逻辑斯蒂方程
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一、前言
在自然界来和人类社会上存在大量的S型变化的现象，逻辑斯蒂模型几乎是描述s型增长的唯一数学模型。这是一条连续的、单调递增的、但参数k为上渐近线的s型曲线，其变化速度一看是增长较慢，中间段增长速度加快，以后增长速度下降并且趋于稳定。利用它我们可以表征种群的数量动态，描述客观事物的增长过程，同时也作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型。
二、逻辑斯蒂方程的产生和发展
在提出逻辑斯蒂模型之前，最早给出种群生态学经典数学模型是Malthus模型，由英国统计学家Malthus（1766-1834）在1798《人口原理》一书中，提出了闻名于世的Malthus人口模型。设t0时刻的人口总数为N0，t时刻人口总数为N(t)，则：
但是这个模型有很大的局限性：只考虑出生率和死亡率，而没有考虑环境因素。实际上人类所生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的，实践证明Malthus人口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数。比利时数学家P.F.Verhulst对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设修改为
解得t=6，即6小时后，全市有75％的人了解这一通知。
3.商品销售预测问题
例如，某种商品的销售，开始时，知道的人很少，销售量也很小。当这种商品信息传播出去后，销售量大量增加，到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如，这种商品饱和量估计a=500(百万件)，大约5年可达饱和，常数b经测定为b=lnl0，B=100。下面我们来预测一下第3年末的销售量是多少。
逻辑斯蒂方程
出自MBA智库百科(/)
逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）
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逻辑斯蒂方程的推导
当一种新产品刚面世时，厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数，这样厂家便于组织生产，商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢？
S型曲线 当Y值为最大值的一半时增长率最大
人口限制增长问题
人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。
提问人的追问2010-06-02 19:58
逻辑斯谛曲线的特征
团队的补充2010-06-02 20:06
...................(3)
例如,当某种商品调价的通知下达时，有10％的市民听到这一通知，2小时以后，25％的市民知道了这一信息，由逻辑斯蒂方程可算出有75％的市民了解这一情况所需要的时间。
在方程(3)中，由t=0时，P=10％可得B＝9;再由t=2时，P=25％可得, 。
当P=75％时，有:
逻辑斯蒂方程的基本性质
1.当t=O时，x(t)的值为： ；
2.x(t)的增长率 ,因此，x(t)是增函数；
3.当B值较大而t较小时， 将很大， ,于是
x(t)近似于依指数函数增大，销售速度不断增大；
4.当t增大以后， 越来越接近于零，分母越来越接近于1，销售速度开始下降，x(t)的值接近于a（饱和值）。
当x=0.5时，逻值(ln(x/（1-x）)等于0；x<0.5时，逻值为负值；x>0.5时，逻值为正值。S型曲线的直线化，就是将病情(x)百分率转换成逻值后，用普通坐标纸以逻值为纵坐标对时间(t)作图，则病情进展曲线就成为一条直线，也称逻值线(图中B)。逻值线与纵轴相交的截点，为初始病害数量(x0)，逻值线的斜率就是病害的流行速度，即表观侵染速率
由 ,有:
(百万件)
所以第三年末的市场销售量大约为454.5百万件，这样可以做到有计划地生产。
逻辑斯蒂方程的应用比较广泛。如果问题的基本数量特征是：在时间t很小时，呈指数型增长，而当t增大时，增长速度就下降，且越来越接近于一个确定的值，这类问题可以用逻辑斯蒂方程加以解决。
浅评逻辑斯蒂方程
宋波玄玉仁卢凤勇崔启武
其中r,k成为生命系数，是最早的逻辑斯蒂方程模型。"
S型
起初增长率越来越大 超过一半后 增长率就会越来越小
当Y值为最大值的一半时 增长率最大
逻辑斯蒂增长模型又称自我抑制性方程。用植物群体中发病的普遍率或严重度表示病害数量(x)，将环境最大容纳量k定为1(100%)，逻辑斯蒂模型的微分式是：
dx／dt＝ｒｘ(1-ｘ)
其线性方程为：
式中：ln(x/（1-x）)称作x的逻辑斯蒂转换值，通常简称逻值(logit（x）)；
【摘要】：正一、一个重要而被滥加引用的方程1838年Verhulst提出的逻辑斯蒂方程,被人们广泛地引用。不仅在自然科学中,甚至在社会科学中亦如此。Deevey认为这种增长型可能是最普遍的,在生态学上,由于逻辑斯蒂方程与因种群密度制约因素而形成的负反馈机制有联系,因而有人说,逻辑斯蒂方程是种群生态学中的核心理论之一,可见,逻辑斯蒂方程处于十分重要地位。(1)利用逻辑斯蒂方程表征种群数量动态:著名的经典实验有Pearl(1927)的果蝇;chapman(1931)的拟谷盗;Gause(1934)
[编辑]
逻辑斯蒂方程的应用
1．人口限制增长问题
人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。
2.信息传播问题
所谓信息传播可以是一则新闻，一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期，知道这一信息的人很少，但是随时间的推移，知道的人越来越多，到一定时间，社会上大部分人都知道了这一信息．这里的数量关系可以用逻辑斯蒂方程来描述。若以t表示从信息产生算起的时间，P表示已知信息的人口比例，则逻辑斯蒂方程变为：
首先要考虑社会的需求量．社会对产品的需求状况一般依如下两个特性确定：
1.对产品的需求有一个饱和水平．当产品需求量达到一定数量时，对这种产品的需求也饱和了，设饱和水平为a；
2.假设在时刻t，社会对产品的需求量为x=x(t)，需求的增长速度dx/dt正比于需求量x(t)与需求接近饱和水平的程度a-x(t)之乘积，记比例系数为k；
根据上述实际背景的两个特征，可.......(1)
分离变量，得:
两边积分，得:
其中:
从而，通解为:
......(2)
其中 ，B和b为正常数，可由初始条件确定。式(1)称为逻辑斯蒂方程(1ogistic equation)，式(2)称为逻辑斯蒂曲线。
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在自然界来和人类社会上存在大量的S型变化的现象，逻辑斯蒂模型几乎是描述s型增长的唯一数学模型。这是一条连续的、单调递增的、但参数k为上渐近线的s型曲线，其变化速度一看是增长较慢，中间段增长速度加快，以后增长速度下降并且趋于稳定。利用它我们可以表征种群的数量动态，描述客观事物的增长过程，同时也作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型。
二、逻辑斯蒂方程的产生和发展
在提出逻辑斯蒂模型之前，最早给出种群生态学经典数学模型是Malthus模型，由英国统计学家Malthus（1766-1834）在1798《人口原理》一书中，提出了闻名于世的Malthus人口模型。设t0时刻的人口总数为N0，t时刻人口总数为N(t)，则：
但是这个模型有很大的局限性：只考虑出生率和死亡率，而没有考虑环境因素。实际上人类所生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的，实践证明Malthus人口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数。比利时数学家P.F.Verhulst对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设修改为
解得t=6，即6小时后，全市有75％的人了解这一通知。
3.商品销售预测问题
例如，某种商品的销售，开始时，知道的人很少，销售量也很小。当这种商品信息传播出去后，销售量大量增加，到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如，这种商品饱和量估计a=500(百万件)，大约5年可达饱和，常数b经测定为b=lnl0，B=100。下面我们来预测一下第3年末的销售量是多少。
逻辑斯蒂方程
出自MBA智库百科(/)
逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）
[编辑]
逻辑斯蒂方程的推导
当一种新产品刚面世时，厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数，这样厂家便于组织生产，商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢？
S型曲线 当Y值为最大值的一半时增长率最大
人口限制增长问题
人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。
提问人的追问2010-06-02 19:58
逻辑斯谛曲线的特征
团队的补充2010-06-02 20:06
...................(3)
例如,当某种商品调价的通知下达时，有10％的市民听到这一通知，2小时以后，25％的市民知道了这一信息，由逻辑斯蒂方程可算出有75％的市民了解这一情况所需要的时间。
在方程(3)中，由t=0时，P=10％可得B＝9;再由t=2时，P=25％可得, 。
当P=75％时，有:
逻辑斯蒂方程的基本性质
1.当t=O时，x(t)的值为： ；
2.x(t)的增长率 ,因此，x(t)是增函数；
3.当B值较大而t较小时， 将很大， ,于是
x(t)近似于依指数函数增大，销售速度不断增大；
4.当t增大以后， 越来越接近于零，分母越来越接近于1，销售速度开始下降，x(t)的值接近于a（饱和值）。
当x=0.5时，逻值(ln(x/（1-x）)等于0；x<0.5时，逻值为负值；x>0.5时，逻值为正值。S型曲线的直线化，就是将病情(x)百分率转换成逻值后，用普通坐标纸以逻值为纵坐标对时间(t)作图，则病情进展曲线就成为一条直线，也称逻值线(图中B)。逻值线与纵轴相交的截点，为初始病害数量(x0)，逻值线的斜率就是病害的流行速度，即表观侵染速率
由 ,有:
(百万件)
所以第三年末的市场销售量大约为454.5百万件，这样可以做到有计划地生产。
逻辑斯蒂方程的应用比较广泛。如果问题的基本数量特征是：在时间t很小时，呈指数型增长，而当t增大时，增长速度就下降，且越来越接近于一个确定的值，这类问题可以用逻辑斯蒂方程加以解决。
浅评逻辑斯蒂方程
宋波玄玉仁卢凤勇崔启武
其中r,k成为生命系数，是最早的逻辑斯蒂方程模型。"
S型
起初增长率越来越大 超过一半后 增长率就会越来越小
当Y值为最大值的一半时 增长率最大
逻辑斯蒂增长模型又称自我抑制性方程。用植物群体中发病的普遍率或严重度表示病害数量(x)，将环境最大容纳量k定为1(100%)，逻辑斯蒂模型的微分式是：
dx／dt＝ｒｘ(1-ｘ)
其线性方程为：
式中：ln(x/（1-x）)称作x的逻辑斯蒂转换值，通常简称逻值(logit（x）)；
【摘要】：正一、一个重要而被滥加引用的方程1838年Verhulst提出的逻辑斯蒂方程,被人们广泛地引用。不仅在自然科学中,甚至在社会科学中亦如此。Deevey认为这种增长型可能是最普遍的,在生态学上,由于逻辑斯蒂方程与因种群密度制约因素而形成的负反馈机制有联系,因而有人说,逻辑斯蒂方程是种群生态学中的核心理论之一,可见,逻辑斯蒂方程处于十分重要地位。(1)利用逻辑斯蒂方程表征种群数量动态:著名的经典实验有Pearl(1927)的果蝇;chapman(1931)的拟谷盗;Gause(1934)
[编辑]
逻辑斯蒂方程的应用
1．人口限制增长问题
人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。
2.信息传播问题
所谓信息传播可以是一则新闻，一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期，知道这一信息的人很少，但是随时间的推移，知道的人越来越多，到一定时间，社会上大部分人都知道了这一信息．这里的数量关系可以用逻辑斯蒂方程来描述。若以t表示从信息产生算起的时间，P表示已知信息的人口比例，则逻辑斯蒂方程变为：
首先要考虑社会的需求量．社会对产品的需求状况一般依如下两个特性确定：
1.对产品的需求有一个饱和水平．当产品需求量达到一定数量时，对这种产品的需求也饱和了，设饱和水平为a；
2.假设在时刻t，社会对产品的需求量为x=x(t)，需求的增长速度dx/dt正比于需求量x(t)与需求接近饱和水平的程度a-x(t)之乘积，记比例系数为k；
根据上述实际背景的两个特征，可.......(1)
分离变量，得:
两边积分，得:
其中:
从而，通解为:
......(2)
其中 ，B和b为正常数，可由初始条件确定。式(1)称为逻辑斯蒂方程(1ogistic equation)，式(2)称为逻辑斯蒂曲线。
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