难点攻关 抛物线和平行四边形

难点攻关 抛物线与平行四边形

近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，

1. 在平面直角坐标系xoy 中，点C ，B 的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO 是平行四边形，抛物线过

A ，

B ，

C 三点，与x 轴交于另一点

D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长

度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t

为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？

(3)当t 为何值时，以P ，B ，O 为顶点的三角形与以点Q ，B ，O 为顶点的三角形相似？

解：(1)∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB=4．

∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．

∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点B(0,2)，∴c=2．

由题意，有???16a?4b+2＝016a+4b+2＝2 解得: ?????a=－116b=14

∴所求抛物线的解析式为y ＝?116x 2+ 14x+2；

(2)将抛物线的解析式配方，得y ＝?116(x?2)2+214

∴抛物线的对称轴为x=2．

当y=0时，x 1=-4，x 2=8

∴D(8，0)，E(2，2)，F(2，0)．

欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP=QE ，BO=EF ．

∴△POB ≌△QEF

∴BP=FQ ．

∴t=6-3t ，即t=32

(3)欲使以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似，

∵∠PBO=∠BOQ=90°，

∴△PBO ∽△QOB 或△PBO ∽△BOQ ，

∴BP:OB=OQ:BC 或 BP:OB=BC:OQ

即PB=OQ 或OB 2=PB?QO ．

①若P 、Q 在y 轴的同侧．

当PB=OQ 时，t=8-3t ，∴t=2．

当OB 2=PB?QO 时，t(8-3t)=4，即3t 2-8t+4=0．解得t 1＝2，t 2＝23

②若P 、Q 在y 轴的异侧．

当PB=OQ 时，3t-8=t ， ∴t=4．

当OB 2=PB?QO 时，t(3t-8)=4，即3t 2-8t-4=0．解得t ＝

4±273 ∵0＜t≤4，

∴舍去t=4－273，∴t=4+273

∴当t=2或t=23 或t=4或t=

4+273秒时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似．

【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质和等

腰梯形的性质的运用，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质的运用及数学分类思想的运用．

2. 已知顶点为P 的抛物线C 1的解析式是y=a(x-3)2(a≠0)，且经过点(0，1)．

(1)求a 的值；

(2)如图将抛物线C 1向下平移h (h ＞0)个单位得到抛物线C 2，过点K(0，m 2) (m ＞0)作直线l 平行于x 轴，与

两抛物线从左到右分别相交于A 、B 、C 、D 四点，且A 、C 两点关于y 轴对称．

①点G 在抛物线C 1上，当m 为何值时，四边形APCG 是平行四边形？

②若抛物线C 1的对称轴与直线l 交于点E ，与抛物线C 2交于点F ，试探究：在K

点运动过程中，KC

PF 的值是否会改变？若会，请说明理由；若不会，请求出这

个值．

解：(1)∵抛物线C 1的解析式是y=a(x-3)2(a≠0)，经过点(0，1)，

∴1=a(0-3)2， 解得：a=19

(2)①∵A 、C 两点关于y 轴对称， ∴点K 为AC 的中点，

若四边形APCG 是平行四边形，则必有点K 是PG 的中点，

过点G 作GQ ⊥y 轴于点Q ， 在△GQK 和△POK 中???∠GQK ＝∠POK

QK ＝OK ∠QKG ＝∠OKP

∴△GQK ≌△POK(ASA)， ∴GQ=PO=3，KQ=OK=m 2，OQ=2m 2，

∴点G(-3，2m 2)，

∵顶点G 在抛物线C 1上，

∴2m 2=1

9(-3-3)2，

解得：m=±2

又∵m ＞0，

∴m= 2

∴当m= 2 时，四边形APCG 是平行四边形；

②KC PF 的值不会改变；

理由：在抛物线y=19(x-3)2中，令y=m 2，

解得：x=3±3m ，

又∵m ＞0，且点C 在点B 的右侧，

∴C(3+3m ，m 2)，KC=3+3m ，

∵A 、C 两点关于y 轴对称，

∴A(-3-3m ，m 2)，

∵将抛物线C1向下平移h(h ＞0)个单位得到抛物线C2，

∴抛物线C2的解析式为：y=19 (x-3)2-h ，

∴m2=19 (-3-3m-3)2-h ，

解得：h=4m+4，

∴PF=4+4m ，

∴KC PF = 3+3m 4+4m =34

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及全等三角形的判定与性质以及平行四边形的

判定与性质等知识，利用二次函数对称性得出A 点坐标是解题关键．

3. 如图，抛物线经过A(-1，0)，B(5，0)，C(0,-52 )三点．

(Ⅰ)求抛物线的解析式；

(Ⅱ)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标．

(Ⅲ)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边

形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(Ⅰ)设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0)，

∵A(-1，0)，B(5，0)，C(0，-52)三点在抛物线上，

∴?????a?b+c ＝025a+5b+c ＝0c ＝?52

解得 : ???a=12b=－2c=－52 ∴抛物线的解析式为：y=12x 2-2x-52

(Ⅱ)∵抛物线的解析式为：y=12x 2-2x-5

2

∴其对称轴为直线x=-2

连接BC ，如图1所示，

∵B(5，0)，C(0，-52)

∴设直线BC 的解析式为y=kx+b(k≠0)，

∴???5k+b ＝0b=－52 解得?????k=－12b=－52， ∴直线BC 的解析式为 y=12x-5

2

当x=2时，y=1－52 =-32

∴P(2，-32)

(Ⅲ)存在点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形．

如图2所示，

①当点N 在x 轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C(0，-52)

∴N 1(4，-52)

②当点N 在x 轴上方时，

如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，

在△AN 2D 与△M 2CO 中，???∠N 2AD ＝∠CM 2O

AN 2＝CM 2∠AN 2D ＝∠M 2CO

∴△AN 2D ≌△M 2CO(ASA)， ∴N2D=OC=52 ，即N 2点的纵坐标为5

2

∴12x 2-2x －52 =52

解得x=2+14 或x=2-14

∴N 2（2+14,52），N 3（2-14,52

） 综上所述，符合条件的点N 的坐标为（4，-52 ），（2+14,52），或（2-14,52）

【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的

判定与性质、全等三角形等知识，在解答(3)时要注意进行分类讨论．

4. 如图，抛物线y=-1.25x2+4.25x+1与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x

轴，垂足为点C(3，0)

(1)求直线AB 的函数关系式；

(2)动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x

轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．设点P 移动的时间为t 秒，MN 的

长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；

(3)设在(2)的条件下(不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况)，连接CM ，BN ，当t 为

何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN

是否菱形？请说明理由．

解：(1)∵当x=0时，y=1，∴A(0,1)．

当x=3时，y=-54×32+174×3+1=2.5，∴B(3，2.5)，

设直线AB 的解析式为y=kx+b ，

则：???b=13k+b=2.5，解得：?????b=1k=12 ∴直线AB 的解析式为y=1

2x+1；

(2)∵动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，点P 移动的时间为t 秒， ∴OP=1?t=t ，

∴P(t ，0)(0≤t≤3)，

∵过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，

∴M （t ，12t+1），N （t ，-54t 2+174t+1），

∴s=MN=NP-MP=-54t 2+174t+1-（12t+1）=-54t 2+154t (0≤t≤3)；

(3)由题意，可知当MN=BC 时，四边形BCMN 为平行四边形，

此时，有-54t 2+154t=52

解得t 1=1，t 2=2，

所以当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形．

①当t=1时，MP=32 ，NP=4，故MN=NP-MP=52

又在Rt △MPC 中，MC=MP 2+PC 2 =5

2，故MN=MC ，此时四边形BCMN 为菱形；

②当t=2时，MP=2，NP=92 ，故MN=NP-MP=52，

又在Rt △MPC 中，MC=MP 2+PC 2 =5

故MN≠MC ，此时四边形BCMN 不是菱形．

【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求直线的解析式，一次函数、二次函数图象上

点的坐标特征，路程、速度与时间的关系，平行四边形、菱形的判定，勾股定理等知识，综合性较强，难度适中．

5. 如图，在直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分

别在x 轴、y 轴的正半轴上．抛物线y=-x 2+bx+c 经过点B 、C ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D 、E 分别是AB 、BC 上的动点，且点D 从点A 开始，以1cm/s 的速

度沿AB 向点B 移动，同时点E 从点B 开始，以1cm/s 的速度沿BC 向

点C 移动．运动t 秒(t≤2)后，能否在抛物线上找到一点P ，使得四边形

BEDP 为平行四边形？如果能，请求出t 值和点P 的坐标；如果不能，

请说明理由．

【解答】解：(1)依题意得：B(2，2)，C(0，2)．

把它们代入y=-x 2+bx+c ，得{2

＝?22+2b+c 2=c , 解得 {b=2c=2 所以，该抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+2；

(2)∵四边形BEDP 为平行四边形，

∴BE=PD ，且BE ∥DP ，

∴设E(2-t ，2)，则D(2，t)，P(2+t ，t)．

又∵点P 在抛物线y=-x 2+2x+2上，

∴t=-(2+t)2+2(2+t)+2，

解得：t 1=－3+172 ，t 2=－3－172

(负值，舍去)． 则2+t=1+17

2

故点P 的坐标为(1+172,－3+172) 【点评】本题考查了二次函数综合题．解题时，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，

平行四边形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，还要注意“数形结合”的数学思想的应用．

6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，

B 为线段OA 的中点，直线AD 与经过B 、E 、

C 三点的抛物线交于

F 、

G 两点，与其对称轴交于M ，点P 为线段FG 上一个动点(点P

与F 、G 不重合)，作PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q ．

(1)若经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为y=-x 2+(2b-1)x+c-5，

则b= ，c= (直接填空)

(2)①以P 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形，则

点P 的坐标为 (直接填空)

②若抛物线顶点为N ，又PE+PN 的值最小时，求相应点P 的坐标．

(3)连结QN ，探究四边形PMNQ 的形状：

①能否成为平行四边形？

②能否成为等腰梯形？

若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

解：(1)如图1，∵OA=2，OC=OE=4，B 为线段OA 的中点，

∴B(-1，0)，C(4，0)，E(0，4)．

∴抛物线对称轴为x=32

又 过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为y=-x 2+(2b-1)x+c-5，

∴-2b －12×(?1) =3

2 ，且c-5=4，

解得 b=2，c=9．

故填：2；9；

(2)①设直线AD 的解析式为：y=kx+2(k≠0)．

∵A(-2，0)，

∴0=-2k+2， 解得 k=1，

∴直线AD 的解析式为：y=x+2．

如图1，过点E 作EP ∥x 轴交直线AD 与点P ，则∠PED=90°．

∴把y=4代入y=x+2，得 x=2，

则P(2，4)．

∴ED=EP ．

过点E 作EP′⊥直线AD 于点P′，则∠EP′D=90°．

∴点P′是线段DP 的中点．

∴P′(1，3)．

综上所述，符合条件的点P 的坐标为：(2，4)或(1，3)．

故填：(2，4)或(1，3)；

②如图2，作点N 关于直线AD 的对称点N′，连接EN′，EN′与直线AD 的

交点即为所求的点P ．所以 P(3419,7219 )；

(3)点M 坐标是(32,72），点N 坐标是（32,254)

∴MN=114

设点P 为(x ，x+2)，Q(x ，-x 2+3x+4)，则PQ=-x 2+2x+2

①如图3，若P′Q′NM 是平行四边形形，则P′Q′=MN ，可得x 1=0.5，x 2=1.5

当x 2=1.5时，点P′与点M 重合；当x 1=0.5时，可求得P′M=2，所以平行四边形不存在；

②如图3，能成为等腰梯形，作QH ⊥MN 于点H ，作PJ ⊥MN 于点J ，则NH=MJ ，

则 254-（-x 2+3x+4）=x+2- 72

解得：x=52，

此时点P 的坐标是(52,92)

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛

物线的解析式，平行四边形、等腰梯形的判定．

7. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=c ，AC=b ，BC=a ，抛物线y=ax2+bx-c 与x 轴的一个交点为(m ，

0)．

(1)若四边形ABCD 是正方形，求抛物线y=ax2+bx-c 的对称轴；

(2)若m=1

4c ，ac-4b ＜0，且a ，b ，c 为整数，求四边形ABCD 的面积．

解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB=BC ，AC=2AB ，即b=2a=2c ，

∴抛物线y=ax 2+bx-c 的对称轴为直线x=－b 2a =－22

； (2)∵m=1

4c ，

∴抛物线y=ax2+bx-c 与x 轴的一个交点为(14c ，0)．

把（14c ，0）代入y=ax 2+bx-c 得a?116c 2+14

bc-c=0， ∴ac+4b-16=0，

∴ac=16-4b ，

∵ac-4b ＜0，

∴16-4b-4b ＜0，解得b ＞2，

又∵ 16-4b=ac>0 ， ∴b<4

∴2＜b ＜4， 而b 为整数，∴b=3，

∴ac=16-4×3=4，

而a 、c 为整数，

∴a=1，c=4(舍去)或a=2，b=2，

即平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=2，AC=3，

∴四边形ABCD 为菱形，

连接BD 交AC 于O ，则OA=OC=32 ，BO=DO ，

在Rt △BOC 中，BO=

22－(32)2=72 ∴BD=2OB=7

∴四边形ABCD 的面积=12×3×7 =32

7 【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判

定与性质；会求抛物线与x 轴的交点坐标．