逻辑斯蒂方程
关于逻辑斯谛方程
关于逻辑斯谛方程
关于逻辑斯谛方程
000
摘要：逻辑斯谛方程即微分方程：dN/dt=rN（K-N）/K。当一个物种迁入到一个新生态系统中后，其数量会发生变化。假设该物种的起始数量小于
环境的最大容纳量，则数量会增长。该物种在此生态系统中有天敌、食物、空
间等资源也不足（非理想环境），则增长函数满足逻辑斯谛方程，图像呈S形，此方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型。在以下
内容中将具体介绍逻辑斯谛方程的原理、生态学意义及其应用。
关键词：逻辑斯谛方程；原理；生态学意义；应用
1 前言
1938年一位比利时的数学家Verhulst首先将营养关系反映到种群数
学模型方面，是它首先导出了后来被广泛称为逻辑斯谛的方程。但在当时并没
有引起大家的注意，直到1920年两位美国人口学家Pearl和Reed在研究美国
人口问题时，再次提出这个方程，才开始流行，故现在文献中通常称之为Verhulst-Pearl阻碍方程。其所以又称为逻辑斯谛方程是因为其有某种逻辑推
理的含义。按现在的用语来说，它是一个说理模型，实际上是反映营养对种群
增长的一种线性限制关系的说理模型。
1963年，洛伦兹发现确定性系统的随机性为，并且发现了这种随机行
为对初值的敏感性。1975年，美籍华人学者李天岩和数学家约克发表“周期中
蕴含着混沌”的著名文章，揭示从有序到混沌的演化过程。这些内容都包含在
逻辑斯谛差分方程中。1976年R.梅在英国《自然》杂志上发表了研究逻辑斯谛方程的成果—《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》，引起学术界极大关注，内容已远远超越了生态学领域，揭示出逻辑斯谛方程深处蕴藏的丰富内涵。
二元逻辑斯蒂模型
二元逻辑斯蒂模型
二元逻辑斯蒂模型（Binary Logistic Regression Model）是一种常用的统计学习方法，广泛应用于分类问题的建模和预测中。它是逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）的一种特殊情况，适用于目标变量只有两个可能取值的情况。
在二元逻辑斯蒂模型中，目标变量通常被编码为0和1，代表两个不同的类别或结果。模型的目标是根据一系列自变量的取值来预测目标变量的类别。这些自变量可以是连续变量、离散变量或二元变量，它们与目标变量之间的关系通过模型中的参数来表示。
二元逻辑斯蒂模型的基本原理是通过逻辑斯蒂函数（Logistic Function）将线性回归模型的结果转化为一个介于0和1之间的概率值。逻辑斯蒂函数的形式为：
P(Y=1|X) = 1 / (1 + exp(-z))
其中，P(Y=1|X)表示在给定自变量X的条件下目标变量Y取值为1的概率，exp表示自然指数函数，z为线性回归模型的结果。通过对逻辑斯蒂函数的变形，我们可以得到：
logit(P(Y=1|X)) = log[P(Y=1|X) / (1 - P(Y=1|X))] = β0 + β1X1 +β2X2 + ... + βnXn
其中，logit(P(Y=1|X))称为对数几率（log odds），β0、β1、
β2...βn为模型的参数，X1、X2...Xn为自变量。
通过最大似然估计等统计方法，可以对二元逻辑斯蒂模型的参数进行估计和推断。模型的参数估计结果可以用来解释自变量对目标变量的影响程度，以及自变量之间的相互作用。
逻辑斯谛增长
逻辑斯谛增长
1逻辑斯谛增长
逻辑斯谛增长(Logistic Growth)是最早由威廉·莱特沃特·斯蒂芬斯谛(William Letchworth Dixon)提出的增长模型，是生命科学和社会科学的重要分支，涉及到当代生态学等多种学科。逻辑斯谛增长，也称为S型增长，指的是一种种群增长曲线，基本形态是上升拐弯处后接受环境因素影响趋向平稳，形成S型曲线。
2逻辑斯谛增长的模型
逻辑斯谛增长的模型定义为：每个时间段的种群增长量与当前的种群密度之间具有负反馈关系，按照相应的种群增长函数可以写成如下分子生物学表达式：
$\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K})$
上式中$N(t)$表示时刻t时的种群大小，r表示在绝对繁殖环境下的增长率，K表示种群达到环境容量的大小值。
3逻辑斯谛增长的应用
逻辑斯谛增长被广泛用于衡量自然植物种群和昆虫种群的形成和发展等，更为广泛的应用是衡量人口的发展，不仅可以用来描述实际的人口统计情况，还可以用在研究教育人口等量子任务上。
从当今的发展概况来看，不同的科学界对于这种模型有着不同的对待，由于其十分自然、可视化的状态表达函数，被广泛应用于当今
大部分新兴领域，如智能、社交网络等，也可以作为应用研究工具，广泛投射到社会经济、政治和科技等领域。
总之，逻辑斯谛增长是一种重要的、可视化的模型，它在自然、文化、社会及经济等多个学科中都得到了广泛的使用。只要能充分利用这种模型，就可以准确地预测和分析社会的发展，为有效把握社会的发展方向、进步提供重要的参考依据。
逻辑斯蒂增长模型
逻辑斯蒂增长模型
逻辑斯蒂增长模型(Logistic growth model)逻辑斯蒂增长模型又称自我抑制性方程。用植物群体中发病的普遍率或严重度表示病害数量(x)，将环境最大容纳量k 定为1(100%)，逻辑斯蒂模型的微分式是：dx/dt=rx(1-x) 式中的r为速率参数，来源于实际调查时观察到的症状明显的病害，范。德。普朗克(1963)将r称作表观侵染速率(apparent infection rate)，该方程与指数模型的主要不同之处，是方程的右边增加了(1-x)修正因子，使模型包含自我抑制作用。
逻辑斯蒂曲线通常分为5个时期：
1.开始期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢。
2.加速期，随个体数增加，密度增长加快。
3.转折期，当个体数达到饱和密度一半（K/2),密度增长最快。
4.减速期，个体数超过密度一半（K/2)后，增长变慢。
5.饱和期，种群个体数达到K值而饱和。
逻辑斯蒂方程有几种不同的表达形式；三中通用形式，外加一种积分形式，如下：
dN/dt=rN*(K-N)/K或
dN/dt=rN-(r*N^2)/K或
dN/dt=rN(1-N/K)和积分形式
Nt=K/[1+e^(a-n)]
其中dN/dt是种群增长率（单位时间个体数量的改变），r是比增长率或内禀增长率，N是种群的大小（个体的数量），a是积分常数，它决定曲线离原点的位置，K是可能出现的最大种群数（上渐近线）或承载力。
Lotka-Volterra模型
20世纪40年代，Lotka（1925）和Volterra（1926）奠定了种间竞争关系的理论基础，他们提出的种间竞争方程对现代生态学理论的发展有着重大影响。
逻辑斯谛方程怎么求
逻辑斯谛方程是一个一阶非线性常微分方程，可分离变量求通解。具体求解步骤如下：
1. 确定方程的形式：逻辑斯谛方程即微分方程dN/dt=rN(K-N)/K，其中N为种群个体总数，t为时间，r为种群增长潜力指数，K为环境最大容纳量。
2. 对方程进行分离变量：将方程改写为dN/dt=rN(1-N/K)。
3. 对分离后的方程进行求解：通过求解这个微分方程，可以得到种群数量的变化规律。
请注意，以上步骤仅适用于一般的逻辑斯谛方程求解，具体的求解过程可能因方程的具体形式和参数而有所不同。
逻辑斯谛方程
k-Factor analysis
This technique allows the identification of key factors contributing to mortality. Stage-specific k-values obtained over successive years are compared to the values for total mortality (ktotal). K-Factor analysis highlights those stages suffering the greatest mortality which are responsible for fluctuations in loss rate and hence population size.
Life tables
Life tables summarize the fate of a group of individuals born at approximately the same time from birth to the end of the life cycle. Such a group is known as a cohort and investigation of this kind is termed cohort analysis. Life tables show the number of individuals present at different life stages or ages together with age-specific survival rates and age-specific mortality rates calculated for each stage. Mortality at each stage is expressed by k-values which are derived from logarithms and can be summed to give total mortality
简述逻辑斯蒂方程的特点及其应用意义
简述逻辑斯蒂方程的特点及其应用意义
逻辑斯蒂方程是一种常用的非线性回归模型，它可以用来描述两个变
量之间的关系。该方程的特点是具有S形曲线，即在自变量取值较小
或较大时，因变量的增长速度较慢；而在自变量取值中间区间时，因
变量的增长速度较快。
逻辑斯蒂方程通常用于二分类问题，即将某个样本判定为正类或负类。在这种情况下，因变量通常表示样本属于正类的概率。例如，在医学
研究中，我们可以使用逻辑斯蒂方程来预测某个人是否患有某种疾病。在金融风控领域中，我们可以使用逻辑斯蒂方程来评估客户是否有违
约风险。
逻辑斯蒂方程的应用意义主要体现在以下几个方面：
1. 逻辑斯蒂方程具有良好的拟合能力：与线性回归模型相比，逻辑斯
蒂方程能够更好地拟合非线性数据，并且能够避免过拟合问题。
2. 逻辑斯蒂方程具有直观的解释性：逻辑斯蒂方程中的系数可以用来
解释自变量对因变量的影响程度，从而提高了模型的可解释性。
3. 逻辑斯蒂方程适用范围广：逻辑斯蒂方程不仅可以应用于二分类问
题，还可以扩展到多分类问题，例如使用softmax回归模型。
总之，逻辑斯蒂方程是一种常用的非线性回归模型，在许多领域都具有重要的应用价值。通过使用逻辑斯蒂方程，我们可以更好地理解数据之间的关系，并且能够更准确地预测未知数据。
二元逻辑斯蒂模型
二元逻辑斯蒂模型
二元逻辑斯蒂模型是一种经典的机器学习算法，常用于二分类问题的建模和预测。它的原理基于逻辑斯蒂回归，通过对输入特征进行线性组合和非线性变换，得到一个概率分布模型，从而实现对样本分类的预测。
在二元逻辑斯蒂模型中，我们首先需要确定要预测的目标变量，通常用0和1来表示两个类别。然后，我们需要选择合适的特征来描述样本，并对这些特征进行预处理和转换。这些特征可以是连续的数值型特征，也可以是离散的类别型特征。
接下来，我们使用逻辑斯蒂函数（或称为sigmoid函数）对特征进行加权求和，并将结果映射到0到1的概率范围内。逻辑斯蒂函数的公式为：
P(y=1|x) = 1 / (1 + exp(-wx))
其中，P(y=1|x)表示在给定输入特征x的情况下，预测目标变量y 为1的概率；w表示特征的权重向量；exp()表示指数函数。
为了求解逻辑斯蒂模型中的权重向量w，我们需要使用最大似然估计方法。最大似然估计的目标是使得观测样本的预测概率最大化。通过最大化似然函数，我们可以得到最优的权重向量w。
在实际应用中，我们可以使用梯度下降等优化算法来求解最优的权
重向量w。梯度下降的思想是通过迭代的方式，不断调整权重向量w，使得似然函数逐渐收敛到最大值。
二元逻辑斯蒂模型具有很好的灵活性和解释性。它可以处理线性可分和线性不可分的问题，并且可以通过引入多项式特征和交互特征来处理非线性关系。此外，逻辑斯蒂模型还可以通过调整阈值来控制分类的精度和召回率。
然而，二元逻辑斯蒂模型也存在一些限制。首先，它假设特征之间是独立的，这在某些实际情况下可能不成立。其次，逻辑斯蒂模型对异常值比较敏感，可能会导致模型的性能下降。此外，逻辑斯蒂模型对于高维稀疏特征的处理较为困难。
只有逻辑斯谛方程
逻辑斯谛方程（logistic equation，或译成阻滞方程）
dN rN( K N ) rN(1 N )
dt
K
K
N:种群个体数，r:种群瞬时增长率，t:时间
其积分式为N，t
1
K eart
1.如果种群数量N接近0，那么
(1
N K
)
就接近1，种群增
长就接近指数增长。 2.如果种群数量N接近K，那么
(1 N )
就接近0，表示空
间几乎全部被利用，种群增长的最K大潜在能力不能实现。
“S”型曲线有两个特点： ①曲线渐近于K值，即平衡密度；②曲线上升是平滑的。
①开始期，也可称潜伏期，种 群个体数很少，密度增长缓慢； ②加速期，随着个体数增加， 密度增长逐渐加快； ③转折期，当个体数达到饱和 密度一半（即K／2）时，密度 增长最快； ④减速期，个体数超过 K／2 以后，密度增长逐渐变慢； ⑤饱和期，种群个体数达到K 值而饱和。
实验五
种群在资源有限环境中的 逻辑斯谛增长
指数增长
KN K
Logistic增长
[实验原理]
种群在资源有限环境中的增长，同样可以分为离散种群增长
和连续增长两类。种群在有限环境下的连续增长的一种最简单
的形式就是逻辑斯谛增长。
逻辑斯谛增长模型是建立在以下两个假设基础上的：
逻辑斯带克方程
逻辑斯蒂方程( Logistic Equation) 是数学生物学家Pierre - Francois Verhulst 提出的著名的人口增长模型，为马尔萨斯( Malthus) 人口模型的推广，从其问世以来，它的应用从人口增长模型拓展到很多领域，广泛应用于生物学、医学、经济管理学等方面。
逻辑斯蒂方程
逻辑斯蒂方程
逻辑斯蒂方程是由佛哈特提出逻辑斯蒂生长曲线，用来描述生物种群生长动态的数学模型，其方程式为N=K/（1+Cert）。
1、对产品的需求有一个饱和水平.当产品需求量达到一定数量时，对这种产品的需求也饱和了，设饱和水平为a；
2、假设在时刻t，社会对产品的需求量为x=x（t），需求的增长速度dx/dt正比于需求量x（t）与需求接近饱和水平的程度a-x（t）之乘积，记比例系数为k；
逻辑斯蒂增长模型微积分
逻辑斯蒂增长模型微积分
一、逻辑斯蒂增长模型简介
逻辑斯蒂增长模型（Logistic growth model）是一种常见的生物学模型，用于描述生物种群在资源有限的环境中的增长情况。该模型是对自然增长模型的改进，考虑了资源的影响。
二、逻辑斯蒂增长模型的数学表达式
逻辑斯蒂增长模型的数学表达式如下：
dy dt =r⋅y⋅(1−
y
K
)
其中，y表示种群的大小，t表示时间，r表示种群的增长率，K表示环境的容量。
三、逻辑斯蒂增长模型的微积分推导
为了推导逻辑斯蒂增长模型，我们从离散的角度来考虑种群的增长情况。假设在时间间隔Δt内，种群大小从y增加到y+Δy。那么，我们可以得到以下式子：
Δy=r⋅y⋅Δt⋅(1−y K )
将Δt模拟趋向于0的极限，我们可以得到微分方程：
dy dt =r⋅y⋅(1−
y
K
)
这就是逻辑斯蒂增长模型的微分方程。
四、逻辑斯蒂增长模型的特点
逻辑斯蒂增长模型具有以下特点：
1.当种群大小y达到环境容量K时，种群的增长停止。
2.种群增长速率与种群大小成正比，但随着种群大小趋近于环境容量，增长速
率逐渐减小。
3.当种群大小接近于0或者接近于环境容量时，增长速率接近于0。
五、逻辑斯蒂增长模型的应用
逻辑斯蒂增长模型在生态学和人口学领域有着广泛的应用。
1.生态学中，逻辑斯蒂增长模型可以用来描述物种在特定环境中的生长情况。
通过估计模型参数，可以推断物种的生长率以及环境的容量。
2.人口学中，逻辑斯蒂增长模型可以用来预测人口的增长趋势。通过对历史数
据的拟合，可以预测未来的人口数量，并且评估资源的可持续利用能力。
逻辑斯蒂方程的意义
逻辑斯蒂方程的意义
逻辑斯蒂方程是生物学中的一个重要模型，由英国生物学家R.M. May于1973年提出，广泛应用于生态学、流行病学、社会学等领
域。
逻辑斯蒂方程的数学形式为：dN/dt = rN(1 - N/K)，其中，N表
示种群数量，t表示时间，r表示种群增长率，K表示环境容纳量。这
个方程描述了种群数量随时间变化的规律。当种群数量N小于环境容纳量K时，种群数量随时间线性增长；当种群数量N大于环境容纳量K时，种群数量随时间指数增长；当种群数量N接近环境容纳量K
时，种群数量增长速度逐渐减慢，最终趋于稳定。
逻辑斯蒂方程的解可以用来描述种群数量的变化趋势，预测种群数量的未来变化，研究种群动态的稳定性、周期性和混沌性等复杂行为，也可以被用于研究疾病的传播和防治措施的效果评估等方面。
逻辑斯蒂增长模型微积分
逻辑斯蒂增长模型微积分
逻辑斯蒂增长模型微积分
一、逻辑斯蒂增长模型简介
逻辑斯蒂增长模型是一种描述生物种群生长的数学模型，它可以用来预测种群数量的变化。该模型由比利时数学家皮埃尔-弗朗索瓦·鲁吉·阿德里安·德洛兹（Pierre-Francois Verhulst）于1838年提出，是对Malthusian population growth model的改进和扩展。
二、逻辑斯蒂增长模型公式
逻辑斯蒂增长模型可以用以下公式表示：
dN/dt = rN(1-N/K)
其中，N表示种群数量，t表示时间，r表示固定的增长率，K为环境容纳量。该公式描述了一个基于密度的生态系统中种群数量随时间的变化。
三、逻辑斯蒂增长模型微积分
微积分是研究函数和它们之间关系的数学分支。在逻辑斯蒂增长模型中，微积分可以用来计算种群数量随时间的变化率。
首先，我们需要对公式进行求导：
dN/dt = rN(1-N/K)
dN/dt = rN - rN^2/K
接下来，我们可以使用微积分的链式法则来计算种群数量随时间的变
化率：
dN/dt = dN/dx * dx/dt
其中，dx/dt表示时间的变化率，即1。因此，我们可以将上述公式简化为：
dN/dt = dN/dx
接下来，我们需要计算dN/dx。根据链式法则，我们可以将其表示为：
dN/dx = dN/dt * dt/dx
因为dt/dx=1，所以我们可以将其简化为：
dN/dx = dN/dt
最后，我们可以将求导结果带回原公式中得到：
dN/dt = rN - rN^2/K
这个方程描述了种群数量随时间的变化率。如果r和K是固定的，则可以使用微积分来预测未来的种群数量。
自治微分方程和逻辑斯蒂方程
自治微分方程和逻辑斯蒂方程
自治微分方程和逻辑斯蒂方程
1. 介绍
自治微分方程和逻辑斯蒂方程是应用数学中比较重要的两个概念。自
治微分方程是一类通过微积分学中的微分方程研究自然现象或者物理
变化的方式，逻辑斯蒂方程则是一类用于建模统计学中二分类实验数
据的方程。
2. 自治微分方程
自治微分方程可以描述自然现象或物理变化。通过使用微积分学中的
微分方程，可以描述现象的变化趋势和规律。自然现象如藤萝的生长、人口增长和化学反应等都可以从自治微分方程中得到一定的描述。
自治微分方程的一般形式为：
dy/dt = f(y)
其中y是自变量，t是因变量，函数f(y)描述了y的变化规律。
例如，一个简单的自治微分方程可以用来描述物质的衰变。衰变速率
取决于剩余物质的数量，因此，我们可以将这个现象表示为:
dy/dt = -ky
其中k是衰变常数，描述物质的衰变速率。通过求解该方程，我们可以得到物质的衰变规律。
自治微分方程是应用数学中的基本概念之一。它不仅在物理、化学、生物学中有重要应用，也在工程、经济学等其他领域中有广泛应用。
3. 逻辑斯蒂方程
逻辑斯蒂方程是用于建模统计学中二分类实验数据的一种常用方程。例如，通过逻辑斯蒂方程可以建立一个肿瘤是否是恶性肿瘤的分类模型。
逻辑斯蒂方程是基于S形曲线建立的，公式如下：
f(x)= P(X≤x) = 1 / (1 + e^{-a-bx})
其中x是自变量，a和b是常数，e为自然常数。
逻辑斯蒂方程被广泛使用和改进，可以用于描述很多研究问题，如决策分析、心理学、社会学以及其它一些建模方面的领域。逻辑斯蒂方程的使用不仅可以提高分析者对问题的理解，也可以用于预测工作。
逻辑斯蒂模型
逻辑斯蒂模型（Logistic growth model ）
1.原始逻辑斯蒂模型：
设0t 时刻的人口总数为)(0t N ，t 时刻人口总数为)(t N ，则：
⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)(N t N rN dt dN 但是这个模型有很大的局限性：只考虑出生率和死亡率，而没有考虑环境因素，实际上人类生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的。此人口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数。
2.改进逻辑斯蒂模型：
考虑自然资源和环境对人口的影响，实际上人类所生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的，因此，将人口增长率为常数这一假设修改为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0
02)(N t N KN rN dt dN
其中K r ,称为生命系数
分析如下：
rt t t e r
K N r K t N -∞→∞→-+=)1(1lim )(lim 0 0)1(1lim 0⋅-+=∞→r K N r K t
=
K
r N KN r KN r KN r dt dN KN r dt dN KN dt dN r dt
N d ))(2)(2()2(222---=-=-= 说明：
（1）当∞→t 时，K r t N →
)(，结论是不管其初值，人口总数最终将趋向于极限值K r /；
（2）当K r N
00时，0)(2 N K
r KN KN rN dt dN -=-=，说明)(t N 是时间的单调递增函数；
（3）当K r N 2 时，022 dt N d ，曲线上凹，当K r N 2 时，022 dt N d ，曲线下凹。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.对产品的需求有一个饱和水平．当产品需求量达到一定数量时，对这种产品的需求也饱和了，设饱和水平为a；
2.假设在时刻t，社会对产品的需求量为x=x(t)，需求的增长速度dx/dt正比于需求量x(t)与需求接近饱和水平的程度a-x(t)之乘积，记比例系数为k；
解得t=6，即6小时后，全市有75％的人了解这一通知。
3.商品销售预测问题
例如，某种商品的销售，开始时，知道的人很少，销售量也很小。当这种商品信息传播出去后，销售量大量增加，到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如，这种商品饱和量估计a=500(百万件)，大约5年可达饱和，常数b经测定为b=lnl0，B=100。下面我们来预测一下第3年末的销售量是多少。
根据上述实际背景的两个特征，可建立如下微分方程：
.......................(1)
分离变量，得:
两边积分，得:
其中:
从而，通解为:
......(2)
其中 ，B和b为正常数，可由初始条件确定。式(1)称为逻辑斯蒂方程(1ogistic equation)，式(2)称为逻辑斯蒂曲线。
[编辑]
二、逻辑斯蒂方程的产生和发展
在提出逻辑斯蒂模型之前，最早给出种群生态学wenku.baidu.com典数学模型是Malthus模型，由英国统计学家Malthus（1766-1834）在1798《人口原理》一书中，提出了闻名于世的Malthus人口模型。设t0时刻的人口总数为N0，t时刻人口总数为N(t)，则：
但是这个模型有很大的局限性：只考虑出生率和死亡率，而没有考虑环境因素。实际上人类所生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的，实践证明Malthus人口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数。比利时数学家P.F.Verhulst对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设修改为
其中r,k成为生命系数，是最早的逻辑斯蒂方程模型。"
由 ,有:
(百万件)
所以第三年末的市场销售量大约为454.5百万件，这样可以做到有计划地生产。
逻辑斯蒂方程的应用比较广泛。如果问题的基本数量特征是：在时间t很小时，呈指数型增长，而当t增大时，增长速度就下降，且越来越接近于一个确定的值，这类问题可以用逻辑斯蒂方程加以解决。
浅评逻辑斯蒂方程
宋波玄玉仁卢凤勇崔启武
一、前言
在自然界来和人类社会上存在大量的S型变化的现象，逻辑斯蒂模型几乎是描述s型增长的唯一数学模型。这是一条连续的、单调递增的、但参数k为上渐近线的s型曲线，其变化速度一看是增长较慢，中间段增长速度加快，以后增长速度下降并且趋于稳定。利用它我们可以表征种群的数量动态，描述客观事物的增长过程，同时也作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型。
当x=0.5时，逻值(ln(x/（1-x）)等于0；x<0.5时，逻值为负值；x>0.5时，逻值为正值。S型曲线的直线化，就是将病情(x)百分率转换成逻值后，用普通坐标纸以逻值为纵坐标对时间(t)作图，则病情进展曲线就成为一条直线，也称逻值线(图中B)。逻值线与纵轴相交的截点，为初始病害数量(x0)，逻值线的斜率就是病害的流行速度，即表观侵染速率
[编辑]
逻辑斯蒂方程的应用
1．人口限制增长问题
人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。
2.信息传播问题
所谓信息传播可以是一则新闻，一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期，知道这一信息的人很少，但是随时间的推移，知道的人越来越多，到一定时间，社会上大部分人都知道了这一信息．这里的数量关系可以用逻辑斯蒂方程来描述。若以t表示从信息产生算起的时间，P表示已知信息的人口比例，则逻辑斯蒂方程变为：
...................(3)
例如,当某种商品调价的通知下达时，有10％的市民听到这一通知，2小时以后，25％的市民知道了这一信息，由逻辑斯蒂方程可算出有75％的市民了解这一情况所需要的时间。
在方程(3)中，由t=0时，P=10％可得B＝9;再由t=2时，P=25％可得, 。
当P=75％时，有:
逻辑斯蒂方程
出自MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/)
逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）
[编辑]
逻辑斯蒂方程的推导
当一种新产品刚面世时，厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数，这样厂家便于组织生产，商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢？
【摘要】：正一、一个重要而被滥加引用的方程1838年Verhulst提出的逻辑斯蒂方程,被人们广泛地引用。不仅在自然科学中,甚至在社会科学中亦如此。Deevey认为这种增长型可能是最普遍的,在生态学上,由于逻辑斯蒂方程与因种群密度制约因素而形成的负反馈机制有联系,因而有人说,逻辑斯蒂方程是种群生态学中的核心理论之一,可见,逻辑斯蒂方程处于十分重要地位。(1)利用逻辑斯蒂方程表征种群数量动态:著名的经典实验有Pearl(1927)的果蝇;chapman(1931)的拟谷盗;Gause(1934)
逻辑斯蒂方程的基本性质
1.当t=O时，x(t)的值为： ；
2.x(t)的增长率 ,因此，x(t)是增函数；
3.当B值较大而t较小时， 将很大， ,于是
x(t)近似于依指数函数增大，销售速度不断增大；
4.当t增大以后， 越来越接近于零，分母越来越接近于1，销售速度开始下降，x(t)的值接近于a（饱和值）。
S型
起初增长率越来越大 超过一半后 增长率就会越来越小
当Y值为最大值的一半时 增长率最大
逻辑斯蒂增长模型又称自我抑制性方程。用植物群体中发病的普遍率或严重度表示病害数量(x)，将环境最大容纳量k定为1(100%)，逻辑斯蒂模型的微分式是：
dx／dt＝ｒｘ(1-ｘ)
其线性方程为：
式中：ln(x/（1-x）)称作x的逻辑斯蒂转换值，通常简称逻值(logit（x）)；
S型曲线 当Y值为最大值的一半时增长率最大
人口限制增长问题
人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。
提问人的追问2010-06-02 19:58
逻辑斯谛曲线的特征
团队的补充2010-06-02 20:06