河南省天一大联考高三上学期期末考试数学(文)试题(有答案)
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(文)试题附答案
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =U （ ） A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B U . 【详解】依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-U U . 故选：D. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（ ） A ．22B 5C ．2D 2【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--， 故()222222z =+-=故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．已知向量()3,0m =v ，()3,0n =-v ，()()q m q n -⊥-v v v v ，则q v为（ ） A ．7B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】由题意可知n m =-r u r，由()()q m q n -⊥-r u r r r 得出()()q m q m -⊥+r u r r u r ，可得出()()0q m q m -⋅+=r u r r u r ，由此可得出q m =r u r，进而得解.【详解】由题意可知n m =-r u r，由()()q m q n -⊥-r u r r r 得出()()q m q m -⊥+r u r r u r ，()()0q m q m ∴-⋅+=r u r r u r ，即22q m =r u r ，因此，22303q m ==+=r u r .故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-r u r，考查计算能力，属于基础题.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 5．记正项等比数列{}n a 满足234253a a a -=，则公比q =( ) A ．13B ．13或2- C ．2 D ．19【答案】A【解析】根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比. 【详解】依题意，2222253a a q a q -=，即23520q q +-=，故()()3120q q -+=，解得13q =或2q =-，而0n a >，故13q =. 故选：A 【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．已知ABC ∆中，23AB =22sin A ，5tan C =，则BC =( ) A ．83B ．8C ．3D ．4【答案】B【解析】先根据同角三角函数关系得6sin C =，再根据正弦定理求结果. 【详解】 因为5tan 5C =，所以6sin 6C =. 在ABC ∆中，由正弦定理，可得sin sin AB BCC A=2362263=，解得8BC =. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()()2ln 11f x x =+-【答案】B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()11xx e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x x x x x xx x e e e e f x f x e e e e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞U ，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数，当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数， 所以，函数()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减； 对于C 选项，作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增； 对于D 选项，函数()(2ln 11f x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞U ，()()((()22ln 11ln 11f x x x f x -=--=+-=，该函数为偶函数.内层函数211u x =-在()2,+∞上单调递增，外层函数ln y u =也为增函数， 所以，函数()(2ln 11f x x =-()2,+∞上单调递增.故选：B. 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．记双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）与双曲线2C ：221162y x -=无交点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．32⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．32⎛ ⎝⎦C ．[)3,+∞D ．(]1,3【答案】D【解析】先求双曲线2C 渐近线方程，再结合图象确定双曲线1C 确定渐近线渐近线斜率范围，解得结果. 【详解】双曲线2C ：221162y x -=的渐近线方程为2y x =±，由题意可知22b a ≤(]2211,3c be a a==+. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106πC ．56πD ．53π【答案】A【解析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径222129AB BC AA r ++==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.10．已知函数()2,4,x x mf x x x x m<⎧=⎨+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃≥，使得()()0f p f q +=，则m 的取值范围为( ) A ．(],2-∞- B ．(),2-∞-C ．(],0-∞D ．(),0-∞【答案】C【解析】先将条件转化为对应函数值域包含关系，再根据分段函数求对应区间值域，最后根据集合包含关系列不等式，解得结果. 【详解】依题意，()()f q f p =-，即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集.因为()y f x =在[),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或2[4,)m m ++∞（2m >-），()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞，故24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩或22,4,m m m m >-⎧⎨-≥+⎩，解得0m ≤. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数性质以及函数值域，考查等价转化思想方法以及分析求解能力，属中档题. 11．已知函数()()22sin cos cos 2cos1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F ，直线l ：0bx ay -=与椭圆C 交于M 、N 两点，若tan 22MFN ∠=则椭圆C 的离心率为( ) A 5B 25C ．125D ．2225【答案】B【解析】先解得M,N 坐标，利用两点间距离公式得MNF ∆三边长，再根据余弦定理列方程，解得离心率. 【详解】不妨设M ，N 分别在第一、三象限，焦点(),0F c ，联立22220,1,bx ay x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得22,22a b M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22a b N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故2222222222a b c MF c a ac ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222222a b c NF c a ac ⎛⎫⎛⎫=--+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222222422222a a b b MN a c ⎛⎫⎛⎫=--+--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在MNF ∆中，由余弦定理可得2222cos MNMF NF MF NF MFN =+-⋅⋅∠，而tan 22MFN ∠=21cos 3MF N ∠=，代入化简得4224101340c a c a -+=，其中2232c a >，解得2254c a =或222c a =（舍去），故25c e a ==. 故选：B 【点睛】本题考查余弦定理、椭圆离心率以及直线与椭圆交点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题 13．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 【答案】1613【解析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y=+，观察直线在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y=+过点C时，直线2z x y=+在y轴上的截距最大，此时，z取得最大值，联立21323y xx y=-⎧⎨+=⎩，解得5373xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z的最大值为max57172333z=⨯+=.故答案为：173.【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．已知长方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，点E是线段11A B的中点，则1CD E∆在平面11BDD B上的正投影的面积为______.【答案】322【解析】根据条件作出1CD E∆在平面11BDD B上的正投影，确定正投影位置与形状，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】作出图形如图所示，可知1CD E∆在平面11BDD B上的正投影仍然为一个三角形，点C在平面11BDD B上的正投影为线段BD的中点C'，点E在平面11BDD B上的正投影为线段11B D的靠近1B的四等分点E'，正投影的面积11332222242C E D S ''∆⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.32【点睛】本题考查正投影及其相关计算，考查空间想象与分析求解能力，属基础题.16．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.【答案】,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】构造函数()()cos 2xg x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+， 令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}12n n a a ++的前n 项和为n S . 【答案】(1)432n a n =-；(2)434n nS n =+. 【解析】(1)利用作差相减法求数列{}n a 的通项公式，注意验证1n =的情况是否满足； (2)直接利用裂项相消法求和. 【详解】(1)当1n =时，14a =.当2n ≥时，()12347324n a a a n a n ++++-=L ，()()1231473541n a a a n a n -++++-=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-.因为14a =也适合上式， 所以432n a n =-.(2)依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233412n n n S a a a a a a ++=+++L16111111113477101013313+4n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭L 16114343434nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查求数列通项以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.18．某品牌奶茶公司计划在A 地开设若干个连锁加盟店，经调查研究，加盟店的个数x 与平均每个店的月营业额y (万元)具有如下表所示的数据关系： x 2 4 6 8 10 y 20.920.21917.817.1(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据(1)中的结果分析，为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元，则A 地开设加盟店的个数不能超过几个?参考公式:线性回归方程y bx a =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$，a y bx =-$$【答案】(1)$0.522y x =-+；(2)14个.【解析】(1)先求均值，再代入公式求b a ，$$，即得结果；(2)根据线性回归方程列不等式，解得结果. 【详解】 (1)依题意，24681065x ++++==，20.920.21917.817.1195y ++++==.()()()()()()514 1.92 1.22 1.24 1.97.6 2.4 2.47.620iii x x y y =--=-⨯+-⨯+⨯-+⨯-=----=-∑，()52116441640i i x x=-=+++=∑，所以()()()515210.5iii ii x x y y bx x ==--==--∑∑$，所以$190.5622ay bx =-=+⨯=$， 故所求的线性回归方程为$0.522y x =-+. (2)依题意，令0.52214.6x -+≥，解得14.8x ≤. 因为x *∈N ，所以A 地开设加盟店的个数不能超过14个.【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．如图，在四棱锥S ABCD -中，122AB AD SD SB SC =====，90DSC BSC DAB ∠=∠=∠=︒.(1)若点F 在棱SC 上且13SF FC =，证明：//SA 平面BDF ； (2)求三棱锥A SBC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)169. 【解析】(1) 设AC 与BD 的交点为O ，根据计算以及平几知识得SA OF ∥，再根据线面平行判定定理得结果； (2)先利用线面垂直判定定理证明SC ⊥平面SBD ，再证明BD ⊥平面SAC ，最后根据锥体体积公式求结果. 【详解】(1)如图，连接AC ，记AC 与BD 的交点为O ，连接OF . 由题易知22BD =，25BC CD ==.所以可得ADC ABC ∆∆≌，所以ADO ABO ∆∆≌，所以2AO BO ==.而()()225232CO =-=，易知13AO OC =，故13AO SF OC FC ==，故SA OF ∥. 因为SA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以//SA 平面BDF .(2)因为SC SB ⊥，SC SD ⊥，又SB SD S =I ，故SC ⊥平面SBD .所以SC BD ⊥ 如图，连接SO ，则SC SO ⊥，可知OSC ∆为直角三角形，222OS OC SC -= 易知点S 到直线AC 的距离为43，故148422233SAC S ∆=⨯=由(1)易知AC BD ⊥，又因为SC BD ⊥，AC SC C =I ，故BD ⊥平面SAC . 故11821623339A SBCB SAC SAC V V S OB --∆==⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 过点F 且与抛物线交于M 、N 两点，直线2l 过坐标原点O 及点M 且与l 交于点P ，点Q 在线段MN 上. (1)求直线NP 的斜率； (2)若21FM，21FQ，21FN成等差数列，求点Q 的轨迹方程.【答案】(1)0；(2)()22214x y -+=（0y ≠）.【解析】(1)先求抛物线方程，再设直线1l 方程以及M,N 坐标，解得P 点坐标，根据斜率公式化简直线NP 的斜率，最后联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简即得结果； (2) 设()00,Q x y ，根据等差中项性质以及弦长公式化简条件得222012211y y y =+，再根据（1）中韦达定理化简右边式子，最后根据001x m y -=代入化简得点Q 的轨迹方程. 【详解】(1)依题意，可得2p =，所以抛物线C ：24y x =.设直线1l ：1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my --=.设()11,M x y ，()22,N x y ，易知10x ≠，21x ≠-，则124y y m +=，124y y =-， 直线2l ：11y y x x =. 因为准线l ：1x =-，故111,y P x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故直线NP 的斜率为()()()121211121221212124401111y y x y x y my y y y m m x x x x x x x ++++-+====++++.(2)设()00,Q x y （00y ≠）.由(1)可得()22201FQ m y =+，()22211FMm y =+，()22221FN m y =+.由题可知222211FQFMFN=+，得222012211y y y =+. ()2212122222212122111681162y y y y m m y y y y +-++===+Q 因为001x m y -=，所以()2022001212x y y -=+化简可得()2200214x y -+=（00y ≠）.故点Q 的轨迹方程为()22214x y -+=（0y ≠）. 【点睛】本题考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系以及动点轨迹方程，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()22ln f x m x x =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()y f x =的图象与直线y mx =交于(),M M M x y ，(),N N N x y 两点，且1M N x x >>，求实数m 的取值范围.【答案】(1)当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在20,2m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在20,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；(2)341,02e ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭.【解析】(1)先求导数，根据0m =，0m >以及0m <三种情况讨论导函数符号，进而确定对应单调性；(2)先构造函数()22ln F x m x x mx =--，再求导数，根据0m >以及0m <两种情况讨论函数单调性，结合单调性确定满足条件的不等式，解得m 的取值范围，最后利用零点存在定理证明所求范围恰好保证函数有两个零点. 【详解】(1)依题意，()0,x ∈+∞，())22221211212mx mx m x f x m x x xx-+-'=-==.①若0m =，则()10f x x'=-<，故()f x 在()0,∞+上单调递减②若0m ≠，令()0f x '=，解得2x =或2x =. （i ）若0m >，则202m -<，202m >，则当20,2x m ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当22x m ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；（ii ）若0m <，则202m ->，202m <，则当20,2x m ⎛∈- ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上所述，当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在20,2m ⎛ ⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在20,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)令22ln m x x mx -=，则由题意可知22ln 0m x x mx --=有两个大于1的实数根，显然0m ≠. 令()22ln F x m x x mx =--，则()()()221112mx mx F x m x m x x+-'=--=. 若0m >，则当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()210,11ln 0,11,F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩此时无解； 若0m <，则当10,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()()210,13ln 20,2411,2F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫-=+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩解得34102e m -<<. 当34102em -<<时，()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()1102F F m ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故函数()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点.易知2112m m >-，且22222111111ln ln F m m m m m m ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，下证：ln 0x x ->.令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<， 当1x >时，()0g x '>，故()()11ln10g x g ≥=->，即ln 0x x ->， 故222111ln 0F m m m ⎛⎫>->⎪⎝⎭，故21102F F m m ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有一个零点.综上所述，实数m 的取值范围为341,02e ⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为314x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为424πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点. （1）求实数a 的取值范围； （2）若2a =，点()2,1A ，求11AP AQ+的值. 【答案】（1）1110211102-+⎝⎭；（22191. 【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程，将直线l 的参数方程化为普通方程，可知曲线C 为圆，利用圆心到直线l 的距离小于半径，列出关于实数a 的不等式，解出即可；（2）将直线l 的参数方程化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将该参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，并利用t 的几何意义可计算出11AP AQ+的值. 【详解】（1）曲线():4sin cos C ρθθ=+，故()24sin cos ρρθρθ=+，则2244x y x y +=+，即()()22228x y -+-=，直线:43340l x y a +--=， 故圆心()2,2到直线l 的距离114225a d -=<，解得1121110244a -+<<， 即实数a 的取值范围为111021110244⎛-+ ⎝⎭； （2）直线l 的参数方程可化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入()()22228x y -+-=中，得28705t t +-=.记P 、Q 对应的参数分别为1t 、2t ，则1285t t +=-，127t t =-. 故12121212121111219135t t t t AP AQ t t t t t t +-+=+===. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()2134f x x x =++-. （1）求不等式()22f x x >+的解集； （2）若()1f x k x ≥-在R 上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）分21x <-、1423x -≤≤、43x >三种情况解不等式()22f x x >+，综合可得出该不等式的解集；（2）分0k ≤和0k >两种情况讨论，0k ≤时，()1f x k x ≥-在R 上恒成立；0k >时，作出函数()y f x =，1y k x =-的图象，利用数形结合思想找出临界位置，可得出关于k 的不等式，解出k 的范围，综合可得出结论.【详解】（1）依题意213422x x x ++->+.若21x <-，原式化为213422x x x ---+>+，解得17x <，故21x <-； 若1423x -≤≤，原式化为213422x x x +-+>+，解得1x <，故112x -≤<；若43x >，原式化为213422x x x ++->+，解得53x >，故53x >.综上所述，不等式()22f x x >+的解集为()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）依题意21341x x k x ++-≥-， 显然0k ≤时该式成立.当0k >时，在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y k x =-的图象，如图所示. 观察可知，临界状态为曲线1y k x =-过点111,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时113k =，故1103k <≤. 综上所述，实数k 的取值范围为11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.。
2016-2017学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2n＜33}，则集合A∩B的子集个数为（）A.8B.7C.6D.4【答案】A【解析】解：集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2n＜33}={0，1，2，3，4，5}，则A∩B={0，2，4}，∴A∩B的子集个数为23=8．故选：A．化简集合B，根据交集的运算写出A∩B，即可求出它的子集个数．本题考查了两个集合的交运算和指数不等式的解法以及运算求解能力．2.设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2【答案】C【解析】解：∵=为纯虚数，∴，解得a=-2．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.“a2＞b2”是“lna＞lnb”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若lna＞lnb，则a＞b＞0，可得a2＞b2；反之，“a2＞b2”a，b可能为负数，推不出lna＞lnb．∴“a2＞b2”是“lna＞lnb”的必要不充分条件．故选：B．若lna＞lnb，则a＞b＞0，可得a2＞b2；反之，“a2＞b2”a，b可能为负数，推不出lna ＞lnb．即可判断出结论．本题考查了函数的性质、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A.866B.500C.300D.134【答案】D【解析】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题．5.已知圆（x-1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A.（1，）B.（1，2）C.（，+∞）D.（2，+∞）【答案】D【解析】解：由题意，圆心到直线的距离d==，∴k=±，∵圆（x-1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）有两个交点，∴＞，∴1+＞4，∴e＞2，故选：D．先求出切线的斜率，再利用圆（x-1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）有两个交点，可得＞，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6.函数f（x）=的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数f（x）=是奇函数，排除A，D．当x=时，f（）=＞0，函数的图象的对应点在第一象限，排除B．故选：C．判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用函数的特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性，特殊点等等是解题的常用方法．7.已知a＞0且a≠1，如图所示的程序框图的输出值y∈[4，+∞），则实数a的取值范围是（）A.（1，2]B.（，1）C.（1，2）D.[2，+∞）【答案】A【解析】解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数y=，，＞的值，当x≤2时，y=-x+6≥4恒成立，当x＞2时，由y=3+log a2≥4得：log a2≥1，解得：a∈（1，2]，故选：A．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数y=，，＞的值，根据程序框图的输出值y∈[4，+∞），分类讨论可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，程序框图，根据已知分析出程序的功能是解答的关键．8.已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=-2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图：点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=-2x+2上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=-2x+2与2x+y-4=0之间的距离：d==．故选：B．画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可．本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．9.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积（）A.10πB.12πC.14πD.16π【答案】C【解析】解：由题意设AA1=x，AD=y，则AB=3x，∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，∴xy•3x=6，∴y=，∴AB+AD+AA1=4x+≥3=6，当且仅当2x=，即x=1时，取得最小值，∴长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的直径为=，∴长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积=14π，故选C．先根据条件求出长方体的三条棱长，再求出长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的直径，即可得出结论．本题考查长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积，考查体积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．10.已知函数f（x）=A sin（2x+φ）-（A＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x=对称，若对于任意的x∈[0，]，都有m2-3m≤f（x），则实数m的取值范围为（）A.[1，]B.[1，2]C.[，2]D.[，]【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=A sin（2x+φ）-（A＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为1，∴A sinφ-=1，即A sinφ=．∵函数f（x）=A sin（2x+φ）-的图象关于直线x=对称，∴2•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴A•sin=，∴A=，∴f（x）=sin（2x+）-．对于任意的x∈[0，]，都有m2-3m≤f（x），∵2x+∈[，]，sin（2x+）∈[-，1]，sin（2x+）∈[-，]，f（x）∈[-2，-1]，∴m2-3m≤-2，求得1≤m≤2，故选：B．利用函数y=A sin（ωx+φ）+B的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，求得实数m 的取值范围．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）+B的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8B.10C.12D.14【答案】D【解析】解：由已知中的三视图，可得该几何体的直观图如下所示：三棱锥A-BCD的体积为：××3×4×4=8，四棱锥C-AFED的体积为：××（2+4）×2×3=6，故组合体的体积V=6+8=14，故选：D由已知中的三视图，画出几何体的直观图，数形结合可得几何体的体积．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12.已知f′（x）是定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数，若方程f′（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）-log2016x]=2017，设a=f（20.5），b=f（logπ3），c=f （log43），则a，b，c的大小关系是（）A.b＞c＞aB.a＞c＞bC.c＞b＞aD.a＞b＞c【答案】D【解析】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数，由题意得∀x∈（0，+∞），f[f（x）-log2016x]=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）-log2016x是定值，设t=f（x）-log2016x，则f（x）=t+log2016x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5∴a＞b＞c，故选：D．根据f（x）-log2016x是定值，设t=f（x）-log2016x，得到f（x）=t+log2016x，结合f（x）是增函数判断a，b，c的大小即可．本题考查了函数的单调性、对数函数的运算以及推理论证能力，是一道中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且|+|=|-|，则|+2|= ______ ．【答案】5【解析】解：∵平面向量=（1，2），=（-2，m），∴=（-1，2+m），=（3，2-m），∵|+|=|-|，∴1+（2+m）2=9+（2-m）2，解得m=1，∴=（-2，1），=（-3，4），|+2|==5．故答案为：5．利用平面向量坐标运算法则求出，，由|+|=|-|，求出m=1，由此能求出|+2|的值．本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．14.已知α∈（0，π），sinα=，则tan（α-）= ______ ．【答案】-或-7【解析】解：当α∈（0，）时，由sinα=，可得：cosα==，tan=，可得：tan（α-）==-；当α∈（，π）时，由sinα=，可得：cosα=-=-，tan=-，可得：tan（α-）==-7．故答案为：-或-7．（漏解或错解均不得分）由已知，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα，进而利用两角差的正切函数公式即可计算求值得解．本题主要考查三角函数恒等变换与求值问题，考查分类讨论的思想方法，属于基础题．15.已知抛物线C1：y=ax2（a＞0）的焦点F也是椭圆C2：+=1（b＞0）的一个焦点，点M，P（，1）分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|+|MF|的最小值为______ ．【答案】2【解析】解：P（，1）代入椭圆C2：+=1，可得=1，∴b=，∴焦点F（0，1），∴抛物线C1：x2=4y，准线方程为y=-1．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，为1-（-1）=2．故答案为2．先求出椭圆方程，可得焦点坐标，再设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，P 三点共线时|MP|+|MD|最小，答案可得．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共线时|PM|+|MD|最小，是解题的关键．16.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BC=BD cosα+CD sinβ，则四边形ABCD周长的取值范围为______ ．【答案】（3+，3+2）【解析】解：∵BC=BD cosα+CD sinβ，∴sin∠BDC=sinβcosα+sinαsinβ，∴sin（α+β）=sinβcosα+sinαsinβ，∴（cosβsinα+cosαsinβ）=sinβcosα+sinαsinβ，∴cosβsinα=sinαsinβ，∴tan，又∵β∈（0，π），∴，根据题意，∠BAD=，由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2AB•AD cos∠BAD=4+1-2×2×1×cos=7，又∵BD2=CB2+CD2-2CB•CD cosβ=（CB+CD）2-3CB•CD≥（CB+CD）2-=，∴CB+CD≤2，又∵CB+CD＞，∴四边形ABCD的周长AB+CB+CD+DA的取值范围为：（3+，3+2）．故答案为：（3+，3+2）．由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosβsinα=sinαsinβ，进而可求tan，结合范围β∈（0，π），可求，根据题意，∠BAD=，由余弦定理，基本不等式可求CB+CD≤2，利用两边之和大于第三边可求CB+CD＞，即可得解四边形ABCD的周长的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用和解三角形的基本知识以及运算求解能力，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知正项等比数列{b n}的前n项和为S n，b3=4，S3=7，数列{a n}满足a n+1-a n=n+1（n∈N+），且a1=b1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【答案】解：（1）由题意，设等比数列{b n}的公比为q，则，解得．又a n+1-a n=n+1，∴a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+…+2+1=；（2）∵，∴=．【解析】（1）设等比数列{b n}的公比为q，由题意列式求得b1，得到a1，利用累加法求得数列{a n}的通项公式；（2）直接利用裂项相消法求得数列{}的前n项和．本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，是中档题．18.如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过点A，C，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD=AB=AE=2．（1）求证：平面EFP⊥平面BCE；（2）求几何体ADG-BCE，P-EF-B的体积．【答案】（Ⅰ）证明：∵点E在平面ABCD内的射影恰为A，∴AE⊥平面ABCD，又AE⊂平面ABEG，∴平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，∴ABCD为正方形，又平面ABCD∩平面ABEG=AB，∴BC⊥平面ABEG，∵EF⊂平面ABEG，∴EF⊥BC，又AB=AE=GE，∴∠ABE=∠AEB=，又AG的中点为F，∴∠AEF=．∵∠AEF+∠AEB=，∴EF⊥BE．又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，∴EF⊥平面BCE，又EF⊂平面EFP，∴平面EFP⊥平面BCE；（Ⅱ）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，又AB⊥AD，AE∩AD=A，∴AB⊥平面ADE，又AB∥GE，∴GE⊥平面ADE．∴V ADC-BCE==．∴几何体ADC-BCE的体积为4．【解析】（1）由点E在平面ABCD内的射影恰为A，可得AE⊥平面ABCD，进一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，可得BCD为正方形，再由线面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，从而得到EF⊥BC，结合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=，从而得到∠AEF+∠AEB=，有EF⊥BE．再由线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；（2）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，则AE⊥AD，又AB⊥AD，则AB⊥平面ADE，得到GE⊥平面ADE．然后利用等积法求几何体ADC-BCE的体积．本题主要考查点、线、面的位置关系以及体积的求法，考查运算求解能力及空间想象能力，是中档题．19.2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动．然后再各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均来自乙公园的概率；（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．临界值表：参考公式：K2=．【答案】解：（1）各公园幸运之星的人数分别为=3，=4，=2，=1；（2）基本事件总数=15种，这两人均来自乙公园，有=6种，故所求概率为=；（3）K2==7.5＞6.635，∴据此判断能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．【解析】（1）利用抽样比，求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）求出基本事件的个数，利用古典概型概率公式求解；（3）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查分层抽样，考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，知识综合性强．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；【答案】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1-x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，即，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2-4=0，由已知得△=4m2k2-4（k2+4）（m2-4）＞0，即k2-m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=-3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2-k2-4=0显然m2=1不成立，∴∵k2-m2+4＞0，∴＞，即＞．解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（-2，-1）∪（1，2）∪{0}【解析】（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1-x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质、涉及直线与椭圆相交问题，常转化为关于x的一元二次方程，利用△＞0及根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法求解，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=x+alnx与g（x）=3-的图象在点（1，1）处有相同的切线．（1）若函数y=2（x+m）与y=f（x）的图象有两个交点，求实数m的取值范围；（2）设函数F（x）=3（x-）+g（x）-2f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：F（x2）＜x2-1．【答案】解：（1）∵f′（x）=1+，g′（x）=，根据题意得，解得：；∴f（x）=x+lnx，设T（x）=f（x）-2x-2m=lnx-x-2m，则T′（x）=-1，当x∈（0，1）时，T′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，T′（x）＜0，∴T（x）max=T（1）=-1-2m，∵x→0时，T（x）→-∞，x→+∞时，T（x）→-∞，故要使两图象有2个交点，只需-1-2a＞0，解得：a＜-，故实数a的范围是（-∞，-）；（2）证明：由题意，函数F（x）=x--2lnx，其定义域是（0，+∞），F′（x）=，令F′（x）=0，即x2-2x+m=0，其判别式△=4-4m，函数F（x）有2个极值点x1，x2，等价于方程x2-2x+m=0在（0，+∞）内有2个不等实根，又x1x2＞0，故0＜m＜1，∴x2=1+且1＜x2＜2，m=-+2x2，F（x2）-x2+1=x2-2lnx2-1，令h（t）=t-2lnt-1，1＜t＜2，则h′（t）=，由于1＜t＜2，则h′（t）＜0，故h（t）在（1，2）递减，故h（t）＜h（1）=1-2ln1-1=0，∴F（x2）-x2+1=h（x2）＜0，∴F（x2）＜x2-1．（x）-2x-2m=lnx-x-2m，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出F（x）的导数，等价于方程x2-2x+m=0在（0，+∞）内有2个不等实根，根据函数的单调性证明结论即可．本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值研究不等式恒成立问题，考查运算求解能力、函数与方程思想．22.已知极坐标系的极点为直角坐标系x O y的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x-2y=0，直线l的参数方程为（t为参数），射线OM的极坐标方程为θ=（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【答案】解：（I）∵圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x-2y=0，∴圆C的极坐标方程为：ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ+2cosθ-2sinθ=0，即，∵直线l的参数方程为（t为参数），消参得：x-y+1=0，∴直线l的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+1=0，即sinθ-cosθ=；（Ⅱ）当θ=时，|OP|==2，故点P的极坐标为（2，），|OQ|==，故点Q的极坐标为（，），故线段PQ的长为：．【解析】（I）根据已知中圆C的直角坐标系方程，可得圆C的极坐标方程；先由直线l的参数方程消参得到直线l的普通方程，进而可得直线l的极坐标方程（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，将θ=代和，可得P，Q点的极坐标，进而得到线段PQ的长．间的转化方式，是解答的关键．23.已知函数f（x）=|x+3|+|x-2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a-a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x-2|≥6a-a2在R恒成立，因为|x+3|+|x-2|≥|（x+3）-（x-2）|=5，所以6a-a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）=9，可得x=-5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为=28．【解析】（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x-2|≥6a-a2在R恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围（Ⅱ）图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，即可求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．本题主要考查绝对值函数，考查恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
天一大联考高三上册第一学期期末考试数学(文)试卷(有答案)[推荐].doc
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（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；
（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均自乙公园的概率；
（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：
天一大联考
2019-2020学年高三年级上学期期末考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ集合 的子集个数为
A.8 B. 7 C. 6 D. 4
2.设 为虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
12.已知 是定义在 上的函数 的导函数，若方程 无解，且 ，设 ，则 的大小关系是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量 ，且 ，则 .
14.已知 ， ，则 .
15.已知抛物线 的焦点F也是椭圆 的一个焦点，点 分别为曲线 上的点，则 的最小值为.
A. B. C. 1 D.
9.如图，已知长方体 的体积为6， 的正切值为，当 的值最小时，长方体 外接球的表面积为
A. B. C. D.
10.已知函数 的图象在 轴上的截距为1，且关于直线 对称，若对任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(文)试题
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则AB =（ ） A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6- 2．设复数()()312i z i i i -=+-+，则z =（ ）A ．BC ．2D 3．已知向量()3,0m =，()3,0n =-，()()q m q n -⊥-，则q 为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．14．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法： ①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏；③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．记正项等比数列{}n a 满足234253a a a -=，则公比q =( )A ．13B ．13或2-C ．2D ．196．已知ABC ∆中，AB =sin A =，tan C =，则BC =( )A ．B ．8C ．D ．47．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()(ln 1f x = 8．记双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）与双曲线2C ：221162y x -=无交点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．1,4⎛ ⎝⎦C ．[)3,+∞D ．(]1,39．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ）A ．116πB ．106πC ．56πD ．53π10．已知函数()2,4,x x m f x x x x m<⎧=⎨+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃≥，使得()()0f p f q +=，则m 的取值范围为( )A ．(],2-∞-B ．(),2-∞-C ．(],0-∞D ．(),0-∞11．已知函数()()22sin cos cos 2cos 1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 12．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F ，直线l ：0bx ay -=与椭圆C 交于M 、N两点，若tan MFN ∠=C 的离心率为( )ABC ．12D第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.15．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是线段11A B 的中点，则1CD E ∆在平面11BDD B 上的正投影的面积为______.16．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02x f x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 三、解答题 17．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}12n n a a ++的前n 项和为n S .18．某品牌奶茶公司计划在A 地开设若干个连锁加盟店，经调查研究，加盟店的个数x 与平均每个店的月营业额y (万元)具有如下表所示的数据关系：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据(1)中的结果分析，为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元，则A 地开设加盟店的个数不能超过几个?参考公式:线性回归方程y bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ()()()121n i i i n i i x x y yb xx ==--=-∑∑，a y bx =- 19．如图，在四棱锥S ABCD -中，122AB AD SD SB SC =====，90DSC BSC DAB ∠=∠=∠=︒.(1)若点F 在棱SC 上且13SF FC =，证明：//SA 平面BDF ； (2)求三棱锥A SBC -的体积.20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 过点F 且与抛物线交于M 、N 两点，直线2l 过坐标原点O 及点M 且与l 交于点P ，点Q 在线段MN 上.(1)求直线NP 的斜率；(2)若21FM ，21FQ ，21FN 成等差数列，求点Q 的轨迹方程.21．已知函数()22ln f x m x x =-. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()y f x =的图象与直线y mx =交于(),M M M x y ，(),N N N x y 两点，且1M N x x >>，求实数m 的取值范围.22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为314x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若2a =，点()2,1A ，求11AP AQ+的值. 23．已知函数()2134f x x x =++-.（1）求不等式()22f x x >+的解集；（2）若()1f x k x ≥-在R 上恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】根据并集的定义可求出集合A B . 【详解】依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6AB =-=-. 故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．A【解析】【分析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z .【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--，故z ==故选：A.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．C【解析】【分析】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，可得出()()0q m q m -⋅+=，由此可得出q m =，进而得解.【详解】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，()()0q m q m ∴-⋅+=，即22q m =，因此，233q m ==+=.故选：C.【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-，考查计算能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确. 故选：C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5．A【解析】【分析】根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比.【详解】依题意，2222253a a q a q -=，即23520q q +-=，故()()3120q q -+=，解得13q =或2q =-，而0n a >，故13q =. 故选：A【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．B【解析】【分析】先根据同角三角函数关系得sin 6C =，再根据正弦定理求结果. 【详解】因为tan C =，所以sin C =. 在ABC ∆中，由正弦定理，可得sin sin AB BC C A=3=，解得8BC =. 故选：B【点睛】 本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．B【解析】【分析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项.【详解】对于A 选项，函数()11x x e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x x x xx xx x e e e e f x f x e e e e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111x x x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数，当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg 1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数， 所以，函数()1lg 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减； 对于C 选项，作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增；对于D 选项，函数()(ln 1f x =的定义域为(][),11,-∞-+∞，()((()ln 1ln 1f x f x -=+==，该函数为偶函数.内层函数1u =()2,+∞上单调递增，外层函数ln y u =也为增函数，所以，函数()(ln 1f x =()2,+∞上单调递增. 故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 8．D 【解析】 【分析】先求双曲线2C 渐近线方程，再结合图象确定双曲线1C 确定渐近线渐近线斜率范围，解得结果. 【详解】双曲线2C ：221162y x -=的渐近线方程为y =±，由题意可知b a ≤(]1,3c e a ==. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．A 【解析】 【分析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题. 10．C 【解析】 【分析】先将条件转化为对应函数值域包含关系，再根据分段函数求对应区间值域，最后根据集合包含关系列不等式，解得结果. 【详解】依题意，()()f q f p =-，即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集.因为()y f x =在[),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或2[4,)m m ++∞（2m >-），()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞， 故24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩或22,4,m m m m >-⎧⎨-≥+⎩，解得0m ≤. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数性质以及函数值域，考查等价转化思想方法以及分析求解能力，属中档题. 11．D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+.因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题. 12．B 【解析】 【分析】先解得M,N 坐标，利用两点间距离公式得MNF ∆三边长，再根据余弦定理列方程，解得离心率. 【详解】不妨设M ，N 分别在第一、三象限，焦点(),0F c ，联立22220,1,bx ay x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故MF ==，NF ==MN ==在MNF ∆中，由余弦定理可得2222cos MNMF NF MF NF MFN =+-⋅⋅∠，而tan MFN ∠=21cos 3MF N ∠=，代入化简得4224101340c a c a -+=，其中2232c a >，解得2254c a =或222c a =（舍去），故c e a ==. 故选：B 【点睛】本题考查余弦定理、椭圆离心率以及直线与椭圆交点，考查综合分析求解能力，属中档题. 13．1613【解析】 【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++- 故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．173【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，联立21323y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得5373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z 的最大值为max 57172333z =⨯+=. 故答案为：173. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 15．2【解析】 【分析】根据条件作出1CD E ∆在平面11BDD B 上的正投影，确定正投影位置与形状，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】作出图形如图所示，可知1CD E ∆在平面11BDD B 上的正投影仍然为一个三角形，点C 在平面11BDD B 上的正投影为线段BD 的中点C '，点E 在平面11BDD B 上的正投影为线段11B D 的靠近1B 的四等分点E '，正投影的面积1132242C E D S ''∆⎛==⨯⨯⨯= ⎝.故答案为：2【点睛】本题考查正投影及其相关计算，考查空间想象与分析求解能力，属基础题. 16．,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】构造函数()()cos 2xg x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+， 令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.17．(1)432n a n =-；(2)434n nS n =+. 【解析】 【分析】(1)利用作差相减法求数列{}n a 的通项公式，注意验证1n =的情况是否满足； (2)直接利用裂项相消法求和. 【详解】(1)当1n =时，14a =. 当2n ≥时，()12347324n a a a n a n ++++-=，()()1231473541n a a a n a n -++++-=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-.因为14a =也适合上式， 所以432n a n =-.(2)依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233412n n n S a a a a a a ++=+++16111111113477*********+4n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭16114343434nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查求数列通项以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.18．(1)0.522y x =-+；(2)14个. 【解析】 【分析】(1)先求均值，再代入公式求b a ，，即得结果； (2)根据线性回归方程列不等式，解得结果. 【详解】 (1)依题意，24681065x ++++==，20.920.21917.817.1195y ++++==.()()()()()()514 1.92 1.22 1.24 1.97.6 2.4 2.47.620iii x x y y =--=-⨯+-⨯+⨯-+⨯-=----=-∑，()52116441640i i x x=-=+++=∑，所以()()()515210.5iii ii x x y y b x x ==--==--∑∑，所以190.5622a y bx =-=+⨯=， 故所求的线性回归方程为0.522y x =-+. (2)依题意，令0.52214.6x -+≥，解得14.8x ≤. 因为x *∈N ，所以A 地开设加盟店的个数不能超过14个. 【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．(1)证明见解析；(2)169. 【解析】 【分析】(1) 设AC 与BD 的交点为O ，根据计算以及平几知识得SA OF ∥，再根据线面平行判定定理得结果；(2)先利用线面垂直判定定理证明SC ⊥平面SBD ，再证明BD ⊥平面SAC ，最后根据锥体体积公式求结果. 【详解】(1)如图，连接AC ，记AC 与BD 的交点为O ，连接OF .由题易知BD =BC CD ==所以可得ADC ABC ∆∆≌，所以ADO ABO ∆∆≌，所以AO BO ==.而CO ==易知13AO OC =，故13AO SF OC FC ==，故SA OF ∥. 因为SA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以//SA 平面BDF .(2)因为SC SB ⊥，SC SD ⊥，又SB SD S =，故SC ⊥平面SBD .所以SC BD ⊥如图，连接SO ，则SC SO ⊥，可知OSC ∆为直角三角形，OS =， 易知点S 到直线AC 的距离为43，故1423SAC S ∆=⨯=由(1)易知AC BD ⊥，又因为SC BD ⊥，AC SC C =，故BD ⊥平面SAC .故11163339A SBCB SAC SAC V V S OB --∆==⋅⋅=⨯=.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.20．(1)0；(2)()22214x y -+=（0y ≠）. 【解析】 【分析】(1)先求抛物线方程，再设直线1l 方程以及M,N 坐标，解得P 点坐标，根据斜率公式化简直线NP 的斜率，最后联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简即得结果；(2) 设()00,Q x y ，根据等差中项性质以及弦长公式化简条件得222012211y y y =+，再根据（1）中韦达定理化简右边式子，最后根据001x m y -=代入化简得点Q 的轨迹方程. 【详解】(1)依题意，可得2p =，所以抛物线C ：24y x =.设直线1l ：1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my --=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，易知10x ≠，21x ≠-，则124y y m +=，124y y =-， 直线2l ：11y y x x =. 因为准线l ：1x =-，故111,y P x ⎛⎫--⎪⎝⎭. 故直线NP 的斜率为()()()121211121221212124401111y y x y x y my y y y m m x x x x x x x ++++-+====++++. (2)设()00,Q x y （00y ≠）.由(1)可得()22201FQ m y =+，()22211FMm y =+，()22221FN m y =+.由题可知222211FQFMFN=+，得222012211y y y =+. ()2212122222212122111681162y y y y m m y y y y +-++===+ 因为001x m y -=，所以()2022001212x y y -=+化简可得()2200214x y -+=（00y ≠）.故点Q 的轨迹方程为()22214x y -+=（0y ≠）. 【点睛】本题考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系以及动点轨迹方程，考查综合分析求解能力，属中档题.21．(1)当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在0,2m ⎛ ⎝⎭上单调递减，在2m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在0,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；(2)341,02e ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】(1)先求导数，根据0m =，0m >以及0m <三种情况讨论导函数符号，进而确定对应单调性；(2)先构造函数()22ln F x m x x mx =--，再求导数，根据0m >以及0m<两种情况讨论函数单调性，结合单调性确定满足条件的不等式，解得m 的取值范围，最后利用零点存在定理证明所求范围恰好保证函数有两个零点. 【详解】(1)依题意，()0,x ∈+∞，())222111212m x f x m x x xx-+-'=-==.①若0m =，则()10f x x'=-<，故()f x 在()0,∞+上单调递减 ②若0m ≠，令()0f x '=，解得2x m =-或2x m=. （i ）若0m >，则02m -<，02m >，则当0,2x m ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； （ii ）若0m <，则02m ->，02m <，则当0,x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上所述，当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x在0,2m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x在0,2m ⎛- ⎝⎭上单调递减，在2m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)令22ln m x x mx -=，则由题意可知22ln 0m x x mx --=有两个大于1的实数根，显然0m ≠.令()22ln F x m x x mx =--，则()()()221112mx mx F x m x m x x+-'=--=. 若0m >，则当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()210,11ln 0,11,F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩此时无解；若0m <，则当10,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()()210,13ln 20,2411,2F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫-=+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩解得34102e m -<<. 当34102em -<<时，()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()1102F F m ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故函数()F x 在11,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭上有一个零点. 易知2112m m >-，且22222111111ln ln F m m mm m m ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，下证：ln 0x x ->. 令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<， 当1x >时，()0g x '>，故()()11ln10g x g ≥=->，即ln 0x x ->， 故222111ln 0F m m m ⎛⎫>->⎪⎝⎭，故21102F F m m ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有一个零点.综上所述，实数m 的取值范围为341,02e ⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.22．（1）1111,44⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）35. 【解析】 【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程，将直线l 的参数方程化为普通方程，可知曲线C为圆，利用圆心到直线l 的距离小于半径，列出关于实数a 的不等式，解出即可；（2）将直线l 的参数方程化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将该参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，并利用t 的几何意义可计算出11AP AQ+的值. 【详解】（1）曲线():4sin cos C ρθθ=+，故()24sin cos ρρθρθ=+，则2244x y x y +=+，即()()22228x y -+-=，直线:43340l x y a +--=， 故圆心()2,2到直线l的距离1145a d -=<a <<即实数a的取值范围为111144⎛-+⎝⎭； （2）直线l 的参数方程可化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入()()22228x y -+-=中，得28705t t +-=.记P 、Q 对应的参数分别为1t 、2t ，则1285t t +=-，127t t =-.故1212121212111135t t t t AP AQ t t t t t t +-+=+===. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）分21x <-、1423x -≤≤、43x >三种情况解不等式()22f x x >+，综合可得出该不等式的解集；（2）分0k ≤和0k >两种情况讨论，0k ≤时，()1fx k x ≥-在R 上恒成立；0k >时，作出函数()y f x =，1y k x =-的图象，利用数形结合思想找出临界位置，可得出关于k 的不等式，解出k 的范围，综合可得出结论. 【详解】（1）依题意213422x x x ++->+.若21x <-，原式化为213422x x x ---+>+，解得17x <，故21x <-； 若1423x -≤≤，原式化为213422x x x +-+>+，解得1x <，故112x -≤<；若43x >，原式化为213422x x x ++->+，解得53x >，故53x >.综上所述，不等式()22f x x >+的解集为()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）依题意21341x x k x ++-≥-， 显然0k ≤时该式成立.当0k >时，在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y k x =-的图象，如图所示. 观察可知，临界状态为曲线1y k x =-过点111,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时113k =，故1103k <≤. 综上所述，实数k 的取值范围为11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.。
2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−5x<0}，B=Z，则A∩B中元素的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 62.若z+2z−=3−i，则|z|=()A. 1B. √2C. √3D. 23.在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，则袋中球的总个数为()A. 5B. 8C. 10D. 124.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为()A. √32B. √22C. √33D. √345.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 15B. 29C. 72D. 1856.已知1a >1b>0，则下列不等式：①ba>1；②|a|>|b|；③a3>b3；④(12)a>(12)b.其中正确的是()A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)，点A，B是曲线y=f(x)相邻的两个对称中心，点C是f(x)的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω=()A. 1B. π2C. 2D. π8.已知函数f(x)=e x+e−x−x2，则不等式f(2m)>f(m−2)的解集为()A. (−∞,−2)∪(23,+∞) B. (−∞,−23)∪(2,+∞)C. (−2,23) D. (−23,2)9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b=7，a+c=13，则△ABC的面积为()A. 20√3B. 40√3C. 10√3D. 50√310.已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB=AC=2√14,BC=2√7，则三棱锥O−ABC的体积为()A. 7√7B. 14√2C. 7√14D. 14√711.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x+1)，当0<x<1时，f(x)=2−x，则f(log21257)= ()A. −8B. −1256C. 256257D. −25625712.已知点A在直线3x+y−6=0上运动，点B在直线x−3y+8=0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为()A. π4B. 3π2C. 9π4D. 5π2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.平面向量a⃗=(2,2),b⃗ =(−1,3)，若(a⃗−b⃗ )⊥(λa⃗+b⃗ )，则λ=______ ．14.若实数x，y满足约束条件{x−2y+3≥02x−y−3≤0x+y−3≥0，则x−y的取值范围是______ ．15.若函数f(x)=|e x−a|−1有两个零点，则实数a的取值范围是______ ．16.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S na n 和2a n的等差中项为1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log4a n+1，求数列{1b n b n+1}的前n项和T n．18.某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40,100]内，按照[40,50)，[50,60)，…，[90,100]分组，得到如图频率分布直方图：(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)求全体应聘者笔试成绩的平均数；(每组数据以区间中点值为代表)(Ⅲ)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为平行四边形，AD =3，AB =5，cos∠BAD =35,BD =DD 1，E 是CC 1的中点． (Ⅰ)求证：平面DBE ⊥平面ADD 1；(Ⅱ)求点C 1到平面BDE 的距离．20. 已知椭圆C 1的离心率为√63，一个焦点坐标为(0,2√2)，曲线C 2上任一点到点(94,0)和到直线x =−94的距离相等．(Ⅰ)求椭圆C 1和曲线C 2的标准方程；(Ⅱ)点P 为C 1和C 2的一个交点，过P 作直线l 交C 2于点Q ，交C 1于点R ，且Q ，R ，P 互不重合，若PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 与x 轴的交点坐标．21. 已知函数f(x)=xlnx +1−x −lnx ．(Ⅰ)设函数y =f(x)在x =1和x =e 处的切线交直线y =1于M ，N 两点，求|MN|；(Ⅱ)设f(x 0)为函数y =f(x)的最小值，求证：−12<f(x 0)<0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−3−45ty =3+35t(t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =−3−√1010s y =3+3√1010s(s 为参数)．(Ⅰ)设l 1与l 2的夹角为α，求tanα；(Ⅱ)设l 1与x 轴的交点为A ，l 2与x 轴的交点为B ，以A 为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A 的极坐标方程．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|ax +1|．(Ⅰ)当a =2时，解不等式f(x)≤5；(Ⅱ)当a =1时，若存在实数x ，使得2m −1>f(x)成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<5}，B=Z，∴A∩B={1,2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算求出A∩B，从而可得出A∩B中元素的个数．本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：设z=a+bi，则z−=a−bi，因为z+2z−=3−i，所以a+bi+2(a−bi)=3−i，所以3a−bi=3−i，所以3a=3，−b=−1，所以a=1，b=1，所以z=1+i，故|z|=√1+1=√2．故选：B．利用利用复数相等，求出z，再利用复数模的计算公式，求解即可．本题考查了复数的模、复数相等的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，∴2n =15，解得n=10．则袋中球的总个数为10．故选：C．设袋中球的总数为n，由袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，利用古典概型概率计算公式能求出n．本题考查袋中球的总个数的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：塔顶是正四棱锥P−ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为S1=a2，因为AO=√22a,∠PAO=45°，所以PA=√2×√22a=a，所以△PAB 是正三角形，面积为S 2=√34a 2，所以S 2S 1=√34a 2a 2=√34． 故选：D ．利用正四棱锥的几何结构特征，设底面边长为a ，则底面是正三角形，求出底面面积，再利用侧棱与底面所成的角为45°，求出PA ，得到△PAB 是正三角形，求出其面积，然后计算比值即可．本题考查了正四棱锥的应用，涉及了正四棱锥几何结构的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是掌握正四棱锥的性质，属于中档题． 5.【答案】C【解析】解：i =0，a =1，b =1；第一次执行循环体后，a =3，b =2，不满足退出循环的条件，i =1； 第二次执行循环体后，a =7，b =5，不满足退出循环的条件，i =2； 第三次执行循环体后，a =15，b =14，不满足退出循环的条件，i =3； 第四次执行循环体后，a =31，b =41，满足退出循环的条件； 故输出a +b 值为72， 故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a +b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出正确的结论，是基础题． 6.【答案】D【解析】解：因为1a >1b >0，所以b >a >0， 所以ba >1，故①正确； |b|>|a|，故②错误；b 3>a 3，故③错误；由指数函数f(x)=(12)x 为减函数，又b >a ，所以f(a)>f(b)，即(12)a >(12)b ，故④正确， 故正确的是①④． 故选：D ．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要靠考查不等式的基本性质，属于基础题． 7.【答案】D【解析】解：∵点A ，B 是曲线y =f(x)相邻的两个对称中心， ∴AB = T2，点C 是f(x)的一个最值点，则△ABC 的高为2， ∴三角形的面积S =12×T2×2=1， ∴T =2，∴2πω=2，∴ω=π，故选：D．根据三角函数的性质，求出三角形的底和高，结合三角形的面积是进行计算即可．本题主要考查三角形面积的计算，三角函数的图象和性质是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=e x+e−x−x2，所以f(−x)=e−x+e x−(−x)2=e x+e−x−x2=f(x)，所以函数为偶函数，又f′(x)=e x−e−x−2x，故f″(x)=e x+e−x−2≥0，所以f′(x)在R上单调递增，又f′(0)=0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，则不等式f(2m)>f(m−2)等价于|2m|>|m−2|，解得m>23或m<−2．故选：A．利用函数奇偶性的定义判断函数f(x)为偶函数，再利用导数判断出函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，从而将所求解的不等式进行等价转化，求解即可得到答案．本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数奇偶性的判断、利用导数研究函数的性质，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性去掉“f”，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C，又A+B+C=π，所以B=π3．有余弦定理，可得b2=a2+c2−2accos60°=(a+c)2−3ac，即72=132−3ac，所以ac=40．所以△ABC的面积S=12acsinB=10√3．故选：C．由条件求得B的值，利用余弦定理求得ac的值，再利用三角形的面积公式，求出△ABC的面积．本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由AB=AC=2√14,BC=2√7，得cos∠BAC=2×2√14×2√14=34，则sin∠BAC=√74，设OABC的外接圆半径为r，则2r=BCsin∠BAC=√7√74=8，所以r=4，则球心O到平面ABC的距离等于√52−42=3，则△ABC的面积S=12×2√14×2√14×√74=7√7，故三棱锥O −ABC 的体积为13×3×7√7=7√7．故选：A ．根据条件先求出△ABC 的面积以及球心O 到平面ABC 的距离，利用三棱锥的体积公式进行计算即可． 本题主要考查三棱锥体积的计算，利用与球的关系，求出底面积和高是解决本题的关键，是中档题． 11.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x +3)=f(x +1)，则f(x +2)=f(x)，即f(x)是周期为2的周期函数，又由f(x)为奇函数，则f(log 21257)=f(−log 2257)=f(8−log 2257)=−f(log 2257−8)， 而8=log 2256<log 2257<log 2512=9，则0<log 2257−8=log 2257256<1， 且当0<x <1时，f(x)=2−x ， 则f(log 21257)=−f(log 2257256)=−(2log 2256257)=−256257，故选：D ．根据题意，分析可得f(x +2)=f(x)，即f(x)是周期为2的周期函数，结合函数的奇偶性，可得f(log 21257)=f(log 2257−8)，又由对数的运算性质和函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于基础题． 12.【答案】C【解析】解：∵直线3x +y −6=0与直线x −3y +8=0垂直，且交点为(1,3)，∴以AB 为直径的圆过点(1,3)，又圆C 与x 轴相切，∴圆C 的面积最小时，其直径恰好为点(1,3)到x 轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C 面积的最小值为π×(32)2=94π．故选：C ．由题意画出图形，可知所求的圆恰好过两直线的交点，再由题意得到圆的半径的最小值，则答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想，是中档题．13.【答案】32【解析】解：∵向量a ⃗ =(2,2),b ⃗ =(−1,3)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(3,−1)，λa ⃗ +b ⃗ =( 2λ−1,2λ+3)．∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥(λa ⃗ +b ⃗ )，∴3(2λ−1)−1×(2λ+3)=0， 解得λ=32， 故答案为：32．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求得λ的值． 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于基础题． 14.【答案】[−1,1]【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{2x −y −3=0x +y −3=0，解得A(2,1)，联立{x −2y +3=0x +y −3=0，解得B(1,2)，令z =x −y ，化为y =x −z ，作出直线x −y =0，把直线平移，由图可知，当直线经过A 时，直线y =x −z 在y 轴上的截距最小，z 有最大值1， 当直线经过B 时，直线y =x −z 在y 轴上的截距最大，z 有最小值−1， ∴x −y 的取值范围是[−1,1]． 故答案为：[−1,1]．由约束条件作出可行域，令z =x −y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 15.【答案】(1,+∞)【解析】解：f(x)的零点个数等价于曲线y =|e x −a|与直线y =1的交点个数， 作出函数图象如图所示，由题意可知a >1． 故答案为：(1,+∞)．根据f(x)的零点个数等价于曲线y =|e x −a|与直线y =1的交点个数，作出函数图象即可求出a 的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题． 16.【答案】√2【解析】解：由题意知，A(−a,0)，B (a,0)，F(−c,0)， 把x =−c 代入双曲线方程中，有c 2a−y 2b =1，∴y =±b 2a，∴P(−c,b 2a )，Q(−c,−b 2a )， ∵AP ⊥BQ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c +a,b 2a)⋅(−c −a,−b 2a)=c 2−a 2−(b 2a)2=0， 化简得，a 2=b 2，即a =b ，∴双曲线的离心率e =√a 2+b 2a 2=√1+(b a)2=√2． 故答案为：√2．把x =−c 代入双曲线方程可得P ，Q 两点的坐标，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可推出a =b ，再由e =√1+(ba)2，得解． 本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 17.【答案】解：(Ⅰ)由题意，可得S na n +2a n =2， 整理，得S n =2a n −2，当n =1时，a 1=S 1=2a 1−2，解得a 1=2， 当n ≥2时，由S n =2a n −2， 可得S n−1=2a n−1−2．两式相减，可得a n =2a n −2a n−1， 化简整理，得a n =2a n−1，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2×2n−1=2n ，n ∈N ∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得b n =log 4a n+1=log 42n+1=n+12，则1bn b n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，∴T n =1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b n b n+1=4×(12−13)+4×(13−14)+⋯+4×(1n +1−1n +2)=4×(12−13+13−14+⋯+1n +1−1n +2)=4×(12−1n +2)=2nn+2．【解析】(Ⅰ)先根据等差中项的性质写出S n =2a n −2，然后根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可计算出数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)根据第(Ⅰ)题计算出b n 的表达式，进一步计算出数列{1bn b n+1}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意(0.005+0.010+a +0.030+a +0.015)×10=1， 解得a =0.020．(Ⅱ)这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15=74.5． (Ⅲ)根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x ，根据频率分布直方图可知x ∈[60,70)， 且(70−x)×0.02+0.3+0.2+0.15=0.75， 解得x =65．故估计应该把录取的分数线定为65分．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图列方程能求出a ．(Ⅱ)由频率分布直方图能求出这些应聘者笔试成绩的平均数．(Ⅲ)根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x ，根据频率分布直方图可知x ∈[60,70)，列出方程能估计录取的分数线．本题考查与频率分布直方图有关的计算，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】(Ⅰ)证明：由题意可得BD 2=AD 2+AB 2−2AB ×ADcos∠BAD =16， 所以AD 2+BD 2=AB 2，因此AD ⊥BD. (2分)在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥BD. (3分) 又因为AD ∩DD 1=D ，AD ⊂平面ADD 1，DD 1⊂平面ADD 1，所以BD ⊥平面ADD 1，(4分) 因为BD ⊂平面DBE ，所以平面DBE ⊥平面ADD 1. (5分) (Ⅱ)解：如图，在平面BCC 1内作C 1F ⊥BE ，垂足为F. (6分) 由(Ⅰ)知BD ⊥平面ADD 1，因为平面ADD 1//平面BCC 1， 所以BD ⊥平面BCC 1，所以BD ⊥C 1F ，(7分) 又因为BD ∩BE =B ，所以C 1F ⊥平面BDE ．所以线段C 1F 的长就是点C 1到平面BDE 的距离． (8分)因为CC 1=DD 1=BD =4，BC =3，所以CE =C 1E =2,BE =√13. (9分) 在平面BCC 1内，可知△BCE∽△C 1FE ，(10分) 所以C 1FC1E=BCBE =√13C 1F =6√1313， 所以点C 1到平面BDE 的距离为6√1313. (12分)【解析】(Ⅰ)证明AD ⊥BD ，DD 1⊥BD ，推出BD ⊥平面ADD 1，然后证明平面DBE ⊥平面ADD 1．(Ⅱ)在平面BCC 1内作C 1F ⊥BE ，垂足为F.说明线段C 1F 的长就是点C 1到平面BDE 的距离．通过△BCE∽△C 1FE ，转化求解点C 1到平面BDE 的距离即可．本题考查空间的垂直关系以及距离的计算，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆C 1：x 2b 2+y2a 2=1(a >b >0)， 根据条件可知√a 2−b 2=2√2，且√a 2−b 2a=√63， 解得a 2=12，b 2=4， 所以椭圆C 1的标准方程为x 24+y 212=1，曲线C 2是以(94,0)为焦点，x =−94为准线的抛物线， 故C 2的标准方程为y 2=9x ；(Ⅱ)联立{3x 2+y 2=12y 2=9x，解得x =1，y =±3，不妨取P(1,3)，若直线l 的斜率不存在，Q 和R 重合，不符合条件； 故可设直线l ：y =k(x −1)+3，由题意可知k ≠0， 联立{y =kx +3−k y 2=9x ，解得y Q =9−3kk ，联立{y =kx +3−k 3x 2+y 2=12，解得y R =9−3k 2−6k3+k 2，因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以P 是QR 的中点， 所以y Q +y R2=3，即9−3k k+9−3k 2−6k 3+k 2=6，解得k =1，所以直线l 的方程为y =x +2，其与x 轴的交点坐标为(−2,0)．【解析】(Ⅰ)设椭圆的标准方程，利用焦点坐标和离心率得到关于a 和b 的关系式，求解即可得到a 2=12，b 2=4，从而得到椭圆的方程；利用抛物线的焦点以及准线即可求出抛物线的方程；(Ⅱ)联立椭圆和抛物线的方程，求出其中一个交点P(1,3)，设直线l 的方程，分别联立直线l 与抛物线和椭圆的方程，得到Q 和R 的纵坐标，然后利用PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =RP⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出直线方程，令y =0，即可得到答案． 本题考查了圆锥曲线的综合应用，涉及了椭圆标准方程的求解、抛物线标准方程的求解、直线与椭圆以及抛物线的位置关系，综合性强，涉及知识点多，对学生分析问题和解决问题的能力以及运算能力都有较高的要求，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的导函数为f′(x)=1+lnx−1−1x =lnx−1x.(1分)所以f′(1)=−1,f′(e)=1−1e.又因为f(1)=0，f(e)=0，因此y=f(x)在x=1和x=e处的切线方程分别为y=−x+1和y=e−1e(x−e).(4分)令y=1，可得M和N的坐标分别为(0,1)和(e2e−1,1)，故|MN|=e2e−1.(6分)(Ⅱ)因为f′(x)=lnx−1x 在(0,+∞)上单调递增，而f′(1)=−1<0,f′(2)=ln2−12>0，所以必然存在x0∈(1,2)，满足f′(x0)=0，(8分)且当x∈(0,x0))时，f′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0.(9分)即f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，当x=x0时，f(x)取得最小值f(x0)=x0lnx0+1−x0−lnx0.(10分)由f′(x0)=0，可得lnx0=1x0，所以f(x0)=2−(x0+1x).(11分)当x0∈(1,2)时，x0+1x0∈(2,52)，所以−12<f(x0)<0.(12分)【解析】(Ⅰ)求出导函数，得到切线的斜率，求出切线方程，然后求MN的距离即可．(Ⅱ)判断函数的单调性，求出函数的最小值，利用导函数的最大值结合基本不等式，即可证明−12<f(x0)<0成立．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数性质，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(Ⅰ)设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知tanβ=−34,tanγ=−3，则tanα=tan(β−γ)=tanβ−tanγ1+tanβtanγ=913．(Ⅱ)令3+35t=0，得−3−45t=1，所以A(1,0)，令3+3√1010s=0，得−3−√1010s=−2，所以B(−2,0)，所以圆A的直角坐标方程为(x−1)2+y2=9，即x2+y2−2x=8，所以圆A的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ=8．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用已知条件求出圆的方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|x −1|+|2x +1|={3x,x ≥1x +2,−12<x <1−3x,x ≤−12； 当x ≥1时，不等式f(x)≤5化为3x ≤5，解得1≤x ≤53；当−12<x <1时，不等式f(x)≤5化为x +2≤5，解得−12<x <1； 当x ≤−12时，不等式化为−3x ≤5，解得−53≤x ≤−12． 综上所述，不等式f(x)≤5的解集为{x|−53≤x ≤53}．(Ⅱ)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +1|≥|x +1+1−x|=2， 当且仅当−1≤x ≤1时，等号成立，即f(x)的最小值为2． 因为存在实数x ，使得2m −1>f(x)成立，所以2m −1>2． 解得m >32，所以m 的取值范围是(32,+∞)．【解析】(Ⅰ)a =2时利用分类讨论法求出不等式f(x)≤5的解集．(Ⅱ)利用绝对值不等式求出a =1时f(x)的最小值，再不等式2m −1>f(x)成立时m 的取值范围．本考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
河南省天一大联考19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
河南省天一大联考19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,−2}，集合B={−4,0}，则A∪B=()A. {0}B. {−2,0，−4}C. {0,−4}D. {−2,−4}2.已知z1+i=2+i，则复数|z|=()A. √10B. 2C. 1−3iD. 1+3i3.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,x)，若a⃗⊥b⃗ ，则|2a⃗+b⃗ |=()A. 3√2B. 4C. 5D. 4√24.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门．某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；③可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的14．其中正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 35.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3=1，S6=3，则a5=()A. 310B. 23C. 18D. 196.设a=log123.b=ln4，c=(13)0.2，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是()A. f(x)=2x−2−xB. f(x)=2x+2−xC. f(x)=log2|x|D. f(x)=x−48.已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长AB=3，AD=4，AA1=5，则该长方体的外接球的表面积为()A. 25πB. 30πC. 45πD. 50π9.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1斜率为√3的直线与双曲线的左右两支分别交于点P、Q，若QP=QF2，则双曲线C的离心率为()A. √7B. √6C. √13+12D. √13−1210.数列{a n}中，a n+1+(−1)n a n=2n−1，则数列{a n}前12项和等于()A. 76B. 78C. 80D. 8211.已知函数f(x)=sin(ωx+2φ)−2sinφcos(ωx+φ)(ω>0.φ∈R)的图象的相邻两条对称轴相距π2个单位，则ω=()A. 1B. 12C. 13D. 212.如图，过抛物线y2=8x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若B是AC的中点，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=()A. 8B. 9C. 10D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(ax−1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是_______．14.已知实数x，y满足{2x−y≤5,x+y≥0,3x−4y≥0,则z=x−2y的最大值为______15.已知正三角形ABC的边长为2cm，PA丄平面ABC，A为垂足，且PA=2cm，则点P到BC的距离为________cm．16.已知函数f(x)={x 3,x≤mx2,x>m(m∈R)(1)若m=−1，则函数f(x)的零点是______；(2)若存在实数k，使函数g(x)=f(x)−k有两个不同的零点，则m的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若a，b是方程x2−2√3x+2=0的两根，且2cos(A+B)=1．(1)求角C的度数；(2)求c；(3)求△ABC的面积．18.随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具．现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示．(Ⅰ)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[6.5,7.5)(时)内的频率；(Ⅱ)求此人这三年出来每周开车从家到公司的时间之和的平均数(每组取该组的中间值作代表)；(Ⅲ)以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时问之和在[4.5,6.5)(时)内的周数为X，求X的分布列以及数学期望．19.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=CD=4，AD1=5，M是B1D1的中点．(1)求证：BM//平面D1AC；(2)求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．20.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为12，|AB|=√5．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：x=my−1与椭圆C交于不同的两点M、N，且点O在以MN为直径的圆外(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．21.已知函数f(x)=1−ln x+a 2x 2−ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=0且x∈(0,1)，求证：f(x)e x +x2−1x<1．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=2+3cosθ,y=3sinθ(θ为参数)。
河南省天一大联考高三上学期期末考试数学(文)试题(有答案)
天一大联考高三年级上学期期末考试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为 A.8 B. 7 C. 6 D. 42.设i 为虚数单位，复数21a i i++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.“22a b >”是“ln ln a b >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。
下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。
图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾股+（股-勾）2=4朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D.()2,+∞ 6.函数()cos 21x f x x x π=+的图象大致是7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8. 已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是 A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎣⎦11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知()f x '是定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数，若方程()0f x '=无解，且()()20160,,log 2017x f f x x ∀∈+∞-=⎡⎤⎣⎦，设()()()0.542,log 3,log 3a f b f c f π===，则,,a b c 的大小关系是A. b c a >>B. a c b >>C. c b a >>D. a b c >>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .14.已知()0,απ∈，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16. 如图，在圆内接四边形ABCD 中，2,1,cos sin ,AB AD CD αβ===+则四边形ABCD周长的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，334,7b S ==，数列{}n a 满足()11n n a a n n N *+-=+∈，且11a b =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.AD AB AE ==（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；（2）求几何体ADG BCE -P EF B --的体积.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后再各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均自乙公园的概率；（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3b g x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()()3222m m F x x g x f x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有两个极值点12,x x ，且12x x <， 求证：()22 1.F x x <-.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
天一联考数学试卷高三答案
一、选择题1. 答案：A解析：根据题意，等差数列的公差为2，首项为1，则第n项为1 + (n-1)×2 = 2n-1。
2. 答案：C解析：函数y = x^2 - 4x + 3在x=2时取得最小值，即f(2) = 2^2 - 4×2 + 3 = -1。
3. 答案：B解析：由题意，a^2 + b^2 = 2，且a + b = 0，解得a = -√2，b = √2。
4. 答案：D解析：由题意，a > 0，b > 0，且a^2 + b^2 = 2，a + b = 2，解得a = √2，b = √2。
5. 答案：B解析：根据复数的模的定义，|z| = √(a^2 + b^2)，其中z = a + bi。
代入题目中的a和b，得|z| = √(3^2 + 4^2) = 5。
二、填空题6. 答案：x = 2解析：由题意，x^2 - 4x + 3 = 0，因式分解得(x-1)(x-3) = 0，解得x = 1或x = 3，结合题意，取x = 2。
7. 答案：a = -1，b = 3解析：由题意，a^2 + b^2 = 2，且a + b = 0，解得a = -1，b = 3。
8. 答案：y = -1解析：由题意，函数y = x^2 - 4x + 3在x=2时取得最小值，即f(2) = 2^2 - 4×2 + 3 = -1。
9. 答案：5解析：由题意，|z| = √(3^2 + 4^2) = 5。
10. 答案：π/4解析：由题意，sin(π/4) = √2/2。
三、解答题11. 解答：（1）解方程x^2 - 4x + 3 = 0，得x = 1或x = 3。
（2）求函数y = x^2 - 4x + 3的最小值，得y = -1。
（3）求复数z = 3 + 4i的模，得|z| = 5。
12. 解答：（1）由题意，a^2 + b^2 = 2，且a + b = 0，解得a = -1，b = 3。
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天一大联考
高三年级上学期期末考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为 A.8 B. 7 C. 6 D. 4
2.设i 为虚数单位，复数21a i i
++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
3.“22a b >”是“ln ln a b >”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝
妙证明。
下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的
正方形，其面积称为弦实。
图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾股+（股-勾）2
=4朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.
设勾股形中勾股比为1:若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为
A. 866
B. 500
C. 300
D. 134
5.已知圆()22
314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是
A. (
B. ()1,2
C. )
+∞ D.()2,+∞ 6.函数()cos 21x
f x x x π=+的图象大致是
7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值
[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是
A. (]1,2
B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. ()1,2
D. [)2,+∞ 8. 已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩
，N 为
直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是
9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值
为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球
的表面积为
A. 10π
B. 12π
C. 14π
D. 16π
10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭
的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π
=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是 A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. ⎣⎦
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
12.已知()f x '是定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数，若方程
()0f x '=无解，且()()20160,,log 2017x f f x x ∀∈+∞-=⎡⎤⎣⎦，设
()()()0.542,log 3,log 3a f b f c f π===，则,,a b c 的大小关系是
A. b c a >>
B. a c b >>
C. c b a >>
D. a b c >>
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .
14.已知()0,απ∈，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ . 15.已知抛物线()2
1:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()22
22:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16. 如图，在圆内接四边形ABCD 中，
2,1,cos sin ,AB AD CD αβ===+则四边形ABCD
周长的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）
已知正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，334,7b S ==，数列{}n a 满足
()11n n a a n n N *+-=+∈，且11a b =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
18.（本题满分12分）
如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，
点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的
圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.AD AB AE ==
（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；
（2）求几何体ADG BCE -P EF B --的体积.
19.（本题满分12分）
2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.
然后再各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.
（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；
（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均自乙公园的概率；
（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.
20.（本题满分12分）
已知椭圆()22
22:10y x C a b a b
+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的
直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆，椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.
21.（本题满分12分）
已知函数()ln f x x a x =+与()3b g x x
=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围；
（2）设函数()()()3222
m m F x x g x f x ⎛
⎫=-+- ⎪⎝⎭有两个极值点12,x x ，且12x x <， 求证：()22 1.F x x <-.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
已知极坐标系的极点为直角坐标系xoy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度
单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t y t
=-+⎧⎨=⎩（t
为参数），射线OM 的极坐标方程为34
πθ=
. （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）已知射线OM 与圆C 的交点为O,P,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()3 2.f x x x =++-
（1）若()2
,6x R f x a a ∀∈≥-恒成立，求实数a 的取值范围；。