质点习题课1~4章
第一章 质点运动学作业答案
一.选择题:［B］1、[基础训练2]一质点沿x轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，则t=4.5 s时，质点在x轴上的位置为(A) 5m．(B) 2m．(C) 0．(D) -2 m．(E) -5 m.【答】4.5sx vdt=⎰，质点在x轴上的位置即为这段时间内v-t曲线下的面积的代数和：(1 2.5)22(21)122()x m=+⨯÷-+⨯÷=［A］2、[基础训练5] 一条河在某一段直线岸边同侧有A、B两个码头，相距1 km。
甲、乙两人需要从码头A到码头B，再立即由B返回。
甲划船前去，船相对河水的速度为4 km/h；而乙沿岸步行，步行速度也为4 km/h．如河水流速为2 km/h, 方向从A到B，则(A) 甲比乙晚10分钟回到A．(B) 甲和乙同时回到A．(C) 甲比乙早10分钟回到A．(D) 甲比乙早2分钟回到A．【答】甲：()()112()42423A B B At t t h→→=+=+=+-甲；乙：1122 ()42A B B A A Bt t t t h→→→=+==⨯=乙；∴1()10 (min)6t t t h∆=-==甲乙［C］3、[自测提高1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是(A) 匀加速运动．(B) 匀减速运动．(C) 变加速运动．(D) 变减速运动．(E) 匀速直线运动．【答】如图建坐标系，设船离岸边x米，222l h x=+，22dl dxl xdt dt=，dx l dl dldt x dt x dt==，dlvdt=-，22dx h xv i v idt x+==--12223v hdv dv dxa idt dx dt x==⋅=-，可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。
［B］4、（自测提高3）质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每T秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为(A) 2πR/T , 2πR/T．(B) 0 , 2πR/T(C) 0 , 0．(D) 2πR/T , 0.【答】平均速度大小：0rvt∆==∆平均速率：2s Rvt T∆==∆π［C］5、[自测提高6]某物体的运动规律为tkt2d/d vv-=，式中的k为大于零的常量．当0=t时，初速为v0，则速度v与时间t的函数关系是(A)221vv+=kt, (B)221vv+-=kt,(C)2121vv+=kt, (D)2121vv+-=kt【答】tkt2d/d vv-=，分离变量并积分，2v tvdvktdtv=-⎰⎰，得2121vv+=kt.［B］6、[自测提高7]在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2 m/s速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向．今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y 方向单位矢用i、j表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为(A) 2i＋2j．(B) -2i＋2j．(C) －2i－2j．(D) 2i－2j．【答】B A对v=B对v地+A对v地=B对v地-A对v地=2222 (/)j i i j m s-=-+.二.填空题7、[基础训练10] 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度v的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°，则物体在A点的切向加速度a t = -0.5g ，轨道的曲率半径23vg⨯.（重力加速度为g）【答】如图，将重力加速度分解为切向加速度分量和法向加速度分量，得2200sin300.5,cos30cos30t nv va g g a ggρρ=-=-==∴=8、[基础训练12] 一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t－t2(SI)，则在t由0至4s的时间间隔内，质点的位移大小为 8 ()m，在t由0到4s的时间间隔内质点走过的路程为 10 ()m．【答】（1）x = 6 t －t 2 (SI)，位移大小()24064408 ()r x x m ∆=-=⨯--=；（2）62x dxv t dt==-，可见，t<3s 时，x v >0；t=3s 时，x v =0；而t>3s 时，x v <0；所以，路程=()()()3034()909810 ()x x x x m -+-=-+-=9、[基础训练13]在xy 平面内有一运动质点，其运动学方程为：jt i t r5sin 105cos 10+=（SI ），则t 时刻其速度=v (m/s) )5cos 5sin (50 j t i t +-；其切向加速度的大小a t = 0 ；该质点运动的轨迹是 圆 ． 【答】（1）50(sin 5cos 5) (m/s)drv t i t j dt==-+； （2）速率50 /v m s =，切向加速度0t dva dt== （3）10cos5x t =，t y 5sin 10=，可见，22100x y +=，轨迹为一个圆。
第一章质点运动学习题课
质点运动学
30
物理学
第五版
第一章习题课
9 一质点在半径为0.10m的圆周上运动，设t=0时 质点位于x轴上，其角速度为ω=12t2。试求
质点运动学
23
物理学
第五版
第一章习题课 5 一小轿车作直线运动，刹车时速度为v0，刹车 后其加速度与速度成正比而反向，即a=-kv，k 为正常量。
试求
（1）刹车后轿车的速度与时间的函数关系
（2）刹车后轿车最多能行多远？
解：
dv 1 kt 由 a kv kv dv kdt v Ce （1） dt v
（3） v R 25 1 25m s
1
a R m s 2
质点运动学
29
物理学
第五版
第一章习题课 8 一质点沿半径为R的圆周运动，质点所经过的弧 长与时间的关系为s=bt+ct2/2，其中b，c为常量， 且Rc>b2。 求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的 时间 解：
答案：B
质点运动学
4
物理学
第五版
第一章习题课
4 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一 定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人 以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率 为v,则小船作( )
质点运动学
5
物理学
第五版
第一章习题课
v0 (A) 匀加速运动, v cos
(B) 匀减速运动,
第一章习题课
大学物理课后习题及答案(1-4章)含步骤解
，根据流量守恒
,
（2）当
（3）当
时，
时，
−
,整理可得：
可得
，即
,
图1-34所示为输液的装置。设吊瓶的截面积为1 ，针孔的截面积为2 ，且1 ≫ 2 ，开始时( = 0)，吊瓶内上下
液面距针孔的高度分别为ℎ1 和ℎ2 ，求吊瓶内药液全部输完时需要的时间。
，则针孔的流量为
液体总体积为
Ԧ =
= 2Ԧ − 2 Ԧ = −2Ԧ
1s末和2s末质点的速度为： 1 = 2Ԧ − 2Ԧ（m ∙ s−1 ），2 = 2Ԧ − 4Ԧ（m ∙ s −1 ）；
1s末和2s末质点的加速度相等：Ԧ = −2Ԧ （m ∙ s−2 ）
已知一质点做直线运动，其加速度Ԧ = 4 + 3 m ∙ s−2 , 开始运动时，0 = 5 m,
= 0.06（m）
（2）设弹簧最大压缩量为∆′ , 与碰撞粘在一起的速度为 ′，0 = ( +
) ′，代入已知条件可得 ′ = 4Τ11， + 压缩弹簧的过程中，机械能守恒，则
1
(
2
1
+ ) 2 = 2 ∆′2 ，得∆′ =
+
≈ 0.04（m）
(1)角加速度 =
由 =
∆
∆
=
0−2×1500÷60
50
由 =
=
2×1500
60
= 50 (rad ∙ s −1 )
= − (rad ∙ s−2 )
= −，得 = −，两边进行积分
得到 − 50 = − − 0,
习题课-质点力学
d 2s v2 dv v2 v ˆ ˆ ˆ a = 2 τˆ + n = τˆ + n = aττˆ + an n dt R dt R
角加速度
dω β= dt v v
aτ = β R an = ω R
2
3. 运动学两类问题的求解 已知质点的运动方程，求质点的状态 微分 已知质点的运动方程，求质点的状态—微分 已知质点的状态，求质点的运动方程 积分 已知质点的状态，求质点的运动方程—积分 三 注意区分
t1
v v 1 dA = F ⋅ dr = dEk Ek = mv 2
Aab = ∫
rb ra
力的空间积累效应
2 v v F ⋅ dr = Ekb − Eka
uu d L v M= u v dtv v L=r×p
第三定律
v v v v v v Fij + Fji = 0, ri × Fij + rj × Fji = 0
dx 2 v= = 9t − 6t dt
d2x a = 2 = 9 − 12t dt
从上式可见质点开始时沿x 正向运动， 从上式可见质点开始时沿 正向运动，而加 速度在0.75s后反向，所以运动有折返。正确的解 后反向， 速度在 后反向 所以运动有折返。 法是找到运动折返的时刻。 法是找到运动折返的时刻。 dx v=0 即 =0 由 dt x1.5 = xmax t = 1.5s 得 x1 所以 x2 X1.5
dω = 2dt
∫θ
t
θ + 75
dθ = ∫
t +5
t
2tdt
∫
ω
0
d ω = ∫ 2dt
0
75 = (t + 5)2 − t 2
大学物理第一章质点运动学习题解(详细、完整)
第一章 质点运动学1–1 描写质点运动状态的物理量是。
解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。
1–2 任意时刻a t =0的运动是运动；任意时刻a n =0的运动是运动；任意时刻a =0的运动是运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是运动。
解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。
1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为（)m/s 102=g 。
解：此沟的宽度为m 345m 1060sin 302sin 220=︒⨯==g R θv1–4 一质点在xoy 平面运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。
解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得2=x m ，7=y ms t 1=故时质点的位置矢量为j i r 72+=（m ）由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为m/s 2d d ==t x x v ，m/s 4d d t tx y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为j i 82-=v （m/s ）质点在任意时刻的加速度为0d d ==ta x x v ，2m/s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2。
1–5 一质点沿x 轴正向运动，其加速度与位置的关系为x a 23+=，若在x =0处，其速度m/s 50=v ，则质点运动到x =3m 处时所具有的速度为__________。
解：由x a 23+=得x xt x x t 23d d d d d d d d +===v v v v 故x x d )23(d +=v v积分得⎰⎰+=305d )23(d x x v v v则质点运动到x =3m 处时所具有的速度大小为 61=v m/s=7.81m/s ；1–6 一质点作半径R =1.0m 的圆周运动，其运动方程为t t 323+=θ，θ以rad 计，t 以s 计。
第一章质点运动学习题课
v v v v绝 = u牵 + v相
v’2
α v2
v1
r r r v雨地 = v车地 + v雨车
那么，雨滴下落速度 那么，雨滴下落速度v2为：
其方向关系如图所示。 其方向关系如图所示。
r r 0 v雨地 = v车地 / tan 75 = 5.36(m / s)
13
1-21如图示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为v1，下落雨滴的 如图示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为 如图示 速度方向偏离于竖直方向之前θ角 速率为v 速度方向偏离于竖直方向之前 角，速率为 2。若车后有一长方形 物体，问车速为多大时，此物体正好不被雨水淋湿？ 物体，问车速为多大时，此物体正好不被雨水淋湿？ 分析：视雨点为研究对象，地面为静参考系，汽车为动参考系。r 分析：视雨点为研究对象，地面为静参考系，汽车为动参考系。 r r 则 v1是牵连速度， 2是绝对速度 是牵连速度， v v1 要使物体不被雨淋湿， 要使物体不被雨淋湿，在车上观察雨点下落的方向 r 即相对速度） （即相对速度）应满足 r α ≥ arctg(l / h) v′ α θ
分析： 分析： 质点作匀速率圆周运动, 质点作匀速率圆周运动 只有法向加速度. 只有法向加速度 质点的位矢与速度垂直. 质点的位矢与速度垂直 质点的位矢与加速度反向. 质点的位矢与加速度反向 质点的速度与加速度垂直. 质点的速度与加速度垂直 O
v vA r R a n
X
3
1-9下列说法是否正确 下列说法是否正确: 下列说法是否正确 (1)质点作圆周运动时的加速度指向圆心 质点作圆周运动时的加速度指向圆心; 质点作圆周运动时的加速度指向圆心
v0t + at / 2 = h + v0t − gt / 2
质点力学习题课
B m2
T2 m3
质点力学习题课
a 2 a a1
解上述方程得：
a3 a a1
a 为m2 相对B的加速度
(m1 2m2 ) g (m1 2m2 )a1 2 a 3.92 m/s 2m2 m1m2 m1m3 4m2 m3 2 a1 g 1.96m/s (下) m1m2 m1m3 4m2 m3
质点力学习题课
一、内容小结
1.运动学
r xi yj zk r r2 r1
dr v dt d r a 2 dt
2
2
v dv a an a n dt
质点力学习题课
dv 由 a 可求： v v0 a dt S S 0 vdt dt
角量与线量的关系：
d d 2 dt dt dr R d
2
v R a R an R
2
质点力学习题课 2.动力学 （1）牛顿运动定律： 自然坐标系
F ma
直角坐标系
dv F ma m dt Fn ma n m v
同理
a2 1.96 m/s (下) a3 5.88 m/s 2 (上)
2
T1 m1 ( g a1 ) 1.57N T2 T1 / 2 0.784N
2
Fx ma x Fy ma y Fz ma z
质点力学习题课
（2）力的时间累积。
动 量：
P mv
I
冲
量：
动量定理：
I P P0
F dt
第一章质点运动学习题课
要使t最小，v2cosα最大
所以cosα=1，α=0
v1
此时船到达对岸下游处：
d l (v1 v 2 sin )t v1 500(m) v2
16
1-23 2 一质点相对观察者O运动,在任意时刻t,其值为 x vt, y gt / 2 质点运动的轨迹为抛物线.若另一观察者O’以速率v沿x轴正向相对 于O运动,试问质点相对O’的轨迹和加速度如何? o` 解: 取Oxy和O`x`y`分别为观察者O和观察者O` 所在的坐标系,且使Ox和O`x`两轴平行.在 t=0时,两坐标原点重合,有坐标变换得
(1)可以选择地面为参照系，这样，电梯和 螺丝都相对地面运 动，当两者的纵坐标同时，两者相遇。
(2)也可选择电梯为参照系，电梯底面为纵坐标原点，此时 要考虑到螺丝相对电梯的速度和加速度。 三体问题或多体问题的解决方法同上。
7
解答(1)： 以地面为参照系，如图建立坐标系： 升降机和与螺丝的运动方程为：
把 x=25.0m , v=20.0m/s 及 3.44m≥y≥0代入
g y xtg 2 (1 tg 2 ) x 2 2v
后，可解得71.110≥θ1≥69.920 27.920≥θ2≥18.890
如何理解两个角度范围
如果以θ1≥71.110 或 18.890 ≥θ2踢出足球都将因射程不足不
2
d h h' v0 t gt / 2 0.716 m
9
1-11： 一足球运动员在正对球门前25.0 m处以200 m/s的初速率罚 任意球，已知 球门高为3.44m，若要在垂直于球门的竖直平面内将 足球直接踢进球门，问他应在与地面成什 么角度的范围内踢出足 球？(足球可视为质点)
大学物理课后答案第1章质点运动学习题解答
第1章质点运动学习题解答1-1如图所示,质点自A 点沿曲线运动到B 点A 点与B 点的矢径分别为°与g的头3s 内质点的位移、平均速度、平均加速度与所通过的路程 解：y 5 24t 2t 3,v 24 6t 2,a 12ty y(3) y(0) 18(m ) v - 6(m/s)3v(3) v(0)2、a18(m/ s )3t 2s 时,v 0,质点作反向运动s y(2)y(0) |y(3)y(2) | 46(m)1-3 一质点沿x 轴作直线运动，图示为其v t 曲 线图。
设t 0时,x 5m 。
试根据v t 图画出:(1) 质点的a t 曲线图;(2)质点的x t 曲线图。
试在图中标出位移 r 与路程s,同时对| r |与r 的意义及它们与矢径的关系进1-2 一质点沿y 轴作直线运动，其运动方程为y 5 24t 2t 3(SI)。
求在计时开始20 20t 解: 15 2.5t75 7.5t(0(2(6t 2)6)10)(1)20 20t 15 2.5t 75 7.5t(0(2(62)6)10)质点的a t曲线图如右图所示⑵v dxdt Xdxtvdt，可求得:t 2时,xdx 5 t0(20 20t)dt, 10t 2 20tt 6时,xdx 5 20(20 20t )dtt2(152.5t)dt ,5t215t 30410时,xdx20(20 20t)dt62(15 2.5t)dtt6(75 7.5t)dt , 75t 210210t 20t 5 (0 t 2)5t215t4%2 75t 4 门気105)30 (2 t 6)开口制上的覚皙變210 (6 t 10)质点的x t曲线图如右图所示。
1-4如图所示,路灯距地面的高度为H,在与路灯水平距离为s处,有一气球由离t 1 0 时,x(0) 0, y(0) 19,v x (0) 2—(0) 0地面h 处开始以匀速率v o 上升(h H )。
大学物理课后答案第1章质点运动学习题解答
大学物理课后答案第1章质点运动学习题解答-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2第1章质点运动学习题解答1-1 如图所示，质点自A 点沿曲线运动到B 点，A 点和B 点的矢径分别为A r 和B r 。
试在图中标出位移r ∆和路程s ∆，同时对||r ∆和r ∆的意义及它们与矢径的关系进行说明。
解：r ∆和s ∆如图所示。
||r ∆是矢径增量的模||A B r r -，即位移的大小；r ∆是矢径模的增量A B A B r r r r -=-|||| ，即矢径长度的变化量。
1-2 一质点沿y 轴作直线运动，其运动方程为32245t t y -+=（SI ）。
求在计时开始的头3s 内质点的位移、平均速度、平均加速度和所通过的路程。
解：32245t t y -+=，2624t v -=，t a 12-=)(18)0()3(m y y y =-=∆)/(63s m y v =∆= )/(183)0()3(2s m v v a -=-= s t 2=时，0=v ，质点作反向运动)(46|)2()3(|)0()2(m y y y y s =-+-=∆1-3 一质点沿x 轴作直线运动，图示为其t v -曲线图。
设0=t 时，m 5=x 。
试根据t v -图画3出：(1)质点的t a -曲线图；(2)质点的t x -曲线图。
解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v（1）dtdv a = ，可求得： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤+≤≤+-=)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v质点的t a -曲线图如右图所示（2）dt dx v = ，⎰⎰=t x vdt dx 00， 可求得：20≤≤t 时，⎰⎰+-=tx dt t dx 05)2020(， 520102+-=t t x 62≤≤t 时，⎰⎰⎰+++-=t x dt t dt t dx 2205)5.215()2020(， 3015452-+=t t x 106≤≤t 时，⎰⎰⎰⎰-++++-=tx dt t dt t dt t dx 662205)5.775()5.215()2020(， 210754152-+-=t t x4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-+-≤≤-+≤≤+-=∴)106( 21075415)62( 301545)20( 52010222t t t t t t t t t x质点的t x -曲线图如右图所示。
质点力学-前4章-习题课
假设她是从静止下落，也就是初速度 v 0 为 0米/秒，层高 3 米， 7 层楼高度为 18 米。据此我们可以算出美女落到地面的最终速度：
基本概念：
位置矢量、位移、速度与加速度 位矢、位移是矢量，位矢随时间变化的关系称运动方程 速度、加速度是矢量，它具有矢量性
r r(t )
质点做变速运动中各个时刻的速度不一定相同，它具有瞬时性 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不同的，它具有相对性
平均速度
r （t t ) r(t ) v t
E p E p0 A保 末 F保 dr "0"
Ep2
"0" 末
系统在任意状态时的势能等于系统保守力所做功的负值。
F保 dr
功与能
1 1 2 2 Aab E mv mv A E b a 2 kt 2 k0
A外 A内 E k t E k 0
cos30º 20× 9.8
得
30.6(m)
练习：汽车在半径为200m的圆弧公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方 程为 s = 20t - 0.2t3 求汽车在 t =1s时的加速度。
解：根据加速度的定义
ds vt 20 0.6t 2 dt
dvt at 1.2t dt
vt2 dv an , at R dt
法向单位矢量 ：n
dv d 2 S at dt dt 2
v2 an
直角坐标系
质点运动学和动力学习题课-文档资料
dt
2
0
0
2
x 4sin t
2
2-11 一质点由静止沿半径R=3m的圆周运动，切向加速度为
a 3ms2 ，问：
（1）经过多少时间它的总加速度与径向成450？ （2）在上述时间内，质点所经过的路程为多少？
解：（1）因a 3ms2 为常量，故由任一时刻的速率v at，得
由质点运动轨迹方程
x 2 y 2 3 （ 2c o s 2 4 t s in 2 4 t） 3 2
可知质点作半径 R3m
的圆周运动，故切向加速度 a 和 法 向 加 速 度 a n 分 别 为 a d d v t 0 a nv R 2 （ 1 2 3 ） 24 （ 8m s 2）
an
v2 R
a2t 2 R
解：（1）
vx
ddxt 12sin4t，vy
dy12cos4t dt
ax
dvx dt
48cos4t，ay
dvy dt
48sin4t
故任一时刻速度和加速度分别为
v12sin4ti12cos4t（ j SI） a48cos4ti48sin4t（ j SI）
（2）速度
v 的大小为 v vx2vy21（ 2ms1）
表示速度， a 表示加速度，a 表示切向加速度，下列表
达式：( D )
(1) d v a
dt
(2) d r v
dt
(3)
ds v dt
(4)
dv dt
Hale Waihona Puke a（A）只有1、4是正确的； (B)只有2、4是正确的；
(C)只有2是正确的；
(D)只有3是正确的。
解（1）中的dv/dt是切向加速度，不是 a的大小。(2)中
《大学物理》习题训练与详细解答一(质点运动学练习一、二)
2 3 2 3 x x0 t 10 t 3 3
6．如图2所示，质点p在水平面内沿一半径为R =2m的圆轨道转动,转动的角速度ω与时间的关系 2 示为 kt （k为常数）。 已知t=2s时，质点P的速度值为32m/s. 试求 t=1s时，质点P的速度与加速度的大小
w v k 2 2 4 t Rt
（A）(1)、(4)是正确的 (C) (2) 是正确的 (B) (2)、(4)是正确的 (D) (3)是正确的
3.一质点沿x轴作直线运动，它的运动方程为 x=3+5t+6t2-t3 (SI) 则 5m/s (1) 质点在t=0时刻的速度V0=________; (2)加速度为零时，该质点的速度v=________. 17m/s
dv dv 2 kv t 2 ktdt dt v v t 1 1 2 ( ) ( kt ) v0 0 v 2
.
3.一质点作直线运动，其坐标x与时间t的函数曲线如图 3 秒瞬时速度为零；在第 1所示，则该质点在第______ 3 6 ______ 秒至第______ 秒间速度与加速度同方向。
大学物理Ⅳ-习题课1
练习一 质点运动学（一）
1.一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为 ， 瞬时速率为v，某一段时间内的平均速度为v ，平均速 率为v ,它们之间的关系必定有 [ ] D (A) | v | = v， | v | = v (B) | v | ≠v, | v | = v (C) | v | ≠v,
r 平均速度： v , t s 平均速率： v , t dr 瞬时速度： v , dt d r ds 瞬时速率： v dt dt
v
|v≠ | v
(D)
质点运动学习题课
1 dv＝a； 2 dr ＝v；
dt
dt
3 ds＝v； 4
dt
dv dt
＝aｔ．
下述判断正确的是( D )
A 只有1、4是对的 (B) 只有2、4是对的
C 只有2是对的 D 只有3是对的
1-4 一个质点在做圆周运动，则有（ B ） (A)切向加速度一定改变，法向加速度也改变 (B)切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 (C)切向加速度可能不变，法向加速度不变 (D)切向加速度一定改变，法向加速度不变
法向加速度 an t1s a2 at2 en 1.79 en (m / s2 )
解法2：t 1s时速度和加速度分别为 v 2i 4 j (m / s), a 4 j (m / s2 )
将加速度a分解到平行于速度方向及垂直于速度方向
at
an
4 t＝1.0ｓ质点的速度大小为 v
解：(1)
由参数方程
x
y
2t 19
2t 2
消去t
轨迹方程
y
19
x2 2
(2) t 1s 位矢为r1 2i 17 j(m); t 2s 位矢为r2 4i 11 j(m)
平均速度 v r r2 r1 2i 6 j (m / s) t t2 t1
同一平面内且与水平面的夹角分别为1 和2，则任意时刻两
质点的相对速度是一常量。 √
分析：在任意 t 时刻，两质点的速度分别为
v1 v10 gt, v2 v20 gt
此时，两质点间的相对速度为
v2 v1 v20 v10
故相对速度为一常量，正确。
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v
v0
adt
r
r0
vdt
已知 (t) 和初始条件 0 dt 0 dt
（3）两个惯性系中变换关系
rv rv' rv0 , vv vv' vv0 , av av' av0
2
2、质点的运动规律
（1）基本规律（力的瞬时作用规律）
I Img IT 0, IT Img
IT
2mg
21
例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为＝300，轻弹
簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M＝
1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x＝30
厘米时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以
速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数
解：设质点在x处的速度为v，
a dv dv dx dv v 2 6x2 dt dx dt dx
vdv (2 6x2 )dx
v vdv
x (2 6x2 )dx
0
0
v2 2x 2x3 v 2 x x3
2
(m / s)
11
例6 一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其角位移可
用下式表示＝2＋4t3，求（1）当t=2s时的切向加速
度at；（2）当 at＝1/2 a时， ＝？ 解： （1）当t=2s时的切向加速度at
Q & 12t2 && 24t at R R&& 0.1 24t 2.4 2 4.8
（2）求当 at＝1/2 a时 值
为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。
解：（1）木块下滑过程机械能守恒
选弹簧原长处为势能零点
K M
1 2
kx2
1 2
MV12
Mgx sin
0
m
0
解出： v1
2gx sin kx2 0.83
M
m / s （滑块）
方向沿斜面向下。
22
（2）以子弹和木块为系统，在子弹射入木块过程中 外力沿斜面方向的分力可忽略不计，沿斜面方向应用 动量守恒定律，设沿斜面向下为正，则有：
A
2
F
dr
1
1 2
m(v22
v12 )
v xiˆ yˆj 5iˆ tˆj(m / s)
t 2s
v1
5iˆ
2
ˆj(m
/
s)
v12 52 22 29
t 4s
v2
5iˆ
4
ˆj(m
/
s)
v22 52 42 41
A
1 2
m(v22
（3）子弹的质量m＝？
解（1）力为零时所用时间
t
3103
4
t 105
400 3 4 105
3103
(s)
(2) I 0 Fdt 0
(400
t)dt 0.6 (N S)
3
(3) 由动量定理 I p＝m(v 0)
m I 0.6 2 (g) v 300
mvv
(4) 三个守恒定律的综合应用
二、分析举例
4
例1 湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的
定滑轮拉湖中的船向岸边运动，设该人以匀速率v0收绳。 绳不伸长，湖水静止，则小船的运动是: （A）匀
加速（B）匀减速（C）变加速（D）变减速（E）匀速
直线
v0
常错见误解原法因::把v绳缩v短0 c的os速 率
r F外
d(mvr ) dt
v dP dt
（2）三大定理（力的累积作用规律）
v
F外dt
pv
v (F外
dpv
/
dt)
v F外
drv＋
v f内
drv＝Ek
v
vv v
M外dt L (M外 dL / dt)
（3）三大守恒定律（对一个变化过程中的任意两态)
当
8
例4 一质点在xoy平面内运动，运动方程为
x 2t y 19 2t2 (SI )
求（1）第2秒内质点的平均速度大小；（2）第2秒末瞬
时速度大小。
(1)
v
r
t
v
r
t
r x iˆ y ˆj
x x2 x1 2 2 21 2 m
dv Q at dt
t
v v0 0 atdt 3t
an
v2 R
(3t ) 2 3
3t 2
当 an at时， 有3t2 3, t 1(s)
1S内质点沿圆周所走过的路程
s
1 2
att 2
1 2
31 1.5m
7
例3 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，S表示路程，at
m
v
cos
(m M )2 (2M＋m)m cos2
y
u m
v
M
x
15
例8 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为
4 105
F 400
t
3
子弹从枪口射出时的速率为300m/s，假设子弹离开
枪口时合力刚好为零，则求（1）子弹走完枪筒全长
所用时间t=?（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I＝？
(m / s2)
Q an 2R (12t2 )2 0.1 14.4t4
at
1a 2
at
a cos 600 (14.4t4 )
an cot 3
3
600
又Q at R 2.4t
a at
12
2.4t 14.4t4 3 t3 2.4 3 3
A
2 F dr
2 mˆj (dxiˆ dyˆj)
y2mdy
1
1
y
1
y 0.5t 2 dy tdt A t2 mtdt
A
t2 mtdt 0.5
4
tdt
t1
0.5
1
(42
22
)
3(J
)
t1
2
2
17
解法二：动能
0.5
(41
29)
3(J
)
18
例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端
悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球
恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚
能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:
m2 g 2
m2 g 2
m2 g 2
2m2 g 2
( A)
(B)
Fv外＝0 或
v F外
v f内 ，
v Pi
cr
当
当
A外＋MvA外内＝非0保＝，0 时Lv,
E v C
EP
Ek
C'
3
3、基本计算要求
（1）熟练计算四个物理量，特别是加速度a.
（(23)）变与力点积或分轴有关I的v 量 FvdMtv
rvAFv
v F
drv v L
rv
(C)
(D)
4k
3k
2k
k
解 Q 缓慢提起，Ek 0, A合＝A外＋A弹＝Ek＝0
小球刚能脱离地面时，弹力与重力平衡， kx0 mg
小球在伸长x0刚能脱离地面的过程中，弹力作功为
A弹＝
x0 0
(kx) dx
1 2
kx02
1 2
k(mg )2 k
m2 g 2 2k
A外＝－A弹＝
16
例9 质量为m=0.5kg的质点，在XOY坐标平面内运动，
其运动方程为x=5t,y=0.5t2.从t=2s到t=4s这段时间外力对
质点所作的功。
解法一：功的定义
A
2
F
dr
F
1 ma
mˆj
F
ma
a xiˆ yˆj 1(m / s2 ) ˆj
v2
dt 2 iˆ (4 2)
ˆj
2 iˆ 8
ˆj
(m / s)
v2
2 iˆ (4 2)
ˆj
22 82 8.25
(m / s)
10
例5 一质点沿x坐标运动，其加速度a与位置坐标x的关 系为 a=2+6x2。如果质点在原点处的速度为零，试求 其在任意位置处的速度。
14.4
2 4t3 2 4( 2.4 3 ) 3.15
14.4
(rad )
13
例7 在光滑水平地面上放置一个光滑的斜面体，其质
量为M，斜面体上放一个质量为m的小物体，最初二者
均静止。当小物体沿斜面下滑时，斜面体向右运动，
如果某时刻斜面体相对地面向右地速度为v，则小物体
相对于斜面的速度大小u＝_____，相对于地面的速度
m cos
14