第一章数值计算方法与误差分析

0.4900 − 0.484 1 1 −1 = 0.012397 < 0.0125 = ×10 = ×10−(2−1) 0.484 2× 4 2× 4
第四节 数值运算中误差的传播
要分析数值运算中误差的传播，首先就要估 计数值运算中的误差。数值运算的误差估计情况 较复杂, 通常利用微分来估计误差。
一、利用微分估计误差
特别注意
近似值后面的零不能随便省去， 如 例2中4.27和4.270，前者精确到4.27,有效 数字为3位，取4位，x3*=4.270,有效数字 为4位。可见,它们的近似程度完全不同, 与准确值的最大误差也完全不同。
有效数字和绝对误差的关系
定义3换一种说法就是：设x的近似值 x*= ±0.a1a2… an … ×10p 若其绝对误差 |ε(x)|=|x－x*| ≤0.5 ×10p-n － 则称近似数x*具有n 位有效数字。这里p为整数，a1 , a2 , … , an 是0 到9中的一个数字且a1≠0 。 例如，若x*=0.23156×10-2是x 的具有五位有效数字的近似 值，则绝对误差是 |x－x*| ≤0.5 ×10-2-5 = 0.5 ×10-7 － 定义3或式 |ε(x)|=|x－x*| ≤0.5 ×10p-n － 建立了绝对误差(限)和有效数字之间的关系。由于n 越大，10p-n 的值越小，所以有效数字位越多，则绝对误差(限)越小。 有效数字位越多，
1. 一元函数 设 y=f(x)为一元函数，则计算函数值的 误差为
ε(y)=y－y*=f(x)－f(x* )
≈dy=f '(x)dx ≈ f '(x)ε(x) 解的相对误差
εr(y) ≈dy/y
一元函数的误差估计举例
例 正方形的边长约为100cm, 怎样测量才能使其 面积误差不超过1cm2。 解 设正方形的边长为xcm, 测量值为x*cm, 面积 y=f(x)=x2 f′(x)=2x
有效数字与相对误差关系举例
注意从
|εr(x)| ≤1/(2×a1) ×10-(n-1)
并不能保证x*一定具有n位有效数字。 如 x=sin29020´=0.4900 设其近似值 x*=0.484 , 其相对误差为
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为 x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005 即可知近似值x*并不具有两位有效数字。 实际上, x*只有一位有效数字。
（三）截断误差（方法误差） 截断误差（方法误差）
当数学模型得不到精确解时，要用数 值计算方法求它的近似解，由此产生的误 差称为截断误差或方法误差。譬如在数值 计算中，常用收敛的无穷级数的前几项来 代替无穷级数进行计算，即抛弃了无穷级 数的后段，这样就产生了截断误差。
截断误差举例
例如 sinx=x－x3/3!+x5/5!－x7/7!+…, －∞<x<＋∞ 当|x|很小时, 常用x代替sinx , 其截断误差大 约为x3/6。截断误差的大小 , 直接影响数值 计算的精度, 所以它是数值计算中必须十分 重视的解有效数字的概念,首先要弄清什么是半 个单位。 • 我们知道，当x有很多位数字时，常常按照 “四舍五入”原则取前几位数字作为x的近似值x*。 例1 设 x = π = 3.1415926 …
•
取x1*=3作为π的近似值,则|ε1(x)|=0.1415 … ≤0.5×100； 取x2*=3.14，则|ε2(x)|=0.00159 … ≤0.5×10-2； 取x3*=3.1416, 则|ε3(x)|=0.0000074 … ≤0.5×10-4 。
有效数字与相对误差的关系
定理1 若近似数x*具有n位有效数字，则 其相对误差为 |εr(x)| ≤1/(2×a1) ×10-(n-1) 其中a1≠0是x*的第一位有效数字。
定理1说明有效数字位越多,相对误差(限)越小。
定理2 形式如x*= ±0.a1a2… an … ×10p的近似数 2 x*，若其相对误差满足 |εr(x)| ≤1/[2×(a1+1)] ×10-(n-1) 则x* 至少有n位有效数字。 由此可知，有效数字位数可刻画近似数的精 确度，相对误差(限)与有效数字的位数有关。
本章介绍的内容
ⅰ）数值计算方法的含义及其特点； ⅱ）误差的来源； ⅲ）误差的有关概念（绝对误差、相对误差、有 效数字）； ⅳ）误差的传播过程； ⅴ）算法的数值稳定性概念； ⅵ）选用数值算法的若干原则。
第一节
数值计算方法
数值计算方法是应用数学的一个分支,又称数值 分析或计算方法,它是研究用计算机求解各种数学问 题的数值方法及其理论的一门学科,是程序设计和对 数值结果进行分析的依据和基础。 我们知道，用计算机解决科学计算问题需要经 过以下几个过程：提出具体问题,建立数学模型，选 用数值计算方法，程序设计 、上机调试直至得出最 终数值结果。可见,选用数值计算方法是应用计算机 进行科学计算全过程的一个重要环节。
第一章 数值计算引论
数值计算方法就是要解决如何让计算机计算 数值( 如解方程、解方程组、求积分等 )不仅算得 快（用的机时少）、而且也要算得准（ 与真实值 ) 的误差小) 的问题。如果光算得快 , 算得不准 ( 超 过了误差范围),计算出来的结果不能用, 计算也就 没有什么意义。如何才能让计算机既算得快又算 得准（误差达到最小）呢？这就需要掌握一些误 差知识。
二、相对误差和相对误差限 相对误差和相对误差限
绝对误差的大小并不能确定近似程度的好坏。 例如，有两个温度计，其一测量1000℃时的绝对误 差限为 5℃， 而另一测量 100℃时的绝对误差限为 1℃，虽然后者绝对误差限的数值较小, 但第一种温 度计更为精确。可见 , 决定一个量的近似值的精确 度除了要看绝对误差的大小外，还要考虑到该量本 身的大小。据此，我们引进相对误差的概念。
第二节
科学计算中误差的来源
用计算机解决科学计算问题通常经历以下过 程：
实际问题 程序设计 数学模型 数值计算方法
上机计算结果
据此误差的来源主要有以下四类。
（一）模型误差
在将实际问题转化为数学模型的过程中，为 了使数学模型尽量简单，以便于分析或计算，往 往要忽略一些次要的因素，进行合理的简化。这 样，实际问题与数学模型之间就产生了误差，这 种误差称为模型误差。由于这类误差难于作定量 分析，所以在计算方法中，总是假定所研究的数 学模型是合理的，对模型误差不作深入的讨论。
数值计算方法特点
• （1）面向计算机。根据计算机特点提供实际 可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、 除和逻辑运算，是计算机所能直接处理的。 • （2）有可靠的理论分析。能任意逼近并达到 精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析。有相应的数学理 论做基础。 • （3）有好的计算复杂性（包括空间复杂度和 有好的计算复杂性（ 时间复杂度）。算法需占用的存储空间要小， 时间复杂度）。 运算次数要少。这也是建立算法要研究的问题， 它关系到算法能否在计算机上实现。
ε(y*)=y-y*≈dy*=f '(x*)dx* ≈f '(x*)ε(x*) f '(x*)ε(x*) =2x*ε(x*)=200ε(x*) 由于 |ε(y*)|≤1 即 |200ε(x*)| ≤1 所以， ε(x*) ≤0.005cm
≈dy=∂f (x1,x2 )/∂x1*ε(x1)+∂f (x1,x2 )/∂x2*ε(x2) 解的相对误差 εr(y) ≈dy/y
（二）观测误差
在数学模型中，一般都含有从观测（或 实验）得到的数据，如温度、时间、速度、 距离、电流、电压等等。但由于仪器本身的 精度有限或某些偶然的客观因素，会引入一 定的误差，这类误差叫做观测误差。通常根 据测量工具或仪器本身的精度，可以知道这 类误差的上限值，所以无需在数值分析中作 过多的研究。
相对误差限的概念
在实际计算中, 由于ε(x)与x都不能准 确地求得,因此相对误差 εr(x)也不可能准确 地得到, 我们只能估计它的大小范围。即指 定一个适当小的正数η，使 |εr(x)|= |ε(x)|/|x| ≤η 称η为近似值x*的相对误差限。 当|εr(x)|较小时，可以用下式来计算η： η=ξ/|x*|
相对误差限概念举例 • 显然，上例第一种温度计的相对误 差限为5/1000；而第二种的相对误差限为 1/100，它是前者的两倍。
三、有效数字
• 为了既能表示近似数的大小，又能 表示近似数的精确程度，我们下面介绍 有效数字的概念（注意：有效数字既能 表示近似数的大小，又能表示近似数的 精确程度）。
（四）舍入误差
由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点运 算过程中都可能产生误差。而事实上，无论用电子计 算器计算还是笔算，都只能用有限位小数来代替无穷 小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数 ，这样产生的误差叫做舍入误差。在数值计算中，往 往要进行成千上万次四则运算，因而就会有成千上万 个舍入误差产生，这些误差一经叠加或传递，对精度 可能有较大的影响。所以，作数值计算时，对舍入误 差应予以足够的重视。
小 结
上述四类误差都会影响计算结果的准确性， 但模型误差和观测误差往往需要会同各有关学科 的科学工作者共同研究, 因此在计算方法课程中, 主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的 误差）对计算结果的影响。
第三节 误差的有关概念
一、绝对误差和绝对误差限
定义1 假设某一量的准确值为x ，近似值为x*, 则 x与x*之差叫做近似值x*的绝对误差（简称误差），记 为ε(x)，即
ε(x)= x－x* |ε(x)︱的大小标志着x*的精确度。一般地，在同一 量的不同近似值中,︱ε(x)︱越小，x*的精确度越高。 当︱ε(x)︱较小时，由微分和增量的关系知x*的绝对 误差ε(x)≈dx ，故我们可以利用微分估计误差。
绝对误差限的概念
由于准确值x一般不能得到，于是误差的准确值也无法求得， 但在实际测量计算时，可根据具体情况估计出它的大小范围。也 就是指定一个适当小的正数ξ，使 |ε(x)|= |x－x* |≤ ξ － 我们称ξ为近似值x*的绝对误差限。 有时也用 x = x*± ξ 表示近似值的精度或准确值的所在范围。 在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的。例如，测得某一 物体的长度为5m，其误差限为0.01m，通常将准确长度ѕ记为 ѕ =5 ±0.01 即准确值在5m左右，其误差限为0.01m的误差限。