2015届高考数学二轮复习专题检测：算法初步、复数、推理与证明(含解析)

2015届高考数学二轮复习专题检测：算法初步、复数、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·武汉市武昌区调研)已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A ．12－12iB ．72－12iC ．12＋12iD ．72＋12i [答案] C [解析]2＋i 3－i ＝2＋i3＋i 3－i3＋i＝5＋5i 10＝12＋12i. 2．(文) (2014·济南模拟)复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] A[解析] z ＝i1＋i ＝i1－i 1＋i1－i ＝1＋i 2＝12＋i 2，所以复数z 对应的点为(12，12)，在第一象限．(理) (2014·郑州六校质量检测)设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，若z1＋i＝2－i 成立，则点P(a ，b)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] A[解析] 因为z1＋i＝2－i ，所以z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，所以点P(a ，b)在第一象限．3．(文)(2014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 本题考查了程序框图的相关概念． S1：n ＝1,21>12→是， S2：n ＝2,22>22→否， 输出n ＝2.关键是理解赋值语句n ＋1及条件2n>n2. (理)(2014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．18B ．20C ．21D ．40 [答案] B[解析] 本题考查程序框图，当n ＝1时，S ＝3，当n ＝2时，S ＝3＋22＋2＝9，当n ＝3时，S ＝9＋23＋3＝20>15，故输出S ＝20.4．若下边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为( )A ．n≤15B ．n≤6C ．n≤7D ．n≤8 [答案] B[解析] 由程序框图可知这是计算S ＝0＋2＋22＋…＋2n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2的程序，当S ＝2n ＋1－2＝126时，即2n ＋1＝128，解得n ＝6， 此时n ＝n ＋1＝7，不满足条件，所以选B ．5．(文)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d ，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( ) A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 [答案] C[解析] 因加密规则可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝142b ＋c ＝92c ＋3d ＝234d ＝28⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4c ＝1d ＝7.故明文为6,4,1,7.(理)设M ＝(1a －1)(1b －1)(1c －1)，且a ＋b ＋c ＝1(a ，b ，c 均为正数)，由综合法得M 的取值范围是( ) A ．[0，18]B ．[18，1)C ．[1,8]D ．[8，＋∞) [答案] D[解析] 由a ＋b ＋c ＝1，M ＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋bc )≥8(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．) 6．(2015·济南模拟)下面有四个命题： ①集合N 中最小的数是1；②若－a 不属于N ，则a 属于N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2； ④x2＋1＝2x 的解集可表示为{1,1}． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] A[解析] ①假命题，集合N 中最小的数是0；②假命题，如a ＝12时，命题不成立；③假命题，如a ＝0，b ＝1，则a ＋b ＝1；④假命题，{1,1}与集合中元素的互异性矛盾，其解集应为{1}． 7．(文) 设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋i2的虚部是( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i [答案] A[解析] 因为z ＝1－i(i 是虚数单位)，所以复数2z ＋i2＝21－i＋i2＝1＋i －1＝i ，所以复数2z ＋i2的虚部是1.(理)设复数z ＝1＋bi(b ∈R)且|z|＝2，则复数z 的虚部为( ) A ． 3 B ．± 3 C ．±1 D ．±3i [答案] B[解析] z ＝1＋bi ，且|z|＝2，即1＋b2＝4，解得b ＝± 3.8．(文)已知M 是ex ＋e －x 的最小值，N ＝2tan22.5°1－tan222.5°，则下图所示程序框图输出的S 为( )A ．2B ．1C ．12D ．0[答案] A[解析] ∵ex ＋e －x≥2ex·e －x ＝2，∴M ＝2，N ＝2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1，所以M>N ，又框图的功能是求M ，N 中的较大值，故输出的值为2.(理) 已知函数y ＝1x 与x ＝1，x 轴和x ＝e 所围成的图形的面积为M ，N ＝tan22.5°1－tan222.5°，则程序框图输出的S 为( )A ．1B ．2C ．12D ．0[答案] C[解析] 因为2N ＝2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1，所以N ＝12，M ＝⎠⎛1e 1x dx ＝lnx|e 1＝1，所以M>N ，又框图的功能是求M ，N 中的较小值，故输出的值为12.9．(2014·新课标Ⅱ)执行下图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] D[解析] 本题考查程序框图的基础知识． x ＝2，t ＝2，变量变化情况如下：MS k 1 3 1 2 5 2 273故选D ．10．(文)设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若ax ＝by ＝2，a2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 因为ax ＝by ＝2，所以x ＝loga2，y ＝logb2，所以2x ＋1y ＝2log2a ＋log2b ＝log2(a2b)≤log2(a2＋b2)2＝2，当且仅当a2＝b ＝2时取等号．(理) 定义在R 上的函数y ＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x －32)f ′(x)<0，若x1<x2，且x1＋x2>3，则有( )A ．f(x1)<f(x2)B ．f(x1)>f(x2)C ．f(x1)＝f(x2)D ．不确定 [答案] B[解析] 因为函数y ＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，所以函数y ＝f(x)的对称轴为x ＝32.又因为(x －32)f ′(x)<0，所以x<32时，f ′(x)>0，x>32时，f ′(x)<0，所以函数y ＝f(x)在(－∞，32]上单调递增；在[32，＋∞)上单调递减．又因为x1<x2，且x1＋x2>3，所以3－x2<x1<x2，且x2∈(32，＋∞)，观察图像，得f(x1)>f(x2)．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)(2014·北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R)，则x ＝________. [答案] 2[解析] 本题考查了复数乘法、复数相等的知识． (x ＋i)i ＝－1＋xi ＝－1＋2i ，x ＝2.(理)(2014·北京高考)复数(1＋i1－i )2＝________.[答案] －1[解析] 本题考查了复数的运算． 复数1＋i 1－i ＝1＋i21－i1＋i ＝2i 2＝i ，故(1＋i 1－i)2＝i2＝－1. 12．在复平面上，复数32－i2对应的点到原点的距离为________．[答案] 35[解析] 复平面上复数z 对应的点到原点的距离就是它的模，而|32－i2|＝3|2－i|2＝35，本题不需要把复数化简为a ＋bi(a ，b ∈R)形式． 13．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中横线上应填入的数字是________． [答案] 10[解析] 由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132＝11×12，故循环两次，故判断框中应填k≤10.14．观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N*，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2nn ＋1×12n ＝________. [答案] 1－1n ＋1·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－122 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，所以对于n ∈N*，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2nn ＋1×12n ＝1－1n ＋12n .15．(2015·温州适应性测试)已知cos π3＝12， cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是____________________________________； (2)若数列{an}中，a1＝cos π3，a2＝cos π5cos 2π5，a3＝cos π7·cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和Sn ＝10231024，则n ＝________.[答案] (1)cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N*) (2)10[解析] (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为12n ，故可以猜想出结论为 cosπ2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N*)． (2)由(1)可知an ＝12n ，故Sn ＝12[1－12n]1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝10231024，∴n ＝10.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m2＋5m ＋6)＋(m2－2m －15)i ； (1)与复2－12i 相等？(2)与复数12＋16i 互为共轭复数？ (3)对应的点在x 轴上方？[解析] (1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m2＋5m ＋6＝2，m2－2m －15＝－12.解得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m2＋5m ＋6＝12，m2－2m －15＝－16.解得m ＝1.(3)根据复数z 对应的点在x 轴上方可得m2－2m －15>0，解得m<－3或m>5. 17．(本小题满分12分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b 件．经市场调查得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的程序框图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？ [解析] (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为Si(0≤i≤n ，i ∈N)．由题意，Si ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，i ＝0，Si －1＋b2i ，1≤i≤n ，i ∈N*. 于是当i ＝n 时，Sn ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b 2n )＝b(2－12n )(n ∈N)．所以，该产品每天销售量S(件)与电视广告播放量n(次/天)的函数关系式为S ＝b(2－12n )，n ∈N.(2)由题意，有b(2－12n )≥1.9b ⇒2n≥10⇒4(n ∈N*)．所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天广告的播放量至少需4次．18．(本小题满分12分)求证关于x 的方程ax2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1. [分析] 需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a ＝0，a<0和0<a ≤1三种情况证明；证必要性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件. [证明] 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0， 其根为x ＝－12，方程有一个负根，符合题意．当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程ax2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实根，且1a <0，方程有一正一负根，符合题意．当0<a≤1时，Δ＝4－4a≥0， 方程ax2＋2x ＋1＝0有实根，且⎩⎨⎧－2a <01a >0，故方程有两个负根，符合题意．综上知：当a≤1时，方程ax2＋2x ＋1＝0至少有一个负根． 必要性：若方程ax2＋2x ＋1＝0至少有一个负根． 当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x ＋1＝0应有一正一负或两个负根．则1a <0或⎩⎨⎧Δ＝4－4a≥0－2a <01a >0.解得a<0或0<a≤1.综上知：若方程ax2＋2x ＋1＝0至少有一负根则a≤1.故关于x 的方程ax2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.19．(本小题满分12分)设复数z ＝lg(m2－2m －2)＋(m2＋3m ＋2)i ，当实数m 取何值时． (1)z 是纯虚数． (2)z 是实数．(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lgm2－2m －2＝0，m2＋3m ＋2≠0.解得m ＝3.所以当m ＝3时，z 是纯虚数． (2)由m2＋3m ＋2＝0， 得m ＝－1或m ＝－2，又m ＝－1或m ＝－2时，m2－2m －2>0， 所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lgm2－2m －2<0，m2＋3m ＋2>0.即⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －2>0m2－2m －3<0m2＋3m ＋2>0解得：－1<m<1－3或1＋3<m<3.所以当－1<m<1－3或1＋3<m<3时，z 对应的点位于复平面的第二象限．20．(本小题满分13分)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．[解析] A 、B 、C 成等差数列． 证明如下：∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，∴a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3. ∴c a ＋b ＋a b ＋c＝1， ∴c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)， ∴b2＝a2＋c2－aC ．在△ABC 中，由余弦定理，得 cosB ＝a2＋c2－b22ac＝ac 2ac ＝12， ∵0°<B<180°，∴B ＝60°. ∴ A ＋C ＝2B ＝120°.∴A 、B 、C 成等差数列． 21．(本小题满分14分)已知数列{an}中，Sn 是它的前n 项和，并且Sn ＋1＝4an ＋2(n ＝1,2，…)，a1＝1.(1)设bn ＝an ＋1－2an(n ＝1,2，…)，求证：数列{bn}是等比数列； (2)设cn ＝an2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{cn}是等差数列； (3)(理)求数列{an}的通项公式及前n 项和公式．[解析] (1)证明：∵Sn ＋1＝4an ＋2，∴Sn ＋2＝4an ＋1＋2， 两式相减，得Sn ＋2－Sn ＋1＝4an ＋1－4an(n ＝1,2，…)， 即an ＋2＝4an ＋1－4an ，变形得an ＋2－2an ＋1＝2(an ＋1－2an)．∵bn ＝an ＋1－2an(n ＝1,2，…)，∴bn ＋1＝2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列． (2)证明：由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1， ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3， 由(1)知bn ＝3·2n －1，又cn ＝an2n .∴cn ＋1－cn ＝an ＋12n ＋1－an 2n ＝an ＋1－2an 2n ＋1＝bn 2n ＋1.将bn ＝3·2n －1代入得cn ＋1－cn ＝34(n ＝1,2，…)． 由此可知，数列{cn}是公差d ＝34的等差数列． (3)由(2)得：c1＝a12＝12，故cn ＝34n －14. ∵cn ＝34n －14＝14(3n －1)，∴an ＝2n·cn ＝(3n －1)·2n －2(n ＝1,2，…)． 当n≥2时，Sn ＝4an －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2. 由于S1＝a1＝1也适合于此公式，所以{an}的前n 项和公式为Sn ＝(3n －4)·2n －1＋2.。