工科数学分析 第五次习题课

r x
r x2 r
r2
r2 x2 r3
1 r
x2 r3
y
r y
1 r
y2 r3
，
z
r z
1 r
y2 r3
| 故 div(gradr)
2
3 (1,2,2)
.
12. 求向量场 A (2z 3y)i (3x z) j ( y 2x)k 旋度 rotA 2i 4 j 6k
S
解： S 关于 x 0 ， y 0 对称，由对称奇偶性得， xdS = ydS 0
S
S
所以
I zdS
a2 x2 y2
1
zx'
2
zy'
2
dxdy
S
Dxy
a2 x2 y2
a
dxdy
Dxy
a2 x2 y2
adxdy a3
Dxy
Dxy：x2 +y 2 a2 其中，
6. 默比乌斯带（Mobius）是 单侧 曲面。 解： 小蚂蚁在默比乌斯带上，不通过边界可以爬到任何一点。
7. 第二型曲面积分分面计算法的计算公式：
设 ：z=z x, y , x, y xy ，则
Rdxdy= R x, y, z(x, y)dxdy
xy
R
x,
y,
z(x,
y) dxdy,
5
15. 设 是由锥面 z x 2 y 2 与半球面 z R 2 x 2 y 2 围成的空间区域， 是 的
整个边界的外侧，则 xdydz ydzdx zdxdy (2 2) R3
解：空间区域
0 的球坐标表示为 0
4 2
根据高斯公式得
0 r R
xdydz
ydzdx
求积分 I
S
x3dydz y3dzdx z3dxdy
(x2 y2 z2)32
的值.
解： I
S
x3dydz y3dzdx z3dxdy (x2 y2 z2)32
1 R3
S
x 3dydz y 3dzdx z 3dxdy
3
R3
(x2 y2 z2 )dxdydz 12 R2 5
zdxdy
3
dV
2
3 0
d
4 0
sin
d
R
r
0
2dr
(2 2) R3
16. 设 是锥面 z x2 y2 (0 z 1) 的下侧，则
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy _____ 2
解：作辅助曲面
1 : z 1, x2 y2 1 的上侧
于是
I xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
3dxdydz 4 x2 y2 z2 1
19. 设 L 是柱面 x2 y2 1与平面 z x y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针
方向，则曲线积分 xzdx xdy y2 dz
L
2
解：设 为平面 z x y 在柱面 x2 y2 1 内的部分，取上侧，其单位法向量为
xy
xy
R
x,
y
,
z
(x,
y)
dxdy，
n, k
n,
k
取上侧 2
取下侧 2
8.当 =
n,
k
=
2
时，
Rdxdy
=0
9. 计算 I zdxdy, 为锥面 z x2 y2 在 0 z 1 部分的下侧；
解： ：z x2 y2 , 0 z 1 ，下侧，
xy：x2 y2 1，
出题人：王雪臣 郭宇潇 基本内容：两类曲面积分 高斯公式 斯托克斯公式 场论 基本题型：第一型曲面积分，第二型曲面积分，两类曲面积分之间的关系，高斯公式，斯托
克斯公式，散度，旋度
1. 若空间曲面 S 向 Oxy 平面投影，投影区域为 D ， S 的表达式为 z f x, y ，
曲面上的面密度为 x, y, z ，则曲面的质量为：
zdxdy
1 2
x2 y2 dxdy dxdy
Dxy
Dxy
2 1.
3
3
11. 设 r x 2 y 2 z 2 ，则 div(grad r) (1,2,2) = __2/3_______.
解：由于
r 2x x ， r y ， r z x 2r r y r z r
x
I L zdx ydz l ydx ydy 1dxdy D
解法二:设平面 : y z 0 ，取上侧，其法向量 n (0,1,1) ，故单位法向量为
n0
0,
1 2
，1 2
cos
由斯托克斯公式 L Pdx Qdy Rdz
x
P
cos y Q
cos dS 可知 z R
xdydz 0 ， 2ydzdx 0
1
1
又因为 1 是平面 z 1上的一部分，故将 z 1代入得 3(z 1)dxdy 0 1
下面计算 6dV 。注意到 是一个圆锥体，则
6dV
6
1 3
12
1
2
17. 设 S 是球面 x 2 y 2 z 2 R 2 的外表面，其中 R 0 ，
ydzdx
zdxdy
3
1
(x2 y2 z2)2
1
(x2 y2 z2)2
根据高斯公式
xdydz ydzdx zdxdy
3
0dxdydz 0
1
(x2 y2 z2)2
xdydz
ydzdx
zdxdy
3
xdydz
ydzdx
zdxdy
1
(x2 y2 z2)2
所以 I 4
20. 设 L 是柱面 x2 y2 与平面 y z 0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向
则曲线积分 zdx ydz _______ L
解法一：（降维化为平面第二型曲面积分）
L
:
x2 y2
y
z
0
1
在
xOy
面上的投影曲线为
l
:
x2
y2
1
，逆时针.
l
围成的闭区域记为
D : x2 y2 1 .由 y z 0 ，得 z y ，于是
5. 计算 I xyzdS ，其中 是平面 ：z 2 2x 2y 在第一象限部分
解： dS
1
z
x
2
z
y
2
dxdy
3dxdy
xyzdS xy 2 2x 2y 3dxdy
Dxy
6
1
dx
1x xy 1 x y dy
0
0
6 1 1 x 1 x3dx 1
06
20
18. 计算曲面积分 I
xdydz
ydzdx
zdxdy
3
其中
是曲面
2x2
2y2
z2
4
的外侧．
(x2 y2 z2)2
解：取 1 : x2 y2 z2 1 的外侧， 为 与 1 之间的部分
I
xdydz
ydzdx
zdxdy
3
(x2 y2 z2)2
xdydz
ydzdx
zdxdy
3
xdydz
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
1
1
(1 2 3)dV 0
其中 为曲面 与 1 围成的空间有界闭区域。上式中第一项来自高斯公式；第二项为
0 的原因是 1 垂直于 yOz 平面，有垂直于 zOx 平面，故
答案：
M = x, y, z dS = x, y, z x, y
D
1
z x
2
z y
2 dxdy
.
2. 若空间曲面 S 的方程可表示为 z f x, y ，其在 Oxy 坐标平面上的投影区域
为 D ，则
f x, y, zdS
S
答案： M =
S
f
来自百度文库
x, y, z dS =
D
f
x, y, z x, y
1
z x
2
z y
2
dxdy
.
3. 如果曲面 S 关于 x 0 对称（ Oyz 平面对称），且 f x, y, z 是关于 x 的奇函数，
则 f x, y, zdS 0
S
4. 计算 I= x y z dS ,其中 S 是上半球面 z a2 x2 y2
n ( 1 , 1 , 1 ) ， 在 xoy 上的投影为 D ： x2 y2 1. 由斯托克斯公式可得 3 33
L
xzdx
xdy
y2 2
dz
1 1 1
3
33
x
xz
y z dS
x
y2
2
1 3
(1
x
y )d S
(1 x y)dxdy ( x y)dxdy
D
D
zdxdy - x2 y 2dxdy
xy
- 2 d 1 r 2dr 2
0
0
3
10.计算 zdxdy ，其中 为锥面 z x2 y2 与平面 z 1所围曲面的内侧.
解： 1 2
1：z x2 y2，0 z 1，上侧； 2 ：z 1, x2 y2 1,下侧 ； xy：x2 y2 1
xydydz
yzdzdx
xzdxdy= (y
z
x)dxdydz
1 8
14. 计算 x3dydz y3dzdx z3dxdy ,其中 为球面 x2 y2 z2 a2 内侧. 解：设 所围空间区域为 ，则由高斯公式得
x3dydz y3dzdx z3dxdy 3 (x2 y2 z2 )dxdydz 2 a5 .
i
j
k
解： rotA
2i 4 j 6k
x
y
z
2z 3y 3x z y 2x
13. 计算 xzdxdy xydydz yzdzdx ,其中 是平面 x 0 , y 0 , z 0 ,及 x y z 1 所围
成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
解：设 所围空间区域为 ，则由高斯公式得
01 1 22
L zdx
ydz
x
y
dS z
1 2
dS
1 2
1 02 ( 1)2dxdy
z0 y
其中 Dxy (x, y) | x2 y2 1