6.2平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理
3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
(平行线分线段成 比例定理)。
三 练习
!
证明:因为
(平行线分线段成 比例定理)。
因为
已知:如图, , 求证: 。
E
B
A
D
C
F
(平行线分线段 成比例定理)。
设AB=X则BC=8—X
即:
(平行线分线段成 比例定理)。
Excellent handout training template
平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一: 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论
平行线分线段成比例定理数学教案
平行线分线段成比例定理数学教案
标题:平行线分线段成比例定理
一、教学目标:
1. 学生能理解并掌握平行线分线段成比例定理。
2. 学生能运用该定理解决实际问题。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容:
平行线分线段成比例定理:如果一条直线截两条平行线,所得的对应线段成比例。
三、教学步骤:
1. 导入新课
通过复习以前学过的关于平行线的知识,引导学生进入新课的学习。
2. 讲解新课
(1) 介绍平行线分线段成比例定理,并解释其含义。
(2) 利用教具或多媒体进行演示,帮助学生理解这个定理。
(3) 引导学生自己画图,尝试证明这个定理。
3. 巩固练习
设计一些习题让学生做,以此来检验他们是否真正理解了这个定理。
4. 拓展应用
引导学生将这个定理应用到实际生活中,或者解决其他数学问题。
四、教学反思:
在教学过程中,教师应关注学生的学习状态,适时调整教学策略,以达到最佳的教学效果。
同时,教师也应鼓励学生积极思考,培养他们的创新精神和实践能力。
五、作业布置:
设计一些与本节课内容相关的习题作为家庭作业,以便学生巩固所学知识。
六、教学评估:
通过课堂观察、作业批改以及测试等方式,对学生的学习情况进行评估,及时反馈学习效果,为下一步的教学提供参考。
平行线分线段成比例定理
D
E
C B B F C F C AB AC AC BC AB AC BC = = = = AD AE AE BF AD AE DE
推论2.平行于三角形一边, 推论 平行于三角形一边,并且和其他两边 平行于三角形一边 或两边延长线) (或两边延长线)相交的直线所截得的三 角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 角形的三边与原三角形的三边对应成比例
DB EC
AD AE = AB AC
……
平行线分三角形两边成比例定理: 平行线分三角形两边成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边, 平行于三角形一边的直线截其他两边, 所得的对应线段成比例. 所得的对应线段成比例.
A D E
B
C
思 考: 平行于三角形一边 E 的直线截其他两边 A 的延长线,所得的 的延长线, B 对应线段成比例. 对应线段成比例. C D
l1 AP = P B = BP = P P = P C. 1 1 2 2 3 3 ' l1 ' ' DP1' = P' E = EP2 = P2P3' = P3' F 1 l2 ' ' 因为 DE = 2DP EF = 3DP1' 1 l2 ' ' AB DE l3 DE 2DP1 2 = = = ∴ ' BC EF l3 EF 3DP1 3
EF n = DE m源自l1 l2EF + DE n + m = DE m
l3
即
DF m+ n = DE m
∴
DE m = DF m + n
AB BC AC = = 已知:如图, 求证: 。 已知:如图,1 // l2 // l3 , 求证: l DE EF DF 证明: 证明:因为 l1 // l2 // l3 AB DE (平行线分线段成 A D = 比例定理)。 BC EF 比例定理)。 AB BC B E = DE EF F C BC EF (平行线分线段成 因为 = 比例定理)。 AC DF 比例定理)。 BC AC = EF DF 上 下 全
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一,也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前,首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指:如果一条直线被两条平行线截断,那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是:设直线l被两条平行线m和n截断,截线段分别为AB和CD,那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来,我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中,我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中,我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件,构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中,我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质,其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中,我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程,我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中,我们可以看到,数学证明不仅需要逻辑思维,还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程,让我深刻体会到数学的美妙之处,也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨,我们不仅了解了这一定理的基本概念,还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨,我们不仅可以掌握知识,还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
平行线分线段成比例定理
左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线),所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1,∠B =∠B1, ∠C =∠C1, AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时, 则△ABC 与△A1B1C1 相似,
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理:
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB,EF交BC于点F. ∵DE∥BC,EF∥AB,
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形, DE AE AD AE , ∴DE=BF,
BC AC AB AC
平行线分线段成比例定理
l1 // l2 // l3,AB=3 ,DE=2 ,
A B C D E F
l1
l2
l3
2014-8-29
例题4
A A
6
D
4
E
12
9
B C
15
9
B F
D
E
10
G C
A
C
6 4
B
O
3
D
EC=( 6 )
AE=( 8 ) GC=( 6 )
AD=( 14 )
3、如图1:已知L1∥L2∥L3 , AB=3厘米,BC=2厘米,DF=4.5厘米. 则EF=( 1.8 ),DE=( 2.7 ).
( DE) (AC ( DF) ( AC) ( DF)
F
C L3
2、如图L1∥L2∥L3 , DE (1)已知BC=3, 3,则AB=(9) EF (2)已知AB=a,BC=b,EF= c, C ac 则DE=( ) b
A
D
L1
B
E F
L2 L3
例题1
如何来证明?
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其 他直线上截得的线段也相等. 已知:如图,直线 l1∥l2∥l3 AB=BC 求证: A1B1=B1C1 证明:过B1作EF∥AC,分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A
A1 B1
3 1 2 4
E
B C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ,B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2,∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
平行线分线段成比例定理
如图,有一块形状为直角梯形的草地,周围均为水泥 如图,有一块形状为直角梯形的草地, 直道,两个拐角A 处均为直角, 直道,两个拐角A、B处均为直角,草地中间另有一条水泥 直道EF垂直于AB 垂足为E.已知AE EF垂直于AB, E.已知AE长 EB长 DF长 直道EF垂直于AB,垂足为E.已知AE长a米,EB长b米,DF长 c米.求CF.
要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D B C A E F E D D E F C A B B C C E D B A E F A B E D
F D
C A
16 16 8 CF = DE = , BF = 8= . 3 3 3
B
F
C
例2:三角形内角平分线分对边成两线 三角形内角平分线分对边成两线 这两线段和相邻的两边成比例. 段,这两线段和相邻的两边成比例 这两线段和相邻的两边成比例
A
4 3
E
已知: 是 已知:AD是△ABC中∠A的平 中 的平 分线, 分线, BD AB 求证: 求证:DC
课 堂 小 结
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系? 定理有何联系?
A B D E
AB 当 =1 BC AB 当 ≠1 BC
A B
D E
C
F
C
F
结论:后者是前者的一种特殊情况! 结论:后者是前者的一种特殊情况! 平行线分线段成比例定理: 平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 对应线段成比例 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
l4
l5
问题二 如何不通过测量,运用所学知识,快速将一根绳 如何不通过测量,运用所学知识, 子分成两部分,使这两部分之比是2:3? 子分成两部分,使这两部分之比是2:3?
平行线分线段成比例及证明
A
D
l1
AB BC DE EF
因为
BC AC
EF DF
(平行线分线段成 比例定理)。
BE FC
l2
l3
BC AC EF DF
AB BC AC DE EF DF
!
上下全 上下全
已知:如图, l1 //l2 //l3 ,AC=8,DE=2,EF=3,
求AB。
方法一 解:因为 l1 //l2 //l3
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中,有 AB S ABM
BC S BCM
AM S ABM MN S BMN
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴ AB AM
BC MN
亦即 A B B E BC EF
平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例
ADAE D
E
在 AD 中 , CEF/,A A /CD F D A AC EB
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
三 练习
已知:如图,l1
//l2
//l3
,
求证:
AB DE
BC。AC EF DF
证明:因为 l1 //l2 //l3
AB BC
DE EF
(平行线分线段成 比例定理)。
平行线分线段成比例及证明
平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线所得的
A
线段对应成比例 如图
B
已知l1∥l2∥l3
求证 AB DE
Hale Waihona Puke CBC EF或 AB DE
AC DF
或
平行线分线段成比例
• 1 平行线分线段成比例定理: • •
B
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成 比例. m n
A D E
l1 l2
F
C
AB = BC AB = AC BC = AC
上 上 DE l1∥l2 ∥ = l3. 下 下 EF 上 上 DE = 全 全 DF 下 下 EF = 全 全 DF
A D E
l1 l2 l3
B m
E A
D
l1 l2
D
A E
B m • 3 预备定理: n
C
C n
l3
B
C
•
•
平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三 角形的三边与原三角形三边对应成比例. AD DE AE DE // BC, = = . 若 则
AB BC AC
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习:
A
D F B
E G C
平行线分线段成比例定理的例题和练习:
• 例2.已知:如图,若DE∥BC, D在AB上,E在AC 上, AD : DB=2 : 3, BC=20. • 求:DE的长.
D E A
B
C
•
例题6
已知:BE平分∠ABC,DE//BC.
AD=3, DE=2, AC=12, 求:AE的长度
l3
AB BC = DE EF
左 左 = 右 右
三、平行线分线段成比例定理的主要知识点:
• 1 平行线分线段成比例定理: • 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线), 所得的对应线段成比例. AD AE
Q l1 // l 2 // l3 , \ BD = EC , LL
平行线分线段成比例定理推论
平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论引言:平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理,它是解决平面几何问题的重要工具之一。
本文将从该定理的定义、证明以及推论三个方面进行详细介绍。
一、平行线分线段成比例定理的定义平行线分线段成比例定理是指:如果在两条平行直线上,有一条直线与其中一条直线相交,则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分,与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。
二、平行线分线段成比例定理的证明1. 假设有两条平行直线AB和CD,其中有一条直线EF与CD相交于点G。
2. 作AG和BG两条射线,以及CG和DG两条射线。
3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF,∠CGF=∠DGE。
4. 又因为AB和CD是平行的,所以∠AGE+∠CGF=180°,∠BGF+∠DGE=180°。
5. 将以上等式联立得到:∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。
6. 四个角构成一个完整的圆周角,所以∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。
7. 根据圆周角的性质可知:∠AGE/∠CGF=AG/CG,∠BGF/∠DGE=BG/DG。
8. 将以上两个比例式联立得到:AG/BG=CG/DG。
9. 因此,平行线分线段成比例定理得证。
三、平行线分线段成比例定理的推论1. 推论一:如果在两条平行直线上,有一条直线与其中一条直线相交,则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截取的另一条直线长度。
证明:设在两条平行直线AB和CD上,有一条直线EF与CD相交于点G。
则根据平行线分线段成比例定理可知:AG/BG=CG/DG因此,AG/BG+1=CG/DG+1即(AG+BG)/BG=(CG+DG)/DG化简得到:AB/BG=CD/DG因此,AB/BG×BG+CD/DG×DG=AB+CD即AB×BG/BD+CD×DG/BD=AB+CD因此,(BD-BG)×AB/BD+(BD-DG)×CD/BD=AB+CD 即(BD-GB)×AB+(BD-GD)×CD=BD×(AB+CD)因为BG=GD,所以:BD×AB=AD×BGBD×CD=DC×GD将以上式子代入上式得到:AD×BG+(DC-GD)×BG=BD×(AB+CD)AD+DC=BD因此,推论一得证。
初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习
平行线分线段成比例定理一、主要知识点1.平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2.三角形一边平行线的性质定理(即平行线分线段成比例定理的推论):平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.3.三角形一边的平行线的判定定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.4.三角形一边的平行线的性质定理2(即课本例6):平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1.平行线分线段成比例定理,是研究相似的最重和最基本的理论,同时,它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X (X>0),则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ,DB 分析:首先观察证明:∵点评 (1(3 例5 求证分析 例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证:AE=EM分析 要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明:延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8. 图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD , 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移 图(2)各个位置其他条件不变时, ①的结论是否成立,请证明你的判断。
[练习与测试参考解答或提示]1.215;2.18cm ; 3.52,35; 4.9:4; 5.9; 6.10,18; 7.9:1; 8.2; 9.6 10.提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点,则DH AEGD AG =,DHEC BD BC =,又AE=EC ,BD=AB,即可得结论。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.推论:(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边.例1、如下图,如果1l ∥2l ∥3l ,则BC EF AC DF =,AB DE AC DF =,AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A例2、如图,在三角形中,如果DE BC ∥,则AD AE DEAB AC BC==ABCDEED C B A例3、如上图,如果有BCDEAC AE AB AD ==,那么DE ∥ BC 。
练习1、如图,DE BC ∥,且DB AE =,若510AB AC ==,,求AE 的长。
EDCBA2、如图,已知ΔABC 中,DE ∥BC,AD 2=AB •AF,求证∠1=∠23、如图 已知DE AB ∥,2OA OC OE =⋅,求证:AD BC ∥.DOECB AABC DEF124、如图,在Rt△ABC中,090=∠C ,E、F、G分别在边AB、BC、AC上,且四边形EFCG是矩形,若AC=3cm ,BC=4cm ,CG=1cm ,求AE、BF、CF的值.5、已知:如图,AB AD AE ⋅=2,DF∥EC.求证:EF∥BC.6、已知:如图,∠1=∠2,且AM/BM=AN/NC,AM=4cm,AN=3cm,AC=5cm,求MN的长7、已知:如图,点M是平行四边形ABCD的边AB的延长线上的任意一点,DM分别交BC、AC于点N、P,求证: DC/AM =CN/AD8、已知:如图,点M为平行四边形ABCD的边AB的中点,点N在BC上,且BN/CN=1/3,MN交BD于点E.求BE:ED的值.9、如图,点F是平行四边形ABCD的边DC的延长线上一点,AF交BC于点E,AB=5cm,AD=7cm,BE=4cm.求CF的长.10、如图,AD∥EF∥BC,AE∶EB=1∶2,若AD=3cm,BC=6cm,求EF的长11、如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在AB上AE∶EB=1∶3.DE交AC于点F.求AF∶FO∶OC的值12、已知:如图,在△ABC中,MN∥BC,四边形MNPQ是平行四边形,BQ,CP的延长线相交于点D.求证:AD∥NP.13、设点P是△ABC的中线AD上一点,过P作AB,AC的平行线EP,FP分别交BC于点E、F.求证:BE=CF.。
高考数学复习平行线分线段成比例定理
AB ( DE) BC ( EF)
B
BC ( EF) AC ( DF) F AB (BC) ( AC)
DE (EF ) ( DF)
EEF 3,则AB=(9) B
(2)已知AB=a,BC=b,EF= c,
ac
C
则DE=( b )
D L1 E L2
C L3
ll
A
L1
D
E
L2
B
C
L3
l E A B
l
D
L2
L1
C L3
我们们已经得到
若l1//l2 //l3,
AB BC
2, 3
则 DE 2 即: AB DE
EF 3
BC EF
l A B
C
l
D
l1
E
l2
F
l3
除此之外,还有其它对应线段成比例吗?
怎样由 AB DE 得到其它比例式? BC EF
AB DE BC EF
C
BC 4
EF 4
l
D
l1
E
l2
F
l3
你能否利用所学过的相关知识进行说明?
考察 AB 2 BC 3
设线段AB的中点为P1,线 段BC的三等分点为P2、P3. AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C
l A
P1
B
P2 P3
C
l
D
Q1
E
l1 a1
Q2
l2 a1
Q3
F
a3
分别过点P1,P2, P3作直线
∵四边形DEFB为平行四边形, ∴DG=BC.
AD AE DE . AB AC BC
四 课后小结
八年级第九讲平行线分线段成比例定理
若,则,(或;或) 图1-1 定理的证明定理的证明过A 点作AN ∥DF ,交l 2于M ,交l 3于N 点,连接点,连接 BN 、CM(如图(1-2) 图1-2 ∵∴AM=DE MN=EF 在△ACN 中,有. ∵BM ∥CN ∴S △BCM =S △BMN∴ 亦即亦即如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢?呢? “对应”是数学的基本概念,图1-1中,在的条件下,可分别推出如下结论之一:名师堂八年级数学第九讲 平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是研究平行线分线段成比例定理是研究相似三角形相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例,另一方反面也可用辅助平行线转移比例. 1.平行线分线段成比例定理:平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条三条平行线截两条直线直线所得的对应线段成比例. 如图1-1(1) 简称“上比下”等于“上比下”(2) 简称“上比全”等于“上比全”. (3) 简称“下比全”等于“下比全”把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论. 2.平行于三角形一边的平行于三角形一边的直线直线的判定和性质(“A”、“X”型) 主要的基本图形:主要的基本图形:(图1) 平行线分线段成比例分线段成比例 (图2) 图1、2中,有定理:平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线,所得的对应线段成比例(可看作性质1).及其及其逆定理逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定). 以及定理:平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2). 对“A”、“X”型的特征分析:A 点是两相交直线的点是两相交直线的交点交点,D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点,(共5点),其中作比的三点在一条直线上(AD :AB=AE :AC 中,A 、D 、B 在一条直线上,A 、E 、C 在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点,那么过这个点作平行线往往可以一举多得. 注意点:(1)平行线分线段成比例没有逆定理(2)判断平行线的条件中,只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的被判断的 平行线本身不能参与作比例) (3)有些时候我们也要注意图3,DE//BC ,则DF :FE=BG :GC (4)由于平行线分线段成比例定理中,平行线本身没有参与作比例,因此,有关 平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 典型例题典型例题例1.如图2-1 已知△ABC 中AB=AC ,AD ⊥BC ,M 是AD 的中点,CM 交AB 于P ,DN ∥CP 交AB 于N ,若AB=6cm ,求AP 的值例2.(如图2-2)图2-3 已知已知直线直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE. 求证:EF :FD=CA :CB. 图2-2 证法(二) 过E 作EP ∥BA 交CA 的延长线于P 是解决此问题的第二种辅助线作法. 证法(三) 过D 作DN ∥BC 交AB 于N 也可解决此问题. 例3.AM 是△ABC 的中线,P 是AM 上任意一点,BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点. 求证:DE ∥BC. 分析:如图2-3 练习1.选择题:.选择题:(1)如图,AB∥CD∥EF,则在图中下列关系式一定成立的是( ) A.B.C.DA.2 B.3C.DA.B.C.D.(4)在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,且DE∥BC ,,则等于( ) A.B.C.D..(2)如图,△ABC中,G是BC中点,E是AG中点,CE的延长线交AB于D,则EC:DE的值为( ) .(3)如图,在△ABC中,DE∥BC,则下列,则下列比例比例式成立的是( ) (5)如图,△ABC中,DE∥AC交AB、BC于D、E,如果AB=7cm,AC=5cm,AD=3cm,则DE=( ) A.B.C.DA.B.C.D的面积的,求EC的长. .(6)如图,在△ABC中,如果DE∥BC,DF∥AC,则下列,则下列比例比例式中不正确的是( ) .2.已知:如图,△ABC中,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,AD:DB=2:3,AC=a,求DE的长. 3.已知:如图,△ABC为等边三角形,边长为2,DE∥BC,△BCD的面积是△ABC4.如图,△ABC中,AD是中线,点F在AD上,且AF:FD=1:2,BF的延长线交AC于E,求AE:EC=?能力提升例1 已知:如图5-195-19,,AD 为△ABC 的角平分线,求证:AB∶AC=BD∶DC.例2 求证:求证:等腰三角形等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高.即图5-20中,中,AB=AC AB=AC AB=AC,,P 为底边BC 上任意一点,PR⊥AB 于点R ,PQ⊥AC 于点Q ,BH 为腰上的高.求证:证:PQ+PR=BH PQ+PR=BH PQ+PR=BH..分析一 参阅例3的分析一.的分析一.分析二 如图5-225-22,△ACP ,△ACP 和△DCQ 应该全等,反之,只要证明了它们全等,问题就解决了.在这两个三角形中,个三角形中,AC=DC AC=DC AC=DC,∠ACP=60°,∠DCQ=180°-∠A ,∠ACP=60°,∠DCQ=180°-∠A CD CD-∠BCE=180°-60°-60°=60°,从而-∠BCE=180°-60°-60°=60°,从而例3 已知:如图5-215-21,△ABC ,△ABC 中,∠A 为直角.以AB AB,,AC 分别为边向外侧作分别为边向外侧作正方形正方形ABDE ABDE,,ACFG ACFG,线,线段CD CD,,BF 分别与AB AB,,AC 相交于点X ,Y .求证:.求证:AX=AY AX=AY AX=AY..分析一 如图5-215-21((a ),由于AX∥ED,AY∥GF,所以出现了两组成AX∥ED,AY∥GF,所以出现了两组成比例线段比例线段,在这些成比例的线段中,除AX AX,,AY 外,其余的线段都是两个已知正方形的边,因此AX=AY 应该能用应该能用平行线平行线分线段成比例定理得到证明.到证明.分析二 如图5-215-21((b ),连结线段EX EX,,GY GY,得到△CEX ,得到△CEX 和△BGY.这两个三角形的边CE=BG CE=BG,又,又AX 实际等于AY AY,所以△CEX ,所以△CEX 和△BGY 应该有相等的应该有相等的面积面积.反过来,如果证明了这两个三角形面积相等,问题也就解决了.而要证明这两个三角形面积相等,需要进行等积变形.这只要连结线段AD AD,,AF AF,,那么S △ACD =S △CEX ,S △BAF =S △BGY ,所以只需证明S △ACD =S △BAF .但这.但这很简单很简单了.了.例4 已知:如图5-225-22,,C 为线段AB 上任意一点,以AC AC,,BC 分别为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE,线段AE AE,,CD 相交于点P ,线段BD BD,,CE 相交于点Q .求证:.求证:CP=CQ CP=CQ CP=CQ..。
平行线分线段成比例定理
A
A
D L1
B
E L2
F
C L3
DE
B
C
图1
完整版pt
图2
11
(二、提高题:)
C
1、如图:EF∥AB,BF:FC= 5 :4, AC=3厘米,则CE=(4 c m )
EF
2、已知在△ABC中,D3 E∥BC,EF∥DC, A 那么下列结论不成立的是( B )
A
B
A
AD AF
AB AD
B AD AC
AB AE
C AF AD
DF DB
D AF AE
AD AC
3、如图: △ABC中, DE ∥BC,
DF ∥AC,AE=4,EC=2,BC=8,
求线段BF,CF之长.
CF D E 16,BF 816 8.
3
3完整3版pt
F
D
E
B
C
A
D
E
BF
1C2
例2:三角形内角平分线分对边成两线段,
这两线段和相邻的两边成比例.
C
则DE=( b )
完整版pt
D L1 E L2
C L3
D L1 E L2
L3 F
10
3、如图1:已知L1∥L2∥L3 , AB=3厘米,BC=2厘米,DF=4.5厘米. 则EF=( 1.8 ),DE=( 2.7 ).
4、如图2:△ABC中,DE ∥BC,如果
AE :EC=7 :3,则DB :AB=(3:10 )
若AB3,那 么 ,DE ?3
BC4
EF 4
l
D
l1
E
l2
F
l3
你能否利用所学过的相关知识进行说明?
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A C
§6.4 平行线分线段成比例定理
主备:盛莉莉 审核:袁泉
学习目标
会用平行线分线段成比例定理.
学习重点与难点
掌握平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理. 教学过程
一、自主探索
如图,已知321////l l l ,求证:
l 1l 2
l 3
1.平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段对应成比例.
2.平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在一直线上所截得的线段相等,那么在另一直线上所截得的线段也相等。
3.平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理的联系: . 例1 填空:
例2已知:如图321////l l l ,AB=3 ,DE=2 ,EF=4。
求AC 的长。
l 1l 2
l 3
例3已知AD // EF // BC ,AD=15,BC=21,2AE = EB ,求EF 的长
例4 已知:AD 为△ABC 的中线,EF//BC, EF 交AD 于G.求证:EG=FG .
例5 已知:梯形ABCD ,AD//BC, EF//BC ,EF 交BD 于G 交AC 于H.
求证:EG=FH .
EF
DE
BC AB =)
1(DF
DE
AC AB =)
2(DF
EF
AC BC =)
3
(=
==∴BC BE CD AC AD CD AB DE //)1(
==GC
AG BC EF AD 则若////)2(==FB
CF
AE AB ABCD
则已知平行四边形)3(
c
b a
A
B C
例6 如图,△ABC 中,D
是AB 上的点,E 是AC 上的点,延长ED 与射线CB 交于点F . 若AE ∶EC=1∶2,AD ∶BD=3∶2.求FB ∶FC 的值.
随堂演练
1.已知:如图,DE // BC ,EO: OC =3:7,
2.已知:BE 平分∠ABC
,DE//BC. AD=3, DE=2, AC=12,AE 的长度为 .
3. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,DE ⊥BC 于点E. AD= 5, DB=10, CE=
4. DE 的长度为 AC 的长度为 .
4.如图,已 知DE
// FG // BC , AD : DF : BF= 2 : 3 : 4,则DE : FG : BC =
.
5.若a // b// c ,DE=3, EO=2, OF=4, OB=1,
求AB 、OC 的长.
6.已知:EF//BC 求证:
7.如图,已知□ABCD ,E 、F 为BD 的三等分点,CF 交AD 于G ,GE 交BC 于H . (1) 求证:点G 为AD 的中点;
8.已知:□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,点E 在BC 延长线上,OE 交CD 于F. 若AB=8,BC=10,CE=3,求CF 的长度.
F C
=BC ED )1(=AB AE )2(BC EF AD AG =.)2(HC
BH 求A E D B C
O 第1题图 第2题图 第3题图 A B C 第4题图。