2019-2020年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图同步练习(含解析)新人教B版必修2
课件2：1.1.4 投影与直观图
y
y'
O
x
y
O'
y'
x'
O
x O'
x'
变式2：用斜二测法画出水平放置的任意三角形直观图
y
y'
O
x
O'
x'
总结：
平行于 x 轴的线段，仍平行 x，轴，且长度不变 平行于 y 轴的线段，仍平行 y’ 轴，且长度变为原来的0.5
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是5cm、4cm、 3cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
1.1.4 投影与直观图
请看下面几个常见的自然现象,考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
一、投影的概念 在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做
投影．其中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕 叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角 度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影.
斜投影：投射线 倾斜于投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便， 在作图中应用最广泛．
斜投影在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作图比 较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种 辅助图样．
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.
1.正投影：投影线与投影面垂直 2.斜投影：投影线与投影面斜交
中心投影后的图形与原图形相比，虽然 改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉 效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时， 经常使用这种方法，但在立体几何中很少用 中心投影原理来画图．
三、平行投影
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平 行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影．
第一章1.1.4投影与直观图教案学生版
1.1.4投影与直观图【学习要求】1．了解中心投影、平行投影的概念，会画几何体的投影．2．会画常见几何体的直观图，理解直观图的斜二测画法规则．【学法指导】通过对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点；通过学习斜二测画法画出空间几何体的直观图，提高空间想象力与直观感受，感受几何作图在生产活动中的应用.填一填：知识要点、记下疑难点1．已知图形F，直线l与平面α相交(如图所示)，过F上任意一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′，则点M′叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影(或象) ．如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的平行投影．平面α叫做投射面，l叫做投射线 .2．平行投影的性质(图形中的直线或线段不平行于投射线)(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段；(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3．直观图：当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时，一个空间图形在投射面上的平行投影 (平面图形)可以形象地表示这个空间图形．像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．4．中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影，空间图形经中心投影后，直线变成直线，平行线可能变成了相交的直线.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]空间几何体多用直观图来表示．空间图形能否在平面中画出来，使得既富有立感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系呢？这就是空间几何体的直观图．本节我们就来研究这个问题．探究点一平行投影问题1观察教材16页图1－27，太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框边的长度以及框边之间的夹角有所改变，你能观察出没有发生变化的是什么吗？问题2在立体几何中，一般都是根据平行投影的性质，用平面图形来表示空间图形，那么点和图形的平行投影是怎样定义的？问题3观察教材17页图1－28，你能归纳出平行投影有怎样的性质(图形中的直线或线段不平行于投射线)?问题4如何画一个图形F的平行投影？探究点二斜二测画法问题1阅读教材17页下半部分，你能说出什么叫空间图形的直观图吗？问题2阅读教材17页下半部分，你能说出什么是斜二测画法吗？问题3阅读教材17页最后一段及18页最上面一段，你能感悟出用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，关键点是什么吗？问题4画水平放置的直观图时，要把握怎样的原则？问题5画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？问题6画空间多面体的直观图，是按怎样的顺序进行的？问题7如何画出圆柱、圆锥的直观图？例1画水平放置的正六边形的直观图．小结：在画出水平放置的正六边形的直观图后，依照斜二测画法规则，平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，就很容易画出六棱柱和六棱锥的直观图．所以画空间多面体的步骤可简单总结为：画轴→画底面→画侧棱→成图跟踪训练1用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图．探究点三中心投影问题1不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？问题2一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？问题3用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？练一练：当堂检测、目标达成落实处1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是()A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比2．图中是水平放置的三角形的直观图，已知AB∥y轴，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．画水平放置的正三角形的直观图.课堂小结：1．画水平放置的平面图形的直观图时，平行于x轴的线段，在直观图中保持其长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度减半．画直观图，关键是确定各顶点(或其它有代表性的点)的位置；而确定顶点的位置，需要选取有关的两个坐标系，并在两个坐标系之间，建立一定的对应关系，其中以平行投影的性质为主要依据．2．圆的直观图是椭圆，由于画圆的直观图比较复杂，通常使用不同尺寸的椭圆模板来画，会画圆的直观图，就能画出圆柱、圆锥、圆台的直观图．3．中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致．若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图课件 新人教B版必修2
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(4)用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤: ①在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox,Oy,再作 Oz 轴,使∠xOz=90°,∠yOz=90°. ②画出与轴 Ox,Oy,Oz 对应的轴 O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或 135°),∠x'O'z'=90°,x'O'y'所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中,平行于 x 轴、y 轴和 z 轴的线段,在直观图中分别画成平 行于 x'轴、y'轴和 z'轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知 图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. ④已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平 行于 y 轴的线段,长度为原来的一半. ⑤擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.
1.1.4 投影与直观图
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课程目标
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1.1.4投影与直观图
轴或z轴 （3）已知图形中，平行于 轴、y轴或 轴 ）已知图形中，平行于x轴 轴或 的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴 的线段，在直观图中分别画成平行于 轴、 y’轴或 轴的线段 并使它们和所画坐标轴 轴或z’轴的线段 轴或 轴的线段. 的位置关系， 的位置关系，与已知图形中相应线段和原 坐标轴的位置关系相同 位置关系相同； 坐标轴的位置关系相同； 轴和z轴的线段 （4）已知图形中平行于 轴和 轴的线段， ）已知图形中平行于x轴和 轴的线段， 在直观图中保持长度不变，平行于y轴 在直观图中保持长度不变，平行于 轴的线 长度为原来长度的一半 原来长度的一半； 段，长度为原来长度的一半；
在立体几何中， 在立体几何中，一般都 是根据平行投影的性质， 是根据平行投影的性质， 用平面图形来表示空间图 形。 二、投影法分类 1.中心投影法 中心投影法 投影线均通过投影中心的投影法称为 中心投影法。 中心投影法。其投影的大小随物体与投 影中心间距离的变化而变化， 影中心间距离的变化而变化，所以其投 影不能反映物体的实形。 影不能反映物体的实形。
y
F A M E D x
O'
y'
O
x'
B
N C
( 2)以O′为中心,在X′上取A′D′=AD，在y′轴上取
1 B 行 x , N以 N 中 ,画 ′C′平 于 ′轴 M′N′= M . 点 ′为 心 2 并 等 BC;再 M′为 心 且 于 以 中 ,画 ′F′平 于 ′轴 E 行 x , 并 等 EF. 且 于
2.平行投影法 平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影 投影线相互平行的投影法称为平行投影 其中， 法。其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜 投影法；投影线垂直于投影面叫平行正投 投影法；投影线垂直于投影面叫平行正投 影法简称 简称正投影法 影法简称正投影法
2019版高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图练习新人教B版必修2
1.1.4 投影与直观图1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是( B )(A)①② (B)①(C)③④ (D)①②③④解析:①正确.②正方形的直观图是平行四边形.③等腰梯形的直观图是梯形.④菱形的直观图是平行四边形.选B.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中两条线段结论错误的是( B )(A)原来相交的仍相交 (B)原来垂直的仍垂直(C)原来平行的仍平行 (D)原来共点的仍共点解析:斜二测画法保平行,保相交,保平行线段的比,但不保垂直.选B.3.如图所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是( C )解析:由直观图知,平面图形中靠右侧一边与y轴平行,满足这一特征的只有 C.4.△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( D )(A)AB (B)AD (C)BC (D)AC解析:由于直观图中,∠x′O′y′=45°,所以∠A′B′C′=45°,故∠ABC=90°,所以AC最长.故选D.5.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2,O′B′=3,则△AOB的周长为( A )(A)12 (B)10 (C)8 (D)7解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5, 所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.6.如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则原图形的周长为.解析:由于平行性不变,O′A′∥B′C′,故在原图形中,OABC,所以四边形OABC为平行四边形,且对角线OB⊥OA,对角线OB=2,则AB==3.所以原图形的周长为l=3×2+1×2=8.答案:8 cm7.已知正三角形AOB的边长为a,如图所示,把它放在平面直角坐标系中,则它的水平放置的平面直观图的面积为( B )(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2解析:在直观图△A′B′O′中,O′A′=a,O′A′边上的高为××a=a,故△A′B′O′的面积为S=×a×a=a2.8.如图所示是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为( A )(A)(B)1 (C) (D)2解析:由斜二测画法规则画出直观图如图所示,作B′E⊥x′轴于点E,在Rt△B′EC′中,B′C′=1,∠B′C′E=45°,B′E=B′C′sin 45°=1×=.9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为.解析:由图形知,原图形是一个直角梯形,上底BC=1,下底OA=×2+1=1+,高h=OC=2,故S=×(1+1+)×2=2+.答案:2+10.如图,画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.解:画法:如图.(1)在等腰梯形ABCD中,以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy,并画相应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点,过E′作D′C′平行于x′轴,并使D′C′=DC,连接A′D′,B′C′,所得梯形A′B′C′D′即为水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.11.已知△ABC的面积为a2,它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形,根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形,并计算△A′B′C′的面积.解:(1)取B′C′所在的直线为x′轴,过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴,建立坐标系x′O′y′;(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点.在△A′B′C′中,设它的边长为x,因为O′A′=x,∠A′M′O′=45°,所以O′A′=O′M′=x,故A′M′=x;(3)在直角坐标系xOy中,在x轴上O点左右两侧,取到点O距离为的点B,C,在x轴O点左侧取到原点O距离为x的点M,过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA=x,连接AB,AC,则△ABC为△A′B′C′的原图形,由S△ABC=a2,得x×x=a2,所以x=a,故△A′B′C′的面积为a2.。
2020年高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图课件新人教B版必修2
课堂互动探究
典例精析 规律总结
类型 1 平行投影与中心投影的概念和性质
下列说法正确的是________． ①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；②与投射面平 行的平面图形，其平行投影与这个图形一定全等；③平行四边 形的平行投影可能是矩形；④两平行直线的平行投影一定平行； ⑤如果一条长为 2 米的线段，其平行投影为 1 米，则长为 10 米 的线段，其平行投影的长为 5 米． 【分析】 由已知图形经平行投影后所得投影的判定应根 据投射面、投射线及图形的位置综合考查．
3.如图，正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放置的一 个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8 cm C．2(1＋ 3)cm
B．6 cm D．2(1＋ 2)cm
解析：将直观图还原如图所示：
OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2 2. ∴AB＝ OA2＋OB2＝3， ∴四边形 OABC 的周长为 OA＋AB＋BC＋CO ＝1＋3＋1＋3＝8(cm)， 故选 A． 答案：A
解答本题可先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二 测画法的规则及步骤画出直观图．
【解】 画法：(1)画轴．画 Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴， ∠xOy＝45°(或 135°)，∠xOz＝90°，如图①所示．
(2)画底面．以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形的直观 图 ABCD，使 AB＝1.2 cm.
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的_坐__标_轴____就得到了空间 图形的直观图．
3．中心投影 一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影 子就是它在这个平面上的_中__心_投__影____．空间图形经过中心投影 后，直线变成直线，但平行直线可能变成了相交直线，所以， 在立体几何中很少用中心投影原理来画图，但投影后的图形直 观性强，看起来与人的视觉效果一致，所以常用在绘画中，即 画实际效果图．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图学案 新人教B版必修2
1.1.4 投影与直观图学习目标理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图．知识点直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的平面图形．(2)斜二测画法的规则①在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( ×) 3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．( ×)类型一直观图的画法例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(1)(2)所示．(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连接B ′C ′，如图(2)． (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图(3)．引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系．(2)画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．反思与感悟 (1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便． (2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练1 (1)用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图．解 ①如图a 所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系．②画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝2 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12OA ＝ 3 cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图b 所示．(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定)．解 ①画轴．如图c ，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°. ②画底面．以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD . ③画顶点．在Oz 轴上截取OS ，使OS 等于已知正四棱锥的高．④画棱．连接SA ，SB ，SC ，SD ，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S －ABCD 的直观图，如图d 所示．类型二 直观图的还原与计算 命题角度1 由直观图还原平面图形例2 如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．解 ①画出直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；②过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于点D ′，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′；③连接AB ，BC ，得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy 中的位置．跟踪训练2 如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________形．答案菱解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连接BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练 3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是( )A.12B.22C. 2 D ．2 2答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为2，故选C.1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( ) A ．16 B ．64 C ．16或64 D ．无法确定答案 C解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )答案 C解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3．有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm 2. 考点 平面图形的直观图 题点 与直观图有关的计算 答案 5 2解析 该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2. 4.画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图．解 (1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x ′轴上取点B ′，E ′， 使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ； 在y ′轴上取一点D ， 使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴， 使E ′C ′＝12EC .连接D ′C ′，B ′C ′.(3)擦去坐标轴及B ′E ′，E ′C ′，则所求四边形OBCD 的直观图如图③所示．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．3．中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致．若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似．一、选择题1．给出以下说法，其中不正确的是________．①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．A．①② B．②③C．③④ D．①④答案 A解析由斜二测画法规则可知①②不正确，故选A.2．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )A．90°，90° B．45°，90°C．135°，90° D．45°或135°，90°考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案 D解析根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )答案 C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )答案 C解析设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，根据斜二测画法在直角坐标系中先做出对应的A点和B点，再由平行于x′轴的线段在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图可得C.5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm答案 B解析由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形答案 B解析由直观图的性质知B正确．7．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案 A解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．8.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，边BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )A．4 cm2 B．4 2 cm2 C．8 cm2 D．8 2 cm2答案 C解析依题意可知，∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上，下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.二、填空题9．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．答案(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．10．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则直观图梯形的高为________ cm.答案22解析 作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC2＝2，∴OD ＝CD ＝2，∴直观图中梯形的高为12×2×22＝22(cm)．11.如图所示，四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (2,4)，B (4,0)，C (4，－2)，则该图形直观图的面积为________．答案 3 2解析 由S 原＝12×4×(4＋2)＝12，则S 直＝24S 原＝24×12＝3 2. 三、解答题12．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．解 画法：(1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图b 中，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴， 使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ， 再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．13．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm) 解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC ，其中O 为△ABC 的重心，BC ＝2 cm ，线段AO 与x 轴的夹角为45°，AO ＝2OD .(2)过O 作z 轴，使∠xOz ＝90°，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，作上底面等边三角形的直观图△A ′B ′C ′，其中B ′C ′＝1 cm ，线段A ′O ′与x 轴的夹角为45°，A ′O ′＝2O ′D ′，连接AA ′，BB ′，CC ′，得正三棱台的直观图．四、探究与拓展14.如图所示为水平放置的△ABO 的直观图△A ′B ′O ′，由图判断在原三角形中，AB ，BO ，BD ，OD 由小到大的顺序是________________．答案 OD <BD <AB <BO15.如图为一边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形原来的图形，并求出其面积．解(1)在正方形A′B′C′D′中建系如图a，建立直角坐标系xOy如图b.(2)在x轴上截取AO＝A′O′，OC＝O′C′.(3)过点A作AD∥y轴，并截取AD＝2A′D′.过点C作CB∥y轴，并截取CB＝2C′B′.(4)连接DC，AB.四边形ABCD为原图形．因为A′C′在水平方向，A′B′C′D′为正方形，所以在四边形ABCD中，DA⊥AC.所以DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。
高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图bb高一数学
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自我(zìwǒ)检测
1.如图,直观图表示的平面图形(túxíng)是( C ) (A)任意三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形
(D)钝角三角形
解析:平面图形的原图形与其直观图具有可逆性,可将此直观图还原为原图形,因为 A′B′∥y′轴,B′C′∥x′轴,所以还原后,仍保持(bǎochí)平行性不变,故原图形中AB⊥BC, 所以△ABC为直角三角形.
(2)画下底面.以 O 为中点,在 x 轴上取线段 EF,使得 EF=AB=6 cm,在 y 轴上取线段 GH,
使得 GH= 1 AB,再过 G、H 分别作 AB 2
EF,CD
EF,且使得 CD 的中点为 H,AB 的中点
为 G,这样就得到了正四棱台的下底面 ABCD 的直观图.
(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4 cm,过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy,使 ∠x′O1y′=45°,建立( jiànlì)坐标系x′O1y′,在x′O1y′中重复(2)的步骤画出上底面的直 观图A1B1C1D1.
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图1
(4)再连接(liánjiē)AA1、BB1、CC1、DD1,并擦去辅助线,将被遮部分改为虚线,得到的
图形就是所求的正四棱台的直观图(图2).
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图2
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类型(lèixín平g)三面图形(túxíng)的直观图与原图形(túxíng)之间的关系
解:(1)如图(1)所示,在已知正五边形ABCDE中,取中心O为原点,对称轴FA为y轴,过点O与y轴垂 直的是x轴,分别(fēnbié)过B、E作GB∥y轴,HE∥y轴,与x轴分别交于点G、H.画对应的轴O′x′、O′y′, 使∠x′O′y′=45°.
全国通用高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图练习新人教B版必修2(20
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1。
1.4 投影与直观图1在原来的图形中，两条线段平行且相等,则在直观图中对应的两条线段()A。
平行且相等 B.平行不相等C。
相等不平行 D.既不平行也不相等答案：A2晚上放学后，小华走路回家，在经过一盏路灯时,他发现自己的身影（）A。
变长 B.变短C。
先变长后变短D。
先变短后变长答案：D3如图，矩形O’A'B’C’是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O’A’=6,O'C'=2,则原图形是（）A。
正方形 B.矩形C。
菱形 D.梯形答案：C4如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（）解析:根据斜二测画法的规则：平行于x轴或在x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,在y轴上或平行于y轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy=90°，∠x’O’y’=45°,因此由直观图还原成原图形为选项C.答案：C5如图，水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2）,则由斜二测画法画出的这个正方形的直观图中，则顶点B'到x’轴的距离为（)A。
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2019-2020年高中数学第一章立体几何初步 1.1.4 投影与直观图同步练习（含
解析）新人教B版必修2
1．下列关于直观图画法的说法不正确的是( )．
A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x轴，且长度不变
B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y轴，且长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于135°
D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同
2．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法中正确的是( )．
A．内心的平行投影还是内心
B．重心的平行投影还是重心
C．垂心的平行投影还是垂心
D．外心的平行投影还是外心
3．下晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的影子( )．
A．变长B．变短
C．先变长后变短 D．先变短后变长
4．对于一条底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( )．
A．2倍 B．倍 C．倍 D．倍
5．若线段AB平行于投射面，O是AB上一点，且AO∶OB＝m∶n，则点O的平行投影O′分线段AB的平行投影A′B′的长度之比是______．
6．小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙，如图所示．他测得留在地面部分的影子长 2.7 m，留在墙壁部分的影高 1.2 m，则树的高度为(太阳光线可看作为平行光线)______．
7．如图所示，在水平放置的平面α内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，其中对角线A′C′处于水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
8．小迪身高1.6 m，一天晚上放学回家，走到两路灯之间，她发现自己的身影的顶部正好在A 路灯的底部，她又向前走了5 m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10 m．(两路灯的高度是一样的)
求：(1)路灯的高度；
(2)当小迪走到B路灯下，她在A路灯下的身影有多长？
9.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗户AB高1．6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳篷AC，如图所示．
求：(1)当遮阳篷AC的宽度在什么范围内，太阳光线能直接射入室内？
(2)当遮阳篷AC的宽度在什么范围时，太阳光线不能直接射入室内？(精确到0.01米)
参考答案
1. 答案：B
2. 答案：C
3. 答案：D
4. 答案：B
解析：底边上的高变为原来的倍． 5. 答案：m ∶n 6. 答案：4.2 m
解析：树高为AB ，影长为BE ，CD 为树留在墙上的影高， ∴，CE ＝1.08 m ，树影长BE ＝2.7＋1.08＝3.78 m ，树高. 7. 解：四边形ABCD 的图形如图所示． ∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形， ∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ． ∵DA ＝2D′A′＝2，，
∴·ABCD S AC AD ==四边形8. 解：如图所示，设A 、B 为两路灯，小迪从MN 移到PQ ，并设C 、D 分别为A 、B 路灯的底部．
由题目已知得MN ＝PQ ＝1.6 m ，NQ ＝5 m ，CD ＝10 m. (1)设CN ＝x ，则QD ＝5－x ，路灯高BD 为h . ∵△CMN ∽△CBD ， 即.①
又∵△PQD ∽△ACD ， 即② 由①②式得
x ＝2.5 m ，h ＝6.4 m ，
即路灯高为6.4 m.
(2)当小迪移到BD 所在线上(设为DH )时，连接AH 交地面于E ， 则DE 长即为所求的影长． ∵ 1.66.410
DH DE DE
DEH CEA AC CE DE ∆∆⇒
=⇒=+∽，
解得，即影长为.
9.解：
(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝1.6 m，
则AC2＝BC2－AB2，BC＝2AC，
∴AC2＝4AC2－1.62，
∴AC＝≈0.92(m)．
当0≤AC≤0.92米时，太阳光线可直接射入室内．
2019-2020年高中数学第一章立体几何初步 1.1.5 三视图同步练习（含解析）
新人教B版必修2
1．下列说法正确的有( )．
①直线的正投影一定是直线；②直线的正投影可能是线段；③平行直线的正投影是平行或重合的直线；④与投射面平行的平面图形，它的正投影与这个图形相似；⑤与投射面平行的平面图形，它的正投影与这个图形全等；⑥垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．A．①②③④B．②④⑤⑥
C．①③④⑤ D．①③⑤⑥
2．如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )．
3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为( )．
4．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，其俯视图不可能是( )．
5．如图是正四棱锥P－ABCD的三视图，其中主视图是边长为1的正三角形，则这个四棱锥的侧棱长为______．
6．如图(1)是小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么该几何体的主视图和左视图的序号是________．
7．根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．
(1)三视图(a)．
(2)三视图(b)．
(a) (b)
8．如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，请你设计一种塞子，既可以堵住圆形空洞
又可以堵住方形空洞．
参考答案
1.答案：D
2.答案：D
解析：因为几何体的正视图是从前向后的正投影．
3.答案：C
4.答案：C
解析：通过分析主视图第一列有两个，而左视图第二列有两个，所以俯视图为选项C时，不符合要求．
5.答案：
解析：由条件知，正四棱锥底面边长AB＝1，高PO＝(O是底面中心)，OB＝AB＝，故侧棱长
PB===.
2
6.答案：(3)(5)
7.解：(1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，它的实物草图如图(a)．(2)由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形和两个等腰三角形，它的实物草图如图(b)．
8.解：不妨把圆形看作是俯视图，方形看作是主视图，则可知塞子应该是一个圆柱形的几何体，只要底面直径和圆柱的高相等即可．如下图：。