方波信号的傅里叶变换_图文
方波信号的傅里叶变换
－ 4
0 － (b ) 2
图4.7 单边指数信号及其频谱
偶对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
f (t) 1 e t o (a ) e－t ＞0 ) t
2
F(j )
o (b )
图 3.4-3 双边指数函数及其频谱 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
f (t ) e
F ( )
0
t
u(t ), 0
e e
at j t
(4―42)
从频谱函数的定义式出发
e e
at
j t
dt
0
1 1 dt j j
(4―43)
2 2 2
f (t) 1
F ( )
2
1
0 (a )
t
－
0 (b )
图4.8 双边指数信号及其频谱
奇对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1 e－t ＞0 ) o － et －1 (a ) － 1 (b ) t o X( )
方波的傅里叶变换
方波的傅里叶变换
方波的傅里叶变换是一种将时域的信号转换为频域的信号的数学技术，它通过一系列的步骤可以从时域上的信号计算出其在频域上的表示形式。它的基本原理是：将信号的时域形式的函数表示转换为频域形式的函数表示，这样就可以通过频域分析来解决时域中遇到的问题，例如，方波的振幅、频率、相位等。
方波的傅里叶变换是一种算术手段，可以将方波函数转换成复数函数，即从时域转换到频域。由于它是一种算法，可以用来表示任意的时域函数的振动特性，也可以检测出方波的不同特征，例如振幅、频率和相位。
方波的傅里叶变换是一种技术，通常用来解决信号检测中遇到的问题。它可以帮助我们更好地理解信号的各种性质，包括振幅、频率、相位等。
方波的傅里叶变换采用一种称为“傅里叶变换”的数学技术，它可以从时域函数计算出频域函数。由于它是一种算法，它可以用来表示任意的时域函数的振动特性，也可以检测出方波的不同特征，例如振幅、频率和相位。
傅里叶变换的基本原理是将时域函数转换为频域函数，它可以用来表示信号的不同特征，例如振幅、频率和相位等。它的主要步骤是：首先，将方波函数转换成离散
序列，然后使用正弦和余弦函数对该序列进行变换，最后得到方波的傅里叶变换函数。
傅里叶变换的优点在于它可以清楚地表示信号的振动特性，而且可以检测出方波的不同特征，例如振幅、频率和相位等。它还可以提供关于信号传播、滤波和信号处理等方面的有价值的信息。
因此，方波的傅里叶变换是一种有用的技术，可以用来探究混合信号的性质，从而获得有价值的信息。它可以帮助我们更好地理解信号的各种特性，并且可以检测出方波的不同特征，例如振幅、频率和相位等。
方波信号的傅里叶变换
CATALOGUE
方波信号的傅里叶变换原理
傅里叶变换的定义
01
02
03
04
05
傅里叶变换的性质
方波信号的傅里叶变换
CATALOGUE
方波信号的频谱分析
频谱的概念与计算
频谱定义
01
频谱计算
02
离散频谱
03
方波信号的频谱特点
基本频率分量
方波信号可以分解为一系列不同 频率的正弦波和余弦波的叠加， 这些正弦波和余弦波的频率即为
方波信号的基本性 质
方波信号具有对称性，即在一个周期内，波形上升和下降的速度是相同的。这种对称性使得方波信号具有很好的直流分量， 即在一个周期内，信号的平均值为零。
方波信号的频谱具有离散性，即信号的频谱是由一些特定的频率分量组成的。这些频率分量对应于方波信号的基本周期和其 整数倍。
方波信号的应用场景
01
实际滤波器
02
数字滤波器
03
滤波处理的应用场景
信号分离 噪声消除 特征提取
CATALOGUE
方波信号的合成与调制
方波信号的合成方法
基于脉冲的合成方法
基于滤波器的合成方法 基于遗传算法的合成方法
信
方波信号的调制技术
调幅调制（AM）
调频调制（FM）
数字调制
合成与调制的应用场景
方波信号f(t)展开为傅里叶级数.ppt
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o
2 3 4 5 6
(a )
n
45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15 °
10 °
o
2
3
4 5
6
(b )
图 3.3-1 例 3.3-1
(a) 振幅谱； (b) (b) 相位谱
|F n |
2
1 .5
1 .5
1
1
1
0 .4 0 .2
0 .4 0 .2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o
奇对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
e－t ＞0)
X( )
1
o
t
－ et
o
－1 (a)
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
－
1
(b)
解 图示信号f(t)可表示为
f
(t)
e at
e at
t 0
2 3 4 5 6
(a )
n 45°
45°
30° 30°
20°
15° 10°
－ 6－ 5 － 4－ 3 － 2 － o
2 3 4 5 6
2019方波信号f(t)展开为傅里叶级数.ppt
(4―45)
[1] [lim e
0
t
2a u( t )] lim 2 0 a 2
(4―46)
0 0 0
lim
0
2 2 d lim d( ) 2 2 0 1 ( )2
o (a )
t
o (b )
图 3.4-2 单边指数函数e-αt (a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F ( j ) f (t )e
jt
dt e t e jt dt
0
e ( j )
( j ) t
1 1 e 2 j a 2
－
－
－
(c)
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g (t) F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
(a)
t
0 (b )
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
(4―50)
f (t)
方波信号的傅里叶变换
－
1
(b)
17
解 图示信号f(t)可表示为
f
(t)
e at
e at
t 0
(a>0)
t 0
F(j) 0eaet jtdt etejtdt
0
1 1
j j
j
2 a2 2
.
18
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
f(t)A 20n 1Ancon st(n)
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6
π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
.
5
A0 1 2
A1 3
A2 2
1 0 1 10 2 20
A3 0.4
3 45
A6 0.8
6 30
其余 An 0
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
.
26
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)
图4.5 冲激信号及其频谱
.
27
移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数
例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。
方波傅里叶变换
方波傅里叶变换
在信号处理中，傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号分解为其频谱成分。而方波傅里叶变换则是傅里叶变换的一种特殊形式，用于分析方波信号的频谱特性。
方波是一种典型的周期信号，其波形呈现出由高电平和低电平交替组成的矩形形状。方波信号在数字电路和通信系统中广泛应用，因其简单明了的特点，能够有效地携带和传输信息。
傅里叶变换通过将一个信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加，将信号从时域转换到频域。对于方波信号而言，傅里叶变换能够揭示其频谱特性，即方波信号中包含的各个频率成分。
方波信号的频谱图呈现出一系列垂直的频谱线，这些频谱线对应着方波信号中不同的频率成分。方波信号的频率谱是离散的，且只包含奇次谐波。由于方波信号是一个周期为T的信号，其频谱中的频率成分由基波频率和其奇次谐波频率构成。
在方波信号的频谱中，基波频率对应着方波信号的周期，即1/T。而奇次谐波频率则是基波频率的整数倍。这意味着方波信号的频谱中只包含了奇次谐波成分，如3倍频、5倍频等。
方波傅里叶变换的结果可以用于分析方波信号的频谱特性，从而了解信号中包含的各个频率成分。通过傅里叶变换，我们可以得到方
波信号的频率谱图，进而分析信号的频谱分布和能量分布。
方波傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。例如，在通信系统中，方波信号被广泛应用于数字调制和解调、编码和解码等方面。通过对方波信号的频谱分析，可以了解信号的频率特性，从而设计合适的调制和解调方式，实现高效的数据传输。
方波傅里叶变换还在数字电路设计中起着重要的作用。在数字电路中，方波信号被用作时钟信号，用于同步和控制电路的工作。通过对方波信号的频谱分析，可以确定时钟信号的频率范围，从而确保电路的正常工作。
方波信号的傅里叶变换课件
通信
音频处理
在音频处理领域，通过对方波信号进 行频域分析，可以实现音频压缩、音 频特效等处理，丰富音频的表现形式 。
在通信领域，方波信号广泛应用于调 制解调、频分复用等技术中，以提高 通信系统的传输效率和可靠性。
04
方波信号的傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义与性质
01
傅里叶逆变换的定义
将频域函数转换为时域函数的过程。
傅里叶变换定义
将时间域的信号转换为频域的表示，通过将信号拆分为不同频率 的正弦波和余弦波的叠加。
方波信号的频谱计算
通过对方波信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱，即各个频率分 量的幅度和相位。
频谱分析
通过分析方波信号的频谱，可以了解该信号在不同频率下的表现和 特征。
方波信号的频域分析
频域分析方法
在频域中，通过观察信号的频谱，可以分析信号的频率成分、能 量分布以及频率变化规律等信息。
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换
将时间域的函数转换为频率域的函数，或反之。 常用记号表示为F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt) dt。
逆变换
将频率域的函数转换回时间域的函数，常用记号 表示为f(t) = ∫F(ω)e^(iωt) dω。
傅里叶变换的性质
线性性质
若a和b为常数，f(t)和g(t) 分别为函数，则 aF1(ω)+bF2(ω)=F(aF1(t) +bF2(t))。
方波傅里叶变换
方波傅里叶变换
方波傅里叶变换是一种将方波信号分解成一系列正弦波的数学方法。在信号处理和通信领域中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，可以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和处理信号。
方波信号是一种周期性的信号，其波形为一系列矩形脉冲的叠加。在傅里叶变换中，我们可以将方波信号分解成一系列正弦波的叠加，每个正弦波都有不同的频率和振幅。这些正弦波的频率是方波信号的基频的整数倍，而振幅则取决于每个正弦波的相位。
通过方波傅里叶变换，我们可以更好地理解方波信号的频域特性。例如，我们可以看到方波信号的频谱中存在着大量的高频成分，这些高频成分是由方波信号的急剧变化所引起的。此外，我们还可以通过傅里叶变换计算出方波信号的功率谱密度，从而更好地了解信号的能量分布情况。
在实际应用中，方波傅里叶变换被广泛应用于数字信号处理、通信系统设计、音频处理等领域。例如，在音频处理中，我们可以使用傅里叶变换将音频信号从时域转换到频域，从而更好地了解音频信号的频率特性，进而进行音频滤波、均衡等处理。
方波傅里叶变换是一种非常重要的数学方法，可以将周期性信号分解成一系列正弦波的叠加，从而更好地理解和处理信号。在实际应用中，傅里叶变换被广泛应用于信号处理、通信系统设计、音频处
理等领域，为我们提供了强大的工具和方法。
方波信号f(t)展开为傅里叶级数85页PPT
方波信号f(t)展开为傅里wenku.baidu.com级数
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
方波 傅里叶变换
方波傅里叶变换
方波是一种特殊的周期方波形，其周期为T，每个周期内的波形由一个矩形函数组成。可以用傅里叶级数展开为：
f(t) = (4/pi) * [sin(w0t) + (1/3)sin(3w0t) + (1/5)sin(5w0t) + ...]。
其中，w0为基频，w0 = 2*pi/T。
傅里叶变换是将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦信号的过程。对于方波信号，它的频谱图是一系列的峰值，每个峰代表一个正弦或余弦信号的频率，并且峰值的高度与信号中该频率分量的相对强度成正比。
在频域中，方波信号的频谱具有奇函数性质，即其频谱图关于零点对称。这是由于方波信号为奇函数，在傅里叶变换中只有正弦成分，没有余弦成分。因此，它的频谱必须是奇函数。
方波信号的傅里叶变换
e((jj )t ) 01j
1
jarctan
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
.
10
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t),a 0
F() f (t)e jtdt eat e jtdt
f(t)4[sin2ft13sin6ft15sin10f
1sin2ft]
n
n1,3,5,
.
4
振幅谱和相位谱例题
例 3.3-1 f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
0.4co3st (45 )0.8co6st (30 ),
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。
解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶 级数展开式。据
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
.
26
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)
图4.5 冲激信号及其频谱
.
27
移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数
例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。
解 由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1, 求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利 用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。
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(4―34)
(4―35)
图4.5 冲激信号及其频谱
移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数
例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。 解 由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1,
求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利 用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。
用频域法求响应
例4―20如图4.19所示,试分析单位阶跃信 号u(t)通过RC高通网络传输后的波形。
图 4.19
解 显然,当输入信号uS(t)为复指数信号e jωt时 ,如图有
则按H(ω)的定义有 对于单位阶跃信号u(t)而言,此时
最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此
用频域分析法求响应
例 3.8-2 如图 3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入 s(t)的波形如图 3.8-2(b)所示，系统函数
梯形信号f(t)的频谱函数
例 3.5-4 求图 3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。
将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导 ， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
方波信号的傅里叶变换_图文.ppt
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,
并按式(4 及c。
―
7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,
bn
例 3.3-1
振幅谱和相位谱例题
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。
解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里 叶级数展开式。据
已经知道
用频域分析法求响应
例 3.8-1 已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，试求图 3.8-1 所示 电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。
图 3.8-1 例 3.8-1 的图
注意到δ(ω)的取样性质，并为了较方便地求得UCf(jω)的 逆变换，将UCf(jω)按如下形式整理:
(4―75)
直流信号1的频谱函数
例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。
图 3.4-6 直流信号f(t) (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
解 直流信号1可表示为
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解 幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
图4.16 半波正弦脉冲
图4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形
周期矩形脉冲f(t)的频谱函数
例 3.6-1 求图 3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(jω)。
图 3.6-1 (a) f(t)的波形； (b) 复振幅Fn; (c) 频谱函数F(jω)
解 周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为
图4.11 单边指数信号及其频谱
解 从波形图（a）上可见,单边指数信号 f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）, （c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式 。
其中
f(t)=2e-αt u(t)=fe(t)+fo(t)
高频脉冲信号f(t) 的频谱
例 3.5-2 求高频脉冲信号f(t)(图 3.5-2(a))的频谱。
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
gτ(t)的傅里叶变换为
(4―36)
(4―37) (4―38) (4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
图 3.4-5 信号δ(t) (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
解
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然 ， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
根据分配函数关于δ(t)的定义， 有
冲激信号δ(t)的频谱
图 3.4-2 单边指数函数e-αt (a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解 其振幅频谱及相位频谱分别为
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
(4―40)
(4―41)
图4.7 单边指数信号及其频谱
偶对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
(其中α>0)
(4-51)
阶跃函数ε(t)的频谱函数
例 3.4-8 求阶跃函数ε(t)的频谱函数。 解 由阶跃函数ε(t)的波形容易得到
从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数， 即
图 3.4-8 (a) ε(t)的波形； (b) 频谱
门(平移后)信号的频谱函数
例 3.5-1 求图 3.5-1(a)所示信号的频谱函数。
(4―45)
(4―46)
(4―47)
(4―48) (4―49)
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
其余
图 3.3-1 例 3.3-1
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
图 3.3-2 例 3.3-1 信号的
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
单边指数函数f(t)的频谱函数 例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
图 3.8-2 例 3.8-2 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形
先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于
再求s(t)的傅里叶变换S(jω)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有
图 3.8-3 y(t)的求解
例 3.4-4 所示信号的频谱函数为
，从而有
图 3.4-7 符号函数Sgn(t) (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱
符号函数的频谱
例4―7求符号函数的频谱。 解 符号函数简记为sgn(t),它的定义为
(4―50)
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例:
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
(a>0)
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
图 3.5-1 例 3.5-1 (a) f(t)的波形； (b) 相位谱
解
尺度百度文库换求频谱
例4―11 已知
求gτ(2t)的频谱函数 解 根据傅里叶变换的尺度变换性
质,gτ(2t)的频谱函数为
图4.13 尺度变换
利用奇偶虚实性求频谱 例4―9利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信 号f(t)=2e-αt u(t)的频谱。
周期冲激函数序列δT(t)的频谱
例 3.6-2 图3.6-2(a)为周期冲激函数序列δT(t)，其周期为 T，δT(t)可表示为
m为整数
图 3.6-2 周期冲激序列及其频谱
解 先求δT(t)的复振幅Fn：
设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期 的信号若为fa(t)，则不难得到
图 3.4-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
从频谱函数的定义式出发
(4―42)
(4―43)
图4.8 双边指数信号及其频谱
奇对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
图 3.5-2 (a) f(t)的波形； (b) 频谱
解 图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数 gτ(t)与cos ω0t相乘，即
高频脉冲信号的频谱函数
例4―13 求高频脉冲信号 p(t)=gτ(t)·cosω0t 的频谱函数
解 由于
故有 根据频移特性有
图4.14 频移特性
图 3.5-5
据时移性质有
图 3.5-6 另一种梯形信号
梯形脉冲的傅里叶变换
例4―14 求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。
图4.15 梯形脉冲的傅里叶变换
解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲 f1(t)与f2(t)的卷积，如图4.15所示。 f(t)=f1(t)*f2(t) 而矩形脉冲的傅里叶变换已在例4―3中求出,具体来说