圆和正多边形在不同条件下的无滑动滚动模型构建

【关键词】滚动
正多边形
圆
地面
平稳
1. 圆在不同条件下的无滑动滚动问题研究
《数学•北师大版九年级下 2014 年 11 月版》91 页随堂练习第二题引发的思 考 （1） 如图，一枚直径为 d 的硬币沿着直线滚 动一圈，圆心经过的距离是多少？ 分析：这是一道属于圆沿直线滚动的问题。硬币沿着直线滚动一周，滚动 过程中圆与直线始终是相切的， 圆心到直线的距离都等于半径，所以圆心经过的 路径就是首尾两个切点之间的长度，即圆心经过的距离等于硬币的周长。 （2） 《北师大版九年级下 2004 年 7 月版》137 页问题解决第三题 请你动手试一试：如图，取两枚大小相同的硬币，将其 中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周， 那么滚动的硬币自身转了多少圈？ 分析：动圆绕自身圆心旋转了 720°，因此硬币自转了 2 圈。 （圆半径相等，所以滚动距离为圆心经过距离） 圆这一章学习结束之后， 笔者针对课本上的这两道习题，思考有关圆的滚动 方面的问题，设置了以下几个分类进行探究。 1.1. 圆的滚动问题的分类 笔者经过思考就可以得到： 圆的滚动类问题大致可分为三类：一是圆在直线 上滚动，二是圆在折线上滚动，三是圆在曲线（一般指圆或圆弧）上滚动。圆在
E
A F
解：圆心经过的路径为 AB— BC — CD 即圆心经过距离为 2C C ∴圈数为（ 2C C 1.2.3.
n 360
n n ）/C 即（2+ ）圈. 360 360
圆沿着多边形滚动
1) 圆沿着多边形外部滚动
a) 如图，周长为 c 的 O 绕△ABC 的边上运动，
B
从与 AB 相切于点 A 开始出发，最终回到点 A。若△ ABC 的周长是 a，则 O 转动了多少周？ 分析：圆心经过的路径＝边上滚动距离+顶点上 滚动距离 又∵外角和为 360°∴圆心运动距离为 a+c ∴圆运动圈数为
分析：由题意得：∠ OA2O’ =∠ AOA 1 2
360 180 = ，∠ BOA2 = n n
...... An O O' A3
∴ OA2 =
a 2 sin 180 n
A1 B A2 A3'
∴ OO ' =
a 180 n sin n
所以路径长度为
ac
O A C
b) 如图，周长为 c 的 O 绕多边形 AA1…An 的边 上运动，从与 AA1 相切于点 A 开始出发，最终回到点 A。若多边形的周长是 a，则 O 转动了多少周？ 分析：∵多边形外角和为 360° ∴圆转一圈转了 360°即圆心滚动距离为 a+c 圈数为
DEF
D E B F C
∴C
DEF
C
ABC

Rr Rr =c R R
(3)若半径为 r 的圆在边长为 a 的正 n 边形内滚动且与之始终保持相切， 求圆心运 动距离。
分析：圆心滚动距离=C 正 n 边形 FGHIJ
A F
a r 180 2 tan n = an a 180 2 tan n
2. 多边形平稳滚动条件的研究
问题的提出：《数学•北师大版九年级下》67 页读一读 我们平常生活中使用的轮子都是圆形的，原因很好理解，就是因为圆的半径 相等， 任何时间在水平面上滚动圆心与水平面间的距离都相等，这也是轮轴设计 在圆心的原因。 对此，笔者提出问题，如果非圆形的几何图形要平稳地滚动，那么它所需要 的地面形状应该是什么样的呢？ 2.1. 正方形平稳滚动探究
圆和正多边形在不同条件下的无滑动滚动模型构建 郝时妤 张哲源
（西安铁一中分校 2015 届 M3-4 班，陕西 西安 710054）
【摘要】 这篇论文主要探究和总结了各种平面几何图形的滚动问题，主要分为三大类，
一是圆的滚动问题，具体是圆在直线上，圆在折线上，圆在多边形内外，圆在圆内外滚动 时圆绕自身旋转的圈数和圆心所经过的距离。 二是， 扇形在直线上滚动时圆心经过的距离。 三是， 多边形在直线上滚动时中心所经过的距离和多边形在满足什么条件的地面上才能平 稳滚动。论文对以上每一个情况都做出了一般性结论。
(0 x
2 R ) n
180 ) 2 R n 即0 x 时， f (x) R 180 x 180 n sin( 90 ) R n R sin(90
3 a ，∠OBO’=120° 3
C O A B
A' O' C'
OO ' =
2 r 2 3 a = 3 9
∴路径为
2 3 a 9
2) 正方形在直线上的无滑动滚动 已知正方形 ABCD 的边长是 a ，它的几何中心是点 O，当它在直线滚动到正 方形 BC ’D’C 的位置时， 点 O 走过路径的长度是多少？ 分析：∵边长为 a
注：如果作为前后轮，那么前后两轮的距离必须是 驶的目的
k R 的整数倍，否则也不能达到平稳行 2
2.2.
正多边形平稳滚动探究
如图，作正 n 边形的外接圆，过 A 作⊙O 的切线, 以该切线为 x 轴，以 OA 为 y 轴建立平面直角坐标 系，⊙O 沿 x 轴正方向滚动，过 O 作 OG⊥x 轴交正 n 边形与点 F,F 的运动路线即为地面形状。 设该正 n 边形外接圆半径为 R，设∠AOF=α 则 OAF 90 由正弦定理得
设 F（x,y）
x AG 2 R 360 180 则 R sin(90 ) n y FG R 180 sin( 90 ) n

180 x R
180 ) n y R 180 x 180 sin( 90 ) R n R sin(90
OF 180 sin(90 ) n OA 180 sin( 90 ) n R sin( 90 180 ) n
180 n
180 ) n OF 180 sin( 90 ) n R sin(90
（0
360 ） n
180 ) n FG OG OF R 180 sin( 90 ) n R sin(90
OE OA R sin 45 sin( 45) sin( 45)
2 R 2 OE sin( 45)
2 R 2 FE OF OE R sin( 45)
设 E（x,y）
x AF 2 R 360 则 2 R 2 y FE R sin( 45)
n n R 2 360 360
O A' A C B
O'
A''
B'
O''
O ' O ''
2 R R 4 2
∴路径长度为 1.3.2.
n R R 360 2
正多边形在直线上的滚动
1) 正三角形在直线上的无滑动滚动 已知正△ABC 的边长是 a ，它的几何中心是点 O，当它在直线滚动到△A’BC ’ 的位置时，点 O 走过路径的长度是多少？ 分析∵三角形边长为 a ∴r=OB=
A'
分析：∵ABC 是半圆
A O1 B O2
∴半径相等 ∴路径为 O1O2 — O2O3
C B' O3 A''
O1O2 =CB’= BC
O2O3
2 R R 4 2
2 R R 4 2
∴路径长度为πR. 2) 如图，半径为 R，圆心角为 n°的扇形 AOB 与直线相切于点 C，当扇形在直线上作无 滑动的滚动从初始位置到扇形 A’’OB’时， 圆心 O 经过的路径的长度是多少？ 分析：路径为 OO’- O ' O '' OO’=CB’= BC = 2 R
2 ∴OB= a，∠OBO’=2×45°=90° 2
D O A
C O' B
D'
C'
OO ' =
2 r 2 a = 4 4
∴走过路径为
2 a 4
正 n 边形直线上的无滑动滚动 已知正 n 边形 A1A2…An 的边长是 a ，它的几何中心是点 O，当它在直线上作 无滑动的滚动，当点 A3 落在直线上时，点 O 走过路径的长度是多少？
从正方形入手探究，正方形要平稳滚动，就要把它放在可以在水平面上平稳 滚动的圆中观察。如图，作正方形 ABCD 的外接圆，过 A 作⊙O 的切线,以该 切线为 x 轴，以 OA 为 y 轴建立平面直角坐标系，⊙O 沿 x 轴正方向滚动，过 O 作 OF⊥x 轴交正方形 ABCD 与点 E,E 的运动路线即为地面形状。 设正方形 ABCD 的外接圆半径为 R, ∠AOE＝α ∵∠OAE＝45° 由正弦定理得
180 2 tan anr n =an . a
E J I D
G H C
B
1.2.4.
圆沿着圆滚动
已知：两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币 的外侧边缘无滑动地滚动一周，滚动硬币的圆心移动多少距离？ 分析：无滑动地滚动指滚动过程中两硬币（两圆）始终外切，若固定硬币为 ⊙O，滚动硬币为⊙O′,半径均为 R，OO′=2R，动圆的圆心 O′所经过的路径是 一个半径为 2R 的圆的周长即 2π(R+R）=4πR（同时也意味着动圆转了两圈） 。 综合结论： 设两圆周长分别为 a、c. 1.⊙O2 在⊙O1 中滚动一周始终内切,转动圈数为
=
180 x R
2 R 2 y R 180 x sin( 45) R
(0 x
R
2
)
即0 x
R
2
2 R 2 时， f (x) R 180 x sin( 45) R
且 f(x)的最小正周期为
R
2
，设
k R (k 1) R 且 k 取整 Ik 2 2
a -1 c
2.⊙O2 在⊙O1 中滚动一周始终外切,转动圈数为
O1 O2
O1
a +1 c
O2
且不论大圆绕小圆还是小圆绕大圆都成立. 1.3. 其他滚动情况的联想 1.3.1. 扇形在直线上的滚动
1) 如图：已知半径为 R 的半圆 O1 在直线上做无滑动的滚动，当半圆 O1 运 动到 O3 的位置时，圆心经过的路径长度是多少？
r +r
不同的线上滚动会产生不同的情况。 （无论圆在何处滚动，滚动距离永远为圆心 经过路的长） 1.2. 针对不同情况的计算 学生经过讨论很快发现前面的两个题目都是计算圆心走过的路径或者是计 算圆转过的圈数，下面分别进行分析讨论。 1.2.1. 圆沿着直线滚动
如图： O1 沿着直线 AB 滚动一圈，圆心经过的距离是多少？ 分析：∵圆的半径相等 ∴ O1 A O2 B
A O1 O2
又∵ O1 A AB , O2 B AB ∴四边形 O1 ABO2 为矩形 ∴ O1O2 =AB= C 1.2.2.
O1
B
圆沿着折线滚动
如图： FG=GH=c， A 的周长也是 c， ∠FGH 的补角是 n°， 则当 位置时，计算
A 运动到 D
B C G D H I
A 自转的圈数。
ac a 1 . c c
A1 A2 A3 O A An ...... A4
2) 圆沿着三角形的内部运动 若半径为 r 的 D 沿着△ABC 的内部沿顺时针方向
A
滚动，且运动过程中 D 一直保持与△ABC 相切，已知 △ABC 的周长为 c，内切圆半径是 R，当点 D 第一次回 到它的初始位置时，它所经过的路径长度是多少？ 分析：圆心滚动距离= C ∵圆与三角形始终相切 ∴DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC ∴△ABC∽△DEF

k R (k 1) R x 2 2 k R R 2 2
则0 x
2 R k R 2 f (x ) R 且 k 取整 k R 2 180( x 2 ) sin 45 R
2 R 2 f ( x) R 且 k 取整 k R 180( x 2 ) sin 45 R