难点攻关 抛物线和平行四边形
中考数学 精讲篇 中考压轴题重难点突破七 二次函数与几何综合题 类型四
7 综上所述，点 G 的坐标为1，2或(1，－3)或(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
【思路点拨】 要使以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，只需△BCG 是直角三角形即 可，可分为①∠BCG＝90°；②∠CBG＝90°；③∠CGB＝90°三种情况， 分别利用勾股定理列方程即可求解．
∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3，
设点 P(x，－x2－2x＋3)，则点 H(x，x＋3)， S△BPC＝12PH×OB＝12×(－x2－2x＋3－x－3)×3＝－32x2－92x， ∵－32<0，故 S 有最大值，即四边形 PBAC 的面积有最大值， 此时 x＝－32，代入 y＝－x2－2x＋3，得 y＝145，∴P－32，145.
a－b－4＝0， 解：(1)由题意得16a＋4b－4＝0，
a＝1， 解得b＝－3.
故抛物线的解析式为 y＝x2－3x－4.
(2)由抛物线的解析式知，点 C(0，－4)，
设点 P 的坐标为(m，m2－3m－4)，
设直线 PB 的解析式为 y＝kx＋t，
m2－3m－4＝km＋t， k＝m＋1，
则0＝4k＋t，
∵－2＜0， ∴当 m＝2 时，△PBQ 面积有最大值，最大值为 8， 此时点 P 的坐标为(2，－6)．
中考数学抛物线与平行四边形题+答案
1、如图，抛物线y=x 2
+bx+c 的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形； （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，
解得：b=2，c=﹣3，
则解析式为：y=x 2
+2x ﹣3；
（2）由题意结合图形
则解析式为：y=x 2
+2x ﹣3， 解得x=1或x=﹣3， 由题意点A （﹣3，0）， ∴AC=
，CD=，AD=，
由AC 2
+CD 2
=AD 2
，
所以△ACD 为直角三角形； (3)123(1
,4),(3,12),(5,12)F F F --- 2、如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0），腰BC 所在直线的解析式为y ＝－14x ＋3．
（1）求顶点B 的坐标；
（2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点E ，点O 关于直线l 的对称点为O ′，连接CO ′并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当CD ＝5时，求直线l 的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P 是直线l 上的动点，点Q 是直线OD 上的动点，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出点P 的坐标；如果不能，说明理由．
解：（1）∵直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0）
难点攻关 抛物线和平行四边形
难点攻关 抛物线与平行四边形
近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，
1. 在平面直角坐标系xoy 中，点C ，B 的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO 是平行四边形，抛物线过
A ，
B ，
C 三点，与x 轴交于另一点
D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长
度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t
为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？
(3)当t 为何值时，以P ，B ，O 为顶点的三角形与以点Q ，B ，O 为顶点的三角形相似？
解：(1)∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．
∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点B(0,2)，∴c=2．
由题意，有⎩⎨⎧16a−4b+2＝016a+4b+2＝2 解得: ⎩⎪⎨⎪⎧a=－116b=14
∴所求抛物线的解析式为y ＝−116x 2+ 14x+2；
(2)将抛物线的解析式配方，得y ＝−116(x−2)2+214
∴抛物线的对称轴为x=2．
当y=0时，x 1=-4，x 2=8
∴D(8，0)，E(2，2)，F(2，0)．
欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP=QE ，BO=EF ．
∴△POB ≌△QEF
∴BP=FQ ．
∴t=6-3t ，即t=32
(3)欲使以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似，
难点攻关 抛物线与平行四边形【含答案】
难点攻关 抛物线与平行四边形
近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，
1. 在平面直角坐标系xoy 中，点C ，B 的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO 是平行四边形，抛物线过A ，B ，C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q
从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同
时停止．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t
为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？
(3)当t 为何值时，以P ，B ，O 为顶点的三角形与以点Q ，B ，O 为顶点的三角形相似？ 解：(1)∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．
∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点B(0,2)，∴c=2．
由题意，有⎩⎨⎧16a−4b+2＝0
16a+4b+2＝2 解得: ⎪⎨⎪⎧a=－1
16
b=14
∴⎩⎪⎨⎪⎧a−b+c ＝025a+5b+c ＝0c ＝−52 解得 : ⎩⎨⎧a=12b=－2c=－52
中考300压轴题第2部分抛物线平行四边形
1．（09•江西）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
2．（12•东营）已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；
（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．
3．（12•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（15•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
中考数学满分之路(七)—抛物线与平行四边形、特殊的平行四边形
中考数学满分之路（七）
——抛物线与平行四边形、特殊的平行四边形 一、抛物线与平行四边形 1. 中点坐标公式
在平面直角坐标系xOy 中，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点M 为线段AB 的中点，则1212
(
,)22
x x y y M ++.
2. 平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点M ，则M 的坐标可以表示为
(
,)22A C A C x x y y M ++，也可以表示为(,)22
B D B D
x x y y M ++. 若四边形ABCD 为平行四边形，则A C B D x x x x +=+且A C B D y y y y +=+； 若A C B D x x x x +=+且A C B D y y y y +=+，则四边形ABCD 为平行四边形.
方法技巧 在具体的应用中，一般是已知,,,A B C D x x x x （或,,,A B C D y y y y ）中的三个，根据上述等量关系求出剩下的那一个，再代入相应解析式中，可求出其坐标.
y 2
)
1. 如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C . 点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （14m <<）. 连接AC ，BC ，DB ，DC . （1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的
3
4
时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之平行四边形(含解析)
中考数学抛物线压轴题之平行四边形
1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．
（1）写出线段AC，BC的长度：AC＝，BC＝；
（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A 运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；
（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数综合题 类型四：二次函数与特殊四边形问题
解：设点Q的坐标为(a，b)，过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM 于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K， ∴△BMQ≌△QNF≌△EKB， ∴NF＝KB＝MQ＝|a＋2|，QN＝EK＝BM＝|b|， ∴点F的坐标为 (a－b，a＋b＋2)， 点E的坐标为 (－2－b，a＋2)，
方法2：构造三垂直全等 若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是 等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全 等来求出第3个点，然后再利用平移进一步求出第4个点．
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线AB交于 A，B两点，A1，－92，B(－2，0)，其中点A是抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶 点，交y轴于点D. (1)求二次函数的解析式； 【分层分析】设抛物线为顶点式，用待定系数法求得函数解析式． 解：二次函数的解析式为y＝12x2－x－4.
(1)求抛物线的函数解析式； (2)把抛物线 y＝x2＋bx＋c 平移，使得新抛物线的顶点 为点 P(2，－4)．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对 称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点 的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个 点 M 的坐标的过程写出来．
解：(1)该抛物线的函数解析式为y＝x2－72x－1. (2)满足条件的点M的坐标为 (2，－4)，(6，12)，(－2，12)． 由题意可知，平移后抛物线的函数解析式为 y＝x2－4x， 对称轴为直线x＝2，如答图．
抛物线与几何图形相结合的存在性问题
C B O
A
Q
G
H
Q 4
C B
O A Q 3
M 4
M 3
M 2M 1O
C
B
A x
y
Q C B
O A B
A C(M 1)
F 3
F 2
F 1
O
E
M 2
M 3
y
x
抛物线与几何图形相结合的存在性问题
学习目标：经历探索抛物线与常见几何图形相结合的有关问题的过程，体会知识间的相互联系，运用数形结合、转化、分类讨论等思想，综合运用所学的知识，提高分析和解决问题的能力。复习过程：
已知抛物线的解析式为：y x2 2x 3，现在以此抛物线为原型，结合常见的几何图形，探索一些存在性的问题.
一、直角三角形 探究1、抛物线上是否存在一点Q ，使△QBC 为直角三角形？ 解析：（1）如图1，当∠Q 1BC=90°时，易得Q 1的坐标为(-２，５)；（2）如图2，当∠BCQ 2=90°时，易得Ｑ２的坐标为(1，-4) ；（3）如图3，当∠BQ 3C=90°时，设Q 3 (a ，a 2-2a -3)，由△Q 3HC ∽△BGQ 3 ，有Q 3H BG = HC GQ 3，a - (a 2
-2a -3) = -3- (a 2-2a -3)3- a ，得a 2-a -1 = 0，∴解之得，a 1 =1-5 2 ，a 2 = 1＋5 2 ，即 Q 3 (1＋5 2 ，-5-5 2 ) ，Q 4(1-5 2 ，-5＋5
2 ).
图1 图2 图3 图4 图5 二、等腰三角形
探究2、在y 轴上是否存在一点M ，使△MAC 为等腰三角形.
解析：由勾股定理得AC = 10，分三种情况考虑. （1）当AC = AM 时，易得M 1(0，3). （2)当CA = CM 时，易得M 2(0，-3＋10) ，M 3(0，-3 -10).（3）当MA = MC 时，作线段AC 的中垂线交y 轴于点M 4，如图4，设M 4(0，a )，则由勾股定理得，12＋(-a )2 = (a ＋3)2 ，解得a = -
抛物线与平行四边形存在性问题解题策略
抛物线与平行四边形存在性问题解题策略
1．（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点
A（α，0），B（β，0），且=﹣2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y 轴的交点为C，顶点为D，
点C 关于l 的对称点为E，是否存在x 轴上的点M，y 轴上
的点N，使四边形DNME 的周长最小？若存在，请画出图
形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请
说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D、E、P、
Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标．
2．（2015•重庆B）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴
交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点
D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与y 轴相交于
点 E.
（1）求直线 AD 的解析式；
（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作
F G⊥A D于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求△FGH
的周长的最大值；
（3）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐
标平面内一点，以 A，M，P，Q 为顶点的四边形是 AM 为边的
矩形，若点 T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点 T 的坐标.
3.（2014连云港））已知二次函数y=x2+bx+c，其
图像抛物线交x轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线l 过点 C，且交抛物线于另一点 E（点E 不与点 A、
B 重合）.
(1)求此二次函数关系式；
中考数学压轴题抛物线与动点精选
动点与抛物线专题复习
一、平行四边形与抛物线
1、（2012•钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；
（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物
线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴是直线x=﹣．）
2、（2012•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．
（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
3.（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
2020年中考数学压轴题专题之抛物线上的特殊平行四边形问题探究
抛物线上的特殊平行四边形问题探究
专题导入
导图：给出两点确定平行四边形关系如下图：
导例如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
图1 图2
思路点拨
1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．
2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值O A．
3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．
答案：(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，
求得12a =
．所以抛物线的解析式为2
11(4)(2)422
y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么
2211
(4)(4)222
MD m m m m m =---+-=--．所以
21
42
MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．
因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．
(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为2
中考压轴题——抛物线平行四边形(含详细答案分析)
中考总复习抛物线之平行四边形题型
1．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
2．已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；
（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．
3．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
中考压轴题分类专题五《抛物线中的四边形》
中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形
基本题型：
一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论： （1）AB 为边时
（2）AB 为对角线时
二、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。
在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直
（2）对角线相等
三、已知AB ，抛物线()02
≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴
上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。
在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等
（2）对角线互相垂直
四、已知AB ，抛物线()02
≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴
上），若四边形ABPQ 为正方形，求点P 坐标。
在四边形ABPQ 为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等
（2）对角线互相垂直
在四边形ABPQ 为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等
五、已知AB ，抛物线()02
≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴
上），若四边形ABPQ 为梯形，求点P 坐标。
分三大类进行讨论： （1）AB 为底时
初中数学_抛物线中的平行四边形教学设计学情分析教材分析课后反思
“抛物线中的平行四边形”教学设计
一、专题分析：
二次函数在初中数学中占有十分重要的地位，以二次函数为载体考察三角形和四边形等几何知识是中考的热点，这节课就是探究抛物线中的平行四边形的存在性问题的解法，利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合中点公式，推导出平行四边形相对顶点横纵坐标之和相等的数学模型，然后利用模型解决抛物线中的平行四边形的存在性问题。把几何问题转化为解方程，数形结合，代几综合考查同学们分析、综合、概括、逻辑推理、几何建模以及探究活动的能力是数学教学的重点。
二、教学目标和要求
本课任务让学生结合平行四边形对角线和抛物线的相关性质解决抛物线中平行四边形的存在性问题。在学生理解平行四边形的对角线互相平分的基础上，根据抛物线中的实际问题情景列出方程组，并解方程组，从而得到符合要求的点。并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。进一步专题化学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生掌握一定的数学模型，更为深刻的理解“数形结合”的重要思想，为学生自己解决问题打下基础。从能力和情感目标上看，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生的主体意识、合作意识和创新意识，发展学生的数学思维。增强学好数学的愿望与信心。
本课重点：利用平行四边形对点公式解决抛物线中的平行四边形的存在性问题。
本课难点：利用平行四边形对点公式解决抛物线中的平行四边形的存在性问题以及对问题结果进行合理取舍。
二、学习者分析
⒈九年级学生的思维处于具体运算阶段向形式运算阶段的过渡时期，这是一个关键时期，需要由类比、归纳方法逐步向演绎方法过渡的教学方法支持。了解平面直角坐标系的有关知识，知道了中点公式，掌握了平行四边形的性质，会解一元一次，一元二次方程，会求代数式的值。
二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有问题详解)
二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练
一、知识准备：
抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形
（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形
特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。
二、例题精析
㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】
例一、（2013河南）如图，抛物线2y x bx c =-++与直线1
22
y x =
+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2
。点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作
PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
【解答】（1）∵直线1
22
y x =
+经过点C ,∴(0,2)C ∵抛物线2
y x bx c =-++经过点(0,2)C ，D 7(3,)2
∴22727
332
2c b b c c =⎧⎧
=⎪
⎪∴⎨⎨=-++⎪⎪=⎩⎩ ∴抛物线的解析式为2
7
22
y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上
∴2
71
(,2),(,2)22
P m m m F m m -+
++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形
① 当03m <
271
2(2)322
PF m m m m m =-+
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难点攻关 抛物线与平行四边形
近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，
1. 在平面直角坐标系xoy 中，点C ，B 的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO 是平行四边形，抛物线过
A ，
B ，
C 三点，与x 轴交于另一点
D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长
度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t
为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？
(3)当t 为何值时，以P ，B ，O 为顶点的三角形与以点Q ，B ，O 为顶点的三角形相似？
解：(1)∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．
∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点B(0,2)，∴c=2．
由题意，有⎩⎨⎧16a−4b+2＝016a+4b+2＝2 解得: ⎩⎪⎨⎪⎧a=－116b=14
∴所求抛物线的解析式为y ＝−116x 2+ 14x+2；
(2)将抛物线的解析式配方，得y ＝−116(x−2)2+214
∴抛物线的对称轴为x=2．
当y=0时，x 1=-4，x 2=8
∴D(8，0)，E(2，2)，F(2，0)．
欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP=QE ，BO=EF ．
∴△POB ≌△QEF
∴BP=FQ ．
∴t=6-3t ，即t=32
(3)欲使以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴△PBO ∽△QOB 或△PBO ∽△BOQ ，
∴BP:OB=OQ:BC 或 BP:OB=BC:OQ
即PB=OQ 或OB 2=PB•QO ．
①若P 、Q 在y 轴的同侧．
当PB=OQ 时，t=8-3t ，∴t=2．
当OB 2=PB•QO 时，t(8-3t)=4，即3t 2-8t+4=0．解得t 1＝2，t 2＝23
②若P 、Q 在y 轴的异侧．
当PB=OQ 时，3t-8=t ， ∴t=4．
当OB 2=PB•QO 时，t(3t-8)=4，即3t 2-8t-4=0．解得t ＝
4±273 ∵0＜t≤4，
∴舍去t=4－273，∴t=4+273
∴当t=2或t=23 或t=4或t=
4+273秒时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似．
【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质和等
腰梯形的性质的运用，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质的运用及数学分类思想的运用．
2. 已知顶点为P 的抛物线C 1的解析式是y=a(x-3)2(a≠0)，且经过点(0，1)．
(1)求a 的值；
(2)如图将抛物线C 1向下平移h (h ＞0)个单位得到抛物线C 2，过点K(0，m 2) (m ＞0)作直线l 平行于x 轴，与
两抛物线从左到右分别相交于A 、B 、C 、D 四点，且A 、C 两点关于y 轴对称．
①点G 在抛物线C 1上，当m 为何值时，四边形APCG 是平行四边形？
②若抛物线C 1的对称轴与直线l 交于点E ，与抛物线C 2交于点F ，试探究：在K
点运动过程中，KC
PF 的值是否会改变？若会，请说明理由；若不会，请求出这
个值．
解：(1)∵抛物线C 1的解析式是y=a(x-3)2(a≠0)，经过点(0，1)，
∴1=a(0-3)2， 解得：a=19
(2)①∵A 、C 两点关于y 轴对称， ∴点K 为AC 的中点，
若四边形APCG 是平行四边形，则必有点K 是PG 的中点，
过点G 作GQ ⊥y 轴于点Q ， 在△GQK 和△POK 中⎩⎨⎧∠GQK ＝∠POK
QK ＝OK ∠QKG ＝∠OKP
∴△GQK ≌△POK(ASA)， ∴GQ=PO=3，KQ=OK=m 2，OQ=2m 2，
∴点G(-3，2m 2)，
∵顶点G 在抛物线C 1上，
∴2m 2=1
9(-3-3)2，
解得：m=±2
又∵m ＞0，
∴m= 2
∴当m= 2 时，四边形APCG 是平行四边形；
②KC PF 的值不会改变；
理由：在抛物线y=19(x-3)2中，令y=m 2，
解得：x=3±3m ，
又∵m ＞0，且点C 在点B 的右侧，
∴C(3+3m ，m 2)，KC=3+3m ，
∵A 、C 两点关于y 轴对称，
∴A(-3-3m ，m 2)，
∵将抛物线C1向下平移h(h ＞0)个单位得到抛物线C2，
∴抛物线C2的解析式为：y=19 (x-3)2-h ，
∴m2=19 (-3-3m-3)2-h ，
解得：h=4m+4，
∴PF=4+4m ，
∴KC PF = 3+3m 4+4m =34
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及全等三角形的判定与性质以及平行四边形的
判定与性质等知识，利用二次函数对称性得出A 点坐标是解题关键．
3. 如图，抛物线经过A(-1，0)，B(5，0)，C(0,-52 )三点．
(Ⅰ)求抛物线的解析式；
(Ⅱ)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标．
(Ⅲ)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边
形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(Ⅰ)设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0)，
∵A(-1，0)，B(5，0)，C(0，-52)三点在抛物线上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a−b+c ＝025a+5b+c ＝0c ＝−52
解得 : ⎩⎨⎧a=12b=－2c=－52 ∴抛物线的解析式为：y=12x 2-2x-52
(Ⅱ)∵抛物线的解析式为：y=12x 2-2x-5
2
∴其对称轴为直线x=-2
连接BC ，如图1所示，
∵B(5，0)，C(0，-52)
∴设直线BC 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴⎩⎨⎧5k+b ＝0b=－52 解得⎩⎪⎨⎪⎧k=－12b=－52， ∴直线BC 的解析式为 y=12x-5
2
当x=2时，y=1－52 =-32
∴P(2，-32)
(Ⅲ)存在点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形．
如图2所示，
①当点N 在x 轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C(0，-52)
∴N 1(4，-52)
②当点N 在x 轴上方时，
如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，