6.2平行线分线段成比例定理

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平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例.
平移
B
A
C
A
B
F
E
C
D
M
(D)
E
F
平移
A
B
C
平移
A
B
C
E
D
N
F
D
F
(E)
l2
l3
l1
l3
l
l
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的线段对应成比例.
A
B
C
D
E
l2
A
B
C
D
E
l1
l
l
a
b
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截如果在一直线上所截得的线段相等那么在另一直线上所截得的线段也相等
因为 l1∥l2∥l3 所以
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？
a
b
基本图形：“A”字形
L1
L2
L3
A
B
C
D
E
F
a
b
基本图形：“x”字形
L1
L2
L3
A
B
C
D
E
F
a
b
L1
L2

平行线分线段成比例定理

【重点难点解析】重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定 . 难

点：平行线分线段成比例定理及推论的应用 .

【命题趋势分析】利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质 .

核心知识【基础知识精讲】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平

行线的性质和判定 .

1. 平行线分线段成比例定理

(1) 定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 (2) 定理的基本

图形

若 l 1∥l 2 ∥l 3，则

3. 三角形一边平行线的判定

定理：如果一条直线截三角的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

4. 相似三角形性质定理的预备定理平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例 ( 如图 )

) ，所得的对应线段成比例

2. 平行线分线段成比例推论

(1) 推论：平行于三角形一边的直线截

( 或两边的延长线

△ABC中，若DE∥BC，则＝＝

上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项

典型例题

例 1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于 F.求

AF∶FC.

例 2 如图， D 为△ABC的AC边上一点， E 为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.

例 3 已知：如图，△ ABC 中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？

平行线分线段成比例定理.1比例线段(平行线分三角形三边成比例定理)

B
C
D
E A B
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
练习：已知：如图，AB∥CD∥EF，下列结论正确的是（）
AD BC A. DF CE BC DF B. CE AD CD BC C. EF BE
A B C E D F
CD AD D. EF AF
例1.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,F 在BC上,E在DC的延长线上,且AF：FE=2：3.
A E
O
B
到：全品数学活动，课本第72页第9题
D
C
例 6 如图 22－1－21，D 是△ABC 的边 AB 的中点，F 是 BC 延长线上的一点，连接 DF 交 AC 于点 E. 求证：EA∶EC＝BF∶CF.
图 22－1－21
证明：过点 A 作直线 AM∥DF 交 BF 的延长线于点 M.
由于 D 是 AB 的中点，所以 F 是 BM 的中点，即 BF＝FM. 在△ACM 中，EF∥AM，所以 EA∶EC＝FM∶CF. 因为 FM＝BF，所以 EA∶EC＝BF∶CF.
AD BF 试问: 成立吗?为什么? DB FC
AB AC BC 成立吗? AD AE DE
A
D B
E
F
C
例4.如图，AD是ABC的中线，AE EF FC , AG BE交AD于点G，求的值. AD

高二数学(平行线分线段成比例定理 )

问题探究
两直线一条被组平线所，行截当平线间距离相等，行的不时所得的段截线 AB与 BC、DE与 EF之间什么系？有关
形成结论
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
形成结论
平行线分线段成比例定理推论
平于角一的线其行三形边直截他边或边长）得两（两延线所的对线成例应段比 .
布置作业
1、P ຫໍສະໝຸດ Baidu,3 9 . 2、自学相似三角形的判定与性质
典例讲评
例1、在∆ABC中，DE//BC,DF//AC, AE=4,EC=2,BC=8，求BF和CF的长.
典例讲评
例2、在∆ABC中，DE//BC,EF//CD. 求证：AD是AB和AF的比例中项.
典例讲评
例3、用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
相似三角形的判定及有关性质
复习巩固
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 .
复习巩固
推论1、经过三角形一边的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.
推论2、经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.

平行线分线段成比例结论

平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：

1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉

线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。

2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH

是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。

这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。

平行线分线段成比例定理、作第四比例项

重点和难点：平形线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质和判定一、知识点回顾

1、定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（这个定理其实就是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理）

2、定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。这两个定理以及之前学过的平行线分线段成比例定理及其

推论在应用时都要注意“对应”二字，所写出的比例式对应位

置一定要是对应线段。

例如：BC ∥DE ，不能将比例写成BC

BD AD =

，因为这样比例式的左边和右边是不对应的。

二、例题：

例1、已知线段a 、b 、c ，求作a 、b 、c 的第四比例项。

作法：（1）、任意作∠MON 。

（2）在边OM 上顺次截取OA=a ，

AB=b ，在边ON 上截取OC=c 。

（3）连结AC ，过点B 作BD ∥AC ，

交边ON 于点D

则线段CD 为所求。

例2、如图，F 是□ABCD 的边CD 上一点，连结BF ，并延长BF 交AD 的延长线于点E 。求证：

AE DE =

证明：∵□ABCD

∴CD ∥AB ，AD ∥BC

∴

AE DE =

（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）

同理可得

DC DF

EB EF =

∴DC

DF AE DE = 说明：本题是证明等积式的典型题。要证明

b a =，经常要把它转化为两个等式：f e b a =和d

c f e =。我们通常把f

平行线分线段成比例定理

B C E F

平行线分线段成比例定理

【知识要点】

导入：如图分别与321221,////l l l b a l l l 交于A,B,G ,D,E,F 则

1. 假设21,l l 分别被同一组平行线截得线段;,;,,2121n n b b b a a a 则n n b b b b a a a a ::::::321321 = 或

n b a b a b a b a ==== 33

2211这就是平行线分线段成比例定理。 2. 平行线分线段成比例定理可简记为：

⎪⎭

⎫

⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴

全上全上全下全下下上下上DF DE AC AB DF EF AC BC EF DE BC AB l l l 3

21////

特别地，当A 与D 重点时：当B 与E 重点时：

AF AE

AC AB EF

BC AB ==

DB AC

DB BC AB

== 3.推论： A 型

AE AD AC AB DE AD

BC AB === a b A B

E D 1l 2l

A B 1l

l C

E D 3

l A

F C

l 1

b 1

a 2

b n

a n b

X 型

BE DB BC AB ==

【典型例题】

例1 已知：如图，a//b//c ，时BD=2AB ，EF=3cm,HF=5cm,求FG 和HQ 的长；

例2 如图：在ABC ∆中，DE//BC ，EF//C （1）求证：AF:AD=AD:AB （2）若AF=4,FB=5,求FD 的长。

例3 如图：N 为□ABCD 一边AD 的中点，BM 多AC 于点P ，若AC=6cm,求PC 的值？

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组所截，截得的对应线段的长度成比例。推论:平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

定理的证明？特殊到一般？（A字型）

由此，鸟头模型的另一种证明？漏斗模型的证明？

《平行线分线段成比例定理》说课

一、学生知识状况分析

学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段

长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。

二、教学任务分析

本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及

其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握

平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及

其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发

展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

教学目标：

（一）知识目标

认知并掌控平行线分后线段成比例的基本事实及其推断，并可以有效率应用领域。

（二）能力目标

通过应用领域，培育Arracourt能力和推理小说论证能力。

（三）情感与价值观目标

（1）、培育学生积极主动的思索、动手、观测的能力，并使学生体悟几何科学知识

在生活中的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。

教学难点：平行线分后线段成比例定理及推断的有效率应用领域，平行线分后线段成

比例定理的变式。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情景，导入新课；第二环节：积极探索

辨认出平行线分后线段成比例定理及其推断；第三环节：平行线分后线段成比例定理及其

平行线分线段成比例定理

(2) AC DF
a
A
b
D
l1 l2
F
BC EF (3) AC DF
全下
全
=
B
E
全下全
C
l3
=
平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.
a
b
AB DE (1) BC EF AB DE (2) AC DF BC EF (3) AC DF
C
A B
D
E l2
(1) DE // AB CD AD (2)若AD // EF // BC AG 则 GC
B
A D
E
C
AC CD
BE BC
A E B
D F A B E C
D F G C
(3)已知平行四边形ABCD AB 则 AE CF FB
例题2
已知：如图 EF=4。求: AC。
( DE) ( EF) (BC ) (EF )
BC ( EF) AC ( DF) ( AC) ( DF)
F
C L3
2、如图L1∥L2∥L3 ， DE （1）已知BC=3， 3，则AB=（９） EF （2）已知AB=a,BC=b，EF= c， C ac 则DE=（） b
A
D
L1
B
E F
L2 L3

平行线分线段成比例定理

符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ABC中 EF∥BC， ∴AF=FC
问题一直线l 直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且 AB=BC则图中还有哪些线段相等？ AB=BC则图中还有哪些线段相等？则图中还有哪些线段相等
A B C O D N M E l2 F l3 l6 l1
l4
l5
问题二如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳如何不通过测量，运用所学知识，子分成两部分，使这两部分之比是2:3? 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
A B C BI CI DI EI FI
则 I = ACIFI 3 C
2
F
D E
A B C D E F BI CI DI EI FI
如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥如图，有一块形状为直角梯形的草地，直道，两个拐角A 处均为直角，直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直道EF垂直于AB 垂足为E.已知AE EF垂直于AB， E.已知AE长 EB长 DF长直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长 c米.求CF.
课堂小结
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？定理有何联系？
A B D E
AB 当 =1 BC AB 当 ≠1 BC
A B

(完整版)平行线分线段成比例

1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
来自百度文库
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
1 1 1 AB CD OE
三角形内角平分线定理：
A
在VABC中，若AD为BAC的
B
D
C
平分线，则：AB BD AC CD
三角形外角平分线定理：
E A
B C
在VABC中，AD为A的外角CAE
的平分线，
则：AB BD
D
AC CD
证明：
设VABC的高为h, 则：SVABD

1 gBDgh 2
D在AB边上,且
AD AC

1 3
, 则DE

5 _____3_______
江苏省镇江第一中学欢迎您
(或两边的延长线），所得的对应线段成比例
推论的基本图形:
A E B
A D
D
E
F
D
E
A
A
B
C
C B
CB
CD
E
DE DF AE DC

平行线分线段成比例定理推论

引言：

平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理，它是解决平

面几何问题的重要工具之一。本文将从该定理的定义、证明以及推论

三个方面进行详细介绍。

一、平行线分线段成比例定理的定义

平行线分线段成比例定理是指：如果在两条平行直线上，有一条直线

与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分，与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。

二、平行线分线段成比例定理的证明

1. 假设有两条平行直线AB和CD，其中有一条直线EF与CD相交于

点G。

2. 作AG和BG两条射线，以及CG和DG两条射线。

3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF，∠CGF=∠DGE。

4. 又因为AB和CD是平行的，所以∠AGE+∠CGF=180°，

∠BGF+∠DGE=180°。

5. 将以上等式联立得到：∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。

6. 四个角构成一个完整的圆周角，所以

∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。

7. 根据圆周角的性质可知：∠AGE/∠CGF=AG/CG，

∠BGF/∠DGE=BG/DG。

8. 将以上两个比例式联立得到：AG/BG=CG/DG。

9. 因此，平行线分线段成比例定理得证。

三、平行线分线段成比例定理的推论

1. 推论一：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截

取的另一条直线长度。

证明：

设在两条平行直线AB和CD上，有一条直线EF与CD相交于点G。则根据平行线分线段成比例定理可知：

平行线分线段成比例定理

归纳升华当题中出现中点条件时，常过中点作平行线，构造平分线等分线段定理及推论的基本图形解题．
类型 2 利用定理及推论进行证明 [典例 2] 如图所示，已知在△ABC 中， CD 平分∠ACB，AE⊥CD 于 E， EF∥BC 交 AB 于 F，求证 AF＝BF. 证明：延长 AE 交 BC 于 M. 因为 CD 平分∠ACB， AE⊥CD 于 E，所以在△ACE 和△MCE 中，
如下图所示．
归纳升华求作已知线段 AB 的 n 等分点的一般作法：过线段 AB 的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次截取 n 条相等的线段，然后连接第 n 条线段的末端与已知线段的另一个端点，过射线上各个分点作所连线段的平行线，这些平行线与已知线段的交点就是线段 AB 的 n 等分点．
解：(1)作射线 AM. (2)在射线 AM 上截取 AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝ A4A5. (3)连接 A5B，分别过 A1、A2、A3、A4 作 A5B 的平行线 A1C、A2D、A3E、A4F，分别交 AB 于 CBiblioteka BaiduD、E、F，那么 C、D、E、F 就是所求作的线段 AB 的五等分点．
平行线等分线段定理
1．平行线等分线段定理
文字语言
图形语言符号语言
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

平行线分线段成比例定理及证明

平行线分线段成比例定理证明

简介

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

如图，因为AD∥BE∥CF，

所以

AB：BC=DE：EF；

AB：AC=DE：DF；

BC：AC=EF：DF。

也可以说AB：DE=BC：EF；

AB：DE=AC：DF；

BC：EF=AC：DF。

说明

上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。事实上，直线AC和直线DF 可以在平行线之间相交，同样有定理成立。

推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

证明思路

该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点

法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N

过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q

则四边形AMPD、ANQD均为矩形

AM=DP，AN=DQ

AB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/AN

DE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ

又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF

根据比例的性质：

AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)

∴AB/BC=DE/EF

法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.

∵ BE∥CF

∴△ABM∽△ACN.

∴AB/AC=AM/AN

∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理的证明

证法一

S ABC ∆∶S ADC ∆＝ 12 AB ·CH ∶12 AD ·CH ＝AB ∶AD

S ABC ∆∶S AEB ∆ ＝ 12 AC ·BK ∶12 AE ·BK ＝AC ∶AE

S ADC ∆＝ S ABC ∆－S DBC ∆

S AEB ∆ ＝ S ABC ∆－S ECB ∆

∵S DBC ∆ ＝ S ECB ∆ （同底等高）

∴S ADC ∆ ＝ S AEB ∆

∴AB ∶AD ＝AC ∶AE

结论1 AB AC

AD AE =

AB AC AD AE = ⇒ AD DB AE EC AD AE ++=⇒ 11DB EC

AD AE +=+ ⇒ DB EC

AD AE =

结论2 DB EC

AD AE =

AB AC

AD AE =⇒ AD AE

AB AC = ⇒ AB DB AC EC

AB AC --= ⇒11DB EC

AB AC -=- ⇒ DB EC AB AC =

结论3 DB EC

AB AC =

………

证法二

B H C

∵ sin AG

AD α= sin GH

DB α=

∴sin sin AD AG AG

DB GH GH αα=⨯=

∴AD

DB GH =

同理可证AE AG

EC GH =

∴AD AE

DB EC =