“三种转化”在平行线问题中的应用

“三种转化”在平行线问题中的应用

在数学里，把一个对象转化为另一个对象，常常可以化繁为简，化未知为已知，从而达到解决问题的目的，这种思考问题的方法，就是“转化”．下面就一起看看转化思想在解决平行线的有关问题中的应用．

一、“数”与“形”的互化

平行线的条件就是把同位角、内错角、同旁内角之间的数量关系（数）转化为两直线的位置关系（形）；而平行线的性质就是把两直线的位置关系（形）转化为同位角、内错角、同旁内角之间的数量关系（数）．

例1、如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，若∠1＝64°，则∠3＝______度．

分析：题目条件是“形”，因为∠1与∠3是AB、CD被EF所截的同位角，根据两直线平行，同位角相等，可得∠3=∠1，将“形”转化为“数”，问题得以解决．

解：因为AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠3=∠1=64°，所以∠2=64°．

二、角转化

与平行线有关的角有三类：同位角、内错角、同旁内角，当问题中出现的角不是这三类角时，要将它们转化为这三类角，再利用平行线的性质解决问题．角的转化要特别注意对顶角、余（补）角等性质的应用．

例2、如图A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，试说明BD∥CE

分析：先由“数”向“形”转化，即由∠1＝∠2，得AD∥EB；再“形”向“数”转化，即由AD∥EB，得∠D＝∠DBE；再进行角的转化，即由∠D＝∠DBE 和∠3＝∠D，得∠3＝∠DBE，最后再由“数”向“形”转化，即由∠3＝∠DBE，得BD∥CE．

解：因为∠1＝∠2

所以AD∥BE（内错角相等，两直线平行）

所以∠D＝∠DBE（两直线平行，内错角相等）

因为∠3＝∠D

所以∠3＝∠DBE（等量代换）

所以BD∥CE（内错角相等，两直线平行）

三、图形的转化

“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．

例3、如图, AB//CD, 若∠ABE=120°, ∠DCE=35°, 则有∠BEC=_______度.

分析:从图形上看，由于没有一条直线截AB与CD ，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．本题转化方法有两条思路，一是构造与AB、CD都相交的截线，但需要用到三角形内角和是180°；二是可过E点作EF//AB，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得EF//CD，这样可将图形转化．解:作EF//AB，因为AB//CD，根据平行于第三条直线的两直线平行，所以EF//CD，所以∠ABE+∠BEF=180°,∠FEC=∠C,

所以∠BEC=∠ABE+∠DCE=120°+35°=155°.

从上面的过程我们可以看出，解题的过程实际上就是一个转化的过程，转化是一种正迁移．同时要实现这种转化，也离不开对知识、技能的掌握和灵活运用．