泛函分析习题标准答案

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泛函分析(含答案)

山东师范大学试题

（时间：120分钟共100分）

课程编号： 4081331 课程名称：数学分析方法适用年级： 2004

学制: 四适用专业：数学与应用数学试题类别：补考

考生注意事项

1、全题三个大题，22个小题。

判断正确（√）与错误（×）（本题10个小题，每题3分，共30分）：

1、（）距离空间X 中的序列{}n x 收敛于X x ∈*

的充要条件是{}n x 的任意子列收敛于*

x ；t P311 2

2、（）任一离散空间必是完备的；t 311 9

3、（）全有界集不一定可分；f 312 21

4、（）相对紧集的闭包是紧集； t 313 34

5、（）完备距离空间的闭子空间可能是完备的；f 313 29

6、（)X 是完备距离空间，闭X F F T ⊂→:，如果存在[)1,0∈α，使

()()F y x y x Ty Tx ∈∀<,,

,,ρρ，则 F x ∈∃*!使得**x Tx =；f 280 Th1

7、（）有界数列空间m 不是可分的；t 292 7.6.5 8、（）函相对紧集未必是有界的；f 294 系1

9、（）紧有界线性算子T 连续⇔T 有界； t

318 Th2

10、（）在空间[)[]3,21,0 =X ，()y x y x -=,ρ中，[)1,0=F 是相对紧集。f ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-n 11不收敛

（本题共五个小题，每小题14分，共70分）：

1、证明：连续函数空间[]b a C ,在范数()x f f b

x a ≤≤=max 下构成一Banach 空间。

泛函分析答案

泛函分析题1_3列紧集p19

1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网．

证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理，

ε > 0，存在A的有限ε网N．

而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N．

(2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B．

因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C．

因C ?B ?A，故C为A的有限ε网．

因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的．

1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界．

证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数．

(1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n．

因D是紧集，故D是自列紧的．

所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)．

由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)．

但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)，

所以f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾．

故f有上界．同理，故f有下界．

(2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n．

{y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)．

因此f ( y0 ) ≥M．

而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M．

所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界．

泛函分析习题解答

第一章练习题

1．记([,])C a b 是闭区间[,]a b 上连续函数全体构成的集合, 在([,])C a b 上定义距离如下:

(,)|()()|,,([,])b

f g f x g x dx f g C a b ρ=-∀∈⎰，

（1）([,])C a b 按ρ是否完备?

（2）(([,]),)C a b ρ的完备化空间是什么?

答：(1) 不完备, 例如对于[,][0,2]a b =以及1,2,n =L ,定义

,01,

():1,1 2.

n n x x f x x ⎧≤<=⎨

≤≤⎩ 则{()}([0,2])n f x C ⊂在本题所定义的距离的意义下是Cauchy 列, 因为

(,)|()()|110,(,).11

n m n m n m f f f x f x dx

x dx x dx

m n n m ρ=-≤+=

+→→∞++⎰⎰⎰

另一方面, 点列{()}n f x 并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到([0,2])C 中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有

0,[0,1)

()()1,[1,2].n x f x g x x ∈⎧→=⎨

∈⎩

因此, 根据Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到

00(,)|()()|1

|0|0.1

n n n

f g f x g x dx

x dx x dx n ρ=-=-==→+⎰⎰⎰

但()([0,2])g x C ∉.

(2) ([,])C a b 的完备化空间是1

([,])L a b . 因为

(i) 在距离ρ的意义下, ([,])C a b 是1

泛函分析试题及答案

一、选择题

1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？

A. 泛函

B. 导数

C. 凸函数

D. 可测函数

答案：B. 导数

2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？

A. f是可逆的

B. f是连续的

C. f是紧致的

D. f是自共轭的

答案：B. f是连续的

3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？

A. 可微性

B. 凸性

C. 全纯性

D. 一致连续性

答案：B. 凸性

4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？

A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤

C||x||

B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集

C. f是连续的

D. f是满射

答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||

二、填空题

1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。

答案：共轭对称性

2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。

答案：Banach空间

3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。

答案：弱导数

4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。

答案：自伴算子

泛函分析答案(压缩版)

10.4.证明 Banach 空间 X 自反的充要条件是 X’自反。证明：若 X 是 Banach 空间，则存在一个从 X 到 X’’的自然的等距同构映射 J : X  X '' ， J (X ) 若 x x 这样定义的，若 x  X ，同构映射为d  xn , xN   MX '，则称 X 是自反的，其中Jx 是an 1  n因此 xn  是有界点列。an  supx  x'df  X ' ， J ( x)( f )  f ( x) 为方便起见，记 X 到 X’’的自然的等距7.18.设 X 为完备度量空间，A 是 X 到 X 中映射，记射 A 有唯一不动点。证明：因n A x, A x   an   d  x, x  ，若 n1 ，则映n n ' 'J1 ( X ')  X ''' ，若 J o ( X )  X '' ，对任意 F  X ''' ，定义 f  X ' ：若 x  X ， f ( x)  F ( J o ( x)) ，对任意 x  X ， ( J1 ( f ))( J o ( x))  J o ( x)( f )  f ( x)  F ( J o ( x)) 因'' ，因此 J则存在 F  X ''' ， F 在 J ( X ) 上恒为零， F  1 ， J (X ) X ' 使而但 ' ( X )  X '' ， 1 o 有1J o ，X’到 X’’’的自然的等距同构映射为 J 1 ，我们要证明 J o ( x)  X '' 的充要条件(f)F，，这就证明了d  A x, A x   a N d  x , xn '，则必有 N ，使 aN  1 ，这样对任意一'x, x '  XJo ( X )  X而J 必oJ1 ( X ')  X，''' ，反之，若 J对任1( X ')  Xx X 这样由压缩映射原理， AN 有不动点 x* ，即 Ax  AN x* ，x1是 A 的任意不动点，即，若 *x  x' ，则''' ，，，由于AN Ax*  AAN x*  Ax* ， Ax* 也是 AN 的不动点， AN 的不动点是唯一的，因此*f X 'o使J1 ( f )  F1意x*  Ax* 即 xx*  x1是 A 的不动点。若，这样Ax1  x1，于是f ( x)  J o ( X )( f )  ( J1 ( f ))( J o ( x))  F ( J o ( x))  0 这样 f  0 ，但 J1 f  F  1 矛盾，因此必有 J 8.2.求AN x1  AN 1 x1  ...  A x 1  x 1因此x1N N 也是 A 的不动点，由于 A 的不动点是唯一的，c  1,1f ( x) 1( X )  X '' 。#o 1上线性泛函f ( x)   x(t )dt   x(t )dt1oo，即 A 的不动点也是唯一的o的范数。设解：由1x(t )dt   x(t )dt   x(t ) dt   x(t ) dt  2 xo 1 o1f 219. 设 A 从完备度量空间 X 到 X 中映射，若在开球，则U ( xo r )(r  0) 适合上连续，并d ( Ax, Ax )   d ( x, x ),0    1' '又 A 在闭球S ( xo r )  {x d ( x, xo )  r}x(t )  { 1 ntt   1 ,1  n  t   1,  1  n  t   1 , 1   n n且证则d ( xo Axo )   (1   )r明n，证明 A 在：n 1S ( xo r )设中有不动点。xn  An xo n  1,x(t )  c  1,1o 1 n o且xn  1　n  1, 2...d ( xn 1 xn )  d ( A xo A xo )则2f ( xn )  o1xn ( t ) d  t1o1 n )  x )  2 (1 n ) 1 ( t d t  n ( t dt n(n t ) t2 (1 1 ) 1  1  2 1 d    n 2n 2n n  d ( An 1 xo , An 2 xo )   n 1d ( Axo , xo )   n (1   )r  N  mn r 这样若且任给d(nn 1x  )x m是1 nn2(d西 xn ,列1mx )设2 n( dm, n  Nn 0 存在x ,。N 使有x)1 因此因.1 f  f ( xn )  2  n 令所以*n f 2所以f210.10.设 X 是内积空间， X 是它的共轭空间， F:fz表示 X 上线性泛函f z ( x)  x, z   (1   )r     xn n1若 X 到的映射 n 1(1   )r  ...   (1   )r   n 1r   N r  。z  fz是一一到上的映射，则 X 是 Hilbert 空间。# n n 1证明：设{z }中柯西列。因设nsup zn  M  X * 是完备的，因此有 x  X 使 f zn  x (n  ) 设 x  f z 其中 z  X 。 2 zn  z  zn  z , zn  z  ( f zn  f z )( zn  z )* ***是 X 中柯西列，由( f zn  f zm )( x)   x, zn  zm   x zn  zm可知{ f zn }d ( xn xo )  d ( xn , xn 1 )  d ( xn 1 , xn 2 )  ....  d ( x1 , xo )   n (1   )r    (1   ) r  r  n1 (1   )r  ...   (1   )rn i柯xn  x* (n  )是X*xn  ( US ( xo , r )上连续Ax*  lim Axn  lim xn 1  x*n  n n, xi 1因此o)x这样x ( xS  l i, m x o* n n) ro r , S x(因为)A在即x* 是 A 在'S ( xo , r )中不动点。则 zn  z f zn  f z  (M  zn ) f zn  f z  0,(n  )A 的不动点不一定是唯一的，例如 X 是离散的度量空间，是 X 中的恒等映射， A 在开球这就证明了 X 是完备的内积空间，即为 Hilbert 空间内只有U ( xo ,1)xo10.14.设 H 是复 Hilbert 空间，M 为 H 的闭子空间，则 M 为 H 上某个非连续线性泛函的零空间的充要条件是是一维子空间。# 证明：若 M 是非零连续线性泛函 f 的零空间。则存在d ( xo Axo )  0 一点，自然满足条件 d ( Ax, Ax )   d ( x, x ) 而也满足'd ( xo Axo )   (1  ) r，但 X 中每一点皆为 A 的不动点。y  x, y  0 ，对每个 x  M 使   ，即  M  span{ y} 是一维子空间。反之，若 M 是由 f ( x)  x, y  0 ，因此 M  { y}M，所以 M 是非零连续性泛函 f 的零空间。#5.证明：内积空间 X 中两个向量 x,y 垂直的充要条件是对一切数 a，成立 ~ 若 x  y ，则对任意复数 a 有2x  ay  x证明：x  ay  x, x   a  x, y  a  y, x 2非零元 y 生成的一维子空间，令即 x  ( M  ) 7.22 设f ( x)  x, y  则 f ( x)  0 的充要条件为 x  y ，x   x1 , x2 ...xn ...是一列元素，其中 a  y, y   x  a22x1 , x2 ...y  x x  ay  x x  ay  x 因此。若对一切数 a，不妨设 a  x, y  2 2 2 2 2 2 x  ay  x  a y  a  x, y   a  x, y   x 2 y y0 令则由得2 21是一列 bananch 空间，1 4 y4 x, y 2y 21 2 y2 x, y  21 2 y2 x, y   02即4  x, y    x, y 22可得  x, y  0 即 x  yxn  X n , n  1, 2 . . . 并且 n 1 X 中引入线性运算，若令xn  这种元素列的全体记成 X，类似通常数列的加法和数乘。在p 1 p12.设 T 是 hilbert 空间 X 中有界线性算子证明:若 Tx  x 则T 1{x / Tx  x}  {x / T * x  x} ，证明2xn  ( xn )n 1x2 Tx, x  x, T * x  x T * x  x**证明：当 p  1 时，X 是 bananch 空间。证明：X 显然是因此 x, T * x   x T * x*，这样这样线性空间。先证 X 是赋范线性空间（1）若( xnn 1  p 1x   x1 , x2 ...  X 1T *x与x 线性相关。设 T x   x 由  x, T x  x, x  可得   1 即 Txx显然xn  0若 xn  0 则，，则* * {x / T x x} { x / T x x  { x / *T   } xx { x/ T 即} x / Tx  x}  {x / T * x  x} 。 } x x {)p  0即对任意 n， n 1xn  0p 1 p于是 n 1xn  0p 1 p从而 x  0 （2）若（3）若x   x1 , x2 ...  X 116.证明：A 是实内积空间 X 上的自伴算子时，A=0 的充要条件为对所有x X，成立  (, ) x  (  xn )   ( xn )   xx   x1 , x2 ...  X1 y  ( y1 , y2 ...)  X 1x  y   xn  ynn 1  Ax, x  0 。证明： A=0 时，则对任意 x  X ，有  Ax, x  0 ，若任意，对任意 x X  Ax, x  0 ,  Ax, y  1/ 4{ A( x  y), x  y    A( x  y), x  y }  0 ，由于 y 的任意性 x, y  Xp1 p ( xnn 1p) p  (  ynn 11p1)p  x  y~Ax  0 ，又由 x 的任意性 A=0。#{x i } 。再证 X 是完备的，设2.设 X 时赋范线性空间，Z 是 X 的线性子空间， Ax  0 又 d ( x , Z )  0 证明存在 o 条件（1）当 x  Z 时，证明：记（2） f ( x )  d ( x , Z ) （3） f  1 f ( x)  0 ； o o ，在 Mf  X ' ，满足是 X 中柯西列，其中( {xi }   x1(i ) , x2i ) ... , i  1, 2... ~p 1 p对  0 若 io 使当 i, j  io 时( {xni ) }j( p )x i  y i  1即~~( ( ( xni )  xn j ) )   n 1M  { xo  y /   C , y  Z }上定义泛函于是对每一个固定的 n, 由于得 ~( xn 1  (i ) n是 Xn 中的柯西列，设因此对任意 K，( xni )  xn , (i  )( ( xni )  x n 1 k p 1 ( j) p np ( xni )  xn令令x   x1 , x2 ... xn)1 p) j 因此n 1kp ( xni )  xn  p, p 1再令~ ~k  xo  y  MfoM（1）当 y  Z 时 f ( y)  0 ，（2） f o : f o ( xo  y)   d ( xo , Z ) ，则以下三条件成立： o （3） f o 在 M 上有界，且 f  1 。其中（3）可以这样证明，若 f ( x o )  d ( xo , Z ) o M ，则f o ( xo  y)   d( o , Z)  xoxy    /ox所y以得 1 ，又对任意 y  Z ，fo ( xo )  fo ( xo  y)  fo xo  y由 y 的任意性，可得到n 1  p  , p  1px i  x x从  xn  是而x  xi  ( xi  x)  X 且由f o ( xo )  f o d ( xo , Z ) ，又 f o ( xo )  d ( xo , Z ) ，这就证明了 f o M延拓到 X 记为 f，则 f 仍满足（1）（2）（3）# 1 设 1 ，把的连续性( (  xni )  xn n 1)p 1~知 {x i } 按 X 的范数收敛于 x，综合所知 X 是 banach 空间。 x 中柯西点列，对 1>0 存在 N，使当则对任意 xn 是内积空间 X 中的点列，若证明xn  x (n  )证明：且对一切 yx 有2 xn , y  x, y  (n  )2xn  x(n  )22xn  x  x  xn , x  xn 214.证明柯西点列是有界点列。证明：设n, m  N时，d  xn , xm   1，令M  m a x d  xi xN   1 , 1i  N x   xn , x    x, xn   xn因此 xn   x, x    x, x   xn 0, (n  )xn有xn  x(n  )#

泛函分析课后习题答案

1 ) 中必有 2n 1 1 1 某 U ( xk , ) ，且 U ( xk , ) Ox 。。事实上，若 y U ( xk , ) ，则 2n 2n 2n 1 1 1 1 d ( y , x ) d ( y , xk ) d ( xk , x ) 所以 y U ( xk , ) Ox 。 2n 2n n 2n 1 这样我们就证明了对任意 x X ，存在 k，n 使 x U ( xk , ) 且 2n 1 1 存在 U ( xk , ) O 任取覆盖 U ( xk , ) 的 O，记为 Ok ,n 是 2n 2n

f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) h ( r ) (t ) g ( r ) (t ) 1 max r a t b 1 f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) 1 h ( r ) (t ) g ( r ) (t ) r 0 2

f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) h ( r ) (t ) g ( r ) (t ) 1 1 r max r max a t b 1 f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) a t b 1 h ( r ) (t ) g ( r ) (t ) r 0 2 r 0 2
2 2

则 E O, F G, 且 O G ，事实上，若 O G ，则有

泛函分析试卷与答案

【篇一：泛函分析习题参考答案】

证明：显然

为空间

上的距离，试证：

~d(y,x)

也是xd(y,x)?

1?d(y,x)

上的距离。

d(x,y)?0,并且d(x,y)?0

d(x,y)0xy。

~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)d(x,y)；

1?d(y,x)1?d(x,y)t1?1?1?t1?t

的单调增加性及

再者，

最后，由

d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得

~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)

1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)

~~d(x,z)d(z,y)

d(x,z)?d(z,y)。

1?d(x,z)1?d(z,y)

、设

二

p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),?)?lp，n?1,2,?，x?(?1,?,?i,?)?lp，则n??时，

p??

d(xn,x)i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?；

(2)0，

存在

n?0，使得

i?n?1

i(n)

对任何自然数

n成立。

(n)(n)

必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?。 i1

由

x?(?1,?,?i,?)?l

。

可知，

，存在

n1?0

，使得

i?n1?1

p?(n)

ii?(p?i?1

i(p

，并且

n?n1

时，

由此可得，

i?n1?1

i(n)

pppp

i(n)??ii????p对n?n1成立。 i?n1?1

i?n1?1

对于

n?1,2,?n1，存在n2?0，

泛函分析习题及参考答案

一、在2

R 中定义如下三种距离：2

1212(,),(,)x x x y y y R ==∈，

1(,)d x y =21122(,)max{,}d x y x y x y =−−，

31122(,)d x y x y x y =−+−

，试证：212d d ≤≤

3132

d d d ≤≤，2322d d d ≤≤，从而这三种距离诱导出的极限是等价的。

二、设),(y x d 为空间X 上的距离，试证：)

,(1)

,(),(~

x y d x y d x y d +=

也是X 上的距离。

证明：显然,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =⇔=⇔=0),(0),(~

。

再者，),(~)

,(1)

,(),(1),(),(~

y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=

；

最后，由

t t +−

=+11

11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 )

,(),(1)

,(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++

++=+++≤+= ),(~),(~)

,(1)

,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤

。

三、设1p ≥，1()

()

(,,,)i n n p

n x l ξξ=∈ ， ,2,1=n ，1(,,,)p

泛函分析习题及参考答案

p p
En
∫x
n
− x dt +
p
Fn
∫x
n
− x dt 。此时，
p
1 1 ⎡ ⎤ p p p p p p x x dt ( x dt ) ( x dt ) − ≤ + ⎢ ⎥ ， ∫ x n − x dt < (b − a ) ⋅ ε 。 n n ∫ ∫ ∫ ⎢ En ⎥ Fn En En ⎣ ⎦
p
四、在 L [ a, b] ( p ≥ 1) 上定义距离： d ( x, y ) =
p
(∫
b
a
x(t ) − y (t ) dt
p
)
1 p
，则在此距离诱导的
极限意义下， x n (t ) 收敛于 x(t ) 的充要条件为 (1) x n (t ) 依测度收敛于 x(t ) ； (2) {x n (t )} 在
~
d ( y, x) 也是 X 上的距离。 1 + d ( y, x)
证明：显然 d ( x, y ) ≥ 0, 并且 d ( x, y ) = 0 ⇔ d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y 。再者， d ( y, x) =
~
~
~
~ d ( y, x) d ( x, y ) = = d ( x, y ) ； 1 + d ( y , x ) 1 + d ( x, y )

泛函分析答案

泛函分析答案：

1、所有元素均为0的n ×n 矩阵

2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λ

x ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。

3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。

4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ

和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。

5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：

（1）非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x)

（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：

设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }

d 2(x,y)=(

||n

i x y

=-∑)1/2

d 1(x,y)=1

||n

i i i x y =-∑

d p (x,y) = (

||n

p i

i x y

=-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n

x y ≤≤-

6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)→0(n →∞)，这时记作

泛函分析答案(完整版)

}{ .1的极限是唯一的中的收敛列证明距离空间n x X *.

** 0*)**,( )( 0*)*,(*),(*)**,(0)( *** x x x x n x x x x x x n x x x x n n n n ==∞→→+≤≤∞→→→，即所以，则

，设ρρρρ第七章距离空间、赋范线性空间

* }{* }{ .2x x X x x X n n 的任一子列收敛于收敛于中的序列试证距离空间⇔∈.

* 0*),( 0*),(}{}{)( *x x x x x x x x n x x k

k n n n n n n →→→∞→→，所以，故的任一子列，依条件，

是，设ρρ.

*}{.*}{*),( }{}{*),(0*}{*}{0

00x x x x x x x x x x N n N x x x x n n n n n n n n k k k

收敛于此与假设矛盾，故不收敛于显然使

的一个子列，于是可选取，使

，都存在，使对任意的自然数则必存在，不收敛于，如果的任一子列收敛于反之，设ερερε≥≥>>3

),(),(|),(),(| )ii ()

,(|),(),(| )i ( .3w z y x w y z x y x z y z x X w z y x ρρρρρρρ+≤−≤−：

中的任意四个点，证明是距离空间、、、设)

,(|),(),(|)2()1()2( ),(),(),( ),(),(),()1( ),(),(),( ),(),(),( )i (y x z y z x y x z x z y z x x y z y y x z y z x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρ≤−≤−+≤≤−+≤即得：、结合得再由得由

泛函分析习题标准答案

第二章度量空间

作业题答案提示 1、

试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-

能定义度量吗？

答：不能，因为三角不等式不成立。如取

则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、

试证明：（1）()1

,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x y

ρ-=

+-在R 上都定

义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。注意到

22x y x z z y x z z y ⎛⎫

-≤-+-≤-+- ⎪

⎝⎭

故有1

11222

x y x z z y -≤-+-

（2）仅证明三角不等式易证函数()1x

x x

ϕ=+在R +上是单调增加的，所

以

有

()()

a b a b ϕϕ+≤+,

从而有

1111a b a b a b

a b a b

++≤

≤+++

令,,x y z R ∀∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x

z x

y z

---≤

+-+-+-

4.试证明在[]b a C ,1

上，)12.3.2()()(),(⎰-=b

a dt t y t x y x ρ

定义了度量。

证：（1）0)()(0),(≡-⇔=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。

[])

,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt

t y t z dt t z t x dt

t y t x y x b

泛函分析答案

泛函分析题1_3列紧集p19

1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对∀ε > 0，存在A的列紧的ε网．

证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理，

∀ε > 0，存在A的有限ε网N．

而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N．

(2) 若∀ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B．

因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C．

因C ⊆B ⊆A，故C为A的有限ε网．

因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的．

1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界．

证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数．

(1) 若f无上界，则∀n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n．

因D是紧集，故D是自列紧的．

所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)．

由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)．

但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)，

所以f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾．

故f有上界．同理，故f有下界．

(2) 设M = sup x∈D f(x)，则∀n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n．

{y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)．

因此f ( y0 ) ≥M．

而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M．

所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界．

泛函分析试题及解答

x = y =1
z =1
于是有 φ a 2 φ 。
3
十三
∞
X 是 B 空间，xn ∈ X，若对 ∀f ∈ X∗，都有 | f (xn) |p< +∞,
n=1
(1
∞
p < +∞)，则存在 M > 0，使得 (
|
f
(xn)
|p)
1 p
f ·M 。
n=1
向量 (f (x1), f (x2), . . .) ∈ lp，于是存在线性算子 T : X∗ −→ lp ; f −→ (f (x1), f (x2), . . .)。这样，只需证明 T 连续和闭就可以了，而这两点都可以用概念直接验证。
设 xn = Cn · e + yn，要证 x = C · e + y，y ∈ X0。
d(xn, xm) = xn − xm = (Cn − Cm)e + (yn − ym)
=| Cn − Cm | ·
e
+
yn Cn
− −
ym Cm
d | Cn − Cm |
其中 d = d( e, X0) > 0。所以 | Cn − Cm |−→ 0。Cn −→ C，yn −→ y ∈ X0（ X0 闭）。
证
(
d dx
)n
也是

《泛函分析》课后习题答案(张恭庆)

x1, x2
max x1 1, x2 2
其中 1 和
2 分别是 X 1 和 X 2 的范数，求证：如果
X 1, X 2 是B空间，那末 X 也是B空间.
证明设 x n 是 X 中的基本列.则
xn
xm
0 n, m
x
n 1
x
m 1
1
0 n, m
x
n 2
x
m 2
2
0 n, m
因为 X 1 是 B 空间,所以 x1
|AB |2
2 . |AB |3 max |1 0|, |0 1|
1.
|AB |4
2
1 4
.
1.4.2 C 0, 1 表示 0, 1 上连续且有界的函数 x t 全体．
对x
C 0, 1 ，令 x
sup|x t |.
0t1
求证：
(1)
是 C 0, 1 空间上的范数；
(2) l 与 C 0, 1 的一个子空间是等距同构的．
解 x C 0, 1 ,
x
x1 ,x
1 2
,
,x
1 n
,
l
1
x
反之,
sup|x
1 n
|
x.
n1
1, 2, , n,
l,
将点列 1, 1 , 得到一个函数

泛函分析习题参考答案

一、设)

,(y x d 为空间

X 上的距离，试证：)

,(1)

,(),(~x y d x y d x y d +=

也是X 上的距离。证明：显然

,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =⇔=⇔=0),(0),(~

。

再者，

),(~)

,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=；

最后，由

t t +-

=+11

11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 )

,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++

++=+++≤+=

),(~),(~)

,(1)

,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤

。

二

、设

1p ≥，1()()(,

,,)i n n p n x l ξξ=∈， ,2,1=n ，1(,

,,)p

i x l ξξ=∈，则

n →∞时，

1()1(,)0p

p n n i i i d x x ξξ∞

=⎛

⎫=-→ ⎪⎝⎭

∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,

i =；

)2(0ε∀>，

存在

0N >，使得

()1

n i i N ξε∞

=+<∑

对任何自然数n 成立。