≤x ≤√62;当x<0时, f(x)=(√2)x≤4恒成立,故不等式的解集为(-∞,√62]. 答案:√2 (-∞,√62]16.(2022·山东菏泽一模)已知奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),则不等式log 3|f(x)+1|<0的解集为 .解析:法一不等式log 3|f(x)+1|<0等价于0<|f(x)+1|<1,即0<f(x)+1<1或-1<f(x)+1<0,即-1<f(x)<0或-2<f(x)<-1,因为f(x)是奇函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,所以f(2)=1,f(-1)=0,故f(1)= f(2×12)=f(2)+f(12)=0 ,则f(12)=-1 ,f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=-2,f(-4)=-f(4)=-f(2)-f(2)=-2.又奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,故f(x)在区间(0,+∞)上也是增函数,故-1<f(x)<0,即f(-2)<f(x)<f(-1)或f(12)<f(x)<f(1),此时x ∈(-2,-1)∪(12,1) ;而-2<f(x)<-1,即f(-4)<f(x)<f(-2) 或f(14)<f(x)<f(12),此时x ∈(-4,-2)∪(14,12),故不等式l o g 3|f (x )+1|<0的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).法二因为f(x)为奇函数,且f(-2)=-1,所以f(2)=1,又当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),所以当x>0时,可设f(x)=log a x(a>0,且 a ≠1),由f(2)=1可得a=2,所以f(x)={log 2x (x >0),-log 2(-x )(x <0),由log 3|f(x)+1|<0可得-2<f(x)<0且f(x)≠-1. 作出函数f(x)的图象如图,由图象可知,不等式的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).答案:(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1)。

高考考前数学小题强化训练六

高考考前数学小题强化训练六时量：45分钟满分：70分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的）1．已知m 为实数，则函数f (x ) = x 2cos x + m 是（ B ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数2．下列直线中，不是圆C ：(x +1)2 + (y –1)2 = 1的切线方程的是（ C ） A ．x = 0 B ．y = 0 C ．y = x – 1D ．y = x +2+2【解析】数形结合知y = x – 1不是圆C 的切线. 3．已知等差数列{a n }中a 5 + a 7 = 12，a 2 = 3，则a 10的值是（ B ） A ．10 B ．9 C ．8D ．7【解析】∵a 5 + a 7 = a 2 + a 10 = 12，又a 2 = 3， ∴a 10 = 9.4．在锐角△ABC 中，设x =sin A sin B ，y =cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是（ C ） A ．x ≥y B ．x ≤y C ．x ＞yD ．x ＜y【解析】∵y – x = cos A cos B – sin A sin B = cos (A + B )，又A 、B 为锐角三角形两内角. 则ππ<+<B A 2，∴cos(A + B )＜0，即y – x ＜0，∴x ＞y .5．已知球O 的截面把垂直于截面的直径分成1:3的两部分，若截面圆的半径为3，则球O 的体积为（ A ） A ．16πB ．316πC ．π332D ．π34【解析】设球的半径为R ，则R 2=22)2(3R +，∴R 2= 4，∴S 球 = 4ππ162=R .6．已知条件p ：|x + 1|＞2，条件q ：5x – 6＞x 2，则┐p 是┐q 的（ B ）A ．充分和要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件【解析】∵┐p ：|x + 1|≤2⇔–2≤x + 1≤2⇔–3≤x ≤1，又┐q ：5x – 6≤x 2即x 2 – 5x + 6≥0⇔x ≤2或x ≥3，故┐p ⇒┐q ，但┐q ⇒┐p .7．若f (m ) =nnm n ni n n c m c m mc c m ++++∑= 220100，则)1(log)3(log 22f f 的值为（ B ）A ．21 B ．2 C ．31D ．3【解析】∵f (m ) = m 0C n 0 + m 1C n 1 + m 2C n 2 +…+m n C n n = (1 + m )n ，∴f (3) = 4n ，f (1) = 2n ， ∴22log4log )1(log)3(log 2222==nn f f .8．已知向量a = (1, 1)，b = (1, –1)，c =αcos 2(，)sin 2α)(R ∈α，实数m 、n 满足m a + n b = c ，则(m – 3)2 + n 2的最大值为（ D ） A ．2 B ．3 C ．4D ．16【解析】由已知m a + n b = (m + n , m – n ) = c =)sin 2,cos 2(αα∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+ααsin 2cos 2n m n m ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)sin (cos 22)sin (cos 22ααααn m∴(m – 3)2 + n 2 = m 2 + n 2 – 6m + 9 = 10 – 32(cos α+ sin α) = 10 – 6sin )4(πα+≤16.9．从6人中选出4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ B ） A ．300种 B ．240种 C ．144种D ．96【解析】先进1人到巴黎有4种方案，再从余下的5人中选3人到伦敦、悉尼、莫斯科，有A 35= 60种方案，由分步计数原理，共有4×60 = 240种，选B. 10．定义运算bcad db ca -=，则符合条件121211-+--x yy x = 0的点P (x , y )的轨迹方程为（ A ）A ．(x – 1)2+ 4y 2= 1 B ．(x –1)2 – 4y 2= 1 C ．(x –1)2+ y 2 = 1D ．(x –1)2– y 2= 1【解析】由已知)21()1(1212112y x x yy x +--=-+--(1 – 2y ) = 0，即(x – 1)2 + 4y 2 = 1.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．计算：αααcos )60cos()30sin(︒++︒+= 1 . (数字作答)【解析】原式=αααcos )60cos()60cos(+︒+-︒=1cos cos 60cos 2=︒αα12．为了让学生了解丢弃塑料袋对环境的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）33，25，28，26，25，31；如果该班有45名学生，根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃的塑料袋共约 1512 个.【解析】五家庭丢弃塑料袋的平均数51685312526282533=+++++=x ，则45个家庭丢弃的塑料袋总量为45×15125168=.13．若函数f (x ) =⎪⎩⎪⎨⎧≥<+-)2(2)2()2(x x x f x，则f (–3)的值为81.【解析】f (–3) = f (–3 + 2) = f (–1 + 2) = f (1 + 2)= f (3) = 2–3 =81.14．甲、乙二人各有一个装有3张卡片的盒子，从中取卡片来比胜负，甲的盒子中卡片的号码是2张1，1张3；乙的盒子中卡片的号码是1张1，2张2，甲、乙两人同时从自己的盒子中取出1张比较，取出的不再放回，直到二人取的卡片号码不相同时，号码大的一方为胜，则甲获胜的概率是 .【解析】取一张卡片甲获胜的概率3133311=⨯⨯=P ，取两张卡片后甲获胜的概率91)21)(12(23232=⋅⨯⨯=A A P .故甲获胜的概率为P = P 1 + P 2 =949131=+.15．以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，kPB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若)(21OB OA OP +=，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x 2 – 5x + 2 = 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线92522yx-=1与椭圆13522=+yx有相同的焦点.其中真命题的序号为 4 . (写出所有真命题的序号)【解析】依题意有：P = 4n，S = 2n， ∴4n + 2n = 272， ∴22n + 2n – 272 = 0， ∴2n = 16，∴n = 4.。

高考考前数学小题强化训练十五

高考考前数学小题强化训练十五时量：45分钟满分：70分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的）1．设集合P = {1, 3, 5,…, 2n– 1…} (n∈N*)，若a ∈P，b∈P，则a○+b∈P，则运算a○+b可能是（ C ）A．加法B．减法C．乘法D．除法2．在(x2 + 3x + 2)5展开式中x的系数为（B ）A．160 B．240 C．360 D．800【解析】∵(x2 + 3x + 2)5 = (x + 1)5 (x + 2)5，∴含x的一次项系数为45C×25 +45C·24 = 240. 3．曲线y = 4x–x3在点(–1, –3)处的切线的斜率和纵截距分别是（ D ）A．7, 4 B．7, 2 C．1, – 4 D．1, –2【解析】由于k = y′|x = –1 = 1，切线方程为y = x–2，故选D.4．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ D ）A．α⊥γ，β⊥γ，α∩γ= mB．α⊥β，m⊥l，α∩β= lC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α【解析】由n⊥α，n⊥β，得α∥β，又m⊥α，∴m⊥β，故选D.5．正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ D ）A．1:3 B．1:)33(+C．3:)13(+D．3:)13(-【解析】设棱长为1，则外接球半径R=23，内切线半径r =6333-=表SV.6．若0＜x＜2π，则2x与3sin x的大小关系（ D ）A．2x＜3sim x B．2x＜3sim xC．2x = 3sim x D．与x的取值有关【解析】(sin x)′|x = 0 = 1＞32，利用数形结合可得结论，或赋值法.7．已知非零向量AB与AC满足·BC = 0，且||||2ACABACAB⋅=⋅，则△ABC的形状是（ B ）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．三边不等的三角形【解析】由)·BC=0，知AD⊥BC，∴□ABDC为菱形，又||||2ACABACAB⋅=⋅，∴∠BAC =3π，故△ABC为等边三角形.8．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3 = –6，S18–S15 = 18，则S18 = （C ）A．9 B．18 C．36 D．72【解析】由于S3，S6–S3，S9–S6，…，S18–S15仍是等差数列，∴S18 = S3 + (S6–S3) + (S9–S6)+…+(S 18 – S 15) =26)186(⨯+-= 36.9．在1，2，3，4，5的排列a 1a 2a 3a 4a 5中，满足a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是（ D ）A ．10B ．12C ．14D ．16 【解析】先排a 2a 4，a 2a 4只能是4、5两数完成3、5两数字，当a 2a 4是4，5时，有332A 种，当a 2a 4是3，5时，共有222A ×2种，故共有16种.10．如图椭圆中心在原点，A 是右顶点，B 是上顶点，右焦点F 到y 轴距离等于到直线AB 的距离，则椭圆离心率e 在下列哪个范围中（ C ） A ．)51,0(B ．)52,51(C ．)12,52(- D ．)53,12(-【解析】由已知得cbac a b =+-22)(，故2e 3– 2e 2– 2e + 1 = 0. 设f (x ) = 2x 3– 2x 2– 2x + 1，∵1251)52(=f ＞0，17212)12(-=-f ＜0，且f (x )在[0, 1]递减且连续，故选C. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，将最后结果填在题中的横线上） 11．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为12581.【解析】由于击中目标次服从二项分布，所以所求为P = P 3(2) + P 3(3) =125811252712554=+.12．已知方程|x | = ax + 1恰有一个负根，而没有正根，则a 的取值范围是),1[+∞.【解析】转化为y = |x |与y = ax = 1的图象只有一个横坐标为负的交点，故a ≥1. 13．若sin 21)(=+βα，sin 31)(=-βα，则βαc o t t a n= 5 .【解析】由已知, 得21sin cos cos sin =+βαβα①31sin cos cos sin =-βαβα ②，①+②得125cos sin =βα③，①–②得121cos sin =βα④，③÷④得βαcot tan = 5.14．把半径都为1的四个钢球完全装入形状为球的容器里，则这个球半径的最大值为126+.【解析】四个小球两两外切，四球心构成一个棱长为2的正四面体，其外接球半径为2643236=⨯⨯，故此球半径的最小值为126+.15．分段函数f (x ) =⎩⎨⎧≤->0,0,x x x x 可表示为f (x ) = |x |，同样分段函数f (x ) =⎩⎨⎧<≥3,33,x x x ，可表示为f (x )=|)3|3(21-++x x ，仿此，分段函数f (x )=⎩⎨⎧≤>3,3,3x x x 可表示为f (x ) =|)3|3(21--+x x .分段函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤b x b b x a x ax a ,,,可表示为f (x )=|)|||(21b x a x b a ---++.【解析】分段折线函数可表示为一次函数的绝对值的线性组合.。

【新高考】数学强化训练--专题04 如何由数列前n项和Sn求数列通项an(含答案解析)

b1
6 ， bn
Sn
1 an
4
n N*
.
（I）求数列an 的通项公式；
1 （Ⅱ）记数列
bn
的前 n 项和为 Tn ，来自明： Tn1 2.
16．（2020·福建省高三期末）记 Sn 为数列an 的前 n 项和.已知 an 0 ， 6Sn an2 3an 4 .
（1）求an 的通项公式；
于（）
A． 2
B．0
C．2
D．4
5．（2020·河南省高三期末）已知数列an 满足 a1 4a2 7a3 3n 2 an 4n ，则
a2a3 a3a4 a21a22 （）
5
A．
8
3
B．
4
二、填空题
C． 5 4
5
D．
2
6．（2020·山西省高三期末）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn 2 2n1 ，则 an ______.
31 A．
16
B． 31 2
1
C．
32
31
D．
32
3．（2020·全国高三专题练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 3Sn 2an 3n ，则 a2018 （）
A． 22018 1
B． 32018 6
C．
1 2
2018
7 2
D．
1 2018 3
10 3
4．（2020·海南省高三）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn1 Sn n2 25n n N * ，则 a12 a13 等
B． 32018 6
C．
1 2
2018
7 2
D．
1 2018 3

三角函数、平面向量、数列强化训练参考答案

所以f (n +1)-f (n )=2n -12n-2n -32n -1=5-2n2n㊂当n =1或n =2时,f (n +1)-f (n )>0;当n ȡ3,n ɪN 时,f (n +1)-f (n )<0㊂又因为f (3)=34,所以f (n )m a x =34㊂因为不等式2λ-λ2>(2n -3)(2-a n )对任意的正整数n 恒成立,所以2λ-λ2>34,解得12<λ<32㊂24.(1)根据正弦定理a s i n A =bs i n B=cs i n C=2R ,由s i n B =s i n C 得b =c ,故B =C ,所以A =π-2B ㊂由3s i n B =2s i n A ,得3s i n B =2s i n (π-2B ),故3s i n B =4s i n B c o s B ㊂因为B ɪ(0,π),所以s i n B ʂ0,故c o s B =34㊂所以s i n B =1-c o s 2B =134㊂(2)因为s i n B =s i n C =134,c o s B =c o s C =34,所以s i n 2C =2s i n C c o s C =2ˑ34ˑ134=398,c o s 2C =2c o s 2C -1=2ˑ342-1=-58㊂所以c o s 2C +π6=c o s 2C c o sπ6-s i n 2C s i nπ6=-58ˑ32-398ˑ12=-53+3916㊂(责任编辑王福华)三角函数㊁平面向量㊁数列强化训练参考答案一㊁选择题1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.A 二㊁填空题13.-23A B ң+16A C ң14.5 15.①16.25三㊁解答题17.(1)由正弦定理得s i n B s i n A =s i n A c o s B -π6㊂又在әA B C 中,s i n A ʂ0,故s i n B =c o s B -π6=32c o s B +12s i n B ,即s i n B =3c o s B ,所以t a n B =3㊂因为B ɪ(0,π),所以角B 的大小为π3㊂(2)由a ,b ,c 依次成等比数列得b 2=a c ,由正弦定理得s i n 2B =s i n A s i nC ㊂故1t a n A +1t a n C =c o s A s i n A +c o s C s i n C=s i n (A +C )s i n A s i n C =s i n B s i n A s i n C =1s i n B =233㊂18.(1)依题意,5=c 2+2-2㊃2㊃c ㊃c o s 45ʎ,化简得c 2-2c -3=0,解得c =-1(舍去)或c =3㊂(2)S әA B C =12B A ㊃B D ㊃s i n 45ʎ=12㊃3㊃2㊃22=32㊂所以S әB C D =S әA B C -S әA D C =12,则S әB C D =12㊃B D ㊃B C ㊃s i n 45ʎ=12,即B D ㊃2㊃22=1,所以B D =1㊂由余弦定理得C D 2=B D 2+B C 2-2㊃B D ㊃BC ㊃c o s B =1+2-2㊃1㊃2c o s 45ʎ=1,所以C D =1㊂19.(1)由题意可得a 1q 3=9a 1q ,a 1(1-q 3)1-q=13,q >0,解64 演练篇参考答案高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.得a 1=1,q =3㊂所以a n =3n -1,S n =1-3n1-3=3n-12㊂(2)假设存在常数λ,使得数列{S n +λ}是等比数列㊂因为S 1+λ=λ+1,S 2+λ=λ+4,S 3+λ=λ+13,所以(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=12,此时S n +12=12ˑ3n,所以S n +1+12S n +12=3㊂故存在常数λ=12,使得数列S n +λ 是等比数列㊂20.(1)因为2n ,a n ,2S n -a n 成等差数列(n ɪN *),所以2a n =2S n -a n +2n ㊂所以当n ȡ2时,2a n -1=2S n -1-a n -1+2(n -1),所以2a n -2a n -1=(2S n -a n +2n )-2S n -1-a n -1+2(n -1) ,化简得a n =3a n -1+2,所以a n +1=3(a n -1+1)㊂当n =1时,2a 1=2a 1-a 1+2,解得a 1=2,所以a 1+1=3㊂所以数列{a n +1}是首项为3,公比为3的等比数列㊂所以a n +1=3n ,a n =3n-1㊂(2)b n =a n +1a n a n +1=3n(3n -1)(3n +1-1)=1213n-1-13n +1-1㊂所以数列{b n }的前n 项和为T n =1213-1-132-1+132-1-133-1+ +13n-1-13n +1-1 =1212-13n +1-1㊂21.(1)由题意知,a 1=2㊂由a 1+2a 2+3a 3+ +n a n =(n -1)㊃2n +1+2(n ȡ1),得a 1+2a 2+3a 3+ +(n -1)a n -1=(n -2)㊃2n+2(n ȡ2)㊂以上两式相减可得n a n=n -1 ㊃2n +1+2 -n -2 ㊃2n+2 =n ㊃2nn ȡ2㊂所以a n =2n(n ȡ2)㊂当n =1时,a 1=2也适合上式㊂所以数列{a n }的通项公式为a n =2n㊂(2)由(1)知,b n =2n +1a n=2n +12n㊂所以S n =b 1+b 2+b 3+ +b n =321+522+723+ +2n +12n;12S n =322+523+724+ +2n -12n +2n +12n +1㊂两式相减得:12S n =321+522+723+ +2n +12n-322+523+724+ +2n -12n+2n +12n +1=32+2122+123+124+ +12n -2n +12n +1=12+2ˑ121-12 n1-12-2n +12n +1=52-(2n +5)㊃12n +1㊂所以S n =-(2n +5)㊃12n+5㊂22.(1)由题意可得m ㊃n =2b c o s A =a c o s C +c c o s A ㊂由正弦定理可得2s i n B c o s A =s i n A ㊃c o s C +s i n C c o s A ㊂所以2s i n B c o s A =s i n (A +C )=s i n B ㊂因为s i n B ʂ0,所以2c o s A =1,所以c o s A =12㊂又因为A ɪ(0,π),所以A =π3㊂(2)c o s 2B -4c o s A s i n B =1-2s i n 2B -2s i n B =-2s i n B +122+32㊂因为A =π3,所以0<B <2π3,所以0<s i n B ɤ1㊂当且仅当s i n B =1时,-2s i n B +122+32取得最小值,此时B =π2㊂74演练篇参考答案高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.因为a =3,所以由正弦定理可得b =as i n A=23,c =b c o s A =3㊂故әA B C 的周长为a +b +c =3+33㊂(3)s i n B s i n C =s i n C s i n2π3-C=s i n C 32c o s C +12s i n C=34si n 2C +12s i n 2C =34s i n 2C +14(1-c o s 2C )=12s i n 2C -π6+14㊂因为A =π3,所以C ɪ0,2π3,所以2C -π6ɪ-π6,7π6 ,所以s i n 2C -π6 ɪ-12,1 ,所以12s i n 2C -π6 +14ɪ0,34㊂所以s i n B s i n C 的取值范围为0,34㊂23.(1)因为f (x )=x 2-3x ,S n =f (n ),所以S n =n 2-3n ㊂当n ȡ2时,S n -1=(n -1)2-3(n -1)㊂所以a n =S n -S n -1=2n -4㊂当n =1时,a 1=S 1=-2,也满足a n =2n -4㊂综上可得,a n =2n -4㊂(2)因为a n =2n -4,b n =a n4ˑ3n,所以b n =2n -44ˑ3n =n -22ˑ3n ,b 1=-16<0,b 2=0㊂当n ȡ3时,b n >0,故T 1=T 2为T n 的最小值,即T n 的最小值为-16㊂因为对于任意的n ɪN *,总存在x ɪ[2,4],使得T n >m f (x )成立,所以-16>[m f (x )]m i n ㊂因为x ɪ[2,4],f (x )=x 2-3x =x -322-94,所以f (x )ɪ[-2,4]㊂当m >0时,-16>[m f (x )]m i n ,即-16>-2m ,解得m >112;当m <0时,-16>[m f (x )]m i n ,即-16>4m ,解得m <-124;当m =0时,-16>0,显然不成立㊂故实数m 的取值范围为112,+ɕɣ-ɕ,-124㊂24.(1)因为A n =n 2,所以n ȡ2时,a n =A n -A n -1=n 2-(n -1)2=2n -1㊂当n =1时,a 1=1也适合上式㊂所以a n =2n -1㊂因为a n +1-a n =2(b n +1-b n ),所以b n +1-b n =12ˑ2=1㊂又因为b 1=2,所以数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列㊂所以B n =2n +n (n -1)2ˑ1=n 2+3n2㊂(2)因为对任意的n ɪN *,都有a n =B n ,所以a n +1-a n =B n +1-B n =b n +1㊂故b n +1-b n =12ˑ(a n +1-a n )=12b n +1,所以b n +1=2b n ,b 1>0㊂所以数列{b n }是等比数列,公比为2㊂所以B n =2n-12-1b 1=(2n-1)b 1㊂因为b n +1a n a n +1=B n +1-B n B n +1B n =1B n -1B n +1,又b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+ +b n +1a n a n +1<13成立,所以1B 1-1B 2+1B 2-1B 3+ +1B n -1B n +1=1B 1-1B n +1=1b 11-12n-1<13㊂所以b 1>31-12n-1 ㊂因为对任意的n ɪN *,都成立,所以b 1ȡ3,所以正实数b 1的取值范围为[3,+ɕ)㊂(责任编辑王福华)84 演练篇参考答案高考数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高考考前数学小题强化训练十

高考考前数学小题强化训练十时量：45分钟满分：70分一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．在等比数列{a n }中，a 2 = –3，a 4 = –6，则a 8的值为（ A ） A ．– 24 B ．24 C ．±24D ．–12【解析】由a 4 = a 2·q 2，得q 2 = 2， ∴a 8 = a 4q 4 = –24.2．若直线ax + y – 1 = 0和直线4x + (a – 3) y – 2 =0垂直，则实数a 的值等于（ C ） A ．–1 B ．4 C ．53D ．23-【解析】由4a + (a – 3) = 0，得53=a.3．已知向量a = (3, 4)，b = (sin α, cos α)分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则tan α=（ A ） A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-【解析】由l 1∥l 2得3cos α= 4cos α， ∴tan α=43.4．已知βα、是两不同的平面，m 、n 是两不同直线，下列命题中不正确．．．的是（ B ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β= n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β【解析】由m ∥α，α∩β= n ，不能推出m ∥n ，m 、n 可能异面.5．抛物线y = ax 2上纵坐标为2的点P 到抛物线的焦点的距离为6，则抛物线的焦点坐标为（ B ） A ．(0, – 4)B ．(0, 4)C ．(0, 4)或(0, – 4)D ．(0, 8)【解析】42=p ，∴p = 8，故焦点为(0, 4).6．若函数f (x ) = ka x – a –x (a ＞0，a ≠1)既是奇函数，又是增函数，那么g (x ) = log a (x + k )的图象是（ D ）ABC D【解析】由已知得k = 1，a ＞1，∴g (x ) = log a (x + 1)的图象是D. 7．若函数y = 2 sin (2x +ϕ))22(πϕπ<<-的图象过点)1,6(π，则其一条对称轴方程为（ C ）A ．12π=x B ．6π=xC ．3π=xD ．125π=x【解析】由已知得6πϕ-=，∴3π=x是y = 2sin(2x 6π-)的一条对称轴.8．在平面直角坐标系中有6个点，它们的坐标分别是O (0, 0)，A 1 (1, 2)，A 2 (–1, –2)，A 3 (2, 4)，A 4 (–2, –1)，A 5 (2, 1)，则这6个点可以确定不同三角形的个数为（ B ）A ．14B ．15C ．16D ．20 【解析】所求三角形的个数是=--333436C C C 15个.9．已知函数f (x ) = x 3 – 3x 2 + 2，x ∈(0, 2)的反函数为)(1x f -，则（C ）A ．)23()21(11--<f fB ．)25()23(11--<f fC ．)23()21(11-->f fD ．)25()23(11-->f f【解析】∵)(x f '= 3x 2 – 6x = 3x (x – 2). ∴f (x )在[0，2]递减，此时f (x )∈[–2, 2]，故)(1x f-在[–2，2]递减，故选C.10．命题p ：不等式lg [x (1 – x ) + 1]＞0的解集是{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“)42(c o s2π+A ＜)42(cos 2π+B ”成立的必要非充分条件，则（ A ） A ．p 真q 假B ．“p 且q ”为真C ．“p 或q ”为假D ．p 假q 真【解析】易知P 真，而<+)42(cos 2πABA B sin sin )42(cos 2>⇔+<π，又A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故q 假.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.）11．（2006年浙江卷）若多项式x 2 + x 10 = a 0 +a 1 (x+ 1) + a 2 (x + 1)2 +…+a 9(x + 1)9 + a 10 (x + 1)10，则a 9 = – 10 .【解析】由多项式相等的充要条件可知a 10 =1，a 9 +910c ·a 10 = 0，∴a 9 = –10.12．从标有号码分别为1, 2, 3,…, 10的卡片盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是 0.53 .【解析】所求频率=10011186513++++= 0.53.13．已知R 为全集，A = {x | |x – 2|＜1}，B = {x |25+x ≥1}，则( R A )∩B = {x |–2＜x ≤1或x = 3} . 【解析】由于 R A = {x | x ≥3或x ≤1}，B = {x |–2＜x ≤3}，所以( R A )∩B = {x |–2≤1或x = 3}. 14．（理）以原点为圆心的圆完全落在区域⎩⎨⎧≥+-≥+-02063y x y x 内，则圆面积的最大值为π2.【解析】画出可行域，易求圆的最大半径为2，故π2sin=ax .15．在算式“4×□+1×△= 30”的两个□、△中分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对（□，△）为 (5, 10) ，最小值为103.【解析】设所求数对为(x , y )，则4x + y = 30，又)45(301)11)(4(30111x y y x y x y x y x ++=++=+≥103，等号当x = 5，y = 10时取得.。

高考数学强化复习训练精选题及答案40

高三数学强化训练（40）1．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是A ．15B ．30C ．31D ．642设m ∈N +，log 2m 的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是A 、 8204B 、8192C 、9218D 、80213．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）4已知等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d<0，则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 是A 、4或5B 、5或6C 、6或7D 、8或95．若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2-log b a)(1+log c a)=________。

6．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是________.7．已知S n =1+3121++…+n1,(n ∈N *)，设f (n )=S 2n +1－S n +1，试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式：f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立.参考答案AABB 2 17.解：∵S n =1+3121++…+n1 (n ∈N *) 0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又 ∴f (n +1)＞f (n )∴f (n )是关于n 的增函数∴f (n ) min =f (2)=209321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立只要209＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2成立即可由⎩⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2 此时设［log m (m －1)］2=t 则t ＞0 于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t解得0＜t ＜1由此得0＜［log m (m －1)］2＜1解得m ＞251+且m ≠2。

新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练11(附解析)

强化训练11 空间几何体的表面积与体积——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东临沂一模]已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( )A ．3πB ．3π3C ．3 πD ．2π2．[2022·山东潍坊一模]以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为( )A ．2πB ．8πC ．2π3D ．8π33．在三棱锥P - ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且P A ＝AB ＝2，AC ＝23 ，则三棱锥P - ABC 外接球的体积等于( )A ．2033 πB ．203π C ．2053π D ．20π 4．[2022·湖北黄冈中学模拟]已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为( )A ．3πB ．6πC ．62 πD ．32 π5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为( )A ．6 πB ．2πC ．3πD ．22 π6．[2022·河北唐山二模]如图，圆锥的轴为PO ，其底面直径和高均为2，过PO 的中点O 1作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为( )A ．2∶1B ．5∶3C ．3∶1D ．8∶37．已知正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BC 上一点，则三棱锥B 1 - AC 1E 的体积为( ) A.12 B ．13C ．14D ．168．[2022·山东济宁三模]若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为( )A ．2∶1B ．3∶2C ．7∶3D ．7∶4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两空间图形的说法正确的是( )A.侧面积之比为1∶4B ．侧面积之比为1∶8C ．体积之比为1∶27D．体积之比为1∶2610．[2022·湖北武汉模拟]一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为4πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．球的体积是圆锥体积的两倍11．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则关于半球的说法正确的是()A．半径是3B．体积为18πC．表面积为27πD．表面积为18π12．[2022·山东滨州二模]在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P-AEF，如图2所示，则下列结论中正确的是()A．P A⊥EFB．三棱锥M -AEF的体积为4C．三棱锥P -AEF外接球的表面积为24πD．过点M的平面截三棱锥P -AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东济南一模]已知圆锥的轴截面是一个顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为________．14．[2022·广东惠州一模]若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为4π，圆台上、下底面圆的半径分别为r1，r2(r1<r2)，则r22－r21＝________．15．一个正四棱锥的高为7，底面边长为10，若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为________．16．[2022·山东烟台三模]某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为________．强化训练11 空间几何体的表面积与体积1．解析：设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ＝2，则l2＝r2＋h2＝4，底面周长2πr ＝12 ×（2π×2）⇒r ＝1，所以h ＝4－12 ＝ 3 ，所以圆锥的体积为13 ×π×12× 3 ＝3π3 .答案：B2．解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以2为底面圆半径，高为2的圆柱，由圆柱的体积公式得：V ＝π×22×2＝8π，所以所得到的几何体的体积为8π.答案：B3．解析：PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，因此以AP ，AB ，AC 为棱构造一个长方体，此长方体的外接球即为三棱锥P - ABC 的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，由已知长方体对角线长为22＋22＋（23）2 ＝2 5 ，所以外接球半径为R ＝5 ，外接球体积为V ＝43 π·（ 5 ）3＝2053 π.答案：C4．解析：由题意知圆台母线长为12＋（2－1）2 ＝ 2 ，且上底面圆周为2π，下底面圆周为4π，圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为12＋12 ＝ 2 ，则圆环所在的大圆半径为2 2 ，所以侧面展开图的面积S＝12×4π×2 2 －12×2π× 2 ＝3 2 π.答案：D5．解析：如图，四面体BDMN是正四面体，棱长BD＝2，将其补形成正方体GBCD - MENF，则正方体GBCD - MENF的棱长GB＝22 BD＝ 2 ，此正方体的体对角线长为6 ，正四面体BDMN与正方体GBCD - MENF有相同的外接球，则正四面体BDMN的外接球半径R＝6 2，所以正四面体BDMN的外接球体积为V＝43πR3＝43π·（62）3＝ 6 π.答案：A6．解析：圆锥的体积为V1＝13π×12×2＝2π3，圆柱的体积为V2＝π×（12）2×1＝π4，所以V1∶V2＝2π3∶π4＝8∶3.答案：D7．解析：由ABCD - A1B1C1D1为正方体，显然AB为A到平面EB1C1的距离，所以VB1 - AC1E＝VA - EB1C1＝13 S△EB1C1·AB＝13 ×12 ×1×1×1＝16 .答案：D8．解析：如图：O1，O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内切球，则OO1＝O1D＝ 3 ，即内切球的半径r＝ 3 ，OA2＝OO21＋O1A2＝7，即外接球的半径R＝7 ，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR2∶4πr2＝R2∶r2＝7∶3. 答案：C9．解析：依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.答案：BD10．解析：对于A，∵圆柱的底面直径和高都等于2R，∴圆柱的侧面积S1＝2πR·2R＝4πR2故A正确；对于B，∵圆锥的底面直径和高等于2R，∴圆锥的侧面积为S2＝πR·R2＋4R2 ＝ 5 πR2，故B错误；对于C，∵圆柱的侧面积为S1＝4πR2，球的表面积S3＝4πR2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，球的体积为V1＝43πR3，圆锥的体积为V2＝13πR2·2R＝23πR3，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确．答案：ACD11．解析：如图，△PAC是正四棱锥的对角面，设球半径为r，AC是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为 2 r，棱锥体积为V＝13 ×（ 2 r）2×r＝23 r3＝18，r＝3，半球体积为V ＝23 πr3＝23 π×33＝18π，表面积为S ＝2π×32＋π×32＝27π.答案：ABC12．解析：由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4的长方体，如图所示：对A ：因为AP ⊥PE ，AP ⊥PF ，PE∩PF ＝P ，所以AP ⊥平面PEF ，所以PA ⊥EF ，故选项A 正确；对B ：因为M 为BE 的中点，所以VM - AEF ＝12 VP - AEF ＝12 ×13 ×12 ×2×2×4＝43 ，故选项B 错误；对C ：三棱锥P - AEF 外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径（2R ）2＝22＋22＋42＝24，所以三棱锥P - AEF 外接球的表面积为S ＝4πR2＝24π，故选项C 正确；对D ：过点M 的平面截三棱锥P - AEF 的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为πR2＝π（ 6 ）2＝6π，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径r ＝R2－OM2 ＝6－5 ＝1，截面圆的面积为πr2＝π，所以过点M 的平面截三棱锥P - AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]，故选项D 正确．答案：ACD13．解析：因圆锥的轴截面是一个顶角为2π3 ，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高h ，因此，h ＝2cos π3 ＝1，圆锥底面圆半径r ＝22－h2 ＝ 3 ，所以圆锥的体积为V ＝13 πr2h ＝13 π×（ 3 ）2×1＝π.答案：π14．解析：圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，所以圆台的母线长为2πr2π －2πr1π ＝2r2－2r1，圆台的侧面积为2πr1＋2πr22×（2r2－2r1）＝2π（r 2 －r 21 ）＝4π，所以r 22 －r 21 ＝2.答案：215．解析：设该正四棱锥为P - ABCD ，由正四棱锥和球的性质可知球的球心在高上，设球心为O ，底面中心为E ，因为底面是正方形，所以DE ＝12 102＋102 ＝5 2 ，在直角三角形ODE 中，OD2＝OE2＋DE2，设球的半径为r ，所以有r2＝（7－r ）2＋50⇒r ＝9914 .答案：991416．解析：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为△MNG 的中心，因为MN ＝6，所以△MNG 内切圆的半径r ＝OH ＝13 MH ＝13 MN2－HN2 ＝3 ，即内切球的半径R ＝ 3 ，所以内切球的表面积S ＝4πR2＝12π，又正三棱柱的高AA1＝2R ＝2 3 ，所以OM ＝23 OH ＝2 3 ，所以AO ＝OM2＋AM2 ＝（23）2＋（3）2 ＝15 ，所以A 到球面上的点的距离最小值为AO －R ＝15 － 3答案：12π 15 － 3。

新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练2(附解析)

强化训练2 复数、平面向量一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·北京卷]若复数z 满足i·z ＝3－4i ，则|z |＝( )A ．1B ．5C ．7D ．252．[2022·山东潍坊三模]已知复数z 满足(i －1)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为( )A.－1 B ．1 C ．0 D ．23．[2022·山东淄博一模]若复数z ＝2＋i a ＋i的实部与虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．[2022·河北保定二模]已知向量AB → ＝(2，－1)，BC → ＝(1，－3)，则|AC → |＝( )A ．3B ．4C ．5D ．65．[2022·山东临沂三模]向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，0)，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π4C ．3π4D ．2π36．[2022·福建福州三模]已知向量a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，则b ·(4a －3b )＝( )A ．－3B ．3C ．－5D ．57．如图，在▱ABCD 中，M 为BC 的中点，AC → ＝mAM → ＋nBD → ，则m ＋n ＝( )A ．1B ．43C ．53D ．2 8．[2022·湖南师大附中一模]在△ABC 中，已知∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB → ·PC → 的最大值为( )A ．165B ．365C ．465D ．565二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·山东日照二模]已知向量m ＝(2，0)，n ＝(1，1)，则( )A ．m ∥nB ．(m －n )⊥nC ．m ⊥nD ．|m |＝2 |n |10．[2022·广东广州三模]若z ＋|z |＝8－4i ，其中i 为虚数单位，则下列关于复数z 的说法正确的是( )A ．|z |＝5B ．z 的虚部为－4iC ．z̅＝－3＋4iD ．z 在复平面内对应的点位于第四象限11．[2022·山东淄博三模]已知复数z 1，z 2，满足|z 1|·|z 2|≠0，下列说法正确的是( )A ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21 ＝z 22B ．|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|C ．若z 1z 2∈R ，则z 1z 2∈R D ．|z 1z 2|＝|z 1||z 2|12．[2022·山东聊城三模]在平面四边形ABCD 中，|AB → |＝|BC → |＝|CD → |＝DA → ·DC → ＝1，BA → ·BC → ＝12，则( ) A.|AC → |＝1B ．|CA → ＋CD → |＝|CA → －CD → |C ．AD → ＝2BC →D ．BD → ·CD → ＝2＋32三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·辽宁鞍山二模]已知i 为虚数单位，则3＋i 1－i＝________(写成最简形式). 14．[2022·河北张家口一模]已知向量a ＝(－1，－2)，b ＝(－x ，3)，若a ∥b ，则x ＝________．15．[2022·广东茂名二模]已知向量a ＝(t ，2t )，b ＝(－t ，1)，若(a －b )⊥(a ＋b )，则t ＝________．16．[2022·山东师范大学附中模拟]边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM → ·PN→ 的取值范围是________．强化训练2 复数、平面向量1．解析：方法一由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ＝（3－4i ）·（－i ）i·（－i ）＝－3i ＋4i2－i2＝－4－3i ，所以|z|＝（－4）2＋（－3）2 ＝5.故选B. 方法二由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ，所以|z|＝|3－4i i |＝|3－4i||i| ＝32＋（－4）202＋12＝5.故选B. 答案：B2．解析：∵（i －1）z ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i －1＋i ＝（1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－2i 2 ＝－i ， ∴z ＝i ，即z 的虚部为1.答案：B 3．解析：z ＝2＋i a ＋i ＝（2＋i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝2a ＋1＋（a －2）i a2＋1，因为复数z ＝2＋i a ＋i的实部与虚部相等，所以2a ＋1＝a －2，解得a ＝－3，故实数a 的值为－3.答案：A4．解析：由题意可得AC→ ＝AB → ＋BC → ＝（3，－4），所以|AC → |＝32＋（－4）2 ＝5.答案：C5．解析：由题意得：cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b| ＝－12＝－22 ，则a 与b 的夹角为3π4 . 答案：C6．解析：由题意可得，|a|＝1，|b|＝1，a·b ＝0，则b·（4a －3b ）＝4a·b －3b2＝－3b2＝－3.答案：A7．解析：AM → ＝AB → ＋12 BC → ＝AB → ＋12AD → ，而BD → ＝AD → －AB → ，故AC → ＝m （AB → ＋12 AD → ）＋n （AD → －AB → ）＝（m －n ）AB → ＋（m 2＋n ）AD → ，而AC → ＝AB → ＋AD → 且AB → ，AD → 不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1m 2＋n ＝1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43n ＝13⇒m ＋n ＝53 . 答案：C8．解析：设AD 为斜边BC 上的高，则圆A 的半径r ＝AP ＝2×44＋16＝455 ，设E 为斜边BC 的中点，〈PA → ，AE → 〉＝θ，因为|PA → |＝455，|AE → |＝ 5 ，则PB → ·PC → ＝（PA → ＋AB → ）·（PA→ ＋AC → ）＝PA → 2＋PA → ·（AB→ ＋AC → ）＝165 ＋PA → ·2AE →＝165 ＋2×455 ×5 cos θ＝165 ＋8cos θ，所以PB → ·PC → 的最大值为165 ＋8＝565 .答案：D9．解析：由m ＝（2，0），n ＝（1，1），m －n ＝（1，－1），对于A ，若m ∥n ，由2×1≠0×1，故A 错误；对于B ，若（m －n ）⊥n ，则1×1＋（－1）×1＝0，符合题意，故B 正确；对于C ，若m ⊥n ，由m·n ＝2×1＋0×1＝2≠0，故C 错误；对于D ，|m|＝2，|n|＝12＋12 ＝ 2 ，故D 正确．答案：BD10．解析：设z ＝a ＋bi ，则|z|＝a2＋b2 ，z ＋|z|＝a ＋bi ＋a2＋b2 ＝8－4i ，则⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝8b ＝－4，即得⎩⎨⎧a ＝3b ＝－4 ，即z ＝3－4i ， |z|＝9＋16 ＝5，A 正确；z 的虚部为－4，B 错误；z ̅＝3＋4i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为（3，－4），位于第四象限，D 正确．答案：AD11．解析：对选项A ，设z1＝1＋i ，z2＝ 2 i ，则|z1|＝|z2|＝ 2 ，z 21 ＝（1＋i ）2＝2i ，z 2 ＝（ 2 i ）2＝－2，不满足z 21 ＝z 2 ，故A 错误．对选项B ，设z1，z2在复平面内表示的向量分别为z1，z2，且z1，z2≠0，当z1，z2方向相同时，|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，当z1，z2方向不相同时，|z1＋z2|<|z1|＋|z2|，综上|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，故B 正确．对选项C ，设z1＝1＋i ，z2＝1－i ，z1z2＝（1＋i ）（1－i ）＝2∈R ，z1z2 ＝1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＝i ∉R ，故C 错误．对选项D ，设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，a ，b ，c ，d≠0，z1z2＝（a ＋bi ）（c ＋di ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ，则|z1z2|＝（ac －bd ）2＋（ad ＋bc ）2 ＝（ac ）2＋（bd ）2＋（ad ）2＋（bc ）2 ，|z1||z2|＝a2＋b2 ·c2＋d2 ＝（ac ）2＋（bd ）2＋（ad ）2＋（bc ）2 ＝|z1z2|，故D 正确．答案：BD12．解析：因为|AB → |＝|BC → |＝|CD → |＝1，BA → ·BC → ＝|BA → ||BC → |cos B ＝12，可得B ＝π3 ，所以△ABC 为等边三角形，则|AC→ |＝1 ，故A 正确；因为|CD → |＝1，所以CD → 2＝1，又DA → ·DC → ＝1，所以CD → 2＝DA → ·DC→ ，得DC → 2－DA → ·DC → ＝DC → ·（DC → －DA → ）＝DC → ·AC→ ＝0，所以AC ⊥CD ，则|CA→ ＋CD → |＝|CA → －CD → |，故B 正确；根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则B （－12 ，0），C （12 ，0），D （1＋32 ，12 ），BD → ＝（2＋32 ，12 ），CD → ＝（32 ，12），所以BD → ·CD → ＝2＋32，故D 正确．答案：ABD13．解析：3＋i 1－i ＝（3＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝3＋3i ＋i ＋i22 ＝1＋2i. 答案：1＋2i14．解析：因为a ∥b ，所以2x ＝－3，解得x ＝－32. 答案：－3215．解析：因为（a －b ）⊥（a ＋b ），所以（a －b ）·（a ＋b ）＝0，所以a2－b2＝0，则|a|＝|b|，所以t2＋4t2＝t2＋1，所以t ＝±12 .答案：±1216．解析：如图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，PM → ·PN → ＝（PO → ＋OM → ）·（PO → －OM → ）＝|PO → |2－|OM → |2＝|PO → |2－14，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，|OP → |min ＝12 ，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，|OP → |max ＝22，即12 ≤|OP → |≤22 ，因此，PM → ·PN → ＝|PO → |2－14 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14。

高考考前数学小题强化训练八

高考考前数学小题强化训练八时量：45分钟满分：70分一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1．a 、b 是实数，集合M =}1,{ab ，N = {a ，0}，映射f ：x →x 即将集合M 中的元素x 映射到N 中仍是x ，则a + b 的值等于（ A ）A ．1B ．0C ．–1D ．±1【解析】由已知的b = 0，a = 1，∴a + b = 1. 2．已知sin α·cos 24,81παπα<<=，则 ααsin cos -的值是（ B ）A ．23 B ．23- C ．43D ．±23【解析】由于)2,4(ππα∈，∴cos ααsin -＜0，故选B. 3．函数xx x f ||lg )(=的图象大致是（ D ）【解析】由于f (x )是奇函数，所以排除A 、B ，又图象过点(1, 0)，排除C ，故选D. 4．如果实数x ，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，那么2x – y的最大值为（ B ）A ．2B ．1C ．–2D ．–3 【解析】由x 、y 满足的线性约束条件对应的可行域如图，则当x = –2，y = –1时，(2x – y )max = –3. 5．若条件p ：x1＞1，条件q ：(x – 1)x ≥0，则┐p 是q 的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件【解析】p ：x ≤0或x ≥1；q ：x ≥1或x = 0，∴┐p 是q 的必要非充分条件.6．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x ) = x 2+2x )1(f '，则f (–1)与f (1)的大小关系是（ C ） A ．f (–1) = f (1)B ．f (–1)＜f (1)C ．f (–1)＞f (1)D ．不能确定【解析】)(x f '= 2x = 2)1(f '，∴)1(f '= –2， ∴ f (x ) = x 2 – 4x ，故f (–1)＞f (1).7．等比数列{a n }是递减数列，前n 项积为T n ，若T 13 = 4T 9，则a 8·a 15的值为（ C ） A ．±2 B ．±4 C ．2D ．4【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则T 13 = a 113·q1+2+…+12= (a 1q 6)13，4T 9 = 4a 19·q1+2+…+8= 4 (a 1q 4)9，∴(a 1·q 6)13= 4 (a 1·q 4)9，∴(a 12·q 21)2= 4，又a 8·a 15 = a 12q 21 =±2 (负的舍去). 8．四棱锥P —ABCD ，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面P AB，底面ABCD 为梯形，AD = 4，BC = 8，AB = 6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ B ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分【解析】如图，由题意知，△PAD ，△PBC 是直角三角形，且tan APD =PA AD ，tan ∠BPC =PBBC ，又∠APD =∠CPB ，∴PB = 2PA ，故P 在过AB 且与面ABCD 垂直的平面内，由解析几何知识易知，P 的轨迹是不完整的圆，故选B.9．已知椭圆的中心在坐标原点O ，右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM的垂线平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ C ） A ．)1,23[ B ．]23,0( C ．)1,22[D ．]22,0(10．如图，已知C 为AB 上一点，P 为AB 外一点，满足||||PB PA -= 2，52||=-PB PA =，I 为PC上一点，且有)0>+=λλBA BI ，的值为（ D ）A ．1B ．2C ．5+1D ．5–1【解析】由||||PB PA -= 2知，P 在双曲线右支上(A 、B 为焦点)，由52||=-PB PA得52||=AB ，由后两式知，I 为△PAB 的内心，θcos ||BI =，作ID ⊥AB 于D ，则||cos ||BD BI =θ，又2||||=-BD AD ，||AD +52||=BD ，∴15||-=BD.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上.）11．已知点P 在直线y = x – 1上，点Q 在圆x 2 + y 2+ 4x – 2y + 4 = 0，则|PQ |的最小值为122-.12．（2006年全国卷II ）函数f (x ) =∑=-191||n n x 的最小值为 90 .【解析】当x ≤n ，n ≤9时，f (x )为减函数.当x ≥n ，n ≥10时，f (x )为增函数.可知f min (x ) = f (10) = |10 – 1| + |10 – 2| +…+|10– 9| + |10 – 10| + |10 – 11| +…+|10 – 19| = 2 (9 + 8 +…+1) = 90.13．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽取了该校100名高三学生的视力情况，得频率分别直方图如右图，由于不慎将部分数据丢失，幸好还知道前4组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，则视力在4.6～5.0CABI PA DBCP之间的学生人数是 78.【解析】由图可知，前4组频数分别是1、3、9、27，后六组频数分别为27、22、17、12，7，2，故视力在4.6—5.0之间的人数是78.14．若kk k kx C x f )3()1()(20062006--=∑=∑=-=20062006i iixa，则∑=20061k ka = 0 .【解析】∵f (x ) = [1 – (3 – x )]2006= (2 + x )2006= a 0x 2006 + a 1x 2005 +…+a 2006，又a 0 = 1，∴∑==20061k k a .15．以长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率是38518(用数字作答) .【解析】由题设知，以三顶点为顶点的三角形共有5638=C 个，从中任取2个，它们共面的概率P =385181225624=C C .。

新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练4(附解析)

强化训练4 三角函数的图象与性质——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．已知角α的顶点与原点θ重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (m ，4)(m ≠0)，且cos α＝m5，则tan α＝( )A ．±43B ．43C ．±34D ．342．[2022·湖南宁乡模拟]将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 图象上的所有点向左平移π4个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x3．[2022·河北张家口三模]已知tan α2 ＝5 －2，则cos αcos 2αsin α－cos α＝( )A ．－65B ．－35C ．35D ．654．[2022·湖南师大附中三模]某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图)，已知噪音的声波曲线y ＝A sin (ωx＋φ)(其中A >0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2，初相位为π2，则用来降噪的声波曲线的解析式是( )A ．y ＝sin πxB ．y ＝cos πxC ．y ＝－sin πxD ．y ＝－cos πx5．[2022·全国甲卷]将函数f (x )＝sin (ωx ＋π3 )(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是( )A ．16B ．14C ．13D ．126．[2022·湖北襄阳二模]函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象可以由y ＝2 sin ωx 的图象( )A ．向左平移π3 个单位长度得到B ．向左平移5π6 个单位长度得到C ．向右平移5π3 个单位长度得到D ．向右平移5π6个单位长度得到7．[2022·山东潍坊三模]设函数f (x )＝|sin x |，若a ＝f (ln 2)，b ＝f (log 132)，c ＝f (312)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c8．[2022·山东泰安二模]已知函数f ()x ＝sin ()ωx ＋φ ⎝⎛⎭⎫ω>0，||φ<π2 的图象，如图所示，则( )A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．函数f (x )在(π2 ，π)上单调递减C ．曲线y ＝f (x ＋π12 )关于直线x ＝－π2 对称D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，4π3 上的最小值是－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．下列四个函数中，以π为周期且在(0，π2)上单调递增的偶函数有( )A ．y ＝cos |2x |B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|tan x |D ．y ＝lg |sin x |10．[2022·河北秦皇岛二模]已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的一条对称轴方程为x ＝π6 ，与其相邻对称中心的距离为π4，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．φ＝π6D ．φ＝π311．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将y ＝sin (2x ＋π4)的图象( )A ．先将图象向右平移π8 ，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B ．先将图象向右平移π2，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍C ．先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移π4D ．先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移π812．[2022·山东济南三模]将函数f (x )＝cos (2x －π3 )图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g (x )图象的一个对称中心为(7π12 ，0)C ．g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π (k ∈Z ) D ．g (x )的图象与函数y ＝－sin (2x －π6)的图象重合三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东枣庄三模]已知α为锐角，且sin α＝34，则cos (π－α)的值为________．14．[2022·山东日照三模]已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ＝________．15．[2022·辽宁沈阳一模]函数f (x )＝2cos x －cos 2x 的最大值为________．16．[2022·北京海淀二模]已知f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向右平移a (a >0)个单位后得到g (x )的图象，则函数g (x )的最大值为________；若f (x )＋g (x )的值域为{0}，则a 的最小值为________．强化训练4 三角函数的图象与性质 1．解析：cos α＝m m2＋42＝m 5 ，解得：m ＝±3，故tan α＝4m ＝±43 .答案：A2．解析：将函数f （x ）＝sin （x －π4 ）图象上的所有点向左平移π4 个单位长度，则所得图象的函数解析式是f （x ）＝sin （x －π4 ＋π4 ）＝sin x. 答案：A3．解析：tan α＝2（5－2）1－（5－2）2 ＝12 ，所以cos αcos 2αsin α－cos α ＝cos α（cos2α－sin2α）sinα－cos α＝cos α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）sin α－cos α ＝－cos α（cos α＋sin α）＝－cos2α＋sinαcos αsin2α＋cos2α ＝－1＋tanα1＋tan2α ＝－65 .答案：A4．解析：由题意，A ＝1，φ＝π2 且T ＝2πω ＝2，则ω＝π，所以y ＝sin （πx ＋π2 ）＝cos πx ，则降噪的声波曲线为y ＝－cos πx. 答案：D5．解析：通解将函数f （x ）＝sin （ωx ＋π3 ）的图象向左平移π2 个单位长度得到y ＝sin （ωx ＋π2 ω＋π3 ）的图象．由所得图象关于y 轴对称，得π2 ω＋π3 ＝kπ＋π2 （k ∈Z ），所以ω＝2k ＋13 （k ∈Z ）.因为ω>0，所以令k ＝0，得ω的最小值为13.故选C.快解由曲线C 关于y 轴对称，可得函数f （x ）＝sin （ωx ＋π3 ）的图象关于直线x ＝π2 对称，所以f （π2 ）＝sin （πω2 ＋π3 ）＝±1，然后依次代入各选项验证，确定选C. 答案：C6．解析：由图可知A ＝ 2 ，T ＝π，则ω＝2，所以f （x ）＝ 2 sin （2x ＋φ）.由2×7π12 ＋φ＝3π2 ＋2kπ（k ∈Z ），|φ|<π2 ，得φ＝π3 ，所以f （x ）＝ 2 sin （2x ＋π3 ）.函数y ＝ 2 sin 2x 的图象向右平移5π6 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝ 2 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －5π6）＝ 2 sin （2x －5π3 ）＝ 2 sin （2x ＋π3 ）＝f （x ），所以D 正确．答案：D7．解析：函数f （x ）＝|sin x|为偶函数且x ＝π2 为其一条对称轴，故b ＝f （log 132）＝f （log32），显然0<log32＝ln 2ln 3 <ln 2<1，故b<a.因为1.7<312 <1.8，1.5<π2 <1.6，ln 2<1<π2 ，所以a<c ，所以b<a<c. 答案：D8．解析：由图可知，14 T ＝5π12 －π6 ＝π4 ，∴T ＝π ，ω＝2πT ＝2 ， sin （2×π6 ＋φ）＝0 ，φ＝－π3 ， ∴f （x ）＝sin （2x －π3 ），对于A ，T ＝π ，故错误；对于B ，当x ∈（π2 ，π）时，2x －π3 ∈（2π3 ，5π3 ），由函数y ＝sin x 的性质可知当x ∈（π2 ，3π2 ）时，单调递减，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π 时单调递增，2π3 ∈（π2 ，3π2 ），5π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π ，故B 错误；对于C ，f （x ＋π12 ）＝sin （2x ＋π6 －π3 ）＝sin （2x －π6 ），将x ＝－π2 带入上式得f （－π2 ＋π12 ）＝sin （－π－π6 ）＝sin π6≠±1，故C 错误；对于D ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，4π3 时，2x －π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，7π3 ，∴当2x －π3 ＝3π2 ，即x ＝11π12 时，f （x ）取最小值－1，故D 正确．答案：D9．解析：y ＝cos |2x|在（0，π2 ）上不单调，故A 错误；y ＝sin 2x 为奇函数，故B 错误； y ＝|tan x|图象如图：故最小正周期为π，在（0，π2 ）上单调递增，且为偶函数，故C 正确； y ＝|sin x|最小正周期为π，在（0，π2 ）上单调递增，且为偶函数，则y ＝lg |sin x|也是以π为周期且在（0，π2 ）上单调递增的偶函数，故D 正确．答案：CD10．解析：因为f （x ）图象相邻的对称中心与对称轴的距离为π4 ，所以最小正周期T ＝π，故A 正确，B 不正确；因为ω＝2πT ＝2，且2×π6 ＋φ＝π2 ＋kπ（k ∈Z ），|φ|<π2 ，所以φ＝π6 ，故C 正确，D 不正确．答案：AC11．解析：y ＝sin （2x ＋π4 ）＝sin [2（x ＋π8 ）]向右平移π8 个单位长度，得y ＝sin 2x ，再将横坐标扩大2倍得到y ＝sin x ，故A 正确，B 错误；y ＝sin （2x ＋π4 ）横坐标扩大2倍，得到sin （x ＋π4 ）再向右平移π4 个单位长度得到y ＝sin x ，故C 正确，D 错误．答案：AC12．解析：根据题意，g （x ）＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π6）－π3 ＝cos （2x －2π3 ），则周期T ＝2π2 ＝π，A 正确；对B ，令2x －2π3 ＝π2 ＋kπ（k ∈Z ）⇒x ＝7π12 ＋kπ2（k ∈Z ），B 正确；对C ，令2kπ≤2x －2π3 ≤π＋2kπ（k ∈Z ）⇒π3 ＋kπ≤x≤5π6 ＋kπ（k ∈Z ），即函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋kπ，5π6＋kπ （k ∈Z ），C 正确；对D ，因为y ＝－sin （2x －π6 ）＝－sin （2x －2π3 ＋π2 ）＝－cos （2x －2π3 ），D 错误．答案：ABC13．解析：因为α为锐角，且sin α＝34 ，则cos α＝1－sin2α ＝74 ，因此，cos （π－α）＝－cos α＝－74 .答案：－7414．解析：由T 2 ＝5π12 －（－π12 ）＝π2 知，T ＝π，ω＝2ππ ＝2，由五点法可知，2（－π12 ）＋φ＝0＋2kπ（k ∈Z ），即φ＝π6 ＋2kπ（k ∈Z ），又|φ|<π，所以φ＝π6 .答案：π615．解析：因为f （x ）＝2cos x －cos 2x ，所以f （x ）＝－2cos2x ＋2cosx ＋1，令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，所以函数f （x ）＝2cos x －cos 2x 等价于y ＝－2t2＋2t ＋1，t ∈[－1，1]，又y ＝－2t2＋2t ＋1＝－2（t －12 ）2＋32 ，t ∈[－1，1]，当t ＝12 时，ymax ＝32 ，即函数f （x ）＝2cos x －cos 2x 的最大值为32 .答案：3216．解析：第一空：由f （x ）＝sin x ＋cos x ＝ 2 sin （x ＋π4 ）可得g （x ）＝2 sin （x －a ＋π4 ），易得g （x ）的最大值为 2 ；第二空：若f （x ）＋g （x ）的值域为{0}，则f （x ）＋g （x ）＝ 2 sin （x ＋π4 ）＋ 2 sin （x －a ＋π4 ）＝0恒成立，即sin （x ＋π4 ）＝－sin （x －a ＋π4 ），又sin （x ＋π4 ）＝－sin （x ＋π4 ＋π＋2kπ），k ∈Z ，故x －a ＋π4 ＝x ＋π4 ＋π＋2kπ，解得a ＝－π－2kπ，又a>0，故当k ＝－1时，a 的最小值为π. 答案： 2 π。

高考考前数学小题强化训练四

高考考前数学小题强化训练四时量：45分钟满分：70分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设|a n |是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ B ） A ．1 B ．2 C ．4D ．6【解析】等差数列的前3项和为12，则第2项是4，设公差为d ＞0，由条件可得(4 – d )×4×(4 + d ) = 48，得d = 2. 所以首项为2，选B. 2．若0＜α＜β＜4π，sin α+ cos α= a ，sin β+cos β=b ，则（ A ） A ．a ＜b B ．a ＞b C ．ab ＜1D ．ab ＞2【解析】a 2 = (sin α+cos α)2 = 1 + sin2α， b 2 = (sin β+cos β)2 = 1 + sin2β. 0＜α＜β＜4π，令α=6,12πβπ=，得a 2 = 1 +2321=，b 2 = 1 +.23223+=所以a 2＜b 2，又a ＞0，b ＞0，故a ＜b .选A.3．已知函数f (x ) = 2x 的反函数f –1 (x )，若f –1 (a )+ f –1 (b ) = 4，则ba 11+的最小值为（ B ） A ．1B ．21C ．31D ．41【解析】因为f (x ) = 2n ，所以其反函数为f – 1 (x ) = log 2 ab ，则f – 1(a ) + f – 1(b ) = 4，得log 2 a +log 2b = log 2 ab = 4，解得ab = 16..21161621621611==≥+=+=+ab b a abb a b a 故选B.4．设A (– 1，2)、B (2, – 2)、C (0，3)，M (a ，b )(a ≠0)是线段AB 上的一点，则直线MC 的斜率k 的取值范围是（ D ） A ．[1,25-] B ．[25,1-]C ．[1,0()0,25⋃-]D ．),1[]25,(+∞⋃--∞【解析】画出图形知k ≥k AC = 1，或k ≤k BC =25-∴k ∈(–∞，]25-∪[1，+∞)，故选D.5．设)1,0(),21,1(==ON OM，则满足条件0≤OMOP ,≤1，0≤ON OP ⋅≤1的动点P 的变动范围（图中阴影部分，含边界）是（ A ）【解析】设点P (x ，y )，则0≤(x ，y )·(1，21)≤l ，0≤(x ，y )·(0，1)≤1，即0≤x +21y ≤1，0≤y≤1. 因此动点P 的变化范围是A 中的阴影部分．故选A ．6．若正三棱锥P 一ABC 的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ D ）A ．1:3B ．1:(3 +3)C ．(3+ 1):3D ．(3– 1 ):3【解析】设正三棱锥侧棱长为a ，则底面边长为a 2，把正三棱锥补成正方体，它们的外接球相同，其半径为aR 23=，由体积法求得内切球半径为.313,633-=-=Rr a r故选D ．7．若m 、n 是不大于6的非负整数，则2626y C x C n m += 1表示不同的椭圆个数为（ C ） A ．27A B ．26C C ．24A D ．24C【解析】m 、n 分别可以取0，1，2，3，4，5，6，又因为462656166606,,C C C C C C ===，所以m C 6取值只有4个不同的值，故m C 6与n C 6的不同取值种数为24A ，从而选C.8．男女生共8人，从男生中选2人，女生中选1人，共有30种不同的选法，其中女生人数是（ D ） A ．2人 B ．3人 C ．4人D ．2人或3人【解析】设有n 个女生，则281n nC C -= 30， ∴n (8 – n ) (7 – n ) = 60，将2，3，4分别代入上式验算得D 正确. 9．若a ＞b ＞1，P =21,lg lg =⋅Q b a (lg a + lg b )，R =2lgb a +，则（ B ）A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q【解析】取a = 100，b = 10，则P =2，Q = 1.5，R =Q>-=>2lg 22110lg2110lg. 故选B.10．已知集合}2|{a x x M ≤≤-=，},32|{M x x y y P ∈+==，},|{2M x x z z T ∈==且P T ⊆，则实数a的取值范围是（ A ）A.321≤≤aB.32≤<-aC.32≤≤aD.221≤≤a【解析】因为}2|{a x x M ≤≤-=，}321|{+≤≤-=a y y P当}4|{022≤≤=⇒≤≤-z a z T a ，要使 P T ⊆，则21432≥⇒≥+a a （舍去）；当}40|{20≤≤=⇒<<z z T a ，要使 P T ⊆，则21432≥⇒≥+a a ，所以221<≤a ；当}0|{22a z z T a ≤≤=⇒≥，要使 P T ⊆，则31322≤≤-⇒≥+a a a ，所以32<≤a ；综合得：.321≤≤a二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．已知}32|),{(22=+=y x y x M ，N = {(x , y ) |y = mx + b }.若对于所有∈m R ，均有∅≠N M ，则b 的取值范围是]26,26[-.【解析】≠N M ∅相当于点(0,b)在椭圆132322=+y x上或它的内部,1322≤∴b.2626≤≤-∴b12．已知函数f (x ) =122+-xa 是R 上的奇函数，则f– 1(53) =2 .【解析】f (–x ) = – f (x )，即122+-xa =122++-xa ,∴a = 1；∵531221=+-x，∴12252+=x，∴x =2，即f– 1(53) = 2.13．设x , y满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤006,3y x y x x ，则该不等式组表示的平面区域的面积为36 . 【解析】如图，S =)]3(9[21--×[3 – (–3)] =36. 14．nxx )22(3-的展开式中，前三项系数的绝对值依次组成一个等差数列，则展开式中第五项的二项式系数为70 （用数字作答）.【解析】前三项系数的绝对值依次为：1，211n C ，)21(2-n C 2，∴2×2141121nn C C +=，即n =1+8)1(-n n ，∴n = 1（舍去）或n = 8，则第五项的二项系系数为48C = 70.15．过双曲线1by ax 2222=-的右焦点F(c ，0)的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，则有NFMF+的定值为22b a2.类比双曲线这一结论，在椭圆1b y ax 2222=+(a ＞b ＞0)中，NFMF+是定值22ba 2-.【解析】用特值法去研究.。

河南省信阳市2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(强化卷)完整试卷

河南省信阳市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知小张每天早上在7：00∼8：00中的任一时刻随机出门上班，他订购的报纸每天在7：30∼8：10中的任一时刻随机送到，则小张在出门时能拿到报纸的概率为（）A．B．C．D．第(2)题已知命题，命题，且的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是（）A．B．C．D．第(4)题已知全集，，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知函数在上有最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办世界性综合运动会.该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项，其中，篮球项目比赛、热身和训练在凤凰山体育公园等8个体育场馆举行.将5名志愿者分配到3个场馆，每个场馆至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一个场馆，则志愿者甲、乙到同一场馆的概率为（）A．B．C．D．第(7)题已知复数满足，则复数的模（）A．B．C．D．第(8)题已知为虚数单位，复数满足，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知直线与曲线有公共点，则整数k的取值可以为（）A．0B．1C．2D．3第(2)题已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率C．椭圆的短轴长为4D．的面积的最大值是4第(3)题瑞士数学家欧拉(E uler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是（）A．(2,0)B．(0,2)C．(－2,0)D．(0,－2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知平面向量满足，，若，则的夹角的余弦值为____________．第(2)题不等式的解集为___________.第(3)题已知等差数列和的前n 项和分别为和，且，则________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．第(2)题已知A 、B 分别为椭圆的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，M 是椭圆Γ上异于A 、B 的点．(1)若，求椭圆Γ的标准方程；(2)设直线l ：y ＝2与y 轴交于点P ，与直线MA 交于点Q ，与直线MB 交于点R ，求证：的值仅与a 有关；(3)如图，在四边形MADB 中，MA ⊥AD ，MB ⊥BD ，若四边形MADB 面积S 的最大值为求a 的值．第(3)题如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C1：＋y 2＝1，椭圆C 2：＋＝1(a >b >0)，C 2与C 1的长轴长之比为∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程；(2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．第(4)题2019年12月武汉出现的不明原因的病毒性肺炎，后发现这种肺炎传染性极强，春节到来时中央发出了武汉封城，全国停工停产，学校停课的决定.到2022年底，各地疫情不断，因学校是人员密集场所，所以会根据疫情情况不定时的停课.停课不停学，师生们开始了在家网课教与学的常态化状态.某网站为疫情在家学习的学生们提供了“学习强国”APP 的学习平台.某校为了调研学生在该APP 学习情况，研究人员随机抽取了2000名学生进行调查，将他们在该APP 上学习的时间转化为分数，最长的学习时间赋为100分，最短的学习时间为0分，某两天的分数统计如下表所示：分数人数5001000200300(1)现用分层抽样的方法从80分及以上的学员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数都在上的概率；(2)为了调查学生的学习情况是否受到家庭的影响，研究人员随机抽取了500名学生作出调查，得到的数据如下表所示：有人陪伴在身边学习独自学习分数超过80220110分数不超过808090判断是否有的把握认为“学习强国”APP得分情况受是否有人陪伴的影响．附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828第(5)题如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，//，，，，，分别是线段，的中点.(1)求证：//平面；(2)求四棱锥的体积.。