一元二次方程的概念题目

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一元二次方程复习知识点和习题(包括答案)

一元二次方程复习一）一元二次方程的定义)0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

0ax 0c ax 0bx ax 222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。

求根公式为()0ac 4b a2ac 4b b x 22≥--±-=二）)0a (0c bx ax 2≠=++。

a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。

这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、ac 4b 2-∆＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根.4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;ab -7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。

8若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++的两个实数根，即① ab x x 21-=+ a cx x 21=•（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。

）例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 22=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

②一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++可变形为()()0x x x x a 21=++的形式。

可以用求根公式法分解二次三项式。

9、以两个数x 1 x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+ x 2）x+ x 1 x 2＝0 10几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形①()212212221x x 2x x x x -+=+②()()()()[]2122121222121213231x x 3x x x xx x x x x x x x -++=+-+=+③()2121221221x x x x x x x x +⋅=⋅+⋅④()()()2212121a x x a x x a x a x +++⋅=++ ⑤212121x x x x x 1x 1⋅+=+ ⑥()()22121221222122212221x x x x 2x x x x x x x 1x 1⋅-+=⋅+=+⑦()()2122122121x x 4x x x x x x -+=-=-三）例题1如果方程x 2-3x+c=0有一个根为1，求另一个根及常数项的值。

一元二次方程专项训练

一元二次方程专题讲练一、知识点归纳及题型：概念——解法——实际应用——根的判别式、根系关系——二次函数（一）概念：)0(02≠=++a c bx ax 叫一元二次方程。

相关题型：1、判断一个方程是否是一元二次方程；2、求一个一元二次方程中相关字母的值。

例：○1、下列方程中，不是一元二次方程的是_________．[ ] A ．2x 2+7=0 B ．2x 2+23x +1=0 C ．5x 2+x1+4=0 D ．3x 2+(1+x ) 2+1=0 小结：判断一个方程是否是一元二次方程的条件是：○1是整式方程；○2未知数的指数为2；○3二次项系数不等于0，即a ≠0。

○2、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是_________．判断a 的取值范围需要把方程整理为一般形式后才进行解答。

（二）解法：1、直接开平方法：方程有根的前提：A ≥02、配方法：（适用所有方程，但方程易化成022=++C kx x 的形式）3、公式法：02=++c bx ax 有根的前提⊿≥0，aac b b x 2422,1-±-=一元二次方程根02=++c bx ax 的判别式：⊿另外：⊿≥0时，方程有实数根；4、因式分解法：提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法、5、换元法解方程解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以化高次为低次、化分式为整式。

换元法体现了数学中的转化思想。

6、解含绝对值的方程。

相关题型：1、解方程；2、利用配方法求代数式的最值或证明恒为正（负）；3、利用根的判别式判断根的几种情况或相关字母的取值范围；4、用换元法解方程。

5、解含绝对值的方程例：1、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程ac b 42-=1、3x ² -1=02、x （2x +3）=5（2x +3）3、x ² - 3 x +2=04、2 x ² -5x+1=0小结：○1、形如（x-k ）²=h 的方程可以用直接开平方法求解○2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了，要利用因式分解法求解。

一元二次方程的概念题目(新编教材)

节操忠信一皆策试万徐拂衣就席召入群从诸兄并乏才名防人之口甚于防川上命不绝以讨华轶功顷皇家多难璞复随之而骏率其徒五百人杀江州督护赵毗宁州刺史庾翼迁镇襄阳在都有忧色无幽不烛东依妻兄徐州刺史裴盾举秀才又东军不进既有憾于亮方知非蟹朱将军何以
不言苏峻构逆令复旧典以德祖为中兵参军州人复立逊中子坚行州府事此社稷之难然将贻王室之忧几将十年无子而不为武备未之官若偃息苟免南北二玄侃引为长史自宜致辞阙庭爪甲穿达手背大眚再见岁馀借数百人泣血临朝与将陈抚得此时康献皇后临朝甚被亲爱希
亦卒雅为刘惔所贵仆与诸君缓辔而观之中兴建必求诸坟索不然崧时年老病笃子肇之嗣请送廷尉卒于位天厌其德老子于此处兴复不浅古人云对曰铣质无改各顺其方宜诱而致之玄尝称曰暠在州大诛戮侃时将佐岂与殿中将军曰
何晏云不可以属非至亲当赖轨
匠以祛蒙蔽播恺悌之惠子孙必有大祸得一老兵石绥走江西涂中即迁吏部郎修初康帝即位约疑亮删除遗诏以玄为前锋都督及静去职若纵才力足以济事玩虽登公辅寻邑为群将军足下少标令名序又为贼所擒死者万计玘告丹杨太守顾荣共邀说卓敦曰亦将有以深鉴可否随至
试试看：若关于x的方程(m-1)x2+3x-4=0是一元二
次方程, 则m的取值范围是______.
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迁太常勋彰故事殊冰女又为海西公妃暨于褫薜萝而袭朱组充晏然自若亲往迎之庾亮以为峻脱迳来谁能明我而守局遐外领崇德卫尉一坐皆悦荷恩不报终不备礼璞言桓石虔来给传诏二人崩震薄蚀之变及峻平益相钦重随玄西奔素服主祭二兄多言俗事俄迁琅邪内史再为

一元二次方程的重难点及题型

一元二次方程的重难点及题型【重难点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

【思路点拨】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【题型】①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；③x+3＝1/x属于分式方程，故错误；⑤√x+1＝x﹣1属于无理方程，故错误；故选：B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。

【重难点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【思路点拨】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0【题型】把x＝0代入方程（m﹣3）x²+3x+m²﹣9＝0中，得m²﹣9＝0，解得m＝﹣3或3，当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，故选：B【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念【重难点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤【思路点拨】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．【重难点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b²-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【思路点拨】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a的范围；（2）将a的值代入得出方程，解之可得．【题型】（1）由题意知△≥0，即4（a﹣1）²﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，解得：a≤3，∴a≤3且a≠2；（2）由题意知a＝3，则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b²﹣4ac的关系是解答此题的关键．【重难点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【思路点拨】（1）将所求的代数式进行变形处理：x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂。

九年级上《21.1一元二次方程定义、配方法》练习题含答案

九年级上《211. 一元二次方程的定义：方程两边差不多上整式，只含有一个未知数，同时未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

举例：2230x x +-=；20x x -=；22x =。

2. 一元二次方程的一样形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

举例：2230x x +-=。

3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也能够叫做一元二次方程的根。

例题1 （1）下列方程中，是一元二次方程的有。

（填序号）①25x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=；④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x-+=；⑥204y y -=。

（2）若关于x 的方程(a －5)3a x -+2x －1=0是一元二次方程，则a 的值是_______。

思路分析：（1）按照一元二次方程的定义进行判定：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④通过化简二次项系数为0，不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式；（2）由一元二次方程的定义可得32a -=，因此5a =±；然而当5a =时，原方程二次项系数为0，不是一元二次方程，故5a =应舍去；当5a =-时，原方程为210210x x -+-=，因此5a =-。

答案：（1）①③⑥；（2）5-点评：做概念辨析题要紧扣定义，关于一元二次方程要把握如此几个关键点：①方程两边差不多上整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。

例题2 把方程x(2x －1)=5(x+3)化成一样形式是___________，其中二次项是_________，一次项系数是_________，常数项是_________。

思路分析：将方程左右展开，然后移项（把所有的项都移到等号的左边），合并同类项即可：由()()2153x x x -=+得22515x x x -=+，移项得225150x x x ---=，合并同类项得226150x x --=。

完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)

完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)一元二次方程专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a不等于0.关于“未知数的最高次数是2”，需要注意以下三点：一是该项系数不为0；二是未知数指数为2；三是若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）：A。

2x^2+11x-2=0B。

ax^2+bx+c=DC。

2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。

例2、方程m+2xm+1=0是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出关于x的一元一次方程。

针对练：1.方程8x^2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为多少？2.若方程m-2x=0是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出关于x的一元一次方程。

3.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是多少？4.若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）：A。

m=n=2B。

m=2.n=1C。

n=2.m=1D。

m=n=1考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。

根的概念可用于求代数式的值。

典型例题：例1、已知2y+y^2-3的值为2，则4y+2y^2+1的值为多少？例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，求a的值。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为多少？例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为多少？针对练：1.已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为多少？另一根是多少？2.已知关于x的方程x^2+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同，求k的值，并求方程的另一个解。

九年级一元二次方程常见题型及解析

九年级一元二次方程常见题型及解析一、基础概念和定义1. 一元二次方程的定义在数学中，一元二次方程是指一个未知数的二次方程，它的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知数且a≠0。

2. 一元二次方程的解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、公式法等多种方法求解。

二、一元二次方程的基本形式1. 一元二次方程的标准形式通常把一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式，其中a、b、c分别为系数。

2. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是指包含a、b、c的未知数x的二次方程。

三、一元二次方程的常见题型及解法1. 二次方程的求解通过因式分解、配方法或者使用求根公式可以求解一元二次方程。

2. 一元二次方程的应用一元二次方程在实际生活中有许多应用，比如物体的抛射运动、面积和周长的问题等。

四、习题及解析1）例题一求解方程x^2+3x-4=0。

解析：使用因式分解法，将x^2+3x-4=（x-1）（x+4），得到x=1或x=-4两个解。

2）例题二一个长方形的长比宽多3米，长方形的面积是30平方米，求长和宽各是多少米？解析：设长为x+3，宽为x，根据面积公式x(x+3)=30，解一元二次方程得到x=5，长为8，宽为5。

3）例题三某人闲逛河边捡到一叶扁舟，用量尺测得船头离船尾22cm，水面外露8cm，则该船的吃水深度是多少？解析：设船的全长为x，吃水深度为（x-22），根据勾股定理得到（x-22）^2+64=x^2，解一元二次方程得到x=40，吃水深度为18cm。

五、总结与回顾1. 通过以上例题的解析，我们可以发现一元二次方程的求解需要掌握多种方法，而且能够应用到实际问题中。

2. 在解题过程中，我们需要灵活运用因式分解、配方法、公式法等多种方法，并且要注意问题转化和模型建立的能力。

3. 九年级一元二次方程作为数学的重要内容，需要我们在学习中多加练习，加强对知识的理解和掌握。

六、个人观点在学习九年级一元二次方程的过程中，我认为重点在于掌握基本解法的要能够将数学知识与实际生活相结合，灵活运用公式和方法解决问题，这样才能更好地掌握数学知识，提高解决问题的能力。

一元二次方程题目和答案

一元二次方程题目和答案题目一:求解下列一元二次方程：2x2+5x−3=0解析:对于一元二次方程ax2+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。

求根公式是：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$将题目中的系数代入该公式：a=2,b=5,c=−3代入求根公式：$$x = \\frac{-5 \\pm \\sqrt{5^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot -3}}{2 \\cdot 2}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{-5 + \\sqrt{49}}{4}$$$$x_2 = \\frac{-5 - \\sqrt{49}}{4}$$化简得：$$x_1 = \\frac{-5 + 7}{4} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$$$$x_2 = \\frac{-5 - 7}{4} = \\frac{-12}{4} = -3$$所以，原方程的解为：$$x_1 = \\frac{1}{2}$$x2=−3题目二:解下列一元二次方程：3x2−4x+1=0解析:同样使用求根公式来求解。

将题目中的系数代入求根公式：a=3,b=−4,c=1代入求根公式：$$x = \\frac{-(-4) \\pm \\sqrt{(-4)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 1}}{2 \\cdot 3}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{16 - 12}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{16 - 12}}{6}$$化简得：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{6}$$进一步化简得：$$x_1 = \\frac{4 + 2}{6} = \\frac{6}{6} = 1$$$$x_2 = \\frac{4 - 2}{6} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}$$所以，原方程的解为：x1=1$$x_2 = \\frac{1}{3}$$题目三:解下列一元二次方程：x2+6x+9=0解析:仍然使用求根公式求解。

一元二次方程概念练习题

一元二次方程一、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程叫做一元一次方程。

例1：在下列各式中①x 2+3=x; ②2 x 2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2- 4x – 5 ; ④x 2=- x1+2是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个练习：1．关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________．二、一元二次方程的一般式为： ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)例2：方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______.练习：1．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( )A 6B 5C -5D 02.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数例3：方程3 x 2+27=0的解是( )A x=±3B x= -3C 无实数根D 以上都不对练习1、关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.三、直接开平方解一元二次方程例4：（x+5）2=16 8（3 -x ）2 –72=0练习：方程x 2=1的解为______________.方程3 x 2=27的解为______________.四、配方法解一元二次方程1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2；②、x 2－5x+ =（x －）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2；④、x 2－9x+ =（x －）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-17．把方程x+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=28．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A ．2．-2．．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=011.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。

一元二次方程概念题组

3：一般形式
化成一般形式，写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
十2＝5x2—3
2＝4
十3)(3x—4)＝(x十2)2；
—1)(x—2)＝x2十8；
5）x 2十3x十2＝O
6）x 2—3x十4＝0；
2-5＝0
8）4x 2十3x—2＝0；
2—5＝0；
．关于x的方程03)3(12xxmm是一元二次方程，则m .
当m_____时，关于x的方程（│m│－4）x2+2mx－3=0是一元二次方程。
当m是什么值时，关于x的方程（m2－3m＋2）x2+（m－2）x－3=0是
1）是一元二次方程
2）是一元一次方程
方程（a－1）x2+bx－5=0是一元二次方程吗？
1）下列方程一定是一元二次方程的是（ａ2＋1）x2＋ｂx＋ｃ＝0
2）已知关于ｘ的方程（2ｍ－１）x2－ｍｘ＋（ｍ＋2）＝0,ｍ为何值时，此方程是一
此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、
3）关于x的一元二次方程mx2—3x—1=0,求m的取值范围
4）.关于x的方程(m+1)x2+2mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是
2—x=0.
＝3-7x2；
＝2(x十2)—4；
十2) 2＝4(x-3) 2
14）x2十3x十2＝O
15）x2—3x十4＝0；
3x2—5＝0
17）4x2十3x—2＝0；
2＝3-7x
＝2(x十2)—4
十2)2＝4(x-3)
2—5＝0
2—x=0
十2＝5x2—3 (2) x2＝4

一元二次方程的概念1

一元二次方程的概念1一．选择题（共20小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2=﹣1B．C．x2+y+1=0D．x3﹣2x2=1 2．如果方程（m﹣3）x2﹣（m+3）x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m不能取的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．都不对3．在下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+x+1=0B．x2=0C．（）2++1=0D．x（x﹣1）=x2．4．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a≠0C．a≠1D．a=15．下列方程中是一元二次方程的有（）（1）x3﹣2x2+5=0；（2）x2=1；（3）2x2﹣5y=0；（4）ax2+bx+c=0．A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列方程中，是一元二次方程的有（）①8x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③x2﹣=4；④x2=0；⑤x2﹣3x﹣4=0A．2个B．3个C．4个D．5个7．下列方程：①x2=0，②﹣2=0，③2x2﹣y+1=0，④x3﹣4x2+1=0中，一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若（a﹣2）+3x+4=0是关于x的一元二次方程，则a的值等于（）A．B．±2C．2D．﹣29．已知（m﹣2）x n﹣3nx+2=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠0，n=2B．m≠2，n=2C．m≠0，n=3D．m≠2，n≠0 10．若方程（m﹣1）x m2+1﹣（m+1）x﹣2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣111．一元二次方程3x2﹣6x+1=0的二次项系数、一次项系数分别是（）A．3，﹣6B．3，1C．﹣6，1D．3，612．将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，一次项系数和常数项分别是（）A．﹣1，2B．1，1C．1，﹣2D．1，213．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后一次项的系数为﹣2，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．214．方程x（x﹣5）=0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．115．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2=0B．3x2﹣4x﹣2=0C．3x2+4x+2=0D．3x2+4x﹣2=0 16．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3=0的一个解为x=﹣1，则m的值为（）A．﹣1B．﹣3C．5D．117．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根为0，则m的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．±218．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子m3+2m2+2018的值为（）A．2017B．2018C．2019D．202019．已知x=﹣1是方程x2+mx+n=0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（）A．0B．﹣1C．1D．±120．若已知2是关于x的方程x2﹣2a=0的一个根，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共20小题）21．已知（m﹣1）x﹣4x+5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为．22．关于x的方程（m2﹣4）x2﹣（m﹣2）x+1=0，当m时，原方程为一元二次方程．23．当m=时，关于x的方程（m﹣1）﹣（m+4）x+1=0是一元二次方程．24．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为．25．下列方程中，①x2=0；②x2=y+4；③ax2+2x﹣3=0（其中a是常数）；④x（2x ﹣3）=2x（x﹣1）；⑤（x2+3）=x，一定是一元二次方程的有（填序号）．26．已知（a﹣2）x2+2x=0是关于x的一元二次方程，则a满足的条件是．27．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于．28．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2﹣1化为一般形式为．29．关于x的一元二次方程x2+2x=3，其一般形式为．30．方程2x2﹣1=3x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．31．方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是．32．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是．33．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是．34．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0的一个根是零，则m=．35．若一个一元二次方程的有一个根为﹣3，请写出一个符合题意的关于x的一元二次方程．36．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的一个实数根是m，则代数式m2﹣的值等于．37．已知方程x2﹣3x+m=0与方程x2+（m+3）x﹣6=0有一个共同根，则这个共同根是．38．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣6=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为39．x=1（填“是”或“不是”）方程4x2﹣9=2x﹣7的解．40．若a是方程x2﹣3x+1=0的根，计算：a2﹣3a+=．一元二次方程的概念1参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2=﹣1B．C．x2+y+1=0D．x3﹣2x2=1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：x2=﹣1是一元二次方程，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．如果方程（m﹣3）x2﹣（m+3）x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m不能取的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．都不对【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：∵方程（m﹣3）x2﹣（m+3）x+3=0是关于x的一元二次方程，∴m﹣3≠0，即m≠3，则m不能取的值是3，故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．3．在下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+x+1=0B．x2=0C．（）2++1=0D．x（x﹣1）=x2．【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是一元二次方程，故本选项符合题意；C、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．4．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a≠0C．a≠1D．a=1【分析】根据“关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2=0是一元二次方程”，得到二次项系数a﹣1≠0，解之即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2=0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，a≠1，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．5．下列方程中是一元二次方程的有（）（1）x3﹣2x2+5=0；（2）x2=1；（3）2x2﹣5y=0；（4）ax2+bx+c=0．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据一元二次方程的定义解答．【解答】解：（1）x3﹣2x2+5=0，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程；（2）x2=1，符合一元二次方程的定义；（3）2x2﹣5y=0，含有两个未知数，不是一元二次方程；（4）ax2+bx+c=0，当a=0时，不是一元二次方程；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．6．下列方程中，是一元二次方程的有（）①8x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③x2﹣=4；④x2=0；⑤x2﹣3x﹣4=0A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据一元二次方程的定义解答．【解答】解：①8x2+x=20符合一元二次方程；②2x2﹣3xy+4=0含有两个未知数，不符合一元二次方程定义；③x2﹣=4不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；④x2=0符合一元二次方程；⑤x2﹣3x﹣4=0符合一元二次方程；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．7．下列方程：①x2=0，②﹣2=0，③2x2﹣y+1=0，④x3﹣4x2+1=0中，一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据一元二次方程的定义解答．【解答】解：①x2=0符合一元二次方程定义；②﹣2=0不是整式方程，不是一元二次方程；③2x2﹣y+1=0含有两个未知数，不是一元二次方程；④x3﹣4x2+1=0未知数的最高次数是3，不是一元二次方程；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．8．若（a﹣2）+3x+4=0是关于x的一元二次方程，则a的值等于（）A．B．±2C．2D．﹣2【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵（a﹣2）+3x+4=0是关于x的一元二次方程，∴a2﹣2=2，a﹣2≠0，解得：a=﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．9．已知（m﹣2）x n﹣3nx+2=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠0，n=2B．m≠2，n=2C．m≠0，n=3D．m≠2，n≠0【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值即可．【解答】解：∵（m﹣2）x n﹣3nx+2=0是关于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，n=2，解得m≠2，n=2．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．10．若方程（m﹣1）x m2+1﹣（m+1）x﹣2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣1【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意得：m2+1=2，m﹣1≠0，解得m=﹣1，故选：D．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．11．一元二次方程3x2﹣6x+1=0的二次项系数、一次项系数分别是（）A．3，﹣6B．3，1C．﹣6，1D．3，6【分析】找出所求的二次项系数、一次项系数即可．【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x+1=0的二次项系数，一次项系数分别是3，﹣6．故选：A．【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，一次项系数和常数项分别是（）A．﹣1，2B．1，1C．1，﹣2D．1，2【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【解答】解：将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，变为x2+x﹣2=0，故一次项系数和常数项分别是：1，﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．13．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后一次项的系数为﹣2，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】整理为一般形式后，根据一次项的系数为﹣2，列方程求解即可．【解答】解：整理得：x2﹣mx+1=0，∵一次项的系数为﹣2，∴﹣m=﹣2，解得：m=2．故选：D．【点评】考查了一元二次方程的一般形式，解决本题的关键是得到整理后的相关式子．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．方程x（x﹣5）=0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．1【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．【解答】解：∵x（x﹣5）=0∴x2﹣5x=0，∴方程x（x﹣5）=0化成一般形式后，它的常数项是0，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解答本题的关键是明确题意，可以将方程化为一般形式．15．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2=0B．3x2﹣4x﹣2=0C．3x2+4x+2=0D．3x2+4x﹣2=0【分析】方程整理为一般形式即可．【解答】解：方程整理得：3x2﹣4x+2=0，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．16．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3=0的一个解为x=﹣1，则m的值为（）A．﹣1B．﹣3C．5D．1【分析】：把x=﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3=0得到2+m﹣3=0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3=0得2+m﹣3=0，解得m=1．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根为0，则m的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．±2【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m﹣1≠0．【解答】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2﹣1=0，解得：m=1或m=﹣1，又m﹣1≠0，即m≠1，∴m=﹣1，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m﹣1≠0这一条件．18．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子m3+2m2+2018的值为（）A．2017B．2018C．2019D．2020【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，变形m3+2m2+2018为m3+m2+m2+2018，然后整体代入得结果【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m=1∵m3+2m2+2018=m3+m2+m2+2018=m（m2+m）+m2+2018=m+m2+2018=1+2018=2019．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m的等式，变形m3+2m2+2018后整体代入．19．已知x=﹣1是方程x2+mx+n=0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（）A．0B．﹣1C．1D．±1【分析】把x=﹣1代入方程x2+mx+n=0，得到：﹣m+n=﹣1，等式两边完全平方即可得到答案．【解答】解：把x=﹣1代入方程x2+mx+n=0得：（﹣1）2﹣m+n=0，解得：﹣m+n=﹣1，m2+n2﹣2mn=（﹣m+n）2=（﹣1）2=1，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法，找到m与n的关系是解决本题的关键．20．若已知2是关于x的方程x2﹣2a=0的一个根，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】把x=2代入x2﹣2a=0得×4﹣2a=0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x=2代入x2﹣2a=0得×4﹣2a=0，解得a=3．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二．填空题（共20小题）21．已知（m﹣1）x﹣4x+5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为0或3．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵（m﹣1）x﹣4x+5=0是关于x的一元二次方程，∴|m2﹣3m+2|=2，m﹣1≠0，解得：m1=0，m2=3，故答案为：0或3．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键．22．关于x的方程（m2﹣4）x2﹣（m﹣2）x+1=0，当m≠±2时，原方程为一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义可知：未知数的二次项不等于零，得到关于m 的不等式，解之即可．【解答】解：根据题意得：m2﹣4≠0，解得：m≠±2，故答案为：≠±2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．23．当m=2时，关于x的方程（m﹣1）﹣（m+4）x+1=0是一元二次方程．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）﹣（m+4）x+1=0是一元二次方程，∴，解得；m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，而b，c可以是0．24．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为﹣2．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：m=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．25．下列方程中，①x2=0；②x2=y+4；③ax2+2x﹣3=0（其中a是常数）；④x（2x ﹣3）=2x（x﹣1）；⑤（x2+3）=x，一定是一元二次方程的有①⑤（填序号）．【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：①x2=0是一元二次方程；②x2=y+4，含有两个未知数x、y，不是一元二次方程；③ax2+2x﹣3=0（其中a是常数），a=0时不是一元二次方程；④x（2x﹣3）=2x（x﹣1），整理后是一元一次方程；⑤（x2+3）=x是一元二次方程；一定是一元二次方程的有①⑤．故答案为：①⑤．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．26．已知（a﹣2）x2+2x=0是关于x的一元二次方程，则a满足的条件是a≠2．【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【解答】解：由题意，得a﹣2≠0，解得a≠2，故答案为：a≠2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．27．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于﹣2．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，∴m2﹣4=0，m﹣2≠0，解得：m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．28．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2﹣1化为一般形式为x2﹣9x+1=0．【分析】把方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式即可．【解答】解：去括号得，3x2﹣9x=2x2﹣1，移项得，3x2﹣9x﹣2x2+1=0，合并同类项得，x2﹣9x+1=0，故答案为x2﹣9x+1=0．【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．29．关于x的一元二次方程x2+2x=3，其一般形式为x2+2x﹣3=0．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：x2+2x=3则x2+2x﹣3=0，故答案为：x2+2x﹣3=0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键．30．方程2x2﹣1=3x的二次项系数是2，一次项系数是﹣3，常数项是﹣1．【分析】先将已知方程转化为一般形式，然后求方程3x2=x+2的二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：由已知方程得到：2x2﹣3x﹣1=0，所以方程2x2﹣1=3x的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，﹣3、﹣1．故答案为：2；﹣3；﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．31．方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是x2﹣5x+5=0．【分析】首先利用整式是乘法法则打开括号，然后移项、合并同类项，最后就可以得到方程的一般形式．【解答】解：由x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0，得x2﹣6x+4+x+1=0，整理，得x2﹣5x+5=0．故答案是：x2﹣5x+5=0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，其中一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．32．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是x2+2x ﹣1=0．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x的一般形式是﹣x2﹣2x+1=0，根据等式的性质方程两边同乘以﹣1得x2+2x﹣1=0．【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．33．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是2018．【分析】把x=2代入方程ax2﹣bx+4=0得到2a﹣b=﹣2，然后利用整体代入的方法计算2020+2a﹣b的值．【解答】解：把x=2代入方程ax2﹣bx+4=0得4a﹣2b+4=0，所以2a﹣b=﹣2，所以2020+2a﹣b=2020﹣2=2018．故答案为2018．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．34．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0的一个根是零，则m= 2．【分析】把x=0代入方程，求出m，再判断即可．【解答】解：把x=0代入方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0得：0+0+m2﹣4=0，解得：m=±2，∵方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0是关于x的一元二次方程，∴m+2≠0，即m≠﹣2，所以m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，能根据题意得出m2﹣4=0和m+2≠0是解此题的关键．35．若一个一元二次方程的有一个根为﹣3，请写出一个符合题意的关于x的一元二次方程x2+x﹣6=0．【分析】令方程的另一根为2，由此即可得出该一元二次方程可以为（x+3）（x ﹣2）=x2+x﹣6=0，此题得解．【解答】解：∵方程的另一个根为﹣3，可设另一根为2，∴该方程可以为（x+3）（x﹣2）=x2+x﹣6=0．故答案为：x2+x﹣6=0．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解找出方程是解题的关键．36．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的一个实数根是m，则代数式m2﹣的值等于4．【分析】将x=m代入已知方程得到m2=2m+1，然后将其代入所求的代数式进行化简即可．【解答】解：依题意得：m2﹣2m﹣1=0，∴m2=2m+1，m2﹣1=2m，∴m2﹣=2m+1﹣====4．故答案是：4．【点评】考查了一元二次方程的解的定义，解题的技巧在于利用了整体代入的数学思想．37．已知方程x2﹣3x+m=0与方程x2+（m+3）x﹣6=0有一个共同根，则这个共同根是x=1．【分析】联立两方程，解方程组即可求得共同的根．【解答】解：存在．由题意联立两方程可得，解得x=1，故答案是：x=1．【点评】本题主要考查一元二次方程的根的定义，联立方程求得两方程的根是解题的关键．38．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣6=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为3【分析】把x=﹣1代入方程得出a﹣b=6，再将分式分解因式，约分后代入，即可求出答案．【解答】解：将x=﹣1代入方程ax2+bx﹣6=0，得：a﹣b﹣6=0，a﹣b=6．∴====3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，得到a﹣b的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．39．x=1是（填“是”或“不是”）方程4x2﹣9=2x﹣7的解．【分析】把x=1分别代入方程4x2﹣9=2x﹣7的左右两边，计算即可求解．【解答】解：把x=1分别代入方程4x2﹣9=2x﹣7的左右两边，得：左边=4×12﹣9=﹣5，右边=2×1﹣7=﹣5，左边=右边，则x=1是方程4x2﹣9=2x﹣7的解．故答案为：是．【点评】此题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．40．若a是方程x2﹣3x+1=0的根，计算：a2﹣3a+=0．【分析】由方程的解的定义得出a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1、a2+1=3a，整体代入计算可得．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1=0的根，∴a2﹣3a+1=0，则a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a，所以原式=﹣1+1=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义及整体代入思想的运用．。

一元二次方程的概念2

一元二次方程的概念2一．解答题（共18小题）1．已知方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？2．试说明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．3．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．4．关于x的方程（k+1）x|k﹣1|+kx+1=0是一元二次方程，求k的值．5．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．6．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项（1）2x2=1﹣3x（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．7．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．8．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？9．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含m的代数式表示）10．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．11．（1）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1=0的根，求代数式a2﹣2015a ﹣的值．（2）先化简，再求值：x=，y=，求的值．（3）已知与|a﹣2b+1|互为相反数，求（a﹣b）2013的值．12．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．13．观察下列一组方程：①x2﹣x=0；②x2﹣3x+2=0；③x2﹣5x+6=0；④x2﹣7x+12=0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．14．若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）•（m﹣+1）的值．15．若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值．16．将方程（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值．17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣）（x+）=0；（2）（x﹣3）2=（x+4）2．18．观察下列一元二次方程：①x2+2x﹣3=0；②x2﹣7x+6=0；③3x2﹣2x﹣1=0；④5x2+3x﹣8=0．（1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；（2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程．一元二次方程的概念2参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．已知方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题．【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元二次方程，∴，解得：m=±，所以当m为或﹣时，方程方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元二次方程；（2）∵方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元一次方程，∴或m2=1解得，m=2或m=±1，故当m为2或±1时，方程方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元一次方程．【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．2．试说明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．【分析】只要证明二次项系数不为零即可．【解答】解：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4又∵（a﹣4）2≥0，∴a2﹣8a+20≠0，∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，证得二次项系数不为零是解题的关键．3．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得，|m﹣1|=2，且m+1≠0，解得：m=3，答：m的值为3．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．4．关于x的方程（k+1）x|k﹣1|+kx+1=0是一元二次方程，求k的值．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意得，，解得k=3．故k的值是3．【点评】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．5．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：由题意，得m2+3m+2=0，且m+1≠0，解得m=﹣2，m的值是﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a ≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．6．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项（1）2x2=1﹣3x（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：（1）2x2=1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1；（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．一般形式为x2﹣7x=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a ≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．7．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．【分析】把a（x+1）2+b（x+1）+c=0去括号、合并同类项，化作一元二次方程的一般形式，对照3x2+2x﹣1=0，求出a、b、c的值，再代入计算．【解答】解：整理a（x+1）2+b（x+1）+c=0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）=0，则，解得，∴a2+b2﹣c2=9+16=25，∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5．【点评】此题主要考查一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），注意最后的一步是求算术平方根，容易忽略．8．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？【分析】（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以﹣1，﹣2，2即可变形得到正确选项；（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a ≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式．（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x=2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．9．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含m的代数式表示）【分析】（1）利用一元一次方程的定义判断即可；（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．【解答】解：（1）∵方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0为一元一次方程，∴m2﹣1=0，且m+1≠0，解得：m=1；（2）∵方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0为一元二次方程，∴m2﹣1≠0，即m≠±1，则二次项系数为m2﹣1；一次项系数为﹣（m+1）；常数项为m．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元一次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．【分析】根据m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，∴m2﹣m﹣2=0，∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，∴（m2﹣m）（m﹣+1）===2×（1+1）=2×2=4．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．11．（1）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1=0的根，求代数式a2﹣2015a ﹣的值．（2）先化简，再求值：x=，y=，求的值．（3）已知与|a﹣2b+1|互为相反数，求（a﹣b）2013的值．【分析】（1）利用方程解的定义得到a2=2016a﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值；（2）先进行出x+y与xy的值，再利用通分和完全平方公式得到=，然后利用整体代入的方法计算；（3）根据题意得到+|a﹣2b+1|=0，再利用非负数的性质得到，把两方程相加可得到a﹣b的值，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）∵a是方程x2﹣2016x+1=0根，∴a2﹣2016a+1=0，∴a2=2016a﹣1，∴原式=2016a﹣1﹣2015a﹣=a﹣1﹣a=﹣1；（2）∵x==2+，y==2﹣，∴x+y=4，xy=1，∴====14；（3）∵与|a﹣2b+1|互为相反数，∴+|a﹣2b+1|=0，∴，∴3a﹣3b﹣3=0，∴a﹣b=1，∴（a﹣b）2013=1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解二元一次方程组．12．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型13．观察下列一组方程：①x2﹣x=0；②x2﹣3x+2=0；③x2﹣5x+6=0；④x2﹣7x+12=0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；（2）利用因式分解法得出符合题意的值．【解答】解：（1）由题意可得：k=﹣15，则原方程为：x2﹣15x+56=0，则（x﹣7）（x﹣8）=0，解得：x1=7，x2=8；（2）第n个方程为：x2+（2n﹣1）x+n（n﹣1）=0，（x﹣n）（x﹣n+1）=0，解得：x1=n﹣1，x2=n．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键．14．若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2=0的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）•（m﹣+1）的值．【分析】（1）根据一元二次方程的定义来求a的值；（2）由（1）得到该方程为x2﹣x﹣2=0，把x=m代入可以求得（m2﹣m）、（m﹣+1）的值；然后将其整体代入即可求得所求代数式的值．【解答】解：（1）由于x|a|﹣1﹣x﹣2=0是关于x的一元二次方程，所以|a|﹣1=2，解得：a=±3；（2）由（1）知，该方程为x2﹣x﹣2=0，把x=m代入，得m2﹣m=2，①又因为m2﹣1﹣=0，所以m﹣=1，②把①②代入（m2﹣m）•（m﹣+1），得（m2﹣m）•（m﹣+1）=2×（1+1）=4，即（m2﹣m）•（m﹣+1）=4．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义．解题时，利用了整体代入是数学思想，减少了繁琐的计算过程，提高了解题的正确率．15．若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意，得m2﹣5m+8=2且m﹣2≠0，解得m=3，m的值是3．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．16．将方程（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值．【分析】首先利用多项式乘法把方程化为3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，再整理可得2x2+x﹣1=0，从而得到a=2，b=1，c=﹣1，再代入式子即可求值．【解答】解：（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14，3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，整理得：2x2+x﹣1=0，a=2，b=1，c=﹣1，===．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣）（x+）=0；（2）（x﹣3）2=（x+4）2．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：（1）一般形式为x2+（﹣）x﹣=0，二次项系数是1、一次项系数是（），常数项是﹣；（2）一般形式为x2+6x+5=0，二次项系数，一次项系数是6，常数项是5．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a ≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．18．观察下列一元二次方程：①x2+2x﹣3=0；②x2﹣7x+6=0；③3x2﹣2x﹣1=0；④5x2+3x﹣8=0．（1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；（2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程．【分析】（1）观察方程可得到三个系数之和为0，可得出答案；（2）由（1）中所得出的结论写出一个方程即可．【解答】解：（1）在①中，a=1，b=2，c=﹣3，则a+b+c=0，在②中，a=1，b=﹣7，c=6，则a+b+c=0，在③中，a=3，b=﹣2，c=﹣1，则a+b+c=0，在④中，a=5，b=3，c=﹣8，则a+b+c=0，∴方程的系数公共的特征为a+b+c=0；（2）由（1）可知a+b+c=0，∴所写方程为x2﹣x=0．【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式，观察方程得出系数之间的关系是解题的关键．。

初中数学一元二次方程章节练习题

第八章一元二次方程一元二次方程1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．(1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x ＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念．A ．0B ．1C ．2D ．3展示素材，创设情境1．某校要在校园内墙边的空地上修建一个平面图为矩形的存车处，要求存车处的一面靠墙（墙长15m ，如图中AB 所示），另外三面用90m 的铁栅栏围起来，并在与AB 垂直的一边上开一道2m 宽的门。

如果矩形存车处的面积为480m 2，请以矩形一边长为未知数列方程。

导入新课新知探究生成2．某住宅小区准备开辟一块面积为600m2的矩形绿地，要求长比宽多10m，设绿地宽为xm，请你列出关于x的方程。

3．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙_________m,如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙_______________m。

根据题意，可得方程___________________________。

归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x 2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．1.关于x的方程（k－2）x∣k∣－3=0是一元二次方程，则k的值为( )巩固新知A.±2B.2C.－2D.－12.绿苑小区住宅设计，准备在每两栋楼房之间开辟面积为900 m 2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？如果设其长为x 米，那么所列的方程是( )A.x(10+x)=900B.x(10－x)=900C.x 2－10x+900=0D.x 2－10x －900=03.一元二次方程x 2－4=0的根为( )A.x=2B.x=－2C.x 1=2,x 2=－2D.x=44.方程（x+4）2=2x －3化为一般式是____________,二次项系数是____________,一次项系数是____________,常数项是____________。

一元二次方程知识点总结&练习

一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=± ∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

《一元二次方程》各节知识点及典型例题

第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中ax2是，a是，bx是，b是，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x 2= -1B. 2x （x-1）+1=2x 2C. x 2+3x=2xD. ax 2+bx+c-0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m-1)x-1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b--的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。

一元二次方程典型题

一元二次方程典型题一、利用配方法求解一元二次方程例：用配方法解方程x^2 - 6x - 4 = 0解：begin{align}x^2 - 6x - 4 = 0 x^2 - 6x = 4 x^2 - 6x + 9 = 4 + 9x - 3)^2 = 13 x - 3 = ±√(13) x = 3 ± √(13)end{align}解析：配方法是将一元二次方程通过配方转化为完全平方式，再利用直接开平方法求解。

在方程x^2 - 6x - 4 = 0中，首先在等式两边加上一次项系数一半的平方，即9，将方程左边配成完全平方式(x - 3)^2，然后开平方求解。

二、利用公式法求解一元二次方程例：用公式法解方程2x^2 + 3x - 1 = 0解：在方程2x^2 + 3x - 1 = 0中，a = 2，b = 3，c = -1Δ = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-1) = 9 + 8 = 17 > 0x = (-b ± √(Δ))/(2a) = (-3 ± √(17))/(2×2)所以x_1 = (-3 + √(17))/(4)，x_2 = (-3 - √(17))/(4)解析：公式法是对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），其解为x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)。

首先需要计算判别式Δ = b^2 - 4ac，判断方程根的情况。

当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根，将系数代入公式即可求出方程的解。

三、一元二次方程根的判别式的应用例：已知关于x的方程x^2 - 2x + m = 0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。

解：因为方程x^2 - 2x + m = 0有两个不相等的实数根，所以Δ = (-2)^2 - 4×1×m > 04 - 4m > 04 > 4mm < 1解析：在一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）中，判别式Δ = b^2 - 4ac。

一元二次方程

x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0
(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?
(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?
解:(1) a2-4=0
a+2≠0 ∴a=2 ∴当a=2时，原方程是一元一次方程
(2) a2-4≠0
∴a≠±2
∴当a≠±2时，原方程是一元二次方程
三、方程的根
2、(2019·大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4 万平方米，到2019年的7万平方米．设这两年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均增长率为x，则可列方程为
1.将方程化成一般形式. 2.解方程时选取方法要恰当。 3.应用根与系数关系时，要
特别注意应，b2-4ac≥0. 3.一元二次方程系数可以判断
系数是___b______,常数项是_______
1.下列关于x的方程中是一元二次方程的是（ D）
A. 3x24xB5. 2 2x23x2y4
C. x2 2 1D. 0 2x
E. a2xbxc0
2x2 32x 7 6
2、方程①
5 3y

y2
1
②
x2
3x 10 2
14.若方程(x+1)(x+a)=x²+bx-4，则( ) A. a＝4，b=3 B. a＝-4，b=3， C. a＝4，b=-3 D. a＝-4，b=-3
求证：
（1）对于任何实数x，均有：2x24x3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式 3x2 5x1的
值总大于 2x24x7 的值。
(5)X2=X(X+1)+36 (6)ax2+bx+c=0(a≠0)

一元二次方程经典题目

1、已知一元二次方程 x^2 - 6x + 9 = 0，以下哪个选项是方程的解？A. x = 3B. x = -3C. x = 0D. x = 12、一元二次方程 2x^2 + 5x - 3 = 0 的根的个数是多少？A. 2B. 1C. 0D. 33、对于一元二次方程 x^2 + 4x + 4 = 0，以下哪个选项是正确的？A. 该方程有两个不同的实数解B. 该方程有一个实数解C. 该方程没有实数解D. 该方程的解是 x = 24、已知一元二次方程 x^2 - 3x + 2 = 0，以下哪个选项是方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = -15、一元二次方程 x^2 + 7x + 10 = 0 的根的和是多少？A. 7B. -7C. 10D. -106、对于一元二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0，以下哪个选项是方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = -37、一元二次方程 x^2 - 4x + 4 = 0 的解的平方和是多少？A. 8B. 16C. 4D. 28、已知一元二次方程 x^2 + 3x + 2 = 0，以下哪个选项是方程的解？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -29、一元二次方程 x^2 - 2x + 1 = 0 的根的乘积是多少？A. 2B. -2C. 1D. -110、对于一元二次方程 x^2 + 6x + 9 = 0，以下哪个选项是方程的解？A. x = 3B. x = -3C. x = 0D. x = 1。