方波信号的傅里叶变换_图文

(4―45)
(4―46)
(4―47)
(4―48) (4―49)
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
图 3.8-2 例 3.8-2 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形
先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于
再求s(t)的傅里叶变换S(jω)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有
图 3.8-3 y(t)的求解
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
(a>0)
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
Байду номын сангаас
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
gτ(t)的傅里叶变换为
(4―36)
(4―37) (4―38) (4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
图 3.4-5 信号δ(t) (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
解
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然 ， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
根据分配函数关于δ(t)的定义， 有
冲激信号δ(t)的频谱
(4―75)
直流信号1的频谱函数
例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。
图 3.4-6 直流信号f(t) (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
解 直流信号1可表示为
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解 幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
已经知道
用频域分析法求响应
例 3.8-1 已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，试求图 3.8-1 所示 电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。
图 3.8-1 例 3.8-1 的图
注意到δ(ω)的取样性质，并为了较方便地求得UCf(jω)的 逆变换，将UCf(jω)按如下形式整理:
例 3.4-4 所示信号的频谱函数为
，从而有
图 3.4-7 符号函数Sgn(t) (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱
符号函数的频谱
例4―7求符号函数的频谱。 解 符号函数简记为sgn(t),它的定义为
(4―50)
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例:
图 3.4-2 单边指数函数e-αt (a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解 其振幅频谱及相位频谱分别为
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
(4―40)
(4―41)
图4.7 单边指数信号及其频谱
偶对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
图 3.5-2 (a) f(t)的波形； (b) 频谱
解 图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数 gτ(t)与cos ω0t相乘，即
高频脉冲信号的频谱函数
例4―13 求高频脉冲信号 p(t)=gτ(t)·cosω0t 的频谱函数
解 由于
故有 根据频移特性有
图4.14 频移特性
梯形信号f(t)的频谱函数
例 3.5-4 求图 3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。
将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导 ， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
其余
图 3.3-1 例 3.3-1
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
图 3.3-2 例 3.3-1 信号的
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
单边指数函数f(t)的频谱函数 例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
图 3.5-1 例 3.5-1 (a) f(t)的波形； (b) 相位谱
解
尺度变换求频谱
例4―11 已知
求gτ(2t)的频谱函数 解 根据傅里叶变换的尺度变换性
质,gτ(2t)的频谱函数为
图4.13 尺度变换
利用奇偶虚实性求频谱 例4―9利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信 号f(t)=2e-αt u(t)的频谱。
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解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,
并按式(4 及c。
―
7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,
bn
例 3.3-1
振幅谱和相位谱例题
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。
解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里 叶级数展开式。据
图 3.4-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
从频谱函数的定义式出发
(4―42)
(4―43)
图4.8 双边指数信号及其频谱
奇对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
(其中α>0)
(4-51)
阶跃函数ε(t)的频谱函数
例 3.4-8 求阶跃函数ε(t)的频谱函数。 解 由阶跃函数ε(t)的波形容易得到
从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数， 即
图 3.4-8 (a) ε(t)的波形； (b) 频谱
门(平移后)信号的频谱函数
例 3.5-1 求图 3.5-1(a)所示信号的频谱函数。
图4.11 单边指数信号及其频谱
解 从波形图（a）上可见,单边指数信号 f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）, （c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式 。
其中
f(t)=2e-αt u(t)=fe(t)+fo(t)
高频脉冲信号f(t) 的频谱
例 3.5-2 求高频脉冲信号f(t)(图 3.5-2(a))的频谱。
用频域法求响应
例4―20如图4.19所示,试分析单位阶跃信 号u(t)通过RC高通网络传输后的波形。
图 4.19
解 显然,当输入信号uS(t)为复指数信号e jωt时 ,如图有
则按H(ω)的定义有 对于单位阶跃信号u(t)而言,此时
最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此
用频域分析法求响应
例 3.8-2 如图 3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入 s(t)的波形如图 3.8-2(b)所示，系统函数
例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式有
(4―34)
(4―35)
图4.5 冲激信号及其频谱
移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数
例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。 解 由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1,
求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利 用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。
周期冲激函数序列δT(t)的频谱
例 3.6-2 图3.6-2(a)为周期冲激函数序列δT(t)，其周期为 T，δT(t)可表示为
m为整数
图 3.6-2 周期冲激序列及其频谱
解 先求δT(t)的复振幅Fn：
设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期 的信号若为fa(t)，则不难得到
图 3.5-5
据时移性质有
图 3.5-6 另一种梯形信号
梯形脉冲的傅里叶变换
例4―14 求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。
图4.15 梯形脉冲的傅里叶变换
解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲 f1(t)与f2(t)的卷积，如图4.15所示。 f(t)=f1(t)*f2(t) 而矩形脉冲的傅里叶变换已在例4―3中求出,具体来说
图4.16 半波正弦脉冲
图4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形
周期矩形脉冲f(t)的频谱函数
例 3.6-1 求图 3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(jω)。
图 3.6-1 (a) f(t)的波形； (b) 复振幅Fn; (c) 频谱函数F(jω)
解 周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为