数学中的“有限与无限”的思想

数学中的“有限与无限”的思想
一、知识概述
1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.
2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.
3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.
4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求
极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.
5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.
二、典例分析
1.在数列{}n a 在中，5
42
n a n =-
，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则
lim n n n n
n a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)n
n q q →∞
=∈)来解决新的极限问题.
【答案】由542n a n =-
知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422
n n n a a a n -++=+⋅ 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4
n n n n
n n n n n n n
b a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,11
1n n
a a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1
a =时，得到无穷数列：;.,35
,23,2,1 当21-
=a 时,得到有穷数列：0,1,2
1
--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11
()1
n n n N b b ++=
∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；
（Ⅲ）若
)4(22
3
≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.
【答案】（Ⅰ）
11211111
,1,11,n n a a a a a a a a a
++==+
∴=+=+=
34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+
==+=++ 420.3
a a =-=故当时 (Ⅱ) 解法一：11-=
b ,11
,111
1+=-=
++n n n n b b b b , 当1b a =时,01
112=+=b a , 当2b a =时,11
1112-==+=b b a ,03=∴a , 当3b a =时,23
211b b a =+
=,11
1111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a . 一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a . 下面用数学归纳法证明.
当1=n 时, 1b a =,显然01
11
2=+
=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a ,其中
01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1
21
1,
由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a ,其中02=+k a .
所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：
111
1
1,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=
∴=+- 2113221111
2
{}.11
,11,11
11,...
11
11 1.0.n n n n n
n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+
=+=∴=+=+=∴=+
=+
==-∴=取数列中的任一个数不妨设
故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .
（Ⅲ）
)4(22
3
≥<<n a n 即211231<+
<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223
≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .
由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫
⎝⎛∈2,23n a ()5≥n
由12234++=a a a ,得21
22
323<++<
a a , 解得0>a . 3．在数列||n a ，||n
b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*
N ）.
（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：
11221115
12
n n a b a b a b +++<+++…． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，
可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.
【答案】（Ⅰ）由条件得2
1112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得
2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k 时，结论成立，即2
(1)(1)k k a k k b k =+=+，，
那么当n=k+1时，22
221122(1)(1)(1)(2)(2)k
k k k k k
a a
b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知2
(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．
（Ⅱ）11115
612
a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．
故
112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫
+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)
n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题
1.数列{}n a 中，11a =，
2
112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=
（1）求c 的值；
（2）① 证明：1n n
a a +<；
② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较
11n
k k
a =∑与140
39n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.
【答案】（Ⅰ）依题意，2
22211322111111
.222222
a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218
a a -=，得2
11111
22228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.
（Ⅱ）① 证明：因为22
11122(2)022
n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，
当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).
② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞
=.
（Ⅲ）由2
1122n n n a a a +=
-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而
111122
n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 111111111111 1.2
2222n
n
k k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪
-----⎝⎭∑∑
所以21111111111
404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)n
n n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑
因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*
n ∈N ). （*）
下面用数学归纳法证明：对于任意*
n ∈N ，有2n a <成立.
当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a < 因为221113
2(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22
y x =-+在1x ≥时单调递增， 所以2113(21)222
k a +<
-+=.即当1n k =+时，
结论也成立. 于是，当*
n ∈N 时，有2n a <成立. （**） 根据（*）及（**）得 12n a ≤<.
由11a = 及2
1122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，
所以，当1n =时，
2114039a a <；当2n =时，312114039
a a a +=； 当3n ≥时，由113
28n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)n
n n n k k
n a a a a a +++=++--=
>⋅-∑ 所以
11
1
40
39
n
n k k
a a
+=>
∑. 2．数列{}
n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*
N n ∈）．
（1）求证：数列{}
n a 是等比数列.
（2）设数列{}
n a 的公比为()f k ，作数列{}
n b ，使13b =，1
1
(
)n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}
n b 的通项公式；
（3）设2n n c b =-，若存在*
N m ∈，且m n <；使lim n →∞
（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1
<
2007
，试求m 的最小值．
【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.
【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①
当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②
①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=
+（2）
由①, 1112a k =+
，∴1211
122n n
a k k k a ++==+，
又
21112a a k =+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k
+为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =1
12k
+
，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴11
2(2)2
n n b b --=
-.又13b =，即121b -=，
1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，
1
2
为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴1
12()2
n n b -=+．
（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则21
11()2
n n n c c -+⋅=.
∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=11
1111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦
222n （
）（）（） =1111141122lim 132200714
m m n --→∞-=<
-
22n+2（）（）
（）， ∴3112669
m -<
2（），∴9
669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*
N m ∈，∴m 的最小值为7.
四、考点预测
(一)考点预测
根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.
(二)考点预测题
1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22
lim n n n
a n S →∞-= ．
【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用
到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n a
n
→∞=，其中a 为常数.
【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)
22
n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222
111
112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)
n
n n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 1112
2
4(1)(1)3lim
3(1)
1n n n n
a a a →∞
--++=-+
.
2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a
．．．．．．
记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足
2
21(2)n
n n n
b n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当814
91
a =-
时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，
从而证明1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，2
21n
n n n
b b S S =-， 又12n n S b b b =+++，所以12
12()
1()n n n n n n
S S S S S S ---=--， 即
112()1n n n n S S S S ---=-，所以1111
2n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是首项为1，公差为1
2的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21
n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)
n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此112
2(1)n n b n n n =⎧⎪
=⎨-⎪+⎩
， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．
因为1213
1212782
⨯++
+=
=，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此2
8113491
a b q ==-．
又132
1314
b =-⨯，所以2q =．
记表中第(3)
k k≥行所有项的和为S，
则
(1)2(12)2
(12)(3)
1(1)12(1)
k k
k k
b q
S k
q k k k k
--
==-=-
-+-+
≥。