江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题-f1a10c0eccd84011979c7a0dc55fa7ab

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2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三(上)第一次月考数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷1一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设集合A ={x|x >2}，B ={x|x <4}，则A ∩B =______．2. 已知f(x)=ln(e 2x +1)+kx 是偶函数，则k =________.3. “x >1”是“x 2>x ”的__________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”) 4. 幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m2−2m+1在区间(0,+∞)上是增函数，则m =______．5. 直线3x +√3y −6=0的倾斜角为_________6. 若命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”是假命题，则实数m 的范围是______．7. 若tanα+1tanα=103,α∈(π4,π2)，则sin (2α+π4)+2cos π4cos 2α的值为．8. 已知函数f(x)={x −1,x <0log 2x −3,x >0，则f(16)+f(−12)=______．9. 如果直线l ：y =kx −1(k >0)与双曲线x 216−y 29=1的一条渐近线平行，那么k = ______ ．10. 将函数f(x)=sin (ωx −π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线x =π对称，则ω的最小值为．11. 已知函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0，若方程f(x)=a(a ∈R)有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 1+x 2)x 4的取值范围是______ ． 12. 如图，已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为___________．13. 已知tanα+2tanα−1=2，则sinα+2cosαsinα−3cosα=______．14. 已知函数f (x )={e x ,x ≤01−x 2,x >0，若关于x 方程，f[f(x)]−1=m 有两个不同的根x 1,x 2，则x 1+x 2的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知p ：函数f(x)=lg(ax 2−x +116a)的定义域为R ；q ：a ≥1.如果命题“p ∨q 为真，p ∧q 为假”，求实数a 的取值范围．16.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A−C=π3，求sin B的值．17.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，两个焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2(1,0)的直线l交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一个定点．18.在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)，看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为400√3平方米，设∠BAC=θ．(1)求BC的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．19.已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=xe x．(1)求f(x)−g(x)的极值；(2)当x∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．20.已知函数f(x)=(ax+b)e x−1的极值点为−1．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若x≥0时，f(x)≥2x−1，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：(2,4)解析：解：集合A={x|x>2}=(2,+∞)；B={x|x<4}=(−∞,4)；∴A∩B=(2,4)．故答案为：(2,4)．根据交集的定义进行求解即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．2.答案：−1解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．根据函数的奇偶性的定义证明即可．【解答】解：f(−x)=ln(e−2x+1)−kx=ln (e2x+1)e2x−kx=ln(e2x+1)−lne2x−kx=ln(e2x+1)−2x−kx=ln(e2x+1)+(−k−2)x =ln(e2x+1)+kx，故−k−2=k，解得：k=−1，故答案为−1.3.答案：充分不必要解析：【分析】本题考查了充分条件与必要条件的判断，为基础题．此题还需解一元二次不等式．解：由x2>x得：x>1或x<0，∴“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．4.答案：2解析：解：若幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−2m+1在区间(0,+∞)上是增函数，则由m2−3m+3=1解得：m=2或m=1，m=2时，f(x)=x，是增函数，m=1时，f(x)=1，是常函数，故答案为：2．根据幂函数的定义求出m的值，判断即可．本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．5.答案：120∘解析：【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：解：设倾斜角为θ，∵直线3x+√3y−6=0，，θ=120∘，故答案为120∘．6.答案：解析：本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题．写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+x0+m<0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2+x+m≥0”，是真命题，即1−4m≤0；解得m≥14，∴m的取值范围是[14,+∞)．故答案为[14,+∞)．7.答案：0解析：【分析】本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，考查和角的正弦公式，考查学生的计算能力，正确运用和角的正弦公式是关键，属基础题．【解答】解：∵tanα+1tanα=103，∴sinαcosα+cosαsinα=103，∴1sin2α=53，∴sin2α=35，∵α∈(π4,π2 )，∴cos2α=−45，=35×√22+(−45)×√22+√22(1−45)=0．故答案为0．8.答案：−1解析：本题考查函数值的求法以及分段函数，考查运算求解能力，属于基础题．推导出f(16)=log 216−3=1，f(−12)=(−12)−1=−2，由此能求出f(16)+f(−12)的值．【解答】解：∵函数f(x)={x −1,x <0log 2x −3,x >0, ∴f(16)=log 216−3=1， f(−12)=(−12)−1=−2， ∴f(16)+f(−12)=1−2=−1．故答案为−1．9.答案：34解析：解：双曲线x 216−y 29=1的渐近线方程为y =±34x ，由直线l ：y =kx −1(k >0)与双曲线x 216−y 29=1的一条渐近线平行，可得k =34．故答案为：34．求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k 的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．10.答案：12解析：【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查图象的平移，属于基础题．依题意，的图象关于直线x =π对称，得ω=3k+24，k ∈Z ，从而求得结果．【解答】解：的图象向左平移π3个单位后得，所以的图象关于直线x =π对称，所以ωπ+ωπ3−π6=kπ+π2，k ∈Z ，ω=3k+24，k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为12，故答案为12．11.答案：[−4,−2)解析：解：由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0与y =a 的图象如下，，结合图象可知，x 1+x 2=−2，0<log 2x 4≤1，故x 1+x 2=−2，1<x 4≤2，故−4≤(x 1+x 2)x 4<−2，故答案为：[−4,−2)．由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0与y =a 的图象，从而可得x 1+x 2=−2，0<log 2x 4≤1，从而解得．本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．12.答案：√2−1解析：【分析】本题考查抛物线与椭圆的综合问题．在研究圆锥曲线问题时，用定义来解题是比较常用的方法.先把对应图形画出来，求出对应焦点和点A 的坐标(都用p 写)，利用椭圆定义求出2a 和2c 就可找到椭圆的离心率．【解答】解：由题可得图，设椭圆另一焦点为E ，因为抛物线y2=4px(p>0)的焦点F(p,0)把x=p代入y2=4px解得y=±2p，所以A(p,2p)又E(−p,0)．故|AE|=2√2p，|AF|=2p，|EF|=2p．所以2a=|AE|+|AF|=(2√2+2)p，2c=2p．椭圆的离心率e=ca=√2−1．故答案为√2−1．13.答案：6解析：解：由tanα+2tanα−1=2，得tanα=4．∴sinα+2cosαsinα−3cosα=tanα+2tanα−3=4+24−3=6．故答案为：6．由已知求得tanα，再由同角三角函数的基本关系式化弦为切求得sinα+2cosαsinα−3cosα的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.答案：[3ln2+1,+∞)解析：【分析】本题考查分段函数，复合函数的运用，再利用分类讨论的思想解题，属于难题．令t=f(x)−1则有t≤0，再分类讨论求出x1+x2的取值范围．【解答】解：f(x)的图象如图所示：令t=f(x)−1，则有t≤0(1)当−12≤t≤0时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)−1，易知−ln2≤x0≤0，由图可知f(x)=x0只有一个解，故不成立；(2)当−1<t<−12时，x有2个解，不妨设此时的解为x3,x4，且x3<x4，则t=f(x3)−1，t=f(x4)−1，即f(x3)=f(x4)，e x3=1−x42，推出x3=ln(1−x42)，所以有x3<−ln2,0<x4<1，由图象可得，f(x)=x3有且仅有一个解，而f(x)=x4只有当12≤x4<1才满足只有一个解，此时满足题意，设x1<0,x2>0，则e x1=x4,1−x22=x3，所以x1=lnx4,x2=1−2x3，所以x1+x2=lnx4+1−2x3=lnx4−2ln(1−x4)+2ln2+1，且12≤x4<1，令g(x)=lnx−2ln(1−x)+2ln2+1，12≤x<1，易知g(x)在定义域上单调增，g(x)min=g(12)=3ln2+1，无最大值，所以g(x)∈[3ln2+1,+∞)；(3)当t≤−1时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)−1，易知x0≥1，由图可知f(x)=x0最多只有一个解，故不成立．综上所述，可知x1+x2的取值范围是[3ln2+1,+∞)．故答案为[3ln2+1,+∞)．15.答案：解：由p真，可知{a>0Δ=1−4a×116a<0，解得a>2，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2．综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．解析：由p真，可知{a>0Δ=1−4a×116a<0，解得a，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．即可解出．本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，∴2sin A+C2cos A−C2=4sin B2cos B2，化简可得cos A−C2=2sin B2，即√32=2sin B2，解得sin B2=√34∴cos B2=√134．∴sinB=2sin B2cos B2=√398．解析：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，故有2sin A+C2cos A−C2=4sin B2cos B2，化简可得sin B2=√34，故cos B2=√134.再根据sinB=2sin B2cos B2，计算求得结果．本题主要考查正弦定理的应用，两角和差的三角公式、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．17.答案：解：(1)∵依题意，{c=1ca=√22，∴c=1,a=√2，∴b=√a2−c2=1，∴椭圆的方程为x22+y2=1；(2)∵设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,−y2)，l：y=k(x−1)，代入x22+y2=1(y≠0)，∴整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，∵由韦达定理可得：x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，∴MQ的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，∵令y=0，∴得x=x1+y1(x2−x1)y1+y2=x1+k(x1−1)(x2−x1)k(x1+x2−2)=2x1x2−(x1+x2)x1+x2−2，代入x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，∴x=2x1x2−(x1+x2)x1+x2−2=2×2k2−21+2k2−4k21+2k24k21+2k2−2=2，即：x=2，∴直线过x轴上的一个定点，定点坐标为(2,0)．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)通过椭圆的离心率与焦距，求出a，c，得到b，即可求出椭圆C的方程；(2)依题意，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,−y2)，l：y=k(x−1)，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合MQ的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，令y=0，化简求解可得x=2，得到直线MQ过x轴上一个定点．18.答案：解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，∴12π(AB2)2=3×12π(AC2)2，∴AB=√3AC，∵S△ABC=12AB⋅AC⋅sinθ=√32AC2sinθ=400√3，∴AC2=800sinθ，∴AB2=2400sinθ，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosθ=3200−1600√3cosθsinθ，∴BC=40√2−√3cosθsinθ．(2)设表演台的造价为y万元，则y=120√2−√3cosθsinθ，设f(θ)=2−√3cosθsinθ(0<θ<π)，则f′(θ)=√3−2cosθsin2θ，∴当0<θ<π6时，f′(θ)<0，当π6<θ<π时，f′(θ)>0，∴f(θ)在(0,π6)上单调递减，在(π6,π)上单调递增，∴当θ=π6时，f(θ)取得最小值f(π6)=1，∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．解析：本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题．(1)根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；(2)根据(1)得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．19.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x+1)(2−e x)，∴ℎ(x)极小值=ℎ(−1)=1e−1，∴ℎ(x)极大值=ℎ(ln2)=ln22；(2)由已知，当x∈(−2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立即a≥x2+2x+1xe x =x+2+x−1e x恒成立，令t(x)=x+2+x−1e ，则t′(x)=−(x2+1)(x+1)x e，∴当x∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，当x∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，故当x∈(−2,0)时，t(x)max=t(−1)=0，∴a≥0．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值；(2)当x∈(−2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立，即a≥x2+2x+1xe x =x+2+x−1e x恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)⋅e x−1，由题意可得f′(−1)=0，即(−a+a+b)e−2=0，解得b=0；则f′(x)=ae x−1(x+1)，当a=0时，函数f(x)=e x−1无极值，不符合题意．当a>0时，f(x)在(−1,+∞)上递增，在(−∞,−1)上递减；当a<0时，f(x)在(−1,+∞)上递减，在(−∞,−1)上递增；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x−1，设g(x)=axe x−1−2x+1，若x≥0时，f(x)≥2x−1，必有g(1)=a−2+1≥0⇒a≥1，故a≥1是命题成立的一个必要条件．当a≥1，x≥0时，g′(x)=ae x−1(x+1)−2，令ℎ(x)=g′(x)ℎ′(x)=ae x−1(x+2)>0，故g′(x)在[0,+∞)单调递增，g′(x)min=g′(0)=ae−2．①当a≥2e时，g′(x)min≤0，g(x)在[0,+∞)单调递增，g(x)≥g(0)=1>0，②当1≤a<2e时，存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=ae x0−1(x0+1)−2=0，且当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)递减，x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0−1−2x0+1=2x0x0+1−2x0+1=5−2(1x0+1+x0+1)．∵x0∈(0,1)，∴令t=x0+1，t∈(1,2)．设函数m(t)=5−2t−2t，t∈(1,2)，又m′(t)=2t2−2≤0，∴m(t)单调递减，∴m(t)>m(2)=0．∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0−1−2x0+1=5−2(1+x0+1)>0，x0+1综上，a的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查不等关系的求解，属于较难题．(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)⋅e x−1，求出b的值，然后对a分类讨论，利用导数求出函数的单调性与极值即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x−1，构造函数g(x)=axe x−1−2x+1，然后利用导数求出函数的单调性与最值，求出a的范围可得答案．。

启东中学2020届高三数学复习检测试题及解析

高三数学Ⅰ 第 5 页共 10 页
参考答案
一、填空题：
1.
2. ᇙ
7.[-3/2，1/2] 8.[1－2 2，3]
3.4
4. (－∞，1)∪(2，＋∞) 5. (－∞，1)∪(3，＋∞)
9.①②④ 10.4. 3 2
11. 4
12.1∶1
13．12
6. 6 3
2
14．
e
二、解答题：
15．如图，在四棱锥 SABCD 中，SA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形．
4x2 （1）由 SAMPN > 54 得 x 3 > 54 ，
A
B
M
∵x >3，∴（2x－9）（x－9）> 0
∴3 x 9 或 x 9 2
即 AN 长的取值范围是 (3，9 ) (9，+) ． 2
4x2
（2）令 y＝
，令t x3
t 0 则 x t 3 ---------- 10 分
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二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形．（1）求证：平面 SAC⊥平面 SBD；（2）若点 M 是棱 AD 的中点，点 N 在棱 SA 上，且 AN＝1NS，求证：SC∥平面 BMN． 2
16．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 D 为 AC 的中点．已知 2sin2A＋B－ 3sin C＝1，a＝ 3， 2
b＝4.
(1) 求角 C 的大小和 BD 的长；(2) 设∠ACB 的平分线交 BD 于 E，求△CED 的面积．

江苏启东中学2020-2021学年度第一学期高三数学检测试卷

2020/2021学年度第一学期质量检测试卷高三数学 2020.09一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是（） A ．①②③B ．②③C ．②④D ．③④2.设)2,4(=a ，),6(y b =，且//，则=y （） A ．3 B ．12 C ．12- D ．3-3.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是 ( )A 、sin2y x =B 、cos2y x =C 、 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D 、sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____( )A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }5.已知P 为抛物线C ：24y x 上一点，F 为C 的焦点，若4PF ，则ΔOPF 的面积为 ( )B. 3C. 46. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足 ( )A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（）A.12 B. 23 C. 138．设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，A ＝2C ，则△ABC 周长的取值范围为（） A ．（0，2）B ．（0，3]C ．（2，3）D ．（2，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12298C C 种 B ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12299C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种10．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则（）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 211.若函数()f x 对∀a ，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有()()0f a f b +=；（2）当a ＋b ＞0时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有（）A ．()e e x x f x -=+B ．()e e x x f x -=-C ．()sin f x x x =-D ．00()10x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，12. 已知ABC ∆中，1=AB ,4=AC ,13=BC ,D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点.下列结论正确的是（）A.3=BEB.ABC ∆的面积为13C.534=AD D.P 在ABE ∆的外接圆上，则PE PB 2+的最大值为72三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分13．设函数f （x ）（a ＞0且a ≠1），若f （2）＝4，则f （﹣2020）＝ 14.函数f (x )＝ln(－2x －3)的单调递减区间为______________15．已知集合2{|10},{|20}A x mx B x Z x x =-==∈+≤，若A B A =，则满足条件的实数m 的值为____ 。

【百强校】江苏省启东中学2020届高三上学期期终复习数学考试试题(1,无答案)

江苏省启东中学2019~2020学年度期终复习一数学试卷一、单项选择题 (本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．)1．设集合{1A =，9，}m ，2{B m =，1}，若B A ⊆，则满足条件的实数m 的值为( )A ．1或0B ．1，0或3C ．0，3或3-D ．0，1或3-2．函数0()f x =的定义域为( )A ．[3-，3]2B ．[3-，33)(22--U ，3)2C ．[3-，3)2D ．[3-，33)(22--U ，3]23．已知幂函数()(f x kx k α=∈R ，)α∈R 的图象过点1(2，则k α+=( )A ．12B ．1C ．1-D ．24．若函数2()|log |f x x =的定义域为[a ，]b ，值域为[0，2]，则b a -的最小值为( )A ．34B ．3C ．2D ．325．已知函数4|log |04()1342x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，≤，，，若a b c <<且()()()f a f b f c ==，则(1)c ab +的取值范围是( ) A ．(16，64) B ．(8，32) C ．(4，6) D ．(2，3)6．若函数||1()()13x f x m =+-的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．1m <B ．1m ≥C ．01m ≤≤D ．01m <≤ 7．已知函数22log (3)2()212x x x f x x ---<⎧⎪=⎨-⎪⎩，，，≥，满足(2)1f a -=，则()f a = ( )A ．2-B ．1-C ．1D ．28．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，且(1)(2)f ax f x +-≤对任意1[2x ∈，1]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．20a -≤≤B ．10a -≤≤C ．01a ≤≤D ．31a -≤≤二、多项选择题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．恽之玮、张伟、袁新意、吴忠涛、刘志鹏、朱歆文……2000级的北大数院本科生逐渐成为中国数学新一代领军人物．其中，恽之玮、张伟、朱歆文和袁新意四人的友情持续了十几年，他们的数学品味相同，但风格各异，常常在一起讨论问题，不断的相互促进与挑战。

江苏省启东中学期初试卷及答案

W(x) = 15+0xx , 2 < x ≤ 5 ，肥料成本投入为 10x 元，其它成本投入 ( 如培育管理、施肥等人工费 )20x
元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 f(x) ( 单位：元 )． ( Ⅰ ) 求 f(x) 的函数关系式； ( Ⅱ ) 当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大? 最大利润是多少?
【答案】A
2 ．在 ABC 中， E 为 AC 上一点， AC 3AE ， P 为 BE 上任一点，若
AP
m AB n AC(m
0, n
0) ，则
3
1
的最小值是（
）
mn
A．9
B．10
C．11 D．12
【答案】D
3．已知
a
R
，则“
a
1 ”是“
1 a
1 ”的（
A．充分非必要条件
1 3
,
1 3
D．
,
1 3
1 3
,
【答案】A
8．若直角坐标平面内 A 、 B 两点满足：①点 A 、 B 都在函数 f (x) 的图象上；②点 A 、 B
关于原点对称，则称点 ( A ，B) 是函数 f (x) 的一个“姊妹点对”.点对 ( A ，B) 与 (B ，A) 可看
高二数学试卷第 2 页共 10 页
()
A. 图像关于 y 轴对称 C. 在 -∞,0 上单调递增
B. 图像关于原点对称 D. fx 恒大于 0
12. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 的图象连续不断，若存在常数 t(t ∈ R)，使得 f(x + t) + tf(x) = 0 对任意的

江苏省2020届高三上学期考试数学试卷及答案.doc

高三数学11月考.1数学Ⅰ试题一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB =．2.设幂函数αkx x f =)(的图像经过点），（24，则=+αk ．3.已知复数2i 12++=i z （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为. 4. 若双曲线1422=+-my m x 的虚轴长为2，则实数m 的值为________． 5. 已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则25+++x y x 的取值范围是__________．7..若5cos 26sin 0,,42ππαααπ⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α= ． 8.设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式0)3()12(2≤++x f x f 的解集为.9.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )(0)2A πααα<<,且直线l 与函数()y f x =的图象交于点(,sin )B ββ.若αβπ-=，则tan α的值为. 10.如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为．11.若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点B A ,，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为.（第10题）12.在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，AO →·AE →＝8，则AC →·BD →＝________．13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.14.给出函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，这里R x m b ∈,,，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，且函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为________________．二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本小题满分14分）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . （1）求DBC ∠sin ;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆)40(04222222≤<=-+-++a a a ay ax y x 的圆心为C ，直线m x y l +=:.（1）若4=m ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(]0,4的变化时，求m 的取值范围．17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中ABC ∆的支撑杆CD AB ,由长为3的材料弯折而成，AB 边的长为t 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t (BC AC ,另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为x y cos 1-=)，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN，求椭圆方程．19. (本小题满分16分）若函数)(x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使1)()(21=x f x f 成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数x x g sin )(=是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数12)(-=x x f 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围：（3）己知函数)34()()(2≥-=a a x x h 在定义域]4,34[上为“依赖函数”，若存在实数]4,34[∈x ，使得对任意的R t ∈,不等式4)()(2+-+-≥x t s t x h 都成立，求实数s 的最大值.20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．数学Ⅱ(附加题)1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ=设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.高三数学月考.1 试题Ⅰ一、填空题（每小题5分，计70分） 1.{1,1}- 2.233.i -1 4.3=m 5.充分必耍6.[2，3]7.1-8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-，9.2π10.解析：.由题意，取(0,2)M,3kAM=,因为AE AF=，所以3kAN=-，过原点所以1)N-，所以kMN=11.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-，12. －323解析：由DC→＝13AB→得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，所以AO→＝34AC→＝34⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→＝34AD→＋14AB→.因为E是BD的中点，所以AE→＝12AD→＋12AB→，所以AO→·AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫34AD→＋14AB→·⎝⎛⎭⎪⎫12AD→＋12AB→＝38|AD→|2＋18 |AB→|2＋12AD→·AB→＝32＋92＋12AD→·AB→＝8，所以AD→·AB→＝4，所以AC→·BD→＝⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→·(AD→－AB→)＝|AD→|2－13|AB→|2－23AD→·AB→＝4－13×36－23×4＝－323.13.解析：()()2222211122x ty t yx yx y xy y++-+++=≥++()01t<<12=，即15t=时()2212x yx y+++5=14.[－2，0)∪[4，＋∞)二、解答题（共6道题，计90分）15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x ＋a ）2＋（y －a ）2＝4a （0＜a ≤4），则圆心C 的坐标是（－a ，a ），半径为. 直线l 的方程化为：x －y ＋4＝0.则圆心C 到直线l |2－a |.设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L ＝＝＝.∵0＜a ≤4，∴当a ＝3时，L 的最大值为（2）因为直线l 与圆C ＝，即|m －2a |＝又点C 在直线l 的上方，∴a ＞－a ＋m ，即2a ＞m .∴2a －m ＝m ＝)21－1.∵0＜a ≤4，∴0.∴m ∈1,8⎡--⎣17. 解析： (1)对于曲线C 1，因为曲线AOB 的表达式为y ＝1－cos x ，所以点B 的坐标为(t ，1－cos t)，所以点O 到AB 的距离为1－cos t. 因为DC ＝3－2t ，所以h 1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t －cos t ＋4⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32；对于曲线C 2，设C 2：x 2＝2py ，由题意得p ＝98，故抛物线的方程为x 2＝94y ，即y ＝49x 2，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，49t 2，所以点O 到AB 的距离为49t 2.因为DC ＝3－2t ，所以h 2(t)＝49t 2－2t ＋3⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32. (2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，所以h 1(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，所以当t ＝1时，h 1(t)取得最大值2－cos 1.因为h 2(t)＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫t －942＋34，1≤t≤32，所以当t ＝1时，h 2(t)取得最大值为139.因为2－cos 1≈1.46＞139，所以选用曲线C 1，且当t ＝1时，点O 到点C 的距离最大，最大值为2－cos 1.18.（1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==；（2）①过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，则11NF MFe NN MM ==，又2N F M F =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=，两式相减得220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-，直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c=2212015x y+=．解法二：设(,0)F c，则椭圆方程为2222143x yc c+=，由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143x k x cc c-+=，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y，依题意⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ckx xkk c cx xk+=+-=+由⎧⎨⎩212212324324ckx xkx x c+=+-=解得⎧⎨⎩2122221644316443ck cxkck cxk+=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c ck k k+--⨯=+++，解之得2536k=，即6k=-．直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=，解得c=2212015x y+=．19．解：(1) 对于函数()sing x x=的定义域R内存在16xπ=，则2()2g x=2x无解故()sing x x=不是“依赖函数”；…3分(2) 因为1()2xf x-=在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n--=+=……5分由n>m>0，故20n m m=->>，得0<m<1，从而(2)mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，……7分 (3)①若443a ≤<，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x，舍去；9分 ②若4a ≥故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a = (舍)或133a =……11分从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t∈R，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……13分得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……15分从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20.（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=，令()f x '0=得，1x =或2x =．………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-．………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>，从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>，记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数，所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立．…………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立，所以002x x =，又00x >，所以0x =分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立，因为2x x+≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，………………………………………………14分消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．……………………………………………………………………………16分附加题1、【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . 因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩.所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 2、【解析】易得直线0l y +-=，设点(cos ,3sin )P αα， ∴P 到直线l的距离|3sin |22d αα--==≤=当且仅当ππ2π62k α+=-，即22ππ()3k k α=-∈Z 时取“=”，所以P 到直线l距离的最大值为3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）知每个人积分不低于9分的概率为59．则()3464=0=9729P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ；()2135424080=1=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ； ()22354300100=2=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ；()35125=3=9729P ⎛⎫=⎪⎝⎭ξ．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以6401237297297297293E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ．所以，随机变量ξ的数学期望为53．4、【解析】（1）①当时，，不等式成立.②假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据①，②可知：对所有成立.（2）当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由（1）知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有.。

2020届江苏省启东中学高三上学期期初考试数学试题(解析版)

2020届江苏省启东中学高三上学期期初考试数学试题一、填空题1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 【答案】－1【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【答案】二【解析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a mab ⊥-，则m =_________. 【答案】-1.【解析】根据,a b 坐标表示出ma b -r r，再根据()a ma b ⊥-，得坐标关系，解方程即可.【详解】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-. 【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则①1221//0a b x y x y ⇔-=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=.4．已知复数z 满足(1i)34i z +=-（i 是虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据模长的概念即可得出结果．【详解】复数z 满足(1i)34i z +=-（i 为虚数单位），∴()()()()341341711122i i i z i i i i ---===--++-，则2z ==，故答案为2. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=________. 【答案】1【解析】逆用两角和的正切公式：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可求得答案．【详解】∵()tan13tan17tan 30tan 13171tan13tan17︒+︒︒=︒+︒==-︒︒∴)tan13tan171tan13tan17︒+︒=-︒︒，∴)tan13tan17tan13tan171︒︒+︒=．故答案为1. 【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题． 6．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= __________. 【答案】6425【解析】先利用同角三角函数的基本关系把1换成22sin cos αα+，22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+，分子分母同时除以2cos α，最后把tan α的值代入即可求得答案．【详解】22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+ 2231414tan 644.tan 125314αα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即答案为6425. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．7．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC的面积为BC 的长是____．【解析】由题可知：1sin sin 2AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 2b c a A a BC bc+-=⇒== 8．已知02πα-<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____.【答案】2316-【解析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin α和tan α，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．【详解】 ∵02πα-<<，且5cos 13α=， ∴12sin 13α=-，12tan 5α=-， ∴12232cos()3sin()2cos 3sin 23tan 235124cos()sin(2)4cos sin 4tan 1645παπαααααπαααα⎛⎫-+⨯- ⎪--+-+-+⎝⎭====--+---+，故答案为2316-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题.9．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____. 【答案】32【解析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，求出ω的范围得到答案．【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈， ∴362k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32，故答案为32．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力，属于中档题. 10．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】50【解析】由条件求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用二倍角公式求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据221234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式计算求得结果．【详解】∵α为锐角，π3cos()65α+=，∴465sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴24sin 22sin cos 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故sin 2sin 21234πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3434ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2472525=+=50. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11．已知函数()()(0)6f x sin x cos x πωωω＝＋－＞．若函数()f x 的图象关于直线x＝2π对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的取值集合为______. 【答案】154,,363⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】()1sin cos sin cos sin 6226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2x π=是一条对称轴，2=+62k πππωπ∴-，得()1=+32kk Z ω∈，又()f x 在区间44，ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调， 2T ππω∴=≥，得2ω≤，且462{462πππωπππω--≥--≤，得403ω<≤，154=363ω∴，，，集合表示为154363⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，。

江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题解析

江苏省启东中学 2020 届高三上学期期初考试数学试题
11. 已知函数 f (x) sin(x ) cos x ( 0) .若函数 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，且在区间 6
[ , ] 上是单调函数，则的取值集合为___________. 44
于点 N ， P 为平面上一点，满足 2OP OB (1 )OC ，则 PM PN 的最小值为___________.
【答案】 7 16
解：建立如图直角坐标系
正方形 ABCD 的边长为1， B( 1 , 1 ) ， C( 1 , 1 )
22
22
由 2OP OB (1 )OC 得： OP ( 1 , 1 ) 44 2
6

4
4

2
2
k k
,
(k Z)

4 3
4k ,
(k Z)

8 3

4k
f (2 ) sin(2 ) 1 6
2 k ，(k Z ) 62
1 k , (k Z) 32
▲. 象限．
【答案】二
3.设向量 a (1, 0) ， b (1, m) ，若 a (ma b) ，则 m = ▲ .
【答案】－1
4. 已知复数 z 满足 (1 i)z 3 4i （ i 是虚数单位），则 | z | = ▲ .
5. 【答案】 5 2 2
5．化简： tan17 tan13 3(tan17 tan13 )
▲.
【答案】1
6.若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 4

江苏省启东中学2020届高三数学上学期期中考试Ⅱ 文选修【会员独享】

江苏省启东中学2020届高三期中考试数学试题Ⅱ（选修）附加题部分21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B , ，AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、、四点共圆． B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π ，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．PCD1A 1B 1C 1D MPABOC D （第21—A 题）23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．数学Ⅱ（选修物理）附加题部分参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B , ，AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、、四点共圆．【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ，在Rt OAP ∆中，2OM MP AM ⋅=， …………………………4分在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅，所以，MPABOC D（第21—A 题）OM MP CM DM ⋅=⋅， …………………………8分又弦CD 不过圆心O ，所以O C P D , , , 四点共圆． ………………………10分B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,, ,,所以12m n =⎧⎨=⎩,.…………………………10分 C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π ，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．【解】设点()Q ρθ,为以OP 为直径的圆上任意一点，在Rt OQP ∆中，()4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()4ρθπ=-． …………………………10分D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【证明】由2123a ab b --++=得()2113ab a b --=+-， …………………………3分PA BCD1A 1B 1C1D （第22题图）（第22题图）y又正实数a ，b 满足1a b -+≥，即1ab -≤()214a b -+，（当且仅当a b =时取“=”） …………………………6分所以()213a b-+-≤()214a b -+，即证1a b -+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D ,, ，()110B , , ，()110A λ, , ，设()01P x ,, ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分因为1A P ⊥平面PBD ，所以10A P BP ⋅=u u u r u u u r，即()()11100x x λ--⋅-=,, , , ， …………………………化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈,， …………………………故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分 23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=，所以，22222nn n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=14243个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠，所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-，设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤, , ，不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n n n n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ …………………………8分 11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． …………………………10分。

江苏省启东中学2020届高三数学上学期期中考试Ⅰ 文选修【会员独享】

江苏省启东中学2020届高三期中考试数学试题Ⅰ（选修）2020．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ . 2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6．已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7．若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ . 8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ . 12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a ,处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤ {}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（第11题图）（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o ，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2lDABC1l2lDABC（图甲）（图乙）19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．2020届高三年级期中考试数学Ⅰ（选修物理）2020．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ .2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()f x =式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6．已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =▲ .7．若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、372、327、354、361、345、337，则打印出的第59． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+= （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .（第11题图）12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r ≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .【填空题答案】1. {}1 9，；2. ；3. 0 sin x x x ∀>>，；； 5.(01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14. 1 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求四边形ABCD 的面积．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-u u u r u u u r u u u r u u u r，,()BC x y =u u u r ,, ………………………2分因为//AD BC u u u r u u u r，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分（2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++u u u r u u u r u u u r，，(2 3)BD BC CD x y =+=--u u u r u u u r u u u r ，， ………………6分因为AC BD ⊥u u u r u u u r，所以(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =u u u r ，，(0 4)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 …………………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =u u u r ，，(8 0)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，化简得()sin ωπ+=4 ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即min ωπ=2，所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222sin cos 2sin cos x x x x ωωωω=+-()212sin cos x x ωω=- 211sin 22x ω=-()11cos 4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==，在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a B c c =，由正弦定理得sin sin a B A c =，所以，sin b B c ………………………………………………………………………………7分（2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知不失一般性，可设1c =，则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=，所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o ，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-o ，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-o ，………………………………………1l2l DABC1l2lDABC（图甲）（图乙）2分解得tan α，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 60)sin tan S αα=⋅=+⋅=oo； ………………6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈o o ，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+o，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+o ，……………………………………8分解得sin tan 2cos θαθ=+，……………………………………………………………………………10分所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x=是[)0+∞，上的正函数，且()f x=在[)0+∞，上单调递增，所以当[]x a b∈，时，() ()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即ab=，，…………………………………………………3分解得01a b==，，故函数()f x的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m=+是() 0-∞，上的减函数，所以当[]x a b∈，时，()()g a bg b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a m bb m a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………………7分两式相减得22a b b a-=-，即()1b a=-+，……………………………………………………9分代入2a m b+=得210a a m+++=，由0a b<<，且()1b a=-+得112a-<<-，……………………………………………………11分故关于a的方程210a a m+++=在区间()112--，内有实数解，………………………………13分记()21h a a a m=+++，则()()10102hh->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()314m∈--，．……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()kf n为关于n的k()k∈N次多项式．数列{a n}的首项11a=，前n项和为nS．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）．因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==．而且当2n ≥时，2n n a S +=， ①112n n a S --+=， ②①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数），当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………………………………16分。

江苏省南通市启东市2019-2020学年高三上学期期中数学试题(解析版)

2019～2020学年第一学期期中素质调研测试高三数学（Ⅰ）试题参考公式：柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 为底面面积，h 为高；锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}21A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =____．【答案】{}1,0- 【解析】【分析】根据交集的定义可得出集合A B .【详解】{}21A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，因此，{}1,0A B ⋂=-.故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查集合交集的计算，主要考查对集合交集定义的理解，考查计算能力，属于基础题. 2.函数()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为____．【答案】23【解析】【分析】根据正弦型函数的周期公式可求出函数()y f x =的最小正周期. 【详解】由题意可知，函数()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2233ππ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，解题时要熟悉正弦型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3.“3x >”是“2320x x -+>”的____条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）【答案】充分不必要【解析】【分析】解不等式2320x x -+>，根据集合的包含关系判断出两条件的充分不必要条件关系. 【详解】解不等式2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，“3x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分不必要条件关系的判断，同时也考查了一元二次不等式的解法，一般转化为集合的包含关系来处理，考查运算求解能力与推理能力，属于基础题.4.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 2sin a B b A =，则cos B =______．【解析】【分析】利用边角互化思想求出cos 2sin B B =，可得出cos 0B >，再结合22cos sin 1B B +=可求出cos B 的值. 【详解】cos 2sin a B b A =Q ，由正弦定理得sin cos 2sin sin A B B A =，sin 0A >，cos 2sin B B ∴=，又sin 0B >Q ，cos 0B ∴>，由题意得22cos 2sin cos sin 1cos 0B B B B B =⎧⎪+=⎨⎪>⎩，解得cos 5B =.. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题.5.记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，122a a +=，454a a +=，则96S S =_______．【答案】73【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用已知条件求出3q 的值，再利用等比数列的求和公式可求出96S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得()()12134511214a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨+=+=⎪⎩，上述两个等式相除得32q =，所以，()()()()9133939262636111112711123111a q q S q qS q a q q q-----=====-----. 故答案为：73. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.6.如图所示，长方体1111ABCD A B C D -的体积为24，E 为线段1B C 上的一点，则棱锥1A DED -的体积为______．【答案】4 【解析】【分析】先证明出1//B C 平面11AA D D ，可得出三棱锥1E ADD -的高等于CD ，然后利用锥体的体积公式可求出三棱锥1E ADD -的体积.【详解】设矩形11AA D D 的面积为S ，CD h =，则长方体1111ABCD A B C D -的体积为24Sh =. 在长方体1111ABCD A B C D -中，平面11//BB C C 平面11AA D D ，1B C ⊂平面11BB C C ，1//B C ∴平面11AA D D ，1E B C ∈Q ，所以，三棱锥1E ADD -的高等于CD .1ADD ∆的面积为12S ，所以，三棱锥1E ADD -的体积为111112443266E ADD V S h Sh -=⋅⋅==⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，在解题时一般要找出合适的底面，并利用等体积法进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7.已知函数()1ln 2f x x x m =-+的最小值为1，则m =_____．【答案】ln 2 【解析】【分析】利用导数求出函数()y f x =的最小值，结合题中条件可求出实数m 的值. 【详解】函数()1ln 2f x x x m =-+的定义域为()0,∞+，且()11222x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得2x =.当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在2x =取得极小值，亦即最小值，即()()min 21ln 21f x f m ==-+=，因此，ln 2m =.故答案为：ln 2.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，属于中等题.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x -=．若当01x ≤≤时，()2cos2xxf x π=-，则()2019f =_____. 【答案】2- 【解析】【分析】利用题中定义推导出函数()y f x =的周期为4，然后利用周期性和奇函数的性质求出()2019f 的值. 【详解】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，()()()22f x f x f x =-=--Q ，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦.所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，则()()()()1201945051112cos22f f f f π⎛⎫=⨯-=-=-=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：2-.【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，解题的关键就是利用题中定义推导出函数的周期，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9.若02πα-<<，1cos 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2=α______．【答案】9- 【解析】【分析】求出4πα-的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用二倍角的正弦公式可计算出cos 2sin 22παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值.【详解】02πα-<<Q ，3444πππα<-<Q，sin 04πα⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭因此，1cos 2sin 22sin cos 2244339πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：9-. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式求值，解题时要求出角的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.10.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD的中点，则AE AF ⋅=______．【答案】6-【解析】【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,E -，()2,1AF ∴=-uu u r，(3,AE =-uu u r ，因此，()()(2316AE AF ⋅=-⨯-+⨯=uu u r uu u r.故答案为：6【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线3y x =上，该曲线在点A 处的切线l 与x 轴交于点B ．若A C x⊥轴，垂足为C ，且BC 长为1，则切线l 的斜率为______．【答案】27 【解析】【分析】设点()3,A t t，利用导数求出直线l 的方程，可求出点B 的坐标，由题意得出点C 的坐标为(),0t ，利用题中条件求出t 的值，由此可得出切线l 的斜率. 【详解】设点()3,A t t，对于函数3y x =，则23y x'=，所以，切线l 的方程为()323y t t x t -=-，即2332y t x t =-，令0y =，得23t x =，则点B 的坐标为2,03t ⎛⎫⎪⎝⎭，易知点C 的坐标为(),0t ， 2133t tBC t =-==，得3t =，因此，切线l 的斜率为2233327t =⨯=.故答案为：27.【点睛】本题考查函数切线方程的应用，解题时要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()254,188,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则不等式()()2f x f x +>的解集是_____．【答案】()(),03,-∞+∞U 【解析】【分析】分21x x <+≤，12x x ≤<+、21x x +>>三种情况分类讨论，结合函数()y f x =的解析式解不等式()()2f x f x +>，可得出该不等式的解集.【详解】()254,188,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩.①当21x +≤时，即当1x ≤-时，由()()2f x f x +>，得()52454x x +->-，整理得100>，该不等式恒成立，此时，1x ≤-；②当121x x ≤⎧⎨+>⎩时，即当11x -<≤时，由()()2f x f x +>，得()()2282854x x x +-++>-，整理得290x x ->，解得0x <或9x >，此时10x -<<；③当1x >时，由()()2f x f x +>，得()()2f x f x +>，即()()22282888x x x x +-++>-+，整理得4120x ->，解得3x >，此时3x >.综上所述，不等式()()2f x f x +>的解集是()(),03,-∞⋃+∞. 故答案为：()(),03,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，解题时要对自变量所满足的范围选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 13.若函数()()30,1xf x a xa a =->≠有两个不同的零点，则a 的取值范围是_______．【答案】3e 1,e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】令()0f x =，得出3x a x =，可得出0x >，在等式两边取自然对数得ln 3ln x a x =，可得出3ln ln xa x=，将问题转化为直线ln y a =与函数()3ln xg x x=的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出ln a 的取值范围，可解出实数a 的取值范围.【详解】令()0f x =，得出30x a x =>，则0x >，在等式3x a x =两边取自然对数ln 3ln x a x =，可得出3ln ln x a x =，构造函数()3ln xg x x=，则问题转化为直线ln y a =与函数()3ln xg x x=的图象有两个交点.()()231ln x g x x-'=，令()0g x '=，得x e =. 当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<.所以，函数()y g x =的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞.所以，函数()y g x =在x e =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 3g x g e e==. 如下图所示，当30ln a e <<时，即当31e a e <<时，直线ln y a =与函数()3ln xg x x=的图象有两个交点，即函数()3xf x a x =-有两个不同的零点，因此，实数a 的取值范围是31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：31,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数问题，在含单参数的函数零点个数问题，一般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问题，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 14.如图，在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos B 的最小值为_________．【解析】分析】用BA 、BD 表示AC 、AD 、AE ，然后利用2AB AD AC AE ⋅=⋅，利用平面向量的数量积的运算律以及数量积的定义得出cos B 的表达式，然后利用基本不等式可求出cos B 的最小值.【详解】D Q 、E 是BC 上的两个三等分点，3A C B C B A B D B A ∴=-=-uuu r uuu r uur uuu r uur ，AD BD BA =-uuu r uu u r uu r，2AE BE BA BD BA =-=-uu u r uur uu r uu u r uu r ，()2AB AD BA BD BA BA BA BD ⋅=-⋅-=-⋅uu u r uuu r uu r uu u r uu r uu r uu r uu u r ，()()223265AC AE BD BA BD BA BD BD BA BA ⋅=-⋅-=-⋅+uuu r uu u r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu u r uu r uu r ，2AB AD AC AE ⋅=⋅uu u r uuu r uuu r uu u r Q ，即22212102BA BA BD BD BD BA BA -⋅=-⋅+u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r ，221299cos BA BD BD BA BD BA B ∴+=⋅=⋅⋅uu r uu u r uu u r uu r uu u r uu r，可得2212cos 9BA BD B BA BD +=⋅uu r uu u r uu r uu u r ，由基本不等式得1211cos 999BA BD B BD BA ⎛⎫ ⎪=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭uu r uu u r uu u r uu r. 因此，cos B 的.. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算夹角余弦值的最值，考查了利用基本不等式求最值，解题的关键就是找出合适的基底表示向量，并根据题中条件建立代数式求解，考查运算求解能力，属于中等题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠=o ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，可得出点O 为BD 的中点，由中位线的性质得出//OE PB ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PB 平面AEC ；（2）由90PAB ∠=o ，可得出PA AB ⊥，由平面与平面垂直的性质定理可得出PA ⊥平面ABCD ，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面PAC ⊥平面ABCD ．【详解】证明：（1）连BD ，交AC 于点O ，连OE.因为底面ABCD 是平行四边形，所以O 为BD 的中点，因为E 为棱PD 的中点，所以//OE PB ，又因为OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）90PAB ∠=o Q ，PA AB ∴⊥，因为平面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD .【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明，在遇到平面与平面垂直时，一般利用平面与平面垂直的性质定理转化为直线与平面垂直，考查推理能力，属于中等题.16.已知3a x π⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎭r ，()sin ,1b x =r ，5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. （1）若a =r ，求cos2x 的值；（2）求函数()f x a b =⋅的单调区间和值域．【答案】（12）单调增区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调减区间5π2π,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．值域为[1,0]-．【解析】【分析】（1）利用平面向量的模长公式以及二倍角余弦公式可求出2cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值，并求出223x π+的值，利用同角三角函数的基本关系求出2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值，然后利用两角差的余弦公式可求出cos2x 的值；（2）利用两角和余弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦计算出2,063x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由2,632x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦、,062x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦可分别求出函数()y f x =在区间5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间和递增区间，利用正弦函数的性质可得出函数()y f x =的值域.【详解】（1）因为a =r ，所以2103cos 33x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即21cos 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以221cos 22cos 1333x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以22,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因为2cos 203x π⎛⎫+<⎪⎝⎭，所以22,32x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以2sin 23x π⎛⎫+=== ⎪⎝⎭ 所以222222cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11132326-⎛⎫=-⨯--=⎪⎝⎭；（2）因为()cos cos cos sin sin 333f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos cos sin 226x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以2,063x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当2,632x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，即52,63x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =单调递减；当,062x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =单调递增；故函数()y f x =的单调增区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调减区间52,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．由于[]sin 1,06x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的值域为[]1,0-．【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了三角函数在定区间上的单调区间和值域问题，一般利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17.已知函数()()0,1,0,1xxf x a ba ab b =+>≠>≠是偶函数．（1）求ab 的值；（2）若()()lg 1f x f <，求x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）1,1010⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由函数()y f x =为偶函数，结合定义()()0f x f x --=，得出10x x a b -=对任意的x ∈R 恒成立，由此可得出ab 的值；（2）设1a >，利用函数单调性的定义证明出函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，再由偶函数的性质，由()()lg 1f x f <可得出()()lg 1f x f <，利用函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，得出lg 1x <，解出该不等式即可.【详解】（1）因为()y f x =是偶函数，所以对任意实数x ，有()()0f x f x --=，即()()()()()()11x x xxxxxxx xxx x a b f x f x a b a b a b a b a b ab --+--=+-+=+--=+-()()()10x x x x ab a b ab ⎡⎤-+⎣⎦==，所以()()10xx x ab a b ⎡⎤-+=⎣⎦对任意实数x 成立，因为0x a >，0x b >，所以()10xab -=，即()1xab =对任意实数x 成立，所以1ab =；（2）由（1）知1b a =，此时()1xx f x a a=+，因为0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，故不妨设1a >，任取120x x ≤<，则()()()12121212121111x x x x x x x x f x f x a a a a a a aa ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a+++---=-+=. 因为120x x ≤<，1a >，所以121x x a a <≤，所以120-<x x a a ，121x x a +>，则1210x x a +->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，又因为函数()y f x =是R 上的偶函数，()()lg 1f x f <Q ，则()()lg 1f x f <， lg 1x ∴<，即1lg 1x -<<，解得11010x <<.因此，不等式()()lg 1f x f <的解集为1,1010⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、同时也考查了利用函数的单调性解不等式，解题时可充分利用偶函数的性质()()f x fx =，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45，沿倾斜角为α（其中1tan 2α=）后到达D到达山顶B ．（1）求山的高度BE ；（2）现山顶处有一塔38CB km =．从A 到D 的登山途中，队员在点P 处测得塔的视角为()CPB θθ∠=．若点P 处高度PF 为xkm ，则x 为何值时，视角θ最大？【答案】（1）3km ；（2）当34x km =时，视角θ最大. 【解析】【分析】（1）解法一：计算出cos BAD ∠的值，然后在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，利用锐角三角函数的定义求出AB ，然后在ABE ∆中利用锐角三角函数可求出BE ；解法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，计算出DG 、AG ，设BE h =，可得出1BH h =-，2DH h =-，由勾股定理222BD BH DH =+可解出h 的值，即可得出山高；（2）过P 作PM BE ⊥于M ，计算出tan CPM ∠和tan BPM ∠，利用两角差的正切公式()tan tan CPM BPM θ=∠-∠可得出tan θ关于x 的表达式，通过化简后利用基本不等式可求出tan θ的最大值，利用等号成立求出x 的值，即可得出该问题的解答. 【详解】（1）法一：因为1tan2α=，α是锐角，所以sin α=，cos α=，所以cos cos cos cos sin sin444BAD πππααα⎛⎫∠=-=+=⎪⎝⎭10=，在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M .因为AD BD ==22cos AB AM AD BAD ==∠==在ABE ∆中，cos 453BE AB ==o ，所以山的高度为3km ；法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，在ADG ∆中，DAG α∠=，1tan2α=，所以sin α=，cos α=，所以sin 1DG AD α===，cos 2AG AD α===. 设BE h =，在直角BDH ∆中，1BH h =-，2DH h =-，由于222BD BH DH =+，所以()()22212h h =-+-因为0h >，所以3h =，所以山的高度为3km ；（2）过P 作PM BE ⊥于M ，因为PF x =，所以2AF x =，因为P 在AD 上，1DG =，所以[]0,1x ∈，所以3tan 32BM x BPM PM x -∠==-，327388tan 3232x xCM CPM PM x x+--∠===--. 所以()tan tan tan tan 1tan tan CPM BPM CPM BPM CPM BPMθ∠-∠=∠-∠=+∠∠()()273383232827273388132323232xx x x x x x x x x x x-----==⎛⎫--- ⎪-⎝⎭+⋅-+---，[]0,1x ∈.令[]321,3t x =-∈，所以322tx -=，则3628tan 15392954278222t t t t t tθ==≤=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+. 当且仅当94t t=，即[]31,32t =∈时，即34x =时tan θ取得最大值229.所以，当34x km =时，视角θ最大.【点睛】本题考查解三角形中测量高度问题，同时也考查了利用基本不等式来求角的最值，解题的关键在于建立关系式，并对代数式进行化简变形，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()()22ln xae f x x a R x x=+-∈．（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间()0,2内有两个极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值ln21+，无极大值；（2）221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，求出导数()f x '，解导数方程()0f x '=，然后列表分析函数()y f x =的单调性，可得出函数()y f x =的极值；（2）求出导数()()()2xx ae x f x x='--，构造函数()xg x x ae =-，问题转化为函数()y g x =在区间()0,2上有两个零点，对参数a 进行分类讨论，利用导数分析()y g x =在区间()0,2上的单调性与极值，根据题意得出关于a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）因为0a =，所以()2ln f x x x=+，所以()22122x f x x x x='-=-，令()0f x '=得2x =．列表如下：因此，当2x =时，()y f x =有极小值()2ln 21f =+，无极大值；（2）因为()()()()2332212x x x ae x ae x f x x x x x---='=-- 由02x <<，得320x x-<，记()xg x x ae =-，()0,2x ∈，因为()y f x =在区间()0,2内有两个极值点，所以()y g x =在区间()0,2内有两个零点，所以()1xg x ae ='-且0a >，令()0g x '=，则ln x a =-.①当ln 0a -≤，即1a ≥时，()0g x '<，所以()y g x =在()0,2上单调递减，至多与x 轴有一个交点，不满足题意；②当ln 2a -≥，即210a e<≤时，()0g x '>，所以()y g x =在()0,2上单调递增，至多与x 轴一个交点，不满足题意；； ③当0ln 2a <-<时，即211a e <<时，()y g x =在()0,ln a -上单调递增，在()ln ,2a -上单调递减. 由()00g a =-<，要使()y g x =在区间()0,2内有两个零点，必须满足()()()max 2ln ln 10220g x g a a g ae ⎧=-=-->⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<，综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题关键就是将极值点转化为函数的零点来处理，在求解时可以利用分类讨论思想以及参变量分离法求解，考查化归与转化思想，属于中等题.20.数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．已知对任意的N n *∈，存在实数p 、q 满足2n n S pa qn =+．（1）若2n a n =，求p 、q 的值；（2）若1a 、2a 、3a 成等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）1,14p q ==.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，然后由条件2n nS pa qn =+可求出p 、q 的值；（2）设数列1a 、2a 、3a 的公差为0d ≥，由21122233223S pa qS pa q S pa q⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩经过变形后得出0p =或1a d =，然后分0p =和1a d =两种情况讨论，结合等差数列的定义证明出数列{}n a 是等差数列. 【详解】（1）因为2n a n =，所以()2222n n n S n n +==+，代入2n nS pa qn =+得，224n n pn qn +=+，因为上式对N n *∈恒成立，所以411p q =⎧⎨=⎩，因此，14p =，1q =；（2）因为1a 、2a 、3a 成等差数列，设公差为0d ≥，则21122233223S pa qS pa q S pa q ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩，即 ()()()()()211211211223323a pa q i a d p a d q ii a d p a d q iii ⎧=+⎪⎪+=++⎨⎪+=++⎪⎩， ()()2ii i -⨯，()()3iii i -⨯得()()()()2211221123244d p a da d iv d p a da d v ⎧=-++⎪⎨=-++⎪⎩， ()()3v iv -⨯得，()221120p a a d d -+=，所以0p =或1a d =，1°当0p =时，n S qn =，所以n a q =，所以10n n a a +-=，所以{}n a 是以q 为首项，0为公差的等差数列； 2°当1a d =时，则0d >，代入()iv ，()i 得，12p d =，2dq =，所以2122n n d S a n d =+，()2111122n n d S a n d ++=++，两式相减得222112n n n da a a d ++=-+， ()2210n n a d a +∴--=，即()()110n n n n a a d a a d +++---=，所以1n n a a d ++=或1n n a a d +-=，因为10a d =>，1a 、2a 、3a 成等差数列，所以22a d =，33a d =，下面证明1n n a a d +-=对N n *∈恒成立，假设1n n a a d ++=成立的最小n 值为k ，即1k k a a d ++=，显然3k ≥，又1k k a a d --=，两式相减得，110k k a a +-+=，这与0n a >，N n *∈ 矛盾，因此，1n n a a d +-=，N n *∈，所以{}n a 是以d 为首项d 为公差的等差数列. 综合1°2°，数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查等差数列前n 项和的求解，同时也考查了利用n S 与n a 的递推公式证明等差数列，在证明时应充分利用等差数列的定义来证明，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.附加题.21.在空间直角坐标系O xyz -中，()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,1,2C ，点P 满足AP AC λ=u u u ru u u r．（1）求点P 的坐标（用λ表示）；（2）若OP BC ⊥，求λ的值．【答案】（1）(1,,2)λλλ-．（2）14λ=．【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出AC 的坐标，结合等式AP AC λ=u u u r u u u r可得出AP 的坐标，再利用OP OA AP=+uu u r uu r uu u r 可求出点P 的坐标；（2）计算出BC 的坐标，由OP BC ⊥，得出0OP BC ⋅=uu u r uu u r，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数λ的等式，解出即可得出实数λ的值.【详解】（1）因为()1,0,0A ，()0,1,2C ，所以()1,1,2AC =-uu u r，因为(),,2AP AC λλλλ==-uu u r uu u r，所以()()()1,0,0,,21,,2OP OA AP λλλλλλ=+=+-=-uu u r uu r uu u r，所以点P 的坐标为()1,,2λλλ-；（2）因为()1,1,2BC =--uu u r ，OP BC ⊥，所以0OP BC ⋅=uu u r uu u r，即()11122410λλλλ-⨯--⨯+⨯=-=，解得14λ=．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量处理直线与直线的垂直关系，考查计算能力，属于基础题.22.确定函数()cos24cos f x x x =+，()0,2x π∈的单调区间．【答案】单调增区间为(),2ππ，单调减区间为()0,π．【解析】【分析】求出函数()y f x =的导数()()4sin cos 1f x x x =-+'，在()0,2x π∈上分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =在区间()0,2π上的单调递增区间和单调递减区间.【详解】()cos24cos f x x x =+，()()2sin 24sin 4sin cos 1f x x x x x ∴=--=-+'，()0,2x π∈，则1cos 1x -≤<，则0cos 12x ≤+<.令()0f x '>，则sin 0x <，又()0,2x π∈，所以2x ππ<<；令()0f x '<，则sin 0x >，又()0,2x π∈，所以0πx <<．因此，函数()y f x =的单调增区间为(),2ππ，单调减区间为()0,π．【点睛】本题考查利用求导数函数的单调区间，同时也考查了简单复合函数的导数，解题时要熟悉导数符号与单调区间之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.23.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==（1）求二面角11D AC B --余弦值；（2）试问线段11A B 上是否存在点E ，使得直线//DE 平面1ACB ？若存在，求线段1A E 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）10（2）线段11A B 上不存在点E ，使直线//DE 平面1ACB ，理由见解析【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，AC 、AB 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出二面角11D AC B --的余弦值；（2）设()101A E a a =≤≤，求出点E 的坐标，由//DE 平面1ACB ，可得出DE 与平面1ACB 的法向量垂直，转化为两向量数量积为零求出a 的值，即可判断出点E 是否存在.【详解】（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，因为AB AC ⊥，所以，以A 为坐标原点，AC 、AB 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.依题意可得()0,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,0C ，()1,2,0D -，()10,0,2A ，()10,1,2B ，()12,0,2C ，()11,2,2D -．设(),,m x y z =为平面1ACB 的法向量，则100m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩.因为()10,1,2AB =，()2,0,0AC =，所以2020y z x +=⎧⎨=⎩.不妨设1z =，可得()0,2,1m =-．设()111,,n x y z =为平面1ACD 的法向量，则100n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩.因为()11,2,2AD =-，()2,0,0AC =，所以111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设11z =，可得()0,1,1n =．所以cos ,5m n m n m n ⋅===⋅⨯．由图知，二面角11D AC B --为锐角，所以二面角11D AC B --；（2）假设线段11A B 上是否存在点E ，使得直线//DE 平面1ACB ，则0DE m ⋅=uuu r u r，设()101A E a a =≤≤，则()0,,2E a ，()1,2,2DE a =-+．所以()2220DE m a ⋅=-++=，所以1a =-，不合题意，故舍去所以，线段11A B 上不存在点E ，使直线//DE 平面1ACB .【点睛】本题考查利用空间向量法求二面角的余弦值，同时也考查了利用空间向量法处理线面平行的存在性问题，一般转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，考查计算能力，属于中等题.24.已知1x >，()111n n n x S x x +-=+，()()()112n n x T x +-=，N n *∈．（1）比较()2S x 与()2T x 的大小；（2）比较()n S x 与()()n T x n N*∈大小，并加以证明．【答案】（1）()()22S x T x <；（2）()()n n S x T x ≤，N n *∈，证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用作差法可得出()2S x 与()2T x 的大小关系；（2）猜想()()n n S x T x ≤，N n *∈，利用分析法可得知要证()()11112n n n n x x x x -++++++≤L ，N n *∈，然后利用数学归纳法证明出即可，即可证明()()(),1n n S x T x n N x *≤∈>.【详解】（1）()()()()()()()3232222213113111221x x x x x S x T x x x ---+---=-=++()()()()()()()()()2232222121311*********x x x x x x x x x x x ⎡⎤-++-+--+--⎣⎦===-+++.因为1x >，所以()()321021x x --<+，所以()()220S x T x -<，所以()()22S x T x <；（2）结论：()()n n S x T x ≤，N n *∈，证明如下：要证()()n n S x T x ≤，N n *∈，只要证()()111112n n n x x x ++--≤+，N n *∈. 只要证()()()()1111112n n n x x x x n x x --+++++-≤+L，N n *∈.因为1x >，所以只要证()()11112n n n n x x x x -++++++≤L ，N n *∈（i ）.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，（i ）式成立；②假设当n k =时，（i ）式成立，即有()()11112k k k k x x x x -++++++≤L ，则当1n k =+时，（i ）式左边()()111112k kk k k x x x xx ++++=++++≤+L ，而此时（i ）式右边()()1212k k x +++=，所以只要证()()()()11112122k k k k x k x x +++++++≤，只要证()1110k k kxk x +-++≥（ii ），令()()111k k f x kx k x +=-++，1x >，k *∈N ，因为()()()()()1111110kk k f x k k x k k x k k x x --'=+-+=+->，所以()y f x =在()1,+∞上单调递增，所以()()10f x f >=，故（ii ）式成立.这就是说，当1n k =+时，（i ）式也成立，综合①②可知（i ）式成立，所以()()n n S x T x ≤，N n *∈成立，得证.【点睛】本题考查数列不等式的证明，一般利用数学归纳法来证明，在证明时也可以结合分析法与导数来证明，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

江苏省启东中学2020届高三英语上学期期初考试试题

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三英语试题第一部分听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.18.C. ￡9.15.1. Why does the man need a map?A. To tour Manchester.B. To find a restaurant.C. To learn about China.2. What does the woman want to do for vacation?A. Go to the beach.B. Travel to Colorado.C. Learn to snowboard.3. What will the man probably do?A. Take the job.B. Refuse the offer.C. Change the working hours.4. What does the woman say about John?A. He won’t wait for her.B. He won’t come home today.C. He won’t be on time for dinner.5. What will the speakers probably do next?A. Order some boxes.B. Go home and rest.C. Continue working.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听第6段材料，回答第6、7题。

6. How does the woman usually go to work?A. By car.B. By bus.C. By train.7. What do the speakers agree about taking the train?A. It is safer.B. It is faster.C. It is cheaper.听第7段材料，回答第8至10题。

启东中学2020届高三第一次模拟考试

1y=于点N，且和椭圆隔开，使得ABEF 为矩形，EFCD 为正方形，设AB x =米，已知围墙（包括EF ）的修建费用均为800元每平方米，设围墙（包括EF ）的的修建总费用为y 元。

（1）求出y 关于x 的函数解析式；（2）当x 为何值时，设围墙（包括EF ）的的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值。

17. 解：（1）设AD t =米，则由题意得600xt =，且t x >，故600t x x=>，可得0x << ……………………4分（说明：若缺少“0x <<2分）则600400800(32)800(32)2400()y x t x x x x=+=+⨯=+，所以y 关于x 的函数解析式为4002400()y x x=+(0x <<.（2）4002400()240096000y x x =+⨯=≥，当且仅当400x x=，即20x =时等号成立.故当x 为20米时，y 最小. y 的最小值为96000元.………………14分18.如图，在平面直角坐标系xOy 中。

椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，右准线为l 。

（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程。

（2）过点F 作直线交椭圆C 于点,A B ，又直线OA 交l 于点T ,若2OT OA =，求线段AB 的长；（3）已知点M 的坐标为()000,,0x y x ≠，直线OM 交直线0012x xy y +=于点N ，且和椭圆C 的一个交点为点P ，是否存在实数λ，使得2?OP OM ON λ=⋅，若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由。

ABDCE F 第17题图。

江苏省启东中学2020┄2021学年度第一学期2020┄2021届高三年段过关考试

江苏省启东中学2020┄2021学年度第一学期高三年段过关考试以下数据可供解题时参考，可能用到的相对原子质量： H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 P 31 Cl 35.5 K 39 I 127 Pt 195 Cu 64 S 32 Fe 56 Mg 24第 I 卷（选择题，共48分）一．选择题（本题包括8小题，每小题3分，共24分。

每小题只有1个选项符合题意）1．氯气是一种重要的工业原料。

工业上利用反应在3Cl2＋2NH3＝N2＋6HCl检查氯气管道是否漏气。

下列说法错误的是A 若管道漏气遇氨就会产生白烟B 该反应利用了Cl2的强氧化性C 该反应属于复分解反应D 生成1molN2有6mol电子转移2．在由水电离产生的H＋浓度为1×10—13mol·L—1的溶液中，一定能大量共存的离子组是① K＋、Cl—、NO3—、S2—② K＋、Fe2＋、I—、SO42—③ Na＋、Cl—、NO3—、SO42—④Na＋、Ca2＋、Cl—、HCO3—⑤ K＋、Ba2＋、Cl—、NO3—A．①③B．③⑤C．③④D．②⑤3．取一个配有合适胶塞的洁净、干燥的锥形瓶，准确称量得到质量m1（单位g，下同），若在同温同压下，用同一个锥形瓶分别通入某烷烃（丁烷为主）样品和加满水准确称量得到的质量依次是m2、m3，每次称量胶塞塞入瓶口的位置均相同，用ρ（g/L）表示有关物质的密度，已知空气在该条件下的平均相对分子质量为29.0，则下列求算有关量的的是（）计算式不正确．．．A 、该锥形瓶所盛各物质的体积=（m 3-m 1）/（水ρ-空气ρ）B 、锥形瓶内空气的质量（m 空气）=（m 3-m 1）空气ρ/（水ρ-空气ρ）C 、瓶中样品的质量（m 样品）= m 2-m 1+m 空气D 、由实验测得该烷烃的平均相对分子质量=样品空气m m ⨯0.294．下列关于盐的反应规律的说法中不正确的是（）①盐和酸反应一定生成另一种盐和另一种酸②盐和碱反应一定生成另一种盐和另一种碱 ③两种盐反应一定生成另外两种盐 ④阳离子相同的两种盐一定不能发生反应A ．只有②B ．只有③C ．只有①④D ．①②③④5、A 、B 、C 三种物质各15 g ，发生如下反应： A ＋B ＋C −→−D 反应后生成D 的质量为30 g 。