【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮开卷速查：6-4复数

开卷速查 规范特训

课时作业 实效精炼 开卷速查(30) 复 数

一、选择题

1．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )

A ．0

B ．－1

C ．1

D ．－2

解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0.

答案：A

2．在复平面内，复数10i

3＋i 对应的点的坐标为( )

A ．(1,3)

B ．(3,1)

C ．(－1,3)

D ．(3，－1)

解析：由10i

3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为

(1,3)．

答案：A

3．若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )

A ．1

B ．－1 C. 2

D ．－ 2

解析：因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的

坐标是(a 2

－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧

a 2

－1＝0，2a <0，

解得

a ＝－1.

答案：B

4．复数(1＋2i )(2＋i )

(1－i )2等于( )

A.52 B ．－52

C.52

i D ．－52

i

解析：(1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52.

答案：B

5．已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1

z ＝( )

A ．i

B ．1－i

C ．1＋i

D ．－i

解析：由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1

i ＝1－i.

答案：B

6．[2014·唐山市期末]设复数z ＝12＋32i ，则z

z ＝( )

A ．z B.z C ．－z

D ．－z

解析：z z ＝z ·z z ·z ＝z 2|z |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－34＋32i ＝－12＋32i ＝－z ，故选

D.

答案：D

7．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫i ，i 2

，1i ，

(1＋i )2

i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则

集合Z ∩M 中的元素个数是( )

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

解析：由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集， ∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素． 答案：B

8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )

A ．1－2i 或－1＋2i

B ．1＋2i 或－1－2i

C ．－7－24i

D ．7＋24i

解析：设(x ＋y i)2

＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，y ＝2，

或⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－1，

y ＝－2. 答案：B

9．[2014·石家庄质检一]已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)·i 3的共轭复数是( )

A ．－1－i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．1＋i

解析：∵z ＝(1＋i)·i 3＝(1＋i)·(－i)＝1－i ，∴复数z 的共轭复数是z ＝1＋i ，故选D.

答案：D

10．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >1

2

\”是“点M 在第四象限\”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >1

2\”是“点M 在第四象限\”的充

要条件．

答案：C 二、填空题

11．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB

→|＝________. 解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB →|＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2. 答案：2 2

12．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.

由题设得⎩

⎪⎨⎪⎧

3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝3

4a 代入得

a 2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2

＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或 ⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－4，

b ＝－3.

∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i)

13．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.