09.函数的概念及其运算【学生版】(正式版)(含答案)
第1节 函数概念(有答案)
模块一函数的概念与性质基础知识回顾一、函数的三要素1．定义域：自变量x 的取值集合，若不作特别规定，定义域是使得函数的解析式有意义的x 的取值集合.2．对应关系：将自变量x 对应到函数值y 的方法，对于有解析式的函数，解析式就是该函数的对应关系.3．值域：函数值y 的取值集合.二、函数的单调性1．函数的单调性：一般地，设函数()f x 的定义域是I ，区间⊆D I ，如果12,∀∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()<f x f x ，那么就称()f x 在区间D 上单调递增；如果12,∀∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()>f x f x ，那么就称()f x 在区间D 上单调递减.2．函数单调性的等价定义方法：12,∀∈x x D 且12≠x x ，若1212()()0->-f x f x x x 或1212()[(()]0-->x x f x f x ，则()f x 在区间D 上单调递增；若1212()()0-<-f x f x x x 或1212()[(()]0--<x x f x f x ，则()f x 在区间D 上单调递减.3．函数的最大值：一般地，设函数()=y f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）∀∈x I ，都有()≤f x M ；（2）0∃∈x I ，使得0()=f x M ；那么，我们称M 是函数()=y f x 的最大值.4．函数的最小值：一般地，设函数()=y f x 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）∀∈x I ，都有()≥f x m ；（2）0∃∈x I ，使得0()=f x m ；那么，我们称m 是函数()=y f x 的最小值.5．若函数()f x 和()g x 在区间D 上具有单调性，则：（1）若C 为常数，则函数()=y f x 与函数()=+y f x C 有相同的单调性.（2）在区间D 上，若0>a ，则()af x 与()f x 单调性相同；若0<a ，则()af x 与()f x 单调性相反.（3）若()0≥f x，则=y 与()=y f x 单调性相同.（4）若()f x 和()g x 单调性相同，则()()+f x g x 的单调性与它们也相同.（5）()0>f x ，()0>g x ，且()f x 和()g x 单调性相同，则()()f x g x 的单调性与它们也相同.6．复合函数的单调性：同增异减()=y f u ()=u g x (())=y f g x三、函数的奇偶性1．奇函数的性质（1）定义域关于原点对称；（2）()()f x f x -=-；（3）图象关于原点对称；若0x =处有定义，则(0)0f =.2．偶函数的性质（1）定义域关于原点对称；（2）满足()()f x f x -=；（3）图象关于y 轴对称.3．常见的几个奇函数（1）()log am xf x m x+=-（2）()log am x f x m x-=+（3）()log )a f x mx =（4）()log )a f x mx =（5）()xxf x a a-=-（6）1()1x xa f x a +=-4．加减法结论：奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数；奇函数±偶函数=非奇非偶函数.5．乘除法结论：（1）奇函数⨯奇函数=偶函数；奇函数⨯偶函数=奇函数；偶函数⨯偶函数=偶函数.（2）奇函数÷奇函数=偶函数；奇函数÷偶函数=奇函数；偶函数÷偶函数=偶函数.6．无论()y f x =是什么函数，函数()y f x =和()y f x =-都是偶函数.7．若()y f x =是奇函数或者偶函数，则函数()y f x =是偶函数.8．多项式函数2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的奇偶性：（1）当且仅当0240a a a ===⋅⋅⋅=时，()f x 为奇函数；（2）当且仅当1350a a a ===⋅⋅⋅=时，()f x 为偶函数.四、周期性一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0T ≠，使得x D ∀∈，都有()()f x T f x +=，则称()f x 是以T 为周期的周期函数.五、对称性对称性有关知识点，请参考本模块第4节，抽象函数问题.第1节函数概念内容提要这一节主要涉及求定义域、求解析式、求一些常见函数的值域这三类问题.1．求定义域（1，…，根号下的数非负，即()0f x ≥；（2）对数：log ()a f x ，真数大于0，即()0f x >；（3）分式：如()()f x yg x =，分母不为0，即()0g x ≠；（4）零次方：0x 中0x ≠；（5）正切：tan x 中()2x k k ππ≠+∈Z ；（6）抽象函数求定义域：①定义域永远指自变量x 的取值集合；②“()f ⋅⋅⋅括号范围恒不变”.2．求解析式（1）换元法：已知(())y f g x =的解析式，求()y f x =的解析式.（2）待定系数法：已经给出函数类型，可用待定系数法求解析式.（3）方程法：题干给出()f x 与()f x -，或()f x 与1()f x的关系式，可构造新方程，联立求解得出解析式.3．求值域：图象法、同除法、换元法、判别式法等.典型例题【例1】函数1()2f x x =-的定义域为.答案：[0,2)(2,)+∞ 解析：由21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩解得：0x ≥且2x ≠，所以()f x 的定义域为[0,2)(2,)+∞ .【反思】函数的定义域一定要写成区间或集合的形式.【变式1】函数3()ln(3)2xf x x x =+--的定义域为.答案：(,2)(2,3)-∞ 解析：由3020x x ->⎧⎨-≠⎩解得：3x <且2x ≠，所以()f x 的定义域为(,2)(2,3)-∞ .【变式2】若()f x 的定义域为[0,3]，则函数(1)y f x =-的定义域为.答案：[1,4]解析：定义域指的是自变量x 的取值集合，()f x 的定义域为[0,3]03x ⇒≤≤，抽象函数定义域遵循括号范围恒不变原则，所以在(1)y f x =-中，有013x ≤-≤，解得：14x ≤≤，故(1)y f x =-的定义域为[1,4].【反思】抽象函数的定义域问题抓住两点：①定义域永远指自变量x 的取值集合；②“()f ⋅⋅⋅括号范围恒不变”.【变式3】若(21)f x +的定义域为[0,3]，则函数()y f x =的定义域为.答案：[1,7]解析：定义域指的是自变量x 的取值集合，(21)f x +的定义域为[0,3]⇒在(21)f x +中，03x ≤≤，所以1217x ≤+≤，即()f ⋅⋅⋅的括号的范围是[1,7]，括号范围恒不变，所以()y f x =的定义域为[1,7].【例2】已知1)f x =-，则()f x =.答案：254(1)x x x -+≥解析：先将1)f 括号里的整体换元，令1(1)t t +≥，则2(1)x t =-，所以22()(1)3(1)54(1)f t t t t t t =---=-+≥，故2()54(1)f x x x x =-+≥.【反思】已知函数(())y f g x =的解析式求()f x 的解析式：①令()t g x =，则(())f g x 可化为()f t ，②由()t g x =反解出x ，用t 表示，代入所给函数(())y f g x =的右侧，从而求得()f t ；③由()t g x =研究t 的取值范围，得到()f t 的定义域；④将()f t 的自变量t 换回成x ，得到()f x .【例3】已知()f x 是一次函数，且(())43f f x x =+，则()f x =.答案：21x +或23x --解析：已知了函数类型，用待定系数法求解析式，设()(0)f x ax b a =+≠，则(())()()43f f x af x b a ax b b x =+=++=+，即243a x ab b x ++=+，所以243a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得：21a b =⎧⎨=⎩或23a b =-⎧⎨=-⎩，所以()21f x x =+或()23f x x =--.【反思】若已知()f x 的函数类型（如一次函数、二次函数、指数函数等）求()f x 的解析式，可直接设其解析式，运用待定系数法求解.【例4】已知函数()f x 满足()2()f x f x x =-+，则()f x =.答案：3x解析：看到()f x 和()f x -在同一个式子中，将x 换成x -，再构造一个函数方程，在()2()f x f x x =-+中将x 换成x -可得()2()f x f x x -=-，所以()2()()2()f x f x x f x f x x =-+⎧⎨-=-⎩①②，2+⨯①②得：()2()2()4()2f x f x f x x f x x +-=-++-，整理得：()3x f x =.【例5】函数21(0)x x y x x-+=>的最小值为.答案：1解析：由题意，211111x x y x x x -+==+-≥=，当且仅当1x =时取等号，所以min 1y =.【变式1】函数22(0)1x y x x x =>-+的最大值为.答案：43解析：由题意，222211411113131()24x y x x x x x ===≤-+-+-+，当且仅当2x =时取等号，所以max 43y =.【变式2】函数21(1)1x x y x x -+=>-的最小值为.答案：3解法1：像这种二次函数一次函数型的分式函数，可令一次函数部分为t ，令1t x =-，则0t >，1x t =+，所以22(1)(1)111113t t t t y t t t t +-++++===++≥=，当且仅当1t t=，即1t =时取等号，此时2x =，故函数21(1)1x x y x x -+=>-的最小值为3.解法2：也可把函数的解析式看成关于x 的方程，将方程变形，利用判别式研究y 的最值，将211x x y x -+=-变形成2(1)1y x x x -=-+，整理得：2(1)10x y x y -+++=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，其判别式2(1)4(1)0y y ∆=+-+≥，解得：1y ≤-或3y ≥，我们要求的是y 的最小值，所以先用x 的范围把1y ≤-这一段舍掉，因为1x >，所以10x ->，210x x -+>，从而0y >，故3y ≥，接下来验证y 可以等于3，注意到当2x =时，3y =，所以函数21(1)1x x y x x -+=>-的最小值为3.【变式3】函数21(1)1x y x x x -=>-+的最大值为.答案：13解法1：像这种一次函数二次函数型的分式函数，可令一次函数部分为t ，再分子分母同除以t ，令1t x =-，则0t >，1x t =+，所以22111(1)(1)1131t t y t t t t t t ===≤+-++++++，当且仅当1t t=，即1t =时取等号，此时2x =，故函数21(1)1x y x x x -=>-+的最大值为13.解法2：也可把函数的解析式看成关于x 的方程，将方程变形，利用判别式研究y 的最值，将211x y x x -=-+变形成2(1)1y x x x -+=-，整理得：2(1)10yx y x y -+++=①，当0y ≠时，把①看成关于x 的一元二次方程，其判别式2[(1)]4(1)0y y ∆=-+-+≥，解得：113y -≤≤，要得出y 的最大值是13，还需要验证等号能成立，注意到当2x =时，13y =，所以函数21(1)1x y x x x -=>-+的最大值为13.【变式4】函数2222(1)1x x y x x x -+=>-+的最小值为.答案：23解法1：二次函数二次函数型的分式函数，可以通过拆项把分子化为一次函数，将问题化归成变式1的类型，由题意，2222222(1)(1)11111x x x x x x y x x x x x x -+-+---===--+-+-+，令1t x =-，则0t >，1x t =+，且221211111(1)(1)1131t t y t t t t t t =-=-=-≥-+-++++++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数2222(1)1x x y x x x -+=>-+的最小值为23.解法2：将22221x x y x x -+=-+变形成22(1)22y x x x x -+=-+，整理得：2(1)(2)20y x y x y -+-+-=，当1y ≠时，将该方程看成关于x 的一元二次方程，其判别式2(2)4(1)(2)0y y y ∆=----≥，解得：22(1)3y y ≤≤≠，要得出y 的最小值为23，还需要验证等号能成立，注意到当2x =时，23y =，所以函数2222(1)1x x y x x x -+=>-+的最小值为23.【变式5】函数y 的最大值为.答案：14解析：此处虽不是一次函数二次函数看成一次的，故将其换元成t ，设t =1t ≥，221x t =-，且211444t y t t t ==≤++，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时x =，所以函数215y x =+的最大值为14.强化训练1．（2021·烟台期末·★）函数4ln(1)y x =+的定义域为（）（A ）[2,2]-（B ）(1,2]-（C ）(1,0)(0,2]- （D ）(1,1)(1,2]- 答案：C解析：由题意，240ln(1)010x x x ⎧-≥⎪+≠⎨⎪+>⎩，解得：10x -<<或02x <≤.2．（2022·临潼一模·★）已知2(1)ln f x x +=，则()f x =（）（A ）2ln(1)x +（B ）2ln(1)x +（C ）2ln 1x -（D ）2ln(1)x -答案：C解析：设1t x =+，则1x t =-，2()ln(1)2ln 1f t t t =-=-，所以()2ln 1f x x =-.3．（2021·遂宁期末·★★）若函数(1)f x +的定义域为[1,0]-，则(lg )f x 的定义域为（）（A ）[10,100]（B ）[1,2]（C ）[1,10]（D ）(0,1]答案：C解析：(1)f x +的定义域为[1,0]10011x x -⇒-≤≤⇒≤+≤，括号范围恒不变，所以0lg 1x ≤≤，从而110x ≤≤，故(lg )f x 的定义域是[1,10].4．（2022·安徽四校联考·★★）已知()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()2()ln f x f x x=+，则()f x =.答案：ln 3x解析：在1()2()ln f x f x x =+中将x 换成1x 可得11()2()ln f f x x x =+，所以1()2(ln 11()2()ln f x f x x f f x xx ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①②，2+⨯①②得：111()2()2()ln 4()2ln f x f f x f x x x x +=+++，整理得：ln ()3xf x =.5．（2021·德州模拟·★★）函数22()2(03)x xf x x -=≤≤的值域是.答案：1[,8]2解析：将指数部分换元成t ，令22t x x =-，则2(1)1t x =--，且()2t f x =，因为03x ≤≤，所以13t -≤≤，从而1282t ≤≤，故()f x 的值域是1[,8]2.6．（2022·湖北模拟·★★）函数221x x y x -+=+在[0,4]上的最小值为.答案：1解法1：设1t x =+，则1x t =-，因为04x ≤≤，所以15t ≤≤，且2222(1)(1)23443311x x t t t t y t x t t t -+---+-+====+-≥=+，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时1x =，所以函数221x x y x -+=+在[0,4]上的最小值为1.解法2：将221x x y x -+=+变形成2(1)2y x x x +=-+，整理得：2(1)20x y x y -++-=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式2(1)4(2)0y y ∆=+--≥，解得：7y ≤-或1y ≥，因为04x ≤≤，所以10x +>，220x x -+>，从而0y >，故1y ≥，注意到当1x =时，1y =，所以函数221x x y x -+=+在[0,4]上的最小值为1.7．（2022·辽宁模拟·★★★）函数2211x x y x x ++=-+的值域为.答案：1[,3]3解法1：先将分子的平方项按分母的形式配凑，拆项化为一次函数二次函数的结构，由题意，222221(1)221111x x x x x xy x x x x x x ++-++===+-+-+-+，下面将x 除到分母上，先考虑0x =的情形，当0x =时，1y =；当0x ≠时，2111y x x =++-，易求得12x x +≤-或12x x +≥，所以113x x +-≤-或111x x+-≥，从而220131x x -≤<+-或20211x x<≤+-，所以113y ≤<或13y <≤，综上所述，函数2211x x y x x ++=-+的值域为1[,3]3.解法2：22221(1)11x x y y x x x x x x ++=⇒-+=++-+，整理得：2(1)(1)10y x y x y --++-=①，当1y =时，0x =；当1y ≠时，方程①可以看成关于x 的一元二次方程，其判别式22(1)4(1)0y y ∆=+--≥，解得：13(1)3y y ≤≤≠，综上所述，函数2211x x y x x ++=-+的值域为1[,3]3.8．（2022·北京西城二模·★★★）若函数223,0()(2),0x x f x x x a ⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则实数a 的取值范围是（）（A ）(0,1]（B ）(0,1)（C ）(1,4)（D ）(2,4)答案：B解析：由题意，()f x 的定义域是(,]a -∞，下面求()f x 的值域，在两段上分别考虑，当0x ≤时，()23x f x =+，因为3234x <+≤，所以()f x 在(,0]-∞上的值域为(3,4]；此时要使()f x 的定义域和值域交集为空集，则03a <≤，下面再考虑第二段的值域，要讨论a 和对称轴2x =的位置关系，当02a <≤时，()f x 在(0,]a 上的值域为2[(2),4)a -，要使定义域(,]a -∞与2[(2),4)a -的交集为空集，应有2(2)a a ->，解得：1a <或4a >，故01a <<，当23a <≤时，()f x 在(0,]a 上的值域为[0,4)，此时()f x 的定义域和值域交集不为空集，不合题意，综上所述，实数a 的取值范围是(0,1).9．（2021·江苏模拟·★★★）函数y =的最大值为.答案：12解析：设t ，则1t ≥，且211112t y t t t ===≤++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时0x =，所以函数22y x =+的最大值为12.10．（2021·广西三校联考·★★★）函数y 的最小值为.答案：4解析：解析式中分母这部分最复杂，将其整体换元，设1t ，则1t ≥，2(1)1x t =-+，所以222[(1)1]124332444t t t y t t t t -+--+===+≥=，当且仅当32tt=，即t =时取等号，从而函数y 的最小值为4.。
函数的概念与性质(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
函数的基本概念与运算
函数的基本概念与运算函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理、经济学以及计算机科学等。
在数学中，函数是一种表达两个集合之间关系的工具，通过给定一个输入值，函数可以计算出对应的输出值。
本文将介绍函数的基本概念、符号表示和常见的函数运算。
一、函数的定义与表示函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
设集合A和集合B，如果对于A中的每个元素a，都存在唯一的b属于B与之对应，则可以说存在一个函数f将a映射到b。
函数可以用不同的表示方法来表示，最常见的表示形式为函数符号和函数图像。
函数符号表示通常使用f(x)的形式，其中f是函数名，x是自变量。
f(x)表示函数对于输入x所对应的输出值。
例如，f(x) = 2x表示一个对应关系，将自变量x乘以2得到相应的输出值。
函数图像表示是通过绘制输入-输出对的关系来表示函数。
通过在坐标系中描绘函数图像，可以更直观地理解函数的性质和变化趋势。
二、函数的基本运算函数之间常常进行各种运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
下面将介绍这些基本的函数运算。
1. 加法：设有函数f(x)和g(x)，它们的和函数记作h(x) = f(x) + g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相加得到h(x)的输出值。
2. 减法：设有函数f(x)和g(x)，它们的差函数记作h(x) = f(x) - g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相减得到h(x)的输出值。
3. 乘法：设有函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数记作h(x) = f(x) *g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相乘得到h(x)的输出值。
4. 除法：设有函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，它们的商函数记作h(x) = f(x) / g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相除得到h(x)的输出值。
函数的概念及表示方法专题复习卷(含答案详解)
三、解答题（共 6 题，共 70 分） 17．求下列函数的解析式： （1）已知 f (x)是二次函数且满足 f (0) = 1，f (x + 1) − f (x) = 2x，求 f (x)； （2）设 f ( − ) = x，求 f (x)； x （3）若 f (x) + 2f (−x) = 3x + 2，求 f (x)．
11．下列函数： ①y = x＋|x|；②y = x－|x|；③y = x|x|；④y = 考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数图像求最值 答案 2
0，x<0， 解析 y = x + |x| = ymin＝0. 2x，x≥0，
x .其中有最小值的函数有________个． |x|
0，x>0， y = x − |x| = 无最小值． 2x，x≤0， x2，x>0， y = x|x| = 2 无最小值． －x ，x≤0，
y=
1，x>0， x = ymin = −1. |x| －1，x<0，
12．函数 f ( x) = 2 x + x 2 + 2 x ( x 0,1) 的值域为 答案 [1, 5]．
22．已知 a R，函数 f ( x) = x 2 − 2ax + 5 ． （1）若不等式 f ( x) 0 对任意 x (0, +) 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）若 a 1 ，且函数 f ( x) 的定义域和值域均为[1, a]，求实数 a 的值．
参考答案
一、选择题 1．下列各组函数中表示相等函数的是（ A．f (x) = x 与 g(x) = ( x)2 B．f (x) = |x|与 g(x) = x(x > 0) C．f (x) = 2x－1 与 g(x) = 2x + 1(x∈N*) D．f (x) = x2－1 与 g(x) = x + 1(x ≠ 1) x－1 ）
函数的概念及相关典型例题
函数的概念及相关典型例题一、知识点1、函数的定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数)(xf和它对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作BAf→:，或)(xfy=，x∈A。
习惯上我们称y是x的函数。
2、函数的三要素：①、定义域：x取值的集合A叫做函数的定义域，也就是自变量x的取值范围；②、对应关系（对应法则）：对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”，是连接x与y的纽带。
③、值域：就是函数值的集合，{}Axxf∈|)(。
A BBAf→:对应关系值域Axxf∈|)(3、常见函数的定义域和值域①．一次函数baxxf+=)()0(≠a:定义域R,值域R;②．反比例函xkxf=)()0(≠k:定义域{}0|≠xx,值域{}0|≠yy;③．二次函数cbxaxxf++=2)()0(≠a:定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24、 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数相等或称这两个函数为同一函数。
（与表示自变量的字母无关，例如：12)(+=t t f 与12)(+=x x f 表示同一函数。
）5、复合函数：如果函数y =)(t f 的定义域为A ，函数t=g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C=A 时，称函数y =))((x g f 为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g (x )叫内函数，y =)(t f 叫外函数。
（内函数的值域等于外函数的定义域）6、区间。
大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b ，R 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b),(-∞，+∞）。
函数的概念和性质高考真题
函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。
1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。
2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。
4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。
函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。
若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。
2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。
2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。
2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。
2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。
2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。
2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。
2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。
第三章 函数的概念与性质 章节复习(解析版).
故选： A ．
【例 2】函数 f (x) x x 2 的值域是 (
)
A．[2 ， )
B．[7 , ) 4
C．[0 ， )
【解答】解： f (x) x x 2 的定义域为 x 2 ，
函数 y x 在[2 ， ) 上为单调递增函数，
D． (2, )
函数 y x 2 在 [2 ， ) 上为单调递增函数，
2. 函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域. 3. 区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 5. 分段函数 知识点二：函数的基本性质 单调性与最大（小）值 1.函数单调性的定义：
设函数 f (x) 的定义域为 I ，区间 D I ，如果 x1、x2 D, 当 x1 x2 时，都有： f (x1) f (x2 ) 或 f (x1) f (x2 ) 0，就称f (x)在区间D 上单调递增；
C． (0 ， 4]
D． (0, 4)
【解答】解： 函数 f (x) ax2 ax 1 的定义域为 R ， ax2 ax 1 0 恒成立． 当 a 0 时，显然满足 ax2 ax 1 0 恒成立． 当 a 0 时， ax2 ax 1 0 不可能恒成立， 当 a 0 时，应有△ a2 4a 0 ，求得 0 a 4 ． 综上可得， a [0 ， 4] ，
奇函数图象关于原点对称. 2.奇函数的性质：
若奇函数 f x 的定义域为 I , 如果 0 I ，则有 f (0) 0 .
3.奇偶性与单调性：
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. 知识点四：幂函数
1.幂函数的解析式： y x ， x 是自变量， 是常数.
2.几种幂函数的图象：
高一数学《函数的基本性质》知识点及对应练习(详细答案)
函数的基本性质一、函数的有关概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．概念重点疑点：对于定义域中任何x ，都有唯一确定的y=f （x ）与x 相对应。
即在直角坐标系中的图像，对于任意一条x=a （a 是函数的定义域）的直线与函数y=f （x ）只有一个交点；例1、下列对应关系中，x 为定义域，y 为值域，不是函数的是（）A.y=x 2+x3 B.y= C.|y|=x D.y=8x 解：对于|y|=x ，对于任意非零x ，都有两个y 与x 对应，所以|y|=x 不是函数。
图像如下图，x=2的直线与|y|=x 的图像有两个交点。
故答案选C 例2、下列图象中表示函数图象的是（）（A ） (B) (C ) (D)解析：对于任意x=a 的直线，只有C 选项的图形与x=a 的直线只有一个交点，即对于定义域中任何x ，都有唯一确定的y=f （x ）与x 相对应。
故选C 。
x y 0 x y 0 x y 0xy注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
高中数学函数的概念知识点总结及练习题(含答案)
高中数学函数的概念知识点总结及练习题（含答案）※函数的定义设f是集合A﹐B中元素之间的一个对应关系。
若对于集合A中的每个元素a﹐都可以找到集合B中的唯一元素b﹐使得a对应到b﹐则称f为A到B的一个函数。
用f：A→ B表示此函数。
而a对应到b记为f（a）＝b﹐b称为函数f在a的值。
集合A称为f的定义域﹐集合B称为f的对应域高中数学中常见的函数﹐例如多项式函数﹑指数函数﹑对数函数﹑三角函数等﹐因为函数值都是实数﹐故对应域皆可定为实数集合R﹐通称为实数值函数。
一般而言﹐实数值函数的定义域指的是﹐会使函数作用有意义的最大可能集合。
※根式函数y＝x此函数是由非负实数所成的集合﹐到实数集合R的一个对应关系每一个非负实数﹐都有唯一的非负平方根。
函数的定义域：{x|x∈﹐且x≥0}函数的对应域：实数集合R函数的值域：{y|y∈﹐且y≥0}例题1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试求下列各函数的定义域：(1)f （x ）＝1x (2)f （x ）＝3－x (3)f （x ）＝1x 2－x ＋1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (1)定义域为{x |x ∈﹐且 x 0}。
(2)定义域为{x |x ∈﹐且 x ≤3}。
(3)分母须有 x 2－x ＋10﹐但 x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋34 ＞0 恒成立﹐故定义域为 R 。
随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 试求下列各函数的定义域： (1)f （x ）＝1x 2－4 (2)f （x ）＝1x 2＋x ＋1(3)f （x ）＝x －2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------※区间的符号设 a ﹐b 为实数﹐且 a ＜b 。
函数的概念练习题(含答案)
函数的概念练习题(含答案)1.2.1 函数的概念及练题答案一、选择题1.集合A = {x|0 ≤ x ≤ 4}，B = {y|0 ≤ y ≤ 2}，下列不表示从 A 到 B 的函数是()A。
f(x) → y = xB。
f(x) → y = xC。
f(x) → y = xD。
f(x) → y = x2.某物体一天中的温度是时间 t 的函数：T(t) = t^3 - 3t + 60，时间单位是小时，温度单位为℃，t = 表示 12:00，其后 t 的取值为正，则上午 8 时的温度为()A。
8℃B。
112℃C。
58℃D。
18℃3.函数 y = 1 - x^2 + x^2 - 1 的定义域是()A。
[-1,1]B。
(无穷小。
无穷大)C。
[0,1]D。
{ -1,1}4.已知 f(x) 的定义域为 [-2,2]，则 f(x^2 - 1) 的定义域为()A。
[-1,3]B。
[0,3]C。
[-3,3]D。
[-4,4]5.若函数 y = f(3x - 1) 的定义域是 [1,3]，则 y = f(x) 的定义域是()A。
[1/3,1]B。
[2/3,2]C。
[4/3,4]D。
[5/3,5]6.函数 y = f(x) 的图象与直线 x = a 的交点个数有()A。
必有一个B。
至多一个C。
可能两个以上D。
无法确定7.函数 f(x) = (ax + 4) / (ax + 3) 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是()A。
{a|a∈R}B。
{a|a≠-3}C。
{a|a≠-4}D。
{a|a≠-3,-4}8.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营。
据市场分析，每辆客车营运的利润 y 与营运年数 x(x∈N) 为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过()年。
A。
4B。
5C。
6D。
79.(安徽铜陵县一中高一期中)已知 g(x) = 1 - 2x，f[g(x)] = (2/x) (x≠0)，那么 f(2) 等于()A。
函数的概念(含答案解析)
函数的概念一、选择题1.函数y=+的定义域为( )A.{x|x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|x≥1,或x≤0}D.{x|0≤x≤1}【解析】选D.要使函数有意义,需解得0≤x≤1.2.若函数y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤8,x≠5},值域为{y|-1≤y≤2,y≠0},则y=f(x)的图象可能是( )【解析】选B.A中y取不到2,C中不是函数关系,D中x取不到0.3.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是( )A.f:x→y=xB.f:x→y=xC.f:x→y=xD.f:x→y=【解题指南】解答此类问题时,若否定结论则只需找一反例即可.【解析】选C.因为P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},从P到Q的对应关系f:x→y=x,当x=4时,y=>2,所以在集合Q中没有数y与之对应,故构不成函数.4.下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2B.y=x+1C.x+y=0D.y=x2【解析】选A.从函数的概念来看,一个自变量x对应一个y;而A中x=y2中一个x 对应两个y.所以A不是函数.5.函数f(x)=(x∈R)的值域是( )A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)【解析】选C.因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以0<≤1,所以值域为(0,1].6.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A.y=与y=x+1B.y=与y=C.y=-1与y=x-1D.y=x与y=【解析】选D.对于选项A:函数y=的定义域不包含1,而y=x+1的定义域是R,显然不是同一个函数.对于选项B:函数y=的定义域为x≥0,而函数y=的定义域是{x|x≠0},显然不是同一个函数.对于选项C:函数y=-1的值域是大于等于-1的,而直线y=x-1的值域是R,显然不是同一个函数.对于选项D:因为y=x与y=的最简解析式相等,且定义域都为R,所以为同一个函数.7.函数y=2的值域是( )A.[0,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,+∞)D.[,+∞)【解析】选A.因为x≥0,所以≥0,所以y≥0,所以函数的值域为[0,+∞).8.已知函数f(x)的定义域为[0,1),则函数f(1-x)的定义域为( )A.[0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[-1,0)∪(0,1]【解题指南】原函数的定义域,即为1-x的范围,解不等式组即可得解.【解析】选B.因为原函数的定义域为[0,1),所以0≤1-x<1,即所以0<x≤1,所以函数f(1-x)的定义域为(0,1].9.下列函数中,与函数y=有相同定义域的是( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=|x|D.f(x)=【解析】选B.因为函数y=的定义域是{x|x≠0},所以A,C,D都不对.10.已知函数f(x)=-1,则f(2)的值为( )A.-2B.-1C.0D.不确定【解题指南】解答本题的关键是明确对应关系为定义域中的任意变量的值都对应于-1,即该函数为常函数.【解析】选 B.因为函数f(x)=-1,所以不论x取何值其函数值都等于-1,故f(2)=-1.11.函数y=的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( )A.(-∞,0)∪B.(-∞,2]C.∪[2,+∞)D.(0,+∞)【解题指南】根据定义域求值域.【解析】选A.因为x∈(-∞,1)∪[2,5),所以x-1∈(-∞,0)∪[1,4),当x-1∈(-∞,0)时,∈(-∞,0);当x-1∈[1,4)时,∈.12.函数f(x)的定义域为[-6,2],则函数y=f()的定义域为( )A.[-4,4]B.[-2,2]C.[0,]D.[0,4]【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为[-6,2],所以-6≤≤2,又因为≥0,所以0≤≤2,所以0≤x≤4.二、填空题1.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.2.已知函数f(x)=ax2-1(a≠0),且f(f(1))=-1,则a的取值为.【解析】因为f(x)=ax2-1,所以f(1)=a-1,f(f(1))=f(a-1)=a(a-1)2-1=-1,所以a(a-1)2=0,又因为a≠0,所以a-1=0,所以a=1.答案:13.四个函数:(1)y=x+1;(2)y=x3;(3)y=x2-1;(4)y=.其中定义域相同的函数的序号是.【解析】函数y=x+1的定义域是R;函数y=x3的定义域是R;函数y=x2-1的定义域是R;函数y=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).由此可知定义域相同的序号是(1)(2)(3).答案:(1)(2)(3)4.若函数y=的定义域是A,函数y=的值域是B,则A∩B= . 【解析】由题意知A={x|x≠2},B={y|y≥0},则A∩B=[0,2)∪(2,+∞).答案:[0,2)∪(2,+∞)三、解答题1.已知函数f(x)=x2+x-1,求(1)f(2).(2)f.(3)若f(x)=5,求x的值.【解析】(1)f(2)=4+2-1=5.(2)f=+-1=++1.(3)f(x)=5,即x2+x-1=5.由x2+x-6=0得x=2或x=-3.2.已知f(x)=,x∈R.(1)计算f(a)+f的值.(2)计算f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f的值.【解题指南】(1)将函数的自变量代入计算即可,(2)可以分别将f(1),f(2),f,f(3),f,f(4),f的函数值算出再相加,也可以根据待求式中数据的特征,结合(1)中所得结果求解.【解析】(1)由于f(a)=,f=,所以f(a)+f=1.(2)方法一:因为f(1)==,f(2)==,f==,f(3)==,f==,f(4)==,f==,所以f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=++++++=.方法二:因为f(a)+f=1,从而f(2)+f=f(3)+f=f(4)+f=1,即++f(4)+f=3,而f(1)=,所以f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=.3.已知函数y=(1<x≤2),求函数值域.【解析】设x1,x2∈(1,2]且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1<x2,所以x2-x1>0,因为x1,x2∈(1,2],所以(2x1-1)(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(1,2]上单调递减,所以当1<x≤2时,f(2)≤f(x)<f(1),即≤f(x)<1,所以函数的值域为.4.记函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=图象在二、四象限时,k的取值集合为B,函数h(x)=x2+2x+4的值域为集合C.(1)求集合A,B,C.(2)求集合A∪(B),A∩(B∪C).R【解析】(1)由2x-3>0,得x>,所以A=, 又由k-1<0,得k<1,所以B=,而h(x)=x2+2x+4=+3≥3,所以C=.B)=,A∩(B∪C)=.(2)A∪(R。
函数的概念与表示知识点总结及练习
2.1 函数概念与表示学习目标：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.重点难点：函数的定义域和值域一、知识要点1．函数的概念：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y=f(x),x ∈A,其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数的定义域．对于A 中的每一个x 都有一个输出值y 与之对应，我们将所有的输出值y 组成的集合A 叫做函数的值域．函数的“三要素”：2．函数定义域的一般方法：(1)若f （x ）是整式，则定义域为R(2)若f （x ）是分式，则定义域是使分母不为0的实数的集合(3)若f （x ）是偶次根式，则定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合(4)若f （x ）是由几部分组成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合(5)复合函数定义域：已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域．由 解出．已知[()]f g x 的定义域[],a b ，求()f x 的定义域．是_______在____________上的值域3．求函数解析式的方法：①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法、方程组法；③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法；4．求函数值域的类型与求法：类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域．求法：①直接法、②配方法、③分离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥叛别式法、⑦数形结合．二、例题精讲题型1：函数的概念1．判断下列对应是否为函数（1）,,;x y y x x R y Z →∈∈其中为不大于的最大整数，（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤； （4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤． 2．下列函数函数中： ⑴2)(x y = ⑵x x y 2= ⑶33x y = ⑷2x y = 与函数x y =是同一个函数为 （填序号）3．（1）设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=变式1：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出 则[(1)]f g 的值为 ；当[()]2g f x =时，x =． 变式2：已知函数f(x)=2,0,1,0,1,0.x x x x x⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪-<⎩ （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值．题型2：求函数解析式1.f(x+1)=3x+2;求f(x)2．已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．题型3：求函数定义域1．求下列函数的定义域．（1）43)(2--=x x x f （2）若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域_____________． （3）已知：f （x ）定义域为[]12,0，求f （2x-3）的定义域．（4）已知：f （2x-2）的定义域为[]13,1，求f （x ）的定义域．变式：函数f (2x －1)的定义域是(0，1)，则函数f (1－3x )的定义域是__________．题型4：求函数值域1．求下列函数的值域．三、基础练习1．下各组函数中表示同一函数的有 ．（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1．2．函数y=x x x +-)1(的定义域为______________．3．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求2()23f x +定义域；4．函数2()42f x x x =-+，(0,3)x ∈的值域是______________．5．设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f = __________ ．四、巩固训练1．已知一次函数b ax x f +=)(满足0)1(=f ，(0)1f =-，则)(x f 解析式是_________．2．函数y ＝x^2＋12-x 的定义域是____________． 3．如果函数f （x ）的定义域为[－1，3]，那么函数f （x ）－f （－x ）的定义域为________．4．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+[1,3]x ∈； （2）y =（3）312x y x +=-5．函数y ＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+)1(5)10(3032x x x x x x 的最大值是______．。
最新北师大版初中数学认识函数(含答案)
7.2 认识函数知识要点函数的概念、函数的三种表示方法，列简单的函数解析式、求函数值和函数中自变量的取值范围．1．函数：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y•都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x叫自变量．关于函数的概念，•要注意：（1）初中研究的函数实质上是研究变量间一一对应的关系；（2）任何含有一个字母（变量）的代数式都可以看作是这个字母的函数；（3）函数的定义存在，离不开自变量的取值范围．•当对应关系由代数式的具体表达式确定时，自变量的取值要使代数式存在对应值；当变化过程是实际过程时，自变量的取值范围除考虑代数式外，还要使实际问题有意义；（4）构成函数的条件是：①两个变量；②对自变量x在取值范围内的每一个值，y都有惟一的值与其对应．例如y=x2中满足条件①、②，所以y是x的函数；y2=x中，•因为与x=2相对应的y y2=x中，y不是x的函数．2．对于函数的三种常用表示法，应该认识到：（1）给出一种函数关系，根据需要，有时可以写出它的解析表达式，•有时可以列出函数与其自变量的对应数值表，有时可以画出它的图象；反过来，也可以用一个解析式，或一个反映两个变量对应关系的数值表，或一个图象，来表示一个函数关系；（2）三种函数表示法的优特点：解析法便于了解两个变量之间的相依关系，书写方便，便于研究；但需要两变量之间的对应值时，有时计算较复杂，同时它的变化趋势不易看出．列表法对于自变量和函数的对应值一目了解，但不易发现两变量之间的相依关系．在实际中不少售货员为计价方便，常制作表示售价与数量关系的表．图象法直观、形象，便于观察函数中两个变量的变化趋势．如实际中表示一天气温变化的图．缺点：由图中观察得到的两个变量的对应值一般都是近似值．3．函数的自变量取值范围的求法：（1）如果函数的解析式是整式，则自变量的取值范围是全体实数；（2）如果函数的解析式是分式，则自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）如果函数的解析式是二次根式，•则自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的实数；（4）含有零指数、负整数指数的函数，•自变量的取值范围是使底数不为零的实数；（5）如果函数的解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点，•则求自变量的取值范围是，先按（1）～（4）所述方法分别求出它们的取值范围，再求它们的公共部分．也就是通过列不等式组求出．例如，求x的取值范围，由题意得1010 xx+≥⎧⎨-≠⎩，•解得x≥-1，且x≠1，所以x的取值范围是x≥-11且x≠1；（6）在确定函数中自变量的取值范围是，如果遇到实际问题，•还必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S=4R中自变量R的取值范围是全体实数，•如果式子表示球的表面积S与地球半径R的关系，那么自变量R的取值范围就是R>0．4．与函数值有关的问题：（1）函数是由一个代数式来给定时，求函数值的实质是求代数式的值；（2）已知函数的解析式，若给定函数值，求相应的自变量的值实质是解方程；•若给定函数值的一个取值范围，求相应的自变量的取值范围，实质是解不等式．例如，当x取什么值时，函数y=3（1-2x）-5（x-3）的函数值大于-4？实质就是解不等式3（1-2x）-5（x-3）>-4．因此，与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值、解方程、解不等式等已熟悉的问题．基础能力平台1．选择题:（1）下列变量之间的关系中，具有函数关系的有（）①三角形的面积与底边；②多边形的内角和与边数；③圆的面积与半径；④y与x．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（2）函数y=11x+中自变量x的取值范围是（）A．x≠-1 B．x>-1 C．x≠1 D．x≠0（3）已知函数y=212xx-+，当x=a时的函数值为1，则a的值为（）A．3 B．-1 C．-3 D．1 （4）已知变量x、y则x、yA．y=3xB．y=-3xC．y=-3xD．y=3x（5）函数124x-的自变量x的取值范围是（）A．x≥1且x≠2 B．x≠2 C．x>1且x≠2 D．全体实数2．填空题．（1）轮于每分钟旋转60转，则轮子的转数n与时间t（分）之间的关系是______．•其中_______是自变量．（2）计划花500元购买篮球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）•的函数关系式为________，其中__________是自变量．（3）某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后，则本息和y（元）与所存月数x之间的关系式为_________．（4）已知矩形的周长为24，设它的一边长为x，那么它的面积y与x之间的函数关系式为____________．（5）已知等腰三角形的周长为20cm，则腰长y（cm）与底边x（•cm）•的函数关系式为____________，其中自变量x的取值范围是____________．3．下列变化过程得出的函数关系式是否正确，如果错误，请指出正确的结果；•如果正确，指出式子中的自变量．（1）设一个长方体盒子高为10cm，底面是正方形，这个长方体的体积V（cm3）与底面边长a（cm）的关系式为V=10a2；（2）某市出租车起步价是7元（路程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米加收1.6元，出租车车费y（元）与行程x（千米）之间的函数关系式为y=1.6（x-2）+y（x≥2）；（3）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（m2）与一边长L（m）•之间的关系式为S=L（60-L）．4．求下列函数中自变量x的取值范围：（1）y=3x2-5；（2）y=2x+1；（3）y=2;2x-；(4)y=（5）(6)y=5．如图，平行四边形ABCD底边BC上的高为6cm，当边DC边向右平移时，平行四边形的面积发生了变化．（1）这个变化过程中，自变量是什么？（2）如果底边长为x（cm），平行四边形的面积y（cm2）可以表示为_________．（3）当底边从12cm增加到20cm时，面积增加了多少？6．如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中：（1）当_______时气温最高，最高气温 _______，当_______时气温最低，最低气温是________；（2）20时的气温是________；（3）________时的气温是6℃；（4）________时间内，气温不断下降；（5）________时间内，气温持续不变．7．汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围．8．一个小球由静止开始在一个斜坡由上向下滚动，其速度每秒增加2m/s，到达坡底时小球的速度达到40m/s．（1）求小球的速度v（m/s）与时间t（s）之间的函数关系式；（2）求t的取值范围；（3）求3.5t时小球的速度；（4）求小球的速度为16m/s时，时间t的值．拓展延伸训练1．我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，•超过的部分按每吨3元收费．该市某户居民5月份用水x 吨，应交水费y 元．（1）若0<x ≤6，请写出y 与x 的函数关系式；（2）若x>6，请写出y 与x 的函数关系式；（3）如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？2．小明家买了一套现价为12万元的房子，购房时已付房款3万元，从第二年起，以后每年付房款5000元与上一年剩余欠款利息的和，已知剩余欠款的年利率为0.4%．（（自主探究提高阅读下面材料，再回答问题：一般地，如果函数x=f （x ）对于自变量取值范围的的任意x ，都有f （-x ）=-f （x ），•那么y=f （x ）就叫做奇函数；如果y=f （x ）对于自变量取值范围内的任意x ，都有f （-x ）=•f （x ），那么y=f （x ）就叫做偶函数．例如：f （x ）=x 3+x ，当x 取任意实数时，f （-x ）=（-x ）3+（-x ）=-x 3-x=-（x 3+x ），即f （-x ）=•-f （x ），因此f （x ）=x 3+x 为奇偶数．又如f （x ）=│x │，当x 取任意实数时，f （-x ）=│-x │=│x │=f （x ），即f （-x ）=f （x ），因此f （x ）=│x │是偶函数．问题（1）：下列函数中：①y=x 4；②y=x 2+1；③y=31x ；④y=x+1x． 奇函数有_________，偶函数有________（只填序号）．问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数．答案:【基础能力平台】1．（1）D （2）A （3）A （4）C （5）B2．（1）n=60t t （2）n=500aa（3）y=0．2x+100 （4）y=x（12-x）（5）y=202x，0<x<103．（1）•因为长方体的体积为长乘宽乘高，而长、宽、高分别为10、a、a，所以V=10a2正确．自变量是a（2）y=1.6（x-2）+7（x≥2）正确，其中x是自变量．（3）S=L（60-L）错误．因为60m是矩形的周长，所以相邻两边的和为30cm，其中一边长为Lm，则另一边长为（30-L）m，所以S=L（30-L）•4．（1）（2）全体实数；（3）x≠2；（4）x≤23；（5）x≥-3且x≠-2；（6）x=125．（1）底边BC•是自变量；（2）y=6x；（3）48cm2．6．（1）16 10℃ 4 -4℃（2）8℃；（3）10；（4）0～4时，16～24时；（5）12～14时7．s=850-80t 0≤t≤85 88．（1）v=2t；（2）0≤t≤20；（3）7；（4）8．【拓展延伸训练】1．（1）当0<x<≤6时，y=2x；（2）当x>6时，y=12+3（x-6）•，•即y=3x-6；（3）该月用了11吨水．2．（1）第三、四、十年分别应交房款5340元，5320•元，5200元；（2）y=5000+[90000-500（x-2）]×0．4%=5400-20x（x≥2）【自主探究提高】（1）③⑤，①②（2）奇函数y=1x，偶函数y=x2。
高一函数的概念及其性质(含答案)
§1.2.1函数的概念一.【知识要点】1一、复习：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？问题2：x y =与xx y 2=是同一函数吗？观察对应：二、讲解新课：（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.求平方B B函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 4求函数的定义域时，一般应考虑:（1）偶次方根的被开方数不小于零； （2）分母不等于零；（3）零的零次幂没有意义. (4)实际问题的背景所允许的取值范围.例如：2r S ⋅=π表示圆的面积时，r 的取值范围应是()+∞∈,0r .（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表” 3︒)(x f 与)(a f （四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( （五）了解区间的概念①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间； {x|a ≤x<b}＝[a,b) ； {x|a<x ≤b}＝(a,b] ；都叫半开半闭区间。
函数的概念(含答案)
函数的概念一、基础知识梳理 1、函数的概念设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f(x),A x ∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数y=f(x)的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数y=f(x)的值域，则值域是集合B 的子集。
2、常见函数的定义域和值域函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数)0(≠=k kx y R R反比例函数 )0(≠=k xky {}0|≠x x {}0|≠y y一次函数 )0(≠+=k b kx yR R 二次函数)0(2≠++=a c bx ax yRa>0⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2a<0⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2练习1、函数y=f(x)的定义域为P ，值域为Q ，对于P m ∈，与m 对应的函数值为n ，则有（ ）A 、P n ∈B 、m=nC 、Q P n ⋂∈D 、n 唯一 练习2、函数y=5-2x 的定义域是（ ）A 、RB 、QC 、ND 、Φ 练习3、函数x x y -=22的值域是 3、区间与无穷大 （1）区间的概念设a ，b 是两个实数，且a<b 定义 名称符号数轴表示 {}b x a x ≤≤|闭区间[]b a ,{}b x a x <<| 开区间 ()b a ,{}b x a x <≤|左闭右开区间[)b a ,{}b x a x ≤<|左开右闭区间(]b a ,这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。
（2）无穷大 “∞-∞+∞，，”三个表示的意思练习4、集合{}1|≥x x 用区间表示为 练习5、区间[)85，表示的集合是4、函数相等一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由定义域和对应关系决定的。
函数的概念(含详细答案).doc
下列不表示从A 到3的函数是D.母)—y=0 [解A. [0, B. [1, +8) D. R集合A = {xlOWxW4},一、选择题B. fix)^y = ^x 2. 函数y=\ll-x 2+\lx 2~l 的定义域是(D )A. [-1, 1]B. (—8, -1]U [1, +8)C. [0, 1]D. (-1, 1)3. 已知汽x)的定义域为[—2, 2],则>2-1)的定义域为(C )A. [-1, V3]B. [0, ^3]C. [—0, V3]D. [-4,4][解析]V -2<?- 1<2, .I-1W/W3,即.I -确4. 若函数y =/(3x —1)的定义域是[1, 3],则y=y (x)的定义域是(C )A. [1, 3]B. [2, 4]C. [2, 8]D. [3, 9][解析]由于y = f(3x - 1)的定义域为[1,3], .・.3x-16[2,8], /.y = fix)的定义域为[2,8]。
5. 函数f(x)=斗：4的定义域为R ，则实数a 的取值范围是(D )一 3 3 3 A. {a\a^R] B. {olOWoW,} C. {a\a>~^}D. {0IOW0V3} [解析]由已知得aJ + 4ax+3 = 0无解3当 a = 0 时 3,; 当 a 乂。
时，△<()即 16a~- 12tz<0, .•.0<a<3，3综上得，故选D.6. (安徽铜陵县一中高一期中)已知g(x) = l —2x,正3)]=气^3老0),那么睛等于(A )A. 15B. 1C. 3D. 30 i _/i/ = 15,故选 A.®2 7. 函数加)=)2x —l, xE {1,2,3},则汽x)的值域是(C )二、 填空题 8. 函数y="\^Ti+六的定义域是(用区间表示)[-1, 2)U(2, +8)三、 解答题9. 求一次函数汽x),使加3)]=扳+1.函数的概念人 l /e 1 令g (>)=1 _由二云寸，a = 9 ab + b = 1a = ~ 3 或］1 ［b= ~2 要使此函数有意义,只须x- ..•定义域为［解析］设必)=ax+ b,则九心)］=+ b) + b = ax + ab + b = 9x+ 1,比较对应项系数得,• = 3x + f 或 f(x) = - 3x~^.10. 求下列函数的定义域.⑴汽好七；⑵汽出；(3)y=A/^TT+(i )。
函数的概念知识点总结(含例题和答案)
函数的概念总结一、知识梳理1．映射的概念：设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f 表示对应法则注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(3)函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、考点分析考点1：映射的概念例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=上述三个对应是A 到B 的映射．B A 、f A B A B B A f →:B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（）()A 8个()B 12个()C 16个()D 18个答案：1.（2）；2．81,64,81；3.D考点2：判断两函数是否为同一个函数方法总结：看化简后的表达式定义域值域是否完全一样。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题(汇编)
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为 822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． 例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
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函数的概念及其运算【课前预习】一、知识梳理 1.函数的概念在某个变化过程中有两个变量x , y , 如果对于x 在某个 内的每一个确定的值, 按照某个对应法则f , y 都有 与之对应, 则称y 是x 的函数, 记作(), D y f x x =∈, 其中x 叫做自变量, x 的取值范围D 叫做函数的 . 和x 相对应的y 的值叫做 , 函数值的集合叫做函数的 , 可用描述法表示为 . (1) , 和 统称为函数的三要素; (2)函数的基本表示方法有: , 和 .2.函数的运算已知两个函数1(), D y f x x =∈和2(), D y g x x =∈, 设12D D D =⋂, 并且 , 则函数()(), D y f x g x x =+∈叫做函数()y f x =与()y g x =的 ; 函数()(), D y f x g x x =⋅∈叫做函数()y f x =与()y g x =的 .3.函数的复合设函数()y f u =的定义域为D f , 函数()u g x =的定义域为D g , 其值域R D g f ⊆, 则由下式确定的函数: [()], D g y f g x x =∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数, 它的定义域为D g , 变量u 称为中间变量.二、基础练习1.函数()y f x =的图像与直线2x =的公共点的个数可能有____________.2.下列四组函数中, 表示同一个函数的序号是_____________.①y =y x =; ②lg y x =与1lg 2y x =; ③y x =和y ④()2f x x =与()2g t t =.3.下列图形可以作为函数()y f x =图像的序号是________;4.函数y =的定义域是________________.5.已知函数2()9f x x =-, ()3xg x x =-, 则()()f x g x ⋅=_____________________. ①②③④6.若函数()y f x =的定义域是[2,4]-, 则函数()()()g x f x f x =+-的定义域是______________.7.已知()12g x x =-, 221[()](0)x f g x x x-=≠, 则1()2f =_________.8.已知()f x 是一次函数, 且[()]41f f x x =-, 则()f x 的解析式为______________________________.【例题解析】例1.求下列函数的定义域.(1)0(1)y x =+-;(2)2(4)log 2tan x y x -=+.(3)lg(4)y x =+.例2.(1)若函数()y f x =的定义域是[0,1], 求函数1()()()(0)2F x f x a f x a a =++-<<的定义域;(2)若函数(1)y f x =-的定义域是[1,2], 求函数(21)y f x =+的定义域.例3.若函数2(1)lg (0)3x f ax a x --=≠+,求()f x 的解析式及定义域.例 4.已知函数()y f x =为偶函数, 其当0x ≥时, 其图像如图所示: 当[0,1]x ∈时, 图像为圆弧; 当[1,)x ∈+∞时, 图像为射线. 试作出它在(,0)-∞上的图像, 并求()f x 的解析式以及[(2)]f f -的值.例5.已知扇形的周长为10, 半径为r . 求扇形面积S 关于r 的函数关系式, 并写出函数的定义域与值域.函数的概念及其运算姓名 班级【巩固练习】1.下列四组函数中, 表示同一个函数的序号是_____________.(1)211x y x -=-与1y x =+;(2)lg y x =与21lg 2y x =;(3)1y与1y ;(4)2()21f x x x =--与2()21g t t t =--.2.已知2()f x =()g x =, 则函数()f x 与()g x 的积为()()f x g x ⋅=__________________. 3.函数1lg(1)y x=-的定义域为___________________.4.函数()y f x =的定义域是[2,2]-,则f 的定义域是________________. 5.若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域是R, 则实数m 的取值范围是__________________.6.若121() 1 02() 0xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 则不等式()1f x >的解集为__________________.7.已知()f x 是一次函数, 且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+, 求()f x 的解析式.8.求下列函数的定义域.(1)y(2)lg(cos )y x =.9.若函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞且满足1()()af x bf cx x+=(其中a ,b ,c 均为非零常数, 且||||a b ≠), 求函数()f x 的解析式.10.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形, 上部为半圆形的框架, 若矩形底边长为2x , 求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式, 并写出其定义域.【提高练习】11.向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是 ( )12.对定义域分别是,f g D D 的函数()f x 和()g x , 规定函数()h x 如下:()() ()() () f g f g f gf xg x x D x Dh x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且(1)若函数()23,1f x x x =-+≥, ()2,R g x x x =-∈, 写出函数()h x 的解析式; (2)求(1)中()h x 的最大值. 2x【课前预习】一、知识梳理 1.函数的概念在某个变化过程中有两个变量x , y , 如果对于x 在某个非空实数集合D 内的每一个确定的值, 按照某个对应法则f , y 都有唯一确定的实数值与之对应, 则称y 是x 的函数, 记作(), D y f x x =∈, 其中x 叫做自变量, x 的取值范围D 叫做函数的定义域. 和x 相对应的y 的值叫做函数值, 函数值的集合叫做函数的值域, 可用描述法表示为{|(), D}y y f x x =∈.(1)定义域, 对应法则和值域统称为函数的三要素; (2)函数的基本表示方法有: 解析法, 列表法和图像法. 2.函数的运算已知两个函数1(), D y f x x =∈和2(), D y g x x =∈, 设12D D D =⋂, 并且D ≠∅, 则函数()(), D y f x g x x =+∈叫做函数()y f x =与()y g x =的和; 函数()(), D y f x g x x =⋅∈叫做函数()y f x =与()y g x =的积. 3.函数的复合设函数()y f u =的定义域为D f , 函数()u g x =的定义域为D g , 其值域R D g f ⊆, 则由下式确定的函数: [()], D g y f g x x =∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数, 它的定义域为D g , 变量u 称为中间变量.二、基础练习1.函数()y f x =的图像与直线2x =的公共点的个数可能有____________.2.下列四组函数中, 表示同一个函数的序号是_____________.①y =y x =; ②lg y x =与1lg 2y x =; ③y x =和y ④()2f x x =与()2g t t =.3.下列图形可以作为函数图像的序号是________;4.函数y =的定义域是________________.5.已知函数2()9f x x =-, ()3x g x x =-, 则()()f x g x ⋅=_____________________. 6.若函数()y f x =的定义域是[2,4]-, 则函数()()()g x f x f x =+-的定义域是______________.7.已知()12g x x =-, 221[()](0)x f g x x x-=≠, 则1()2f =_________.8.已知()f x 是一次函数, 且[()]41f f x x =-, 则()f x 的解析式为______________________________. ①②③④0个或1个 ①④ ④ [3,)+∞(3)(3)x x x +≠[2,2]-1()2 1 or ()23f x x f x x =-+=-15【例题解析】例1.求下列函数的定义域.(1)0(1)y x =+-;(2)2(4)log 2tan x y x -=+.解: lg 01505lg(5)04101x x x x x x x x ≥≥⎧⎧⎪⎪-><⎪⎪⇔⎨⎨-≠≠⎪⎪⎪⎪-≠≠⎩⎩,解: 22224041πππ(Z)π(Z)22x x x x x k k x k k ⎧⎧-<<->⎪⎪⎪⎪-≠⇔≠⎨⎨⎪⎪⎪⎪≠+∈≠+∈⎩⎩,定义域为(1,4)(4,5)⋃.定义域为π{|22, }2x x x x -<<≠≠±.(3)lg(4)y x =+.解: 234014|1|203, 1404x x x x x x x x ⎧--≥-≤≤⎧⎪⎪+-≠⇔≠-≠⎨⎨⎪⎪+>>-⎩⎩,定义域为(4,3)(3,1][4,)--⋃--⋃+∞.例2.复合函数的定义域问题.(1)若函数()y f x =的定义域是[0,1], 求函数1()()()(0)2F x f x a f x a a =++-<<的定义域;解: 01101x a a x a x a ≤+≤⎧⇔≤≤-⎨≤-≤⎩, 因此()F x 的定义域为[,1]a a -.(2)若函数(1)y f x =-的定义域是[1,2], 求函数(21)y f x =+的定义域. 解: [1,2]1[0,1]x x ∈⇒-∈, 即()f x 的定义域为[0,1],121[0,1][,0]2x x +∈⇒∈-,因此(1)f x +的定义域为1[,0]2-.例3. 若函数2(1)lg (0)3x f ax a x --=≠+,求()f x 的解析式及定义域. 解: 2(1)lg3x f ax x --=+的定义域为(,3)(2,)-∞-⋃+∞, 令1t ax =-,若0a >, 则(,31)(21,)t a a ∈-∞--⋃-+∞, 若0a <, 则(,21)(31,)t a a ∈-∞-⋃--+∞, 则1t x +=, 代入上式得, 12()lg t af t +-=,综上所述, 12()lg13x af x x a+-=++, 当0a >时, 定义域为(,31)(21,)a a -∞--⋃-+∞,当0a <时, 定义域为(,21)(31,)a a -∞-⋃--+∞.例 4.已知函数()y f x =为偶函数, 其当0x ≥时, 其图像如图所示: 当[0,1]x ∈时, 图像为圆弧; 当[1,)x ∈+∞时, 图像为射线. 试作出它在(,0)-∞上的图像, 并求()f x 的解析式以及[(2)]f f -的值.解: 由()y f x =为偶函数, 则其图像关于y 轴对称, 其图像如右下图所示:当[0,1]x ∈时, 图像为圆弧, 则221(0)x y y +=≥, 11)y x ⇒=-≤≤;因此()f x 的解析式为:1 1()111 1x x f x x x x ->⎧=-≤≤--<-⎪⎩;[(2)]0f f ⇒-=.例5.已知扇形的周长为10, 半径为r . 求扇形面积S 关于r 的函数关系式, 并写出函数的定义域与值域. 解: 设扇形的弧长为l , 则102l r =-,扇形的面积为2152S lr r r ==-+, 其中0505π12πr l r l r>⎧⎪>⇒<<⎨+⎪<⎩, 因此25S r r =-+的定义域为5(,5)π1+; 225255()24S r r r =-+=--+, 因此当52r =时, max 254S =, 又5r <可知, 0S >, 因此其值域为25(0,]4.函数的概念及其运算巩固和提高练习答案【巩固练习】1.下列四组函数中, 表示同一个函数的序号是_____________.(1)211x y x -=-与1y x =+;(2)lg y x =与21lg 2y x =;(3)1y与1y ;(4)2()21f x x x =--与2()21g t t t =--.2.已知2()f x =()g x =, 则函数()f x 与()g x 的积为()()f x g x ⋅=__________________. 3.函数1lg(1)y x=-的定义域为___________________.4.函数()y f x =的定义域是[2,2]-, 则f 的定义域是________________.5.若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域是R, 则实数m 的取值范围是__________________.6.若121() 1 02() 0xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 则不等式()1f x >的解集为__________________.7.已知()f x 是一次函数, 且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+, 求()f x 的解析式. 解: 令()(0)f x kx b k =+≠, 则3[(1)]2[(1)]217k x b k x b x ++--+=+,252177k kx k b x b =⎧⇒++=+⇒⎨=⎩,因此()27f x x =+. 8.求下列函数的定义域. (1)y 解: 19320x x ---+≥2(3)3320x x --⇔-⋅+≥(32)(31)0x x --⇔--≥, 即31x -≤或32x -≥,解得0x ≥或31log 2x ≤,即定义域为31(,log ][0,)2-∞⋃+∞.(2)lg(cos )y x =.解: 即2250cos 0x x ⎧-≥⎨>⎩,即[5,5]x ∈-且cos 0x >,解得3πππ3π[5,)(,)(,5]2222x ∈--⋃-⋃.即定义域为3πππ3π[5,)(,)(,5]2222--⋃-⋃.9.若函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞且满足1()()af x bf cx x+=(其中a ,b ,c 均为非零常数, 且||||a b ≠), 求函数()f x 的解析式.11c (4) 1(, 3)2x x x >-≠(,0)(1,)-∞⋃+∞[0,4]3[0,)4(,1)(1,)-∞-⋃+∞解方程组得222()()()c ax b f x a b x-=-.10.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形, 上部为半圆形的框架, 若矩形底边长为2x , 求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式, 并写出其定义域. 解: 上部半圆部分的面积为21π2x ,下部矩形的长为πl x -, 因此另一边长为π22l x x--, 注意到边长为正数, 则要求π200π2l l x x x -->⇒<<+. 因此下部的面积为π22(π2)2l x xx x l x x --⋅=--, 综上所述, 2π(2)2y x lx =-++, 定义域为(0,)π2l +.【提高练习】11.向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是 ( )B12.对定义域分别是,f g D D 的函数()f x 和()g x , 规定函数()h x 如下:()() ()() () f g f g f gf xg x x D x Dh x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且(1)若函数()23,1f x x x =-+≥, ()2,R g x x x =-∈, 写出函数()h x 的解析式; (2)求(1)中()h x 的最大值.(1)解: 227 6 1() 2 1x x x h x x x ⎧-+-≥=⎨-<⎩;(2)解: 当1x ≥时, 2()276h x x x =-+-,2276y x x =-+-的对称轴为74x =, 因此当74x =, ()h x 在[1,)+∞上达到最大值18; 当1x <时, ()2h x x =-是一个单调递增的函数, 总有1()(2)|1x h x x =<-=-, 综上所述, ()h x 的最大值为18.2x。