南开中学2016级11月月考数学题(1)

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2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}42. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（）AB. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（）A. 2y = B. sin xy x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（）A. 0B.152C. 2D. 36. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A. a c b<< B. a b c << C. b a c << D. c a b<<7.π2cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）..A. 19-B.19C.13D.898. 将函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x =，有下列命题：①函数()g x 的图象关于直线πx =对称 ②函数()g x 图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 174⎡⎢⎣C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．的的13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.20. 已知函数()11lnx aF x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x，证明：21a a x x e e -<-<-.的南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】B 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2230x x -->，即()()130x x +->，解得3x >或1x <-，所以{}2|230{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，所以{}|13A x x =-≤≤R ð，又{}1,2,3,4B =，所以(){}1,2,3A B ⋂=R ð.故选：B2. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解：因为sin 0x =，根据三角函数的基本关系式，可得cos 1x ==±，反之：若cos 1x =，根据三角函数的基本关系式，可得sin 0x ==，所以“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件.故选：C.3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是奇函数，排除B ，再取特殊值验证.【详解】因为()()||sin 2||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-所以()f x 是奇函数，排除B ，由02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除A ，由44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，排除D ．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（）A. 2y = B. sin x y x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A 选项：()()2f x f x -==，不是奇函数，故A 选项错误；B 选项：()()()sin sin sin x x xf x f x x x x---====--，不是奇函数，故B 选项错误；C 选项：因为()f x 的定义域为R ，且()()))()22lg 2lg2lg 414lg10f x f x x x x x -+=++=+-==，∴()f x 是奇函数．设2t x ==因为t =()0,∞+上单调递减，lg y t =在()0,∞+上单调递增，由复合函数单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递减，故C 选项正确；D 选项：()11e 2e x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为1e e ,xxy y ==-在()0,∞+上都单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 选项错误，故选：C ．5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（）A. 0B.152C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；【详解】0ln 222423151.1e log 1lg10ln e log 812012log 222+-+++=+-+++=.故选：B6. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】化简得13c =，构造函数()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，通过导数可证得sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，可得a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，从而可得答案．【详解】2711lg 912lg 31log 922lg 2723lg 33c ==⨯=⨯=.设()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则有()cos 10f x x '=-<，()f x 单调递减，从而()(0)0f x f <=，所以sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，故11sin 33<，即a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，故有a c b <<．故选：A ．7.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.19- B.19C.13D.89【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，12sin cos23ααα⎫+-=⎪⎪⎭，1π2cos sin263ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭.πππsin2cos2626αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos2cosπ233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos22sin136αα⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.故选：A8. 将函数()π3sin26f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x=，有下列命题：①函数()g x的图象关于直线πx=对称②函数()g x的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2666y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于①，当πx =时，()π3π3sin 2π62g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不是函数()y g x =的最值，故①错误；对于②，当π12x =时，πππ3sin 2012126g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；对于③，当π5π,2424x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，令(ππ2πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 23k x k =+∈，当0,1,2,3k =时，π5π4π11π,,,3636x =，在[]0,2π上有4个极值点，故④错误．故选：B.9. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. 172144⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】分段函数分段处理，在1x >，01x <<各有1个零点，所以π0x -≤≤有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证π0x -≤≤之间有5个零点即可.【详解】由题，当1x ≥时，()ln 2f x x x =+-，显然()f x 在()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，()22ln 220f =+->，此时()f x 在()1,+∞在有一个零点；当01x <<时，()ln 2f x x x =--，1()10f x x'=-<，所以()f x 在()0,1上单调递减，2211()220e ef =+->，此时()f x 在()0,1上只有一个零点；所有当π0x -≤≤时，()π1sin 42f x x ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭=有5个零点，令()0f x =，则π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π46x k ω+=+，或π5π2π46x k ω+=+，k ∈Z ，解得π2π12k x ω-+=，或7π2π12k x ω-+=，k ∈Z ，当0k =时，12π7π1212,x x ωω--==；当1k =时，34π7π2π2π1212,x x ωω----==；当2k =时，56π7π4π4π1212,x x ωω----==；由题可得π0x -≤≤区间内的5个零点，即π4π12π7π4π12πωω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩，解得54912126ω≤<，即49651212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.故选：C.【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．【答案】18i 55--【解析】分析】运用复数运算法则计算即可.【【详解】2232i (32i)(12i)36i 2i 4i 38i 418i 12i (12i)(12i)14i 1455-----+--====--++--+.故答案为：18i 55--.11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.【详解】521x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()51552215521C C 1rrrr r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-，521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故答案为：-512. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．【解析】【分析】根据函数()f x 的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.【详解】由函数()f x 的图象可知，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2π=πT ω=，2ω=.把5π12x =代入()f x ，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，而ππ22ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以ππππ=2sin 22sin 3333f ⎛⎫⎛⎫⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．【答案】27【解析】【分析】根据已知可得30ECA ∠= ，在EAC 中由正弦定理可得AC ，再利用t ABC R 中计算可得答案.【详解】由图可得3609012012030∠=---= ECA ，在EAC sin 30= EA，即sin 452sin 30===EA AC ，在t ABC R 中，60CAB ∠= ，可得sin 6027=⨯== BC AC 米.故答案为：27.14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.【答案】1410⎛ ⎝【解析】【分析】写出()f x 的解析式并画出()f x 的图象，结合已知条件将问题转化为()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当[0,2)x ∈，()16(1|1|)f x x =--，当2n =时，[2,6)x ∈，此时1[0,2)2x -∈，则11()(1)16(1|2|)8(1|2|)22222x x xf x f =-=⨯--=--，当3n =时，[6,14)x ∈，此时1[2,6)2x -∈，则1155()(1)8(1||)4(1||)2224242x x x f x f =-=⨯--=--，当4n =时，[14,30)x ∈，此时1[6,14)2x-∈，则111111()(1)4(1||)2(1||)2228484x x x f x f =-=⨯--=--，……因为()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，所以()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，如图所示，由图可知，当log a y x =经过点(10,4)A 时，两函数图象有4个交点，经过点(22,2)B 时，两函数图象有6个交点，所以当()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点时，则1log 104log 222a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得1410a <<.故答案为：1410（.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出()f x 的图象，进而可得(,)()t M a b f t ≥，结合已知条件可知只需()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，由()(2)f t f t =+可得ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，联立两者进而可求得结果.【详解】设()ln g x x ax b =++，（0a >），定义域为(0,)+∞，由单调性性质可知，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，设0()0g x =，则()g x 的图象如图所示，所以()f x 的图象如图所示，则由图象可知，{}max (),()(2)()(,)max (),(2)(2),()(2)t f t f t f t f x M a b f t f t f t f t f t ≥+⎧==+=⎨+<+⎩，所以(,)()t M a b f t ≥，如图所示，当()(2)f t f t =+时，有(ln )ln(2)(2)t at b t a t b -++=++++，则ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，①又因为{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，所以()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，所以ln ln 3b t at a ≤----，②由①②得ln(2)ln 2(1)ln ln 32t t a t t at a ++++≤-----，整理得ln(2)ln 2ln 3ln 9t t t +≥+=，即29t t +≥，所以14t ≤.故t 的最大值为14.故答案为：14【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)()a f x ≥恒成立⇔max ()a f x ≥；()a f x ≤恒成立⇔min ()a f x ≤；()a f x ≥能成立⇔min ()a f x ≥；()a f x ≤能成立⇔max ()a f x ≤.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）πT =，()5ππ122k x k =+∈Z （2）min 1y =，max 2y =.【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由x 的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】()()2πcos 2sin πcos 2f x x x x ⎤⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎥⎝⎭⎦)22sin cos 1cos2sin2x x x x x =+⋅=-+sin22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故周期为2ππ2T ==，令2π,32x k k ππ-=+∈Z ，解得()5ππ122k x k =+∈Z ，对称轴方程()5ππ122k x k =+∈Z ，【小问2详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ππ42x ≤≤，∴ππ2π2,363t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当π6t =时，即π4x =时，()min π1sin sin 62t ==，此时min 1y =，当π2t =时，即5π12x =时，()max πsin sin 12t ==，此时max 2y =.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据2C π≠，所以cos 0C ≠或2222a b c b+-≠，化简即可得出1cos 2B =，即可得出答案；（1）根据余弦定理结合第一问得出的角B 的大小得出222a c b ac +-=，结合已知223125b c ac +=-，得出224412a ac c ++=，根据基本不等式得出22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅即32ac ≤，即可由三角形面积公式得出答案；或将224412a ac c ++=化简为2(2)12a c +=，由三角形面积公式结合基本不等式得出ABC 的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，即可得出答案.【小问1详解】方法一：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据正弦定理边化角得：sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，即()sin sin cos 2sin cos cos A C C A A B C +-=，所以sin cos 2sin cos cos A C A B C =，因为2C π≠，所以cos 0C ≠，又sin 0A >，所以1cos 2B =，又0πB <<，所以3B π=.方法二：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据余弦定理：得2222222cos 22b c a a b c b c a B bc ab+-+--=⋅，即2222222cos 22b c a a b c B b b -++-=⋅，因为2C π≠，所以22202a b c b+-≠，所以1cos 2B =，又0πB <<，得3B π=.小问2详解】方法一：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=，因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，因为0,0a c >>，所以22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅，所以32ac ≤，当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC的面积1sin 2S ac B ==≤，所以ABC方法二：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=.因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，即2(2)12a c +=，所以ABC的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，【当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面PBD 的一个法向量，再由向量法求解；（3）求出平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，再由向量法求解.【小问1详解】解：以点A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ，向量()0,1,1BE = ，()1,0,0AB =，故0BE AB ⋅= ，又AB为平面PAD 的一个法向量，又BE ⊄面PAD ，所以//BE 平面PAD .【小问2详解】向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =- ，()0,1,1BE = 设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以cos ,n BE n BE n BE⋅===⋅所以直线BE 与平面PBD【小问3详解】向量()1,2,0BC = ，设平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，220n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x y x z +=⎧⎨-=⎩，令11y =-，得()22,1,1n =- 为平面PBC 的一个法向量，则22BD n d n ⋅===.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为..（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.【答案】（1）22142x y += （2）【解析】【分析】（1）根据题意得出,a b 的值，进而可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，将其与椭圆方程联立，得出EM 斜率，联立方程组得出M 点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k 的方程，解出即可得结果.小问1详解】由题意可得2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，b =，c =∴椭圆C 的方程为22142x y +=.【小问2详解】易知椭圆左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()0,2E k ，()0,2H k -，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2222128840k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，∴()()422644841216k k k ∆=--+=，【则有2122812k x x k +=-+，21228412k x x k-=+，∴()2012214212k x x x k =+=-+，()0022212=+=+k y k x k ，∴0012OP y k x k ==-，∴直线EM 的斜率2EM k k =，∴直线EM 的方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离d =，∴AB ==∴1||2AP AB ==∴241132212APM k S AP d k =⋅=⨯==+△，解得k =.20. 已知函数()11lnx a F x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x ，证明：21a a x x e e -<-<-.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2a ≤；（Ⅲ）证明见解析.【解析】分析】（Ⅰ）当2a =时对()h x 求导，证明1x >时，()0h x '>即可.（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，根据函数的单调性判断ln x 与()11a x x -+的关系，根据()0F x >恒成立，确定a 的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出2121a a t t x x e e --<-<-，得到【21t t -==，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）()()ln 111x a h x x x x ⎛⎫=--⎪-+⎝⎭当2a =时，()()()21ln 21ln 111x x h x x x x x x -⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭()()()()()()()()2222221211111114x x x x h x x x x x x x x +---+-'=-==+++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上为单调递增函数，因为()10h =，所以()()10h x h >=，（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，则()()()222111x a x f x x x +-+'=+，令()()2211g x x a x =+-+，当1a ≤时，当0x >时，()0g x >，当12a <≤时，2480a a ∆=-≤，得()0g x ≥，所以当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数，且()10f =，所以有()101f x x >-，可得()0F x >．当2a >时，有2480a a ∆=->，此时()g x 有两个零点，设为12,t t ，且12t t <.又因为()12210t t a +=->，121t t =，所以1201t t <<<，在()21,t 上，()f x 为单调递减函数，所以此时有()0f x <，即()1ln 1a x x x -<+，得ln 011x a x x -<-+，此时()0F x >不恒成立，综上2a ≤．（Ⅲ）若()F x 有两个不同的零点12, x x ，不妨设12x x <，则12, x x 为()()1ln 1a x f x x x -=-+的两个零点，且11x ≠，21x ≠，由（Ⅱ）知此时2a >，并且()f x 在()10,t ，()2,t +∞为单调递增函数，在()12,t t 上为单调递减函数，且()10f =，所以()10f t >，()20f t <，因为()201a a a f e e -=-<+，()201aa a f e e =>+，1a a e e -<<，且()f x 图象连续不断，所以()11,a x e t -∈，()22,a x t e∈，所以2121a a t t x x e e--<-<-，因为21t t -==综上得:21||a a x x e e -<-<-.【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.。

南开中学2015-2016学年度上学期第一次月考数学试卷

南开中学2015-2016学年度上学期第一次月考高一数学试卷考试时间：60分钟一、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U = ，{1,2,5}A = ，{2,3,4}B = ，则()U A C B ⋂=（）。

A 、{2,6}B 、{1,5}C 、{1,6}D 、{5,6}2. 设集合{1,2,3,4,5,6}P =，{26}Q x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是（）。

A 、P Q P ⋂=B 、P Q Q ⋂⊃C 、P Q Q ⋃=D 、P Q P ⋂⊂3. 不等式12x x-≤的解集为（）。

A 、[]1,0- B 、[)1,-+∝C 、(],1-∝-D 、(](),10,-∝-⋃+∝4. 如果奇函数()x f 在区间[]3,7 上是增函数，且最小值为5，那么在区间[]7,3--上是（）。

A 、增函数且最小值为5-B 、增函数且最大值为5-C 、减函数且最小值为5-D 、减函数且最大值为5-5. 已知函数224,04,0(){x x x x x x f x +≥-<=，若()()22f a f a -> ，则实数a 的取值范围是（）。

A 、()(),12,-∝-⋃+∝B 、()1,2-C 、()2,1-D 、()(),21,-∝-⋃+∝6. 已知函数()2481316(1)x x y x x ++=>-+的最小值是（）。

A 、1B 、32C 、2D 、37. 若关于x 的方程227(13)20x k x k k -++--=的两个实数根1x ，2x 满足12012x x <<<<，则实数k 适合的条件是（）。

A 、21k -<<-B 、34k <<C 、24k -<<D 、21k -<<-若34k <<8. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，若函数[]()()0x f x ax x=-> 有且仅有3个实数解，则实数a的取值范围是（）。

2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷+答案解析(附后)

2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则( )A. B. C. D.2.设，且则( )A. B. C. D.3.若集合，，则的充要条件是( )A. B. C. D.4.设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.不等式中等号成立的条件是 ( )A. B. C. D.6.已知集合，，若，则a的取值范围为( )A. B.C. D.7.正实数a，b满足，，则的最小值为( )A. B. C. D.8.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.9.已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是.( )A. B.C.或 D.10.若关于x的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.设a，，若集合，则__________.12.试用列举法表示集合：__________；13.不等式的解集为__________.14.已知实数，当取得最小值时，则的值为__________.15.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是__________.16.若函数的最小值为0，则m的取值范围为__________.三、解答题：本题共3小题，共36分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分设全集为，集合，，求，，；若，求实数a的取值范围.18.本小题12分解关于x的不等式：19.本小题14分已知且，记m为的最大值，记n为ab的最大值.求的值;若，且对任意，恒成立，求的最大值.答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.根据交集的定义求解即可.【解答】解：因为，，所以.故选：2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题.运用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.【解答】解：A ：当时，显然不成立，因此本选项不正确；B ：当时，没有意义，因此本选项不正确；C ：若，显然，但是不成立，因此本选项不正确；D ：由，因此本选项正确，故选：D 3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查充要条件及含参数的集合关系问题，属于基础题.利用充要条件及两个集合的关系即可得出答案.【解答】解：因为集合，，且，所以，故选：4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案.【解答】解：命题p：，，则为， .故选：5.【答案】C【解析】【分析】本题考察基本不等式，属于基础题.易知取等时解出x即可.【解答】解：故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集及集合包含关系的判断，分类讨论含参数的集合包含关系，属于中档题.由可以得到，从而对集合B分类讨论即可求解参数a的范围.【解答】解：已知，又因为，，即，①当时，满足，此时，解得；②当时，由，得，解得；综上所述， .故选：7.【答案】A【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于基础题.由题意可得，，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：，，且，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为 .故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题.求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案.【解答】解：由可得，当时，，所以，所以命题“任意，”为真命题的充要条件是，所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是C，故选：C9.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决恒成立及一元二次方程问题，属于中档题.若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可.【解答】解：命题p：为真命题，对任意恒成立，又，，当且仅当，即时，等号成立，，命题，，为真命题，，或，命题p，q都是真命题，或 .故选：C10.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，涉及集合的混合运算，属于中档题.根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，讨论两根大小，然后根据集合的运算即可求解.【解答】解：当，则的解集为或，，，，，所以或 .当，则的解集为或，，，，，所以或，综上，故选：11.【答案】0【解析】【分析】本题考查集合相等，属于中档题.利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．【解答】解：由题意可知：，因为，则，可得，则，可得，且满足，所以 .故答案为：12.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，属于基础题.求解x 的范围，然后表示成描述法即可.【解答】解：由题意可得： .故答案为： .13.【答案】【解析】【分析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.根据分式不等式求解方法进行求解即可．【解答】解：不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为 .故答案为： .14.【答案】4 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.先利用配凑法根据基本不等式求最值，根据取等条件得，即即得.【解答】解：根据题意可得，，因，所以，，所以即，当且仅当时等号成立，此时，解得，则 .故答案为： 415.【答案】【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决有解问题，属于中档题.由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可.【解答】解：因为两个正实数x，y满足，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.因为有解，所以，即，解得或，即实数m的取值范围是 .故答案为： .16.【答案】【解析】【分析】本题考查由函数的最值求参，属于较难题.根据题意，讨论，求得时，取得最小值 0 ，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围.【解答】解：当时，，当时，取得最小值 0 ，满足条件；当时，，当时，可得，当时，，，当时，，当时，取得最小值0，此时；当时，，由题意可得恒成立，不满足.则m的取值范围为 .故答案为：17.【答案】解：因为，，根据并集、补集的概念可得，或，或，所以，或 .若，则，解得，若，则，且或，解得，所以实数a的取值范围是 .【解析】本题考查集合的运算，属于中档题.根据集合A、B利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果.分集合C为空集和C不为空集两种情况分类讨论，利用交集运算的概念得到a的范围.18.【答案】解：，时，，解集为时，不等式无解；时，，解集为时，不等式为，解集为；时，不等式的解集为或，综上，时，不等式的解集是；时，不等式的解集是或；时，不等式的解集是；时，不等式无解；时，不等式的解集是【解析】本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，解题关键在于对参数的分类讨论，注意参数的正负情况对于解集的影响，属于中档题.分类讨论，进行求解即可.19.【答案】解：因为，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，得，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为1，即，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，即，由题可得，令，则，故 .对任意，，则恒成立，因为a为正数，所以所以，此时，所以，当时，等号成立，此时成立，所以的最大值为第11页，共11页【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式恒成立问题，属于难题.利用基本不等式结合已知可求得，则，从而可求出 n 的值，再结合完全平方公式可求出 m ；令，则，得，根据时，，求得的关系，从而可得的取值范围，根据取最大值的的值检验不等式恒成立，即可求得结果.。

月考重庆南开中学综合模拟数学试卷

（果结
保留）．ｌ．（８錾豫）观察表２根据数列所反映的规律，１行第１列，第００
交叉点上的数应为
袁２
．
第一列第二列第三列第四列
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２（Ｚ蠹鹰）图９示，平面直角坐标系中，个小正方形如所在每
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Ｄ
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图１３
图１４
２．（辩蠢）ｌ、ｌ是两个可以自由转动的转盘，ｌ５ ☆＇图１图２图１转盘被等分成３扇形．１转盘被等分成４个图２个扇形，每对初中同学开展的四项课外活动进行了一５辩）
次抽样调查（每人只参加其中一项调查活动）调查结，
果如图６示．根据图形所提供的样本数据，所可得同学
们参加科技活动的频率是
—
—
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—
ＡＢＯ；／ＥＦ４￣其中结论正确的序号是Ｅ ⑤ ＿Ｏ－５．＿

重庆南开中学高2016级高一(上)半期考试数学试题及其答案

重庆南开中学高2016级高一(上)期中测试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求） 1．已知全集I ＝{1，2，3，4，5}，，集合}5,4{},4,3,2,1{==B A ，则=)(B C A I （）A. }5,4{B. }4,3,2,1{C. }3,2,1{D. }5{ 2．“∣x ∣＜2”是“x 2－x －6＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．函数252)1()(20-+--=x x x x f 的定义域为（）A.），（），（∞+∞221 - B.）（），（2,1121C.），，（∞+∞2[]21 - D.]2,1121[（）， 4．f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在()+∞,0 上是减函数，若0,0211>+<x x x ，则下列说法正确的是（）A. ()()21x f x f >B. ()()21x f x f =C. ()()21x f x f <D. ()1x f 和()2x f 的大小关系不能确定 5．函数y ＝x）A. ]26,1[ B. ]1,0( C. ]45,1[ D.5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭6．函数y）A ．]21,1[-B ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．),2[+∞D ．)1,(--∞7．设函数23,1()13,01x x f x x x x -≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩,若f （x 0）＝1，则x 0等于（）A ．14或3B ．2或3C ．14或2D ．14或2或38. 不等式0)()(2≤-+-cx b x a x 的解集为}201{=≤<-x x x 或，则点（a ，b+c ）在（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限9．已知定义域为R 的奇函数f （x ）在x ≥0时的图象如图所示，则不等式0)(<x xf 的解集为（）A ．）（2,1-B ．）（）2,12,( --∞C ．）（）（2,10,1 - D ．）（）（2,11,2 -- 10. 不等式2211()110a x x a x x++++>对任意),0(+∞∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．）（+∞,0B ．]1,(-∞C ．)0[∞+，D ．）1,0[第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）.11. 集合{x 2，x +y ，0}＝,,1y x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则=+20132013y x .12.已知f （x ）是R 上的奇函数，当0>x 时()(1)f x x x =-，则当0<x 时，f （x ） . 13. 已知f （x ）的定义域为[1,2)-，则f （-2x +1）的定义域为 .14. 函数2()51xf x x =+的值域为 . 15. 定义：〔x 〕表示不超过x 的最大整数，如：3]3[,2]5.1[,2]7.2[=-=-=，若]2[]12[+=+x x ，则实数x 的取值范围是 .三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（本小题满分13分）设集合}01)1(2{},04{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，其中R x ∈，如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x+3 （a R∈）．（1）讨论f（x）的奇偶性;（2）求f（x）在区间]3,1[-上的最小值．18．（本小题满分13分）已知a∈R，解关于x的不等式a x2-2≥2x-ax。

天津市初二数学第一次月考试卷试卷分析

1 三角形的知识：这一块的内容难点在于利用三角形的知识求角度,关键在于梳理出常见题型的解题方法。

知识点1：三角形两边之和大于第三边1、（南开中学月考）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．3cm ，12cm ，8cm B. 6cm ，8cm ，15cmC．2.5cm ，3cm ，5cm D．6.3cm ，6.3cm ，12.6cm【答案】C2、（塘沽一中中学月考）已知三角形的两边长分别是3cm 和8cm，则此三角形的第三条边长可能是（）A、4cmB、5cmC、6cmD、15cm【答案】C【说明】：三角形三边关系需要掌握1/假设三边分别为：x,x+1,x+2,会求x 的取值范围x + (x + 1) > x + 2{ x + (x + 2) > x + 1(x + 1) + (x + 2) > x2/已知两边是1，2 求第三边的取值范围.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1<x<33/给三个数问能不能构成三角形2，3，4只需要验证最小的两个边和是不是大于第三边即可知识点2：三角形三条重要的线段3、（塘沽一中中学月考）下列命题正确的是（）A、三角形的角平分线、中线、高线均在三角形内部B、三角形中至少有一个内角不小于60°C、只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形D、面积相等的三角形是全等三角形【答案】C知识点3：三角形内角和与外角（此处是本章难点：需要熟记：八字模型，飞镖模型，角平分线模型，折叠模型）4、（塘沽一中中学月考）如图，将四边形纸片ABCD 沿EF 折叠，点A 落在A1 处，若∠1＋∠2＝100°，则∠A 的度数是（）A、80°B、60°C、50°D、40°【答案】C5、（耀华嘉诚月考）如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90∘,点D 在AB 边上,将△CBD 沿CD 折叠,使点B 恰好落在AC 边上的点E 处,若∠A=26∘,则∠CDE 度数为( )A. 71°B. 64°C. 80°D. 45°【答案】A6、（耀华嘉诚月考）如图,∠ABD、∠ACD 的角平分线交于点P,若∠A=50∘,∠D=10∘，则∠P 的度数为.A.15°B.20°C.25°D.30°【答案】20∘.7（. 102 月考）（1）如图（1），在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠B=50°，∠C=70°，求∠DAE 的度数；（2）如图（2），AF 平分∠BAC，交△ABC 的边BC 于点E，过F 作FD⊥BC 于D，若∠B=44°，∠C=60°，求∠F 的度数.【答案】（1）10°.（2）8°.8、（102 月考）（1）思考探究：如图①，△ABC 的内角∠ABC 的平分线与外角∠ACD 的平分线相交于P 点，请探究∠P 与∠A 的关系是.（2）类比探究：如图②，四边形ABCD 中，设∠A＝α，∠D＝β，α＋β＞180°，四边形ABCD 的内角∠ABC 与外角∠DCE 的平分线相交于点P．求∠P 的度数．（用α，β的代数式表示）（3）拓展迁移：如图③，将（2）中α＋β＞180°改为α＋β＜180°，其它条件不变，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P＝.（用α，β的代数式表示）【答案】解：(1) 2∠P＝∠A；(2) ∠P=1（α＋β）−90°；2(3) ∠P=90°-1（α＋β）2【说明】：三角形求角度需要掌握1/飞镖模型和八字模型2/角平分线模型3/翻折模型∠1+∠2=∠3+∠4∠C=∠A+∠B+∠D这三个模型除了要记结论还要会推导，期中考试会有很多和角平分线有关的证明题，往往前面会有求角度的题，这时候就需要会记住，推导角平分线角度公式了知识点4：多边形的内角和（牢记内角和公式，外角和公式）9、（塘沽一中月考）如图所示，小华从A 点出发，沿直线前进10 米后左转24°，再沿直线前进10 米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走的路程是。

重庆市南开中学2016届高三上学期10月月考数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，N={x|2x （x ﹣2）＜1}，则M ∩N 为（）A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x ＜2}C ．{x|0＜x ≤1}D ．{x|x ≤1}2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A ．B ．C ．D ．3．已知函数f （x ）=，若f[f （0）]=4a ，则实数a 等于（）A ．B ．C ．2D ．94．已知，则的值为（）A ．B ．C ．D ．5．已知圆x 2+y 2+2x ﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a 的值是（）A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣6D ．﹣86．已知变量x ，y 满足约束条件，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．27．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件8．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）A．B．48+2πC．D．48+3π11．在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（）A．3 B．C．D．212．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R 内恒成立的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线的左焦点F，到其中一条渐近线的距离为．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．15．椭圆上有动P（m，n），则m+2n的取值范围为．16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使BD⊥CD，此时四面体ABCD外接球表面积为．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数的值域．18．已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）若圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，求圆心C的横坐标的取值范围；（Ⅱ）当圆C经过点A（2，2）且与y相切时，求圆C的方程．19．已知四棱锥E﹣A BCD中，AD∥BC，AD=BC=1，△BCE为等边三角形，且面BCE⊥面ABCD，点F为CE中点．（Ⅰ）求证：DF∥面ABE；（Ⅱ）若ABCD为等腰梯形，且AB=1，求三棱锥B一CDF的体积．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）已知直线l：x=my+1与椭圆相交于A，B两点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔填涂题号．22．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E 点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l 和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．24．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．2015-2016学年重庆市南开中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，N={x|2x（x﹣2）＜1}，则M∩N为（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴M={x|x≥1}，由N中不等式变形得：2x（x﹣2）＜1=20，即x2﹣2x＜0，解得：0＜x＜2，即N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|1≤x＜2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．3．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4．已知，则的值为（）A． B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用函数的解析式，通过诱导公式化简求值即可．【解答】解：，则===．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数的应用，是基础题．5．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．6．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作平面区域，从而再由的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率求最值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是点（x，y）与点O（0，0）连线的直线的斜率，故当过点A（1，2）时，有最大值为=2，故选：D．【点评】本题考查了线性规划的简单应用，同时考查了数形结合的思想应用．7．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】命题A找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题C是写特称命题的否定，应是全称命题；选项B是考查的线面垂直的判定；D可举反例分析．【解答】解：命题“若a＜b，则am2＜bm2”的逆命题是，若“am2＜bm2，则a＜b”，此命题为真命题，所以命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题，所以A不正确．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，若l⊥β，根据线面垂直的判定，由α⊥β，反之，不一定成立，所以B正确．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是全程命题，为∀x∈R，x2﹣x≤0，所以C不正确．由x＞1不能得到x＞2，如，，反之，由x＞2能得到x＞1，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分要条件，故D不正确．故选B．【点评】本题考查的知识点是命题真假的判断和充要条件问题，解答的关键是掌握定理中的限制条件，对于全称和特称命题否定的格式应牢记．8．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的导数，根据导数求的函数的极小值为f（）＞0，可得函数无零点．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣elnx，∴f′（x）=2x﹣=．令f′（x）=0，解得x=．由于f′（x）在（0，）上小于零，在（，+∞）上大于零，故x=时，函数f（x）取得极小值．由于f（）=﹣eln=﹣ln=（1﹣ln）＞0，所以函数无零点．故选A．【点评】本题考查函数的零点以及导数的应用，函数的零点问题一直是考试的重点内容之一，与函数的图象与性质紧密结合，导数是解决此类问题的有效方法，高考必定有所体现．9．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是（）A．B．48+2πC．D．48+3π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个长方体和三个半球的组合体，长方体的长，宽，高，分别为6，4，2，故体积为：48，半球的半径均为1，故体积为：，故组合体的体积为：48+×3=48+2π，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．在三角形ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为（）A．3 B．C．D．2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：由题意，设三角形的三边分别为a，b，c，则3=a2+c2﹣2accos60°∴a2+c2﹣ac=3设c+2a=m（m＞0），代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0∴△=84﹣3m2≥0，∴0＜m≤2m=2时，a=，c=符合题意∴m的最大值是2故选D．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查最值，考查学生的计算能力，属于基础题．12．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R 内恒成立的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．【解答】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A故选A．【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线的左焦点F，到其中一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c=，左焦点F为（﹣，0），一条渐近线方程为y=﹣2x，则F到渐近线的距离为d==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．椭圆上有动P（m，n），则m+2n的取值范围为[﹣6，6]．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；换元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a，b，设出P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα），由两角和的正弦公式以及正弦函数的值域，计算即可得到所求范围．【解答】解：椭圆的a=6，b=3，P在椭圆上，可设P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6（cosα+sinα）=6sin（α+），由0≤α＜2π，可得≤α+＜，即有sin（α+）∈[﹣1，1]，则m+2n的范围是[﹣6，6]．故答案为：[﹣6，6]．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，考查正弦函数的值域的运用，属于基础题．16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使BD⊥CD，此时四面体ABCD外接球表面积为5π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π故答案为：5π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性及其求法．【专题】综合题．【分析】把f（x）的解析式中的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，（I）找出正弦函数中的λ，根据周期公式T=即可求出最小正周期；（II）由x的范围，求出这个角的范围，然后根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，即可得到f（x）的值域．【解答】解：===，（I）（II）∴，∴，∴，所以f（x）的值域为：【点评】此题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的值域．根据三角函数的恒等变形把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．18．已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）若圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，求圆心C的横坐标的取值范围；（Ⅱ）当圆C经过点A（2，2）且与y相切时，求圆C的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，可得圆心到直线的距离d≤r；（Ⅱ）可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，利用圆经过点A（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）解：设圆心坐标为（a，﹣a+2），∵圆C与直线3x+4y﹣5=0有交点，∴圆心到直线的距离d=≤2，∴﹣7≤a≤13；（Ⅱ）∵圆心在直线y=﹣x+2上，∴可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，∴有解得a=2，∴所求方程是：（x﹣2）2+y2=4【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知四棱锥E﹣A BCD中，AD∥BC，AD=BC=1，△BCE为等边三角形，且面BCE⊥面ABCD，点F为CE中点．（Ⅰ）求证：DF∥面ABE；（Ⅱ）若ABCD为等腰梯形，且AB=1，求三棱锥B一CDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取BE 中点M ，连接AM ，MF ，则MF ∥BC ，MF=BC ，证明四边形ADFM 是平行四边形，可得AM ∥DF ，即可证明：DF ∥面ABE ；（Ⅱ）利用等体积转化，即可求三棱锥B 一CDF 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取BE 中点M ，连接AM ，MF ，则MF ∥BC ，MF=BC ， ∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴AD ∥MF ，AD=MF ，∴四边形ADFM 是平行四边形，∴AM ∥DF ，∵AM ⊂面ABE ，DF ⊄面ABE ，∴DF ∥面ABE ；（Ⅱ）解：由△BCE 为等边三角形，面BCE ⊥面ABCD ，BC=2，可得点E 到平面ABCD 的距离为，∴点F 到平面ABCD 的距离为，∵ABCD 为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S △BCD =，∴V B ﹣CDF =V F ﹣BCD =．【点评】本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B 一CDF 的体积，证明四边形ADFM 是平行四边形是关键．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点P （1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）已知直线l：x=my+1与椭圆相交于A，B两点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由=可得a=2c，b=c；再由点P在椭圆上，解方程可求出椭圆C的方程；（Ⅱ）右焦点F（1，0），直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），从而联立方程再用韦达定理，再写出k PA，k PB，从而化简t=k PA•k PB•k．从而由配方法求最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）设c=，由题意，得=，所以a=2c，b=c．又点P（1，）在椭圆上，即有+=1，解得a=2，c=1，故椭圆方程+=1；（Ⅱ）直线l：x=my+1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去x，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0．由题意，可知△＞0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，①所以直线PA的斜率k PA=，直线PB的斜率k PB=，所以t=k PA•k PB•k=••=代入①，化简可得t=﹣﹣=﹣（+）2+，则当m=﹣时，△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当a ＞0时，设函数g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2，且函数g （x ）有且仅有一个零点，若e ﹣2＜x ＜e ，g （x ）≤m ，求m 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，可得a=，令h （x ）=，证明h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求得函数g （x ）有且仅有一个零点a 的值，然后结合e ﹣2＜x ＜e ，g （x ）≤m ，求出g （x ）max ，即可求得m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx ﹣x 2+2，定义域（0，+∞）， ∴f ′（x ）=（2x ﹣2）•lnx+（x ﹣2）﹣2x ．∴f ′（1）=﹣3，又f （1）=1，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程3x+y ﹣4=0；（Ⅱ）g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即a=，令h （x ）=，则h ′（x ）=，令t （x ）=1﹣x ﹣2lnx ，则t ′（x ）=， ∵x ＞0，∴t ′（x ）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（）=﹣e﹣3+2，g（e）=2e2﹣3e，∵g（）=﹣e﹣3+2＜2＜2e＜2e（）=g（e），∴g（）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔填涂题号．22．如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E 点．（I）求证：∠EAC=2∠DCE；（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）由等腰三角形性质得∠BCD=∠CBD，由弦切角定理得∠ECD=∠CBD，从而∠BCE=2∠ECD，由此能证明∠EAC=2∠ECD．（Ⅱ）由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，由此能求出AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），即AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．…【点评】本题考查一个角是另一个角的二倍的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、切割线定理的合理运用．23．（2015•郑州一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．【点评】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2015•河南二模）设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。

南开2016级数学中考模拟题

重庆市南开中学初2016 届九年级数学上学期10 月月考（半期考试）试题( 全卷共五个大题。

满分l50 分，考试时间 l20分钟 )一．选择题： ( 本大题共 l2个小题，每小题 4 分，共 48 分 ) 在每个小题的下面，都给出了代号为A、 B、C、 D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.．．．1．-3 的绝对值为 ( ▲ ) ．A．3B． -3C．1D．1 332．代数式1中， y 的取值范围是 (▲ ) ．y2A ． y≠ 0B． y≠ 2C． y>-2D． y≠-23．下列因式分解中，正确的是 ( ▲ )．A．ax2ax x ax a B． x2y 2x y 2C ．a2b2ab2 c b2 b 2 a2ac1D ．x25x 6 x 2 x 34．如图，已知 AB∥ CD，若E15 ，C55，则 A的度数为(▲)．A ．45°B． 40°C． 35°D． 25°5．下列欧洲足球俱乐部标志中，是中心对称图形的是( ▲)．6．若一个多边形的内角和是l080 °，则这个多边形是(▲ )．A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形7．下列说法中不正确的是(▲ )．．．．A．要反映我市一周内每天的最低气温的变化情况宜采用折线统计图B．打开收音机正在播放 TFBOYS的歌曲是必然事件C．方差反映了一组数据的稳定程度D．为了解一种灯泡的使用寿命。

应采用抽样调查的办法8．关于x的方程k31有增根。

则k的值为(▲)．x 1 1 xA．1B． 2C． 3D． 49．“十一”黄金周，山西乔家大院迎来了全国各地的游客，小渝就是数万游客中的一个；他在游览过程中，对传统建筑非常感兴趣．并发现窗户的每个窗格上都贴有剪纸．如下图，其中“O ”代表的就是剪纸。

请问第 6 个图中剪纸的个数为 ( ▲ ) ．A ．20B ．23C ．25D ．3010．小梁报名参加了男子羽毛球双打，当他离开教室不远时发现拍子带错了．于是以相同的速度折返回去，换好拍子之后再花了一点时间仔细检查其他装备，这个时候广播里催促羽毛球双打选手尽快入场，小梁快步跑向了比赛场地．则小梁离比赛场地的距离y 与时间 t 之问的函数关系的大致图象是 ( ▲ ) ．11．如图，在矩形 ABCD 中， AD=2AB ，点 M 、N 分别在边 AD 、BC 上，连接BM,DN,若四边形 MBND是菱形。

天津市南开中学2015-2016初三10月月考【数学试题】

南开中学 2015-2016 学年度第一学期九年级月检测数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）：1.二次函数 y = kx 2 - 6x + 3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（）A. k < 3B. k < 3 且k ≠ 0C. k ≤ 3D. k ≤ 3 且k ≠ 02.抛物线 y = 3x 2 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是（）A. y = 3(x - 1)2 - 2B. y = 3(x + 1)2 - 2C. y = 3(x + 1)2 + 2D. y = 3(x -1) 2 + 23.若二次函数 y = x 2 - 4x + 2c 2 的图象的顶点在 x 轴上，则 c 的值为（）A. - 2B. ± 2C.2D. -24.已知直线 y=x 与二次函数 y = ax 2 - 2x -1 图象的一个交点 M 的横坐标为 1，则a 值为（）A.2B.1C.3D.45.关于 x 的二次方程ax 2 + bx - c = 0 的两个根是 x = m , x= n ，那么二次函数 y = -ax 2 - bx + c 12与 x 轴的两个交点的坐标是（） A. (m ,0),(n ,0) B. (m ,0),(-n ,0) C. (-m ,0),(n ,0)D. (-m ,0),( -n ,0)6.已知二次函数 y = 3(x -1)2 + k 的图象上有 A ( 2, y ), B (2, y ),C (- 5, y ) 三个点，则 y , y , y的大小关系是（） 123123A. y 1 > y 2 > y 3B. y 2 > y 1 > y 3C. y 3 > y 1 > y 2D. y 3 > y 2 > y 17.抛物线 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，对称轴为直线 x = 2 ，且过 P (3,0) ，则a + b + c 值为（）A. -1B.0C.1D.38.运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与 y （m ）与水平的距离 x （m ）之间的函数关系式为 y = - 1x 2 + 2x + 5，则该运动员的成绩是（）1233A.6mB.12mC.8mD.10m9.已知关于 x 的一元二次方程ax 2 + bx + c = 3的一根为 x=2，且二次函数 y = ax 2 + bx + c 的对称轴是直线 x = 2 ，则抛物线的顶点坐标是（） A .(2,3) B (2,1) C ( 2-, D (3, 2)10.已知二次函数 y = x 2 + (m -1)x +1 ，当 x > 1 时，y 随 x 增大而增大，则 m 范围是（）A. m = -1B. m = 3C. m ≤ -1D. m ≥ -112.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x1轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B 两点，下列结论：①2a +b = 0 ；②abc > 0 ；③方程ax2 +bx +c =3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(-1,0) ；⑤当1＜x＜4 时，有y2<y1，其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤二、填空题（每小题3 分，共18 分）：13.在二次函数y =x2 +bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m= .14.抛物线y =-x2+ 2 关于x 轴对称的抛物线的解析式为.15.若二次函数y =mx2 -3x + 2m -m2 的图象经过原点，则m = .11.如图，一次函数y1=x 与二次函数y2=ax2 +bx +c 图象相交于P、Q 两点，则函数y =ax2 + (b -1)x +c 的图象可能是（）x -2 -1 0 1 2 3 4y 7 2 -1 -2 m 2 7 16.将y = (2x -1)(x + 2) +1化成y =a(x -h)2 +k 的形式为.17.二次函数y= x2 的图象如图，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B、C 在二次函数y= x2 的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC 的面积为．18.如图，抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)过点（-1，0）和点（0，-3），且顶点在第四象限，设m =a +b +c ，则m 的取值范围是.三、解答题（第19-20 题每小题8 分，第21-25 题每小题10 分，共66 分）：19.已知抛物线y =1x2+x -5.2 2⑴用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；⑵若抛物线与x 轴的两个交点为A、B，求线段AB 的长.20.已知二次函数的图象经过点A(0, -3) ，且顶点P 的坐标为(1, -4) .⑴求这个函数的解析式；⑵求这个函数的图象与直线y =x +1的交点的坐标.21.如图，关于x 的二次函数y =x2 +bx +c 的图象与x 轴交于点A（1，0）和点B 与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D．⑴求二次函数的表达式；⑵在y 轴上是否存在一点P，使△ PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.⑶将抛物线 y = 2x 2 + bx +1 的图象向上平移 k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与 x 轴无交点，求 k 的最小值．23.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长 OA 是 12m ，宽 OB 是 4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y = - 1x 2 + bx + c 表示，且抛物线时的点 C 到墙面 OB6 的水平距离为 3m ，到地面 OA 的距离为17m ．2过 8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？⑴求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离；⑵一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m ，宽为 4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？⑶在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超 22.已知 P （-3，m ）和 Q （1，m ）是抛物线 y = 2x 2 + bx +1 上的两点．⑴求 b 的值；⑵判断关于 x 的一元二次方程2x 2 + bx +1 = 0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；24.如图，已知抛物线y =x2 - (m + 3)x + 9 的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x+3 的图象与抛物线交于A、B 两点，与x、y 轴交于D、E 两点．⑴求m 的值．⑵求A、B 两点的坐标．⑶点P(a,b)(-3 <a <1) 是抛物线上一点，当△PAB 的面积是△ABC 面积2 倍时，求a, b 值.25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax2 +bx +c 经过A、B、C 三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．⑴求此抛物线的解析式．⑵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F，交直线AB 于点E，作PD⊥AB 于点D．①动点P 在什么位置时，△ PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；②连接PA，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M 或N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P 点的坐标．（结果保留根号）。

南开中学高2010级高三11月月考数学(理科)

南开中学高2010级高三11月月考数学(理科)本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共50分)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3.考试结束，监考人员将答题卡收回。

一、选择题：(本大题10个小题，每小题5分，共50分)各题答案必须答在答题卡上。

1.函数的最小正周期为则实数的值为 ( )A. B. C.2 D.42.若点分有向线段所成的比为则点分有向线段所成的比为 ( )A. B. C. D.3.若则的值为 ( )A. B. C. D.4.若数列的前项和为则 ( )A. B.C. D.5.对于函数的图象，下列说法正确的是 ( )A.直线为其对称轴B.直线为其对称轴C.点为其对称中心D.点为其对称中心6.设的三个内角为则“”是“”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.为了得到函数的图象，可以将的图象 ( )A.先按向量平移，再保持每点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍B.先按向量平移，再保持每点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的C.先保持每点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再按向量平移D.先保持每点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的再按向量平移8.有下列四个命题，其中真命题有 ( )①为等比数列，则②为等差数列，则③对任意都有④对任意都有A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④9.如图，单位圆中，是两个给定的夹角为120°的向量，为单位圆上一动点，设则设的最大值为最小值为则的值为 ( )A. B. C. D.10.设为内一定点，满足是内任一点，表示的面积，记若则 ( )A.点与重合B.点在内C.点在内D.点在内第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡上(只填结果，不要过程)。

2016-2017学年天津市南开中学高三上月考数学试卷(理科)含解析

2016-2017学年天津市南开中学高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5.00分）i是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．2．（5.00分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5.00分）下列说法错误的是（）A．命题，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0“B．对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn“是“e m＜e n”的必要不充分条件D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题4．（5.00分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B．C．D．5．（5.00分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，点P是抛物线y2=4x上的一个动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．=1 B．y2﹣=1 C．﹣x2=1 D．=16．（5.00分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，正项等比数列{b n}中，b2=a3，b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），则log2b n=（）A．n B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n﹣17．（5.00分）若至少存在一个x≥0，使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x+m|成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，5]B．[﹣5，5]C．[4，5]D．[﹣5，4]8．（5.00分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B． C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5.00分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．10．（5.00分）一个棱长为的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为．11．（5.00分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在x轴上，则a等于．12．（5.00分）若a=（﹣sinx）dx，则（x﹣）6的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．13．（5.00分）已知平面向量，，且||=2，=2，设=t+（1﹣2t），t∈R，则||的最小值是．14．（5.00分）函数f（x）=﹣x2+3x+a，g（x）=2x﹣x2，若f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13.00分）已知函数f（x）=a（2cos2+sinx）+b．（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（2）当a＞0时，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．16．（13.00分）为迎接2017年“鸡”年的到来，某电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有三个选项，问题B有四个选项，每题有且有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金1000元，正确回答问题B可获奖金2000元，活动规定：参加者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设某参与者在回答问题前，选择每道题的每个选项的机会是等可能的．（Ⅰ）如果该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金1000元的概率；（Ⅱ）若参与者先答B，再答A，设ξ为中奖奖金钱数，求出ξ的分布列和期望，并判断这种答题顺序是否合算并说明理由？17．（13.00分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．18．（13.00分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F2（1，0），点H（2，）在椭圆上（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）第一象限内一点M在圆C：x2+y2=b2上，过M作圆C的切线交椭圆于P，Q两点．问：△PF2Q的周长是否为定值，若是，求出定值，不是的话说明理由．19．（14.00分）已知数列{a n}的前9项和为153，且点P（a n，a n+1）（n∈N+）在直线x﹣y+3=0上（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）从数列{a n}中，依次取出第2项、第8项、第24项…第n•2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{b n}，求数列{b n}的前n项和S n（Ⅲ）求证：…+＜．20．（14.00分）已知函数f（x）=（x+m）lnx﹣（m+1+）x在x=e处取到极值（Ⅰ）求m的值（Ⅱ）当x＞1时，证明f（x）+（2+）x＞2x﹣2（Ⅲ）如果s，t，r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r，当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近f（x），并说明理由．2016-2017学年天津市南开中学高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5.00分）i是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．【解答】解：i是虚数单位，复数==，故选：A．2．（5.00分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．（5.00分）下列说法错误的是（）A．命题，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0“B．对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn“是“e m＜e n”的必要不充分条件D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题【解答】解：对于A，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，∴A正确；对于B，命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，∴B正确；对于C，m，n∈R时，若lnm＜lnn，则0＜m＜n，∴e m＜e n，充分性成立，若e m＜e n，则m＜n，不能得出lnm＜lnn，必要不成立，是充分不必要条件，C错误；对于D，p∨q为假命题时，p，q均为假命题，D正确．故选：C．4．（5.00分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=，又b+c=2a，可得c=2a﹣b=，不妨取b=3，则a=5，c=7．∴cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴．故选：D．5．（5.00分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，点P是抛物线y2=4x上的一个动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．=1 B．y2﹣=1 C．﹣x2=1 D．=1【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线的方程为x=﹣1，曲线C：=1的离心率e==，由P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|，可得|PF|+|PF1|的最小值为，当P，F，F1三点共线，可得最小值|FF1|==，即有c=，由c2=a2+b2，解得a=2，b=1，即有双曲线的方程为﹣x2=1．故选：C．6．（5.00分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，正项等比数列{b n}中，b2=a3，b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），则log2b n=（）A．n B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n﹣1【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，∴a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n ﹣2，n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），∴=4，化为：q2=4，解得q=2．∴b1×2=4，解得b1=2．∴b n=2n．则log2b n=n．故选：A．7．（5.00分）若至少存在一个x≥0，使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x+m|成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，5]B．[﹣5，5]C．[4，5]D．[﹣5，4]【解答】解：不等式x2≤4﹣|2x﹣m|可化为：|2x﹣m|≤﹣x2+4；若对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4，作函数y=|2x﹣m|与y=﹣x2+4的图象如下，结合图象可知，当m＞4或m＜﹣5时，对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；所以实数m的取值范围是[﹣5，4]．故选：D．8．（5.00分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B． C．D．【解答】解：设f（x）=t，（t＞0）则由y=f[f（x）]﹣4m=0得f[f（x）]=4m，即f（t）=4m，则m（|t﹣2|+|t﹣4|）=4m，则|t﹣2|+|t﹣4|=4，得t=5，或t=1，若t=1，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=1，即|x﹣2|+|x﹣4|=，若t=5，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=5，即|x﹣2|+|x﹣4|=，设g（x）=|x﹣2|+|x﹣4|，（x≥0），∵函数f（x）是偶函数，∴要使函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则等价为当x≥0时，函数y=f[f（x）]﹣4m恰有2个零点，作出g（x）在[0，+∞）上的图象如图：①，即，即＜m＜，②，即，即0＜m＜，综上实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5.00分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．10．（5.00分）一个棱长为的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为5．【解答】解：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，∵正方体的棱长是，∴三棱锥的体积V1=××××=1，∴剩余部分体积V=××﹣V1=6﹣1=5，故答案为：5．11．（5.00分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在x轴上，则a等于．【解答】解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：12．（5.00分）若a=（﹣sinx）dx，则（x﹣）6的二项展开式中的常数项为15（用数字作答）．【解答】解：∵a=（﹣sinx）dx=（x﹣cosx）=（•﹣cos）﹣[•（﹣）﹣cos（﹣）]=﹣0﹣[﹣﹣0]=1，∴（x﹣）6=（x﹣）6二项展开式中的通项公式为：T r+1=•x6﹣r•=（﹣1）r••，令6﹣r=0，解得r=4，=（﹣1）4•=15．∴该二项展开式中的常数项为T4+1故答案为：15．13．（5.00分）已知平面向量，，且||=2，=2，设=t+（1﹣2t），t∈R，则||的最小值是1．【解答】解：设=（m，n），则=2m=2，m=1，∴=（1，n），=t+（1﹣2t）=（1，n（1﹣2t）），观察图象可知，当和x轴共线时，||最小故最小值为1．故答案为1．14．（5.00分）函数f（x）=﹣x2+3x+a，g（x）=2x﹣x2，若f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．【解答】解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x，g″（x）=（ln2）2•2x﹣2＜0，从而g′（x）在[0，1]上单调递减，设g′（x0）=0，则函数在[0，x0]上单调递增，在[x0，1]上单调递减，∴t=g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，其中g（x0）=﹣＜2，则问题转化为a≥t2﹣3t在[1，g（x0）]上恒成立，∵y=t2﹣3t在（0，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴y=t2﹣3t在[1，g（x0）]上的最大值为1﹣3=﹣2，∴a≥﹣2．故答案为：[﹣2，+∞）．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13.00分）已知函数f（x）=a（2cos2+sinx）+b．（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（2）当a＞0时，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．【解答】解：函数f（x）=a（2cos2+sinx）+b．化解可得：f（x）=a（1+cosx+sinx）+b，即f（x）=a sin（x）+b+a，（1）当a=1时，f（x）=sin（x）+b+1，由x，k∈Z．可得：≤x≤，∴f（x）的单调递增区间[，]，k∈Z．令x=，可得：x=，k∈Z．∴对称轴方程为x=，k∈Z．（2）当a＞0时，且x∈[0，π]时，f（x）=a sin（x）+b+a，（a＞0）∴x当x=时，函数f（x）取得最大值为a+b+a．当x=时，函数f（x）取得最小值为：a×+b+a．由题意可得：a+b+a=4，a×+b+a=3解得：a=1，b=3．∴当a＞0时，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，a=．b=3．16．（13.00分）为迎接2017年“鸡”年的到来，某电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有三个选项，问题B有四个选项，每题有且有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金1000元，正确回答问题B可获奖金2000元，活动规定：参加者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设某参与者在回答问题前，选择每道题的每个选项的机会是等可能的．（Ⅰ）如果该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金1000元的概率；（Ⅱ）若参与者先答B，再答A，设ξ为中奖奖金钱数，求出ξ的分布列和期望，并判断这种答题顺序是否合算并说明理由？【解答】解：（1）设事件C表示“先答A并获得1000元”，该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金1000元的概率P（C）==．（2）由题意知ξ可取0，2000，3000，P（ξ=0）=，P（ξ=2000）=，P（ξ=3000）==，∴ξ的人布列为：Eξ==（元），若先选A，设奖金为h，P（h=0）=，P（h=1000）=，P（h=3000）=，∴E（h）==500＜，∴先选B合算．17．（13.00分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB ⊥AD∴AB⊥平面PAD，（2分）又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（3分）（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，（4分）如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：∴O（0，0，0）A（0，﹣2，0）B（4，﹣2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，﹣1，），设平面EFG的法向量为，，∴，（6分）又平面ABCD的法向量为，（7分）设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴，∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为．（9分）（Ⅲ）设，，∴，（10分），∴=，（12分）即2λ2﹣3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．（13分）18．（13.00分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F2（1，0），点H（2，）在椭圆上（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）第一象限内一点M在圆C：x2+y2=b2上，过M作圆C的切线交椭圆于P，Q两点．问：△PF2Q的周长是否为定值，若是，求出定值，不是的话说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的左焦点F1（﹣1，0），H在椭圆上，丨HF1丨+丨HF2丨=2a，即+=6，则a=3，c=1，b2=a2﹣c2=8，∴椭圆的方程；（Ⅰ）设PQ方程，y=kx+m，（k＜0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则PQ与C相切，=2，m=2，，整理得：（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，x1+x2=﹣，x1x2=，丨PQ丨=•=•=﹣，丨PF2丨===3﹣x1，同理：丨QF2丨=3﹣x2，∴△PF2Q的周长S=丨PQ丨+丨PF2丨+丨QF2丨=6﹣（x1+x2）﹣=6，∴△PF2Q的周长6．19．（14.00分）已知数列{a n}的前9项和为153，且点P（a n，a n+1）（n∈N+）在直线x﹣y+3=0上（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）从数列{a n}中，依次取出第2项、第8项、第24项…第n•2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{b n}，求数列{b n}的前n项和S n（Ⅲ）求证：…+＜．【解答】（I）解：∵点P（a n，a n+1）（n∈N+）在直线x﹣y+3=0上，∴a n﹣a n+1+3=0．即a n+1﹣a n=3．∴数列{a n}是等差数列，公差为3．∴9a1+×3=153，解得a1=5．∴a n=5+3（n﹣1）=3n+2．（II）解：b n=3•n•2n+2，S n=3（1×2+2×22+…+n•2n）+2n，设T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．∴S n=3（n﹣1）•2n+1+6+2n．（III）证明：b n=3•n•2n+2，3•n•2n+2﹣4•2n=（3n﹣4）•2n+2（n≥1），∴≤，当且仅当n=1时取等号．∴…+≤=＜．∴…+＜．20．（14.00分）已知函数f（x）=（x+m）lnx﹣（m+1+）x在x=e处取到极值（Ⅰ）求m的值（Ⅱ）当x＞1时，证明f（x）+（2+）x＞2x﹣2（Ⅲ）如果s，t，r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r，当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近f（x），并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x+m）lnx﹣（m+1+）x，求导f（x′）=+lnx﹣（m+1+），由f′（e）=0，则﹣m﹣=0，解得：m=1，m的值为1；（Ⅱ）证明：由题意可知：不等式左边为（x+1）lnx，由x＞1，h（x）=lnx﹣，h′（x）=，x＞1，则h′（x）＞0恒成立，∴h（x）在（1，+∞）单调递增；h（x）＞h（1）=0，∴则（x+1）lnx＞2x﹣2，（Ⅲ）设p（x）=﹣lnx，q（x）=e x﹣1+a﹣lnx，∵则p′（x）=＜0，q′（x）=e x﹣1﹣，q′（1）=0，则q′（x）＞0，x＞1，∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，又P（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p（x）＜0，∴q′（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）时，q′（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）=a+1＞0．①当1≤x≤e时，|p（x）|﹣|q（x）|=p（x）﹣q（x）=﹣e x﹣1﹣a，设m（x）=﹣e x﹣1﹣a，则m′（x）=﹣﹣e x﹣1＜0∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）=e﹣1﹣a，∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近f（x）．②当x＞e时，|p（x）|﹣|q（x）|=﹣p（x）﹣q（x）=﹣+2lnx﹣e x﹣1﹣a＜2lnx ﹣e x﹣1﹣a，设n（x）=2lnx﹣e x﹣1﹣a，则n′（x）=﹣e x﹣1，n″（x）=﹣﹣e x﹣1＜0∴n（x）＜n（e）=2﹣a﹣e e﹣1＜0，则n′（x）＜0∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近f（x）．综上，在a≥2，x≥1时，比e x﹣1+a更靠近f（x）．。

南开中学2016-2017初三第一次月考【数学试题】

B. y3<y2<y1
C. y3<y1<y2
D. y2<y3<y1
10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图像如图所示，当 y1≠y2 时，取 y1，y2 中的较大值记为 N；当
y1=y2时，N=y1=y2，则下列说法：①当 0<x<2 时，N=y1；②N 随 x 的增大而增大的取值范围 x<0；③取
8. 抛物线 y=-x2+x+2 与 y 轴的交点坐标是 A. （1，2） B. （0，-1） C. （0，1） D. （0，2）
9. 若抛物线 y=ax2+2ax+4（a<0）上有 A（− 3 ，y1），B（− 2 ，y2），C（ 2 ，y3）三点，则 y1，y2，y3 2
的大小关系为
A. y1<y2<y3
3/4
24. 如图，在矩形 OABC 中，OA=5，AB=4，单 D 位边 AB 上一点，讲△BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好在边 OA 上的点 E 处，分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系（1）求 OE 的长及经过 O，D，C 三点抛物线的解析式（2）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，DP=DO （3）若点 N 在（1）中抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使 M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点坐标，若不存在，请说明理由

天津市南开中学2016届高三下学期第五次月考数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科)一、选择题:1．i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C． +i D．﹣+i2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．设p：x2﹣3x+2＞0,q：＞0，则p是q(）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）=log0。

5（x2﹣4)的单调减区间为(）A．(﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞,﹣2）D．(2，+∞）5．阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的S的值为（)A．2 B．4 C．8 D．166．设等差数列｛a n}的前n项和为S n，若S k﹣1=﹣3，S k=0,S k+1=4，则k=()A．5 B．6 C．7 D．87．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，点P为△ABC内一点,若∠BPC=90°,PB=1，则PA=（）A．4﹣B．C．D．18．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上,=λ，=μ,若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分．9．如图,向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为．10．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上,则双曲线的方程为．12．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB 是等边三角形，则a的值为．13．（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x｜恰有4个零点,则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间;（Ⅱ）当x∈[﹣，）时,求f（x）的取值范围．16．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次,命中的概率为，命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．17．如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BFC=90°，AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；（Ⅱ)求二面角B﹣DE﹣C的大小；(Ⅲ）求四面体B﹣DEF的体积．18．如图，椭圆C：=1(a＞b＞0）的离心率为,其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点,且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ)求△APB面积取最大值时直线l的方程．19．设数列{a n｝的前n项和S n满足S n=a2S n+a1，其中a2≠0．+1(Ⅰ）求证：｛a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若数列｛b n｝的前n项和为T n=n2+2n，求数列｛a n•b n｝的前n项和；（Ⅲ）若a2＞﹣1，求证：S n≤（a1+a n）,并给出等号成立的条件．20．已知a，b是实数,函数f（x）=x3+ax,g(x）=x2+bx，f′（x)和g′（x)是f（x)，g（x）的导函数，若f′（x）g′(x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致．（Ⅰ）讨论f（x）的极值；(Ⅱ）设a＞0，若函数f(x）和g（x）在区间［﹣2，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；(Ⅲ)设a＜0,且a≠b，若函数f（x)和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致,求｜a﹣b|的最大值．2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题：1．i是虚数单位，复数=(）A．1﹣i B．﹣1+i C． +i D．﹣+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解:=,故选：C．2．变量x,y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1)，z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选:C．3．设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出关于p，q的不等式的解，结合集合的包含关系,判断即可．【解答】解：关于p:x2﹣3x+2＞0，解得:x＞2或x＜1，关于q：＞0，解得：x＞2或x＜﹣2或﹣1＜x＜1，则p是q的必要不充分条件，故选：B．4．函数f(x）=log0(x2﹣4）的单调减区间为（)。

天津市南开中学2016届高三下学期第五次月考数学试卷(文科) 含解析

2015—2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一。

选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q:“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0"的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是(）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q3．记集合A=｛（x，y）|x2+y2≤16},集合B=｛（x,y）｜x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（)A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A．7 B．9 C．10 D．115．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为(）A．π+B．2 C．2πD．6．已知函数y=sin2x﹣cos2x,下列结论正确的个数是（）①图象关于x=﹣对称；②函数在［0,］上的最大值为2③函数图象向左平移个单位后为奇函数．A．0 B．1 C．2 D．37．已知定义在R上的函数f(x）=1﹣｜1﹣(x﹣m）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f(e）,则a,b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c8．已知函数f（x）=，如果关于x的方程f(x)=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1二。

填空题:本大题共6小题，每题5分，共30分。

9．已知集合A={﹣1，a},B={2a，b｝，若A∩B=｛1｝，则A∪B=．10．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3:5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者,那么n=．11．如图,AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D,E为AD的中点,连接CE并延长交⊙O 于F，若CD=，则EF=．12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为．13．已知四边形ABCD,AC是BD的垂直平分线，垂足为E,O为四边形ABCD外一点，设｜｜=5,｜|=3,则（+）•（﹣)=．14．设a＞0,b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于．三.解答题:本大题共6小题，共80分。