第二章 轴向拉伸和压缩
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第二章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2−1 轴向拉伸和压缩的概念
F
(图2−1)则为轴向拉伸，此时杆被
2−1虚线)；若作用力F 压缩杆件(
图
(图2−2工程中许多构件，(图2−3)、各类
(图2−4)等，这类结构的构
2−1和图2−2。 § 2−2 内力·截面法·轴力
及轴力图
一、横截面上的内力——轴力
图2−5a 所示的杆件求解横截面m
−m 的内力。按截面法求解步骤有：可在
此截面处假想将杆截断，保留左部分或右
部分为脱离体，移去部分对保留部分的作用，用内力来代替，其合力F N ，如图2−5b 或图2−5c 所示。
对于留下部分Ⅰ来说，截面m −m 上的内力F N 就成为外力。由于原直杆处于平
衡状态，故截开后各部分仍应维持平衡。根据保留部分的平衡条件得 m
F N F N
（a ）
（b ） （c ）
图2−5
Ⅱ
图2−1
图2−2
图2-4
F F F F F
x
==-=∑N N ,
0,
0 (2−1)
式中，F N 为杆件任一截面m −m 上的内力，其作用线也与杆的轴线重合，即垂直于横截面
并通过其形心，故称这种内力为轴力，用
符号F N 表示。 若取部分Ⅱ为脱离体，则由作用与反作用原理可知，部分Ⅱ截开面上的轴力与前述部分上的轴力数值相等而方向相反(图2−5b,c)。同样也可以从脱离体的平衡
条件来确定。 二、轴力图
当杆受多个轴向外力作用时，如图
2−7a ，求轴力时须分段进行，因为AB 段
的轴力与BC 段的轴力不相同。 要求AB 段杆内某截面m −m 的轴力，则假想用一平面沿m −m 处将杆截开，设取左段为脱离体(图2−7b)，以F N Ⅰ代表该截面上的轴力。于是，根据平衡条件∑F x ＝0，有 F F -=ⅠN
材力第2章：轴向拉伸与压缩
1、 = 0 :
0
max =
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。
2、 = 45 :
0
max =
min
1
= -源自文库5 :
0
2 1 =- 2
轴向拉压杆件的 最大切 应力发生在与杆轴线成
450截面上。
0
45
F
-45
- 45
0
45
0
0
(切应力互等定理)
3、 = 90 :
FN1 A1 = - 50 10 N
3
( 0 . 24 m ) ( 0 . 24 m )
F
F
6 = - 0 . 87 10 Pa = - 0 . 87 M Pa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
4000
150KN
2
=
FN 2 A2
=
- 150 10
3
N
0 . 37
6
m 0 . 37 m
则 A = A cos
斜截面面积记作A ， 设横截面面积为A
p＝ N A = P A cos = cos
将p正交分解
＝ p cos = cos =
2
2
p
+
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
3
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
4
二、
工 程 实 例
5
§2–2 拉伸与压缩时直杆横截面上的内力、应力
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。 轴向力的符号规定：垂 直于截面向外的力为正 ，向内的力为负。 轴力图：表示轴力大 小与截面位置关系的 图
b′ d′
△l＝l -l
1
0
, 拉伸为正，压缩为负。
二、拉压杆的相对变形
P
a′ c′
P
x +d x LL+d 1 L
l lim l
正应变，线应变。
22
三、拉压杆的胡克定律：在一定范围内，杆件所发生的拉压变形与 所受力及原始长度成正比，而与其横截面成反比。
P
P
PL L A L PL SL EA EA
6
二、截面法 ·轴力与轴力图 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
4
二、
工 程 实 例
5
§2–2 拉伸与压缩时直杆横截面上的内力、应力
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。 轴向力的符号规定：垂 直于截面向外的力为正 ，向内的力为负。 轴力图：表示轴力大 小与截面位置关系的 图
b′ d′
△l＝l -l
1
0
, 拉伸为正，压缩为负。
二、拉压杆的相对变形
P
a′ c′
P
x +d x LL+d 1 L
l lim l
正应变，线应变。
22
三、拉压杆的胡克定律：在一定范围内，杆件所发生的拉压变形与 所受力及原始长度成正比，而与其横截面成反比。
P
P
PL L A L PL SL EA EA
6
二、截面法 ·轴力与轴力图 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
第二章轴向拉伸和压缩
20kN
A
B
C
D
E
R
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
20kN E
15
求 AB 段内的轴力
R
A
R
40kN B
1
FN1
55kN 25kN
C
D
20kN E
计算符号
FN1-R=0 FN1=R= + 10kN (+)
轴力符号
16
求 BC 段内的轴力
R
A
R
40kN B
55kN 25kN
C
D
2
20kN E
切应力：对研究对象任一点
顺时针为正
F
取矩。
逆时针为负
n
k
x
k p
k
p
k
51
S cos cos2
F
S
sin
2
sin
2
(1) 当 = 0 时，max =
拉压杆最大正应力发生在横
F
截面上。且在此截面上切
应力为零。
n
k
x
k p
k
p
k
52
S cos cos2
F
S sin
F
p A F
p
F A
材料力学课件第二章 轴向拉伸和压缩
2.3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
qL
FN (x)max = -F (x)max = -qL
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
例3 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，
试画出杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
自由端。取距左侧微小段dx为对象
，截面左侧所受外力dF为：
L
q(x)dx
内力：变形固体在受到外力作用 时，变形固体内部各相邻部分之 间的相互作用力的改变量。
①②③ 切加求 一内平 刀力衡
应力:是内力分布集度，即 单位面积上的内力
p＝dF/dA
F
F
FX = 0
金属材料拉伸时的力学性能
低碳钢(C≤0.3%)
Ⅰ 弹性阶段σe σP=Eε
Ⅱ 屈服阶段 屈服强度σs 、（σ0.2）
第二章 轴向拉伸和压缩及连接件的强度计算
•2.1 轴向拉伸和压缩的概念与实例 •2.2 拉压杆截面上的内力与应力 •2.3 材料在拉伸或压缩时的力学性能 •2.4 圣维南原理、应力集中 •2.5 失效、许用应力与强度条件 •2.6 胡克定律与拉压杆的变形 •2.7 简单拉压超静定问题 •2.8 连接件的强度计算
例3 铜丝直径d=2mm，长l=500mm， 材料的拉伸曲线如图 所示。如欲使铜丝的伸长为30mm， 则大约需加多大的力 FP？
材料力学 第2章轴向拉伸与压缩
a ： 横截面逆时针转至斜截面为正
P
sa
a pa
a
28
sasco 2ass 2(1co2as)
ascoass
ianss
2
i2n a
讨论
σ：横截面 上的正应力
当a = 0°时，
(sa)ma xs, a0 (横截面上存在最大正应力)
当a = 90°时， (sa)mi n0,a0 (纵截面上无应力)
② 不适用于集中力作用点附近的区域
21
拓展
s FN A
（1）若轴力沿轴线变化，则 FN=FN(x）
（2）对变截面杆，当截面变化缓慢时，外 力合力与轴线重合，横截面上的正应力也近 似为均匀分布，可有：
s ( x) FN ( x)
A( x)
小锥度杆承受轴向力， 横截面上除正应力σ 外， 还有切应力τ
15mm×15mm的方截面杆。
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
第二章轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
低碳钢 s－曲线上的特征点：
比例极限sp 弹性极限se 屈服极限ss 强度极限sb
第二章 轴向拉伸和压缩
注意： 1. 低碳钢的ss，sb都还是以相应的抗力除以试样横截 面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而 它们是名义应力。 2. 低碳钢的强度极限sb是试样拉伸时最大的名义应力，
式中：E 称为弹性模量，单位为Pa； EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
第二章 轴向拉伸和压缩
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
s
E
←单轴应力状态下的胡克定律
s
s
第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形因数(泊松比) 对于轴向拉压杆，当应力不超过材料的比例极限时，
横向线应变'和纵向线应变的绝对值之比为一常数，此比
化阶段中，Δl=Δle+Δlp。
冷作硬化 冷作时效
第二章 轴向拉伸和压缩
(4) 阶段Ⅳ——局部变形阶段 试样上出现局部收缩—— 颈缩，并导致断裂。
第二章 轴向拉伸和压缩
低碳钢的应力—应变曲线(s － 曲线) 为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵 l F 坐标和横坐标换算为应力s和应变，即 s ， A l 其中：A—试样横截面的原面积， l—试样工作段的原长。
E
FN s 156 MPa 解：（1）横截面上的正应力： A s （2）纵向线应变： 7.8 10 4 ( E 200GPa ) E
工程力学：第2章 轴向拉伸与压缩
在1段 在2段 在3段
60kN
80kN
1
杆件中各轴段的正应力为：
ＦＮ
50kN
2
3
30kN
120 MPa
FN A
40
MPa
60
MPa
在1段 60kN
⊕
在2段
在3段
⊕ 30kN
Θ
20kN
例题
例 1 已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求： 截面 m-m 上的应力
解：1. 轴力与横截面应力
断裂时其延伸率很小（
0.4%~0.5%)
工程上用割线opr代替应 力应变曲线，以便利用 虎克定律
复合与高分子材料的力学性能
复合材料（碳/环氧）
高分子材料
材料压缩时的力学性能
塑性材料：低碳钢压缩
Et Ec
ts
cs 愈压愈扁
脆性材料：灰口铸铁压缩
cb= 3~4 tb
断口与轴线约成45o
材料力学
第2章 轴向拉伸与压缩
拉伸和压缩是杆件受力与变形形式中最简单的一 种。它所涉及的一些基本原理与方法比较简单， 但在材料力学中却有一定的普遍意义。
本章主要研究： 拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 拉压杆变形、简单静不定问题
连接部分的强度计算
§1 引言 §2 轴力与轴力图 §3 拉压杆的应力 §4,5 材料拉伸压缩时的力学性能 §6 应力集中概念 §7 失效、许可应力、强度条件 §8 连接部分的强度计算
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
该式表明：材料在弹性范围内，一点的正应力和线应变 成正比，即为线性关系。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-3 拉压杆的变形.胡克定律 一、轴向变形.胡克定律
d'
d
二、横向线应变、泊松比 横向线应变
F
l l'
F
d d d d d
l 轴向线应变 l FN l 胡克定律 l EA
C m
2、代替 3、平衡
F
x
0
F
A
C
FN
x
FN F 0 FN F
轴力
B F
FN
C
同样取右段杆，可得： FN F
左段梁与右段梁求出的 FN 等值、共线，但反向。 符合作用力与反作用力定律. 轴力正负号的规定： 轴力的方向与横截面的外法线方向一致，使杆拉伸为正， 反之使得杆压缩为负.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 轴力及轴力图 二、轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F F ４=20kN
A
E D B C 0.6m 0.3m 0.5m 0.4m
当杆上受到多个外力作用时，不同 截面上的轴力则不同，为了反映不同 截面上的轴力，找到危险截面上的轴 力，即最大的轴力，通常绘制轴力图 来表示轴力沿杆轴线的变化规律。
第2章轴向拉伸和压缩
3.轴力图(Axial force graph)
轴向拉伸和压缩
为了表明横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，绘制轴力图
(1)轴力图：用平行于杆轴线的坐标表示横截面位置; 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的大小。
轴力图表示轴力与截面位置关系的图线。
例1 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
第二章 轴向拉伸和压缩 Axial Tension and Compression •第一节 轴向拉伸和压缩的概念 •第二节 内力、截面法、轴力及轴力图 •第三节 横截面及斜截面上的应力 •第四节 拉（压）杆的变形 · 胡克定律 •第五节 拉（压）杆的应变能
•第六节 材料在拉伸和压缩时的力学性能 •第七节 强度条件 · 安全系数 · 许用应力 •第八节 应力集中的概念
三、拉压杆斜截面上的应力(stresses on oblique planes)
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F ①全应力：
p
p=F Acos=0cos
F
②正应力：
FN
=p c o= sc2 o s
p
③切应力：
=ps
in =0s
2
i2 n
讨论:
2.截面法(method of sections)、轴力 轴向拉伸和压缩
第2章(轴向拉伸与压缩)
7.41 104
螺栓横截面上的正应力
E 200109 7.41104 148.2MPa
螺栓的横向正应变
0.3 7.41104 2.22104
螺栓的横向变形 d d1 2.22 104 15.3 103 3.4 106 m
l
l1
l2
FN1l1 EA
FN2l2 EA
8Fl1 E d 2
铸铁拉伸的断裂面为横截面，就是拉应力引起的。
(3) 90o， 0， 0
2．两个互相垂直截面的切应力关系
0
2
sin 2
90o
0
2
sin 2
90o
0 sin 2
2
90o
·切应力互等定律
过受力物体内任一点互相垂直的两个截面上的切 应力等值反向。
50o 0 cos2 125cos2 50o 51.6MPa
解：求1 、2杆的轴力
以节点B 为研究对象，受力图和坐标系如图。 建立平衡方程
Fx 0 : FN2 FN1 cos 45o 0 Fy 0 : FN1 sin 45o F 0
解得： FN1 2F (拉)
FN2 F (压)
FN1 2F (拉) FN2 F (压)
确定载荷的最大许用值
1杆强度条件
FN1 2F At
F At 100106 200106 14.14kN
材料力学(I)第2章 轴向拉伸和压缩
材料力学(Ⅰ)电子教案
轴向拉伸和压缩
11
例题 2-1
10kN
40kN
以图d为分离体，由SFx=0，得 FN2=50 kN(拉力)
材料力学(Ⅰ)电子教案
轴向拉伸和压缩
12
例题 2-1
取截面3－3右边为分离体（图e），假设轴力为 拉力。
由SFx=0，得FN3= -5 kN （压力）。
25kN
(e) 同理，FN4=20 kN (拉力)
应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
材料力学(Ⅰ)电子教案
轴向拉伸和压缩
23
Ⅱ 拉(压)杆横截面上的应力
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等 时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力— —轴力FN ；横截面上各点处s 不相等时，特定条件 下也可组成轴力FN 。
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 150 10 N s2 A2 0.37 m 0.37 m
3
1.1 106 Pa 1.1 MPa
(压应力)
材料力学(Ⅰ)电子教案
轴向拉伸和压缩
30
例题 2-3
结果表明，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）
第2章 轴向拉伸和压缩(三版140222)
应变
线（正）应变 角（剪）应变
C D CD m CD
m DC E 2
2） 轴向拉压的纵向变形和胡克定律 纵向变形： Δl = l1 – l 线应变： 而
FP
l l1
FP
l l
FP A
通过实验，在线弹性阶段，有：
E
得拉压胡克定律:
FN l l EA
u
n
n —安全系数
—许用应力
s
ns 0.2 ns bc n b
塑性材料的许用应力
脆性材料的许用应力
bt
nb
二、 强度条件及强度计算
强度条件：
max
FN [ ] A
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 1、强度校核： 2、截面设计： 3、载荷计算：
1、变形方面 平面假设： 纵向均匀伸缩，横向无错动。 纵向纤维假设： 2、物理关系
const 0
3、静力关系
FN = dA A
A
FN A
符号:
拉应力为正， 压应力为负。
上式为横截面上的正应力σ计算公式。
4、推广
变截面杆
q
x
FN(x)
q
FP
FP
当 FN =FN（x）
第二章轴向拉伸和压缩
k
∴
pa
Fa Aa
F
A / cosa
F cosa
A
s 0 cosa
其中 s0 是横截面上的正应力。
pa 是斜截面上任意点的全应力，通常将其分解为 正应力和切应力。
k sa
F
pa
a
k
sa pa cosa s 0 cos2 a
a
pa
sina
s 0 cosa sina
s0
例1. 已知一圆杆受拉力F =25kN，直径d =14mm，
材料的许用应力为[s]=170MPa。试校核此杆是否满足
强度要求。
解： (1)求轴力
FN= 25kN (2)求最大的正应力
s max
FN A
25 103
142
162MPa
(3)校核强度 4
s max 162MPa s
轴向拉伸和压缩的概念 轴向拉（压）杆内的内力 轴向拉（压）杆内的应力 轴向拉（压）杆的强度计算 拉（压）杆的变形·胡克定律 材料拉伸和压缩时的力学性能 简单拉压超静定问题
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
工程结构及机械中常见的拉伸及压缩变形的构件： 起重机的吊缆
A
B
图2-1-1
桁架中的杆件
曲柄连杆机构
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m FN
m
x
FN F
（3）平衡。 (c)
FN m
F
m
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆
件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。
轴力的符号规定:
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
(a) F (b) F
(c)
(a) F (b) F
§2-2 内力. 截面法. 轴力及轴力图
一、内力
弹性体受力后，由于变形，其内部各点均会发生相对位移，
因而产生相互作用力。
F
FF
F
内力——由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互 作用的力的改变量。
根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分之间 的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内 力系的合成（力或力偶）
CB段：作截面2—2，取左段部分（图c），并假设 N 2 方向如图所示。由 X 0 ，N2 15 5 0
得 N2 10 kN （压力），方向应与图中所示方向相反。 （2）绘轴力图 选截面位置为横 坐标；相应截面 上的轴力为纵坐 标，根据适当比 例，绘出图线。
例2-2 试作图示杆的轴力图。
F q=F/l F
F
l
2l
l
解： 1、求支反力 FR = F
1
F2 q
FR
1
F 2
F F'=2ql FR
F
3 F
3
F
FR = F FR = F FR = F
FR = F
1
F2 q
1
F2
3 Fx
3
FN1 = F
Fq
FN3 = F
F N2
F
x1
F F Fx1
l
FN 2
F
x1
F
Fx 0
FN2
2F
- FR
-
Fx1 l
0
FN2
Fx1 l
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F
F q=F/l F
F
l
2l
l
FN
F
F
F
思考：
此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？
§2-3 轴向拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
一、应力：分布内力在一点的集度
F1
F2
F3
Fn
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义
不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或“ 失效”往往从内力
2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。 3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的 作用力。
4）平：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未知的内力。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理，以 免引起错误。
三、轴力
（1）截开； (a) F
m
F
（2）代替； (b) F
m
FN3 5kN( 压） FN3 3 F3
F4
3D
E
同理 FN4 20kN(拉） FN4 3
F4
3E
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
50
20 10
5
FN图(kN)
由轴力图可看出 FN,max FN2 50kN
例2-3：试作图示杆的轴力图。
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念
F
F
F
F
计算简图
轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸 轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩 1. 受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作 用线与杆件轴线重合，即称轴向力。 2. 变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
n
(e)
F
n
B
A
n
B
A
四、轴力图
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴 线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明 轴力与截面位置的关系，称为轴力图。
F
FF
F
F
FN图
F
FN图
例2-1 求图示杆件的内力，并作轴力图。
解：（1）计算各段内力 AC段：作截面1—1，取左段部分（图b）。 由 X 0 得 N1 5 kN （拉力）
材料力学(I)
中国地质大学工程学院力学课部 2020年8月7日
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念 §2-2 内力. 截面法. 轴力及轴力图 §2-3 轴向拉（压）杆横截面及斜截面上的应力 §2-4 轴向拉（压）杆件的变形. 胡克定律 §2-5 轴向拉（压）杆件的变形能 §2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §2-7 强度条件. 安全系数. 许用应力 §2-8 拉（压）杆超静定问题 §2-9 应力集中的概念
(c)
m
m
m FN
m
x
FN m
m
m
mm
m
x
m
m
F FN F
F
F FN F
F
注意：
用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物
体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系
替代。
n
m
F
n Fm
n
m
C
B
A
(a)
FN=F m
F
m
A
(b)
FN=F n
F
n
m
C
B
A
(d)
FN=0 m
m
A
FN=F
弹性体内力的特征: (1)连续分布力系
(2)与外力组成平衡力系(特殊情形下内力本身形成自相平衡
力系)
F1
F2
F3
Fn
杆件各截面上内力变化规律随着外力的变化而改变。
内力主矢与主矩
F1
FR
F3
M
在确定的坐标系中,轴力、剪 力、扭矩、弯矩及其可能产 生的变形效应。
FQ
FR
FN
Mx
MB
M
内力的正负号规则 同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
横截面1-1： 注意假设轴力为拉力
FR
1 FN1
A1
横截面2-2：
FR
F1
2 FN2
A
B2
FN1 10kN(拉） FN2 50kN(拉）
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
横截面3-3： 此时取截面3-3右边为分离体方便，
仍假设轴力为拉力。
集度最大处开始。
应力就是单位面积上的内力
全应力
参照图示，围绕M点取微小面积△A。根据均匀连续假设，
△A上必存在分布内力，设它的合力为△F ，与△A的比值为
FN FN
FQ FQ
二、截面法（求内力的一般方法）
假想用截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。
（1）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；（2） 被假想截开的任一部分上的内力必定与外力相平衡。
用截面法求内力可归纳为四个字：
1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两 部分。
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
600 300 500
1800
D
E
400
解： 求支反力 FR 10kN
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
m
x
FN F
（3）平衡。 (c)
FN m
F
m
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆
件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。
轴力的符号规定:
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
(a) F (b) F
(c)
(a) F (b) F
§2-2 内力. 截面法. 轴力及轴力图
一、内力
弹性体受力后，由于变形，其内部各点均会发生相对位移，
因而产生相互作用力。
F
FF
F
内力——由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互 作用的力的改变量。
根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分之间 的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内 力系的合成（力或力偶）
CB段：作截面2—2，取左段部分（图c），并假设 N 2 方向如图所示。由 X 0 ，N2 15 5 0
得 N2 10 kN （压力），方向应与图中所示方向相反。 （2）绘轴力图 选截面位置为横 坐标；相应截面 上的轴力为纵坐 标，根据适当比 例，绘出图线。
例2-2 试作图示杆的轴力图。
F q=F/l F
F
l
2l
l
解： 1、求支反力 FR = F
1
F2 q
FR
1
F 2
F F'=2ql FR
F
3 F
3
F
FR = F FR = F FR = F
FR = F
1
F2 q
1
F2
3 Fx
3
FN1 = F
Fq
FN3 = F
F N2
F
x1
F F Fx1
l
FN 2
F
x1
F
Fx 0
FN2
2F
- FR
-
Fx1 l
0
FN2
Fx1 l
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F
F q=F/l F
F
l
2l
l
FN
F
F
F
思考：
此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？
§2-3 轴向拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
一、应力：分布内力在一点的集度
F1
F2
F3
Fn
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义
不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或“ 失效”往往从内力
2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。 3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的 作用力。
4）平：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未知的内力。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理，以 免引起错误。
三、轴力
（1）截开； (a) F
m
F
（2）代替； (b) F
m
FN3 5kN( 压） FN3 3 F3
F4
3D
E
同理 FN4 20kN(拉） FN4 3
F4
3E
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
50
20 10
5
FN图(kN)
由轴力图可看出 FN,max FN2 50kN
例2-3：试作图示杆的轴力图。
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念
F
F
F
F
计算简图
轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸 轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩 1. 受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作 用线与杆件轴线重合，即称轴向力。 2. 变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
n
(e)
F
n
B
A
n
B
A
四、轴力图
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴 线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明 轴力与截面位置的关系，称为轴力图。
F
FF
F
F
FN图
F
FN图
例2-1 求图示杆件的内力，并作轴力图。
解：（1）计算各段内力 AC段：作截面1—1，取左段部分（图b）。 由 X 0 得 N1 5 kN （拉力）
材料力学(I)
中国地质大学工程学院力学课部 2020年8月7日
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念 §2-2 内力. 截面法. 轴力及轴力图 §2-3 轴向拉（压）杆横截面及斜截面上的应力 §2-4 轴向拉（压）杆件的变形. 胡克定律 §2-5 轴向拉（压）杆件的变形能 §2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §2-7 强度条件. 安全系数. 许用应力 §2-8 拉（压）杆超静定问题 §2-9 应力集中的概念
(c)
m
m
m FN
m
x
FN m
m
m
mm
m
x
m
m
F FN F
F
F FN F
F
注意：
用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物
体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系
替代。
n
m
F
n Fm
n
m
C
B
A
(a)
FN=F m
F
m
A
(b)
FN=F n
F
n
m
C
B
A
(d)
FN=0 m
m
A
FN=F
弹性体内力的特征: (1)连续分布力系
(2)与外力组成平衡力系(特殊情形下内力本身形成自相平衡
力系)
F1
F2
F3
Fn
杆件各截面上内力变化规律随着外力的变化而改变。
内力主矢与主矩
F1
FR
F3
M
在确定的坐标系中,轴力、剪 力、扭矩、弯矩及其可能产 生的变形效应。
FQ
FR
FN
Mx
MB
M
内力的正负号规则 同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
横截面1-1： 注意假设轴力为拉力
FR
1 FN1
A1
横截面2-2：
FR
F1
2 FN2
A
B2
FN1 10kN(拉） FN2 50kN(拉）
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
横截面3-3： 此时取截面3-3右边为分离体方便，
仍假设轴力为拉力。
集度最大处开始。
应力就是单位面积上的内力
全应力
参照图示，围绕M点取微小面积△A。根据均匀连续假设，
△A上必存在分布内力，设它的合力为△F ，与△A的比值为
FN FN
FQ FQ
二、截面法（求内力的一般方法）
假想用截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。
（1）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；（2） 被假想截开的任一部分上的内力必定与外力相平衡。
用截面法求内力可归纳为四个字：
1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两 部分。
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
600 300 500
1800
D
E
400
解： 求支反力 FR 10kN
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4 F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E