高中数学：1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案导学(新人教必修4)
人教新课标版数学高一必修4导学案 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象(一)
1.5函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象（一）导学案周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.通过“五点法”作图正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象变换规律.2.对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解.3.会用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)以及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象.4.能说出φ，ω，A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.5.能够将y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，并会根据条件求解析式．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一 φ(φ≠0)对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响思考1 通过y ＝f (x )的图象怎样得到y ＝f (x ＋a )的图象．思考2 由y ＝sin x 的图象能得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象吗？知识点二 ω(ω＞0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的周期分别是什么？思考2 三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？思考3 函数y ＝sin ωx 的图象是否可以通过y ＝sin x 的图象得到？知识点三 A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考 对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？知识点四 函数y ＝sin x 的图象与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象关系思考 由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的？答 正弦曲线到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程：y ＝sin x 的图象――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度____________的图象――――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变____________的图象――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变__________的图象．【合作探究】类型一 φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？类型二 ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响例2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________．类型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与函数y ＝sin x 的图象关系例3 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( )A ．2B.12 C ．4 D.142．把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式( ) A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝3sin xC ．f (x )＝3cos x ＋3D ．f (x )＝sin 3x3．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移______个单位，后者需向左平移______个单位．4．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为________． 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为________． 【小结作业】小结：作业：本节限时练。
人教版高中数学必修4学案 1.5 函数y=Asin(ωxφ)的图象(一)
1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)[学习目标] 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω、φ、A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．[知识链接] 1．“五点法”作图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．2．交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系？ 答 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似，从解析式来看，函数y ＝sin x 就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在A ＝1，ω＝1，φ＝0时的情况． [预习导引]用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到． 2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为[－A ，A ]，最大值为A ，最小值为－A .要点一 三角函数图象的平移变换例1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 C解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构． ②找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪φω. ③明确平移的方向．跟踪演练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4. 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位． 要点二 三角函数图象的综合变换例2 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由函数y ＝sin x 的图象通过怎样的变换得到的？ 解 方法一 (先伸缩后平移)：方法二 (先平移后伸缩)：规律方法 在三角函数的图象变换中，先伸缩后平移变换的平移量为⎪⎪⎪⎪φω个单位，先平移后伸缩变换的平移量为|φ|个单位，两者不一样，应特别注意．跟踪演练2 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式． 解y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x .1．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3(A ＞0，ω＞0)的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位答案 C3．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位． 答案 π3 23π4．(1)如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的图象？ (2)如何由y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象？ 解 (1)∵y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4. (2)y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3y ＝sin x .1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．一、基础达标1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是( ) A ．－π3，5π3，11π3B ．－2π3，4π3，10π3C ．－π6，11π6，23π6D ．－π3，2π3，5π3答案 B2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 C4．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增答案 B解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z . 令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x－23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误． 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对． 6．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )答案 A解析 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 7．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程． 解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 二、能力提升8．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4答案 B解析 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，因为此时函数为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以选B.9．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度答案 C解析 ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. 10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)． 答案 ①③11．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________.答案22解析 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin(x ＋π6)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin(12x ＋π6)的图象，故f (x )＝sin(12x ＋π6)．所以f (π6)＝sin(12×π6＋π6)＝sin π4＝22. 12．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解 方法一 正向变换y ＝f (x )――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x ――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x－π3)， 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，高中数学-打印版精校版 所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.。
湖南省高中数学 1.5函数y=Asin(ωx+Φ)的图象导学案 新人教A版必修4
§1.5函数)sin(ϕω+=A y 的图象导学案【学习目标】1、会用 “五点法”作出函数)(ϕ+=wx Asm y 以及函数)cos(ϕ+=wx A y 的图象的图象。
2、理解A W 、、ϕ对函数)sin ϕ+=wx A y （的图象的影响，会根据条件求解析式)sin ϕ+=wx A y （。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1、回顾“五点法”作正弦曲线、余弦曲线。
复习2、已经学过了哪些函数图象的变换？ （二）自主探究：（预习教材P49-P55）1、相位变换：函数)sin ϕ+=x y （（其中0≠ϕ）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点____ ___（当ϕ>0时）或_____ ____（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度而得到。
2、周期变换：函数sin y x ω=（其中ω>0且1ω≠）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标________（当ω>1时）或_________（当0<ω<1时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到。
3、振幅变换：函数sin y A x =（A>0且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标________（当A>1时）或________（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到。
4、三种变换综合：函数sin()y A x ωϕ=+（其中A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点_ ____（当ϕ>0时）或___ __（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度，再把所得各点的横坐标___ ___（当ω>1时）或___ ___（当0<ω<1）到原来的1ω倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标____ __（当A>1时）或____ __（当0<A<1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到。
高中数学 必修四 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)学案 新人教A版必修4
1.5函数y=Asin （ωx+φ）的图象【学法指导】1．利用“五点”作图法作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0、π2、π、32π、2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值．2．由y ＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象确定其解析式，可以根据“五点”作图法逆向思维，从图象上确定“五点”中的某些点的横坐标，建立关于参数ω、φ的方程，列方程组求出ω和φ的值.一．知识导学1．简谐振动简谐振动y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)中， 叫做振幅，周期T ＝ ，频率f ＝ ， 相位是 ，初相是 .2．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的性质如下：二．探究与发现【探究点一】“五点法”作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象利用“五点法”作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.所以，描点时的五个关键点的坐标依次是__________ ______________________若设T ＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为________ ________________ 【探究点二】由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象求三角函数的解析式(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x 轴上升的即为“第一零点”(x 1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π. (2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ.(3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A 的方程求出．例如，已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示， 则ω＝________，φ＝________.【探究点三】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)或f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的奇偶性关于函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)或f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的奇偶性有以下结论：①函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)是奇函数⇔f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于原点对称⇔f(0)＝0⇔φ＝k π(k∈Z)．②函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)是偶函数⇔f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于y 轴对称⇔f(0)＝A 或f(0)＝－A ⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)． ③函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)是奇函数⇔f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象关于原点对称⇔f(0)＝0⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)． ④函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)是偶函数⇔f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象关于y 轴对称⇔f(0)＝A 或f(0)＝－A ⇔φ＝k π(k∈Z)．例如，(1)若函数f(x)＝5sin(2x ＋α)是偶函数，则α等于( )A ．k π，k∈ZB ．(2k ＋1)π，k∈ZC ．2k π＋π2，k∈ZD ．k π＋π2，k∈Z (2)若函数f(x)＝cos(3x ＋φ)是奇函数，则φ等于 ( )A ．－π2B ．k π＋π2(k∈Z)C ．k π (k∈Z)D ．2k π－π2(k∈Z) 【探究点四】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)或f(x)＝Acos(ωx ＋φ)图象的对称性关于函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)图象的对称性有以下结论：①函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于点(x 0,0)中心对称当且仅当f(x 0)＝0.②函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x 0轴对称当且仅当f(x 0)＝A 或f(x 0)＝－A. 上述结论若换成函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)同样成立．③对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．例如，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的对称中心是__________________， 对称轴方程是___________________.一般地，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0，k∈Z， 对称轴方程是x ＝_______________(结果用ω，φ表示)．【典型例题】例1．利用五点法作出函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3在一个周期内的草图．跟踪训练1。
【必修4】第一章《1.5.1函数y=Asin(ωx+φ)的图象》导学案(含答案)
1.5函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象第一课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响预习课本P49～53，思考并完成以下问题(1)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(2)函数y＝A sin x，x∈R(A＞0且A≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？(3)函数y＝sin ωx，x∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y＝sin x，x∈R怎样变换得到？[新知初探]1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响3．A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响[点睛]A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响(1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (2)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( ) (3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( ) 2．将函数y ＝sin x 的图象上各点的纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为( )A ．y ＝3sin xB ．y ＝13sin xC ．y ＝sin 3xD ．y ＝sin 13x3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．[典例] 用“五点法”作出函数y ＝32sin 13x －π3的简图．[活学活用]用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4在[0，π]上的图象．函数图象的平移变换[典例] 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度图象平移变换的策略(1)先确定平移方向和平移的量．(2)当x 的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；若φ＜0，则右移|φ|个单位． 当x 的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移φω个单位；若φ＜0，则右移|φ|ω个单位． [活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1函数图象的伸缩变换[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 2．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y ＝sin x ，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π31.5函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象第一课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换[小试身手]1．答案：(1)× (2)× (3)× 2．答案：B 3．答案：A 4．答案：y ＝sin 4x[典例] [解] 函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的周期T ＝2π13＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．列表如下：描点、连线，如图所示，利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的简图(图略)．1．“五点法”作图的实质2．用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表.第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．[活学活用]解：列出x ，y 的对应值表：[典例] [解析] 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． [答案] C[活学活用]1．解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象――――――――――――→向左平移π6个单位长度 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象． 2．解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1＝sin2x －π2＋1的图象．选B.[典例] [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象―――――――――――――――――→且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象―――――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin 2x 的图象―――――――――――――→向右平移π12个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象――――――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象―――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象―――――――――――――→向右平移π6个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象―――――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．[活学活用]1．解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象． 2．解析：选B 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y ＝sin 2x ，再将此函数图象向右平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，所以ω＝2，φ＝－π3.。
人教新课标版数学高二-A版必修四第一章 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象教学案
课题名称：§1．5.1.1函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象课程模块及章节：必修四第一章第一课时教学背景分析（一）课标的理解与把握1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象与求函数图象对应的函数解析式．(重点)2．正弦曲线与y＝Asin(ωx＋φ)的图象的关系，特别是ω对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(难点) 3．求函数解析式时φ值的确定．(易错点)（二）教材分析：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
（三）学情分析：加强基础知识教学。
了解到学生目前的学习情况，大部分学生对初中的相关知识掌握不好，利用自习课或课余时间为他们补充初中知识的盲点，加强基础知识。
同时在上课的时候，以基础简单题目为主，争取让大部分学生在课堂上有所收获。
加强合作学习。
对于班级出现的两极分化情况，发动成绩好的学生带动基础薄弱的学生，促使大家共同进步。
注重情感交流。
分层教学、因材施教。
主要方法是对作业也要分层次布置，基础不同，要求不同。
多表扬、多鼓励。
教学目标1．知识与技能(1)了解三种变换的有关概念．(2)能进行三种变换综合应用．(3)掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象信息．2．过程与方法通过把y＝sin x的图象经过三种图象变换方式变为y＝Asin(ωx＋φ)这一复杂的过程，让学生从中体验三种图象变换与各参数之间关系，熟悉各种图象变换方法．3．情感、态度与价值观通过本节内容学习使学生学会研究函数应通过现象看本质的哲学观点．教学重点和难点重点：将考察参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响的问题进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法．难点：ω对y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的影响规律的概括．教学准备、教学资源和主要教学方法自主学习与合作探究相结合。
高中数学 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象教学设计 新人教A版必修4
2015高中数学 1.5函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象教学设计新人教A版必修4函数y=ASin(ωx+φ)的图象一、函数y=ASin(ωx+φ)的图象之间的联系1．使学生进一步掌握用“五点法”作函数 y=ASin(ωx+φ)的图象，提高学生绘制函数图象的能力。
2．归纳总结A、ω、φ、的变化对函数图象的形状及位置的影响。
总结出图象的基本变换，培养学生自主地获取知识的能力，并在所学知识的基础上进行再创新的能力。
3．培养学生想象，类比，归纳能力。
4．培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维能力，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃，又从一般到特殊，从抽象到具体，应用到实践中去。
（1）学习任务：用“五点法”作函数y=ASin(ωx+φ)的图象，归纳总结A、的变化对函数图象的形状及位置的影响，总结出图象的三种基本变换。
（2）学习重点：用“五点法”做出形如y=ASin(ωx+φ)的简图；三角函数的图象变换的规律。
（3）学习难点：理解三角函数的图象之间的变换规律与函数关系式的内在联系。
（4）学习要求：①明确本课的学习目标，以学习任务驱动为方式，以如何作图及图象如何变化为中心，以小组协作讨论的方法（每组6个同学用语言交流的方式）进行主动地探究学习。
②抓住本课的学习重点和难点，运用发现、探究、协作、讨论学习方法，大胆、主动分析问题和解决问题。
③注重结论由学生自己给出，多媒体设备作为一种辅助手段对学生给出的成果给予充分的展示，让学生有发挥自己能力的机会。
也进一步提高自己的表达能力及学习能力。
二、学习者特征分析1．学习习惯：高一学生知识面较狭隘，习惯于教师传道授业解惑这种被动接受式的传统教学，缺乏独立发现和自主学习能力。
2．学习交往：高一学生在新的学习环境中，学习交往表现为个别化学习，课堂上群体性的小组交流与协同讨论学习机会很少。
三、学习环境把班级分成8个小组，每个小组6人，并且把教室的课桌围成6张方桌，每个小组围坐在桌子边上，可形成一种讨论的气氛。
人教版高中数学高一A版必修4学案 1.5 函数y=Asin(ωxφ)的图象
1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象一、作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象活动与探究1把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )迁移与应用1．给出下列六种图象变换的方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍；③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是__________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．2．用“五点法”作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4在一个周期上的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相．1．用“五点法”作图时，利用五个关键点，令ωx ＋φ分别等于0，π2，π，3π2，2π，求出x 及相应的y 值，作出图象即可．2．图象变化中，当|ω|≠1时，应将ωx ＋φ化为ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω． 二、求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式活动与探究2若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)在其一个周期内的图象上有一个最高点⎝⎛⎭⎫π12，3和一个最低点⎝⎛⎭⎫7π12，－5，求这个函数的解析式．迁移与应用函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是__________．对于这类给定一些条件求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的题目，有一定的解题规律可寻：一般是先确定振幅A ，周期T ，解得ω，这些都是比较容易的，最难的是求φ的值，它一般是用点来代入求得，如果代入的是最高点或最低点，其φ值很容易确定；否则，则还要结合函数的单调性来确定．三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用活动与探究3函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．迁移与应用已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解决该类题目的关键是由y ＝A sin(ωx ＋φ)确定出函数的相应性质，如单调性、奇偶性、对称性、最值等，充分利用函数性质求解．当堂检测1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位2．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π63．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 4．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是__________．5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝__________，φ＝________．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(1)0 π2 π 3π22π (2)y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ) y ＝sin(ωx )y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ)预习交流1 提示：不是．∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴向左平移π6个单位．此种情况需将x 的系数化为“1”．2．A 2π|ω| 1T ＝|ω|2πωx ＋φ x ＝0时的相位φ预习交流2 提示：(1)定义域：R ； (2)值域：[－A ，A ]；(3)最小正周期：T ＝2πω；(4)对称性：对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )，对称轴是x ＝k πω＋π－2φ2ω(k ∈Z )．对称中心为图象与x 轴的交点；对称轴为过图象最高点或最低点与x 轴垂直的直线．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据平移或伸缩变换写出所得到的函数解析式，再结合y ＝cos x 图象的“五点”进行变化得到图象．A 解析：y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应图象为A ．迁移与应用 1．④②或②⑥ 解析：y ＝sin x ――→④y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――→②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3或y ＝sin x ――→②y ＝sin x 2⑥,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3． 2．解：(1)(2)描点画图：周期T ＝π，频率f ＝1T ＝1π，相位为2x ＋π4，初相为π4．活动与探究2 思路分析：利用图象性质，结合“五点法”作图，分别求出A ，B ，ω，φ的值即可．解：由已知，y ma x ＝3，y min ＝－5，则 ①A ＝y max －y min 2＝3－(－5)2＝4；②B ＝y max ＋y min 2＝3＋(－5)2＝－1；③由T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2；④函数的解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ＝4sin(2x ＋φ)－1． 将点⎝⎛⎭⎫π12，3代入，得4sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ－1＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，所以π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，这里对φ没有限制，应该说φ＝2k π＋π3，k ∈Z 的任意一个解都满足题意，一般取|φ|＜π2，故所求的函数解析式为y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1． 迁移与应用62 解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62．活动与探究3 思路分析：(1)根据最大值求A ，根据对称轴的条件，得函数周期，从而求ω；(2)利用α范围，求出整体ωα2－π6的范围，结合图象利用特殊角的三角函数求值．解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2．∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π． ∴ω＝2．故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1． (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3．∴α－π6＝π6．故α＝π3．迁移与应用 解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )当x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1．依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2．由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z ．又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2．又ω＞0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2．∴φ＝π2，ω＝2或23．【当堂检测】1．C 解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只须将y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．2．C 解析：由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6．3．D 解析：“五点法”对应解方程．设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，1， 所以⎩⎨⎧ω×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3．所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6．故选D ．4．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 解析： y ＝sin x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3． 5．2 π3 解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω＞0)．又由f (0)＝3且|φ|＜π2得到φ＝π3．。
高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课堂导学案 新人教A版必修4
1.5 函数y=Asin （ωx+ψ）的图象课堂导学三点剖析1.求y=Asin(ωx+φ)的振幅、周期、频率、相位及初相 【例1】 用五点法作出函数y=2sin(x-3π)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.思路分析：用“五点法”作函数图象，关键是作出决定图象形状的五个点：三个平衡点，一个最高点和一个最低点. 解：（1）列表.(2)描点.(3)作图，如下图所示.周期T=2π，频率f=π211=T ,相位x-3π,初相-3π，最大值5，最小值1，函数的单调递减区间为［2k π+π65,2k π+π611］,单调递增区间为［2k π-6π,2k π+π65］，k∈Z .将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y=2sin （x-3π）+3的图象.（图略） 温馨提示用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象用的是整体换元的思想，即令z=ωx+φ，z 取五个关键值0、2π、π、π23、2π，相应地解得x 的五个值，作为点的横坐标，求得对应的纵坐标，然后描出五个点，即决定形状的五个关键点——三个平衡点，一个最高点，一个最低点.2.由y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)的变化过程【例2】由y=sinx 的图象经怎样变换得到y=21sin （2x+3π）的图象. 解法1：（1）将y=sinx 的图象向左平移3π得y=sin(x+3π)的图象.(2)将y=sin(x+3π)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的21得y=sin(2x+3π)的图象. （3）将y=sin(2x+3π)的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的21,得到y=21sin(2x+3π)的图象如下图所示.解法2：（1）将y=sinx 的图象上各点纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的21，得y=sin2x 的图象.（2）将y=sin2x 的图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的21，得y=21sin2x 的图象. （3）将y=21sin2x 的图象向左平移6π个单位，得y=21sin ［2（x+6π)］=21sin(2x+3π)的图象.温馨提示(1)由y=sinx 的图象可以通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象.其中A 只影响纵坐标的伸缩变换，ω只影响横坐标的伸缩变换，φ只影响图象的左右平移变换.（2）本题可以有很多种变换方式，不同的变换次序，直接影响变换的具体过程，特别是周期变换和相位变换的次序改变，直接影响到平行移动的单位.如由y=21sin2x 得到y=21sin （2x+3π），是向左平移了6π个单位，而不是3π个单位. （3）平行移动的单位是相对于一个x 而言的，由y=Asin ωx 得到y=Asin(ωx+φ)需向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平行移动｜ωϕ｜个单位. 3.先周期变换，后相位变换时，平移量为｜φω｜个单位. 【例3】 要得到函数y=3cos(2x-47π)的图象c ，需要将函数y=3cos2x 的图象c 0.经过怎样的路程最小的平移而得到？ 思路分析：y=3cos(2x-47π)=3cos(2x+4π)，要将c 0变为y=3cos(2x+4π)的图象，只需看x 变化了多少.解：因为y=3cos(2x-47π)=3cos(2x+4π)=3cos ［2（x+8π）］，所以将c 0向左平移8π得c,路程最小.温馨提示图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.由y=sin ωx 的图象得y=sin （ωx+φ）的图象需向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移｜ωϕ｜个单位. 各个击破 类题演练1指出下列函数的振幅、周期、初相.（1）y=2sin （2x +6π),x∈R ； (2)y=-6sin(2x-3π),x∈R .解：(1)A=2,T=212π=4π;φ=6π.(2)将原解析式变形，y=-6sin(2x-3π)=6sin(2x+32π)则有A=6，T=22π=π；φ=32π.变式提升1下图表示电流I 与时间t 的函数关系式I=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式. (2)为了使I=Asin(ωx+φ)中t 在任意一段s 1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？ 解：（1）由图可知A=300，设t 1=3001-,t 3=1501. ∵T=2(t 3-t 1)=2(1501+3001)=501, ∴ω=Tπ2=100π. 由ωt 1+φ=0 知φ=-ωt 1=3π. ∴I=300sin(100πt+3π). (2)问题等价于10012≤T ,即1001≤ωπ,也即ω≥100π,故最小正整数为ω=315. 类题演练2由y=sinx 的图象怎样变换得到y=32sinx （x 21-4π）的图象？。
高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx φ)的图象(一)教案 新人教A版必修4
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
探究点一φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
①利用五点法作出函数y＝sin x的图象，通常选取的五点依次是，，，，．
②为作出函数y＝sin 在一个周期上的图象，请先完成下表，并回答相应的问题：
通过上表可知，利用五点法作函数y＝sin 的图象通常选取的五个点依次是：________，______，______，________，_______.
规律提炼：一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是把y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的___倍(纵坐标不变)而得到。
三A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象
规律提炼：一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上的所有点的坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的倍(横坐标不变)而得到．
函数y＝sin 的图象可以看作由正弦曲线y＝sin x上所有的点向平移个单位长度得到；函数y＝sin 的图象可以看作由正弦曲线y＝sin x上所有的点向平移个单位长度得到．
规律提炼：一般地，函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象，可以看作是把y＝sin x图象上的各点向(φ>0)或向(φ<0)平移个单位而得到(可简记为左“＋”，右“－”)，这种变换称作相位变换．
探究点四 由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到函数
教
学
小
结
掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
课后
反思
课题
高中数学1.5函数y=Asin(ωxφ)的图像第2课时导学案(无
难点：y=Asin(ωx+φ)的最大值、最小值和单调区间．
学习过程
与方法
自主学习
复习：
(1)函数y= sinωx,x∈R（ω＞０且ω≠1）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标_______（当ω＞1时）或_______（当0＜ω＜1）时到原来的_______倍（纵坐标不变）得到.
(1)解析“自主学习”
(2)例题解析
例1 (教材p52例5)
①
②
③
例2 (教材p53例6)
①
②
达标训练
p52练习1，2，3.
作业布置
(1)p54习题1-8 A组5、6；
(2)教辅资料；
(3)预习下一节课.
学习小结、/教学反思
16 的图像
授课时间
第周星期第节
课型
习题课
主备课人
数学教研组
学习目标
1.会用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象；理解振幅变换和周期变换的规律；会由y= sinx的图象变换得到y=Asinωx、y=Asin(ωx+φ)的图象。
2.会求函数y=Asin(ωx+φ)的最大值、最小值和单调区间。
重点难点
(2)指出y= sinx的图像变换为 的图像的两种方法.
方法一：
方法二：
(3)画出y= sinx的简图，并说出该函数的最大值、最小值和单调区间以及达到最大值、最小值时x的集合.
简图：
(4)画出y= cosx的简图，并说出该函数的最大值、最小值和单调区间以及达到最大值、最小值时x的集合.
简图：
精讲互动
人教版高中数学必修4学案 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象(二)
1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象(二)自主学习知识梳理1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R 值域 周期性T ＝______奇偶性φ＝________时是奇函数；φ＝__________时是偶函数； 当φ≠k π2(k ∈Z )时是__________函数单调性单调增区间可由__________________得到， 单调减区间可由__________________得到2.简谐振动在物理学中，常用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，其中A >0，ω>0描述做简谐运动的一个振动量．A 就是这个简谐运动的________，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的____________；这个简谐运动的周期是____________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率f ＝1T ＝________，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的__________；__________称为相位；x ＝0时的相位φ称为________．自主探究利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω≠0，φ>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π x －φω －φω＋π2ω－φω＋πω －φω＋3π2ω －φω＋2πωyA－A，____________，__________.若设T ＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为________，________，________，________，________.对点讲练知识点一 利用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 作出y ＝2.5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象．回顾归纳 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x ，从而确定这五点．变式训练1 作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图象．知识点二 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段，求其解析式．回顾归纳 由图象求解析式，本质就是“五点法”作图的逆向思维：五点对应．如本题用到五点中的第一、五个点．若图象中有最值点坐标，也可代入解方程求φ，但φ的范围不能太大．变式训练2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值分别为________．知识点三 正、余弦函数的对称问题例3 如图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一个周期的图象．(1)写出y 1的解析式；(2)若y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，写出y 2的解析式； (3)指出y 2的周期、频率、振幅、初相．回顾归纳 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0⇔ωx 0＋φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于直线x ＝x 0轴对称⇔f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A ⇔ωx 0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )． 变式训练3 关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为______(将你认为正确的都填上)．1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值，最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．课时作业一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( ) A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z )2．函数图象的一部分如图所示，其函数为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 3．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π34．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D.12二、填空题6．函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 (x ≥0)的初相是________． 7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间．10．已知曲线y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．§1.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象(二)答案知识梳理1.定义域R值域[－A，A]周期性T＝2π|ω|奇偶性φ＝kπ (k∈Z)时是奇函数；φ＝π2＋kπ (k∈Z)时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)得到，单调减区间可由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)得到2.振幅 最大距离 T ＝2πω ω2π 次数 ωx ＋φ 初相自主探究⎝⎛⎭⎫－φω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋π2ω，A ⎝⎛⎭⎫－φω＋πω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋3π2ω，－A ⎝⎛⎭⎫－φω＋2πω，0 －φω －φω＋T 4 －φω＋T 2 －φω＋34T －φω＋T 对点讲练例1 解 令X ＝2x ＋π4，则x ＝12⎝⎛⎭⎫X －π4.列表： X 0 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y2.5－2.5描点连线，如图所示．变式训练1 解 (1)列表：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π43－3例2 解 方法一 以N 为第一个零点， 则A ＝－3，T ＝2⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y ＝－3sin(2x ＋φ)． ∵点N ⎝⎛⎭⎫－π6，0，∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3， 所求解析式为y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0ω·5π6＋φ＝π解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 变式训练2 2，π6解析 ∵图象过点⎝⎛⎭⎫0，12，∴sin φ＝12. 又|φ|<π，∴φ＝π6或5π6.又由“五点法”可得ω×0＋φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6. ∵⎝⎛⎭⎫11π12，0是第五个点，∴ω⎝⎛⎭⎫11π12＋φ＝2π，即ω⎝⎛⎭⎫11π12＋π6＝2π. ∴ω＝2.综上，ω＝2，φ＝π6.例3 解 (1)由图知，A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ω＝2πT ＝2π8＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∴φ＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)设P (x ，y )为函数y 2图象上任意一点，则P (x ，y )关于直线x ＝2的对称点P ′为(4－x ，y )．∵y 1与y 2关于直线x ＝2对称．∴点P ′(4－x ，y )落在y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4上． ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(4－x )＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4x ＋π即y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. ∴周期T ＝2ππ4＝8；频率f ＝1T ＝18；振幅A ＝2；初相φ＝－π4.变式训练3 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π (k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )， ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2 (k ∈Z )．∴④错．课时作业 1．B2．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又x ＝π12时，y ＝1.]3．D [ω＝2ππ＝2，又f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32.又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.] 4．D [由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.]5．B [∵对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立． ∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2. ∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2.]6．－π3解析 由诱导公式可知y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故初相为－π3. 7．x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.∴与y 轴最近的对称轴方程为x ＝－π6.8.5π129．解 (1)由图象可知：A ＝2，T ＝2×(6＋2)＝16， 则ω＝2πT ＝2π16＝π8.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ 由π8×2＋φ＝π2，得φ＝π4.高中数学-打印版精校版∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x＋π4.(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的递增区间为[16k －k,16k ＋2]，k ∈Z . 10．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT ＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1， ∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2。
人教版高中数学高一A版必修4学案 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象
疱工巧解牛知识•巧学一、φ对y=sin(x+φ)，x ∈R 的图象的影响1.以函数y=sin(x+3π)，x ∈R 与y=sin(x-4π)，x ∈R 为例说明. 函数y=cosx=sin(x+2π)，x ∈R 的图象可以看作是把正弦曲线上所有的点向左平移2π个单位长度而得到的.显然，y=sin(x+3π)的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx 上所有点向左平移3π个单位长度而得到的；y=sin(x-4π)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向右平移4π个单位长度而得到的. 这函数y=sin(x+3π),x ∈R 与函数y=sin(x-4π),x ∈R 的周期都是2π，用“五点法”画出它们在［0,2π］上的简图.列表：x3π-6π 32π 67π 35π x+3π 0 2π π 23π 2π sin(x+3π)1-1x4π 43π 45π 47π 49π x-4π 0 2π π 23π 2π sin(x-4π)1-1描点作图：图1-5-2从图1-5-2和表格中都可以看出：在y=sin(x+3π)与y=sin(x-4π)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，它的横坐标分别比y=sinx 的横坐标小3π与多4π.2.一般地，函数y=sin(x+φ)(φ≠0)，x ∈R 的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度而得到的，这种变换叫做相位变换. 学法一得 移图与移轴是相对的，把图象向右(左)平移φ(φ＞0)个单位，相当于把y 轴向左(右)平移φ(φ＞0)个单位；把图象向上(下)平移k(k ＞0)个单位，相当于把x 轴向下(上)平移k(k ＞0)个单位，移轴比移图更容易作出函数的图象. 二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响 1.以函数y=sin2x ，x ∈R 与y=sin21x ，x ∈R 为例说明. 由于函数y=sin2x 的周期是π，所以可先画出它在［0，π］上的简图，按五个关键点列表：x 0 4π 2π 43π π 2x 0 2π π 23π 2π sin2x 01-1同理，函数y=sin 21x 的周期是4π，所以可先画出它在［0，4π］上的简图，按五个关键点列表：x0 π2π 3π4π 21x 0 2π π 23π 2π sin 21x 01-1描点作图：图1-5-3(1)函数y=sin2x 与y=sinx 的图象间的联系：从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin2x ，x ∈［0，π］的图象上，横坐标为2x ，x 0∈［0，π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx 上横坐标为x 0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin2x ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx ，x ∈R 上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)而得到的. (2)函数y=sin 21x 与y=sinx 的图象间的联系从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin21x ，x ∈［0，4π］的图象中，横坐标为2x 0，x 0∈［0，4π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx 上横坐标为x 0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin21x ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.2.一般地，函数y=sinωx(ω＞0且ω≠1)，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T 的关系是ωπ2=T .学法一得 函数y=sinωx 的图象是由y=sinx 的图象通过实施周期变换而得到的，其中ω决定函数的周期，它能改变曲线的形状，φ的值只改变曲线的位置，并不改变曲线的形状. 三、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 1.以函数y=2sinx ，x ∈R ，y=21sinx ，x ∈R 为例说明. 由于这两个函数的周期都是2π，所以可先画出它们在［0，2π］上的简图，按五个关键点列表：x 0 2π π 23π 2π Sinx 0 1 0 -1 0 2sinx0 20 -20 21sinx 021 021- 0描点画图：图15-4利用这两个函数的周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右扩展，从而得到它们在整个定义域上的简图.(1)函数y=2sinx 的图象与y=sinx 的图象之间的联系通过图1-5-4及所列表格可知，对同一个x 的值，函数y=2sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的2倍.根据函数的周期性，它在其他区间上也是如此.所以函数y=2sinx ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=2sinx ，x ∈R 的值域是［-2，2］. (2)函数y=21sinx 的图象与y=sinx 的图象之间的联系 通过图154及所列表格可知，对同一个x 的值，函数y=21sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的21倍，根据函数的周期性，在其他区间上也是如此.所以函数y=21sinx ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=21sinx ，x ∈R 的值域是［-21，21］. 学法一得 一般地，函数y=Asinx ，x ∈R (A ＞0且A≠1)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫做振幅变换，它是由A 的变化而引起的，A 叫做函数的振幅，函数y=Asinx ，x ∈R 的值域是［-A ，A ］.四、函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx 图象间的关系1.以函数y=3sin(2x+3π)，x ∈R 为例说明. 函数y=3sin(2x+3π)的周期是π，先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图，按五个关键点列表：x6π-12π 3π 127π 65π 2x+3π 0 2π π 23π 2π 3sin(2x+3π)3-3描点画图：图1-5-5函数y=3sin(2x+3π)，x ∈R 的图象，可看作是先将y=sinx 图象上所有的点向左平移3π个单位长度，得到y=sin(x+3π)，x ∈R 的图象；再把y=sin(x+3π)，x ∈R 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+3π)，x ∈R 的图象；最后把y=sin(2x+3π)，x ∈R 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)得到的.2.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x ∈R 的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变).联想发散 y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x ∈R 的图象也可通过下面的方法而得到：先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变). 五、A 、ω、φ的物理意义当函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈［0,+∞)(其中A ＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间ωπ2=T ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数Tf 1=，称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时，相位φ称为初相. 例如，函数y=2sin(3x-3π)，x ∈［0，+∞)的振幅是2，周期T=32π，频率π231==T f ，相位是3x-3π，初相是3π-.六、函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈R 的对称问题1.对称轴过函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈R 的图象的最值点作x 轴的垂线，可得该函数图象的对称轴.对称轴可由ωx+φ=kπ+2π，k ∈Z 解出，显然对称轴有无数条.例如，y=2sin(2x-3π)图象的对称轴方程是2x-3π=kπ+2π，k ∈Z ，即x=12521ππ+k ，k ∈Z .函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可由ωx+φ=kπ，k ∈Z 解出.2.对称中心函数y=Asin(ωx+φ)与x 轴的交点都叫做该函数的对称中心，它是函数值等于零的点，由ωx+φ=kπ得x=ωϕπ-k ，即对称中心是(ωϕπ-k ，0).显然，函数y=4sin(2x-3π)的对称中心是(62ππ+k ，0). 同理，函数y=Acos(ωx+φ)的对称中心是(ωωππ-+2k ，0)，显然，函数y=2cos(2x+4π)的对称中心是(28ππk +，0). 学法一得 (1)所谓轴对称，就是把图形沿此直线对折，对折后的图形与原图形完全重合.由于函数y=Asin(ωx+φ)中的变量x ∈R ，所以它有无数条对称轴. (2)所谓中心对称，就是把图形绕该点旋转180°后，所得图形与原图形完全重合.由于y=Asin(ωx+φ)的变量x ∈R ，所以它有无数个对称中心. 典题•热题知识点一 A 、ω、φ的求值与图象的平移 例1 (1)用“五点法”作函数y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相；(2)怎样由y=sinx 的图象，得到y=2sin(2x-3π)的图象？ 解：(1)列表：x6π 125π 32π 1211π67π 2x-3π 0 2π π 23π 2π 2sin(2x-3π)2-2描点连线：图1-5-6把函数y=2sin(2x-3π)在长度为一个周期的简图中向左右扩展，就得到y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的简图.振幅A=2，周期T=22π=π，初相φ=3π-.(2)解：先把函数y=sinx 的图象上所有的点向右平移3π个单位，得到函数y=sin(x-3π)的图象；再把y=sin(x-3π)图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x-3π)的图象；最后把y=sin(2x-3π)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的图象.知识点二 图象的平移 例2 已知函数y=21sin(2x+6π)+45，x ∈R . (1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y=sinx(x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？思路分析：本题主要考查三角函数的图象和性质，求最值时，可把(ωx+φ)视为一个整体.解：(1)要使y 取得最大值必须且只需2x+6π=2π+2kπ，k ∈Z ，即x=6π+kx ，k ∈Z . 所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+kπ，k ∈Z }.(2)将函数y=sinx 依次进行如下变换： ①把函数y=sinx 的图象向左平移6π个单位，得到函数y=sin(x+6π)的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+6π)的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)，得到函数y=21sin(2x+6π)的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图象. 综上可得函数y=21sin(2x+6π)+45的图象.方法归纳 先相位，再周期变换，同先周期，后相位变换一样，函数y=sinx 图象上的点(0，0)都被变换成了点(ωϕ，0).但要注意平移的单位是不同的，先相位后周期，平移的单位为|φ|；先周期，后相位，平移的单位为ωϕ||.例3 把函数y=f(x)的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π个单位，得到曲线y=21sinx的图象，试求函数y=f(x)的解析式.思路分析：一是设f(x)=Asin(ωx+φ)，按图象变换的法则，分两步，得y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］，它就是y=21sinx ，构造A 、ω、φ的方程求解；二是采用逆变换，即把上述变换倒过来，由y=21sinx 得到y=f(x). 解：设y=Asin(ωx+φ)，把它的横坐标伸长到原来的2倍得到y=Asin(2ωx+φ)，再向左平移2π个单位，得到y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］，即y=Asin x x sin 21)42(=++ϕπωω.由两个代数式恒等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==.2,2,21041221πϕωϕωπωA A∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x. 巧解提示：将y=21sinx 的图象向右平移2π个单位，得到y=21sin(x-2π)的图象，再把y=21sin(x-2π)的图象的所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得到y=21sin(2x-2π)，即y=21-cos2x 的图象，所以所求函数f(x)=21-cos2x.方法归纳 平移是相对的，平移的量也不是唯一的，若通过平移φ(φ＞0)个单位能实现图象间的转化，那么平移kT+φ(k ∈Z ，T 是函数的最小正周期)个单位也能实现转化.三角函数的图象的变换是相对的、互逆的.知识点三 已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求它的解析式. 例4 已知函数y=Asin(ωx+φ)，|φ|＜2π的图象，试确定A 、ω、φ的值.图1-5-7解：显然，A=2. ∵T=65π-(-6π)=π，∴222===πππωT . 从图1-5-7中可以看出，函数y=2sin(2x+φ)是由y=2sin2x 的图象向左平移6π个单位得到的,所以y=2sin2(x+6π)，即φ=3π. 也可利用代点法求φ：由图可知当12]3)6[(21πππ=+-=x 时，y max =2. 故有2x+φ=2×12π+φ=2kπ+2π，即φ=2kπ+3π.∵|φ|＜2π，∴φ=3π.方法归纳 若用代点法确定函数y=Asin(ωx+φ)中的φ值时，能代入最值点更好；若A ＞0，ω＞0时，若代入递增区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ，k ∈Z .若代入递减区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ+π，k ∈Z ，再依据φ的范围，确定φ的值.例5 图1-5-8是一个按正弦规律变化的交流电的图象.根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式.图1-5-8思路分析：通过图象确定周期T ，从而进一步求得ω的值是关键，振幅A 也可通过识图求得，初相φ一般通过代点求得.解：由图象看出，这个交流电的周期T=0.2 s ，由频率f 与周期T 的关系式，得频率5112===a T f ，电流的最大值为10 A. 由图1-5-8可知，这个曲线的函数解析式是正弦型函数I=Asin(ωt+φ)，其中A=10，ω=2.022ππ=T =10π，再把点(0，10)代入函数解析式I=10sin(10πt+φ)，得sinφ=1，取φ=2π，于是得到曲线的函数解析式为I=10sin(10πt+2π)，t ∈［0，+∞).根据诱导公式，函数式可化为I=10cos10πt ，t ∈［0，+∞).方法归纳 A 表示振动量离开平衡位置的最大距离；ω可由周期T 或T 的一部分确定；φ可由图象离原点最近的递增区间中心点的横坐标确定，也可用代点法确定. 问题•探究 思想方法探究问题 如何理解函数y=A 1sin(ω1x+φ1)与函数y=A 2sin(ω2x+φ2)图象间的关系?探究过程：设函数y=2sin(x+6π)，x ∈R 的图象为C ，要得到y=3sin(x+6π)，x ∈R 的图象，只需把C 上所有点的纵坐标伸长到原来的23倍(横坐标不变)；要得到y=2sin(21x+6π)，x ∈R的图象，只需把曲线C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；要得到y=2sin(x+3π)，x ∈R 的图象，只需把曲线C 上所有的点向左平移6π个单位长度；要得到y=2sin(x+6π)+2的图象，只需把曲线C 上所有点向上平移2个单位.对于余弦函数也是如此.不同名称的弦函数间的关系，可先统一函数名称，如y=sin(2x-4π)与y=cos2x 图象间的关系，由于y=sin(2x-4π)=cos ［2π-(2x-4π)］=cos(43π-2x)=cos(2x-43π)，所以只需把y=sin(2x-4π)的图象向左平移83π个单位长度，即可得到y=cos2x 的图象.把y=cos2x 的图象向右平移83π个单位，便可得到y=cos(2x-43π)，即y=sin(2x-4π)的图象，所以图象的变换是相对的.探究结论：由y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω≠1)的思维过程是：①画出y=sinx ，x ∈［0，2π］的简图；②沿x 轴平移，得到y=sin(x+φ)，x ∈R 在长度为一个周期的闭区间上的简图；③横坐标伸长或缩短，得到y=sin(ωx+φ)，x ∈R 在长度为一个周期上的简图；④纵坐标伸长或缩短，得到y=A sin(ωx+φ)，x ∈R 在长度为一个周期上的简图. 误区陷阱探究问题 “要想得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，只需将函数y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位”这句话是否正确？探究过程：三角函数图象的变换包括了周期变换、振幅变换、相位变换和上下平移变换.其中由函数y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象是相位变换，它的实质是左右平移，而左右平移只是变换自变量x ，比如，将函数y=lg2x 的图象向左平移1个单位，得到的是函数y=lg2(x+1)的图象，而不是y=lg(2x+1).由于y=Asin(ωx+φ)=Asinω (x+ωϕ) (A ＞0,ω＞0)，则要由y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，只要向左或向右平移||ωϕ个单位即可.探究结论：这句话不正确，由y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，应向左或向右平移||ωϕ个单位.。
高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)教案4 新人教版必修4
三角函数·函数y＝Asin（ωx＋）的图象教学目标1．掌握y=Asin（ωx＋）的图象画法．2．通过画y＝Asin（ωx＋）的图象认识函数性质．3．通过学习函数y=Asin（ωx＋）的图象，培养数形结合的思想及从特殊→一般→特殊的认识事物的规律．教学重点与难点函数y＝Asin（ωx＋）的图象．教学过程设计（见下表）表1教学过程与计算机辅助教学过程的对比及计算机辅助教学对培养学生能力的作用本节课教学过程计算机辅助教学优势的说明对培养学生能力的作用1．引入让学生观察屏幕上小球小角度摆动，这时教师告诉学生小球做的是简谐振动，它的运动方程为y=Asin（ωx＋）——引出课题．这种运动的画面会立刻吸引学生的注意力，使他们迅速进入教学情景．这段引入在以往的教学模式中是教师口述生活中常见的例子，与计算机演示相比，在生动形象方面要逊色很多．有助培养学生对生活的观察力、想象力、对知识的迁移能力．2．复习相关知识（1）复习函数图象变化，在屏幕上显示图1，点动鼠标使上图中横线上的字依次出现．八种不同的显示方式（例如：从左到右、垂直渐现、掀开背景、水平新问题中要注意事物之间合拢、中心撕破、翻板显示、垂直合拢、推门显示）与传统的从左到右的书写形式相比形成了强烈的反差，深深吸引了学事物是普遍联系的，在解决的联系，善于利用旧知识解决新的问题．（2）复习y=sinx 图象的几何画法（如图2）．教师在单位圆上每隔10度取角的终边作正弦线并平移至坐标系相应位置，然后用平滑曲线连接． 生的注意力．多彩的形式对学生的美感及想象力的培养也起着潜移默化的作用． 这种作图方式课本P167有插图及说明，教师的口授讲解学生大致可以明白，但因缺乏生动形象的展示，学生理解不够深刻，而用计算机却可以完全真实地展现y=sinx 图象形成的全过程．这种动画过程强烈刺激学生的感官，使学生深刻理解了这一知识点，这是投影等其它方式所不能达到的效果．事物是运动的，运动的发展变化是有规律的，培训学生在运动变化的过程中发现规律、分析概括的能力．续表 续表 本节课教学过程 计算机辅助教学优势的说明 对培养学生能力的作用好，总认为ω＞1应该伸，0＜ω＜1时应该缩．针对学生出现的问题，讲课时，一方面从对函数概念的理解上让学生懂得正确作法的道理，另一方面让学生仔细观察图象变化过程． ④研究y=sin （x+ ）图象变化． ⑤研究y=sin （ωx+ ）图象变化．这两种问题都不是单一的变换，都存在先后顺序，都有中间一个过渡性的函数图计算机辅助教学可以利用计算机切换快的特点，让学生看到把y=sinx 先横平移 个单位，再纵伸缩至A 倍，与先纵伸缩至A 情再横平移 个单位效果相同．而y=sin （ωx+ ）是先把y=sinx 图象横向平移个单位得到y=sin （x+）图象后再横伸缩，或把y=sinx 图象先横伸缩，得到y=sinωx 图象培养学生对简单知识的综合运用能力．象．⑥研究A，ω，对于y=sinx图象的影响，即y=Asin（ωx+）图象．后，再横平移个单位．当计算机把先后如何变化的全过程展现给学生时，学生们毫无疑问地对这一知识点的理解更具体、更深刻了．4．课堂练习讨论y=-3sin（2x＋π／3）计算机迅速演示作图过程．进一步完善从特殊→一般→特殊的认识事物的规律．5．课堂教学小结再次让学生观察小球的运动．通过画面快速回放，帮助学生回顾这节课的教学过程，巩固复习本节课的知识要点，以进一步达到总结数学思想方法及培养能力的目的．这类图象画起来很繁琐，如果在黑板上完全演示画法的全过程，既耽误时间，又不够美观，用投影片也会带来同样的问题．而用计算机却能快速地将作图过程展现出来，而且图象清晰、色彩鲜明，大大提高课堂效率和教学效果。
高中数学必修四学案 §1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
§1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)学习目标1.会用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象.2.能根据y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象，确定其[解析]式.3.了解y＝A sin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．知识点一 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象思考1 用“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？ [答案] 依次为0，π2，π，3π2，2π.思考2 用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？[答案] 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω. 梳理 用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤 第一步：列表：第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 知识点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0的性质知识点三函数y＝A sin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义1．函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的振幅是－2.( × ) 提示 振幅是2.2．函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相是π4.( × ) 提示 初相是－π4.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象的对称轴方程是x ＝π4＋k π，k ∈Z .( √ ) 提示 令x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，即f (x )的图象的对称轴方程是x ＝π4＋k π，k ∈Z .类型一 用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例1 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋3(x ∈R )，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．[考点] 正弦函数的图象 [题点] 五点法作正弦函数图象 解 (1)列表：(2)描点画图：反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点．(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象． 跟踪训练1 已知f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，画出f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象． [考点] 正弦函数的图象 [题点] 五点法作正弦函数图象解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－54π，34π. 列表如下：(2)描点，连线，如图所示．类型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的[解析]式例2 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数[解析]式．[考点] 求三角函数的[解析]式 [题点] 根据三角函数的图象求[解析]式 解 方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅A ＝3，又T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 由点⎝⎛⎭⎫－π6，0可知，－π6×2＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π2，得φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3，又图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有⎩⎪⎨⎪⎧π3·ω＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，5π6·ω＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，|φ|<π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法三 (图象变换法)由T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0，A ＝3可知， 图象是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得到的，∴y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.反思与感悟 若设所求[解析]式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练2 (2017·贵州贵阳一中期末考试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________.[考点] 求三角函数的[解析]式[题点] 根据三角函数的图象求[解析]式 [答案] 32[解析] 由图，知T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3，又T ＝2πω＝4π3，∴ω＝32.类型三 函数y ＝A sin ()ωx ＋φ，|φ|<π2性质的应用例3 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值． [考点] 三角函数图象的综合应用 [题点] 三角函数图象的综合应用 解 (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z ，令k π2＋π4－φ2＝π8，k ∈Z ，得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z )． 当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时，函数取得最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数取得最小值－1.反思与感悟 有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．跟踪训练3 已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2上最高点为(2，2)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x 轴交于点(6,0)． (1)求函数的[解析]式；(2)求函数在x ∈[－6,0]上的值域．[考点] 三角函数图象的综合应用 [题点] 三角函数图象的综合应用 解 (1)由题意可知A ＝2，T4＝6－2＝4，∴T ＝16，即2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 又图象过最高点(2，2)，∴sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1， 故π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π4＋2k π，k ∈Z ， 由|φ|≤π2，得φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. (2)∵－6≤x ≤0，∴－π2≤π8x ＋π4≤π4，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4≤1.即函数在x ∈[－6,0]上的值域为[－2，1].1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3[考点] 三角函数图象的综合应用[题点] 三角函数图象的综合应用[答案] A[解析] 由题意知f (0)＝2sin φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，T ＝2ππ3＝6，故选A. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象如图，则它的振幅A 与最小正周期T 分别是( )A ．A ＝3，T ＝5π6B ．A ＝3，T ＝5π3C ．A ＝32，T ＝5π6D ．A ＝32，T ＝5π3[考点] 三角函数图象的综合应用[题点] 三角函数图象的综合应用[答案] D[解析] 由题图可知A ＝12(3－0)＝32， 设周期为T ，则12T ＝π2－⎝⎛⎭⎫－π3＝5π6，得T ＝5π3.3．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )[考点] 正弦函数的图象[题点] 五点法作正弦函数图象[答案] A[解析] 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所有点向右平移π6个单位长度即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 4．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) [考点] 三角函数图象的平移变换和伸缩变换[题点] 三角函数图象的平移变换[答案] B[解析] 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的[解析]式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 5．关于函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，以下说法： ①其最小正周期为2π3； ②图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；③直线x ＝－π4是其一条对称轴． 其中正确说法的序号是________．[考点] 三角函数图象的综合应用[题点] 三角函数图象的综合应用[答案] ①②③[解析] T ＝2πω＝2π3；当x ＝π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4－3π4＝0，所以图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称，x ＝－π4时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3π4－3π4＝2，所以直线x ＝－π4是其一条对称轴．1．利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，32π，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值．2．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定[解析]式关键在于确定参数A ，ω，φ的值．(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T 2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T . (3)从寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．3．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．。
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1.5函数y=Asin （ωx+φ）的图象
主备：王晓娟 时间 班级 姓名
教学目标：
1.通过对函数y=Asin （ωx+φ）（A>0，ω >0）的图像的探讨让学生掌握三角函数图象的各种变换的内在联系
2.培养学上观察问题和探索问题的能力 学习重点：通过五点作图法找出从函数y=sinx 到函数y=Asin （ωx+φ）的图像的变化规律。
学习难点：对“将周期变换、相位变换的先后顺序调整后，会影响平移量”的理解。
学习过程：预习教材 页 页 ，找出疑惑之处 一、课前准备 复习
1.正弦曲线：____________________________________________________
2.余弦曲线:__________________________________________________
3.五点法做图:___________________________________________________ 二、新课导学 学习探究
探究任务（一）： 函数图象的左右平移变换，即探索φ对函数y=sin （x+φ），x@R 的影响
在同一坐标系下作出函数y=sin （x-6π）和y=sin （x+6
π
）的简图，并指出它们与y=sinx
图象之间的关系。
得出结论：一般地，函数y=sin （x+φ）,(其中φ=0)的图像，可以看做时把y=sinx 图像上所有的点向左（当 时），或向右（当 时）平行移动 个长度单位而得到的。
探究任务（二）：函数图象的横向伸缩变换，即探索ω（ω>0）对函数y=sin （ωx+φ）x@R 的影响
在同一坐标系中作出y=sin （2x+6
π
）的简图，并指出它的图象与y=sinx 的关系。
得出结论：一般地，函数y=sin （ωx+φ）,(其中φ=0)的图像，可以看做时把y=sin （x+φ）图像上所有的点的横坐标缩短（当 时），或伸长（当 时）到原来的 倍而得到的。
探究任务（三）：函数图象的纵向伸缩变换，即探索A （A>0）对y=Asin （ωx+φ）的图像的影响。
作函数y=3sin （2x+6π）的简图，并指出它与y=sin （2x+6
π
）图象间的关系。
得出结论：一般地，函数y=Asin （ωx+φ），其中（A>0, ω>0）的图象可以看做用下面的方法得到：先画出y=sinx 的图象；再把正弦曲线向左或向右平移 个单位长度，得到函数 的图象；然后使曲线上个点的横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍，这时的曲线就是函数y=Asin （ωx+φ）的图像 典型例题
用五点法作出函数y=2sin （3x-3
）的简图，并指出可由函数y=sinx 的图象经过怎样的变
换得到。
思考：能否由函数y=cosx 的图象经过变换得到函数函数y=Asin （ωx+φ）的图象？如果能需要怎样变换？ 动手试试
如图是函数y=Asin （ωx+φ）的图象，确定A 、ω、φ、的值
三、总结提升
* 学习小结：作函数y=Asin （ωx+φ）的图像有两种方法：五点法和变换y=sinx 的图像得到。
变换图象时应分清楚是先平移后横向伸缩，还是先横向伸缩后平移，两种情况下平移的量是不一样的，前者是平移|φ|个单位，而后者是平移|φ/ω|个单位
*知识拓展
函数y=Asin （ωx+φ）的图像还可以由以下变换得到：
先画出y=sinx 的图象；再将曲线上个点的横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图象；再将曲线向左或向右平移 个单位长度，得到函数 的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍，这时的曲线就是函数y=Asin （ωx+φ）的图像
学习评价
*自我评价：你完成本节课的情况为（ ）
A.很好
B.较好
C. 一般
D.较差 *当堂检测 （时间：5分钟 满分10分）
1.为了得到函数y =cos(x +3π
)，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线y =cos x 上的所有的点 ( )
(A) 向左平移
3π个单位长度 (B) 向右平移3
π
个单位长度 (C) 向左平移13个单位长度 (D) 向右平移1
3
个单位长度
2..函数y =cos x 的图象向左平移
3
π
个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3
倍，所得的函数图象解析式为 ( ) (A) y =3cos(12x +3π) (B) y =3cos(2x +3π) (C) y =3cos(2x +23π) (D) y =13cos(12x +6
π
)
3.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)在同一周期内,当x =
12
π时,y max =2;当x =
712
π
时，,y min =-2.那么函数的解析式为 ( ) (A) y =2sin(2x +
3π) (B) y =2sin(2x -6π) (C) y =2sin(2x +6π) (D) y =2sin(2x -3
π
)
3. 函数y =2sin(ωx +φ)，|φ|<2
π
的图象如图所示，则 ( ) (A) ω=
1011,φ=6π (B) ω=1011,φ= -6
π (C) ω=2,φ=
6π (D) ω=2,φ= -6
π
课后作业
1..写出函数y =4sin2x (x ∈R )的图像可以由函数y =cos x 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)
2. 已知N （2，2）是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.
x
y 1
2 o
-2
1112
πx。