第六章离散系统的z域分析
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第6章离散时间体统z域分析ppt课件
a n
a
n
令 f (n) an x(n) ，则它的Z变换
F(z)
f (n)zn
a n x(n) z n
n
n
所以 an x(n) X ( z )
a
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.5 z域微分特性
若x(n)←——→X(z),收敛域为R，则nx(n)←→
z
dX (z) dz
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
u(n) U(z)
1 1 z1
,
z
1
u(n 1)
z1U (z)
z 1 1 z1 ,
z
1
(n)
u(n)
u(n
1)
1 1 z1
z 1 1 z1
1
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.2 移序特性
若 x(n)←——→X(z) 的 收 敛 域 为 A ， 则 x(n-n0)←—— →z-n0 X(z)的收敛域也为A，但在零点和无穷远点可能 发生变化。
z re j eT e jT
(6―11)
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2 Z变换的性质
6.2.1 线性特性 设x1(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为
B ， 则 有 ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z) 其 收 敛 域 为 A∩B （这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换 的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证 明从略。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
第六章 离散z域..
n n
n
k 0 n
n 1
f (k ) z k
1
右移后 f (k n) (k ) z F ( z ) z
若f (k )是因果序列, f (k ) f (k ) (k )
f (k－n) (k n) z n F ( z)
f (k n) (k n) z n F ( z ) z n f (k ) z k
Fs ( s)
k
f (t ) (t kT )e dt f ( kT )e skT
st
k
f (t )(t kT )
sT 引入一个新的复变量z，令 z e 或 s
则上式变为 F ( z )
k
1 ln z T
第6章 离散系统的Z域分析
第6章
本章要点
离散系统的Z域分析
6.1 6.2 6.3 6.4
Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 Z域分析
第6章 离散系统的Z域分析
6.0
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进
行分析。 Z变换 差分方程 代数方程
第6章 离散系统的Z域分析
6.1
一 Z变换的定义
f (t )
1
z
1
z
1
k 1
的Z变换。
a k k a k 1 k 1 a 1a k k 1
z a k za 1 z a k k 1 z a a k 1 a a
第6章 离散系统的Z域分析
f ( k ) f ( k )( k 1) 称为左边序列
n
k 0 n
n 1
f (k ) z k
1
右移后 f (k n) (k ) z F ( z ) z
若f (k )是因果序列, f (k ) f (k ) (k )
f (k－n) (k n) z n F ( z)
f (k n) (k n) z n F ( z ) z n f (k ) z k
Fs ( s)
k
f (t ) (t kT )e dt f ( kT )e skT
st
k
f (t )(t kT )
sT 引入一个新的复变量z，令 z e 或 s
则上式变为 F ( z )
k
1 ln z T
第6章 离散系统的Z域分析
第6章
本章要点
离散系统的Z域分析
6.1 6.2 6.3 6.4
Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 Z域分析
第6章 离散系统的Z域分析
6.0
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进
行分析。 Z变换 差分方程 代数方程
第6章 离散系统的Z域分析
6.1
一 Z变换的定义
f (t )
1
z
1
z
1
k 1
的Z变换。
a k k a k 1 k 1 a 1a k k 1
z a k za 1 z a k k 1 z a a k 1 a a
第6章 离散系统的Z域分析
f ( k ) f ( k )( k 1) 称为左边序列
第6章 离散系统的Z域分析
k→∞ Z→1
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
第六章 离散系统的z域分析
∞
因果 序列
Re[z]
k = −∞
∑
−1
−a z
k
−k
= ∑ − a −k z k
k =1
∞
= 1 − ∑ a −k z k
k =0
1 = 1− 1 − a −1 z
1 = 1 − az −1
z<a
序列的z变换， j Im[z] |a| 不仅要给出F(z) 函数，同时还] Re[z 需要给出收敛 域。
z F ( z) = z z−a
−1
f [k ] = Z −1{F ( z )} = a k −1ε (k − 1)
序列乘a 域尺度变换） 3、序列乘 k （z域尺度变换）
若 f (k ) ← F ( z ), α <| z |< β →
则 a k f (k ) ← F ( z / a), α | a |<| z |< β | a | →
→ a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z ) 则 a1 f1 ( k ) + a2 f 2 ( k ) ←
ROC： R f 1 ∩ R f 2
2、移位特性
f (k )
f (k + 1)
f ( k − 2)
0
k
0
k
0
k
a、双边 变换的移位
z
若
则
f (k ) ← F ( z ) ROC = R f →
k =0
其中z为复变量， 以其实部为横坐标 ， 虚部 其中 为复变量，以其实部为横坐标， 为复变量 平面。 为纵坐标构成的平面为 z 平面。 用符号记为： 用符号记为：
F(z) = z [f (k)] f (k) = z -1 [F(z) ]
因果 序列
Re[z]
k = −∞
∑
−1
−a z
k
−k
= ∑ − a −k z k
k =1
∞
= 1 − ∑ a −k z k
k =0
1 = 1− 1 − a −1 z
1 = 1 − az −1
z<a
序列的z变换， j Im[z] |a| 不仅要给出F(z) 函数，同时还] Re[z 需要给出收敛 域。
z F ( z) = z z−a
−1
f [k ] = Z −1{F ( z )} = a k −1ε (k − 1)
序列乘a 域尺度变换） 3、序列乘 k （z域尺度变换）
若 f (k ) ← F ( z ), α <| z |< β →
则 a k f (k ) ← F ( z / a), α | a |<| z |< β | a | →
→ a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z ) 则 a1 f1 ( k ) + a2 f 2 ( k ) ←
ROC： R f 1 ∩ R f 2
2、移位特性
f (k )
f (k + 1)
f ( k − 2)
0
k
0
k
0
k
a、双边 变换的移位
z
若
则
f (k ) ← F ( z ) ROC = R f →
k =0
其中z为复变量， 以其实部为横坐标 ， 虚部 其中 为复变量，以其实部为横坐标， 为复变量 平面。 为纵坐标构成的平面为 z 平面。 用符号记为： 用符号记为：
F(z) = z [f (k)] f (k) = z -1 [F(z) ]
[信号与系统]第6章 离散系统的Z域分析
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信号与系统第6章离散系统的z分析第第6章离散系统的z分析61z变换62z反变换63z变换的主要性质64离散系统的z域分析65系统函数hz66离散系统的稳定性67离散信号与系统的频域分析68数字信号处理信号与系统第6章离散系统的z分析上一章讨论了离散信号与系统的时域分析它的分析过程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处
z esT
的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散
时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为
因果序列，即 k < 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 k 0的
部分，则有
F (z) f (k )zk
（6.1-6）
k 0
式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双
f (k ) Z-1 [F (z )] F (z ) f (k )z- k k 0
Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和 围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。
6.2.1 幂级数展开法
由Z变换的定义
F (z ) f (k)zk f (0) f (1)z1 f (2)z-2 k 0
敛条件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会， 故一般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况 要复杂一些。例如
ak k 0 a, b为正实数
f (k)
bk k 0
双边Z变换为
1
F (z ) akz k bkz k (az 1)k (b1z )k
k 0
k
k 0
Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的 定义。
6.1.1 Z变换的定义
离散信号（序列）f (k) , f (1), f (0), f (1),
z esT
的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散
时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为
因果序列，即 k < 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 k 0的
部分，则有
F (z) f (k )zk
（6.1-6）
k 0
式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双
f (k ) Z-1 [F (z )] F (z ) f (k )z- k k 0
Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和 围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。
6.2.1 幂级数展开法
由Z变换的定义
F (z ) f (k)zk f (0) f (1)z1 f (2)z-2 k 0
敛条件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会， 故一般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况 要复杂一些。例如
ak k 0 a, b为正实数
f (k)
bk k 0
双边Z变换为
1
F (z ) akz k bkz k (az 1)k (b1z )k
k 0
k
k 0
Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的 定义。
6.1.1 Z变换的定义
离散信号（序列）f (k) , f (1), f (0), f (1),
离散系统的Z域分析
F ( z) z
n0 n
z z 1
即：
z u(n) z 1
z 同理： -u (-n-1) z 1
3．单位冲激序列
F ( z)
即：
n
( n) z
n
1
( n) 1
表6-1 常用离散序列的z变换对
6.2 z变换的性质
1、线性 a1x1 (n) a2 x2 (n) a1 X1 ( z) a2 X 2 ( z)
k m k x ( k ) z ] 1
m 1 m k x(n m) u(n) z X ( z ) x(k ) z k 0
3) 若f (k )是因果序列，其单边z变换为 f (k ) (k ) F ( z ) Z [ f (k－m) (k )] z m F ( z ) m 1 常用 m m k Z [ f ( k m ) ( k )] z F ( z ) z f ( k ) z k 0
n
归一化 T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
单边Z变换
二、Z变换的定义
单边Z变换
X ( z ) x ( n) z n
n 0
双边Z变换
X ( z)
n
x ( n) z
n
幂 - n中的n指出 x n 的位置
级数的系数是 x n
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
x n m un , x n m un 较x n un 的长度有所增减 .
（3）性质证明：
证明：若 f (n) (n) F ( z) 则 令
n0 n
z z 1
即：
z u(n) z 1
z 同理： -u (-n-1) z 1
3．单位冲激序列
F ( z)
即：
n
( n) z
n
1
( n) 1
表6-1 常用离散序列的z变换对
6.2 z变换的性质
1、线性 a1x1 (n) a2 x2 (n) a1 X1 ( z) a2 X 2 ( z)
k m k x ( k ) z ] 1
m 1 m k x(n m) u(n) z X ( z ) x(k ) z k 0
3) 若f (k )是因果序列，其单边z变换为 f (k ) (k ) F ( z ) Z [ f (k－m) (k )] z m F ( z ) m 1 常用 m m k Z [ f ( k m ) ( k )] z F ( z ) z f ( k ) z k 0
n
归一化 T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
单边Z变换
二、Z变换的定义
单边Z变换
X ( z ) x ( n) z n
n 0
双边Z变换
X ( z)
n
x ( n) z
n
幂 - n中的n指出 x n 的位置
级数的系数是 x n
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
x n m un , x n m un 较x n un 的长度有所增减 .
（3）性质证明：
证明：若 f (n) (n) F ( z) 则 令
信号与系统 第六章 离散时间系统的Z域分析
2z z X ( z) z 1 z 0.5
z 1, 即x n 为因果序列
x n = 2-0.5n u n
第六节 z变换的基本性 质
一、 Z变换的基本性质
１线性性：
若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
n
-n
<1 x(n) Rx1
即: z lim
n
看出：
z Rx1
则该级数收敛.其中Rx1是级数的收敛半径. 可见：右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。 1）如果n10，则收敛域包括z=。即收敛域为 z Rx1 2）如果n1<0，则收敛域不包括z=。即收敛域为 Rx1< z 3）如果n1=0，则右边序列变成因果序列，即因果 序列是右边序列的一种特殊情况，其收敛域为： z Rx1
b0 b1 z = a0 a1 z br 1 z r 1 br z r ak 1 z k 1 ak z k
对因果序列 z R为X z 的收敛域， 需k r保证X z 在z=处收敛。
逆Z变换
则（1）当X(z)仅含一阶极点时 X z 部分分式展开 k Am 先
二、 典型序列的Z变换
Z 1 单位样值序列 ( n ) 1
( n)
1
0
z , z 1 2 单位阶跃序列 u(n) z 1
Z
Z 3 斜变序列 nu(n)
n u ( n)
1
z
0
2
z 1
z , 1
n
典型序列的Z变换
4 单边指数序列 a u(n)
举例
求序列 a u(n) a u(n 1)的z变换.
第6章 离散时间系统的z域分析
1 | z | 1 2 | z | 2
例 求序列f (k ) cosh (2k ) (k )的z变换。
1 2k 由于 cosh ( k ) (e e 2 k ) 2 2 在单边指数序列a k ( k )的z变换中令a e 2 , 可得 z e (k ) , | z || e 2 | z e2 根据z变换的线性性质可得
f (k )
3
f ( k ) ( k ) 3
2
2
1
1 o 1 2
f ( k 1) 3 2
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k ) 3 2
1
k
1
1 o 1 2
f ( k 1)
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k )
3
k
3
2 1
1 o 1 2
k
1 o 1 2
k
(1)双边Z变换的移位 若 f (k ) F ( z )
k 0
该式称为单边Z变换。
将f ( k )的Z变换简记为Z [ f ( k )] ，象函数F ( z )的逆z变换 简记为Z
1
[ F ( z )] f ( k )与F ( z )两者间的关系简记为 ，
f (k ) F ( z )
在拉普拉斯变换分析中重点讨论了单边拉普拉斯 变换，这是由于在连续时间系统中，非因果信号 的应用较少。 对于离散系统，非因果信号也有一定的应用范围， 因此对单、双边z变换都进行讨论。
a
b
O
Re(z )
6.1.3 常见序列的Z变换
(k )
1
O
k
(k ) 1
第6章离散时间信号与系统的z域分析
2 双边ZT的移位特性p173
若 f [n] F(z), z : (a，b ) 则 f [n m] zmF(z), z : (a，b )
(m为整数)
5.时域反转特性p176
若 f [n] F (z), z : (a，b )
则：f [n] F (1), z : ( 1 ，1)
z
ab
3 序列指数加权（Z域尺度变换）特性 p174
证明： f1[n] f2[n] f1[n] f2[n]zn n
f1[k] f2[n k ]zn
n k
交换求和次序
f1[k ]
f
2[n
k
]z
k
k
n
当 z : (a2，b 2 ) f1[k]F2 (z)zk k
f1[k
]z
k
F2
(
z
)
k
当 z : (a1，b 1)F1(z)F2 (z)
z : (0.)
6.1.3 双边z变换的性质 p172
1 线性特性p172
若 f1[n] F1(z), z : (a1，b 1)
f2[n] F2 (z), z : (a2，b 2 )
则 c1 f1[n] c2 f2[n] c1F1(z) c2F2 (z), z : 公共部分
其中c，c 为常数 12
Z 1 F (z) 1 F (z)zn1dz f [n], z : (a， )
2j c
6.3.2 单边ZT的性质 p181
除具双边ZT的全部性质外，还具有如下性质： 1、序列乘线性加权（Z域微分）特性p181
若：f [n] F (z), z : (a， )
则：nf [n] zF / (z), z : (a， )
第六章 离散系统的z域分析
z z 1 3
1 2
序列部分和的z变换:
f ( n) ε ( n) =
∑
k =0
∞
f (k )ε (n k ) =
∑
k =0
n
f (k )
n f ( k ) = [ f ( n) ε ( n) ] k =0
∑ ∑
n z f (k ) = F (z) z 1 k =0
F ( z) =
3,指数序列
F (z) = = 1 + az
z n
[δ (n)]
∞ ∞
[δ (n)] = 1
2,阶跃序列 F ( z ) = [ε (n)] =
∑
n =0 1
∞
an zn =
∑
∞
( a n z 1 ) n
n =0
∑
n=0
ε ( n) z
n
=
∑
n =0
+ a2 z 2 + 1 = z za
∑
证明:
单边z变换:
[ f ( n m) ] ∑ f ( n m) z n = z m ∑ f ( n m) z ( n m )
n =0 n =0
∞
∞
令:k = n m
[ f ( n m) ] = z m ∑ f ( k ) z ( k )
k = m
∞
= z m
∑
k =0
n =0 k =0 n =0
∞
∞
∞
= F1 ( z ) F2 ( z )
零状态的响应:
∵ y ( n ) = f ( n ) h ( n) ∴ y ( n) Y ( z ) = F ( z ) H ( z )
例6-8
1 2
序列部分和的z变换:
f ( n) ε ( n) =
∑
k =0
∞
f (k )ε (n k ) =
∑
k =0
n
f (k )
n f ( k ) = [ f ( n) ε ( n) ] k =0
∑ ∑
n z f (k ) = F (z) z 1 k =0
F ( z) =
3,指数序列
F (z) = = 1 + az
z n
[δ (n)]
∞ ∞
[δ (n)] = 1
2,阶跃序列 F ( z ) = [ε (n)] =
∑
n =0 1
∞
an zn =
∑
∞
( a n z 1 ) n
n =0
∑
n=0
ε ( n) z
n
=
∑
n =0
+ a2 z 2 + 1 = z za
∑
证明:
单边z变换:
[ f ( n m) ] ∑ f ( n m) z n = z m ∑ f ( n m) z ( n m )
n =0 n =0
∞
∞
令:k = n m
[ f ( n m) ] = z m ∑ f ( k ) z ( k )
k = m
∞
= z m
∑
k =0
n =0 k =0 n =0
∞
∞
∞
= F1 ( z ) F2 ( z )
零状态的响应:
∵ y ( n ) = f ( n ) h ( n) ∴ y ( n) Y ( z ) = F ( z ) H ( z )
例6-8
第六章 离散系统的z域分析
Z Zn
=
k0 Z
n i 1
ki
Z
1 Zi
FZ
②ki=(Z- Z i ) Z Z= Zi
③F(Z)=k0+
n i 1
2.因果序列 :
a f1(k)=
k
ε(k)
←→Z/(Z-a),
︱Z︱＞
︱a︱
F1(Z)=
ak Z k
k 0
k 0
aZ 1
K 1 aZ 1 = 1 aZ 1
=
Z/(Z-a)
︱a
Z
1
︱＜
1,︱Z︱＜
︱a︱
不定
︱Z︱=︱a︱→收敛圆
无界
︱Z︱＜ ︱a︱
Im[Z]
︱a︱ 0
Re[Z]
Z平面---积坐标R e j S平面---直角坐标
FZ =
BZ
Z ZAZ
(m≤n) m＜n 变为真分式
求分母多项式的根→极点 极点:A(Z)=0的根，Z1,Z2,…,Zn.F(Z) →∞
极点类型: 实数单极点
共轭复数单极点
实数重极点
复数二重极点
1①.实F数Z单 极= 点k0:Z1,Zk12,… ,Zkn互2 不 .相.. 等.kn
Z
Z Z Z1 Z Z2
F(Z) →f(0),f(1)和f(∞)
1.初值定理：因果序列
F(Z) =
f k Z k
k 0
=f(0)+f(1) Z 1+f(2) Z 2+…+f(m) Z m2+…
∴ZF(Z)=Zf(0)+f(1)+f(2) Z 1+..+f(m) Z m1..
∴f(0)=limF(Z)
《信号与系统》课件第6章离散系统的Z域分析
由冲击函数的性质可得：
x(n) x(t) (t nT ) n
x(n) x(nT ) (t nT )
▲
n
■
第3页
6.1.1 z变换的定义
根据拉普拉斯变换的基本定义式：
X (s) x(t)est dt
对离散时域信号 x(n) 进行双边变换：
X (s)
nx(nT
)
(t
nT
)est
dt
利用积分与冲击函数的性质可得：
X (s) x(nT )esnT n
令 z esT ，上式将成为复变量 z 的函数，用 X (z) 表示， x(nT ) x(n) ，则离散时间
序列转变成复变域即为 Z 域变换，得
X (z) x(n)zn n
（6.1.1）
X (z) x(n)zn n0
x(n)zn
n
（6.1.3）
时，其 z 变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列 x(n) 的 z 变换存在的充分且
必要条件。
Z 变换收敛域的定义：对于序列 x(n) ，满足（6.13）式，即使得其 Z 变换存在的所有 z 值组成的集合称为 z 变换 X (z) 的收敛域。
▲
■
第5页
6.1.1 z变换的定义
证明： Z[ak f (k)]
ak f (k)zk
f
(k )
z
k
F( z )
k
k
a
a
例 6-2-4： 求 ak (k ) 的 Z 变换。
解：已知 (k)
z ，则根据
z 1
Z
变换的尺度性质可知： ak (k)
z
z a
▲
■
第 18 页
第六章离散系统的Z域分析
z z F (z) （ a z b ） za zb
a z 当 1且 1即a z b 收敛 z b
j Im [z ]
b
0
a
Re [ z ]
5
由上可知 （1） z变换的收敛域与f(k) 与z值的范围有关，两 个不同的序列由于收敛域不同可能对应于同一个z 变换，为了单值的确定z变换对应的序列，在给出 序列的z变换式的同时，必须明确其收敛域。
m
n m
f (n)z
1
n m
f (n)z
n
1
n
]
]
14
z f ( k m ) ( k ) f ( k m )z
k 0
k
z
m
f (k m )z
k 0
( k m )
z
m
z [ f ( n)z
n 0
m m 1 n 0
据定义
zkf ( k )
k 1
z ( kz
k
d k d z z f (k ) z F ( z ) dz k dz
时域序列线性加权的z变换为原序列象函数微 20 分后乘以（z）
kf (k )z dz ) f ( k ) z [ dz
k k
k
k
] f (k )
推广：
m
d m k f ( k ) ( z ) F ( z ) ( 1 z 2 ) dz
d m ( z ) F ( z )表示对F ( z )求导并乘以 ( z )共m次 dz
z 例4、 若 已 知 z[ ( k )] ,求 斜 变 序 列 k ( k )的z变 换 z 1
信号与系统课件第六章-离散系统的Z域分析
域内都有 f kzk ；如果不能绝对收敛，就
认为该序列f(k)的z变换不存在。
上一页
2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
9
收敛域
设f(k)是一个因果信号［k < 0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只
有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一
k 0
k 0
k 1,
z 0
指数序列 ak k
Fz
ak zk
k 0
1
a z
a z
2
若 a eb ，则 Fs z
z eb
1 z,
1
a z
za
a 1 z
za
若 a 1
，则
Fs
z z 1
（单位阶跃序列）
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
若 f k ，F则z
f k F z1
例：求 ak k 1 的 z 变换。 ∵ akk z
za
∴ ak k 1 a ak1 k 1 az1 z a
za za
ak k 1 a az
z1 a 1 az
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23 2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
线性叠加特性 移位（移序）特性 z 域尺度变换特性 （序列）卷积定理
上一页 返 回
序列乘 k（z 域微分）特性 序列除(k+m)（z 域积分）特性 k 域反转特性 差分与求和特性 初值定理和终值定理
2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
17
认为该序列f(k)的z变换不存在。
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9
收敛域
设f(k)是一个因果信号［k < 0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只
有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一
k 0
k 0
k 1,
z 0
指数序列 ak k
Fz
ak zk
k 0
1
a z
a z
2
若 a eb ，则 Fs z
z eb
1 z,
1
a z
za
a 1 z
za
若 a 1
，则
Fs
z z 1
（单位阶跃序列）
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信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
若 f k ，F则z
f k F z1
例：求 ak k 1 的 z 变换。 ∵ akk z
za
∴ ak k 1 a ak1 k 1 az1 z a
za za
ak k 1 a az
z1 a 1 az
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信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
线性叠加特性 移位（移序）特性 z 域尺度变换特性 （序列）卷积定理
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序列乘 k（z 域微分）特性 序列除(k+m)（z 域积分）特性 k 域反转特性 差分与求和特性 初值定理和终值定理
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信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
17
信号与系统 -第六章离散系统z域分析
收敛域的定义：
对于序列f(k)，满 f (k) zk
足
k
所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。
第6-4页
■
6.1 z变 换
（1）整个z平面收敛；
第6-5页
■
6.1 z变
换
例1 求以下有限序列的z变换 (1) f1(k)= (k)
解
(2) f2(k↓)=k{=10, 2 , 3 ,
(1) F1 (z) (k )z k
则
f (k ) zm k m
kz+Fm(m> )0d
1
,
| z |
证明：F(z)
f (k)zk
k
F ( )d
z
m1
f (k) k
k
d
z
m1
f (k ) d (k m1)
z
f (k ) m ) k
(k
(k m)
z
k
f (k ) z(k m) z m
例2：cos( k) (k) ? sin( k) (k) ?
解: cos(
k) (k ) 1 (e j k e j k ) (k ) 0.5z
2
z ej
cos( k) (k) z2 z cos ,| z |1 z2 2z cos 1
0.5z z e j
sin(
k) (k) 10.5(ze j k e j k ) (k)
z ,
za
1
f (k ) ak
(k 1) F (z) a
,
z za a
2
2
| z | | z |
(k m) zm , | z | 0
其中：a>0
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z 1
z a
4 5
a n u n 1
1 z 1 1 az za
za z 0
RN n
1 zN zN 1 1 z 1 z N z N 1
6
nun
z 1
1 z
na n u n
1 2
z z 12
z 1
7 8 9
(6-4)
z 变换收敛域有一个很重要的特性，就是在收敛域内不能有 X z 的极点。
3 几种序列的 z 变换收敛域 6.1.3 6.1.
下面的讨论假设下标变量 n1 , n2 是有限值且 n1 n2 。 1. 有限长序列 有限长序列只在有限区间 n1 ~ n2 范围内序列的值不为零，它的 z 变换为
Rx z Rx
。
如图 6-13(c)所示。如果 R x R x ，则 X z 没有收敛域， 即 z 变换实际上不存在 。 比如周期序列和双边指数增长的序列的 z 变换都是不存在的。jIm jIm jIm来自收敛域 Re收敛域
Re Re
0
0
收敛域
0
Rx
(a) 右 边 序 列 收 敛 域
x lim x n limz 1X z
n z 1
(6-21)
【例 6-14】已知因果序列 x n 的 z 变换为
X z
1 1 z 1 ，求序列的初值 x 0 和终值
x 。
解：根据初值定理有
x 0 lim X z 1
Im
右边序列
z 平 面
Im
左边序列
Re
z 平 面
Re
0
Im
a b c
0
Im
a b c
一种双边序列
z 平 面
另一种双边序列
Re
z 平 面
Re
0
a
c b
0
a b
c
图 6-14 零极点分布相同而收敛域不同的 4 个可能的序列情况
6.1.4 常用序列的 Z 变换
1. 单位取样序列 n
n
jIm
1 4
-1
1 2
0
1 2
1Re
图 6-12 z 变换的零极点图 习惯上，序列的 z 变换一般不写成 z 的多项式之比，而是写成 z 的多项式 之比，即
1
X z
b0 b1 z 1 b2 z 2 bM z M a0 a1 z 1 a2 z 2 a N z N
则
z a n x n X , a
a Rx z Rx a
(6-15)
4 时间反折特性 6.2.4 6.2.
设
x n X z , Rx z R x
则
1 x n X , z
1 1 z Rx Rx
(6-16)
n
(6-12)
z 1 za 收敛域是 a ，即 。从式(6-11)和式(6-12)看出，不同的序列可以有
相同的 z 变换，但它们的收敛域是不同的。 表 6-4 常用序列的 z 变换。 序 号 1 2 3 序列 z 变换 收敛域
n un
a n u n
1
z 平面
1 z 1 1 z z 1 1 z 1 1 az za
包含了 z 。如果 n1 0 ，这时的右边序列属于非因果的右边序列，它的收敛域是
Rx z
，不包含 z 。
3. 左边序列
左边序列只在 n n2 时有非零值，它的 z 变换为
X z Z x n
n
xn z
n2
n
(6-7)
该级数的收敛域是以某一个圆的内部区域，即 z 变换收敛域是
z a
6.2 z 变换的性质和定理 1 线性性质 6.2.1 6.2.
设
x n X z , Rx z R x
则
，
y n Y z , R y z R y
ax n by n aX z bY z , maxRx , R y z minRx , R y
Rx z Rx
收敛域的内环边界可以包含原点 z 0 ，外环边界可以包含 z 。
2 z 变换的零极点与零极点图 6.1.2 6.1.
大多数序列的 z 变换都可以表示成变量 z 的有理函数，即是两个 z 的多项式 之比，即
X ( z)
P( z ) bm z m bm 1 z m 1 b1 z b0 Q ( z ) a n z n a n 1 z n 1 a1 z a0
第六章
6.1 z 变换
离散系统的 z 域分析
1 z 变换的定义与收敛域 6.1.1 6.1.
序列 x n 的 z 变换定义为
X z Z x n
n
x n z
n
(6-1)
其中符号 Z 表示取 z 变换，z 是复变量。由式(6-13)定义的 z 变换称为双边 z 变换。 相应地，还有单边 z 变换，它的定义为
(6-3)
多项式 Pz 的根称为 X z 的零点，多项式 Q z 的根称为 X z 的极点。常常 将 X z 的零点在 z 平面上用符号 o 画出来，而把 X z 的极点用符号 画 出 来 ， 1 1 z 2 X z 3 1 1 z 1 z 2 4 8 得到的图称为零极点图。如图 6-12 是 的零极点分布图。 1
设
x n X z , Rx z R x
，
y n Y z , R y z R y
则
x n y n X z Y z , maxRx , R y z minRx , R y
(6-22)
1 z 1 cos 0 z 2 z cos 0 1 2 z 1 cos 0 z 2 z 2 2 z cos 0 1
10
cos 0 n u n
z 1
11
n 1a n u n
1
1 az
1 2
z2 z a 2
n
n z
n
1
(6-9)
显然收敛域是整个 z 平面。
2. 单位阶跃序列 u n
u n
n
u n z n z n
n 0
1 1 z 1
(6-10)
收敛域是
z 1
。
n 3. 右边指数序列 a u n
a n u n
az 1
1 az
e j0 n u n
sin 0 n u n
1 1 e
j0 n
1 2
az z a 2
z a
z
1
z z e j0 n
z 1 z 1
z 1 sin 0 z sin 0 2 1 2 1 2 z cos 0 z z 2 z cos 0 1
X z Z x n
n
x n z n
n
xn z n x n z n
n 0
1
(6-8)
双边序列 z 变换收敛域是逆因果序列 z 变换收敛域与因果序列 z 变换收敛域
的公共部分， 所以一般为一个圆环， 即双边序列的 z 变换收敛域为
z Rx
。如图 6-
0 z Rx 13(b)所示。如果 n2 0 ，这时的左边序列就是逆因果序列，它的收敛域是 ，
包含了 z 0 。如果 n2 0 ，这时的左边序列属于非逆因果的左边序列，它的收敛域是
0 z Rx
，不包含 z 0 。
4. 双边序列
双边序列在区间 ~ 上都有非零值，它可以看成是一个逆因果序列和一个因 果序列之和。它的 z 变换为
z
。因为 X z 有一个极点在 z 1 ，所以，不
满足终值定理的使用条件，故序列 x n 的终值不存在。实际上，由表 6-4 的 z 变换知道，
X z 对应的时间序列是 x n 1n u n ，所以终值是不存在的。
9 时域卷积定理 6.2.9 6.2.
X z Z x n
n n1
xn z
n2
n
(6-5)
显然，它的收敛域是
0 z
。收敛域是否包含 z 0 和 z 两个点要看 n1 , n2
0 z 0 z 的情况。如果 n1 0 ，则收敛域为 。如果 n2 0 ，则收敛域为 。
5 序列的复共轭 6.2.5 6.2.
设
x n X z , Rx z Rx
则
x n X z , Rx z Rx
(6-17)
6 z 域微分 6.2.6 6.2.
设
x n X z , Rx z R x
则
nx n z
Rx
(b) 左 边 序 列 收 敛 域
收敛域
Rx
Rx
(c) 双 边 序 列 收 敛 域
图 6-13 各种序列 z 变换的收敛域 前面已指出，有理函数 z 变换的收敛域内不包含极点，它的收敛域以极点为 边界。利用这个结论，就能够比较容易地确定在有多个极点情况下的收敛域。图 6-14 所示的是某个 z 变换的零极点分布图和 4 种可能收敛域以及它们所对应不 同序列的情况。从这个图可以看出，4 个不同的序列都有同样的 z 变换和同样的 零极点图，但它们的收敛域是不同的。