数列通项公式、前n项和求法总结
数列的通项公式与部分和公式
数列的通项公式与部分和公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数与n的关系的公式，而部分和公式则是指数列的前n项和能够表示成与n的关系的公式。
本文将分别介绍数列的通项公式和部分和公式，以及应用举例。
一、数列的通项公式数列是指按照一定规律排列的一组数，通项公式是能够表示数列中第n个数与n的关系的公式。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a₁为1，公差d为3，根据通项公式可得：an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2因此，该等差数列的通项公式为3n - 2。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等比数列2，6，18，54，……，其首项a₁为2，公比q 为3，根据通项公式可得：an = 2 * 3^(n-1)因此，该等比数列的通项公式为2 * 3^(n-1)。
二、数列的部分和公式数列的部分和是指数列前n个数的和，部分和公式是能够表示数列前n项和与n的关系的公式。
1. 等差数列的部分和公式对于等差数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = (a₁ + an) * n / 2其中，a₁表示数列的首项，an表示数列的第n个数。
以等差数列1，4，7，10，13，……为例，根据通项公式3n - 2，部分和公式可表示为：Sn = (1 + (3n - 2)) * n / 2 = (3n + 1) * n / 22. 等比数列的部分和公式对于等比数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a₁表示数列的首项，q表示数列的公比。
数列求前N项和方法总结(方法大全
数列求前N项和方法总结(方法大全数列是一组按照一定规律排列的数。
在数列中，常常需要求出数列的前N项和，以便进一步分析和运用。
下面将对常见的数列的前N项和求解方法进行总结。
1.等差数列：等差数列是相邻两项之差相等的数列。
记数列首项为a，公差为d，第n项为an。
a.求前N项和公式：Sn = (a + an) * n / 2b.证明：首先将等差数列分为两部分：第一部分是首项a和末项an，共有n 项，它们的和为 (a + an) * n / 2；第二部分是每一项与对应的倒数项的和，它们的和恰好也是 (a + an) * n / 2、将两部分的和相加即得 Sn = (a + an) * n / 22.等比数列：等比数列是相邻两项之比相等的数列。
记数列首项为a，公比为r，第n项为an。
a.公比不为1的情况：求前N项和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)b.公比为1的情况：求前N项和公式：Sn=a*nc.证明：利用等比数列的性质，将等比数列的前N项和与它的下一项相乘，两者相减可得到Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
3.平方数列：平方数列是由平方数组成的数列，例如1,4,9,16,25,...。
a.求前N项和公式：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6b.证明：利用平方数的性质，可以得到平方数列的前N项和的通项公式为Sn=n*(n+1)*(2n+1)/64.立方数列：立方数列是由立方数组成的数列，例如1,8,27,64,125,...。
a.求前N项和公式：Sn=(n*(n+1)/2)^2b.证明：利用立方数的性质，可以得到立方数列的前N项和的通项公式为Sn=(n*(n+1)/2)^25.斐波那契数列：斐波那契数列是指从0和1开始，后一项等于前两项之和的数列，例如0,1,1,2,3,5,...。
a.求前N项和公式：Sn=F(n+2)-1其中F(n)是斐波那契数列的第n项。
b.证明：通过归纳法可以证明斐波那契数列的前N项和等于第N+2项减去1除了上述常见的数列，还有很多其他的数列以及求前N项和的方法。
求数列通项公式+求数列前 N项和的常用方法
的前n项和Sn 解：
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显 的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差 数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后 把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使 得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n项和。
例题3：求数列
(n∈N*)的和 解：
点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的 规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项 相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于
等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 {an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在 和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后 即可以求出前n项和。
例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和 解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1② ①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an nan+1③ 若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
求数列 前N项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式， 再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为 基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律， 找到适合的方法解题。
一.用倒序相加法求数列的前n项和
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列通项公式和前n项和的求法
数列通项公式和前n 项和的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒，∵0≠d ， ∴d a =1①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+② 由①②得：531=a ，53=d ， ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=二、累加法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例2 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之， 即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以n a a n 111-=-， 211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴三、累乘法(逐商相乘法)：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴四、待定系数法：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
数列通项公式和前n项和求解方法(有针对训练)
专题一：数列通项公式的求法 一．观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,52,21,32,1一、 公式法公式法1：特殊数列公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n例2：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式12-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式.例3：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得。
例： 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a例4：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.四、累乘法 【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例5：在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n a n ⋅=⋅++1)1( ，求n a 的表达式.五、构造特殊数列法 【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例6：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a .六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例7：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①-②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ，求数列{n a }的通项公式。
求数列通项公式和前N项和的方法
求数列前N 项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和: q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，,特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1］ 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和。
解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 (利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 ［例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N ＊,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值。
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n ｝的前n 项和，其中{ a n }、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列.［例3］ 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解:由题可知,｛1)12(--n x n }的通项是等差数列｛2n －1}的通项与等比数列｛1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ ［例4］ 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，｛n n 22}的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② (设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减)1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习:求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+（4n —3)x n —1① ①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+（4n —3）x n ②①—②得,（1-x)S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n —3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n —3)=2n 2—n 当x ≠1时，S n =1 1—x ［ 4x(1-x n） 1-x +1-（4n —3）xn]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。
数列通项公式和前n项和常见求法
数列通项公式的常见求法一.公式法1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ 求解。
一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥； 例4、（2011四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．112、叠乘法一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥； 例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
通项及前N项和的求法的方法总结(全)
常见数列通项公式的求法1、 定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可. 2、 累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法.例1、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n +==++求求{}n a 的通项公式.3、 累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.例2、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n n a a a a n +==+求.练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式.练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式.3、待定系数法（构造法）例3、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则 例4、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22n n n a a a -=-=+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.例5、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .4、利用n a 与n S 的关系如果给出条件是n a 与n S 的关系式,可利用111,2n n n an a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.例6、已知数列{}n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 的前n 项和为2134n S n n =-+，求{}n a 的通项公式.练习2：若数列{}n a 的前n 项和为33,2n n S a =-求{}n a 的通项公式.5、倒数法例7、已知数列{}n a 满足1=1a ，1232nn n a a a +=+，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 中，113,,12nn na a a a +==+则n a ________.=例8、已知数列{}n a 满足1=1a ，11234n n n a a a --=+，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 中，1122,,31n n na a a a +==+则n a ________.=数列前n项和的求法总结一、公式法（1）等差数列前n项和： S n=n(a1+a n)2=na1+n(n+1)2d（2）等比数列前n项和： q=1时， S n=na1；q≠1时， S n=a1（1−q n）1−q（3）其他公式： S n=1+2+3+⋯+n=12n(n+1)S n=12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)S n=13+23+33+⋯+n3=[12n(n+1)]2二、倒序相加法3、设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2三、裂项相消法4、求数列(n∈N*)的和四、错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
(完整版)数列前n项和的求法总结
数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
一． 公式法（1） 等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2） 等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3） 其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
数列,通项公式方法,求前n项 和例题讲解和方法总结
的前n项和为
，
为等比数列，且
（Ⅰ）求数列
和 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
例2．已知数列的首项，，…． （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）数列的前项和．
2．设数列 的前n项和为 ， 为等比数列，且
（Ⅰ）求数列 和
的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和
. 三、分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适 当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其 合并即可. 2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和 3：求数列的前n项和。
数列求和练习
1、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公差为3的等差数列，求{bn}的通项公式及 前n项和Tn.
3、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
则S13的值为( )
5、已知数列 是等差数列，且 ， 是数列 的前
项和． (Ⅰ)求数列
的通项公式 及前 项和 ；
(Ⅱ) 若数列 满足 ，且 是数列 的前 项和，求 与 ．
6． 设是正数组成的数列，其前n项和为 并且对于所有的自然数与2 的等差中项等于与2的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)令 求证：
7、已知数列 是等差数列， ；数列 的前n项和是 ，且 ．
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方 法：____________； ②等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n项和： a．1＋2＋3＋…＋n＝________________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝ _________________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_____________；d． e．
数列的通项公式及前n项和的的求法
数列的通项公式及前n 项和的求法1．两个基本公式（1）等差数列的通项公式：d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=（2）等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --==2．三个基本方法（1）n S 法：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （2）累加法 （3）累乘法一．n S 法（利用关系11(1)(1)n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩） 1．已知数列}{n a 的前n 项和21n S n n =++，求}{n a 的通项公式。
注：要先分n=1和1n >两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
2．已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式。
注：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.二．累加法（1()n n a a f n +-=型数列）3．已知111,21(2)n n a a a n n -=-=-≥，求{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
三．累乘法（1()n na f n a +=型数列） 5.已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.注：将1n na a +表示出来，对n 从1开始取值。
四．构造法（构造等差或等比数列）6．已知数列{}n a 的首项12a =，()2,12*1≥∈+=-n N n a a n n ，求n a 。
注:构造新数列的实质是通过1()()n n a x q a x ++=+来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.7． 已知数列{}n a 满足，*111,5,3N n a a a a a n n n n ∈⋅+==++，（1）求证：1{}na 是等差数列 （2）求数列{}n a 通项公式.8、若数列{}n a 满足11=a ，且nn n a a a +=+11， （1） 求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式9、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式10、已知数列{}n a 满足132n n n a a +=+，11a =，求数列{}n a 的通项公式。
数列的前n项和求法
数列的前n 项和一、公式法1、通项公式：（1）、等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m)d ； （2）、等比数列的通项公式：11-=n n q a a ＝m n m n q a a -=；2、a n 与Sn 的有关系：a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2(,)1(,11n S S n S n n3、前n 项和：（1）、等差数列前n 项和：Sn ＝2)(1n a a n +＝na 1＋d n n 2)1(- （2）、等比数列前n 项和：Sn ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(11)1()1(,111q q q a a q q a q na n n例1：已知n S ＝1＋2＋3＋4＋……＋n ，（n ∈N ＋），求1)32(++n nS n S 的最大值。
【解析】： )1(21+=n n S n ，1)32(++n n S n S ＝64342++n n n＝34641++nn ≤501变式练习1：在等比数列{n a }中，2a －1a ＝2，且22a 为31a 和3a 的等差中项，求数列{n a }的通项公式及前n 项和。
【解析】：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝312n -.变式练习2：已知{n a }是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且1a ，3a ，9a 成等比数列。
（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n a2}的前n 项和n S 。
【解析】：n a ＝n n S ＝221-+n二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
例2： 求数列的前n 项和：121，241，381，……(n ＋n 21) 【解析】： n n n n S 2112)1(-++=变式练习1：求数列0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999……的前n 项和Sn 。
数列通项公式、前n项和求法总结全
2n2+n
变式练习：
1.已知数列｛an｝满足an厂an•2n •1,a^1，求数列佝｝的通项公式
2. 已知数列:
3. 类型2特征：递推公式为an彳=f（n）an
变式练习：
1.已知数列Q匚中，3 = 2，an d= 3an，求通项公式an。
2.设G｝是首项为1的正项数列，且（n+1）a；卅-na；+a^an= 0（n= 1，2， 3，…），求数 列的通项公式是an类型3特征：递推公式为an1二pan• q（其中p，q均为常数）
*
(1)求an,bn；
⑵求数列:an-bn［的前n项和Tn.
2.若公比为c的等比数列的首项为a^1，且满足an二a22甌(n二3,4,...)。
(1)求c的值；(2)求数列｛nan｝的前n项和Sn
3.倒序相加法
如果一个数列订奁，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写 与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特^E： a1an=a?an4 =...
设an，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
anan +b2
bnbn，再转化为类型1 （累加法），求出bn之后得a^ pnbn
p
例6•已知数列｛an｝满足an^2an43n」，a^1,求数列®｝的通项公式。
变式练习：已知数列：an*满足a1=1，an=3n• 2an」（n一2），求an.
二
1.公式法
（1）等差数列前n项和：Sn二"去 空=门a1^^d
2 2
(2)等比数列前n项和:
(2)求数列 ｛俎｝ 的前n项和Sn。
数列通项公式、前n项和求法总结(全)讲课讲稿
一.数列通项公式求法总结：1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.变式练习：1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。
特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。
（1）13-+=n n S n 。
（2）12-=n s n1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。
2. 已知数列{}n a 的前n 项和212n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。
3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，22.求数列{}n a 的通项公式。
3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。
例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列知识(求通项公式前n项和全部方法)
数列重点备注：部分题目有些错误，这个是修正后的版本一、数列通项公式的求法1、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.两种常见的特殊数列:等差数列 d n a a n )1(1-+= (为公差为首项d a ,1) 等比数列 11-=n n q a a (为公比为首项q a q a n ,,0,01≠≠)例 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.求数列{}n a 的通项公式;解答： 依题意设)0(231≠=-q q a n n ，∵234,2,4S S S -成等差数列 ∴342242S S S =+-即)(2)(4)(2321432121a a a a a a a a a ++=+++++- 整理得0243=+a a 即032332=+q q 解得21-=q ∴12123-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n a练习：1.已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= ，求d 及数列{}n a 的通项公式；解答：依题意设1)1(1+-=-+=d nd d n a a n ，则d a d a 21,132+=+= ∵2336S S ⋅= ∴36))((32121=+++a a a a a整理得)0(01032>=-+d d d 解得2=d∴12-=n a n2.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.求数列{}n a 的通项公式； 解答：依题意设)0(11≠=-q qa a n n ，∵4S ，2S ，3S 成等差数列∴2342S S S =+ 即)(2213214321a a a a a a a a a +=++++++ 整理得0243=+a a 又23418a a a ++=-∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+1802312113121q a q a q a q a q a 解得⎩⎨⎧-==231q a ∴1)2(3--⋅=n n a3.设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.若{}n b 是等差数列，求数列{}n b 的通项公式.解答：依题意设a d nd d n a a n +-=-+=)1(，则()2)2(21d nd a n a a n S n n -+=+=cn d nd a cn a d n cn d nd a cn d nd a cn d nd a n c n d nd a n c n nS b n n +-+-+-=+-+--++-+=+-+=+=2222222222)2(22)1(2)2(2)2(2)2(2)2(由{}n b 是等差数列知{}n b 的通项公式不含二次项，且为B A b n n +=型（B 为常数）∴02)2(22=+-+cn d nd a cn 又022≠-+d nd a ∴0=c ∴22)1(ad n b n +-=2、累加法求形如)(1n f a a n n =--（)(n f 为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令1,....,3,2-=n n 得到1-n 个式子累加求得通项112211......a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---例 已知数列{}n a 中，11a =，对任意自然数2≥n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a .解答：依题意当2≥n 时，有11231112113121 (1111111)321....)1(1)1(1....112211+-=++-=+-++--++-=+⨯++-++=+-++-+-=---n n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n n n当1=n 时，1111231=+-=a 也满足上式 ∴1123+-=n a n练习：1.已知数列{}n a 中，11a =，),2(311+--∈≥+=N n n a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 解答：依题意当2≥n 时，有213131)31(313...33. (1211)12211-=+--=++++=+-++-+-=------n n n n n n n n n a a a a a a a a 当1=n 时，121311=-=a 也满足上式 ∴213-=n n a2.{}n a 是首项为1的正数数列，)(0)1(11+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，求n a .解答：由0>n a 及0)1(11=+-+++n n n n a a na a n 得)1(11)1(11+=-++n n na a n n n设nn na b 1=，则11=b ，)1(11+=-+n n b b n n∴11212111 (1111111)121...)1(1)1(1 (1)12111+-=+-++--++-=+⨯++-++=+-++-+-=-++n n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n ∴当2≥n 时，n b n 12-=，又1=n 时，11121=-=b 也满足上式∴nn n b n 1212-=-=，∴12-=n a n3.已知数列{}n a 中，)(34,4,11221+++∈-===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 解答：依题意得：)(3112n n n n a a a a -=-+++，于是设n n n a a b -=+1 ∴n n b b 31=+，又03121≠=-=a a b ∴31=+nn b b 即{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列 ∴nn b 3= 即n n n a a 31=-+∴213131)31(313...33. (111)12111-=+--=++++=+-++-+-=+--++n n n n n n n n n a a a a a a a a ∴当2≥n 时，213-=n n a ，又当1=n 时，121311=-=a 也满足上式 ∴213-=n n a3、累乘法对形如1()n naf n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令1,....,3,2-=n n 得到1-n 个式子累加求得通项。
数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结
数列的通项公式1.通项公式如果数列{}a n 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。
2.数列的递推公式（1）如果已知数列{}a n 的第一项，且任一项n a 与它的前一项-1n a 之间的关系可以用一个公式来表示。
（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可3.数列的前n 项和与数列通项公式的关系数列{}a n 的前n 项之和，叫做数列的前n 项和，用n S 表示，即123=n n S a a a a ++++n S 与通项n a 的关系是11(1)(2)={n n S n n S Sn a -=-≥4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项2）前n 项和n S 与n a 的关系法，⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)3）、累（叠）加法：形如)(1n f a a n n +=+∴112211=()()()n n n n n a a a a a a a a ----+-++-+4）. 累（叠）乘法：形如nn a n f a )(1=+∴13211221=n n n n n a a a aa a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5）.待定系数法 ：形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0），（设a 1+n +k=p （a n +k ）构造新的等比数列） 6) 倒数法 ：形如11n n n a a ka b--=+（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）7). 对数变换法 ：形如，11()lg lg lg p n n n n a c a a p a c ++=⋅⇒=+（然后用待定系数法或是等差数列）8).除幂构造法: 形如11111n n n n n n na q a a qa d d d d d++++=+⇒=+ (然后用待定系数法或是等差数列) 9). 归纳—猜想—证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.通项公式方法及典型例题1.前n 项和n S 与n a 的关系法例1、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一•数列通项公式求法总结：
1•定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）.
例］.等差数列｛%｝是递增数列,前n项和为S”,且也,％5成等比数列,S5=a;.求数列｛%｝的通项公式.
变式练习：
1.等差数列｛陽｝中,吗=4,如=2為,求匕｝的通项公式
2.在等比数列｛%｝中<2-4 =2,且2勺为3纠和他的等差中项,求数列｝的首项、公比及前"项和.
2 •公式法
求数列｛a…｝的通项①可用公式= 5,................ ""求解。
①-昭......... n>2
特征：已知数列的前"项和s“与％的关系
例2•已知下列两数列｛色｝的前n项和S“的公式，求｛©｝的通项公式。
变式练习：
1.已知数列｛%｝的前n项和为且S产2n2+m n GN*,数列｛"｝满足山=41。
审化+3, n^N*.求色，b「
2.已知数列｛©｝的前门项和S”= —丄“2+如(2皿)，且久的最大值为8,试确泄常数k并求0”。
2
3.已知数列仏｝的前"项和$“=伫卩，心".求数列仏｝的通项公式。
2
3 •由递推式求数列通项法
类型1特征：递推公式为如="”+/(")
对策：把原递推公式转化为a n+1-a…= f(n),利用累加法求解。
例3.已知数列｛«… ｝满足a｛=~, % = a n + -J—,求
a”。
2 ir +n
变式练习：
1.已知数列｛色｝满足a^=a n+2n + \9 q=l,求数列｛色｝的通项公式。
2•已知数列:® =皿 =5 +漆通项公式
类型2特征：递推公式为勺屮=/（〃）© 对策：把原递推公式转化为组 = /（〃），利用累乘法求解。
例4.已知数列仏｝满足=-, a n^=—a n9求％
3 ” + 1
变式练习：
1•已知数列｛%｝中,q=2, a n¥l=3n a n9求通项公式©。
2•设仏｝是首项为1的正项数列,且S + 1）心一碣+如陽=0 （n=l92, 3,…），求数列的通项公式是％
类型3特征：递推公式为a^=pa tl+q（其中p, q均为常数）
对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由a,^=pa n+q得"”=皿灯+处亠2）两式相减并整理得"‘小一""=〃，构成数列｛。
”+| —d”｝以"2 -«!为首项，以P为公比的等比数列•求岀｛S+| —％｝的通项再转化a n "" Cl n-\
为类型1 （累加法）便可求出5・
例5•已知数列仏｝中，q=l, a n^ = 2a n + 3,求〜.
变式练习：
1•数列｛心｝满足«!=1, 3% +%_7 = 0,求数列｛仏｝的通项公式。
2.已知数列｛©｝满足"严1, %=3©+1.证明｛"”+寻是等比数列，并求｛“”｝的通项公式。
类型4特征：递推公式为a^ = pa n + f（n）（英中p为常数）对策：（利用构造法消去p）两边同时除以可得到銅■二予+样，令卡=6,则!治=叽+牛工,再转
化为类型1 （累加法），求出4之后得山=叫
例6・已知数列｛©｝满足%=2色+4・3心,q=l,求数列｛©｝的通项公式。
变式练习：已知数列仏｝满足q=l,山=3〃+2仏| （n > 2）.求心.
二•数列的前n项和的求法总结丄•公式法
（1）等差数列前n项和：S” =
川他+丝）=加+川"+ 1）〃
2 2
（2）等比数列前n项和：
q=l 时，S n = na x
a\
g H 1, S” = _
例1・已知log3X = ----- ,求x +疋+F +…+ x" +…的前n项和.
log? 3
变式练习：
1.设等比数列｛“”｝的前II项和为S” •已知勺=6, 6q + @ = 30,求和S“.
2•设｛勺｝是等差数列，｛—｝是各项均为正数的等比数列,且勺=勺=1,偽+代=21，他+$T3o （1）求％b沁
（2）求数列｛如｝的前n项和S八
i_q
2.错位相减法
①若数列｛《｝为等差数列，数列｛〃”｝为等比数列，则数列｛%-b｝的求和就要采用此法.
②将数列｛a^b n｝的每一项分别乘以｛亿｝的公比，然后在错位相减，进而可得到数列｛①也｝的前”项和. 例2.求1 + 2乂+ 3乂2+4兀3 + ..... +的和
变式练习：
1.已知数列｛©｝的前n项和为S“,且S” = 2n2 +n z neN*，数列｛b n｝满足a…=4log? + 3 n丘N * .
⑴求％心；
（2）求数列仏心｝的前n项和7；•
2.若公比为c的等比数列｛©｝的首项为® = 1 ,且满足=
(72 = 3,4,・・・)©
（1）求C的值；（2）求数列｛〃©｝的前门项和»
3 •倒序相加法
如果一个数列{d”},与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加, 就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。
特征：4+5 =©+©-] =・・・
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
+ a 2 +a)
2S n =(a 1+a n ) + (a 2+a n _1) + 例 3.已知f(x) = ,贝ljf(l) + f(2) + fg) + f(3) +
+ f(4) + 石| = ________
变式练习：
4 r l 2 22 32 IO 2 .z ni
1. :k ---- r ---- r s --- r + • • ； - r 丨丨寸彳卄
12 + 102 22 +92 32 +82 102 + 12
2.求sin 2 f+sin 2 2° +sin 2 3° + …+ sii? 88° +sin 2 89° 的值。
S n =»! +a 2 + + a n-i +a
+
(a i +a n)
4 •裂项相消法
一般地，当数列的通项©=-------------------- a»b“c为常数)时，往往可将％变成两项的差，采用裂项
(an + by)(an + b 2)
相消法求和.
可用待圧系数法进行裂项：
设©二 ---- -- ----- ,通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得2 = —^—,从而可得
an + % an + b2b2 -
--------------- = --------- ( ---------- !一).
(an + b^ian+b2) (b’_b) an + b{ an +b2常用裂项形式有：
1 , 1 1 • n{n +1) n n + \'
1 1 l z 1 11 1
k2/一1 2 k_\ k + \ k k + \伙
+ 1> k1伙一1冰k_\ k
1 1 r 1 1
变式练习:
1 =丄(丄__L).
n(n + k) k S? n + k 八
1 1 1 1 1
—< — < ―——= 7——-一T
-[ --- ---------- ----- 1 :
n{n +1)(/? + 2) 2n{n +1) (n +1)(/? + 2)
2( J" + ] -\[n) = —7=_已----------------- ，< -4= < —j=―2] = 2(肩-yJn-\)
例4.求数列而
1 1
2?4 ' 3^5
------- ,…的前n项和S・
n(n + 2)
1.在数列｛“｝中,
2
H ----
77 + 1 n +
十,又"”=」一
求数列｛bn｝的前n项的和.
2.等比数列｛©｝的％项均为正数，且2q +3勺==%2绻・
(I)求数列｛"“｝的通项公式.
(II)设b n = log3a x + log3 + • •• + log3a n,求数列 < 丄 > 的前项和.
IA J
5•分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
例5•求数列2丄,4丄6丄,・・・2? +丄，…的前"项和S卄
4 8 16 2/|+,
变式练习: 】•求数叫，2討寻4茶•的前〃项和
2•若数列｛qj 的通项公式％ = 2a l +3na-l(a HO),求｛马?｝的前n 项和 6 •记住常见数列的前〃项和：
① 1 + 2 + 3 + ... + 〃 = ^2;
2
② 1 + 3 + 5 +・・・+ (2川一1)=沪;
③ 1~ +2~+3- +・・・ + /厂= —〃(" +1)(2/? +1).
6
变式练习:求数列｛n(n +1)(277 +1))的前n 项和. 7 12+22+32 2n +1
------------ 12 + 22+-..
〒(〃
wN")的和.。