高三学情调查(数学答案)
江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期10月学情调研测试数学试题(解析版)
2022/2023学年第一学期高三10月学情调研测试数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合][(){},14,,11A B x a x a ∞∞=-⋃+=-<<+，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围为（）A.()2,3 B.[)2,3 C.(]2,3 D.[]2,3【答案】D 【解析】【分析】利用数轴法解决集合的交集运算即可.【详解】因为][(){},14,,11A B x a x a ∞∞=-⋃+=-<<+，且A B =∅ ，所以1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a a ≥⎧⎨≤⎩，故23a ≤≤，即[]2,3a ∈.故选：D.2.已知i 为虚数单位，则复数13i12iz -=+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简，结合复数的几何意义，即可得到答案．【详解】13i (13i)(12i)1i 12i (12i)(12i)z ---===--++- ，∴复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--，位于第三象限．故选：C ．3.已知单位向量,a b满足2a b -= ，则a 在b 方向上的投影向量为（）A.bB.b -C.2aD.a-【答案】B 【解析】【分析】先由条件计算得a b ⋅ 的值，再利用a 在b 方向上的投影向量为cos b a b ba b b bθ⋅⋅=⋅求得答案.【详解】因为,a b是单位向量，所以1,1a b == ，故22221,1a a b b ==== ，由2a b -= 得24a b -= ，即()24a b-=，则2224a b a b =⋅+- ，即1214a b ⋅=+- ，得1a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影向量为1cos 11b a b b ba b b bbθ⋅-⋅=⋅=⋅=-.故选：B.4.与直线310x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（）A.310x y -+= B.310x y +-= C.310x y ++= D.310x y ++=【答案】B 【解析】【分析】设(,)P x y 为所求直线上任一点，则(,)P x y 关于y 轴对称的点为(,)x y -，将其代入310x y -+=中化简可得答案.【详解】设(,)P x y 为所求直线上任一点，则(,)P x y 关于y 轴对称的点为(,)x y -，由题意可得点(,)x y -在直线310x y -+=上，所以310x y --+=，即310x y +-，所以与直线310x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为310x y +-=，故选：B5.定义:若函数()f x 的图象经过Ω变换后所得图象的对应函数的值域与()f x 的值域相同，则称Ω变换是()f x 的”同值变换”.则下列正确的是（）A.()cos()6f x x π=+:Ω将函数()f x 的图象关于点(e 0)，对称B.2()=2f x x x -:Ω将函数()f x 的图象关于原点对称C.()=21xf x -:Ω将函数()f x 的图象关于x 轴对称D.2()=log f x x :Ω将函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】A 【解析】【分析】讨论原函数和变化后的函数值域是否相同即可.【详解】因为函数()cos()6f x x π=+的图象关于x 轴上的点(e 0)，对称后得到的仍然为三角函数，值域仍然为[]1,1-，所以A 选项正确；因为2()=2f x x x -的值域为[)1,-+∞，关于原点对称后的函数为2()=2f x x x -+，值域为(],1-∞，所以B 选项错误；()=21x f x -的值域为(1,)-+∞，关于x 对称后的值域为(,1)-∞，所以C 选项错误；2()=log f x x 的值域为R ,2()=log f x x 关于直线y x=对称的函数为2()=log f x x 的反函数，即2x y =值域为(0,)+∞,所以D 选项错误.故选:A.6.椭圆E :22x a +22y b=1（a >b >0）左右焦点分别为12F F ，上顶点为A ，射线AF 1交椭圆E 于B ，以AB 为直径的圆过2F ，则椭圆E 的离心率是（）A.22B.33C.12D.5【答案】D 【解析】【分析】以AB 为直径的圆过2F ，即22AF BF ⊥，由勾股定理与椭圆定义用a 表示出1BF ，2BF ，然后在12AF F △和12BF F △中，由1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=得出,a c 的齐次等式，变形后可得离心率．【详解】由题意12AF AF a ==，设1BF t =，则22BF a t =-，又以AB 为直径的圆过2F ，即22AF BF ⊥，所以222(2)()a a t a t +-=+，解得23t a =，所以243BF a =，在12AF F △和12BF F △中，12cos c AF F a∠=，22222124164399cos 22223c a a c a BF F ac c a +--∠==⋅⋅，1212180AF F BF F ∠+∠=︒，所以1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即22302c c a a ac-+=，整理得225a c =，所以55c e a ==．故选：D ．7.定义在[0，π]上的函数πsin(6y x ω=-(ω>0)存在极值点，且值域1[,)2M ⊆-+∞，则ω的范围是（）A.[76,2] B.24[,]33C.74(,63] D.[223，]【答案】B 【解析】【分析】由π[,]666x ωωππ-∈-π-，根据极值点和值域范围即可求得ω的范围.【详解】定义在[0,π]上的函数πsin()6y x ω=-,π[,]666x ωωππ-∈-π-,因为函数存在极值点，所以π62ωππ-≥，即ω≥23.又因为值域1[,)2M ⊆-+∞，所以π66ω7ππ-≤，即有：43ω≤,综上：24[,33ω∈.故选：B8.当0x >时，不等式2e 2ln 1x x mx x ≤++有解，则实数m 的范围为（）A.[)1,+∞ B.1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭C.2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)2,+∞【解析】【分析】先令1m =，构造导数证得在()0,1上存在0x 使得02000e2ln 1x x x x =++，即1m =满足题意，故排除D ；再利用一次函数的单调性证得当1m <时，2e 2ln 1x x x m x >++在()0,∞+上恒成立，即可排除BC ，实则至此已经可以选择A 选项，然而我们可以进一步证得当1m >时，题设不等式也成立，由此选项A 正确.【详解】当1m =时，题设不等式可化为2e 2ln 10x x x x ---≤有解，令()()2e 2ln 10xf x x x x x =--->，则问题转化为()0f x ≤有解，()()()()22e 2e 1212xxx x f x x x xx '+-=-+=-，令()()210e xx x g x =->，则()()2e 20xg x x x +=>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()010g =-<，()1e 10g =->，故()g x 在()0,1上存在唯一零点0x ，且0201e x x =，两边取自然对数得002ln 0x x +=，所以当00x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，故()f x 单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，故()f x 单调递增；所以()()()00220000000min e 2ln 1e 12ln 0xxf x f x x x x x x x ==---=--+=，即在()0,1上存在0x 使得02000e2ln x x x x =++，即()0f x ≤有解0x ，即1m =满足题意，故排除D.由上述证明可得2e 2ln 10x x x x ---≥，即2e 2ln 1x x x x ≥++在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1h m xm x =++，则()0h m x '=>，故()h m 在R 上单调递增；所以当1m <时，()()1h h m >，即2ln 12ln 1x x mx x ++>++，故2e 2ln 1x x x m x >++，即当1m <时，2e 2ln 1x x x m x >++在()0,∞+上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC ；当1m >时，()()1h m h >，即2ln 12ln 1mx x x x ++>++，故00002ln 12ln 1mx x x x ++>++，又02000e2ln 1x x x x =++，故02000e 2ln 1x x mx x <++，即2e 2ln 1x x mx x ≤++至少有一解0x ；综上：m 1≥，即选项A 正确.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知0,0a b >>，且24a b +=，则下列结论正确的是（）A.2ab ≤ B.12a +1b1≥ C.426a b +≥ D.2248a b +≤【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，由42a b =+≥，可得2ab ≤，即可判断；对于B ，由12a +1b 111(2)(42a b a b=++，利用基本不等式求解即可；对于C ，由24222a b a b +=+≥=对于D ，由2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，及2ab ≤即可求得2248a b +≥，从而即可判断.【详解】解：因为0,0a b >>，且24a b +=，对于A ，42a b =+≥2242ab ab ≤⇒≤⇒≤，当2a b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故正确；对于B ，因为24a b +=，所以1(2)14a b +=，12a +1b 111(2)()42a b a b =++1211(2)(2(22)14244a b b a =++≥+=+=，当22a b b a =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故正确；对于C ，因为24222248a b a b +=+≥===⨯=，当2a b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故错误；对于D ，因为2224(2)4164a b a b ab ab +=+-=-，又因为2ab ≤，所以48ab -≥-，所以1641688ab -≥-=，即2248a b +≥，当2a b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故错误.故选：AB ．10.已知向量()()1,1,cos ,sin (0)a b θθθπ==≤≤．则下列命题正确的是（）A.若22,22b ⎛= ⎝⎭ ，则4πθ= B.存在θ，使得a b a b+=-C.与a共线的单位向量为22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D.向量a与b夹角的余弦值范围是2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由特殊角的三角函数值与θ的取值范围可得到4πθ=，故A 正确；对于B ，利用向量的数量积运算由a b a b +=- 易得0a b ⋅= ，从而得到tan 1θ=-，故34πθ=，即说法成立，故B 正确；对于C ，利用a a± 易求得与a 共线的单位向量有两个，故C 错误；对于D ，利用向量数量积运算求得,a b夹角的余弦值的表达式，结合三角函数的图像即可得到其取值范围是2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.【详解】对于A ，由题意得2cos 2θ=，又0θπ≤≤，故4πθ=，故A 正确；对于B ，因为a b a b +=- ，即22a b a b +=- ，即()()22a b a b +=- ，整理得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅= ，故1cos 1sin 0θθ⨯+⨯=，即sin cos θθ=-，得sin tan 1cos θθθ==-，又0θπ≤≤，所以34πθ=，即存在θ，使得a b a b +=- ，故B 正确；对于C ，因为()1,1a =r，所以a ==a共线的单位向量为a a ⎛±=±=±± ⎝ ，故C 错误；对于D，22cos ,cos sin sin 224a b a b a bπθθθ⋅⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，又0θπ≤≤，所以5444p p p q £+£，所以2sin 124πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即向量a 与b 夹角的余弦值范围是22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.11.已知定义在R 上的函数()f x ，满足()cos f x x +是奇函数，且()sin f x x -是偶函数．则下列命题正确的是（）A.34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()()f k x f x π+=D.22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】由()cos f x x +是奇函数，可得()()2cos f x f x x -+=-，由()()2cos f x f x x -+=-，可得()()2sin x f x x --=-两方程联立求出()f x 的解析式，然后逐个分析判断.【详解】因为()cos f x x +是奇函数，所以()cos()()cos f x x f x x -+-=-⎡+⎤⎣⎦，()cos ()cos f x x f x x -+=--，所以()()2cos f x f x x -+=-，因为()sin f x x -是偶函数，所以()sin()()sin f x x f x x ---=-，所以()()2sin f x f x x --=-，所以()sin cos f x x x =-，对于A ，33322sin cos 044422f πππ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，所以A 错误，对于B ，sin cos 1222f πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，()()()sin cos f k x k x k x πππ+=+-+，当k 为偶数时，()()()sin cos sin cos ()f k x k x k x x x f x πππ+=+-+=-=，当k 为奇数时，()()()sin cos sin cos sin cos ()f k x k x k x x x x x f x πππ+=+-+=---=--≠，所以C 错误，对于D ，因为sin cos cos sin 222f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，sin cos cos sin cos sin 222f x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确，故选：BD12.过点()10P -，的直线l 与圆220:412C x y y +--=交于A ，B 两点，线段MN 是圆C的一条动弦，且MN =）A.AB 的最小值为B.△ABC 面积的最大值为8C.△ABCD.PM PN +uuu r uuu r的最小值为6-【答案】ACD 【解析】【分析】设圆心C 到直线AB 的距离为d ，求出AB ，即可判断A ；再由1||2ABC S AB d =⋅ ，求出ABC 面积的最大值即可判断B ，C ；取MN 的中点E ，求PM PN +uuu r uuu r的最小值转化为求PE的最小值即可判断D ．【详解】∵224120x y y +--=即22(2)16x y +-=，∴圆心()0,2C ，半径4r =()1,0P -在圆C 内，PC =，设圆心C 到直线AB 的距离为d ，由题意得0d ≤≤∵AB =min AB ==A 正确；1122ABC S AB d d =⋅=⨯=△∵205d ≤≤，∴当25d =时，()max ABC S =△，故B 错误，C 正确．取MN 的中点E ，则CE MN ⊥，又MN =3CE ==，∴点E 的轨迹是以()0,2C 为圆心，半径为3的圆．因为2PM PN PE +=，且min33PEPC =-= ，所以||PM PN +的最小值为6-，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=_________.【答案】725【解析】【分析】利用二倍角公式可求解.【详解】2247sin 2cos 22cos 12124525ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：725.14.若“[1,2]x ∀∈，都有2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________【答案】9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】求出命题为真时，参数范围，再求其在R 上的补集，则得命题为假时的范围．【详解】若[1,2]x ∀∈，都有2210x x λ-+<成立是真命题，则2108210λλ-+<⎧⎨-+<⎩，解得92λ>，所以若[1,2]x ∀∈，都有2210x x λ-+<成立是假命题时，92λ≤．故答案为：9(,]2-∞．15.已知实数x ，y 满足20x y >>，若2z x =+22x y y-（），则z 的最小值是_____【答案】8【解析】【分析】先由基本不等式放缩(2)x y y -，然后再用基本不等式得最小值．【详解】因为20x y >>，所以20x y ->，2211(2)2(2)22228x y y x x y y -+⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当22x y y -=，即4x y =时取等号，所以222216(2)z x x x y y x =+≥+-8≥=，当且仅当2216x x =，即2x =时等号成立，此时14y =．故答案为：8．16.椭圆E :22143x y +=内有一个圆C ，圆C 与椭圆内切，圆C 面积的最大值是________;若切点是椭圆的右顶点，则圆C 面积的最大值是_____【答案】①.3π②.9π4【解析】【分析】空1：当圆半径r b =是圆的面积最大.空2:切点是椭圆的右顶点,设半径为r ，圆心为()2,0r -，列出圆的方程，然后和椭圆方程联立得到含有r 的二次方程，因为和圆有一个切点，故0∆=，得到r ，求得圆的面积.【详解】空1：因为圆C 与椭圆内切，当r b =时，圆C 的面积最大，最大为22π=π=3πr b .空2:因为切点是椭圆的右顶点,设半径为r ，圆心为()2,0r -，所以圆C 的方程为：()2222x r y r --+=⎡⎤⎣⎦和椭圆方程22143x y +=联立得()()2222322234x r x r x r --+-+-=化解得()21227404x r x r --+-=因为有一个切点，所以()()22142474(23)04r r r ∆=--⨯-=-=故32r =.综上所述：圆C 面积的最大值为24ππ9r =.故答案为：3π，9π4.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知(){}22log 242A x x x =-->，11|327x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭（1）当2a =时，求R A B ⋂ð;（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）R {2A B x x ⋂=<-ð或45}x <≤；（2）[)1,+∞．【解析】【分析】（1）先解对数不等式得到集合A ，再解指数不等式得到集合B ，由此利用数轴法对集合进行交并补运算即可；（2）先求得集合B ，再由题设条件得到B A ⊆，由由此利用数轴法对集合进行运算即可.【小问1详解】因为()22log 242x x -->，所以由2log y x =的单调性可得2244x x -->，即()()240x x +->，解得2x <-或4x >，故{2A x x =<-或4}x >，当2a =时，由11327x a-⎛⎫< ⎪⎝⎭，得231133x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故23x ->，即5x >，故{}5B x x =>，所以{}R 5B x x =≤ð，所以R {2A B x x ⋂=<-ð或45}x <≤，【小问2详解】由11327x a-⎛⎫<⎪⎝⎭得31133x a-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3x a ->，即3x a >+，故{}3B x x a =>+，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆，所以34a +≥，解得1a ≥，即[)1,a ∈+∞.18.圆C ：22(2)(1)9x y -+-=，过点(1,3)P -向圆C 引两切线，A ，B 为切点，（1）求切线的方程:（2）求PA PB ⋅的值【答案】（1）1x =-或512410x y -+=（2）2013-【解析】【分析】（1）按斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时，设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求得结论；（2）求出,,PC PA PB ，在直角三角形中得出sin APC ∠，用二倍角公式求得cos APB ∠，然后由数量积的定义计算．【小问1详解】若过P 点的直线斜率不存在，符合题意，切线方程为1x =-；若过P 点的直线斜率存在，设切线方程为3(1)y k x -=+，即30kx y k -++=，圆心C3=，解得512k =，则512410x y -+=，综上，切线方程为1x =-或512410x y -+=【小问2详解】|||||2PC PA PB ===sin CA CPA PC∠==，225cos 12sin 1213APB CPA ∠=-∠=-=-．520cos 221313PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．19.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力、在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐.某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的20n （n ∈N +）台汽车车主，统计得到以下22⨯列联表，经过计算可得2 5.556x ≈．喜欢不喜欢总计男性10n12n女性3n总计15n（1）完成表格并求出n 值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关:（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率．从该车企今年某月份售出的汽车中，随机抽取4辆汽车，设被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：()22()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．a =P （2x ≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，5，有97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；（2）列联表见解析，1【解析】【分析】(1)根据列联表算出2x ，利用独立性检验即可判断；（2）利用二项分布即可列出分布列，从而求期望.【小问1详解】补充表格数据如下:喜欢不喜欢总计男性10n 2n 12n 女性5n 3n 8n 总计15n5n20n根据数表可得2220(31052)10 5.5561551289n n n n n n x n n n n ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，又n *∈N ，得5n =；由题意，2 5.556(5.024,6.635)x ≈∈，故有97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；【小问2详解】随机抽取1辆汽车属于不喜欢新能源购车者的概率为2511004=，被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X ，X 的可能值为：0，1，2，3，4依题意，14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4041381(0)C 44256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，13141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22241354(2)C 44256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3134133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，444131(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为：X 01234P812562764542563641256X 的数学期望81275431()0123412566425664256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以X 的数学期望为120.在三角形ABC 中，A =60︒，D AC 边上，AD =1，DC（1）BD ，求△ABD 的面积．（2）若E 点在AB 边上，AD =AE ，∠DBC =30°，求sin ∠EDB ．【答案】（1）4（2）sin 2EDB ∠=【解析】【分析】(1)在ABD △中利用余弦定理和面积公式即可；（2）在BDE 和BDC 中利用正弦定理分析求解.【小问1详解】在ABD △中，由余弦定理得2222cos 60BD AB AD AB AD =+-⋅⋅︒，即260AB AB --=，则3AB =（舍负）所以，11sin6031sin60224ABD S AB AD ︒︒=⋅⋅=⨯⨯⨯=△．【小问2详解】,60AD AE A ==︒，则ADE 为正三角形，1,60DE AD AED ADE ==∠=∠=︒，设EDB θ∠=，在BDE 中，120,60BED EBD θ∠=∠=︒-︒，由正弦定理得()1sin120sin 60BD θ=︒-︒．（*）在BDC 中，30,30,DBC BCD DC θ︒=+︒∠=∠=由正弦定理得()3sin 30sin 30BD θ=+︒︒（**）由（*）和（**）得()()1sin 30sin 604θθ︒+︒-=，即()1sin 6022θ︒+=，又060θ︒<<︒，则60602180θ︒<︒+<︒，故602150θ︒+=︒，所以45θ=︒，sin 2EDB ∠=.21.如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD 垂直，P 是半圆弧上一点（端点除外），AD 是半圆的直径，AB =1，AD =2．（1）求证：平面PAB ⊥平面PDC ；（2）是否存在P 点，使得二面角B PC D --的正弦值为32若存在，求四棱锥P -ABCD 的体积；若不存在，说明理由，【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据矩形性质和面面垂直性质定理可证CD ⊥平面ADP ，结合直径所对圆周角为直角可证AP ⊥平面PDC ，然后由面面垂直判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可得二面角B PC D --为正弦值为2时点P 坐标，然后计算可得体积.【小问1详解】在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，又平面ABCD ⊥平面ADP ，平面ABCD 平面,ADP AD CD =⊂平面ABCD ，所以，CD ⊥平面ADP ，又AP ⊂平面ADP ，所以CD AP ⊥，P 是AD 为直径的半圆上一点，所以DP AP ⊥，又,,CD DP P CD DP =⊂ 平面PDC ，所以，AP ⊥平面PDC ，又AP ⊂平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PDC 【小问2详解】取BC 中点E ，以AD 的中点O 为坐标原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示空间直角坐标系，由平面ABCD ⊥平面可知，半圆在平面xOz 平面内，设(,0,)P a b，则221,0a b b +=>，又(1,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,0,0)A B C D --，由（1）可知，平面PDC 的一个法向量为,(1,0,)AP AP a b =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，又(1,1,),(2,0,0)BP a b BC =--=- ，则(1)020BP n a x y bz BC n x ⎧⋅=--+=⎨⋅=-=⎩，取1z =，则(0,,1)n b = ，设二面角B PC D --的大小为α，|cos ||cos ,|AP n α==若3sin 2α=，则1|cos |2α=，又b =，12==，又(1,1)a ∈-，得0,1a b ==所以，四面体P ABCD -的体积1233ABCD V S b =⋅=22.已知函数()e a x f x -=，()ln g x a x =-，()f x 与()g x 在1x =处的切线相同．（1）求实数a 的值；（2）令(),1()(),1f x x m x g x x <⎧=⎨>⎩，若存在12x x <，使得12()()2m x m x +=，（i ）求12()x m x +的取值范围；（ii ）求证:122x x +>.【答案】（1）1；（2）①(,2)-∞；②证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设(1)(1)(1)(1)f g f g =⎧⎨''=⎩即可求a 的值；（2）由（1）1e ,1()1ln ,1x x m x x x -⎧<=⎨->⎩，（i ）根据()m x 区间单调性求对应值域，即可知只存在121x x <<使()()122m x m x +=，进而得()()111211e 21x x m x x x -+=-+<，构造1e 2(1)x y x x -=-+<研究其单调性求值域，即可得结果；（ii ）由（i ）得112e 1ln 2xx -+-=，（双变量变量统一）：首先有()11e11211e 1x x x x x --+=+<，令11e 10x t -=->得11ln(1)x t =-+，进而构造()1ln(1)e (0)t h t t t =-++>并利用导数证明()2h t >即可证；（极值点偏移）：构造()(2)[2()]x m x m x ϕ=---且1x <，利用导数研究其单调性可得min ()0x ϕ>，即(2)[2()]m x m x ->-，进而可得()()122m x m x ->，结合1221,1x x ->>及()1ln m x x =-单调性，即可证结论.【小问1详解】由题意(1)(1)(1)(1)f g f g =⎧⎨''=⎩，则11e ln1e 1a a a --⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，可得1a =.【小问2详解】由（1）得1e ,1()1ln ,1x x m x x x -⎧<=⎨->⎩，（i ）当121x x <<时，由()(1)1m x m >=，则()()122m x m x +>，不合题意，舍去；当121x x <<时，()1ln 1ln11m x x =-<-=，则()()122m x m x +<，不合题意，舍去；故只存在121x x <<时，才能使()()122m x m x +=，即112e 1ln 2xx -+-=，所以()()()111112121111ln 1e1e 21x x x m x x x x x x --+=+-=+--=-+<，令1e 2(1)x y x x -=-+<，则11e 0x y -=+'>，故1e 2x y x -=-+在(,1)-∞上递增，即2y <，故()12x m x +的取值范围为(,2)-∞.（ii ）证明：由（i ）知：121x x <<，且112e 1ln 2xx -+-=（*），法一（双变量变量统一）：由（*）得：111111e 1222e 1ln 2ln e 1e x x x x x x ----+-=⇔=-⇒=，故()11e11211e 1x x x x x --+=+<令11e 1x t -=-，而11<x ，则110t ->-=，且11ln(1)x t =-+，则()11e11211e 1()1ln(1)e (0)x t x x x x h t t t --+=+<⇔=-++>，要证122x x +>，即证()1ln(1)e (0)t h t t t =-++>的最小值大于2，又1()e 1th t t =-+'，且21()e 0(1)th x t ''=+>+，故()h t '在(0,)+∞上递增，则min ()(0)0h t h >'='，∴()h t 在(0,)+∞上单调递增，即0min ()(0)1ln1e 2h t h >=-+=，则122x x +>得证.法二（极值点偏移）：构造函数()(2)[2()]x m x m x ϕ=---且1x <，即()11()[1ln(2)]2e e ln(2)1x x x x x ϕ--=----=---且1x <，此时11()e2xx xϕ-'=-+-，且121()e 0(2)xx x ϕ-''=+>-，故()x ϕ'在(,1)-∞上递增，故max ()(1)0t ϕϕ<'='，∴()ϕx 在(,1)-∞上单调递减，且11min ()(1)e ln(21)10x ϕϕ->=---=，当(,1)x ∞∈-时，(2)[2()]m x m x ->-，∵11<x ，()()122m x m x +=，∴()()()1122[2]m x m x m x --=>，而121x x <<知：1221,1x x ->>，且()1ln m x x =-在(1,)x ∈+∞上单调递减，∴122x x -<，故122x x +>得证.【点睛】关键点点睛：第二问，利用等量关系构造12()x m x +关于1x 的表达式，构造函数研究其值域；应用双变量变量统一或极值点偏移，注意构造中间函数并利用导数研究不等式恒成立即可.。
2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题(解析版)
2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题一、单选题1．已知集合3|0,2x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}|24,B x x x Z =≤≤∈，则A B =（ ） A ．[]2,3 B ．(]2,3 C ．{}2,3 D ．{}3【答案】D【分析】首先解分式不等式得到{}|23A x x =<≤，再求A B 即可. 【详解】{}3|0,|232x A x x R A x x x -⎧⎫=≤∈⇒=<≤⎨⎬-⎩⎭， {}{}|24,2,3,4B x x x Z =≤≤∈=，所以{}3A B ⋂=. 故选：D2．“m =-2”是“直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为m =-2，所以直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故充分； 当直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行时，24m =， 解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 1: x +2y +2=0与直线l 2: x +2y +1=0平行，当2m =-时，直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故不必要， 故选：A3．已知向量a =(3，2)， b =(2m -1，3)，若a 与b 共线，则实数m =（ ） A ．114B ．5C ．72D ．1【答案】A【分析】利用向量共线的坐标运算计算即可. 【详解】由已知a 与b 共线得()33221m ⨯=⨯-， 解得114m =4．若椭圆22x a +22y b =1(0a b >>)的离心率为32，短轴长为6，则椭圆的焦距为（ ）A ．43B ．8C ．63D ．83【答案】C【分析】根据离心率结合短轴长度，即可求得c ，再求焦距即可. 【详解】因为短轴长度为6，即26b =，故可得3b =；又离心率为22239112b a a=-=-，解得6a =；故可得22227c a b =-=，则33c =，故焦距263c =. 故选：C.5．己知等比数列{}n a 满足538a a -=，6424a a -=， 则3a =（ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-【答案】C【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，根据已知条件可得出关于1a 、q 的方程组，解出这两个量的值，即可求得3a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由已知可得()()225313264118124a a a q q a a a q q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得1193a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因此2311a a q ==.故选：C. 6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是()f x =（ ）A ．1|1|x - B ．1|||1|x -C ．211x - D ．211x +【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项.【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为{|1}x x ≠±， 判断四个选项，只有1|||1|x -和211x -符合，又因为()f x =211x -时，有的函数值是负数，例如1(2)3f =-不符合，所以只有()f x =1|||1|x -成立，故选：B.7．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A ．5:6π B ．6:2πC ．:2πD ．5:12π【答案】B【分析】作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=，求得球的半径62R a =，利用体积公式，即可求解.【详解】作出过正方体的对角面的截面，如图所示， 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么2,2a CC a OC '==， 在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=, 即2222()2a a R +=，解得62R a =， 所以半球的体积为333114266()23322V R a a πππ=⨯=⨯=，正方体的体积为32V a =，所以半球与正方体的体积比为336:6:22a a ππ=，故选B.【点睛】本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.8．已知向量a b c ，，，满足a =c =1，b =7a c ⋅，=12，若a b +=λc (R λ∈)， 则λ=A ．3B ．2-C ．3或2-D ．3-或2【答案】C【分析】根据题意，利用数量积的运算法则，结合已知条件，即可求得参数λ. 【详解】因为a b +=λc ，故可得b c a λ=-， 两边平方可得：22222b c a a c λλ=+-⋅， 代值可得：271λλ=+-，整理得：260λλ--=， 解得3λ=或2-. 故选：C.9．已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 【详解】由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =， 又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<， 同理323ln 2ln 2ln32ln3=<=，即ln 2ln 323<， 所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<， 设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增， 所以c a b <<， 故选：A. 二、多选题10．已知i 为虚数单位，复数z 满足()10z 2i i +=，则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为1i 5B ．复数z 的共轭复数为21i 55-C ．复数zD ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限.【答案】CD【分析】根据复数的运算得21z i 55=-+，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()5102i i 1==-，所以()102i i 121z i 2i 2i 555---====-+++，所以复数z 的虚部为15,复数z 的共轭复数为21i 55--,故A ，B 选项错误；复数z复数z 在复平面内对应的点21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故CD 选项正确. 故选：CD11．已知正实数a ，b 满足a +b =2，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ≤1 B ．1a +2bCD ．ln a ln b ≤0【答案】ACD【分析】根据正实数a ，b 满足a +b =2，利用基本不等式逐项判断. 【详解】因为正实数a ，b 满足a +b =2，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故A 正确；所以1a+()(211212113332222b a a b b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当2b aa b=时，等号成立，故B 错误；因为2a b =++，故C 正确；因为ln a ln b 2222ln ln ln ln 20222a b a b ab ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪≤=≤= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故D 正确； 故选：ACD12．已知互不相同的两条直线,m n 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=，则//m nB ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α⊥，βn//， 且m n ⊥，则//αβD ．若m α⊥，βn//， 且//m n ， 则αβ⊥【分析】根据直线与直线，直线与平面和平面与平面的位置关系和特殊图形依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若//m α，n αβ=，则m 与n 的位置关系为平行或异面，故A 错误；对选项B ，若m n ⊥，m α⊥，则n ⊂α或//n α， 又因为n β⊥，所以αβ⊥，故B 正确. 对选项C ，在长方体中，如图所示：满足m α⊥，βn//， 且m n ⊥，此时α与β的位置关系为相交，故C 错误. 对选项D ，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又因为βn//，则存在l β⊂，l α⊥，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：BD13．下列关于L 型椭圆C ：42116y x +=的几何性质描述正确的是（ ）A ．图形关于原点成中心对称B ．44y -≤≤C ．其中一个顶点坐标是()0,2-D ．曲线上的点到原点的距离最大值为2【答案】ACD【分析】根据曲线方程，结合曲线的对称性、范围对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：对方程42116y x +=，用,x y --分别替换,x y ，可知还是同一个方程， 故该图形关于原点成中心对称，A 正确；B ：因为421016y x =-≥，故可得416y ≤，解得24y ≤，即[]2,2y ∈-，故B 错误；C ：令0x =，解得416y =，可得2y =±，故其一个顶点坐标为()0,2-，C 正确；D ：因为()42222211851616y x y y y +=-+=--+，由B 知：[]2,2y ∈-，故可得当2y =±时，22x y +取得最大值422x y +2，即曲线上的点到原点的距离最大值为2，D 正确.【点睛】本题考查由曲线方程研究曲线的性质，重点在于充分利用曲线方程，结合对称性以及范围的求解方法进行细致分析，属中档题. 三、填空题14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：()1,y kx k k R =-+∈，则直线l 被圆C 截得的最短弦长为______________【答案】【分析】根据直线方程求得直线l 恒过的定点，再结合几何关系以及弦长公式即可求得结果.【详解】因为1y kx k =-+，故可得()11y k x -=-， 则直线l 恒过定点()1,1A ，且点()1,1A 在圆C 内； 当且仅当AC 垂直于l 时，直线l 被圆截得的弦长最短，此时圆心C 到直线l 的距离d AC ==故最短的弦长为=故答案为：15．已知cos()4πα+=π(0,)2α∈，则sin α=__________【解析】【详解】试题分析：cos()(0,)sin()424πππααα+=∈∴+=sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】三角函数基本公式16．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P ，乙胜的概率为1-p ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X 的数学期望为_____________ 【答案】97282187【分析】根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，求得每局比赛甲胜的概率P ，再由采取7局4胜制得到X 的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其【详解】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827， 且每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p ， 所以()2238127C p p p ⋅⋅-⋅=， 解得 21,133p p =-=，X 的可能取值为：4，5，6，7，则 ()()3333342216212644,53381333243p x C p x C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()323333562121602123206,73337293332187p x C p x C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x 的数学期望为：()1664160320972845678124372921872187E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：9728218717．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )= ln x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 【答案】11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】首先根据导数的几何意义得到切线为：()0001ln y x x x x -=-，切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，从而得到()000ln ,0M x x x -，000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得到00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再构造()ln 2ln xg x x x x x=-+，利用导数求解最大值即可. 【详解】设()00,ln P x x ，()1f x x'=，则()001k f x x '==， 则切线l 为：()0001ln y x x x x -=-， 令0y =，解得000ln x x x x =-，即()000ln ,0M x x x -. 切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，令0y =，解得000ln x x x x =+，即000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 设()ln 2ln xg x x x x x=-+， ()()()()22211ln 1ln 2ln 1x x x g x x x x +--'=-++=， 令()0g x '=，解得e x =，则()0,e x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()e,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 为减函数. 所以()()max 1e e eg x g ==+，即t 的最大值为11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题18．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2]-.【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可. (1)周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈， 又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象 故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，sin 6x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，()[2]g x ∴的值域为. 19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记MNA △的面积为S ，当3S =时求k 的值.【答案】(1)221.43x y += (2)32k =±【分析】（1）根据题意得到24a =，1a c -=，再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ，()22,N x y ，再根据122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. (1)由题意24a =，2a =，则b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，且2OA = 根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-， 联立方程组22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = 因为AMN 的面积为3，可得12||3y y -=，解得32k =±. 20．设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为Sn 满足4Sn =(an +1)2 (1)证明数列{an }为等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}3nn a ⋅的前n 项和Tn【答案】(1)证明见解析，21n a n =-(2)()1133n n T n +=-⋅+【分析】（1）直接采用作差法化简可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，变形可得12n n a a --=，可证{an }为等差数列，结合通项公式可求n a ；（2）由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，结合错位相减法化简可求n T .(1)()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，， ()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=-+-，()()1120n n n n a a a a --∴+--=，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥，所以数列{}n a 为等差数列，11,1,n a == 21n a n ∴=-；由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，所以()121333213=⨯+⨯++-⋅n n T n ，()()21313233213n n n T n n +=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅，()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-，()122236n n T n +∴-=-⋅-， ()1133n n T n +∴=-⋅+.21．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x 与组内女性人数y 统计结果如表: .(1)女性人数与组号x (组号变量x 依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx==-==--∑∑）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X 组，求X 的分布列与期望.【答案】(1)预测从第7组开始女性人数不低于男性人数 (2)分布列见解析，1.【分析】（1）根据题意，结合已知公式得0.6 1.2y x ∧=+，再解0.6 1.25x +≥即可估计得答案；（2）根据题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分布求解即可.解：由题可得()11234535x =⨯++++=，51223443,515i i i y x y =++++===∑，522222211234555i i x ==++++=∑．则51522150.6,30.63 1.25i ii i i x y x yb a y b x x x∧∧∧==-===-=-⨯=-∑∑所以0.6 1.2y x ∧=+ 当0.6 1.25x +≥时，193x ≥所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数． (2)解：由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，36395(0)21C C P X === 21633915(1)28C C C P X === 1263393(2)14C C C P X === 33391(3)84C C P X ===则X 的分布列为()1E X ∴=22．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 (1)若1cos 4A =，求BDC 的面积; (2)若4CD AD -=，求CD 长. 【答案】 (2)6【分析】（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =.解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得15sin 4A = 由正弦定理可得sin sin BD ABA ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠ 所以115sin sin 28ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以15sin sin 8CDB ADB ∠=∠=， 因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故27cos 1sin 8CDB CDB ∠=-∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠ 所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以1115315sin 622284BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=(2)解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（ 在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅ 因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.23．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11C CDD ，且1111122CC CD DD C D ====.(1)证明:11A D ⊥面11CC D D π【答案】(1)证明见解析； (2)34. 【解析】(1)如图在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=， 所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂面11CC D D 所以1DC ⊥平面11AA D D ，因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DC DC D ⋂=，1,DC DC ⊂面11CC D D ， 所以AD ⊥平面11CC D D . (2)连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ， 以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面11CC D D ，所以1A C 在平面11CC D D 内的射影为1D C ， 所以1A C 与平面11CC D D 所成的角为11ACD ∠，即113ACD π∠=，在△1D DC 中，由余弦定理可得：2221112cos120D C DD DC DD DC =+-⨯⨯︒，即21144222122D C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得1DC =在11Rt A CD中，因为1DC =116A D =， 则()10,0,0D ，()16,0,0A，(D，(C ，()10,4,0C ，所以(1D D =，()116,0,0D A =，()116,4,0AC =-，(1AC =- 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =， 则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即060y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令3y =，则0x =，z =(0,3,m =， … 设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =， 则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即640630a b a b -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，所以6cos ,23m n m n m n⋅===⨯故锐二面角1C AA D --24．己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(],1-∞【分析】（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x +=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.(1)解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增； ②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减. 综上，当0m =时，()f x 在R 上单调增；当0m >时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当0m <时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. (2)解：由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立 ()2'2ln 1ln (),x xx x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln x h x x e x =+，()()'212xh x x x e x=++， ()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调递增∵()121110,10e h e h e e e⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，即()'00g x =()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调递减；()()()'0,,0,x x g x g x ∈+∞>单调递增()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-， 0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()xm x xe =，则111ln ln m x x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()m x 在()0+∞，上单调增 000011ln,x x e x x ∴=∴=，0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤∴实数a 的取值范围是(],1-∞。
江苏省南京市2024-2025学年高三9月学情调研考试 数学 含答案
南京市2025届高三年级学情调研数 学 2024.09.19 注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A ＝{x |x －3＞0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＞0}，则A ∩B ＝A ．(－∞，1)B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知a x ＝4，log a 3＝y ，则a x ＋y ＝A ．5B ．6C ．7D ．123．已知|a |＝3，|b |＝1．若(a ＋2b )⊥a ，则cos<a ，b >＝A ．－32B ．－33C ．33D ．324．已知数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ．若S 3＝6，S 6＝3，则S 9＝A ．－18B ．－9C ．9D ．185．若a 是第二象限角，4sin2α＝tan α，则tan α＝ A ．－7 B ．－77 C ．77D ．7 6．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)．甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为A ．4B ．6C ．8D ．127．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为A ．24B ．32C ．96D ．1288．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上．若PF ＝2QF ，PF ⊥QF ，则△PFQ 的面积为A ．254B ．25C ．552D ．55二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数z ，下列命题正确的是A ．若z ＋1∈R ，则z ∈RB ．若z ＋i ∈R ，则z 的虚部为－1C ．若|z |＝1，则z ＝±1D ．若z 2∈R ，则z ∈R10．对于随机事件A ，B ，若P (A )＝25，P (B )＝35，P (B |A )＝14，则 A ．P (AB )＝320 B ．P (A |B )＝16 C ．P (A ＋B )＝910 D ．P (―AB )＝1211．设函数f (x )＝1|sin x |＋8|cos x |，则 A ．f (x )的定义域为{x |x ≠k π2，k ∈Z } B ．f (x )的图象关于x ＝π4对称 C ．f (x )的最小值为5 5 D ．方程f (x )＝12在(0，2π)上所有根的和为8π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．(2x ＋1x)4展开式中的常数项是 ▲ ． 13．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 ▲ ．(第13题图)14．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，直线BF 2与C 相交于另一点A ．当cos ∠F 1AB 最小时，C 的离心率为 ▲ ．四、解答题；本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：(1)判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；(2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X．若用频率估计概率，求P(X＝3)．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，16．(本小题满分15分)如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，→AM＝2→MD，→CN＝2→ND．(1)求证：EF∥平面MNB；(2)若平面ACD⊥平面ABC，求直线BD与平面MNB所成角的正弦值．(第16题图)已知数列{a n }，{b n }，a n ＝(－1)n ＋2n ，b n ＝a n ＋1－λa n (λ＞0)，且{b n }为等比数列．(1)求λ的值；(2)记数列{b n ⋅n 2}的前n 项和为T n ．若T i ⋅T i ＋2＝15T i ＋1(i ∈N *)，求i 的值．18．(本小题满分17分)已知 F 1，F 2是双曲线线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，F 1F 2＝26，点T (26，10)在C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 过点D (1，0)，且与C 交于A ，B 两点．①若→DA ＝3→DB ，求△F 1F 2A 的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若|PQ |＝2，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝e x－a＋ax2－3ax＋1，a∈R．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；(2)当a＞1时，试判断f(x)在[1，＋∞)上零点的个数，并说明理由；(3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．。
南京市2023届高三年级学情调研数学答案与解析
南京市2023届高三年级学情调研（7月预演）数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若|1＋i z |＝|3＋4i|，则|z －i|＝A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】|z －i|＝|1＋i z |＝|3＋4i|＝5．2．若集合U ＝N *，M ＝{x ∈N *|y ＝tan π2x }，N ＝{y |y ＝x ＋4x ，12≤x ≤4}，则(∁U M )∩N ＝A ．{5，7}B ．{4，5，6，7}C ．[4，8]D ．[4，172]【答案】A【解析】因为∁U M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈N }，N ＝[4，172]，所以(∁U M )∩N ＝{5，7}．3．在△ABC 中，记CA →＝m ，CB →＝n ，则AB →·(CA →＋CB →)＝A ．m －nB ．m ＋nC ．n 2－m 2D ．m 2＋n 2【答案】C【解析】因为AB →＝CB →－CA →＝n －m ，所以AB →·(CA →＋CB →)＝(n －m )·(n ＋m )＝n 2－m 2．4．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝2，BC ＝3．则以BC 为轴，将△ABC 旋转一周所得的几何体的体积为A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】C【解析】由图形易知BC 边上的高为1，所以V ＝13Sh ＝13π·3＝π．5．从1至8的8个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数和为偶数的概率为A ．1114B ．514C ．47D ．37【答案】D 【解析】p ＝12C 28＝37．6．已知函数f (x )＝sin(x ＋π9)＋sin(5π9－x )，g (x )＝f (f (x ))，则g (x )的最大值为A ．2B ．3C ．32D ．2【答案】B【解析】记t ＝x ＋π9，则f (x )＝h (t )＝sin t ＋sin(t ＋π3)＝32sin t ＋32cos t ，所以h (t )＝3sin(t ＋π6)∈[－3，3]，且3＞π3，所以f (f (x ))最大为3．7．双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为C 左支上一动点，直线AF 2与C 的右支交于点B ，且|AB |＝3a ，△ABF 1与△BF 1F 2的周长相等，则|F 1F 2|＝A ．233B ．433C ．23D ．43【答案】B【解析】记C 的焦距为2c ，则|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋1，又△ABF 1与△BF 1F 2的周长相等，即|AB |＋|AF 1|＝|F 1F 2|＋|BF 2|，又|AB |＝3a ，且|AB |＋|BF 2|－|AF 1|＝2a ，即2a ＝a 2＋1，a 2＝13，所以|F 1F 2|＝2a 2＋1＝433．8．若函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )g (x )＝g (x ＋2)f (x －2)，f (2022)g (2024)＝2，则∑23k ＝0f (2k )g (2k ＋2)＝A ．28B ．30C ．46D ．48【答案】B 【解析】因为f (x )g (x )＝g (x ＋2)f (x －2)，所以f (x )g (x ＋2)·f (x －2)g (x )＝1，记h (x )＝f (x )g (x ＋2)，所以h (x )h (x －2)＝1，h (x ＋2)h (x )＝1，则h (x )＝h (x ＋4)，所以h (2k )＝h (2(k ＋2))，f (2022)g (2024)＝f (2)g (4)＝2，且f (2)f (0)＝g (2)g (4)，则f (0)g (2)＝12，所以∑23k ＝0f (2k )g (2k ＋2)＝(12＋2)×12＝30．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江苏省睢宁高级中学高三10月学情调研数学试卷(含答案)
2025届高三10月学情调研数学试题2024.10一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）ABCD4.已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．，，则D ．若，，则5．已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知，若与的夹角为60°，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若，则的最小值为（ ）U =R {}31A x x =-<<{}02B x x =≤≤()3,0-()1,0-()0,1()2,3(),1x ∃∈-∞3210x x +-<[]1,x ∃∈+∞3210x x +-≥(),1x ∃∈-∞3210x x +-≥[]1,x ∀∈+∞3210x x +-≥(),1x ∀∈-∞3210x x +-≥ππa b αβγa b ∥b α⊂a α∥a α∥b α⊂a b ∥αγ∥βγ∥αβ∥αγ⊥βγ⊥αβ∥()f x [)1,+∞x ∈R ()()2f x f x =-()()23f x f x ->()5,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()3,+∞2b a = a b 2a b - b12b- 12b32b- 32b()22ln f x x x x=-+()10f a f b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭13b a +A ．B ．3C ．2D ．8.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．的一个必要不充分条件是B ．若集合中只有一个元素，则C ．若，使得成立是假命题，则实数m 的取值范围为D ．已知集合，则满足条件的集合N 的个数为410.已知，，，下列结论正确的是（ ）A．的最小值为9B ．C ．的最小值为D ．的最小值为11．设函数，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数在上单调递增，则实数a 的取值范围是B ．若函数有3个零点，则实数a 的取值范围是C ．设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是D ．任意实数a ，函数在内无最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若()2142ln 2f x ax x x =-+-a ()1,0-(),1-∞()0,2()2,+∞1a b +<a b<{}220A x ax x =-+=18a =1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦2210x mx -+≥()+∞{}1,3M =M N N = 0a >0b >21a b +=12a b+22a b +22log log a b +3-24ab+()22,0e ,0x x ax a x f x a x ⎧---<=⎨-⎩≥()f x R (],0-∞()f x ()8,+∞()f x 1x 2x 3x 123x x x <<12313x x x +-(),8ln 2-∞--()f x ()1,1-ABC ∆BC =π3A =A，则的最大值为 .13．设，，，则a ，b ，c 的大小关系为 （用“＜”连接）．14．若存在正实数x ，使得不等式成立，则a 的最大值为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.16.（15分）已知函数．（1）若不等式的解集为，求的表达式；（2）解关于x 的不等式．17.（15分）记中的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求；（2）若，且的周长．18.（17分）如图，四棱锥中，底面，，，．14BF BC =AE AF ⋅ 4log 3a =3log 2b =23c =()2ln 2ln 00ax a x a ⋅⋅->≤()cos f x x x =+()f x ()f x 12π6()g x ()65g α=-π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2212f x kx k x =-++()0f x <()1,2()f x ()0f x <ABC ∆2222sin sin c Cb c a B=+-A a =ABC ∆ABC ∆P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA AC ==1BC =AB =（1）若，证明：平面；（2）若，且二面角．19.（17分）设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”．（1）判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由：（2）若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递减，设A ，B 为函数图象上相异的两点，直线的斜率为k ，试判断“”是否正确，并说明理由；（3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求a 的取值范围．AD PB ⊥AD ∥PBC AD DC ⊥A CP D --AD ()f x ()f x '()1f x '≤x D ∈()f x D ()cos f x x =()2x g x =R ()f x R ()f x R ()f x AB 10k -<≤()()32e e 1x h x ax x a x =+---[]0,12025届高三10月学情调研数学试题参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【详解】因为，，所以，所以，即图中阴影部分表示的集合为.故选：A2.解：命题“，”的否定是“，”.故选：D ．3.【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为，则由，得，所以，所以．故选：B ．4.【详解】若，，则或，则A 错；若，，则或与异面，则B 错；，，由平行的传递性可知，，则C 对；若，，则或相交.，D 错.故选：C ．5.解：因为对任意满足，所以的对称轴为直线，又函数在上单调递减，所以在上单调递增，所以，解得，故选：B ．6.答案：A7.解：因为（），所以.当时，，所以在上单调递增.又.{}31A x x =-<<{}02B x x =≤≤{}|01A B x x =<≤ (){}()0|3,03A A B x x -<<=-= ð()3,0-(),1x ∃∈-∞3210x x +-<(),1x ∀∈-∞3210x x +-≥lh r=2ππl=l=h ==211ππ33V r h ===a b ∥b α⊂a α∥a α⊂a α∥b α⊂a b ∥a b αγ∥βγ∥αβ∥αγ⊥βγ⊥αβ∥x ∈R ()()2f x f x =-()f x 1x =()f x [)1,+∞()f x (),1-∞()()()()22232311f x f x x x ->⇔--<-5,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()22ln f x x x x =-+0x >()2212f x x x=++'0x >()0f x '>()f x ()0,+∞12122ln 2ln f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x =-由，所以.所以.故选：A8.【详解】，，故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根，即关于的方程在上有两个不同的实数根，令，则，所以关于的方程在上有两个不同的实数根，令，，因为在上单调递增，故在上的值域为，因为在上单调递减，故在上的值域为，而，从而实数的取值范围是.故选：C ．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．解：对于A ，由，，得；反之若，而，不能判断与的大小，因此的一个必要不充分条件是，A 正确；对于B ，当时，集合只有一个元素，B 错误；对于C ，，使得成立，即，成立，而函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，()()()100f a f f a f b b ⎪⇒⎛⎫+=-=⎝⎭0a b =>1133b a a a +=+=≥a =()2142ln 2f x ax x x =-+-()22424ax x f x ax x x'-+-=-+-=x 2420ax x -+-=()0,+∞x 22421212x a x x -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭()0,+∞1t x=()0,t ∈+∞t ()2212a t =--+()0,+∞()()2212g t t =--+()0,t ∈+∞()g t ()0,1()g t ()0,1()0,2()g t ()1,+∞()g t ()1,+∞(),2-∞()()()0,2,20,2-∞= a ()0,21a a <+1a b +<a b <a b <1a a <+1a +b 1a b +<a b <0a ={}20A x x =-+=1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦2210x mx -+≥1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦12m x x +≤12y x x =+12⎡⎢⎣⎤⎥⎦3x =max 193y =因此，由，使得成立是假命题，得，C 错误；对于D ，由，得，由，得有4个子集，因此集合N 的个数为4，D 正确.故选：AD10.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A 正确；，根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B 错误；因为，即，当且仅当，即，时取等号，所以，即最大值，故C 错误；，当且仅当，即，时取等号，此时取得最小值，故D 正确．故选：AD ．11.解：对于A，若函数在上单调递增，则，解得，故A 错误；对于B ，若函数有3个零点，则当时，有2个零点，，所以，解得，193m ≤1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦2210x mx -+≥193m >M N N = N M ⊆{}1,3M =M 0a >0b >21a b +=()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥22b a a b =13a b ==12a b+()2222222112541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭25b =15a =22a b +1512a b =+≥18ab ≤122a b ==12a =14b =22221log log log log 38a b ab +==-≤22log log a b +3-24a b +==≥122a b ==12a =14b =24a b +()f x R 0221aa a⎧-⎪⎨⎪--⎩≥≤[]1,0a ∈-()f x 0x <()22a f x x x a -=--1x 2x 21212Δ80020a a x x a x x a ⎧=->⎪+=-<⎨⎪=>⎩8a >当时，有1个零点，则，所以，故B 正确；对于C ，设函数的3个零点分别是，，（），由B 知，，，令，解得，即，设，，得在上单调递减，所以，故C 正确；对于D ，当时，单调递增，，当时，，对称轴为直线，①当，即时，，无最小值；②当，即时，，若有最小值，则，解得，与矛盾，故无最小值；综上任意实数a ，函数在内无最小值，故D 正确；故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．答案：13．解：因为，所以，所以又因为，所以，所以，所以答案为：14.解：由，0x ≥()e x f x a =-1a ≥()8,a ∈+∞()f x 1x 2x 3x 123x x x <<()8,a ∈+∞12x x a +=-()e 0x f x a =-=ln x a =3ln x a =()12331ln 31h a a x x x a =--=+-()8,a ∈+∞()h a ()8,+∞()(),8ln 2h a ∈-∞--[)0,1x ∈()e x f x a =-()[)1,e a a f x ∈--()1,0x ∈-()22f x x ax a --=-2ax =-122a --≥1a ≤()()11211a f f a a a x <-=-+-=--<-122a -<-1a >()()02f x f a <=-()f x 12a a --≤1a -≤1a >()f x ()1,1-118323334⎛⎫> ⎪⎝⎭2334>()44233log 3log 24a =>=323323⎛⎫< ⎪⎝⎭2323<33233log 2log 23b ==<b c a<<b c a<<2ln 2ln 2ln 02log 2ln 2axaxax xa x a x a ⋅⋅-⇒⋅⇒⋅≤≤≤又，所以.设，则，所以在上单调递增.所以（）.设（），则，由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以.因为存在正实数x ，使得不等式成立，所以.即的最大值为：.答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1），由，，解得，，所以函数的单调递减区间为，，（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，所以，0x >2log 2axx x ax ⋅≤()2x f x x =⋅()()22ln 221ln 20x x x f x x x =+⋅⋅'=+⋅>()f x ()0,+∞()()2222log log log 2log axf x f xxx x ax x ax ax a ⇒⇒⇒⋅≥≤≤≤0x >()2log x g x x =0x >()2221log 1ln ln 2ln 2x x x x g x x x '⋅--==()1ln 00e 0x x g x '>⇒>⇒-<<()e 1l 00n x g x x '⇒-<⇒<>()g x ()0,e ()e,+∞()()max 1e eln 2g x g ==()2ln 2ln 00ax a x a ⋅⋅->≤1eln 2a ≤a 1eln 21eln 2()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ππ3π2π2π262k x k +++≤≤k ∈Z π4π2π2π33k x k ++≤≤k ∈Z ()f x π4π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()f x 12()π22sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6()g x ()πππ2sin 22sin 2666g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭若，则，∴，由，得，又，所以，则.16.（15分）解：（1）∵的解集为，∴1，2是方程的根且，∴，∴，∴．（2）当时，，∵，∴，∴；当时，，即，即，当时，，∴或；当时，，（ⅰ）当时，无解；（ⅱ）当时，；（ⅲ）当时，；()65g α=-π62sin 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π3sin 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π5π,612α⎛⎫∈-⎪⎝⎭ππ2π2,623α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭πsin 206α⎛⎫-< ⎪⎝⎭ππ2,062α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭()0f x <()1,2()0f x =0k >()()2120442120k k k k -++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩1k =()232f x x x =-+0k =()2f x x =-+()0f x <20x -+<2x >0k ≠()()()21f x x kx =--()()210x kx --<()120k x x k ⎛⎫--< ⎪⎝⎭0k <()120x x k ⎛⎫--> ⎪⎝⎭2x >1x k <0k >()120x x k ⎛⎫--< ⎪⎝⎭12k =12k >12x k <<102k <<12x k<<综上所述：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．17.（15分）解：（1）在中，由正弦定理得，，因为，所以，化简得，，在中，由余弦定理得，，又因为，所以（2）由，由，得，所以所以，所以所以的周长18.（17分）解：（1）因为平面，而平面，所以，又，，，平面，所以平面，0k <12x k x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或0k ={}2x x >102k <<12x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭12k =∅12k >12x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ABC ∆sin sin C c B b=2222sin sin c C b c a B =+-2222c c b c a b=+-222b c a bc +-=ABC ∆2221cos 22b c a A bc +-==0πA <<π3A =1sin 2ABC S bc A ∆===6bc =2222cos a b c bc A =+-2276b c =+-2213b c +=()222225b c b c bc +=++=5b c +=ABC ∆5a b c ++=+PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD ⊥AD PB ⊥PB PA P = PB PA ⊂PAB AD ⊥PAB而平面，所以．因为，所以，又平面，故，又平面，平面，所以平面．（2）以，为，轴，过点作平面垂直的线为轴，建立如图所示空间直角坐标系：令，则，，，，，，设平面的法向量，所以，设，，所以，设平面的法向量为，所以，设，则，，所以，因为二面角，，解得，所以19.（17分）解：（1），在上恒成立，AB ⊂PAB AD AB ⊥222BC AB AC +=BC AB ⊥,AD BC ⊂ABCD AD BC ∥AD ⊄PBC BC ⊂PBC AD ∥PBC DA DC x y D ABCD z D xyz -AD t =(),0,0A t (),0,2P t ()0,0,0D DC =()C ()AC t =- ()0,0,2AP = ACP ()1111,,n x y z = 11111020n AC tx n AP z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =1y t =10z =)1,0n t = CPD ()2222,,n x y z = 22222200n DP tx z n DC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 2z t =22x =-20y =()22,0,n t =- A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅=== t =AD =()cos f x x =()sin 1f x x '=-≤R故是上的“一阶有界函数”；，，当时，，故不是上的“一阶有界函数”．（2）正确．若函数为上的“一阶有界函数”，则，又在上单调递减，即，所以，令，，所以①当不是常数函数时，在上单调递增，设，，其中，故；又在R 上单调递减，所以，，故；②当是常数函数时，，，，综上，成立（3）函数，若为区间上的“一阶有界函数”，则，对恒成立则，，；，，，则．令，，其中，因为，在区间上单调递增，所以区间上单调递增，∵，，所以存在，使，即，当时，，单调递减；()cos f x x =R ()2x g x =()2ln 2x g x '=1x >()12ln 22ln 1g x '>>=()2x g x =R ()f x R ()1f x '≤()f x R ()0f x '≤()10f x '-≤≤()()F x f x x =+()()10F x f x ''=+≥()F x ()F x R ()11,A x y ()22,B x y 12x x >()()()()()()()11221212121212110f x x f x x f x f x F x F x k x x x x x x +-+--+=+==>---1k >-()f x ()()12f x f x <()()12120f x f x k x x -=<-10k -<<()F x ()F x b =()f x x b =-+()f x x b =-+1k =-10k -<≤()()32e e 1x h x ax x a x =+---()2e 32e 1x h x ax x a =+--+'()h x []0,1()1h x '≤()11h x -'≤≤[0,1]x ∀∈()01h '≤21a -≤13a ≤≤()11h '≤2e 11a -+≤e 2e 22a -≤≤e 12a ≤≤()()2e 32e 1x T x h x ax x a '==+--+()e 62e x T x ax '=+-e 12a ≤≤e xy =6y ax =[]0,1()e 62e x T x ax '=+-[]0,1()012e 0T '=-<()16e 0T a '=->()00,1x ∈()00T x '=00e 62e 0xax +-=00x x <<()0T x '<()T x当，，单调递增．所以，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，所以在区间时有解，因为对称轴为，在区间上单调递减，所以，∴，综上：．01x x <<()0T x '>()T x ()h x '()00,x ()0,1x ()()()02200000min e 32e 1362e 2e 1x h x h x ax x a ax a x a ''==+--+=-++-+()01h x '-≥()00,1x ∈62e e 1163a x a a +==+>()0h x '()00,1x ∈()02e 11h a '=-+>-2e 2a <+e 1,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
江苏2025届高三云帆杯8月学情调研考试数学试卷及答案
2024年云帆杯8月学情调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=022x x x A ，{}51≤≤-∈=x Z x B ，则=⋂B A A.[]2,1- B.{}2,1,0,1- C.[)2,1- D.{}1,0,1-2.若iiz 7111+-=，则=z A.10 B.24 C.5D.283.已知空间向量()1,2,6=→a ，()3,,2-=→x b ，若→→→⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b a 2，则x=A.4B.6C.423 D.4214.已知()31cos =+βα，()23sin =+γβ，063>>>>>βπαγπ，则()=++γβα2sin A.313+ B.6223+ C.313- D.6322-5.已知函数()()1,log 2322≠⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--a ax x ax x f a x x ，在()∞+，0上单调递增，则a 的取值范围为A.[)∞+，3 B.()+∞,3 C.()3,1 D.()∞+，46.已知实数x ,y 满足（x-2）2+（y-3）2=3，则y-2x 的最小值为A.16- B.72-- C.23- D.115--7.锐角△ABC 中，31sin =C ，()41sin =-B A ，AB=8，则AB 边上的高CD 长为A.5236 B.71119 C.3674+ D.28153+8.已知数列{}n a 满足311611n n n a a a a -==+，，记S n 为数列{}n a 的前n 项和。
数列{}n b 满足1+-=n n n a a b ，下列结论一定正确的是A.425<S B.21,21>∈∃∑=-+ni i i b a N n C.3121<∈∀∑=-+ni i i b a N n ， D.525>S 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023_2024学年天津市高三上册开学摸底考试数学学情调查模拟测试卷(附答案)
的面积是
，所以这组的频数就是 200 0.18 36 ，故选 B. 考点：频率分布直方图 5．A 【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的对角线，由此关系可求出球的半径，即可得出 球的体积. 【详解】设球的半径为 R ，由题意可知球的直径即是长方体的体对角线，
1 / 17
则 2R2
32
42
52
故选：D.
7．A 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到 a 2c 4 ，进而求得 b 的值，即可求解.
【详解】由椭圆的几何性质，因为 BF2 F1F2 4 ，可得 a 2c 4 ，
所以 a 4 ， c 2 ，则 b
a2 c2 2
x2 y2 1 3 ，所以椭圆的方程为 16 12 .
3 / 17
(2)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数册望. 18．如图，四边形 ABCD 是正方形， PD 平面 ABCD ， PD//EA ， AD PD 2EA 2 ，F，G，H 分别为 BP，BE，PC 的中点.
AI (1)求证： FG// 平面 PDE ； (2)求平面 FGH 与平面 PBC 夹角的大小； (3)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
P2
C32
2 3
2
1
2 3
2 3
8 27
；
③比赛进行五场，甲队第五场胜，前四场恰好胜二场，输二场，
P3
C24
2 3
2
1
2 3
2
2 3
16 81
，
P( A) 则
P1
P2
P3
x3
2 x4
x1 x2
2
x3 x4
2024届江苏省无锡市四校高三上学期12月调研数学试题及答案
2023-2024学年度12月学情调研试卷高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}24A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B = （ ）A []22-, B. []0,2 C. (]0,2 D. [)2,+∞2. 已知复数z 满足()1i 22i z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）A 2B. 2i -C. 2-D. 2i3. 设平面向量a ，b 均为单位向量，则“2=2+a b a b - ”是“a b ⊥ ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（ ）A 0.48 B. 0.32 C. 0.82 D. 0.685. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是（ ）A.B. 1:C. 2D. 26. 等差数列{}n a各项均为正数，首项与公差相等，151k ==，则2023a 的值为（ ）A. 6069 B. 6079 C. 6089D. 6099...7.已知函数)()ln2f x x =+，正实数,a b 满足(2)(2)4f a f b +-=，则21a b +的最小值为（ ）A. 5 B. 92 C. 4D. 98. 已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数()()2e x f x f x =-，当0x <时，()()0f x f x '->，若()ln 22f a =，()e 1b f =-，15ln 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a c b >> B. c b a >> C. c a b >> D. a b c>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．9. 若a b <且0ab ≠，则下列结论成立的是（ ）A. 11a b >B. 33a b <C. a a b b <D. 23a b<10. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（ ）A. 2ω=B. 6πϕ=C. 对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D. ()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π11. 已知()11,A x y ，()22,B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（ ）A. 若点O 到直线AB 距离为12，则||AB =B. 若AOBπ3AOB ∠=C. 若121212x x y y +=，则点O 到直线AB的D. 111x y +-的最大值为11-12. 在正四棱锥P ABCD -中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++ ，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（ ）A. PQ的最小值是B. 当1x =时，三棱锥P ADQ -体积为定值C. 当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D. 当1x y +=时，AB 与平面PAQ三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．14. 已知向量2a = ，b 在a 方向上的投影向量为3a - ，则a b ⋅= _______.15. 如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L .依次进行“n 次分形”（*N n ∈）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“n 次分形”后所得分形图的长度不小于120，则n 的最小值是______.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）16. 已知函数()32ln ,12,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx =-，当2e k =-时，有()00g x =，则0x =______；若函数()g x 恰好有4个零点，则实数k 的取值范围为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4b c +=，ABC S =△a .18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S a +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列()()1*132N n n n n a n +⎧⎫+-⋅∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥．点M 在棱PB 上，2PM MB =，点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====．（1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：//NQ 平面PAB ；（2）若直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值为23，求PN PC 的值．20. 如图，半径为1的光滑圆形轨道圆1O 、圆2O 外切于点M ，点H 是直线12O O 与圆2O 的交点，在圆形轨道1O 、圆2O 上各有一个运动质点P ，Q 同时分别从点M 、H 开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点P ，Q 运动的角速度之比为2：1，设点Q 转动的角度为θ，以1O 为原点，12O O 为x 轴建立平面直角坐标系．（1）若θ为锐角且πsin 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求P 、Q 的坐标；（2）求PQ 的最大值．21. 已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆22:6270M x y x y +--+=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，若2AP AQ k k =+，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标.22. 已知函数()222ln f x ax x x =--.（1）若()f x 在定义域内单调，求实数a 的取值范围；（2）若52a ≤，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，求m n -的取值范围.2023-2024学年度12月学情调研试卷高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}24A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B = （ ）A. []22-, B. []0,2 C. (]0,2 D. [)2,+∞【答案】C【解析】【分析】解二次不等式和对数函数的性质化简集合,A B ,再取交集即可得解.【详解】由24x ≤，可得22x -≤≤，所以{}[]242,2A x x =≤=-，由对数函数的性质得{}()2log 0,B x y x ∞===+，则(0,2]A B ⋂=.故选：C.2. 已知复数z 满足()1i 22i z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）A. 2B. 2i -C. 2-D. 2i 【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算求得z ，进而求得z ，由此得解.【详解】因为()1i 22i z +=-，所以()()()()21i 1i 22i 2i 1i 1i 1i z ---===-++-，则2i z =，所以z 的虚部为2.故选：A.3. 设平面向量a ，b 均为单位向量，则“2=2+a b a b - ”是“a b ⊥ ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】将2=2+a b a b - 两边平方，化简后即可得a b ⊥ ，由此即可选出答案.【详解】因为2=2+a b a b -⇔ 22224+4=4+4+a a b b a a b b-⋅⋅ =0a b ⇔⋅ a b⇔⊥ ，所以“2=2+a b a b - ”是“a b ⊥ ”的充分必要条件，故选：C .4. 北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（ ）A. 0.48B. 0.32C. 0.82D. 0.68【答案】D【解析】【分析】根据题意直接求解出椭圆的实半轴长和半焦距，进而求解.【详解】由题意可知椭圆实轴长220086002174012280a =++⨯=，所以6140a =，焦距22(2001740)21228038808400c a =-+⨯=-=，所以4200c =，所以椭圆的离心率42000.686140c e a ==≈，故选：D.5. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是（ ）A. B. 1: C. 2 D. 2【答案】A【解析】【分析】设圆锥母线长为l ，小圆锥半径为r 、高为h ，大圆锥半径为R ，高为H ，根据侧面积之比可得2R r =，再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到3l r =，利用勾股定理得到,h H 关于r 的表达式，从而将两个圆锥的体积都表示成r 的表达式，求出它们的比值即可.【详解】设圆锥母线长为l ，侧面积较小的圆锥半径为r ，侧面积较大的圆锥半径为R ，它们的高分别为h 、H ，则π:(π)=1:2rl Rl ，得2R r =，因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，所以+2π=×2πr R l，得3l r =，再由勾股定理，得h ==，同理可得H ==，所以两个圆锥的体积之比为：2211π:π433r r r ⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.6. 等差数列{}n a各项均为正数，首项与公差相等，151k ==，则2023a 的值为（ ）A. 6069B. 6079C. 6089D. 6099【答案】A【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，结合等差数列的通项公式，利用裂项相消法化简方程求出d ，由此得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，因为首项1a 与公差d 相等，所以()11n n d d a n a =+-=，1d ==，151k ==所以15111k d d ===-==，所以3d =，所以20232023202336069a d =⨯=⨯=，故选：A ．7. 已知函数)()ln2f x x =+，正实数,a b 满足(2)(2)4f a f b +-=，则21a b +的最小值为（ ）A. 5 B. 92 C. 4 D. 9【答案】B【解析】【分析】先判断函数的对称性与单调性，从而得到22a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为)()ln 2f x x =+，所以()()))ln 2ln 24f x f x x x +-=++-+=，故函数()f x 关于()0,2对称；又()f x 的定义域为R ，())ln 2f x x =++，所以由复合函数的单调性可判断()f x 在R 上单调递增；又(2)(2)4f a f b +-=，所以220a b +-=，即22a b +=，又0,0a b >>，故()21122122252b a a b a b a a b =⎪⎛⎛⎫++++ ⎝⎝⎭=19522⎛≥+= ⎝，当且仅当22b a a b =，即23a b ==时，等号成立. 所以21a b +的最小值为92.故选：B.8. 已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数()()2e x f x f x =-，当0x <时，()()0f x f x '->，若()ln 22f a =，()e 1b f =-，15ln 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a c b>> B. c b a >> C. c a b >> D. a b c >>【答案】B【解析】【分析】构造函数()()e x f x g x =，研究()g x 的奇偶性、单调性，从而比较大小得解.【详解】令()()ex f x g x =，因为0x <时，()()0f x f x '->，所以当0x <时，()()()0e x f x f x g x '-'=<，则()g x 在(,0)-∞上单调递减，因为()()e x f x g x =的定义域为R ，又()()2e x f x f x =-，则()()e ex x f x f x --=，所以()()(()e)e x x g f x f x x g x ---===，所以()g x 为偶函数，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，又()()ln 2ln 22f a g ==，()()()e 111b f g g =-=-=，()()115ln ln ln 5ln 555c f g g g ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而ln 51ln 2>>，所以()()()ln 51ln 2g g g >>，即c b a >>.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的解决关键是观察条件，构造出()()ex f x g x =，从而得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．9. 若a b <且0ab ≠，则下列结论成立的是（ ）A. 11a b >B. 33a b <C. a a b b <D. 23a b<【答案】BC【解析】【分析】举例说明判断AD ；利用不等式性质推理判断BC.【详解】对于A ，取1,1a b =-=，满足a b <，此时1111a b=-<=，A 错误；对于B ，a b <，由不等式性质知，33a b <成立，B 正确；对于C ，当0a b <<时，0a a b b <<，当0a b <<，0||||a b <<，则a a b b <，当0a b <<时，0a b ->->，||||0a b >>，则||||0a a b b ->->，于是a a b b <，因此若a b <且0ab ≠，则a a b b <成立，C 正确；对于D ，取3,2a b =-=-，满足a b <，而112389a b =>=，D 错误故选：BC 10. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象如图所示，则（ ）A 2ω=B. 6πϕ=C. 对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D. ()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π【答案】AB【解析】【分析】利用图象求得函数()f x 的解析式，可判断AB 选项的正误；计算512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.【详解】由题图可知函数()f x 的最小正周期为4113126T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则22πωπ==，所以，()()sin 2f x x ϕ=+，把,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，2πϕ< ，6πϕ∴=，则AB 选项均正确；()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当512x π=时，()0f x =，不满足对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，C 错误；[],x ππ∈- ，11132,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，.的.则()f x 共有4个零点，不妨设为a 、b 、c 、d ，且a b c d <<<，则222662a b πππ⎛⎫+++=⨯- ⎪⎝⎭，3222662c d πππ+++=⨯，两式相加，整理得422223a b c d π+++=，故()f x 的所有零点之和为23a b c d π+++=，D 错误，故选：AB.11. 已知()11,A x y ，()22,B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（ ）A. 若点O 到直线AB 的距离为12，则||AB =B. 若AOB π3AOB ∠=C. 若121212x x y y +=，则点O 到直线ABD. 11x y +11-【答案】AC【解析】【分析】利用弦长公式判定选项A 正确；先利用三角形的面积公式求出sin AOB ∠=判定选项B 错误；利用数量积的计算公式求出1cos 2AOB ∠=，进而判定三角形的形状判定选项C 正确；设1cos x θ=，1sin y θ=，且02π≤≤θ，利用辅助角公式和三角函数的性质判定选项D 错误.【详解】对于A ：易知圆O ：221x y +=的半径1r =，因为点O 到直线AB 的距离12d =，所以||AB ===即选项A 正确；对于B ：因为AOB所以1||||sin 2OA OB AOB ∠=，即1sin 2AOB ∠=，解得sin AOB ∠=，因为0πAOB <∠<，所以π3AOB ∠=或2π3AOB ∠=，即选项B 错误；对于C ：因为121212x x y y +=，所以12OA OB ⋅= ，即1||||cos 2OA OB AOB ⋅∠= ，即1cos 2AOB ∠=，因0πAOB <∠<，所以π3AOB ∠=，即AOB 是边长为1的等边三角形，所以点O 到直线AB即选项C 正确；对于D ：由题意设1cos x θ=，1sin y θ=，且02π≤≤θ，则11π1cos sin 14x y θθθ⎛⎫+-=++- ⎪⎝⎭因为02π≤≤θ，所以ππ9π444θ≤+≤，则π1sin(14θ-≤+≤，π)4θ≤+≤π1114θ-≤+-≤-，所以π0|1|14θ≤+-≤+，即110|1|1x y ≤+-≤，即选项D 错误.故选：AC.12. 在正四棱锥P ABCD -中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++ ，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（ ）为A. PQ 的最小值是B. 当1x =时，三棱锥P ADQ -的体积为定值C. 当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D. 当1x y +=时，AB 与平面PAQ 【答案】ABD【解析】【分析】根据向量关系可得Q 为正方形ABCD 内的点(包括边界)，设AC BD O = ，根据正棱锥的性质结合条件可得PQ PO ≥ 判断A ，根据棱锥的体积公式结合条件可判断B ，根据线面角的求法结合条件可判断C ，利用坐标法表示出线面角，然后利用导数求最值可判断D.【详解】由PQ PA x AB y AD =++ ，可得PQ PA AQ x AB y AD -==+ ，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，所以Q 为正方形ABCD 内的点(包括边界)，在正四棱锥P ABCD -中，AB =，PA =，设AC BD O = ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，1,OA OB PO ===，对A ，由题可知PQ PO ≥= ，当,Q O 重合时取等号，故A 正确；对B ，当1x =时，AQ AB y AD =+ ，即BQ y AD = ，故Q 在线段BC 上，因为//AD BC ，所以三角形ADQ 的面积为定值，而三棱锥P ADQ -的高PO 为定值，故三棱锥P ADQ -的体积为定值，故B 正确；对C ，当x y =时，()AQ x AB AD xAC =+= ，故Q 在线段AC 上，由题可知,,,,PO OB OB OA PO OA O PO OA ⊥⊥⋂=⊂平面PAC ，故OB ⊥平面PAC ，所以PO 为PB 在平面PAC 内的射影，BPQ BPO ∠≥∠，而在Rt POB △中，tan BPO ∠==>，所以π6BPO ∠>，π6BPQ ∠>，故PB 与PQ 所成角不可能为π6，故C 错误；对D ，当1x y +=时，AQ x AB y AD =+ ，故Q 在线段BD 上，如图以O 为原点建立空间直角坐标系，设()()0,,011Q t t -≤≤，则()()(1,0,0,0,1,0,A B P ，所以()(()1,1,0,,1,,0AB AP AQ t =-=-=- ，设平面PAQ 的法向量为(),,m a b c =，则00m AP a m AQ a tb ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令b =，则)m t = ，设AB 与平面PAQ 所成角为α，所以sinα=，设()()22132t f t t -=+，[]1,1t ∈-，则()()()()()()()()2222222132611643232t t t t t t f t t t -+---+==++'，所以当21,3t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()()0,f t f t '>单调递增，当2,13t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,f t f t '<单调递减，所以()22max 21253362323f t f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-== ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，sin α≤=，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量关系结合条件得到点Q 的位置，然后结合条件利用立体几何知识解决即得.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．【答案】103-【解析】【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“2[1,3],x x ∀∈+10ax +≤”是真命题．令2()1([1,f x x ax x =++∈3])，则()()120,33100,f a f a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩ 解得103a ≤-，故实数a 的最大值为10.3-故答案为：10.3-14. 已知向量2a = ，b 在a 方向上的投影向量为3a - ，则a b ⋅= _______.【答案】12-【解析】【分析】利用投影向量公式即可得解.【详解】因为b 在a 方向上的投影向量为3a - ，2a = ，所以3b a a a a a ⋅⋅=- ，即34b a a a ⋅⋅=- ，所以12a b ⋅=- .故答案为：12-.15. 如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L .依次进行“n 次分形”（*N n ∈）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“n 次分形”后所得分形图的长度不小于120，则n 的最小值是______.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】13【解析】【分析】依题意可得“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为43的等比数列，从而可得到“n 次分形”图的长度为1443n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，列出不等式，结合*n ∈N ，即可求解．【详解】依题意可得“n 次分形”图的长度是“n 1-次分形”图的长度的43，由“一次分形”图的长度为14343⨯⨯=，所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为43的等比数列，所以“n 次分形”图的长度为1443n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故1441203n -⎛⎫⨯≥ ⎪⎝⎭，即14303n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边取对数得()()12lg 2lg 31lg 3n --≥+，所以1lg 310.4771111.82lg 2lg 320.3010.4771n ++-≥≈≈-⨯-，则12.8n ≥，又*n ∈N ，故n 的最小整数值是13．故答案为：13．16. 已知函数()32ln ,12,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx =-，当2e k =-时，有()00g x =，则0x =______；若函数()g x 恰好有4个零点，则实数k 的取值范围为_________.【答案】①. 0或 ②. 20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】分1x ≥和1x <两种情况，结合导函数判断出函数单调性，求出零点；先得到0为()g x 的一个零点，再参变分离，构造()[)()()22ln ,1,2,,00,1x x t x x x x ∞∞⎧∈+⎪=⎨⎪-+∈-⋃⎩，只需()k t x =有3个零点，画出()t x 的图象，数形结合得到答案.【详解】当2e k =-时，()00g x =，即()200e 0f x x +=，当1x ≥时，2002ln e 0x x +=，令()22ln e h x x x =+，1x ≥，()22e 0h x x'=+>在[)1,+∞上恒成立，故()22ln e h x x x =+在[)1,+∞上单调递增，又()21e 0h =>，故()22ln e 0h x x x =+>在[)1,+∞恒成立，无解，当1x <时，320002e 0x x x -++=，即()22002e0x x -++=，故00x =或2202e 0x -++=，解得00x =或，1>舍去，其余两个满足要求，当0x =时，302000k -+⨯-⋅=，故0为()g x 的一个零点，当0x ≠时，令()0g x =，当1x ≥时，2ln x k x=，当()(),00,1x ∈-∞ 时，22x k -+=，令()[)()()21,2,,00,1x t x x x ∞∞∈+=⎪-+∈-⋃⎩，当1x ≥时，()222ln x t x x -'=，当e x >时，()0t x '<，()t x 单调递减，当1x e ≤<时，()0t x '>，()t x 单调递增，故()t x 在e x =时取得极大值，也是最大值，且()2e et =，且当1x >时，()0t x >恒成立，画出其图象如下，要想()k t x =有3个不同的零点，只需20ek <<；故答案为：0或；20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4b c +=，ABC S =△a .【答案】（1）π3A =（2）a =【解析】【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式、辅助角公式化简即可得解；（2）根据三角形的面积公式及余弦定理即可得解.【小问1详解】因为cos sin 0a C Cbc +--=由正弦定理得： sin cos sin sin sin A C A C B C +=+即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++，所以sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C+=++cos 1A A -=，故π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由A 为三角形内角可得ππ66A -= ，π3A ∴=.【小问2详解】1sin 2ABC S bc A === △，3bc ∴=，由余弦定理()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，又4b c +=，代入得a =.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S a +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列()()1*132N n n n n a n +⎧⎫+-⋅∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a n -=⋅（2）()231311444n n T n n ⎡⎤--⎣⎦=++【解析】【分析】（1）由,n n S a 关系消n S 得递推关系，再构造等差数列求通项；（2）由等差与等比数列特点分组求和.【小问1详解】由221n n n S a +=+①当1n =时，11221S a +=+，所以11a = 当2n ≥时，111221n n n S a ---+=+②①②式相减得11221n n n a a --+=+，即1122n n n a a ---= 两边同除以2n 得，111222n n n n a a ---=，又1122a =，所以数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-=，则12n n a n -=⋅【小问2详解】22n n a n =，可知数列2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，可知数列(){}113n n +-⋅是以3为首项，3-为公比的等比数列，()()1131392713222n n n n T +⎛⎫⎡⎤=++++++-++-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭()13132221(3)n n n ⎛⎫+⎡⎤ ⎪--⎝⎭⎣⎦=+-- ()231311444n n n ⎡⎤--⎣⎦=++19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥．点M 在棱PB 上，2PM MB =，点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====．（1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：//NQ 平面PAB ；（2）若直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值为23，求PN PC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）13PN PC =【解析】【分析】（1）根据相似可得线线平行，即可由线面平行的判定求解，（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角，即可求解.【小问1详解】证明：过M 作BC 的平行线交PC 于H ，连接HD ，∴PM PH MH PB PC BC ==，又2PM MB = ，∴23PH PC =，13HC PC ∴=，又2CN NP =，NH PN HC ∴==，N ∴为PH 的中点，又Q 为PD 的中点，//NQ HD ∴，又223MH BC ==，又2AD =，//AD BC ， //AD MH ∴，且AD MH =，∴四边形MHDA 是平行四边形，//HD MA ∴，//NQ AM∴，NQ ∴⊄平面PAB ， AM ⊂平面PAB ，//NQ ∴平面PAB【小问2详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，4(3M ，0，2)3，(0P ，0，2)．(2C ，3，0)，∴4(3AM = ，0，23，(0AP = ，0，2).(2PC = ，3，2)-，∴设(2PN PC λλ== ，3λ，)2)(01λλ-≤≤，∴(0AN AP PN =+= ，0，2)(2λ+，3λ，2)λ-，=(2,3λλ，22)λ-设平面AMN 的一个法向量为(n x = ，y ，)z ，则4203323(22)0n AM x z n AN x y z λλλ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++-=⎩ ，令1x =，则2z =-，463y λλ-=，∴平面AMN 的一个法向量为(1n = ，463λλ-，2)-， 设直线PA 与平面AMN 所成角为θ，sin |cos AP θ∴=<，2|||3||||AP n n AP n ⋅>===⋅ ，则13λ=13PN PC ∴=20. 如图，半径为1的光滑圆形轨道圆1O 、圆2O 外切于点M ，点H 是直线12O O 与圆2O 的交点，在圆形轨道1O 、圆2O 上各有一个运动质点P ，Q 同时分别从点M 、H 开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点P ，Q 运动的角速度之比为2：1，设点Q 转动的角度为θ，以1O 为原点，12O O 为x 轴建立平面直角坐标系．（1）若θ为锐角且πsin 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求P 、Q 的坐标；（2）求PQ 的最大值．【答案】（1）724,2525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；134,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2【解析】【分析】（1）由已知条件求出πcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则利用正弦的两角和公式可求出ππsin sin 44θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而可得cos θ，sin 2,cos 2θθ的值，进而可求得P 、Q 的坐标；（2）根据题意得()cos 2,sin 2P θθ，()2cos ,sin Q θθ+，则()()222cos 2cos 2sin 2sin QP θθθθ=--+-，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值.【小问1详解】因为θ为锐角，所以,444πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为πsin 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πcos 4θ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭所以ππ4sin sin 445θθ⎡⎤⎛⎫=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3cos 5θ==，所以24sin 22sin cos 25θθθ==，27cos 22cos 125θθ=-=-，所以134,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，724,2525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【小问2详解】因为点P ，Q 分别运动的角速度之比为2：1，所以当点Q 转动的角度为θ时，P 转动角度为2θ，因此()cos 2,sin 2P θθ，()2cos ,sin Q θθ+．()()222cos 2cos 2sin 2sin QP θθθθ=--+-2222cos 2cos 42cos 2cos 4cos 24cos sin 2sin 2sin 2sin θθθθθθθθθθ=++--+++-()62cos 2cos sin 2sin 4cos 24cos θθθθθθ=-+-+64cos 22cos θθ=-+28cos 2cos 10θθ=-++，所以当1cos 8θ=时，2PQ 取得最大值211818210888⎛⎫-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，所以PQ 的最大值为21. 已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆22:6270M x y x y +--+=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，若2AP AQ k k =+，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2213x y += （2）证明见解析，该定点坐标为()1,1--【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，由点到直线的距离公式即可求解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可由斜率公式代入化简求解.【小问1详解】由题意()()0,1,,0A F c ，则直线AF 的方程为：0x cy c +-= 可知圆的标准方程为()()22313x y -+-=，，则22c =，又1b =，2223a b c ∴=+=，所以椭圆C 的方程为2213x y += 【小问2详解】设()()1122,,,P x y Q x y若直线PQ 斜率不存在，设x t =，则2213t y +=，120y y ∴+= 121211222AP AQ y y y y k k t t t t--+-+=+==-=，1t ∴=-直线PQ ：=1x -.若直线PQ 的斜率存在，设直线方程为()1y kx m m =+≠由2233x y y kx m⎧+=⎨=+⎩()222136330k x mkx m ⇒+++-= ()()222236413330m k k m ∆=-+-> 即22310k m +-> 由韦达定理12221226133313mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 1212112AP AQ y y k k x x --+=+=1212112kx m kx m x x +-+-+= ，即()()()12122210(1)k x x m x x m -+-+=≠ ()()()22233160k m m km ----⋅=，化简得1k m =+，的则直线PQ 方程为1y kx k =+-过定点()1,1--，综上，直线l 过定点()1,1--.22. 已知函数()222ln f x ax x x =--.（1）若()f x 在定义域内单调，求实数a 的取值范围；（2）若52a ≤，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，求m n -的取值范围.【答案】（1）2a ≤（2）150,4ln 24⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出()()22220x ax f x x x-+-'=>，根据题意可知在()0,∞+上()0f x '≥恒成立或()0f x '≤恒成立，再根据二次函数2222y x ax =-+-开口向下，可得()0f x '≤恒成立，即22220x ax -+-≤恒成立，分离参数，从而可求得答案；（2）由（1）可得522a <≤，利用导数设()0f x '=的两根为12,x x ，不妨设1201x x <<<，利用韦达定理可求得1212,x x x x +，求得函数的极值，从而求得m n -关于12,x x 的表达式，令12x t x =，根据2122111722,4x x t a t x x ⎛⎫+=+=-∈ ⎪⎝⎭，求得t 的范围，再构造函数()12ln g t t t t =-+，利用导数求出函数()g t 的最值，即可得出答案.【小问1详解】解：()()22222220x ax f x a x x x x-+-'=--=>，因为()f x 在定义域内单调，所以在()0,∞+上()0f x '≥恒成立或()0f x '≤恒成立，即22220x ax -+-≥或22220x ax -+-≤恒成立，因为二次函数2222y x ax =-+-开口向下，故22220x ax -+-≥不可能恒成立，所以22220x ax -+-≤恒成立，即1a x x ≤+，因为12x x +≥，当且仅当1x x=，即1x =时，取等号，所以2a ≤；【小问2详解】解：由（1）可得，要使()f x 有极大值和极小值，则522a <≤，令()22220x ax f x x-+-'==，即210x ax -+=，设方程的两根为12,x x ，则有1212,1x x a x x +==，不妨设1201x x <<<，则当10x x <<和2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以()()()()21,f x f x f x f x ==极大值极小值，即()2222211122ln 22ln m n ax x x ax x x -=-----()()()2221212122ln ln a x x x x x x =-----()22112ln x a x x x =--()()1212122lnx x x x x x =+-+222111222ln x x x x x x -=+2111222ln x x x x x x =-+，令()12,0,1x t t x =∈，因为()222121221212211212211722,4x x x x x x x x t a t x x x x x x +-+⎛⎫+=+===-∈ ⎪⎝⎭，则1174t t +≤，所以114t ≤<，令()112ln ,,14g t t t t t ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，则()222122110t t g t t t t-+-'=--+=<，所以函数()g t 在1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以()()114g g t g ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，即()1504ln 24g t <≤-，即150,4ln 24m n ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了导数的应用，函数的单调性及构造法的应用，函数最值的求法，考查了函数的极值问题，考查了学生的数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大.。
江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则实数的值为（ ）A. B. C.12D.62.已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（A. B.C. D.4.若，则点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.7.如图，在四边形中，的面积为3，{}{}21,2,3,4,70U Mx x x p ==-+=∣{}U 1,2M =ðp 6-12-,a b ∈R 1122log log a b >22a b <x 20x bx c ++>{2xx <-∣5}x >x 210cx bx ++>)11,,25∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,,52∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,25⎛⎫- ⎪⎝⎭11,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ24α-<<-()sin cos ,tan sin P αααα+-()11,2,2x a x x f x xa x -⎧+-≥⎪=⎨⎪<⎩R a ()0,1(]1,2(]1,4[]2,4()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π6π6x =ϕ=π6π32π35π6ABCD ,cos AB AD B ACB BC ACD ∠⊥===V则长为（ ）8.已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（ ）A.为奇函数B.为偶函数C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各结论正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.命题“，有”的否定是“，使”的最小值为2D.若，则10.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ）A.越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B.该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5C.该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A.的图像关于轴对称CD ()(),f x g x (),f x R ()()()()40,021f x f x g g ++-===()()()()g x y g x y g x f y ++-=()f x ()g x ()()11g x g x --=-+()()11g x g x -=+0x y≥0xy ≥0x ∀>20x x +>0x ∃>20x x +≤+0,0a b m <<<a a m b b m+>+()210,N σσ()9.8,10.2()9.8,10.2()9.9,10.3()cos2cos f x x x =+()f x yB.不是的一个周期C.在区间上单调递减D.当时，的值域为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.13.已知__________.14.若对一切恒成立，则的最大值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知（1）化简；（2）若，求的值.16.（15分）已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.17.（15分）在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年π()f x ()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 2⎤⎥⎦2,20x x x a ∀∈-+>R a πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ln 2ax x b ≥+()0,x ∞∈+b a()()()23ππsin cos tan π22πsin πcos 2f αααααα⎛⎫⎛⎫-+⋅-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()fα()2f α=3cos2sin2αα-,A BCD AD -⊥,,4,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===P AD Q BC M DQ PM ∥ABC M DQ Q BC DQ ABC的月份”线性相关.根据统计得下表：月份123456销量101931455568（1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望18.（17分）已知锐角的内角，所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若在上有两个极值点.①求实数的取值范围：②求证：.xy x y ˆ10yx t =+X X ABC V A B C ､､a b c ､､1cos c A b A=B 2b =ABC V ()()2e 23x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦()f x R ()f x ()0,312,x x a ()()2124e f x f x <2024—2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试参考答案1.C2.A3.C4.C5.B6.D7.B8.D9.BD 10.BC 11.ABD12. 13.14.13.（1）.（2）由（1）得，所以14.（1）连结因为平面平面，平面平面，所以，又因为是的中点，所以是中点.（2）方法一：因为底面，如图建立坐标系，则，可得，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，(],1∞-19-12()()()()2cos sin tan tan sin sin f ααααααα-⋅⋅==--⋅-tan 2α=-()22223cos sin 2sin cos 3cos2sin2sin cos αααααααα--⋅-=+2233tan 2tan 31241tan 141ααα---+===-++AQPM∥,ABC PM ⊂ADQ ADQ ⋂ABC AQ =PM ∥AQ P AD M DQ AD ⊥,BCD BC CD ⊥()()()()2,0,0,0,2,0,2,0,4,0,1,0D B A Q ()2,1,0DQ =- ()()2,0,4,0,2,0CA CB == ABC (),,n x y z = 24020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 0,20y x z ∴=+=1z =0,2y x ==-()2,0,1n =-，设直线与平面所成角为，又则.因此直线与平面所成角的余弦值为.方法二：过点作交于，连接，因为底面底面，则，且平面，则平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即为直线与平面所成角.在中，，则，所以，又则.所以直线与平面所成角的余弦值为.17.解：（1），，又回归直线过样本中心点，所以，得，4cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅<>=== DQ ABC 4,sin cos ,5DQ n θθ∴=<>= π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3cos 5θ=DQ ABC 35D DN AC ⊥AC N QN AD ⊥,BCD BC ⊂BCD AD BC ⊥,,,BC CD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂ACD BC ⊥ACD DN ⊂ACD BC DN ⊥AC BC C ⋂=,AC BC ⊂ABC DN ⊥ABC DQN ∠DQ ABC Rt ACD V 2,4CD AD ==AC =DN =DQ QN ==3cos 5QN DQN QD ∠==DQ ABC 35123456 3.56x +++++==101931455568386y +++++==()x y 3810 3.5t =⨯+3t =所以，当时，，所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售73台；（2）因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为，所以所以所以的分布列为：012故数学期望18.（1）由，得，即根据正弦定理，得.因为，所以，即因为，所以，所以，又则.（2）在中由正弦定理得：所以，ˆ103yx =+7x =ˆ73y =38y =4,5,60,1,2X =()()()21123333222666C C C C 1310,1,2C 5C 5C 5P X P X P X ⋅=========X XP 153515()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=1cos c A b A =1cos c b A =sin cos c A b A =+sin sin sin cos C B A B A =+()()sin sin πsin C A B A B ⎡⎤=-+=+⎣⎦sin cos cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+sin cos sin A B B A=()0,πA ∈sin 0A ≠tan B =()0,πB ∈π6B =ABC V sin sin sin a b c A B C ==4sin ,4sin a A c C ==215πsin 4sin sin 4sin sin 2sin cos 26ABC S ac B A C A A A A A ⎛⎫===-=+ ⎪⎝⎭V πsin22sin 23A A A ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，所以，即.所以，所以所以即面积的取值范围为19.（1）当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即或时，令，得或令综上所述：当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当或时，的单调递增区间是和单调减区间是（2）①因为在有两个极值点，所以在有两个不等零点，所以解得，所以实数的取值范围为②由①知.所以同理.ABC V π025ππ062A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ32A <<ππ2π2,333A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭πsin 23A ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(2ABC S ∈+V ABC V (2+()()2e 1,x f x x ax x '-=+∈R 2Δ40a =-≤22a -≤≤()0f x '≥()f x R 2Δ40a =->2a <-2a >()0f x '>x <x >()0f x '<x <<22a -≤≤()f x (),∞∞-+2a <-2a >()f x ∞⎛- ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()f x ()0,312,x x ()21g x x ax =-+()0,312,x x ()()2Δ4003201031030a a g g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=->⎪⎩1023a <<a 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1212,1x x a x x +==()()()()1112111111e 23e 123e 22x x x f x x a x a ax a x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+++=--+++=-++⎣⎦⎣⎦()()222e 22x f x x a =-++所以.设所以，所以函数在区间上单调递减，所以，所以()()()()()()1212121212221e 2222e 422(2)x x x x f x f x x a x a x x a x x a ++⎡⎤⎣⎦=-++-++=-++++()()22e 422(2)e 8a a a a a a ⎡⎤=-+++=-⎣⎦()()210e 8,2,3x h x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()()e 420x h x x x =-+-<'()h x 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()()224e h x h <=()()2124e f x f x <。
江苏省盐城市2023-2024学年高三第一学期学情调研考试数学试题(含答案)
江苏省盐城市2023-2024学年高三第一学期学情调研考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合P＝{x|y＝}，Q＝{y|y＝}，则P∩Q＝( )A. ∅B. [0，＋∞)C. [－1，＋∞)D. [1，＋∞)2. 若复数z满足zz＝2，则|z|为( )A. 1B.C. 2D. 43. 若数列{a n}满足a n＋1＝，n∈N*，则“a1＝2”是“{a n}为单调递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图，某炮兵从地平面A处发射一枚炮弹至地平面的另一处B，假设炮弹的初始速度为v0，发射方向与地平面所成角为α(0＜α＜)，根据物理知识可知，在不计空气阻力的情况下，炮弹飞行过程中的水平距离x＝(v0cos α)t，竖直距离y＝(v0sin α)t－gt2，其中t为炮弹的飞行时间，g为重力加速度，对于给定的初始速度v0，要使炮弹落地点的水平距离AB最大，则发射角α应为( )A. B. C. D.5. 若函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)在(0，)上单调，则ω的取值范围是( )A. (1，＋∞)B. [1，＋∞)C. (0，1)D. (0，1]6. 在各项为正数的无穷等差数列{a n}中，公差d≠0，若数列{}的前n项和为S n，则( )A. S2n＝B. S2n＞C. S2n＜D. 以上均不对7. 若x＞0，y＞1，则＋的最小值为( )A. 1B. 4C. 8D. 128. 已知a＝－2，b＝ln 2，c＝1－，则( )A. b＞c＞aB. b＞a＞cC. a＞b＞cD. c＞b＞a二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9. 在复数范围内，方程x2＋x＋1＝0的两根记为x1，x2，则( )A. x1＋x2＝1B. x1x2＝1C. |x1－x2|＝D. x1－x2＝±10. 在△ABC中，|＋|＝|－|＝4，·＝4，则( )A. B＝B. A＝C. AC＝2D. △ABC的面积为411. 已知数列{a n}满足a n＋2a n－1＝k n，n∈N*，n≥2，则( )A. 当k＝0且a1≠0时，{a n}是等比数列B. 当k＝1时，是等比数列C. 当k＝－2时，是等差数列D. 当k＝－3且a1＝－3时，是等比数列12. 在△ABC中，若A＝nB(n∈N*)，则( )A. 对任意的n≥2，都有sin A＜n sin BB. 对任意的n≥2，都有tan A＜n tan BC. 存在n，使sin A＞n sin B成立D. 存在n，使tan A＞n tan B成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若不等式x2－2x≤a对任意a∈[0，3]都成立，则实数x的取值范围是________．14. 在△ABC中，已知AB＝3，AC＝4，BC＝3，则·的值为________．15. 若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，x1＋2x3＝x2，则a＋b的最大值为________．16. 若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α，则称点P为△ABC的勃罗卡点，α为△ABC的勃罗卡角．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若勃罗卡点P满足＝＝，则∠ABC与勃罗卡角α的正切值分别为________、________．(第1空2分，第2空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x.(1) 求g(x)的最小值；(2) 求函数h(x)＝的值域．18.(本小题满分12分)已知正项递增等比数列{a n}的前n项和是S n，且S3＝91，a1a3＝81.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 记a n的个位数为b n，求数列{a n b n}的前2n项和T2n.19.(本小题满分12分)若函数f(x)＝2sin (ωx＋)在(0，π)内恰有两个零点，其中ω∈N*.(1) 求ω的值；(2) 若f(x)＝，求的值．20.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足c＝2，(2a＋c)cos B＋b cos C＝0.(1) 若A＝，求△ABC的面积；(2) 若点D满足＝2，△BCD的面积是2，求的值．21.(本小题满分12分)“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．“大衍数列”{a n}的前几项分别是0，2，4，8，12，18，24，…，且{a n}满足a n＝其中k∈N*.(1) 求a2k(用k表示)；(2) 设数列{b n}满足b n＝其中k∈N*，T n是{b n}的前n项的积．求证：ln T n≤n2－n，n∈N*.22.(本小题满分12分)已知f(x)＝e x(1－x).(1) 求函数g(x)＝f(x)＋e x－e的最大值；(2) 设f(x1)＝f(x2)＝t，x1≠x2，求证：x1＋x2＜2t－－1.数学答案及评分标准1. D2. B3. A4. B5. D6. B7. C8. C9. BC 10. ABC 11. ACD 12. AD13. [0，2] 14. －8 15. 16. 17. 解：(1) ∵f(x)＋g(x)＝e x, ①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，∵f(x) 为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵g(x) 为偶函数，∴g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝e－x, ②由①②得f(x)＝(e x－e－x)，g(x)＝(e x＋e－x)，(2分)由基本不等式得e x＋e－x≥2＝2, 当且仅当x＝0时取等号，故[g(x)]min＝1.(5分)(2) h(x)＝＝＝＝1－，(6分)h(x)的定义域为(－∞，＋∞)，设t＝e2x＋1，y＝1－，由指数函数的性质可得t的取值范围是(1，＋∞)，由反比例函数的性质可得的取值范围是(0，2)，故1－的取值范围是(－1，1)，故函数h(x)的值域为(－1，1).(10分)注：h(x)＝的解析式化简为1－得1分；值域(－1，1)两个边界值对1个得2分；其他方法参照评分．18. 解：(1) 设等比数列{a n}的公比为q.∵数列{a n}为正项递增的等比数列，∴a1>0，q>1，则S3＝a1(1＋q＋q2)＝91，a1a3＝q2＝81，(3分)解得故a n＝9n－1.(5分)(2) 当n为奇数时，a n的个位数为1，b n＝1，(6分)当n为偶数时，a n的个位数为9，b n＝9，(7分)故T2n＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a2n b2n＝(a1b1＋a3b3＋…＋a2n－1b2n－1)＋(a2b2＋a4b4＋…＋a2n b2n)＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋9(a2＋a4＋…＋a2n)(9分)＝＋9[]＝(81n－1).(12分)19. 解：(1) 由f(x)＝0，得ωx＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝，(3分)因为f(x)在(0，π)内恰有两个零点，且ω∈N*，所以<π≤，所以ω＝2.(6分)(2) 由f(x)＝，得sin (2x＋)＝，设x－＝θ，则sin (2θ＋＋)＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝，(10分)所以|sinθ|＝，即|sin (x－)|＝.(12分)20. 解：(1) 由(2a＋c)cos B＋b cos C＝0，得2sin A cos B＋sin C cos B＋sin B cos C＝0，即2sin A cos B＋sin A＝0，∵A，B∈(0，π)，∴ cos B＝－，B＝.(2分)又A＝，所以C＝，由＝得b＝，∵ sin ＝sin (－)＝，∴b＝6＋2，(5分)∴S△ABC＝(6＋2)·2·＝6＋2.(6分)(2) ∵＝2，S△BCD＝2，∴S△ABC＝6，∴·2·a·＝6，得a＝12，(9分)令∠ADB＝θ，则＝，＝，∴＝＝3，∴＝6.(12分)21. (1) 解：a2＝a1＋2，a3＝a2＋2，a4＝a3＋4，a5＝a4＋4，…，a2k－2＝a2k－3＋2k－2，a2k－1＝a2k－2＋2k－2，a2k＝a2k－1＋2k，将以上各式累加得a2k＝2k＋2[2＋4＋6＋…＋(2k－2)]＝2k＋2··＝2k2，k≥2，当k＝1时，a2k＝2k2也成立，故a2k＝2k2，k∈N*.(6分)注：也可由递推公式先得到a2k＝a2k－2＋4k－2，再累加得a2k＝2k2.(2) 证明：由(1)可知，当n是偶数时，a n＝，当n是奇数时，a n＝，所以b n＝n2.(8分)以下先证明：当x>0时，ln x≤x－1.设f(x)＝x－1－ln x，则f′(x)＝1－＝，令得x>1，令得0<x<1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(1)＝0，∴ ln x≤x－1，(10分)∴ ln n≤n－1，n∈N*，∴ ln T n＝ln (12·22·32…·n2)＝2ln (1·2·3…·n)＝2(ln 1＋ln 2＋…＋ln n)≤2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，即ln T n≤n2－n，n∈N*.(12分)22. (1) 解：g(x)＝e x(1－x)＋e x－e，g′(x)＝－x e x＋e，(1分)当x≤0时，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0]上单调递增，当x>0时，设φ(x)＝g′(x)，φ′(x)＝－(x＋1)e x<0，∴g′(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g′(1)＝0，所以当x∈(0，1)，g′(x)>0，∴g(x)在(0，1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)，g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减，综上，g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，[g(x)]＝0.(4分)max(另解：g(x)＝－(e x－e)(x－1)，当x≠1时，g(x)<0，而g(1)＝0，所以当x＝1时，[g(x)]＝0).max(2) 证明：f′(x)＝－x e x，当x<0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，当x>0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当x＝0时，[f(x)]max＝1，当x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)<0且单调递减，所以0<t<1.不妨令x1<0<x2<1，设h(x)＝－e x＋e，由(1)可知，f(x)≤h(x)，当且仅当x＝1时取等号，设h(x′2)＝t，则x′2＝1－∈(0，1)，t＝h(x′2)>f(x′2)，所以t＝f(x2)>f(x′2)，由f(x)在(0，1)上单调递减可知，x2<x′2，即x2<1－.(*)(8分)记p(x)＝x＋1，x≤0，设F(x)＝f(x)－p(x)＝e x(1－x)－x－1，x≤0，(10分)F′(x)＝－x e x－，记m(x)＝F′(x)，则m′(x)＝－(x＋1)e x，当x∈(－∞，－1)时，m′(x)>0，F′(x)单调递增；当x∈(－1，0)时，m′(x)<0，F′(x)单调递减，所以当x＝－1时，[F′(x)]max＝－<0，所以F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，又F(0)＝0，所以F(x)≥0，所以f(x)≥p(x)，当且仅当x＝0时取等号．令p(x′1)＝t，则x′1＝2t－2∈(－2，0)，t＝p(x′1)<f(x′1)，所以t＝f(x1)<f(x′1)，由f(x)在(－∞，0)上单调递增可知，x1<x′1＝2t－2，(**)由(*)和(**)得x1＋x2<2t－－1.(12分)。
2024届江苏南京市高三年级学情调研数学试题及答案
南京市2-024届高三年级学情调研数学2023.09 注意事项，1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位登．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位登，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．L已知集合A＝位1工s＿七十3�0},B={xl2<x＜心，则AnB=A．位13<工<4} B.{工|1竺3} C.位I z<工�3} D.(工\l�x<4}2．若z=－3l一+—i ，则％的虚部为A.2B.-2C.2iD.-2i3.（工－一工2 ）｀的展开式中常数项为A.-24B.一4C.4D. Z44在!::.ABC中，点D为边AB的中点．记忒＝m，击＝n，则啼＝A.Zm+nB.m+2nC. 2m-nD.-m+2n5．设0为坐标原点，A为圆C：夕十J－七十2=0上一个动点，则乙AOC的最大值为A工穴·12 B．工6 C.一D．王4 36．在正方体ABC D-A1B1C心中，过点B的平面G与直线A1C垂宜汛la截该正方体所得截面的形状为A．三角形B．四边形c．五边形D．六边形高三数学试卷第1页（共6页）7．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外假设某房间的体积为力。
，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质惫为m.巳知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v (v>l)，室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函4数关系为p(t)=(I－入）竺丑实一，其中常数入为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为t·v 。
常州市联盟学校 2024—2025 学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷答案
常州市联盟学校2024—2025学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷答案2024.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．B 4．D 5.B 6.D 7.C 8．C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD 10.BC 11．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.613．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,2314．2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分)(1)0m n m n ⊥∴⋅=…………1分()()22222cos 2sin 1cos 2sin 1cos 21cos 2CC C C C C -=+-=+--22cos cos 10C C =+-=解得：cos 1C =-或1cos 2C =，()0,C π∈ ，3C π∴=；…………6分（2）因为2π3C =．由正弦定理，2sin sin sin a b c A B C ===，…………8分所以sin 2bB =，sin 2a A =．又因为sin sin 2A B +=，所以22a b +=，得a b +=由余弦定理有：2222cos c a b ab C =+-，所以1ab =．所以11sin 122ABC S ab C ==⨯⨯ ．…………13分16.(15分)(1)当a ＝0时，f (x )＝2)1(+x x(x ≠－1)，则f (0)＝0，因为3')1(1)(+-=x xx f ，所以f ′(0)＝1.所以曲线y ＝f (x )在(0，0)处的切线方程为y ＝x .…………5分(2)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．3')1())12(()(++--=x a x x f ，令f ′(x )＝0，解得x ＝2a ＋1.…………7分①当2a ＋1＝－1，即a ＝－1时，0)1(1)1(1)(23'<+-=+--=x x x x f 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；………9分②当2a ＋1<－1，即a <－1时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，2a ＋1)∪(－1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(a ＋1，－1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(2a ＋1，－1)；…12分③当2a ＋1>－1，即a >－1时，令f ′(x )<0，则x ∈(－∞，－1)∪(2a ＋1，＋∞)，令f ′(x )>0，则x ∈(－1，2a ＋1)，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(2a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，2a ＋1)．…14分综上所述：当a ＝－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，a ＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(a ＋1，－1)；当a >－2时，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(a ＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，a ＋1)．…………15分17.(15分)(1)证明：如图取CE 的中点G ，连接FG 、BG .F 为CD 的中点，//GF DE ∴且12GF DE =，由AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ∴，//GF AB ∴.又12AB DE =，GF AB ∴=，∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ，AF ⊄ 平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，//AF ∴平面BCE .…………5分(2)证明：ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，AF CD ∴⊥.DE ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，DE AF ∴⊥，//BG AF ，所以DE BG ⊥，BG CD ⊥，又CD DE E = ，CD 、DE ⊂平面CDE ，BG ∴⊥平面CDE ，BG ⊂ 平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .…………10分(3)如图：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于点H ，连接BH ，平面BCE ⊥平面CDE ，平面BCE 平面CDE CE =，FH ⊂平面CDE ，FH ⊥ 平面BCE .FBH ∴∠为BF 和平面BCE 所成的角，因为4AD DE ==，2AB =，则sin 45FH CF =︒4BF ==，在Rt FHB 中，sin 4FH FBH BF∠==，∴直线BF 和平面BCE .…………15分（向量法略）18．(17分)(1)在ABC V 中，由余弦定理，2222cos b a c ac ABC =+-∠，因为2221)sin 2S b a c ac ABC =--=∠，所以sin ABC ABC =∠∠，即tan B =(0,180)B ∈︒︒，所以120ABC ∠=︒.…………4分26AB BC BAC ACB π==∴∠=∠=，设CBD θ∠=，则2π03θ<<，在BCE 中，由正弦定理得sin sin CE BE ACB θ=∠，在ABE 中，由正弦定理得2πsin sin 3BEAE BACθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，26AB BC BAC ACB π==∴∠=∠=，2πsin sin 3CEAE θθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为23AE AC = ，则2AE CE =，所以，2πsin 32sin AE CE θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，333cos sin tan 223θθθ=∴因为2π03θ<<，所以，π6θ=，即6CBD π∠=…………10分（2）解：2AD CD =，且π3ADC ∠=，BAC α∠=，由余弦定理可得22222cos 3AC AD CD AD CD ADC CD =+-⋅∠=，2222AC AC CD AD ACD π∴∴+=∴∠=在ABC △中，2AB BC ==，BAC ACB α∴∠=∠=由正弦定理得sin(2)sin AC AB παα=-，2sin(2)4cos sin AC πααα-∴==4cos AC α∴=，CD α=在BCD △中，2BC =，π2BCD α∠=+，由余弦定理可得2222π16432cos()4cos 22cos sin 233BD BC CD BC CD αααα=+-⋅+=++⋅⋅⋅，()2816π2041cos 2sin 2sin 23363BD ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，易知π02α<<，则ππ5π2666α<+<，故当ππ262α+=时，即当π6α=时，BD取最大值，且最大值为 (17)分19.(17分)(1)若()()f x f x -=当0x <时，则0x ->，3411x x x ∴-=∴=-，无实数解，舍去；当0x >时，则0x -<，3411x x x ∴=∴=--，无实数解，舍去；则()f x 不是“弱偶函数”，…………2分若()()f x f x -=-当0x <时，则0x ->，3411x x x ∴-=-∴=，解得1x =-（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x -=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，所以()f x 是“弱奇函数”.…………5分(2)()()23234,14,1x x m x g x x ⎧-⋅-≥-⎪=⎨-<-⎪⎩，定义域为R .①当在区间[]1,1-上存在0x ，满足()()00g x g x -=-时，则()()00022323432340x x x x m m ---⋅-+-⋅-=，即()()0000233233100x x x x m --+-⋅+-=.令0033x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号.又[]01,1x ∈-，所以1110333t -≤+=，即102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()()00002233233102100x x x x m t mt --+-⋅+-=--=，所以210531,2226t t m t t -⎡⎤==-∈-⎢⎥⎣⎦②当在区间(),1∞--上存在0x ，满足()()00g x g x -=-时，则()0232344x x m ---⋅-=，即0014323x x m =-⋅⋅有解.因为0014323x x y =-⋅⋅在区间(),1∞--上单调递减，所以16m >.③当在区间()1,+∞上存在0x ，满足()()00g x g x -=-时，则()243234x x m ⎡⎤-=--⋅-⎢⎥⎣⎦，即003423x x m =-有解.因为03423x x y =-在区间()1,+∞上单调递增，所以16m >.综上所述，实数m 的取值范围为32m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.…………11分(3)由题意知,31,2b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,()()h x h x -=-在[]1,1x ∈-上都有解,即31,2b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,()()22ln 1ln 1x a x x b x a x x b -+++--=-++--+在[]1,1x ∈-上都有解，即31,2b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,()222ln 122a x x b ⎡⎤+-+=⎣⎦在[]1,1x ∈-上都有解，令[]20,1x s =∈,令()()2ln 12s a s s ϕ⎡⎤=+-+⎣⎦，由题意知()s ϕ在[]0,1s ∈上的值域包含[]2,3，因为()()2121s a sϕ-=++-'，又因为[]()0,1,1,s a ∞∈∈+,所以()213a s +->，所以()0s ϕ'>,所以()s ϕ在[]0,1s ∈上单调递增，所以()()1021311e 111a e a a a a ϕϕ≤-⎧⎧≤⎪⎪≥⇒≥⇒<≤-⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩综上:1e 1a <≤-．…………17分。
南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案
南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案 2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．240 13．3π14．33四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)解：（1）假设H 0：8点前到单位与方案选择无关，则χ2＝100×(28×30－12×30)240×60×42×58······································································ 2分＝800203≈3.94＞3.841， ············································································ 4分 所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关． ······································ 6分 （2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5． ················································ 8分 当X ＝3时，则分两种情况： ①若周一8点前到单位，则P 1＝0.7×C 24(1-0.5)2×0.52＝2180． ····························································· 10分 ②若周一8点前没有到单位，则P 2＝(1-0.7)×C 34(1-0.5)×0.53＝680． ·························································· 12分DABC EFMNO xy z 综上，P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝2780． ····································································· 13分16．(本小题满分15分)解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以EF ∥AC ． ························································································· 2分 因为AM →＝2MD →，CN →＝2ND →，即DM DA ＝DN DC ＝13，所以MN ∥AC ，所以EF ∥MN ． ···································································· 4分 又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以EF ∥平面MNB ． ················································································· 6分 （2）取AC 中点O ，连接DO ，OE ． 因为△ACD 为正三角形，所以DO ⊥AC ．因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝ AC ，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ． ·············································································· 8分因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则OE ∥BC ．又因为AC ⊥BC ，所以OE ⊥AC ．以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， ······································································································· 10分 则D (0，0，332)，B (3，32，0)，M (0，－12，3)，N (0，12，3)，故→BM ＝(－3，－2，3)，→MN ＝(0，1，0)，→BD ＝(－3，－32，332)．设平面MNB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，直线BD 与平面MNB 所成角为θ， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·→BM ＝0，n ·→MN ＝0，即⎩⎨⎧－3x －2y ＋3z ＝0，y ＝0．取n ＝(3，0，3)． ··················································································· 12分 则sin θ＝|cos<→BD ，n >|＝|→BD ·n ||→BD ||n |＝|－33＋0＋932|9＋94＋274×3＋9＝33232×23＝28，所以BD 与平面MNB 所成角的正弦值为28． ·················································· 15分17．(本小题满分15分)解：(1)因为a n ＝(－1)n ＋2n ，则a 1＝1，a 2＝5，a 3＝7，a 4＝17．又b n ＝a n ＋1－λa n ，则b 1＝a 2－λa 1＝5－λ，b 2＝a 3－λa 2＝7－5λ，b 3＝a 4－λa 3＝17－7λ． ····················· 2分 因为{b n }为等比数列，则b 22＝b 1·b 3，所以(7－5λ)2＝(5－λ)(17－7λ)，…………………4分整理得λ2－λ－2＝0，解得λ＝－1或2． 因为λ＞0，故λ＝2．当λ＝2时，b n ＝a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1＋2n ＋1－2[(－1)n ＋2n ]＝(－1)×(－1)n ＋2n ＋1－2×(－1)n －2n ＋1＝－3×(－1)n ． ····································· 6分则b n ＋1b n ＝－3×(－1)n ＋1－3×(－1)n＝－1，故{b n }为等比数列， 所以λ＝2符合题意． ············································································· 7分 (2) b n ·n 2＝－3×(－1)n ·n 2，当n 为偶数时，T n ＝－3×[－12＋22－32＋42－52＋62－…－(n －1)2＋n 2]＝－3×(1＋2＋…＋n )＝－32n (n ＋1)． ······················································ 10分当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1(n ＋1)2＝－32(n ＋1)(n ＋2)＋3(n ＋1)2＝32n (n ＋1)．······················································································· 12分 综上，T n ＝⎩⎨⎧32n (n ＋1)，n 为奇数，－32n (n ＋1)，n 为偶数．因为T i ·T i ＋2＞0，又T i ·T i ＋2＝15T i ＋1，故T i ＋1＞0，所以i 为偶数． ··································································· 13分 所以[－32i (i ＋1)]·[－32(i ＋2)(i ＋3)]＝15×32(i ＋1)(i ＋2)，整理得i 2＋3i －10＝0，解得i ＝2或i ＝－5(舍)，所以i ＝2． ························································································ 15分18．(本小题满分17分)解：（1）由题意可知c ＝6，点T 在C 上，根据双曲线的定义可知|TF 1|－|TF 2|＝2a ，即2a ＝(36)2＋(10)2－(6)2＋(10)2＝4，所以a ＝2， ··························· 2分则b 2＝c 2－a 2＝2，所以C 的方程为x 24－y 22＝1． ····································································· 3分（2）①设B (x 0，y 0)，DB →＝(x 0－1，y 0)． 因为DA →＝3DB →，所以DA →＝(3x 0－3，3y 0)，所以A 点坐标为(3x 0－2，3y 0)， ··································································· 5分 因为A ，B 在双曲线C 上，所以⎩⎨⎧x 204－y 202＝1，(3x 0－2)24－(3y 0)22＝1，解得x 0＝3，y 0＝±102， ········································································ 7分 所以A 点坐标为(7，±3102)，所以S ΔF 1F 2A ＝12|y A |×|F 1F 2|＝12×3102×26＝315． ··································· 8分②当直线l 与y 轴垂直时，此时PQ ＝4不满足条件．设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x P ，0)，Q (x Q ，0)．直线l 与C 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24－y 22＝1， x ＝ty ＋1，消去x ，得(t 2－2)y 2＋2ty －3＝0，所以y 1＋y 2＝－2t t 2－2，y 1y 2＝－3t 2－2． ····················································· 10分由⎩⎨⎧Δ＝4t 2＋12(t 2－2)＞0，t 2－2≠0．，得t 2＞32且t 2≠2．以AB 为直径的圆方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，令y ＝0，可得x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，则x P ，x Q 为方程的两个根，所以x P ＋x Q ＝x 1＋x 2，x P x Q ＝x 1x 2＋y 1y 2， ··················································· 13分 所以PQ ＝|x P －x Q |＝(x P ＋x Q )2－4x P x Q ＝(x 1＋x 2)2－4(x 1x 2＋y 1y 2)＝(x 1－x 2)2－4y 1y 2＝t 2(y 1－y 2)2－4y 1y 2 ＝t 2(y 1＋y 2)2－4(t 2＋1)y 1y 2＝4t 4(t 2－2)2＋12(t 2＋1)t 2－2＝16t 4－12t 2－24(t 2－2)2＝2． ··························································· 15分解得t 2＝－2(舍)或t 2＝53，即t ＝±153，所以直线l 的方程为：3x ±15y －3＝0． ·················································· 17分19．(本小题满分17分)解：（1）当a＝1时，f(x)＝e x－1＋x2－3x＋1，则f'(x)＝e x－1＋2x－3，所以曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率k＝f'(1)＝0．又因为f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程为y＝0．···················································3分（2）f(1)＝e1－a－2a＋1，f'(x)＝e x－a＋2ax－3a，则f'(1)＝e1－a－a，当a＞1时，f''(x)＝e x－a＋2a＞0，则f'(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为f'(1)＝e1－a－a＜e1－1－1＝0，f'(a)＝1＋2a2－3a＝(2a－1)(a－1)＞0，所以存在唯一的x0∈(1，a)，使得f'(x0)＝0．·······················································5分当x∈(1，x0)时，f'(x)＜0，所以f(x)在[1，x0)上单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(x0，＋∞)上单调递增．又因为f(1)＝e1－a－2a＋1＜e0－2＋1＝0，所以f(x0)＜f(1)＜0．又因为f(3)＝e3－a＋1＞0，所以当a＞1时，f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．··································· 8分（3）①当a＞1时，f(1)＝e1－a－2a＋1＜e0－2＋1＝0，与当x≥0时，f(x)≥0矛盾，所以a＞1不满足题意． ··········································································· 9分②当a≤1时，f(0)＝e－a＋1＞0，f'(x)＝e x－a＋2ax－3a，f''(x)＝e x－a＋2a，f''(0)＝e－a＋2a．记函数q(x)＝e－x＋2x，x≤1，则q'(x)＝－e－x＋2，当x∈(－ln2，1)时，q'(x)＞0，所以q(x)在(－ln2，1)单调递增；当x∈(－∞，－ln2)时，q'(x)＜0，所以q(x)在(－∞，－ln2)单调递减，所以q(x)≥q(－ln2)＝2－2ln2＞0，所以f''(0)＞0．又因为f''(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f''(x)≥f''(0)＞0，所以f'(x)在[0，＋∞)上单调递增．································ 11分(i)若f'(0)＝e－a－3a≥0，则f'(x)≥f'(0)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(0)＞0，符合题意；··································································· 13分(ii)若f'(0)＝e－a－3a＜0，可得a＞0，则0＜a≤1．因为f'(1)＝e1－a－a≥0，且f'(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以存在唯一的x1∈(0，1]，使得f'(x1)＝0．当x∈(0，x1)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0，x1)上单调递减，当x∈(x1，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(x1，＋∞)上单调递增，其中x1∈(0，1]，且e x1－a＋2ax1－3a＝0． ························································15分所以f(x)≥f(x1)＝e x1－a＋ax12－3ax1＋1＝3a－2ax1＋ax12－3ax1＋1＝ax12－5ax1＋3a＋1＝a(x12－5x1＋3)＋1，因为x1∈(0，1]，所以x12－5x1＋3∈[－1，3)．又因为a∈(0，1]，所以a(x12－5x1＋3)≥－1，所以f(x)≥0，满足题意．结合①②可知，当a≤1时，满足题意．综上，a的取值范围为(－∞，1]． ····························································· 17分。
湖南省长沙麓山2025届高三上学期第一次学情检测数学试题含答案
2025届麓山高三第一次学情检测试卷高三年级数学试卷（答案在最后）总分：150分时量：120分钟一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合{}1,2,3A =，{}2|220B x x x =--<，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,2,3 D.∅【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，结合交集的概念即可得解.【详解】因为{}1,2,3A =，{}{2|220|11B x x x x x =--<=-<+，所以{1,2}A B = .故选：B.2.复数24i1iz -=+，则z 的虚部为（）．A.3B.3- C.3-iD.1-【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算可得答案.【详解】 复数()()()()24i 1i 24i 26i13i 1i 1i 1i 2-----===--++-，所以z 的虚部为3-故选：B.3.已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则a 在b上的投影向量为（）A.31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C.,55⎛- ⎝⎭D.1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的公式求解.【详解】根据题意，a 在b上的投影向量为：131,222||||a b b b b b ⋅⎛⎫===- ⎪⎝⎭.故选：A4.已知函数()()2ln 1f x x ax =-+-在[]2,3上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],4-∞ B.[)6,+∞ C.10,43⎛⎤⎥⎝⎦D.10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.【详解】解：由于函数()()2ln 1f x x ax =-+-在[]2,3上单调递减，ln y x =在定义域内是增函数，所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：21y x ax =-+-在[]2,3上单调递减，且0y >，所以22a ≤且9310a -+->，解得：1043a <≤.故a 的取值范围是10,43⎛⎤⎥⎝⎦故选：C.【点睛】本题考查根据对数型复合函数单调性求参数问题，是中档题.5.已知函数()3ln f x x t x =-存在两个零点，则实数t 的取值范围为（）A.e,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.e ,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.()3e,+∞ D.(),3e -∞【答案】C 【解析】【分析】采用参变分离法，将函数()3ln f x x t x =-存在两个零点转化为函数3y t=与函数ln ()x g x x =的图象有两个交点，利用导数探究函数ln ()xg x x=的图象及趋势特征即得参数范围.【详解】由()3ln 0f x x t x =-=，0x >，可得：3ln x t x=，令ln ()xg x x =，依题意，函数()3ln f x x t x =-存在两个零点，等价于函数3y t=与函数ln ()xg x x =的图象有两个交点.又21ln ()xg x x-'=，当0e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，故e x =时，()g x 取得极大值1e，且当0x +→时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x +→，故要使函数3y t =与函数ln ()xg x x =的图象有两个交点.，需使30e t<<，解得3e t >.故选：C.6.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23 D.45【答案】C 【解析】【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.7.如图，在OAB △中，C 是AB 的中点，P 在线段OC 上，且2=OC OP .过点P 的直线交线段,OA OB 分别于点N ，M ，且,OM mOB ON nOA ==，其中,[0,1]m n ∈，则m n +的最小值为（）A.12B.23C.1D.34【答案】C 【解析】【分析】依题意可得1144OP ON OM n m =+ ，再根据平面向量共线定理得到11144n m+=，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：1()2OC OA OB =+uuu r uu r uu u r ，则11122OP ON OM n m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1144OP ON OM n m =+，又P ，M ，N 共线，∴11144n m+=.又,[0,1]m n ∈，∴()111111214444m n m n m n n m n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当12m n ==时取等号，故选：C.8.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.51,3⎡⎤⎢⎣⎦D.1117,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭进行最值分析，对区间2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上进行单调分析；【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当π03x <<时，因为0ω>，则ππππ6636x ωω-<-<-，因为函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，则πππ362ω->，解得2ω>，当2ππ3x <<时，2πππππ3666x ωωω-<-<-，因为函数()f x 在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则()2πππππ,ππ,π36622k k k ωω⎛⎫⎛⎫--⊆-+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，所以2ππππ,362ππππ,62k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩其中k ∈Z ，解得()312223k k k ω-≤≤+∈Z ，所以312223k k -≤+，解得73k ≤，又因为0ω>，则{}0,1,2k ∈．当0k =时，203ω<≤；当1k =时，513ω≤≤；当2k =时，5823ω≤≤．又因为ω>2，因此ω的取值范围是58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心；二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.下列说法中，正确的命题有（）A.已知随机变量ξ服从正态分布()22,,(4)0.84N P δξ<=，则24()0.34P ξ<<=B.以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ˆln zy =，求得线性回归方程为ˆ0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3C.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好D.若样本数据1210,,,x x x 的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --- 的方差为16【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用正态分布的对称性计算判断；对于B ，对给定模型取对数比对即得；对于C ，利用残差图的意义即可判断；对于D ，利用新数据方差计算公式判断作答.【详解】对于A ，因()22,N δ，且(4)0.84P ξ<=，于是得(24)(4)(24)0.840.50.34P P ξξξ<<=<-≤=-=，故A 正确；对于B ，由kx y ce =得ln ln y c kx =+，依题意得0.3,ln 4k c ==，即4e c =，故B 正确；对于C ，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C 正确；对于D ，依题意121021,21,,21x x x --- 的方差为2228⨯=，故D 不正确．故选：ABC.10.已知函数()()21cos sin 02f x x x x ωωωω=-+>，若将()f x 的图象平移后能与函数sin 2y x =的图象完全重合，则下列结论正确的是（）A.2ω=B.将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数C.()f x 的图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D.()f x 在3ππ,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简，并结合给定条件判断A ，利用函数平移的性质结合正弦函数的性质判断B ，利用对称中心的求法求解对称中心判断C ，举反例判断D 即可.【详解】因为()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+，所以()1sin 2cos 222f x x x ωω=+，所以()πsin(2)6f x x ω=+，而将()f x 的图象平移后能与函数sin 2y x =的图象完全重合，所以22ω=，解得1ω=，故A 错误，此时()πsin(2)6f x x =+，向右平移π12个单位长度后，设得到的新函数为()g x ，()ππsin(2())sin 2126g x x x =-+=，由正弦函数性质得()g x 是奇函数，故B 正确，令π2π,Z 6x k k +=∈，解得ππ,Z 212k x k =-∈，当1k =-时，7π12x =-，所以()f x 的图象关于点7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故C 正确，由题意得()1π2f -=-，5π16f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，123π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭-< ，所以()f x 在3ππ,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.故选：BC11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥1A APD -的体积为定值B.1A P ∥平面1ACD C.1AP B P +的最小值为D.当1A ，C ，1D ，P 四点共面时，四面体111B PA C 的外接球的体积为π2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出1AA D S 为定值，且P 到平面11ADD A 的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；B 选项，证明出面面平行，得到线面平行；C 选项，将两平面展开到同一平面，连接1AB ，交1BC 于点P ，此时1AP B P +最小，最小值即为1AB 的长，由勾股定理得到最小值；D 选项，点P 在点B 处，1A ，C ，1D ，P 四点共面，四面体111B PA C 的外接球即正方体的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积.【详解】对于A ，因为111//,BC AD BC 不在平面11ADD A 内，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1//BC 平面11ADD A ，又1P BC ∈，所以点P 到平面11ADD A 的距离为1，又1AA D S 为定值，故11A APD P AA D V V --==定值，A 正确；对于B ，因为11//AD BC ，1AD ⊂平面1AD C ，1BC ⊄平面1AD C ，所以1//BC 平面1AD C ，同理可知11//A C 平面1AD C ，又1111BC A C C ⋂=，111,BC A C ⊂平面11A C B ，所以平面11AC B ∥平面1ACD ，由于1A P ⊂平面11A C B ，故1A P ∥平面1ACD ，B 正确.对于C ，展开两线段所在的平面，得矩形11ABC D 及等腰直角三角形11B BC ，连接1AB ，交1BC 于点P ，此时1AP B P +最小，最小值即为1AB 的长，过点1B 作1B N ⊥AB ，交AB 的延长线于点N ，其中1111,2AB AD BC BN B N =====，故12AN =+，又勾股定理得1AB ===C 正确；对于D ，点P 在点B 处，1A ，C ，1D ，P 四点共面，四面体111B PA C 的外接球即正方体的外接球，故外接球的半径为111322=，所以该球的体积为34ππ32R =，D 正确.故选：ABD【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.三、填空题（每小题5分，共15分）12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________.【答案】95【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()111,3Nn n a a S n *+==∈，则na=_____________．【答案】()()211342n n n -⎧=⎪⎨⨯≥⎪⎩【解析】【分析】降次作差得14n n a a +=，再利用等比数列通项公式即可得到答案.【详解】()13n n a S n *+=∈N①，()132nn aS n -=≥②，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +--=-=，故14n n a a +=，2n ≥，令13n n a S +=中1n =得，2133a S ==，所以()2224423n n n a a n --⋅=⨯≥=，而11a =不适合上式，故答案为：()()211342n n n -⎧=⎪⎨⨯≥⎪⎩.14.已知椭圆：2221(1)x y a a+=>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 是y 轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF 的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______．【答案】63【解析】【分析】根据题意结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得212AF AF -=，结合椭圆的定义以及勾股定理可得222,3c a ==，即可求得椭圆的离心率.【详解】如图，2APF 的内切圆与三边分别切于点,,E F G ，若21AF PF ⊥，则22,,1PG PF EF FF AG AE ====，因为12PF PF =，则12GF FF =，可得112GA AF AE AF EF +=+=，则1222AE AF AE EF AF +=+=，可得2122AF AF AE -==，因为()222212211224AF AF AF AF AF AF c +=-+⋅=，即212424AF AF c +⋅=，可得21222AF AF c ⋅=-，又因为()()221221124AF AF AFAF AF AF +=-+⋅，即()2244422a c =+-，可得2221a c =-，且22221a b c c =+=+，解得222,3c a ==，所以椭圆的离心率是3c e a ===．故答案为：63.【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求e 的值．焦点三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．四、解答题（共77分）15.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）2π3A =；（2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为4.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出33sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sinC ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【小问1详解】由题意得2sin cos cos 7B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin 7b a BA A ===，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.【小问2详解】选择①7b =，则sin 714142B b ==⨯=，因为2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B 为三角形内角，则sin 14B ==，则代入2sin 7B b =得2147b ⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭,则11sin 7322144ABC S ab C ==⨯⨯⨯=.选择③sin c A =2c ⨯=，解得5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin 2C =，解得sin 14C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()2P kχ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100【小问2详解】零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，()2100251525356040505025<10.8286χ⨯-⨯=⨯=⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X 的可能取值为0，1，2，3，3(3,).5X B3213283236(0),(1)C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23233254327(2)C ,(3)551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列为X 0123P812536125541252712539()355E X =⨯=.17.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA 与AC 不垂直，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AB ⊥．（1）证明：AB AC ⊥；（2）若2PA PC AB AC ====，点M 满足3PB PM =，求直线AP 与平面ACM 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）由平面PAC ⊥平面ABC ，再作PD AC ⊥，可证明PD ⊥平面ABC ，从而可得PD AB ⊥，又因为PA AB ⊥，所以可证明AB ⊥平面PAC ，即可证明AB AC ⊥；（2）利用（1）以A 为坐标原点建立如图坐标系，利用等边三角形PAC 和等腰直角三角形ABC ，标出各点的空间坐标，对于点M 满足3PB PM =，可用向量线性运算求出22,,333AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，最后利用空间向量法来解决直线AP 与平面ACM 所成角的正弦值．【小问1详解】证明：在平面PAC 中，过点P 作AC 的垂线，垂足为D ．因为平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ，所以PD ⊥平面ABC ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以PD AB ⊥，又PA AB ⊥，PA PD P = ，PD ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，故AB AC ⊥．【小问2详解】由（1）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B P C，故(2,1,PB =-，(0,2,0)AC = ，又因为121,,3333PM PB ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以(2122,,,,333333AM AP PM ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22,,333AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面ACM 的一个法向量(,,)m x y z =，则20,220,33m AC y m AM x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩令1z =，则(m =．又因为AP =，设直线AP 与平面ACM 所成角为θ，则33sin cos ,224m AP m AP m APθ⋅=〈〉===⨯，所以直线AP 与平面ACM 所成角的正弦值为34．18.已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B两点，且||AB =．（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值．【答案】（1）2p =（2）12-【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；（2）设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,,M x y N x y 利用0FM FN ⋅=，找到,m n 的关系，以及MFN △的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px-+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p -+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==，所以A B AB y ==-==即2260p p --=，因为0p >，解得：2p =．【小问2详解】因为()10F ,，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y xx my n ⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n --=，所以，12124,4y y m y y n +==-，22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0FM FN ⋅=，所以()()1212110x x y y --+=，即()()1212110my n my n y y +-+-+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=，将12124,4y y m y y n +==-代入得，22461m n n =-+，()()22410m n n +=->，所以1n ≠，且2610n n -+≥，解得3n ≥+或3n ≤-．设点F 到直线MN 的距离为d，所以d =12MN y y ==-=1==-，所以MFN △的面积()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-，而3n ≥+或3n≤-，所以，当3n =-时，MFN △的面积(2min 212S =-=-．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数比第n 层球数多1n +，设各层球数构成一个数列.（1）求数列的通项公式；（2）求()()ln 11xf x x x=+-+的最小值；（3）若数列满足()2ln 22ln nn n b a n=-，对于*N n ∈，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ .【答案】（1）()12n n n a +=；（2）0；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得1n n a a n --=()2n ≥，再利用累加法计算即得.（2）利用导数说明函数的单调性，进而求出最小值.（3）由（2）令1x n =*()n ∈N 即可得到11ln(1)1n n+>+，从而得到()12nn b n <+⨯，再利用错位相减法计算可得.【小问1详解】依题意，12341,3,6,10,a a a a ==== ，则有213212,3,,n n a a a a a a n --=-=-= ，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()112212n n n n n +=+-+-+++=，又11a =也满足，所以()12n n n a +=.【小问2详解】函数()()ln 11xf x x x=+-+的定义域为(1,)-+∞，求导得2211()1(1)(1)x f x x x x '=-=+++，当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因此min ()(0)0f x f ==，所以函数()f x 的最小值为0.【小问3详解】由（2）知，当0x >时，()ln 11x x x +>+，令1x n =()*n ∈N ，则11ln(101n n+>>+，则()222222(1)2(1)1ln(2)2ln ln 1ln ln[ln(1)n n n nnn n b n n n a n n n n n n====+⨯+-⎡⎤+-⎣⎦+，因此()12312322324212nn b b b b n ++++<⨯+⨯+⨯+++⨯ ，令()12322324212nn T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ，于是()2341222324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，两a 式相减得()12312222212nn n T n +-=+++++-+⨯ ()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-，因此12n n T n +=⨯，所以11232n n b b b b n +++++<⨯ .【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令1x n =()*n ∈N 得到11ln(11n n+>+，从而得到()12nn b n <+⨯.。
2024学年春学期期初高三数学学情调研试卷(含答案)
2023-2024学年春学期期初学情调研试卷高三数学命题人： 复核人：注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|22}M x x =−<<，{0,1,2,3}N =，则M N = （ ）A. {|22}x x −<<B. {01} ，C. {012} ，，D. {|02}x x <<2．已知�aa ⃑,bb �⃑,cc ⃑�是空间的一个基底，则可以与向量pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb �⃑构成基底的向量是( ) A. aa ⃑B ．bb �⃑C ．aa ⃑+2bb�⃑ D ．aa ⃑+2cc ⃑3．若直线ll 12值为( )5．如图，一个底面边长为2√3ππ3cm 的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm 的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm ．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．√17ππccmm 2 B ．4ππccmm 2 C ．3√2ππccmm 2D ．2√3ππccmm 26．某校A ，B ，C ，D ，E 五名学生分别上台演讲，若A 须在B 前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有( ) A ．18种B ．36种C ．60种D ．72种7．双曲线C:x 29−y 216=1的右支上一点P 在第一象限，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若内切圆I 的半径为1，则△PF 1F 2的面积等于( ) A. 323B. 12C. 24D. 1638．已知函数f(x)=� |x −1|, x <2,2(x −3)2−1, x ≥2, 若方程f(f(x))=12的实根个数为( ) A. 4 B. 8 C. 10 D. 12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在△AAAAAA 中，内角AA ,AA ,AA 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是( ) A ．bbsinBB =aa+bb+ccsinAA+sinBB+sinCC B ．若AA >AA ，则sin2AA >sin2AAC ．aa =bb cos AA +cc cos AAD ．若(AABB �����⃗|AABB �����⃗|+AACC�����⃗|AACC �����⃗|)⋅AAAA �����⃗=0，且AABB �����⃗|AABB �����⃗|⋅AACC �����⃗|AACC�����⃗|=12，则△AAAAAA 为等边三角形10．设a 为常数，1(0)2f =，()()()()()f x y f x f a y f y f a x +=−+−，则( ) A. 1()2f a =B. 1()2f x =恒成立C. ()2()()f x y f x f y +=D. 满足条件的()f x 不止一个11．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱BC 上的动点，F 为棱1B B 的中点，则下列选项正确的是( )A ．直线11A D 与直线EF 相交B ．当E 为棱BC 上的中点时，则点E 在平面1AD F 的射影是点F C ．不存在点E ，使得直线1AD 与直线EF 所成角为30 D ．三棱锥E ADF −的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知αα∈(0,π),sin �αα−，则cos �2αα+13．若直线()0y kx b b =+<是曲线2e x y −=的切线，也是曲线ln y x =的切线，则b = ．14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A ，B 两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|.已知M(4,6)，点N 在圆C:x 2+y 2+6x +4y =0上运动，若点P 满足d(M,P)=2，则|PN|的最大值为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知该三角形的面积2221()sin 2S b c a A =+−．17．（15分）如图，在三棱柱AAAAAA−AA1AA1AA1中，AAAA1⊥平面AAAAAA,AAAA⊥AAAA,AAAA=AAAA=2，AAAA1=3，点DD, EE分别在棱AAAA1和棱AAAA1上，且AADD=1 AAEE=2, MM为棱AA1AA1的中点．（Ⅰ）求证：AA1MM⊥AA1DD；（Ⅱ）求二面角AA−AA1EE−DD的正弦值；（Ⅲ）求直线AAAA与平面DDAA1EE所成角的正弦值．18．（17分）已知M，N为椭圆C1:x2a2+y2=1(a>0)和双曲线C2:x2a2−y2=1的公共左、右顶点，e1，e2分别为C1和C2的离心率．(1)若e1e2=√154．(ⅰ)求C2的渐近线方程;(ⅱ)过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x=1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，求证：1y1+1y2=1y3+1y4;(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值;若不是，请说明理由．19．（17分）已知A m=�a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m⋮⋮⋱⋮a m,1a m,2⋯a m,m�(m≥2)是m2个正整数组成的m行m列的数表，当1≤i<s≤m,1≤j<t≤m时，记d(a i,j,a s,t)=|a i,j−a s,j|+|a s,j−a s,t|.设n∈N∗，若A m 满足如下两个性质：①a i,j∈{1,2,3;⋯,n}(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,m)；②对任意k∈{1,2,3,⋯,n}，存在i∈{1,2,⋯,m},j∈{1,2,⋯,m}使得a i,j=k，则称A m为Γn数表．(1)判断A3=�123231312�是否为Γ3数表，并求d�a1,1,a2,2�+d�a2,2,a3,3�的值；(2)若Γ2数表A4满足d�a i,j,a i+1,j+1�=1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求A4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A10，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得d�a i,j,a s,t�=0．2023-2024学年春学期期初学情调研试卷参考答案1．B [试题解析]{|22}M x x =−<<，{0,1,2,3}N =，M N = {01} ，故选：B 2．D [试题解析]因为aa ⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb �⃑，为共面向量，所以不能构成基底，故A 错误； 因为bb �⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb�⃑，为共面向量，所以不能构成基底，故B 错误； 因为aa ⃑+2bb �⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb �⃑，为共面向量，所以不能构成基底，故C 错误； 因为aa ⃑+2cc ⃑，pp ⃑=aa ⃑+bb �⃑，qq ⃑=aa ⃑−bb�⃑，为不共面向量，所以能构成基底，故D 正确；故选：D 3．D [试题解析]∵ll 1⊥ll 2，∴aa (aa −1)+(1−aa )×(2aa +3)=0，即(aa −1)(aa +3)=0，解得aa =1或aa =−3. 故选：D ．4．B [试题解析]奇数项共有(nn +1)项，其和为aa 1+aa 2nn+12⋅(nn +1)=2aa nn+12⋅(nn +1)=290，∴(nn +1)aa nn+1=290．偶数项共有n 项，其和为aa 2+aa 2nn2⋅nn =2aa nn+12⋅nn =nnaa nn+1=261，∴aa nn+1=290−261=29．故选：B ．5．C [试题解析]依题意可得圆锥的体积VV =1×�2√3ππ3�2=4ππ3ccmm 3，又VV =13ππ×12×ℎ(ccmm 3)（其中h 为圆锥的高），则ℎ=4cm ，则圆锥的母线长为√12+42=√17cm ，故圆锥的侧面积为√17ππccmm 3．故选：A ． 6．B [试题解析]因为A 在B 的前面出场，且A ，B 都不在3号位置，则情况如下：①A 在1号位置，B有2,4,5号三种选择，有3A 33＝18种出场次序；②A 在2号位置，B 有4,5号两种选择，有2A 33＝12种出场次序；③A 在4号位置，B 有5A 33＝6种出场次序，故不同的出场次序共有18＋12＋6＝36种．故选B.7．A [试题解析]解：由题意，作图如下：设圆II 与xx 轴、PPFF 2、PPFF 1分别切于点EE 、HH 、FF ， 因为双曲线CC 的右顶点为AA (3,0)，FF 1(−5,0)，FF 2(5,0)， 所以|AAFF 1|−|AAFF 2|=(3+5)−(5−3)=6，因为|PPFF 1|−|PPFF 2|=6，所以|PPFF 1|−|PPFF 2|=(|PPFF |+|FFFF 1|)−(|PPHH |+|HHFF 2|)=|FFFF 1|−|HHFF 2|=|FF 1EE |−|EEFF 2|=6，因此切点EE 与AA 重合．又因为内切圆II 的半径为1，所以II (3,1)，又FF 1(−5,0)，FF 2(5,0)，|IIFF 1|=√ 65,|IIFF 2|=√ 5,cos ∠FF 1IIFF 2=65+5−1002√ 65×√ 5=−3√ 13, 所以tan ∠FF 1IIFF 2=−23,解得tan∠FF 1PPFF 22=32,所以SS △FF 1PPFF 2=bb2tan∠FF 1PPFF 22=323，所以△PPFF 1FF 2面积为323．8．C [试题解析]解：在同一坐标系中作yy =ff (xx )，yy =12的图象，若由图象观察可知，0<xx 1<1<xx 2<2<xx 3<3<xx 4<4， 当ff (ff (xx ))=12时，由ff (xx )=xx 1，0<xx 1<1存在4个不同根， ff (xx )=xx 2，1<xx 2<2存在2个不根，ff (xx )=xx 3，2<xx 3<3存在2个不根， ff (xx )=xx 4，3<xx 4<4，存在2个不根，综上ff (ff (xx ))=12的实根个数为10．9．ACD [试题解析]A ：由aasinAA =bbsinBB=cc sinCC，根据等比的性质有bb sinBB =aa+bb+ccsinAA+sinBB+sinCC ，正确； B ：当AA =ππ3,BB =ππ6时，有sin2AA =sin2BB ，错误；C ：sin BB cos CC +sin CC cos BB =sin(BB +CC )，而BB +CC =ππ−AA ，即sin BB cos CC +sin CC cos BB =sin AA ，由正弦定理易得aa =bb cos CC +cc cos BB ，正确；D ：如图，AAEE�����⃗=AABB�����⃗|AABB�����⃗|,AAFF �����⃗=AACC �����⃗|AACC �����⃗|是单位向量，则AABB�����⃗|AABB�����⃗|+AACC�����⃗|AACC�����⃗| =AAEE �����⃗+AAFF �����⃗=AAAA �����⃗，即AAAA �����⃗⋅BBCC �����⃗=0、AAEE �����⃗⋅AAFF �����⃗=12，则AAAA �����⃗⊥BBCC �����⃗且AAAA 平分∠BBAACC ，AAEE �����⃗,AAFF �����⃗的夹角为ππ3， 易知△AABBCC 为等边三角形，正确.故选：ACD 10．ABC [试题解析]令0xy ==，可得(0)2(0)()f f f a =，因为1(0)2f =，所以1().2f a A =正确.令0y =，可得()()()(0)()f x f x f a f f a x =+−，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a x f x −=同理，令0x =，可得()(0)()()()f y f f a y f y f a =−+，代入1()2f a =，1(0)2f =，可得()().f a y f y −=即原等式变形为()2()()f x y f x f y +=，C 正确. 令y x =可得2(2)2[()]0f x f x = ，即函数取值非负.令y a x =−可得2()2[()]f a f x =，即21[()]4f x =，解得1()2f x =，B 正确.因此仅有一个函数关系式1()2f x =满足条件，故D 错误.故选ABC 11．CD [试题解析【详解】A ：由题意知，1111//A D B C ，11B C ⊂平面11B C CB ，11A D ⊄平面11B C CB 所以11//A D 平面11B C CB ，又EF ⊂平面11B C CB ，所以11A D 与EF 不相交，故A 错误；B ：连接111AD D F AF AE CB 、、、、，如图，当点E 为BC 的中点时，1//EF CB ，又11AD CB ⊥，所以1EF AD ⊥， 若点E 在平面1AD F 的射影为F ，则EF ⊥平面1AD F ，垂足为F ，所以EF AF ⊥，设正方体的棱长为2，则AE AF EF ===在AEF 中，222AF EF AE +≠，所以90AFE °∠≠，即EF AF ⊥不成立，故B 错误；C ：建立如图空间直角坐标系D xyz −，连接1BC ，则11//AD BC ， 所以异面直线EF 与1AD 所成角为直线EF 与1BC 所成角，设正方体的棱长为2，若存在点(,2,0)(02)E a a ≤≤使得EF 与1BC 所成角为30°，则1(2,2,0)(2,2,1)(0,2,2)B F C ，，，所以1(2,0,1)(2,0,2)EF a BC =−=−，，所以122EF BC a ⋅=− ，又11cos30EF BC EF BC °⋅= ，得22a −=，解得4a =± 符合题意，故不存在点E 使得EF 与1AD 所成角为30°，故C 错误； D ：如图，由等体积法可知E ADF F ADE V V −−=，又111332F ADE ADE V S BF AD AB BF −=⋅=×××× ，AD AB BF 、、为定值，所以F ADE V −为定值，所以三棱锥E ADF −的体积为定值，故D 正确.故选：C D .12．−4√29[试题解析]因为sin �αα−π6�=13，αα∈(0,π)，αα−π6∈�−π6,5π6�,又因为sin �αα−π6�=13<sin 5π6=12，所以αα−π6∈�0,π2�, 所以cos �αα−π6�=�1−sin 2�αα−π6�=2√23, 所以sin �2�αα−π6��=2sin �αα−π6�cos �αα−π6�=4√29, π�π�π�π�π�π��4√2. 故答案为：−4√2.解：由题意得，圆CC :(xx +3)2+(yy +2)2=13，圆心CC (−3,−2) 设点PP (xx 0,yy 0)，则|xx 0−4|+|yy 0−6|=2，故点PP 的轨迹为如下所示的正方形，其中AA (4,8)，BB (6,6)， 则|AACC |=√ 149，|BBCC |=√ 145， 则|PPPP |≤|AACC |+rr =√ 149+√ 13，�����⃗、CCBB�����⃗、CCCC1�������⃗的方向为xx轴、yy轴、zz轴的正方向建立空间直17．（15分）解：依题意，以CC为原点，分别以CCAA角坐标系（如图），可得CC(0,0,0)、AA(2,0,0)、BB(0,2,0)、CC1(0,0,3)、AA1(2,0,3)、BB1(0,2,3)、DD(2,0,1)、EE(0,0,2)、MM(1,1,3).（Ⅰ）依题意，CC MM��������⃗=(1,1,0)，BB DD�������⃗=(2,−2,−2)，从而CC 1MM ��������⃗⋅BB 1DD �������⃗=2−2+0=0，所以CC 1MM ⊥BB 1DD ； （Ⅱ）依题意，CCAA�����⃗=(2,0,0)是平面BBBB 1EE 的一个法向量， EEBB 1�������⃗=(0,2,1)，EEDD �����⃗=(2,0,−1)． 设nn�⃗=(xx ,yy ,zz )为平面DDBB 1EE 的法向量， 则{nn �⃗⋅EEBB 1�������⃗=0nn�⃗⋅EEDD �����⃗=0，即{2yy +zz =02xx −zz =0， 不妨设xx =1，可得nn�⃗=(1,−1,2)． cos <CCAA �����⃗,nn �⃗>=CCAA �����⃗⋅nn�⃗|CCAA �����⃗|⋅|nn �⃗|=22×√6=√66， ∴sin <CCAA �����⃗,nn �⃗>=�1−cos 2<CCAA �����⃗,nn �⃗>=√306．所以，二面角BB −BB 1EE −DD 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AABB�����⃗=(−2,2,0)． 由（Ⅱ）知nn �⃗=(1,−1,2)为平面DDBB 1EE 的一个法向量，于是cos <AABB �����⃗,nn �⃗>=AABB �����⃗⋅nn �⃗|AABB�����⃗|⋅|nn �⃗|=−42√2×√6=−√33． 所以，直线AABB 与平面DDBB 1EE 所成角的正弦值为√33.18．（17分）解：(1)由题意得ee 1=� aa 2−1aa，ee 2=� aa 2+1aa，所以ee 1ee 2=� aa 4−1aa 2=√ 154，又aa >0，解得aa 2=4，(ii )故双曲线CC 2的渐近线方程为yy =±12xx ；(ii ii )设直线AABB 的方程为xx =ttyy +4，则�xx =ttyy +4,xx 24−yy 2=1,消元得：(tt 2−4)yy 2+8ttyy +12=0，ΔΔ>0且tt ≠±2， 所以�yy 1+yy 2=−8tttt 2−4,yy 1yy 2=12tt 2−4,故11yy 1+yy 22tt，又直线AAAA 1的方程为yy =yy1xx 1+2(xx +2)， 所以yy 3=3yy 1xx 1+2，同理yy 4=3yy 2xx 2+2， 所以1yy 3+1yy 4=13(xx 1+2yy 1+xx 2+2yy 2)=13(tt yy 1+6yy 1+tt yy 2+6yy 2) =2tt yy 1yy 2+6(yy 1+yy 2)3yy 1yy 2=23tt +2(yy 1+yy 2)yy 1yy 2=23tt +2(1yy 1+1yy 2)=23tt −43tt =−23tt ， 故1yy 1+1yy 2=1yy 3+1yy 4．(2)设两个切点为PP 1(xx 5,yy 5)，PP 2(xx 6,yy 6)，由题意知PPPP 1，PPPP 2斜率存在， 直线PPPP 1方程为ll 1:yy =kk 1(xx −xx 5)+yy 5，联立�xx 2aa 2+yy 2=1,yy =kk 1(xx −xx 5)+yy 5,由ΔΔ=0得kk 1=−xx 5aa 2yy 5，所以ll 1:xx 5xx aa 2+yy 5yy =1，同理直线PPPP 2方程为ll 2:xx 6xx aa 2+yy 6yy =1， 由ll 1，ll 2过PP 点可得�xx 5xx 0aa 2+yy 5yy 0=1,xx 6xx 0aa 2+yy 6yy 0=1可得直线PP 1PP 2的方程为xx 0xx aa 2+yy 0yy =1， 不妨设，直线PP 1PP 2与双曲线两渐近线yy =±1aa xx 交于两点PP 1′(aa 2xx 0+aayy 0,aaxx 0+aayy 0)， PP 2′(aa 2xx 0−aayy 0,−aa xx 0−aayy 0)， 则围成三角形的面积 SS =12|aa 2xx 0+aayy 0⋅−aa xx 0−aayy 0−aa xx 0+aayy 0⋅aa 2xx 0−aayy 0|=|aa 3xx 02−aa 2yy 02|. 因PP 在双曲线CC 2上，xx 02−aa 2yy 02=aa 2，则SS =aa 3aa 2=aa 为定值．19．（17分） 解：(1) AA 3=�123231312� 是 ΓΓ3 数表，dd (aa 1,1,aa 2,2)+dd (aa 2,2,aa 3,3)=2+3=5. (2)由题可知 dd (aa ii ,jj ,aa ii+1,jj+1)=|aa ii ,jj −aa ii+1,jj |+|aa ii+1,jj −aa ii+1,jj+1|=1 (ii =1,2,3;jj =1,2,3) ． 当 aa ii+1,jj =1 时，有 dd (aa ii ,jj ,aa ii+1,jj+1)=|aa ii ,jj −1|+|aa ii+1,jj+1−1|=1 ， 所以 aa ii ,jj +aa ii+1,jj+1=3 ． 当 aa ii+1,jj =2 时，有 dd (aa ii ,jj ,aa ii+1,jj+1)=|aa ii ,jj −2|+|aa ii+1,jj+1−2|=1 ，所以 aa ii ,jj +aa ii+1,jj+1=3 ． 所以 aa ii ,jj +aa ii+1,jj+1=3(ii =1,2,3;jj =1,2,3). 所以 aa 1,1+aa 2,2+aa 3,3+aa 4,4=3+3=6, aa 1,3+aa 2,4=3,aa 3,1+aa 4,2=3. aa 1,2+aa 2,3+aa 3,4=3+1=4 或者 aa 1,2+aa 2,3+aa 3,4=3+2=5 ， aa 2,1+aa 3,2+aa 4,3=3+1=4 或者 aa 2,1+aa 3,2+aa 4,3=3+2=5 ， aa 1,4=1 或 aa 1,4=2 ， aa 4,1=1 或 aa 4,1=2 ，故各数之和 ⩾6+3+3+4+4+1+1=22 ， 当 AA 4=�1111122212111212� 时，各数之和取得最小值 22 ． (3)由于 ΓΓ4 数表 AA 10 中共 100 个数字，必然存在 kk ∈{1,2,3,4} ，使得数表中 kk 的个数满足 TT ≥25.设第 ii 行中 kk 的个数为 rr ii (ii =1,2,⋅⋅⋅,10).当 rr ii ≥2 时，将横向相邻两个 kk 用从左向右的有向线段连接， 则该行有 rr ii −1 条有向线段， 所以横向有向线段的起点总数 RR =∑ (rr ii ⩾2rr ii −1)⩾∑ii=110(rr ii −1)=TT −10. 设第 jj 列中 kk 的个数为 cc jj (jj =1,2,⋅⋅⋅ ．当 cc jj ≥2 时，将纵向相邻两个 kk 用从上到下的有向线段连接， 则该列有 cc jj −1 条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数 CC =∑ (cc jj ⩾2cc jj −1)⩾∑jj=110(cc jj −1)=TT −10. 所以 RR +CC ≥2TT −20 ， 因为 TT ≥25 ，所以 RR +CC −TT ⩾2TT −20−TT =TT −20>0 ．所以必存在某个 kk 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点， 即存在 1<uu <vv ⩽10,1<pp <qq ⩽10,使得 aa uu ,pp =aa vv ,pp =aa vv ,qq =kk ，所以 dd (aa uu ,pp ,aa vv ,qq )=|aa uu ,pp −aa vv ,pp |+|aa vv ,pp −aa vv ,qq |=0 ，则命题得证．。
南京市2023届高三年级学情调研数学参考答案
南京市2023届高三年级学情调研数学参考答案 2022.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 9．BC 10．AC 11．ACD 12．ABD 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 13．14 14．4 15．2－6316．(－2π，1－π] 四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：（1）在△ABD 中，由AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，得6sin ∠ADB ＝3222，所以sin ∠ADB ＝1． ··············································································· 2分 因为0°＜∠ADB ＜135°，所以∠ADB ＝90°，所以BD ＝AB 2－AD 2＝32． ································································· 4分（2）在△ADE 中，DE ＝23BD ＝22，因为∠ADE ＝90°，所以AE ＝AD 2＋DE 2＝26，cos ∠DAE ＝AD AE ＝31313． ········································································· 6分在△ACD 中，AC ＝2AE ＝226，AD ＝32，cos ∠DAC ＝31313，所以CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD∙AC∙cos ∠DAC ＝50，即CD ＝52， ······················ 8分 所以cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD∙CD ＝－35． ················································· 10分DECBA18．（本小题满分12分）（1）解：因为a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，所以a 2－a 1＝6，a 3－a 2＝8．又因为数列{ a n ＋1－a n }为等差数列，所以a n ＋1－a n ＝6＋(n －1)×2＝2n ＋4． ····················································· 2分 当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1··························· 4分 ＝(2n ＋2)＋2n ＋…＋6＋6＝(2n ＋8)(n －1)2＋6＝n 2＋3n ＋2．当n ＝1时，a 1＝6满足a n ＝n 2＋3n ＋2，综上，a n ＝n 2＋3n ＋2． ··········································································· 6分 （2）证明：由（1）得1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ······················· 8分所以 S n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2． ··································· 10分因为n ∈N *，故1n ＋2＞0，所以S n ＜12． ······················································································· 12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连AC 交BD 于点N ，连MN ．因为底面ABCD 为平行四边形，所以N 为AC 的中点． ································· 2分 因为M 为PC 中点，所以MN ∥P A ． 又P A /⊂平面MBD ，MN ⊂平面MBD ，所以P A ∥平面MBD ． ············································································ 4分 （2）方法1取CD 中点E ，连AE ．因为AB ＝AD ，四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为菱形， 又∠BAD ＝120°，所以∠ADC ＝60°，因此△ACD 为等边三角形，所以AE ⊥CD ，即AE ⊥AB ． ·································································· 6分 又P A ⊥平面ABCD ，故以AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，FNMDCBAPx yz E 0)，P (0，0，2)，C (1， 3 ，0)，D (－1， 3 ，0)，M (12 ，32 ，1)，所以AB →＝(2，0，0)，AM →＝(12 ，32 ，1)，AD →＝(－1， 3 ，0)．设平面AMB 的一个法向量为n 1→＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1→·AB →＝0，n 1→·AM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，12x ＋32y ＋z ＝0，取x ＝0，y ＝2，z ＝－3， 即n 1→＝(0，2，－3)． ········································································ 8分 设平面AMD 的一个法向量为n 2→＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1→·AD →＝0，n 1→·AM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，12x ＋32y ＋z ＝0，取x ＝3，y ＝1，z ＝－3， 即n 1→＝(3，1，－3)． ···································································· 10分 则cos ＜n 1→，n 2→＞＝0×3＋2×1＋(－3)×(－3)7×7＝57，又＜n 1→，n 2→＞∈(0，π)，所以二面角B －AM －D 的平面角的正弦值为267． ··································· 12分方法2因为AB ＝AD ，四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为菱形． 又∠BAD ＝120°，所以∠ABC ＝60°，因此△ABC 为等边三角形． 又AB ＝2，N 为AC 的中点，所以BN ＝3．FNMDCBAP取AM 中点F ，连BF ，DF ，在Rt △BMN 中，MN ＝1，BN ＝3，所以BM ＝2． ··································· 6分 又因为AB ＝2，所以BF ⊥AM ，同理可证DF ⊥AM ，所以∠BFD 即为二面角B －AM －D 的平面角． ·············· 8分 在Rt △AMN 中，AN ＝MN ＝1，AM ＝2． 在△BAM 中，BF ＝BA 2－AM 24＝142． 同理在△DAM 中计算得DF ＝142． ····················································· 10分 又BD ＝23， 所以cos ∠BFD ＝BF 2＋DF 2－BD 22BF ·DF ＝－57．又∠BFD ∈(0，π)，所以sin ∠BFD ＝1－cos 2∠BFD ＝267， 所以二面角B －AM －D 的平面角的正弦值为267． ·································· 12分20．（本小题满分12分） 解：（1）K 2＝(45＋5＋35＋15)(45×15－35×5)2(45＋5)(35＋15)(45＋35)(5＋15)＝6.25． ······································ 2分因为6.25＜6.635，所以没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关． ·········································································································· 3分（2）设2人中合格人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝0)＝C 035C 215C 250＝335，P (X ＝1)＝C 135C 115C 250＝37，P (X ＝2)＝C 235C 015C 250＝1735 ， ········································································· 6分所以2人中合格人数的概率分布为所以数学期望E (X )＝0×335＋1×37＋2×1735＝75． ·········································· 7分（3）该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率为35＋45100＝0.8． ·········· 8分两次考试后两人全部合格可分为三类：第一类：两名学生第一次考试都合格，则概率为0.82＝0.64；第二类：两名学生中有一位第一次考试不合格，第二次合格，则概率为C 12×0.8×0.2×0.9＝0.288；第三类：两名学生中第一次考试都不合格，第二次都合格，则概率为0.22×0.92＝0.0324； ········································································································ 11分 所以0.64＋0.288＋0.324＝0.9604，所以2名学生至多两次四级考试后，这两人全部合格的概率为0.9604． ········· 12分21．（本小题满分12分）解：（1）抛物线y 2＝2px 的焦点F (p 2，0)．因为P (0，2)，且A 为PF 中点，所以A (p4，1)．因为A 在抛物线上，所以1＝2p ×p4，解得p ＝2． ······································ 2分（2）由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 12＝22x 1，y 22＝22x 2．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝22x ，消去x ，得ky 2－22y ＋42＝0，则y 1＋y 2＝22k ，y 1y 2＝42k ． ································································· 4分假设存在定点T (m ，n )，则TA →＝(x 1－m ，y 1－n )，TB →＝(x 2－m ，y 2－n )，所以TA →·TB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋(y 1－n )( y 2－n ) ·············································· 6分＝(24y 12－m )(24y 22－m )＋(y 1－n )( y 2－n ) ＝18y 12 y 22－24m (y 12＋y 22)＋m 2＋y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋n 2＝18y 12 y 22－24m [(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2＋y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋n 2 ············· 8分 ＝4k 2－24m (8k 2－82k )＋m 2＋42k －22n k＋n 2 ＝(4－22m )1k 2＋(4m ＋42－22n )1k＋m 2＋n 2． ························· 10分要使得TA →·TB →为常数，则⎩⎪⎨⎪⎧4－22m ＝0，4m ＋42－22n ＝0，解得m ＝2，n ＝4，所以存在定点T (2，4)，此时TA →·TB →＝m 2＋n 2＝18．··································· 12分22．（本小题满分12分）解：（1）由f (x )＝e ax －x ，得f ′(x )＝a e ax －1． ····················································· 1分令f ′(x )＝0，得x ＝－1aln a ．当x ＜－1a ln a 时，f ′(x )＜0；当x ＞－1aln a 时，f ′(x )＞0，所以，f (x )的减区间为(－∞，－1a ln a )，增区间为(－1a ln a ，＋∞)． ··················· 3分（2）设g (x )＝f (x )－(1＋12ax 2)＝e ax －12ax 2－x －1， x ∈[0，＋∞)．则g′(x )＝a e ax －ax －1，g′′(x )＝a (a e ax －1)＝a f ′(x )． ①当a ≥1时，因为x ≥0，所以g′′(x )≥a (a －1)≥0，从而g′(x )在[0，＋∞)上单调递增． 因此g′(x )≥g′(0)＝a －1≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以g (x )≥g (0)＝0恒成立，因此a ≥1符合题意． ············································································· 7分 ②当0＜a ＜1时，由（1）知，当x ∈(0，－1a ln a )时，g′′(x )＝a f ′(x )＜0，所以g′(x )单调递减，因此，当x ∈(0，－1a ln a )时，g′(x )＜g′(0)＝a －1＜0，所以g (x ) 单调递减，故g (－1aln a )＜g (0)＝0，与g (x )≥0恒成立矛盾．因此0＜a ＜1不符合题意． ····································································· 9分 ③当a ＝0时，此时g (x )＝－x ，g (1)＝－1＜0，与g (x )≥0恒成立矛盾，因此a ＝0不符合题意． ········································································ 10分 ④当a ＜0时，此时g (－2a )＝e －2－1＜0，与g (x )≥0恒成立矛盾．因此a ＜0不符合题意．综上，a ≥1．······················································································ 12分。
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河西区高三年级疫情期间居家学习学情调查数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. AAB DCD DBB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （10）3 （11）47 （12）32π （13）32 （14）207 1 （15）31 949-三、解答题：本大题共5小题，共75分. （16）（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==，C a B b C c A a sin 2sin sin sin =-+， 得ac b c a 2222=-+，…………2分由余弦定理22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ， 在△ABC 中，π0<<B ， 所以4π=B . …………4分（Ⅱ）（ⅰ）解：由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==， 所以322232sin 32sin =⨯==B A .…………8分（ⅱ）解：由b a 23=，可得b a <，故有B A <，所以A 为锐角， 故由32sin =A ，可得37cos =A ， 所以9142cos sin 22sin ==A A A ， 951cos 22cos 2=-=A A ，…………12分所以1825744sin 2cos 4cos2sin )2sin(+=+=+πA πA B A . …………14分（17）（本小题满分15分）由题意，四边形ABCD 是菱形，E 为AB 的中点，︒=∠60DAB ，所以AB DE ⊥， 又⊥ND 平面ABCD ，可以建立以D 为原点，分别以，DC ，DN 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得)013(,,A -，)013(,,B ，)020(,,C ，)000(,,D ，)003(,,E ，)113(,,M -，)100(,,N ，…………2分（Ⅰ）证明：由题意，)110(-=,,，)133(--=,,，设)(z y x ,,n =为平面MEC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00MC ME n n ，即⎩⎨⎧=-+-=-0330z y x z y ，不妨令1=y ，可得)1132(,,n =，又)113(--=,,NA ，可得0=⋅n ，又因为直线⊄NA 平面MEC ，所以NA ∥平面MEC .…………5分（Ⅱ）解：)120(-=,,MB ，由（Ⅰ）知平面MEC 的一个法向量)1132(,,n =，因此有106cos ==， 所以直线MB 与平面MEC 所成角的正弦值为106. …………10分（Ⅲ）解：设)13(h P ,,-，[]10,h ∈，)023(,,-=EC ，)10(h EP ,,-=，设)(z y x ,,m =为平面PEC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EC EP m m ，即⎩⎨⎧=+-=+-0230y x hz y ，不妨令h y 3=，可得)332(,,m h h =，…………12分yAM P又)100(,,=DN 是平面DEC 的法向量，所以23cos ==， 解得77=h ，所以线段AP 的长为77. …………15分（18）（本小题满分15分）（Ⅰ）解：Θ椭圆的右焦点F 的坐标为)01(,，1=∴c ，Θ离心率22=e ，22=∴a c ，2=a ， 由222c b a +=，解得1=b∴椭圆的方程为1222=+y x .…………5分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设直线PQ 的方程为m kx y +=（0≠k ），)(11y ,x P ,)(22y ,x Q ,与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 1222，整理得：0)1(24)12(222=-+++m kmx x k由韦达定理：124221+-=+k kmx x ，12)1(22221+-=⋅k m x x ， 1222221+-=+=∴k km x x x C ，代入m kx y +=得：122+=k my C 即C 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-1212222k m ,k km，…………7分线段PQ 的垂直平分线AB 的方程为⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-12211222k m k x k k m y ，令0=y ，得⎪⎭⎫⎝⎛+-0122,k km A ，令0=x ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1202k m ,B ，…………8分2C B A x x x +=Θ，2CB A y y y +=， ∴A 为BC 的中点.…………10分（ⅱ）解：由（ⅰ）知A 为BC 的中点，53)1(222=-===∴∆∆∆∆A A ABF ABO BCF ABO x x AF AO S S S S ， 116=∴A x ，…………12分 QF PF ⊥Θ，0)1)(1(2121=+--∴y y x x ，由m kx y +=11，m kx y +=22，整理得：0=4+1-32km m ，即mm k 4312-=，又116122=+-=k km x A Θ，经计算得：32=m ，…………13分Θ点P 、Q 为椭圆上位于第一象限的两个动点，0>∴m ，即3=m ，代入m m k 4312-=，解得332-=k ， ∴直线PQ 的方程为3332+-=x y .…………15分（19）（本小题满分15分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q .由1321,2,a a a ==+可得220q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.…………2分设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n = …………5分（Ⅱ）解：()()111++=+n n nn a a a c ()()12112112122111+-+=++=---nn n n n ， …………7分所以n T 12112112112112112112110+-++++-+++-+=-n n Λ 12121+-=n.…………10分（Ⅲ）解：依题意，得∑∑21=21==nni i i i d ∑=-ni i12()ini i 2⋅1++∑1=，()1-21-21=2+2=22+12=∑n n n n i ni ，()2221212211-=--=+=∑n nni i，…………12分设()n n n n n M 2122423221321⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=-Λ，①()132********+⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n M ΛΛΛΛ，②由①-②得：()132212224+⋅+-++++=-n n n n M Λ12+⋅-=n n ，所以()==2⋅1+∑1=n ini M i 12+⋅n n ，所以()2+2⋅3-4+2=1-1-221=∑n n i in dn.…………15分（20）（本小题满分16分）（Ⅰ）解：当1=a 时，x x x f 2ln )(-=，则()2-1=xx 'f ，0>x ， 2)1(-=∴f ，1)1(-=∴'f ，∴函数函数)(x f 的图象在1=x 处的切线方程为)1()2(--=--x y ，即01=++y x ．…………5分（Ⅱ）解：不等式1)(≤x f ，即12ln ≤-ax x ，0>x Θ，xx a 1ln 2-≥∴恒成立， 令x x x h 1ln )(-=（0>x ），则2ln 2)(xx x 'h -=，…………7分当2e 0<<x 时，0)(>x 'h ，)(x h 单调递增，当2e >x 时，0)(<x 'h ，)(x h 单调递减，∴当2e =x 时，)(x h 取得极大值，也为最大值，故22max e 1)(e )(==h x h ， 由2e 12≥a ，得2e 21≥a ，∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞212,e ．…………10分（Ⅲ）证明：由x ax x x x f x g ln 22121)()(22+-=+=，得x ax x a x x x 'g 1221)(2+-=-+=，①当11≤≤-a 时，)(x g 单调递增无极值点，不符合题意；②当1>a 或1-<a 时，令0)(=x 'g ，设0122=+-ax x 的两根为0x 和'x ，0x Θ为函数)(x g 的极大值点，'x x <<∴00，由10='x x ，020>=+a 'x x ，可知1>a ，100<<x ，又由021)(000=-+=a x x x 'g ，得0221x x a +=， …………12分1ln 2212ln 1)(00030030002000++--=++-=++x x xx x x x x ax x f x Θ，100<<x ，令1ln 22)(3++--=x x x x x u ，)10(,x ∈，则x x x 'u ln 2123)(2++-=，令x x x v ln 2123)(2++-= ，)10(,x ∈，则 x x x x x 'v 23-1=1+-=3)(， 当330<<x 时，0)(>x 'v ，当133<<x 时，0)(<x 'v ，033ln )33()(max <==∴v x v ，0)(<∴x 'u ，)(x u ∴在)10(,上单调递减，0)1()(=>∴u x u ， 01)(2000>++∴ax x f x ．…………16分。