2014年9月高等数学下 作业题

2014年度第一学期《高等数学B （下）》练习题

说明：

1、 此练习供自学后和考前复习用；

2、 注意批注的题型归纳，自己练习时注意总结方法和举一反三；

3、 根据课程导学、重难点及期末复习提纲进行针对性的练习（题型归纳）。

祝 同 学 们 学 习 顺 利！

判断题

1. 若(,)f x y 的偏导数存在, 则(,)f x y 可微. 错

2. 若(,)f x y 的偏导数存在, 则(,)f x y 连续. 错

3．若(,)f x y 可微，则

,f f x y

∂∂∂∂存在. 对 4．若(,)f x y 可微，则(,)f x y 连续. 对

5．若00(,)x y 是(,)f x y 的极值点，则00(,)x y 是(,)f x y 的驻点 错

6．若00(,)x y 是(,)f x y 的极值点，且函数在点00(,)x y 的偏导数存在，则00(,)x y 是(,)f x y 的驻点 对 7. 二重积分

(,)D

f x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 错

8．当(,)0f x y ≥时，二重积分

(,)D

f x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 对

9. 若积分区域D 关于y 轴对称，则

sin 0.D

xd σ=⎰⎰ 对

10．若积分区域D 关于x 轴对称，则

sin 0.D

y xd σ=⎰⎰ 对

11．微分方程()3

4

0xy yy y '''++=阶数为3. 错

12．微分方程sin cos cos sin y xdx x ydy =是变量可分离微分方程 对

13．微分方程

2

cos sin dy y x dx x

-=是一阶线性微分方程. 错

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

填空题

14. 函数22

1

(,)ln(1)

f x y x y =

+-定义域为222212x y x y +>+≠且. 15. 2xy

z =, 则x z =2ln 2xy y ,y z =2ln 2xy x .

16. (,)D

D y y x f x y d σ==⎰⎰若是由所围成,在计算二重积分

时定限为10

(,)x

dx f x y dy ⎰，

或

2

10

(,).y y d y f x y dx ⎰⎰

17. 设222,D x y R +≤是圆域2

D

x d σ⎰⎰则在化为极坐标计算时应为

2320

cos R

d r dr π

θθ⎰

⎰.

2D

y d σ⎰⎰在化为极坐标计算时应为2320

sin R

d r dr π

θθ⎰

⎰.

18. 22(1)(1)0y dx x dy +++=的通解为arctan arctan x y C +=. 解答题

19. (,)z z z x y xy yz xz e =++=已知函数由方程确定,求

z x ∂∂和z

y

∂∂. .d d d ,

,,,,(,,.

,)d d d z z x y z y x x y z z z z x z y z xy yz xz e F y z F x z F x y e F F y z x z

z z F e x y z z x z y F x y z z F e x y

y z x z

e x y e x y

x y ++-=+=+=+-++=-==-=----++=+==

+----解从而以令则，所

20. 2

2

2

2

(,)(,),x y x y z f x e g e y ++=-设f g

其中，具有连续偏导数，,.z z

x y

∂∂∂∂求

22222222122212.

22,22.x y x y x y x y z

f xe f xe

g x

z

ye f ye g g y

++++∂'''=+-∂∂'''=--∂解

21.计算二重积分 2sin D

y d σ⎰⎰，其中D 是由,1y x y ==及y 轴所围成的有界闭区域. 1

(1cos1).2-

120

1

20

1

220210

.=d sin d sin d 1sin d()21

cos |21

(1cos1).2

y

y y y

y y y

y y y ===-=-⎰⎰⎰⎰解原积分 22.计算二重积分 22cos(+)D

x y d σ⎰⎰，其中22:+16D x y ≤.

24

20

422

024

0.=d (cos )d 12cos d()2sin |sin16.

r r r

r r r πθπππ=⋅==⎰⎰⎰解原积分 23.求解微分方程22()()0

(2)1

xy x dx y x y dy y ⎧++-=⎨=⎩的通解.

解. 这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得，

22222222d d 11d d 11111

ln(1)ln(1)ln ,222

3

,2

3(1)2(1)

x y x y x y x y x y

x y x y C C y x =-+=-+-=++=+=-⎰⎰由初始条件，可得所以解为：

24.求解微分方程 2

1

.1

xy y x '++=