定积分的性质
定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
最小值 m. 由于 m f ( x ) M , x [a , b], 因此
m(b a ) mdx f ( x )dx
a a
b
b
Mdx M (b a ),
a
b
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即
1 b m a f ( x )dx M . ba
由连续函数的介值性定理， [a , b], 使 1 b f ( ) a f ( x )dx. ba
T g i
T
2M
.
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令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
ifg sup f ( x) g( x) f ( x) g( x)
sup g( x) f ( x) f ( x)
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分割 , 且
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
可积, 且
b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
定积分的性质中值定理
VS
详细描述
设函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx。
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指，对于任意两个子区间[a, c]和[c, b]，其上的积分值等于整个区间[a, b]上的积分值。
详细描述
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，则对于任意c∈[a,b]，有∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx。
重要性及应用领域
在微积分学中，定积分的性质中值定理是理解积分概念和性质的关键，它为解决定积分问题提供了一 种有效的方法。
在应用领域，定积分的性质中值定理广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，例如在计算面积、 解决物理问题、预测经济趋势等方面都有重要的应用。
02 定积分的性质
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指，对于两个函数 的积分和或差，其积分值等于各自积分 值的和或差。
可以用来研究函数的单调性、极值等问题， 并且在解决一些复杂的数学问题时也很有用。
04 定积分与中值定理的关系
定积分与连续函数的关系
01
定积分是研究连续函数的一种工具，它能够计算连 续函数在一定区间上的积分值。
02
连续函数在一定区间上的定积分等于该函数在区间 端点上取值的差与该区间长度乘积的一半。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它说 明了一个函数在开区间上可导时，其导函数在区间内 至少存在一个中值点。
详细描述
拉格朗日中值定理是由法国数学家拉格朗日提出的，定 理表述为：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在 开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一 点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个定理说明了函数 在某区间的变化率与该区间两端函数值之差成正比，这 在研究函数的单调性、极值等问题时非常有用。
5.1 定积分的概念与性质
lim ( )Δ =
→0
=1
则称这个极限为函数()在区间[, ]上的定积分,记为
න ()d
第一节 定积分的概念与性质
定积分
第五章
即
积分上限
定积分
积分和
න ()d = = lim ( )Δ
积分下限
→0
=1
被积被
积分积
[, ]积分区间 函 变 表
[, ]
[, ]
( − )≤ න ()d ≤( − ) ( < )
证
∵ ≤()≤,
∴ න d≤ න ()d≤ න d ,
( − )≤ න () d≤( − ).
第一节 定积分的概念与性质
此性质可用于
估计积分值的
第五章
8. 定积分中值定理
如果 () 在区间[, ]上连续, 则至少存在一点 ∈ [, ], 使
න ()d = ( )( − )
证
设()在[, ]上的最小值与最大值分别为 , ,
1
න ()d≤
则由性质7可得 ≤
−
根据闭区间上连续函数介值定理, ∃ ∈ [, ], 使
= lim ( )
=
lim ( ) ⋅
→∞
− →∞
故它是有限个数的平均值概念的推广.
第一节 定积分的概念与性质
把区间[, ]分成个小区间,
[0 , 1 ], [1 , 2 ], ⋯ , [−1 , ], ⋯ , [−1 , ]
各个小区间的长度依次为
小结定积分的性质
小结定积分的性质定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的基础上，我们还应了解一些定积分的基本性质．（由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求．） 一、定积分基本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即[()()]()bbbaaafx g x d xf x d xg x d x±=±⎰⎰⎰． 这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形． 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）．性质3 不论a b c ，，三点的相互位置如何，恒有()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 性质4 若在区间[]a b ，上，()0f x ≥，则()0baf x dx ⎰≥．推论1 若在区间[]a b ，上，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ⎰⎰≤．推论2()()bbaaf x dx f x dx ⎰⎰≤．性质5 （估值定理）设函数()f x 在区间[]a b ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，则()bb baaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．证明：因为()m f x M ≤≤，由推论1得()bb baaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．即()bb baaamdx f x dx M dx ⎰⎰⎰≤≤．故()()()bam b a f x dx M b a --⎰≤≤．利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．二、定积分性质的应用 例1 比较定积分2e x dx -⎰和2xdx -⎰的大小．解：令()e xf x x =-，[20]x ∈-，， 则()0f x >， 故2()0f x dx ->⎰，即02(e )0x x dx -->⎰．22e xdx xdx -->⎰⎰，从而22e xdx xdx --<⎰⎰．例2 估计定积分π30212sin dx x+⎰的值．解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，∴320sin 1x ≤≤，由此有3222sin 3x +≤≤，32111322sin x+≤≤， 于是由估值定理得π302π1π322sin dx x+⎰≤≤． 评注：例1是比较同一区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比较，但本例的构造函数，利用性质比较避免了大量计算，显得简捷、明了．例2中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．。
定积分的基本概念与性质
定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。
一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。
然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。
当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。
二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。
其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。
几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。
例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。
根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。
分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。
通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。
换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。
假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。
通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。
三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
定积分的定义与性质
定积分的定义与性质1. 定积分的定义1.1 引言在微积分中，定积分是一种重要的数学工具，用来计算曲线下面的面积或求函数在一定区间上的平均值。
定积分的概念由牛顿和莱布尼兹在17世纪提出，对于各种实际问题的求解起着至关重要的作用。
1.2 定积分的符号表示定积分可以用积分符号∫来表示，表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为∫[a,b] f(x)dx其中f(x)是被积函数，x是自变量，[a, b]是积分区间。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线下面的面积。
具体来说，若f(x)在区间[a, b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx表示由横坐标轴、直线x=a、x=b和曲线y=f(x)所围成的图形的面积。
1.4 定积分的计算方法计算定积分的方法主要有以下两种：•几何法：将曲线下面的面积划分成无数个小矩形，通过求和的方式逼近曲线下面的总面积。
•代数法：通过对函数f(x)进行积分运算，得到曲线下面的面积。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和应用定积分。
2.1 线性性质定积分具有线性性质，即对于任意函数f(x)和g(x)，以及任意常数a和b，有以下等式成立：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx这意味着定积分可以在函数之间进行加法和标量乘法运算。
2.2 区间可加性设函数f(x)在区间[a, b]和[b, c]上连续，则有：∫[a,c] f(x) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[b,c] f(x) dx这表明定积分在区间上具有可加性，可以将一个大区间上的积分分解成两个子区间上的积分之和。
2.3 积分中值定理根据积分中值定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则至少存在一个c∈(a, b)，使得∫[a,b] f(x) dx = f(c)(b-a)这个定理给出了定积分与函数平均值之间的关系。
定积分的性质和计算方法
定积分的性质和计算方法定积分是高中数学的重要部分之一，而在大学的数学课程中，它更是不可或缺的。
从广义上讲，定积分是微积分的理念的核心之一。
本文试图探索定积分的性质和计算方法。
一. 定积分的基本概念在介绍定积分的性质和计算方法之前，我们需要先了解一些基本概念。
所谓定积分，可以理解为在一定区间内，用一个数来表示一条曲线下面的面积。
它的形式为：∫a^bf（x）dx其中，a和b是区间端点，f（x）是曲线的函数表达式，而dx 表示区间的微元（即无穷小的长度）。
二. 定积分的性质和其他数学概念一样，定积分也有一些基本的性质。
1. 割线定理割线定理是定积分的基本性质之一，它给出了曲线下面的面积和定积分值之间的关系。
这个定理的表达式为：f（x1）+（x2-x1）f'（ξ）=L其中，x1和x2是曲线上两个点，ξ是这两个点之间的某个点，f（x）是曲线的函数，f'（x）是这个函数的导数，L是这条曲线下面的面积。
割线定理的意义在于，通过它我们可以证明求解定积分的方法的合理性。
它告诉我们，如果我们采用点的差值来逼近曲线下面的面积，最后得到的结果和真实的定积分值之间的误差是小的。
这个性质也是微积分理论的核心之一。
2. 工具性质除了割线定理，定积分还具有一些工具性质。
比如，定积分是可叠加的：如果我们将一个区间分成若干个子区间，并分别进行积分，然后再将这些值相加，得到的结果和将整个区间一起积分得到的结果是相等的。
这个性质在实际问题中非常有用，可以帮助我们简化一些复杂的积分。
此外，定积分还具有类似求导的反操作的性质，我们称之为定积分的线性性。
这个性质的本质是定积分的积分恒等式，即：∫a^bf（x）dx+C1+ ∫a^bf（x）dx+C2= ∫a^bf（x）dx+C1+C2这个性质的应用也非常广泛，可以帮助我们更快地求解一些复杂的定积分。
三. 定积分的计算方法定积分作为微积分的基本理念，自然有很多不同的计算方法。
1. 基本积分表基本积分表是定积分计算中最重要的工具之一，它列举了一系列基本函数的积分值、积分公式以及基本的积分应用。
高等数学定积分定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
i 1 i
n
i
J2
2
2
.
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
前页 后页 返回
b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
a a
b
b
性质3 若 f , g 在 [a , b] 上可积，则 f g 在 [a , b] 上
c
b
注 若规定 a b 时 a f ( x )dx b f ( x )dx , a b 时
i xi ix i i x i . T T T
因此, f 在 [a, b] 上可积. (必要性) 已知 f 在 [a , b ] 上可积, 则 0, T ,
使 i Δxi . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T .
b
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c b a
T T
T
T
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定积分的基本性质
定积分的基本性质一、定积分的基本性质性质1:∫b a1dx=∫b a dx=b-a证: f(ξi)Δx i＝1·Δx i＝ (b-a)=b-a所以∫b a1dx=∫b a dx=b-a性质2:(线性运算法则):设f(x),g(x)在［a,b］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx 证：设F(x)=αf(x)+βg(x),由F(ξi)Δx i＝［αf(ξi)+βg(ξi)］Δx i＝［αf(ξi)Δx i＋βg(ξi)Δx i］＝α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx，因此αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx特别当α=1,β=±1时，有∫b a［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx±∫b a g(x)dx当β=0时∫b aαf(x)dx=α∫b a f(x)dx性质2主要用于定积分的计算性质3:对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx证:a,b,c的位置，由排列知有六种顺序(i)当a<c<b，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b］时，可以让点C是一个固定的分点，则有∫b a f(x)dx=f(ξi)Δx i＝［f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i］＝f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i＝∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx(ii)当c<b<a由(i)知∫a c f(x)dx=∫b c f(x)dx+∫a b f(x)dx有-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b a f(x)dx,则∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx对于其它4种位置与(ii)证明类似。
定积分的性质
3 3 使 x t sin f ( t )dt sin f ( )( x 2 x ), t x2 3 3 lim x t sin f ( t )dt 2 lim sin f ( ) x t
x 2
2 lim 3 f ( ) 6.
2.推广的积分第二中值定理
g (x)
定理 9.8 设 f (x) ，g (x) 和 f ( x) g ( x) 在 [a,b]可积，
xi 0,
n
max{x1 , x2 ,, xn }
b
f ( i ) x i 0, i 1
n
lim f ( i )xi f ( x )dx 0. a 0
i 1
例 1 比较积分值 0 e dx 和 0 xdx 的大小.
x
2
2
解
令 f ( x ) e x x,
x [2, 0]
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
n i 1
b
b
( k 为常数).
kf ( x )dx lim0 kf (i ) xi a T
lim k f (i )xi
T 0
b
n
k lim f (i ) xi
T 0 i 1
n
i1
k a f ( x )dx .
性质2 证
a [ f ( x ) g ( x )]dx a f ( x )dx a g ( x )dx .
§9.4
定积分的性质
一、基本性质 二、积分中值定理
一、基本性质
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时， f ( x )dx 0 ；
a b
（2）当 a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
定积分的性质
在[0,1]上不可积（类似于狄利克雷函数）；但
f ( x ) 1, 它在[0，1]上可积.
首页
×
例1
求
1
2 x 1, 1 x 0, f ( x) x e ,0 x 1.
1
f ( x )dx, 其中
解
对于分段函数的定积分，通常利用积分
区间可加性来计算，
Bif Aig .
利用§3习题第1题，可知
f .g f g x B x A i i i xi i T T A
i
B if xi A ig xi T' T B A , 2B 2A
这就证得f · g在[a,b]上可积.
x a ,b
x
,
B sup g x ,
x a ,b
且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f、g中至少有一个恒为零值 函数， 于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）.
T " ，使得 任给由f、g可积，必分别存在分割 T ' 、 g f x . i xi , i i 2A 2B T' T" 令 T T 'T " （表示把 T ', T " 的所有分割点合并
1
1
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
(2 x 1)dx e x dx
1 0
0
1
1 0
0
1
( x x)
2
0 1
(e )
x
1 0
首页
2 e 1 1 (e 1 1).
×
定积分的概念和性质
b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
b
b
三、函数可积的充分条件 定理1 若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在 [a，b]上可积。 定理2 若f(x)在[a，b]上有界，且只有有 限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。 四、定积分的几何意义
若f(x)≥0，则 a f ( x)dx 的几何意义表示 由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成 的曲边梯形的面积。
b
一般情形,a f ( x)dx 的几何意义为：它 是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之 间的各部分面积的代数和。
b
y
＋ a ＋
0 －
b
x
定积分的性质 中值定理
a 0 n
1dx dx b a
a a
i 1 i
b
b
lim(b a) b a
0
• 性质5 • 证
f ( x) 0 若在区间[a，b]上，
，则
b
a
f ( x)dx 0
(a b)
(i 1,2,, n)
因 f ( x) 0 ，所以 f (i ) 0,
n i 1
i 1
极限就是A，即 A lim f ( i )xi 0
可见，曲边梯形的面积是一和式的极限
y
y=f(x)
f(ξｉ )
0
a x0 x1
x2 xi 1 ξｉxi
xn 1 x b n
x
2、变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度 v v(t ) v(t ) 0 是时间间隔 [T1 , T2 ] 上t的连续函数， 且 ，计算在此段时间内物体经过的 路程。 思想方法
9-04-定积分的性质
解
1 f ( x) , 3 3 sin x
x [0, ],
0 sin x 1,
3
1 1 1 , 3 4 3 sin x 3
0
1 1 1 dx dx dx, 3 0 3 sin x 0 3 4
1 dx . 3 4 0 3 sin x 3
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2] 上规定当 x 1 时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6
0 1
1
2
o
1
2
x
性质5 (保号不等式) 如果在区间[a , b]上可积函数
f ( x ) 0 ，则 a f ( x )dx 0 .
f ( )
b
a
f ( x)dx
其数值等于在时间段 [a, b]内，物体以某个时 刻 的速率f() 作匀速直 线运动所走过的路程。
o
a
b x
例 6 设 f ( x ) 连续，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
在 0,1 上不可积 类似于Dirichlet 函数 . 但 f x 1, 所以 f x 在 0,1 上可积.
性质6（估值不等式）设 M 及m 分别是可积函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
定积分的定义和性质
性质：区间可加性是定积分的一个重要性质，它表明定积分具有线性性质，可以像加法一样进行区间上的运算。
单击此处添加标题
积分中值定理
定理定义：若函数f在闭区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(b-a)∫f(x)dx
定理证明：通过构造辅助函数和运用中值定理证明
方法步骤：选择适当的中间变量，进行变量替换，化简积分
适用范围：被积函数或积分区间具有特定形式时
分部积分法
定义：将两个函数的乘积进行积分的一种方法
注意事项：选择合适的u和v，以便简化计算过程
应用：解决某些复杂的不定积分问题
公式：∫udv=∫vdu+∫u'vdx
有理函数的积分法
计算步骤：首先将有理函数分解为简单分式之和或差，然后分别求各简单分式的积分，最后合并各简单分式的积分结果。
,a click to unlimited possibilities
定积分的定义和性质
目录
01
单击添加目录标题
02
定积分的定义
03
定积分的性质
04
定积分的计算方法
01
添加章节标题
02
定积分的定义
积分上限函数
积分上限函数的定义：定积分被定义为积分上限函数在某区间上的值。
积分上限函数的性质：积分上限函数在区间上单调递增或递减，取决于被积函数在区间上的符号。
应用场景：在求解定积分时，可以利用微积分基本定理将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程。
定理证明：可以通过牛顿-莱布尼茨公式进行证明，该公式将定积分与不定积分联系起来。
04
定积分的计算方法
微积分基本定理的应用
数学分析9.4定积分的性质
第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。
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一、基本性质 二、积分中值定理
一、基本性质
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a b
f
( x)dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1
b
a kf
(
则
b
a
f
(
x)dx
c
a
f
(
x)dx
c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
ba.
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则 b a
f
(
x)dx
0.
(a b)
证 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
(a b)
证 f (x) f (x) f (x),
b
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即
b
a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx .
说明： | f ( x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的.
性质6 设M 及m 分别是函数
例 2
估计积分
0
3
1 sin 3
dx 的值. x
解
f
(
x)
3
1 sin 3
x
,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin 3
x
1 3
,
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 sin3
使
1b
f () b a a f ( x)dx,
即
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
积分中值公式的几何解释：
(a b)
y
在区间[a, b]上至少存在一
个点 ，使得以区间[a,b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
例 4 设 f ( x)可导，且 lim f ( x) 1， x
求 lim
x2
t sin
3
f
(t )dt .
x x
t
解 由积分中值定理知有 [ x, x 2],
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
(
x)dx
M
(b
a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
n
xi 0, f (i )xi 0,
i 1
max{x1,x2,,xn }
n
lim
0
i 1
f
(i )xi
b
f ( x)dx 0.
a
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质5的推论：
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则 b a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx
.
(a b)
证 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0,
b
a[g( x) f ( x)]dx 0,
b
b
a g( x)dx a f ( x)dx 0,
于是
b
a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x
)dx
.
性质5的推论：
（2）
b
a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx.
dx x
3
.
例 3
估计积分
2
4
sin xdx的值. x
解 f ( x) sin x , x [ , ]
x
42
f
( x)
x cos x sin x2
x
cos
x( x tan x)
x20,源自f ( x)在[ , ]上单调下降,
42
故x 为极大点，x 为极小点,
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使 b a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
a)
m
1b
b a a
f ( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
4
2
M f () 2 2, m f () 2 ,
4
2
ba , 24 4
2 4
2 4
sin xdx x
2 2, 4
1
2
2 4
sin x
xdx
2. 2
二 定积分中值定理
定理9.7（积分第一中值定理）
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
x
)dx
k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数).
n
证
bkf ( x)dx
a
lim
T 0
i 1
kf
(i )xi
n
lim k T 0
f (i )xi
i1
n
k
lim
T 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
性质2
b[ a
f
(
x)
g(
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx
b
a f
c
( x)dx b
f ( x)dx
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a
g(
x)dx
.
证
b
a[
f
(
x)
g(
x)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
(i
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f
(i )xi
lim 0
i 1
g(i )xi
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.