上海理工大学继续教育学院线性代数补考复习题

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(完整word版)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。

(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。

(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。

（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-，则=x （ )。

（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。

继续教育学院线性代数A卷及答案

1. =5.
2.若，则有零解，则应满足。
4.设为4阶方阵，且 ,则 __81______
5.设A= ，B= .则A+2B=
三、判断题：（每题3分，共30分）
1. 若行列式中每个元素都大于零，则（错）
2.A,B皆为n阶矩阵，则AB=BA ( 错 )
解
=
=
A.–6B.6
C.2D.–2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（D）
A.A=0B.B C时A=0
C.A 0时B=CD.|A| 0时B=C
5.A、B （D）
A、B=EB、A=EC、A=B D、AB=BA
6.若（A）
A、12B、-12C、18D、0
7.设A、B都是（C）
A、A=0或B=0B、A、B都不可逆
继续教育学院线性代数A卷及答案
成绩
（A卷）
学校名称（全称）学习形式（业余、函授、脱产）
学号姓名年级专业
一、单项选择题：（每题3分，共30分）
1.设行列式 =m， =n，则行列式等于（D）
A.m+nB.-(m+n)
C. n-mD. m-n
2.设矩阵A= ，则A-1等于（B）
A. B.
C. D.
3.设矩阵A= ，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（B）
3.已知n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I,则称n阶方阵A可逆（对）
4.若r( )<r(A)，则此线性方程组有唯一解（错）
5.A为n阶方阵，（对）
6.已知方阵A,则行列式（对）
7.如果方阵A可逆，则它的转置矩阵也可逆，且 (错)
8.如果方阵A,B为同阶方阵，则行列式 (对)

线性代数-多套复习试题简洁版(含答案)

线性代数参考题一一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 写出4阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中含因子2311a a 的项为_________。

2. 行列式01112222=+b b a a b ab a 的充分必要条件为___________。

3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A _________。

4. C B A ,,同阶方阵,0≠A ,若AC AB =,必有C B =,则A 应为_______矩阵。

5.设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。

6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-α51,则=α_________。

7. 设向量组r A αα,,:1 是向量组T 的一个最大无关组,则A 与T 间关系为___________。

8.由()()()0,1,1,1,0,1,1,1,0321===ααα所生成的线性空间为_________。

9. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为________。

10. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 31322101,且()3=A R ,则=t _________。

二. (8分)计算2n 阶行列式d cdc dc b a ba ba D n 0002=三. (8分)解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X求?=X四. (10分)设向量组A:()()()()3,6,2,0,1,3,0,1,3,1,1,2,0,1,4,14321-=--=--==αααα求向量组A 的秩及一个最大无关组. 五. 12分)讨论方程组的解的情况⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型323121232221222222x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设n n ααβααβαβ++=+== 121211,,,且n αα,,1 线性无关,证明:n ββ,,1 线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iE A i均不可逆.则A 可否对角化? 线性代数参考题二填空题(每小题3分,满分30分) 1．设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B2．已知0222=++I A A ,则=+-1)(I A (其中I 是n 阶单位阵)3．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12241031xA 设,已知矩阵A 的秩r(A)=2,则=x4．()814370122222632144-==⨯ij a A 设,又ij A 是ij a 的代数余子式,则=+++44434241A A A A5．若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组6．设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型,则t 的取值区间为7．设A 是n阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA8．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211,则=x9．设非齐次线性方程组b AX =的两个解为)(,,2121ξξξξ≠A 的秩为1-n ,则 b AX =的一般解=ξ .10．已知向量组[][][]1,4,2,1,0,,0,2,1,1,2,1321--==-=αααt 的秩为2,则=t二．(8分)计算n 阶行列式ba a a ab a a a a b a D n nn n ---=212121三．(8分)求矩阵X 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡1041120112201117241X四．(10分)设[][][][]10,2,1,2,4,1,5,1,3,6,3,11,5,5,10,2,3,2,1,24321-==-=-=αααα求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数b a ,各取何值时, 方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=++++=+-=+++,5853,34232,12,1432143214324321x a x x x b x x a x x x x x x x x x 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型()323121232221321222222,,x x x x x x x x x x x x f ---++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设向量432,,,1αααα线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组4321,,,ββββ线性无关.八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iI A i均不可逆。

上海理工大学-线性代数

B 模拟卷四
（一）（本题15分）计算下列行列式的值
（1）2605232
11213141
2-=D （2）n
D ...222...
............2...3222...2222...221=（二）（本题12分）设矩阵A 和B 满足关系式B A AB 2+=，其中
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。

（三）（本题13分）当λ取何值时，非齐次线性方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x 有解？并在有无穷多组解时，求出全部解。

（四）（本题14分）求下列向量组的秩和一个最大线性无关组，并将其余向量
表示成这个最大无关组的线性组合。

()T 1,2,2,1,11=α，()T 1,5,1,2,02-=α，
()T 3,1,3,0,23-=α，()
T 1,4,0,1,14-=α（五）（本题12分）设向量组4321,,,αααα的秩为3，向量组5321,,,αααα的秩
为4，证明：向量组45321,,,ααααα-的秩为4。

（六）（本题8分）证明()T 0,1,11-=α，()T 3,1,22=α，()T
2,1,33=α构成3R 的一组基。

（七）（本题18分）求方阵A 的特征值与特征向量，其中⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A （八）（本题8分）已知n 阶矩阵A 和B 满足关系式AB B A =+，证明：E A -为
可逆矩阵，其中E 为n 阶单位矩阵。

(完整word版)线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出①四个选项中只有一个是符合题目要求◎，请将其代码填在题后①括号内。

错选或未选均无分。

A. -6 C. 24. 设A 是方阵，如有矩阵关系式 AB =AC ,则必有( A. A = 0C. A =0 时 B =C5. 已知3X 4矩阵A O 行向量组线性无关，则秩( A. 1 C. 3 D.46.设两个向量组a 1, a 2,…，a s 和B 1, 3 2,…，3 s 均线性相关，则()A. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 a 什入2 a 2+…+入s a s =0和入1 3什入2 3 2+…入s 3 s =0B. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1+ 3 1) +入2 ( a 2+ 3 2) +…+入s ( a s + 3 s ) =0C. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1- 3 1) +入2 ( a 2- 3 2)+…+入s ( a s - 3 s ) =0D. 有不全为0 O 数入1,入2，…，入s 和不全为0 O 数卩1 ,卩2,…，卩s 使入1 a 计入2a 2+…+入 s a s =0 和卩 1 3 1+ 卩 2 3 2+ …+ 卩 s 3 s =0 7. 设矩阵A O 秩为r ,则A 中( )A. m+n C. n-a11a12a13a11=m ,a 21 a 22a 23 a 21a11 a 12 ' a13a 21 a 22 亠a 23B. - (m+n)D. m- n等于(2•设矩阵A =3.设矩阵 ■‘3 -1 21 0 -1 V-2 14丿中位于 (1 , 2)0兀素是(B. 6 D.-)B. B = C 时 D. | A0 时 B =C A T)等于( )B. 2 1•设行列=n ，则行列式(10 2 VP 0 A. C.0，则A -1等于(3丿,A *是A ①伴随矩阵，则 A A =A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，n 1,A. n什n 2是Ax=0 O—个解B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0n 2是其任意2个解，则下列结论错误O是1 1B. —n 1+ n 2是Ax=b O—个解C. n i -n 2 是 Ax=O ①一个解D.2 n 1- n 2 是 Ax=b ①一个解 9•设n 阶方阵A 不可逆，则必有（） A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n- 1 C. A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10•设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确①是（）A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A ①属于特征值入①特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A ①特征值C. A O 2个不同①特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A O 3个互不相同①特征值， a 1, a 2, a 3依次是A ①属于入i ,入2,入3①特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关 11. 设入o 是矩阵A ①特征方程①3重根，A ①属于入°①线性无关①特征向量①个数为 k ，则必有（） A. k ＜ 3B. k ＜3C. k=3表示|A |中元素a j ①代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则2 218. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a ）线性相关，贝y a= 一 . 19. ______________ 设A 是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组 Ax=b O 2个不同①解，则它 ◎通解为 .20.设A 是m x n 矩阵，A ①秩为r （＜n ），则齐次线性方程组 Ax=0①一个基础解系中含有解①个数为D. k>312. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误①是（A.| A|2必为 1 -1 ■ T C. A = A13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，A. A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同①特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵①为（）i'2 3:A. I I 母4丿'1 0 0C. 0 2-3©-35」）B.| A 必为1D. A ①行（列）向量组是正交单位向量组 B =C AC .则（）4 6」、1 12 0第二部分、填空题（本大题共 10小题，每小题小题①空格内。

线性代数试题和答案（精选版）

线性代数试题和答案（精选版）线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.1002 00 1 3C. 1 3 00 010 00 1 21200130013.设矩阵A= 312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< p="">B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334B.3426C.023035--D.111120102第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数考试题库及答案(一)

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

线性代数试题库(含答案,适合期末复习,考研同学使用)

《线性代数》复习一：选择题1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a = M ，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = （）A. 8MB. 2 MC. MD. 6 M2. 若A ，B 都是方阵，且|A |=2，|B |=-1，则|A -1B|=（）A. -2B.2C. 1/2D. –1/2 3. 已知可逆方阵13712A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则A =（）A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =05. 设A , B 均为n 阶矩阵, A ≠O , 且AB = O , 则下列结论必成立的是（）A. BA = OB. B = OC. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-BA +B 2 6. 下列各向量组线性相关的是（）A. α1=(1, 0, 0), α2=(0, 1, 0), α3=(0, 0, 1)B. α1=(1, 2, 3), α2=(4, 5, 6), α3=(2, 1, 0)C. α1=(1, 2, 3), α2=(2, 4, 5)D. α1=(1, 2, 2), α2=(2, 1, 2), α3=(2, 2, 1)7. 设AX =b 是一非齐次线性方程组, η1, η2是其任意2个解, 则下列结论错误的是（）A. η1+η2是AX =O 的一个解B. 121122ηη+是AX =b 的一个解C. η1-η2是AX =O 的一个解D. 2η1-η2是AX =b 的一个解8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 设A 是n 阶方阵, 且|A |=2, A *是A 的伴随矩阵, 则|A *|=（）A. 21B. 2nC. 121-nD. 2n -110. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（）A. x +y =zB. xy =zC. z >xyD. z >x +y参考答案:1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设2301λλ=-，则λ取值为（）A. λ=0或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0且λ≠-3D. λ≠0 2. 若A 是3阶方阵，且|A |=2，*A 是A 的伴随矩阵，则|A *A |=（） A. -8 B.2 C.8 D. 1/2 3. 在下列矩阵中, 可逆的是（）A. 000010001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 110220001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 110011121⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 100111101⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A +3E =O , 则A -1=（） A. E B. 1(2)3-E A C. 23-A E D. A 5. 设A 1111a a a aa a a a a a a a⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=, 若r (A )=1, 则a =（） A.1 B.3 C.2 D.46. 若齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解, 则常数λ= （）A.1B.4C. -2D. -17. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论正确的是（）A. BA = ABB. (A -B )2=A 2-BA - AB +B 2C. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-2 AB +B 28. 已知α1=(1, 0, 0), α2=(-2, 0, 0), α3=(0, 0, 3), 则下列向量中可以由α1, α2, α3线性表示的是（）A. (1, 2, 3)B. (1, -2, 0)C. (0, 2, 3)D. (3, 0, 5) 9. n 阶方阵A 可对角化的充分条件是（）A. A 有n 个不同的特征值B. A 的不同特征值的个数小于nC. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4阶方阵，且|A |=2，则|-2A |=（）A. 16B. -4C. -32D. 322. 行列式34657128k 中元素k 的余子式和代数余子式值分别为（）A. 20，-20B. 20，20C. -20，20D. -20，-20 3. 已知可逆方阵2713⎛⎫⎪⎝⎭=A , 则1-A =（） A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =0 5. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论中正确的是（）A. (A +B )(A -B )=A 2-B 2B. (AB )k =A k B kC. |k AB |=k |A |⋅|B |D. |(AB )k |=|A |k ⋅|B |k 6. 设矩阵A n ⨯n 的秩r (A )=n , 则非齐次线性方程组AX =b （）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解 7. 设A 为n 阶方阵, A 的秩 r (A )=r <n , 那么在A 的n 个列向量中（） A. 必有r 个列向量线性无关 B. 任意r 个列向量线性无关C. 任意r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出 8. 已知矩阵44⨯A 的四个特征值为4，2，3，1，则A =（）A.2B.3C.4D.24 9. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是（）A. A 有n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性无关的特征向量 10. n 阶对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是（） A. A 的秩为n B. |A |>0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案: 1.D 2. A 3. D 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D 9. D 10. D1. 行列式3462578y x 中元素y 的余子式和代数余子式值分别为（）A. 2，-2B. –2，2C. 2，2D. -2，-2 2. 设A , B 均为n (n ≥2)阶方阵, 则下列成立是（） A. |A +B |=|A |+|B | B. AB =BAC. |AB |=|BA |D. (A +B )-1=B -1+A -1 3. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A = E , 则(A -2E )-1=（）A. AB. 2 AC. A +2ED. A -2E4. 矩阵111122223333⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A 的秩为（）A.1B.3C.2D.45. 设n 元齐次线性方程组AX =O 的系数矩阵A 的秩为r , 则方程组AX =0的基础解系中向量个数为（）A. rB. n - rC. nD. 不确定 6. 若线性方程组⎩⎨⎧=+-=+-212321321x x x x x x λ无解, 则λ 等于（）A.2B.1C.0D. -17.n 阶实方阵A 的n 个行向量构成一组标准正交向量组，则A 是（） A.对称矩阵 B.正交矩阵 C.反对称矩阵 D.|A |=n8. n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充要条件是（）A. A 的秩小于nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设η1, η2是非齐次线性方程组Ax =b 的任意2个解, 则下列结论错误的是（） A. η1+η2是Ax =0的一个解 B.121122+ηη是Ax =b 的一个解 C. η1-η2是Ax =0的一个解 D. 2η1-η2是Ax =b 的一个解10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的秩为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. D 2. C 3. A 4. A 5. B 6. A 7.B 8. D 9.A 10. D1. 设000101a b b a =-=D ，则a ，b 取值为（）A. a =0，b ≠0B. a =b =0C. a ≠0，b =0D. a ≠0，b ≠0 2. 若A 、B 为n 阶方阵, 且AB = O , 则下列正确的是（） A. BA =O B. |B |=0或|A |=0 C. B = O 或A = O D. (A -B )2=A 2+B 2 3. 设A 是3阶方阵，且|A |=-2，则|A -1|等于（）A. -2B. 12-C.2D. 124. 设矩阵A , B , C 满足AB =AC , 则B =C 成立的一个充分条件是（）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵 5. 如果n 阶方阵A ≠O 且行列式|A | =0, 则下列正确的是（）A. 0<r (A ) < nB. 0≤r (A )≤ nC. r (A )= nD. r (A ) =0 6. 若方程组123232378902020x x x x x x bx ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩存在非零解, 则常数b =（）A.2B.4C.-2D.-47. 设A 为n 阶方阵, 且|A |=0, 则（） A. A 中必有两行(列)的元素对应成比例B. A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C. A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D. A 中至少有一行(列)的元素全为零8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 如果3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2，则下列命题正确的是（） A. A 不能对角化 B. 0=AC. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =--，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. D 10. C1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a =M ，则111112132121222331313233444a a a a a a a a a a a a ---=（） A. -4M B. 0 C. -2 M D. M2. 设A ij 是n 阶行列式D =|a ij |中元素a ij 的代数余子式, 则下列各式中正确的是（） A.10nij ij i a A ==∑B.10n ij ij j a A ==∑ C. 1nij ij j a A D ==∑D.121ni i i a A D ==∑3. 已知100010301⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，200221333⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则|AB |=（）A.18B.12C.6D.364. 方阵A 可逆的充要条件是（）A. A ≠OB. |A |≠0C. A *≠OD. |A |=1 5. 若A 、B 为n 阶方阵, A 为可逆矩阵, 且AB = O , 则（）A. B ≠ O , 但r (B )<nB. B ≠ O , 但r (A )<n , r (B )<nC. B = OD. B ≠ O , 但r (A )=n , r (B )<n 6. 设β1, β2是非齐次线性方程组AX =b 的两个解, 则下列向量中仍为方程组解的是（）A. β1+β2B. β1-β2C. 121(2)2+ββD. 12325+ββ7. n 维向量组α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性无关, β为一n 维向量, 则（）A. α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs , β线性相关B. β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出C. β一定不能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出D. 当s =n 时, β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出 8. 设A 为三阶矩阵, A 的特征值为-2, 1, 2, 则A -2E 的特征值为（） A. -2, 1, 2 B. -4, -1, 0 C. 1, 2, 4 D. 4, 1, -4 9.若向量α=（1，-2，1）与β=（2， 3，t ）正交，则t =（）A.-2B.0C.2D.410. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（） A. x +y =z B. xy =z C. z >xy D. z >x +y参考答案: 1.A 2.C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. D 8. B 9.D 10. C1.行列式3462578y x中元素x的余子式和代数余子式值分别为（）A.–9，-9B.–9，9C. 9，-9D. 9，92.1111234533334344=（）A.2B.4C.0D.13.设A为4阶矩阵, |A|=3,则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（）A.3B.81C.27D.94.设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T=A T+B TB. (A+B)-1=A-1+B-1C. (AB)-1=B-1A-1D. (AB)T=B T A T5.设n阶矩阵A满足A2+A+E=O,则(A+E)-1=（）A.AB. -(A+E)C.–AD. -(A2+A )6.设n阶方阵A,B,则下列不正确的是（）A. r(AB)≤r(A)B. r(AB)≤r(B)C. r(AB)≤min{ r(A)，r(B)}D. r(AB)>r(A)7.已知方程组AX=b对应的齐次方程组为AX=O，则下列命题正确的是（）A.若AX=O只有零解,则AX=b有无穷多个解B.若AX=O有非零解,则AX=b一定有无穷多个解C.若AX=b有无穷解,则AX=O一定有非零解D.若AX=b有无穷解,则AX=O一定只有零解8.已知矩阵10102010x⎛⎫⎪=⎪⎝⎭A的一个特征值是0,则x=（）A.1B.2C.0D.39.与100021012⎛⎫⎪=-⎪-⎝⎭A相似的对角阵是（）A.113⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ B.123⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ C.113⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭Λ D.114⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ10.设A为3阶方阵,A的特征值为1,0,3,则A是（）A.正定B.半正定C.负定D.半负定参考答案: 1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. A 10.B1.设A,B都是n阶方阵,k是一个数,则下列（）是正确的。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 在线性空间R^3中，向量的维数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 无穷大2. 已知向量组{v1, v2, v3}线性无关，向量v4可以由向量组{v1, v2,v3}线性表示，那么向量组{v1, v2, v3, v4}（）。

A. 线性无关B. 线性相关C. 只存在部分线性相关D. 无法确定3. 若A是一个n×n矩阵，且满足A^2 = -I，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）。

A. -1B. 1C. iD. -i4. 设A为n×n矩阵，若A^2=0，则（）。

A. A非奇异B. A是零矩阵C. A的特征值全为0D. A的特征向量全为05. 设A为3×3矩阵，若A的秩为2且|A|=0，则（）。

A. A的特征值必为0B. A的特征值至少有2个为0C. A的特征值可能全为非零数D. A的特征值全为非零数6. 设A为m×n矩阵，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则（）。

A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的行向量组线性相关7. 设A、B为m×n矩阵，若AB=0，则（）。

A. A=0或B=0B. A和B至少有一方为0C. AB为零矩阵D. AB不一定为零矩阵8. 若二次型f(x) = x^T Ax恒大于等于零，其中x为非零向量且A为n×n对称矩阵，则A（）。

A. 不一定是正定矩阵B. 一定是正定矩阵C. 一定是半正定矩阵D. 不一定是半正定矩阵9. 若矩阵A=（a1，a2，a3，...，an）为方阵，并且满足AtA=In，其中In为n阶单位矩阵，则（）。

A. A非奇异B. A为对角阵C. A为正交阵D. A为对称阵10. 对于线性方程组Ax = b，若方程组有解，则（）。

A. A的行向量数等于b的个数B. A的列向量数等于b的个数C. A的秩等于b的个数D. A的秩小于等于b的个数二、简答题（共4题，每题15分，共60分）1. 请证明：若n×n矩阵A与B的秩相等，即rank(A)=rank(B)，则AB与BA的秩也相等。

《线性代数》补考试卷A及参考答案

《线性代数》补考试卷A 含答案适用专业：农学.林学.动科等. 试卷类型：闭卷考试时间：120分钟总分100分考试日期：2021.9一.选择题（2分×5=10分）1.排列5 1 3 2 4 的逆序数为（ D ） A.4 B.1 C.3 D.52. 设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，则1A -等于（ A ） A.1-a B. a C.1-n aD.n a3. 设A 为n 阶可逆阵，则下列成立的是( C ) A.112)2(--=A A B. 11)2()2(--=TTA AC. [][]1111)()(----=TTA A D.[][]TTT AA 111)()(---=4.设B A 、为n 阶可逆方阵，则下列结论成立的是（ C ）。

A 、B A B A +=+ B 、BA AB =C 、BA AB =D 、111)(---+=+B A B A5．设A 为3阶方阵，且2=A ，则A 2=（ C ） A.4 B.8 C.16 D. 21二．填空题（2分×10=20分）1．设A 、B 均为3阶方阵，且|A |=3，|B |=-2，则|AB |= -62. 设A 为方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λλ有非零解,则λ=1±3．已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则方阵2A 的特征值是4 、 1 、 14.向量α=111,120β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则[],αβ= 05. 向量α线性相关的充分必要条件是0α=6．设00a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n A =00nn a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.设y x ,为实数，则当=x 0 ，且=y 0 时，010100=---y x yx三. 计算题：（总共70分）1.计算 cos sin sin cos D θθθθ-=（5分） 2.求13211A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（5分）解22cos sin 1D θθ=+= （5分）解13121A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（5分）3．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321212113,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012111,求,2TA AB A -（10分）解：T321A 112,123⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5分） 002AB 2A 210,652⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（5分）4.求矩阵A 的特征值与特征向量，其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131312121（10分）解=-)det(A E λ]14)1)[(1(1313121212+--=------λλλλλ（3分）11=λ （5分）院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________当11=λ时：0)(=-X A E （7分）基础解系T )2,1,3(1-=α特征向量为X=K 1α（10分）5．求矩阵E A 2-的逆矩阵，其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300041003 （ 10分）解：3002002140020003002A E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（ 3分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1000210012000200023000410032E A （ 5分）利用分块法可求得其逆矩阵()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--1000212100121E A （ 10分）6设矩阵1101121301120111A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,求矩阵A 的列向量组的秩，并求A 的列向量组的一个最大无关组。

上海理工大学继续教育学院 (本科)高等数学(Ⅱ)补考复习题.pdf

32．设 z z(x, y) 是由方程 x2 y2 z 2 4z 0 所确定的隐函数，求 dz x0 .
y 3
y
33．调换二次积分 I
1
dy
1
e x dx 的积分次序，计算 I 的值。
0
y
34．计算 xydxdy ，其中 D 是由直线 y x 、 y 1、 x 2 所围成的闭区域。 D
5．设 z f (u, v), u x2 y, v y , 其中函数 f (u, v) 为可微函数，求 z 、 z .
x
x y
6．设 z z(x, y) 是由方程 x ln z 0 所确定的隐函数，求 z 、 z .
zy
x y
7．点（1, 0）是否为函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的驻点？是否为极
D
11．求过点
M
(1,
2,
3)
且与直线
x 3y 2x y
z z
7 1
0 0
平行的直线方程。
12．求过点
M
(1,3,2)且与直线2xx
yz2 y 3z 10
0
0
垂直的平面方程。
13．设 z sin 2 (x 3) ln(1 xy) ，求 z ， z . x y
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14．设 z x ln(xy) ，求 z 、 z 、 2 z 、 2 z 、 2 z . x y x 2 y 2 xy
35．计算 x2 y 2 dxdy ，其中 D 是由曲线 x2 y2 4 所围成的闭区域。
D
36．设 z yf (x2 y2 ) ，其中 f (u) 为可微函数，求 z 、 2 z . x xy
37．设 z z(x, y) 是由方程 x2 y3 xyz 2 0 所确定的隐函数，求 dz .

线性代数补考 (参考答案)

C．向量组中各向量可以相互线性表示D．向量组的任一部分组都线性相关
4．设，是非齐次线性方程组的解，，为常数，若也是的一个解，则 =（A）
A．1 B．0 C．－1 D．2
5．若二次型的秩为2，则k=（C）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(共15分，每题3分)
1．。
2．若为三阶矩阵且 =5，则 25。
（6分）；
令，即有正交变换使得：（2分）
四、证明：令得：（2分）
由向量组线性无关得（2分）；
即: ，而，由克莱姆法则，方程组只有唯一解（4分）
所以，，也线性无关（2分）
一、选择题(共15分，每题3分)
1．设行列式，则等于（C）
A．8 B．－12 C．－24 D．24
2．设A，B，C均为n阶方阵，下列等式一定成立的是（C）
A． B．若，则
C． D．
3．若向量组，，…，线性相关，则（B）
A．向量组中任一向量可由其它向量线性表示B．向量组中至少有一向量可由其它向量线性表示
（2分）；
所以（3分）
4．解：（6分）；
向量组的秩：（2分）；一个最大无关组：（2分）。
5．解：由，，（6分）
得，，所以方程组有解（2分）；
从而得，即，令，，，则方程组的通解为：（其中k1，k2为任意常数）（4分）。
6．解：，所以，
由，即，得，，（4分）；
由，得特征向量分别为：，，，单位化得，，
3．向量组，，，则，，是线性相关。（填相关或无关）
4．含有n个未知数的线性方程组有唯一解的充分必要条件是。

线性代数复习题(选择填空题),DOC

线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为CA 、1k -B 、n k -C 、(1)n n k --D 、2n k - 练3、若A 、i 4A 、1544a a 练5A 、练6A 、24B 、练7A 练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则C A 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若⎧⎪⎨⎪⎩A 、0k =13、设A A 练14A 、λ练15A 、24B 练16A 17、设A A 、A +练18___D_______ A 、()///AB A B =B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB = 练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X =C A 、11A B C --B 、11CB A --C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2A B 、 nA C 、2 nA D 、21n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是C A 、AA A *=B 、/1A A A*=C 、0A ≠，则0A *≠D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则D A 、A B =B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是A A 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24A 练25()1B r =，则A 、练26A 、 ⎝⎛100练27A 、12,ααBCD 12n 练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________ A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示 29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是A A 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+ C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+ 练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是A A 、1αα-，αα-，αα-B 、αα+，αα+，αα+ C 、1α练31A 、C 、练3212,k k 是任A 、11k +αC 、1k α33、若A A 、A A '练34A 、 ⎝⎛-22135、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是D Ａ、E A -B 、E A +C 、2E A -D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的B A 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C41、、1110-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2x =A 、1,x 练42、123,,ααα，令(P α=A 、100⎛ ⎝练43A 、0B 练113 练2、当i =8，j =3时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为14233142a a a a - 练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为14233241a a a a 5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号练7、在函数xx x x xx f 21112)(---=中，3x 的系数为28、311()13xf x x xx x-=--中，3x 的系数为3- 练9、01--练10练11、96-练1213、计算14、(A +练15、16、设A 17、设18、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________ 练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-=1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -=13±练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A =83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-=2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k =3- 练25、/练26则练27则28、设是29、设⎛ ⎝303132、已知()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=-，x 满足βα=+x 32，则=x ()17,5,12,183-34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ(5,4,2,1) 35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x =57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8-时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示 37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

线性代数补充习题与参考答案行健学院版

线性代数补充习题第一章行列式一、填空题1．若010100=---abb a，则b a ,满足的条件是________ ．2．排列36715284的逆序数为________ ．3．行列式=cb fed a 0002101030________ ． 4．行列式=-0000100200100nn ________ ．5．设行列式96330221a中，余子式321=M ，则=a ________ ．二、选择题1．下列行列式中值为0的是（）．（A ）行列式中有两行对应元素之和为0 （B ）行列式中对角线上元素全为0（C ）行列式中有两行含有相同的公因子（D ）行列式中有一行与另一列对应元素成比例2．在函数xxx x x f ----=231112)(中，3x 的系数是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．设1333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=+-+-+-333132313123212221211311121111322132213221a a a a a a a a a a a a a a a （）．（A ）-2 （B ）-1 （C ）23-（D ）24．设0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D ，ij A 是D 元素ij a 的代数余子式（3,2,1,=j i ），若0333223113≠++j j j A a A a A a ，则（）．（A ）1=j （B ）2=j （C ）3=j （D ）1=j 或3=j5．若方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=-=+020020433214131x x x x ax x x ax x 仅有零解，则≠a （）．（A ）21- （B ）21 （C ）41- （D ）41三、判断题1．交换行列式的两行（列），行列式的值不变．（）2．n 阶行列式中，若有n n -2个以上元素为0，则行列式的值为0．（）3．333333222222111111d c c b b a d c c b b a d c c b b a +++++++++333222111c b a c b a c b a =333222111d c b d c b d c b +．（） 4．元素ij a 的代数余子式ij A 与ij a 所在有行、列有关，而与ij a 的值无关．（）5．010100001111010001100111001111100010111100010001d c b a d c b a+++=．（）第二章矩阵一、填空题1．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101010101,10010101B x A ，且B A =，则=x ________ ． 2．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000220001,100120301B A ，则()()=-+B A B A ． 3．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101a A ，则=nA ． 4．设()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--=1231,12A x x x f ，则()=A f ．5．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A ． 6．设)0(≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=cb ad d c b a A ，则A -1= ． 7．若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A21（n i a i,,2,1,0 =≠），则=-1A ． 8．设2=A ，且A 为三阶方阵，则=A 3 ．9．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101121A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111121B ，则=AB ． 10．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12643252X ，则=X ．二、选择题1．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++c b b a z y y x （）．（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++c b b z y y c b a z y x （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++c b z y b a y x （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b z y b a y x （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++c b a z y x b b a y y x2．下列矩阵中，（）不是初等矩阵．（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100001 （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000210001 （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021210001 3．设C B A ,,均为n 阶方阵，且0||≠A ，则必有（）．（A ）C B CA AB =⇒= （B ）C B AC AB =⇒= （C ）O C O BC =⇒= （D ）E B C AB =⇒=4．已知矩阵 )(,n m B A m n n m ≠⨯⨯，则下列运算结果不为n 阶方阵的是（）．（A ）BA （B ）AB （C ）TBA )( （D ）TTB A5．若A 是（），则必有A A T=．（A ）可逆矩阵（B ）三角矩阵（C ）初等矩阵（D ）对称矩阵6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=43503362a A ，且矩阵A 的秩()2=A R ，则=a （）．（A ） 9 （B ）18 （C ） 0 （D ）任何数 7．矩阵A 经初等行变换化为行阶梯形矩阵后（）．（A ）秩变大（B ）秩变小（C ）秩不变（D ）化为单位方阵 8．设A 是2阶可逆矩阵，λ为实数，如果A A 4=λ，则（）．（A ）2±=λ （B ）1±=λ （C ）2±=λ （D ）4=λ 9．设A 是n 阶方阵，k 为非零实数，则=-kA （）．（A ）()A k n n1- （A ）A k n （C ）A k - （D ）A k10．设B A ,均为n 阶矩阵，则必有（）．（A ）B A B A +=+ （B ）BA AB = （C ）BA AB = （D ）()111---+=+B A B A三、判断题1．设B A ,都是n m ⨯矩阵，则A B B A +=+．（） 2．两个n 阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵．（）3．如果A 与B 可交换，且A 可逆，则1-A 与B 可交换．（） 4．n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0=A ．（）5．设C B A ,,都是n 阶方阵，且0≠A ，若AC AB =，则C B =．（） 6．设B A ,都是n 阶方阵，若0=AB ，则0=B ．（） 7．若A 与B 为n 阶方阵，则BA AB =．（）8．设A 与B 为n 阶方阵，且A 为对称矩阵，则AB B T也是对称矩阵．（） 9．设A 与B 为n 阶方阵，则B A AB =．（）10．若A 和B 皆为n 阶方阵，则必有B A B A +=+．（）第三章线性方程组一、填空题1．设()()TT2,3,1,1,1,221-=-=αα，若()T5,,13λα=可由21,αα线性表示，则=λ ．2．设2132122113,,2ααβααβααβ+-=+=-=，则321,,βββ的线性相关性为线性．3．设4321,,,αααα是n 维向量组，144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，则4321,,,ββββ的线性相关性为线性．4．设()()()TTT3,0,1,0,4,1,0,0,2,0,0,1321===ααα，则该向量组的秩为()=321,,αααR ．5．若向量组()()()TTTt t 1,0,0,0,2,1,0,1,12321+==+=ααα的秩为2，则=t ．6．若向量组()()()TTTk k k 0,1,,2,2,,7,1,6321==+=ααα的秩为3，则≠k ．7．若n 维向量组s ααα,,,21 是nR 的一组基，则=s ．8．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k kx x x k x kx x x x kx 无解，则=k ．9．设方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=-+1554212321321321x x x x x x x x x λλ有唯一解，则≠λ ．10．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ有非零解，则=λ ．二、选择题1．向量组n ααα,,,21 线性无关的充要条件是（）． (A) n ααα,,,21 均不为零向量(B) n ααα,,,21 中任意两个向量的对应分量不成比例 (C) n ααα,,,21 中有一个部分向量线性无关(D)n ααα,,,21 中任意一个向量都不能由其余1-n 个向量线性表示2．设向量组321,,ααα线性无关，则与321,,ααα等价的向量组为（）． (A) 3221,αααα++ (B) 2121214,3,,αααααα-+(C)31312121,,,αααααααα-+-+ (D) 3221,αααα-+3．设向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则（）． (A)α必可由δγβ,,线性表示 (B) β必不可由δγα,,线性表示(C) δ必可由γβα,,线性表示 (D) δ必不可由γβα,,线性表示 4．设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分条件是（）．(A) A 的列向量组线性无关 (B) A 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性无关 (D) A 的行向量组线性相关5．设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）． (A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r >6．设n 元齐次线性方程组0=Ax ，若n r A R <=)(，则该方程组的基础解系（）．（A ）唯一存在（B ）共有r n -个（C ）含有r n -个解向量（D ）含有无穷多个解向量7．已知321,,ααα是线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则必有（）．（A ）321,,ααα线性相关（B ）321,,ααα线性无关（C ）133221,,αααααα+++线性相关（D ）133221,,αααααα+++不是0=Ax 基础解系 8．方程组⎩⎨⎧=-+-=+-0462023321321x x x x x x 的一组基础解系是由（）个解向量组成的．（A ）2 （B ）1 （C ）3 （D ）0 9．设s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则（）．（A ）s ααα,,,21 线性相关（B ）0=Ax 的任意1+s 个解向量线性相关（C ）n A R s =-)( （D ）0=Ax 的任意1-s 个解向量线性相关 10．若321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则（）．（A ）133221,,αααααα+++也是0=Ax 的一个基础解系（B ）基础解系具有唯一性（C ）133221,,αααααα+++不一定是0=Ax 的基础解系（D ）以上说法都不对三、判断题1．设向量组r ααα,,,21 与s βββ,,,21 都线性相关，且可以互相线性表示，则必有s r =．（） 2．n 维向量组)1(,,,21>s s ααα 线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余向量线性表示．（） 3．设n 维向量组r ααα,,,21 中每一个向量均可由s βββ,,,21 线性表示，且s r >，则r ααα,,,21 必线性相关．（）4．设n ααα,,,21 为n 个m 维向量，且m n >，则该向量组必定线性相关．（） 5．设321,,ααα是线性无关向量组，则向量组32121105,3,2ααααα+-也线性无关．（）6．设向量组r ααα,,,21 与s βββ,,,21 等价，则r ααα,,,21 的任一极大无关组与s βββ,,,21 的任一极大无关组可互相线性表示．（）7．设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解，1η为非齐次线性方程组b Ax =的解，则22111ξξηk k ++为b Ax =的通解（21,k k 为任意实数）．（）8．设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解，21,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的解，则()()2121ηηξξ-+-为b Ax =的解．（）9．若方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++031301023321321321x k kx x k x x k kx x x x k 有非零解，则k 应满足的条件是0=k 或1=k ．（） 10．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++03 02032321321x kx x x x x kx x 只有零解，则k 应满足的条件是53=k ．（）第四章矩阵的特征值一、填空题1．设()()TT4,0,1,0,3,221==αα，则内积[]=21,αα ．2．设Tk ⎪⎭⎫⎝⎛=0,1,21,31α为单位向量，则=k ．3．设21,ξξ是矩阵A 的属于不同特征根λλ12,的特征向量，则21,ξξ是线性．4．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则A 3的特征值为． 5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，则A 的特征值为． 6．若0λ为A 的一个特征值，则矩阵多项式()A f 有一个特征值为．7．已知三阶矩阵A 的三个特征值为1, -1，2，则E A A 322++的特征值为．8．设0≠λ为方阵A 的一个特征值，则1-A 有一个特征值为．9．设A 为n 阶方阵，方程组0=Ax 有非零解，则A 必有一个特征值为． 10．n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有个线性无关的特征向量．二、选择题1．下列结论中不正确的是（）．（A ）若n 维向量α与β正交，则对任意实数l k ,，αk 与βl 也正交；（B ）若n 维向量β与21,αα都正交，则β与21,αα的任意线性组合也正交；（C ）若n 维向量α与β正交，则βα,中至少有一个是零向量；（D ）若n 维向量α与任意n 维向量都正交，则α是零向量． 2．设A 是正交矩阵，则下列矩阵中（）不是正交矩阵．（A ）1-A （B ）T A （C ）mA （m 是正整数）（D ）kA （1≠k ） 3．下列说法正确的是（）．（A ）因为特征向量都是非零向量，所以它对应的特征值非零；（B ）属于一个特征值的特征向量只能有一个；（C ）一个特征向量只能属于一个特征值；（D ）n 阶矩阵有n 个不同的特征值．4．设n 阶可逆矩阵A 有一特征值为λ，则A *的特征值之一是（）．（A ）n A 1-λ（B ）A 1-λ （C ）A λ （D ）nA λ5．设n 阶可逆矩阵A 有一特征值为λ，则1--A E 的特征值之一是（）．（A ）11--λ （B ）11-+λ （C ）λ+1 （D ）λ-1 6．设A 是3阶矩阵，且2)(=A R ，则（）．（A ）0未必是A 的特征值（B ）0是A 的一重特征值（C ）0是A 的二重特征值（D ）0是A 的特征值，且重数至少是1 7．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）．（A ）充分而非必要条件（B ）充要条件（C ）必要而非充分条件（D ）无关的条件 8．设B A ,为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则（）．（A ）B E A E -=-λλ （B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量（C ）A 与B 都相似于一个对角矩阵（D ）对任意常数t ，A tE -与B tE -相似9．设n λλλ,,,21 是n 阶对称矩阵A 的特征值，{}n diag λλλ,,,21 =Λ，则（）不成立．（A ）A 与Λ等价（B ）A 与Λ相似（C ）Λ=A （D ）Λ≠A10．下列矩阵中与对角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ3000相似的是（）．（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡1301 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2042 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡0013 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01121．线性无关向量组一定可以化为等价的正交向量组．（） 2．正交向量组必线性无关．（）3．线性无关的n 维向量组n ααα,,,21 必是n 维向量空间的一组基．（） 4．若n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 必有相同的特征值和特征向量．（）5．设21,ξξ分别是实对称方阵A 对应于两个不同特征值21,λλ的特征向量，则内积[]0,21=ξξ．（） 6．n 阶矩阵A 可逆的充要条件是A 的任一特征值不等于0．（）7．设C B A ,,均为n 阶矩阵，且AC C B T=，则A 与B 必有相同的特征值．（） 8．n 阶矩阵A 可与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个相异的特征值．（） 9．n 阶矩阵A 可与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．（） 10．n 阶对称矩阵A 一定可与对角阵相似．（）参考答案第一章行列式一、填空题1、0==b a2、133、abc 3-4、!)1(2)1(n n n -- 5、25二、选择题1、A2、B3、C4、C5、D三、判断题1、×2、√3、×4、√5、√第二章矩阵一、填空题1、12、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100100900 3、⎥⎦⎤⎢⎣⎡101na 4、⎥⎦⎤⎢⎣⎡5235 5、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1324 6、⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1 7、⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211n a a a 8、54 9、2 10、⎥⎦⎤⎢⎣⎡---14423241二、选择题1、C2、D3、B4、B5、D6、B7、C8、A9、A 10、C1、√2、×3、√4、×5、√6、×7、×8、√9、√ 10、×第三章线性方程组一、填空题1、-82、相关3、相关4、35、16、23-和4 7、n 8、2- 9、54-和1 10、1 二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、C7、B8、A9、B 10、A三、判断题1、×2、√3、√4、√5、√6、√7、√8、×9、√ 10、×第四章矩阵的特征值一、填空题1、22、76±3、无关4、0，65、1，2，56、)(0λf7、2，6，118、1-λ 9、0 10、n 二、选择题1、C2、D3、C4、B5、A6、D7、A8、D9、D 10、C三、判断题1、√2、√3、√4、×5、√6、√7、×8、×9、√ 10、√。